Матрицаның кері жағын есептеңіз. Алгебралық толықтауыштар көмегімен кері матрицаны есептеу алгоритмі: матрица әдісі (адъюнктура) әдісі. Экономикалық талдаудағы матрицалық әдіс

Матрица алгебрасы - кері матрица

кері матрица

Кері матрица матрица деп аталады, оны оң жақта да, сол жақта да берілген матрицаға көбейткенде сәйкестендіру матрицасын береді.
Матрицаны матрицаға кері деп белгілейік ЖӘНЕ арқылы, онда біз анықтамаға сәйкес аламыз:

Қайда E Сәйкестендіру матрицасы.
Квадрат матрица деп аталады арнайы емес (деградацияланбаған) егер оның детерминанты нөлге тең болмаса. Әйтпесе, ол аталады арнайы (азғындау) немесе жекеше.

Келесі теорема орындалады: әрбір мәнсіз матрицаның кері мәні болады.

Кері матрицаны табу операциясы деп аталады апелляция матрицалар. Матрицалық инверсия алгоритмін қарастырайық. Бір мәнді емес матрица берілсін n-ші тапсырыс:

мұндағы Δ \u003d дет A ≠ 0.

Элементтің алгебралық толықтырушысыматрицалар n - үшінші тәртіп ЖӘНЕ матрицаның детерминанты деп аталады ( n –1) жою арқылы алынған үшінші тапсырыс мен-ші қатар және jматрицаның бағанасы ЖӘНЕ:

Деп аталатындарды құрастырайық тіркелген матрица:

матрицаның сәйкес элементтерінің алгебралық қосымшалары қайда ЖӘНЕ.
Матрица жолдарының элементтерінің алгебралық толықтыруларын ескеріңіз ЖӘНЕ матрицаның сәйкес бағандарына орналастырылған Ã , яғни матрица бір уақытта ауыстырылады.
Матрицаның барлық элементтерін бөлу Ã Δ - матрицаның детерминанты мәні ЖӘНЕ, нәтижесінде кері матрица аламыз:

Кері матрицаның бірқатар ерекше қасиеттерін атап өтеміз:
1) берілген матрица үшін ЖӘНЕ оның кері матрицасы жалғыз;
2) егер кері матрица болса, онда оңға кері және солға кері матрицалар онымен сәйкес келеді;
3) арнайы (деградацияланған) квадрат матрицада кері матрица болмайды.

Кері матрицаның негізгі қасиеттері:
1) кері матрицаның детерминанты және бастапқы матрицаның детерминанты өзара мәндер болып табылады;
2) квадрат матрицалар көбейтіндісінің кері матрицасы кері тәртіпте алынған факторлардың кері матрицаларының көбейтіндісіне тең:

3) матрицаның транспозициясы берілген берілген матрицаның кері мәніне тең:

PRI мені р. Берілген матрицаның кері мәнін есептеңіз.

Кез-келген нонеративті А матрицасы үшін бар, сонымен қатар A-1 ерекше матрицасы бар

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

мұндағы Е - А тәрізді ретті сәйкестендіру матрицасы, А -1 матрицасы А матрицасына кері деп аталады.

Егер біреу ұмытып кетсе, сәйкестендіру матрицасында, диагональмен толтырылғаннан басқа, қалған барлық позициялар нөлдермен толтырылады, сәйкестендіру матрицасының мысалы:

Матрица әдісі бойынша кері матрицаны табу

Кері матрица келесі формула бойынша анықталады:

мұндағы A ij - бұл a ij элементтері.

Анау. кері матрицаны есептеу үшін осы матрицаның детерминантын есептеу керек. Содан кейін оның барлық элементтері үшін алгебралық қосымшаларды тауып, олардан жаңа матрица құрыңыз. Әрі қарай, сіз осы матрицаны тасымалдауыңыз керек. Жаңа матрицаның әрбір элементін бастапқы матрицаның детерминанты бойынша бөліңіз.

Енді бірнеше мысал қарастырайық.

Матрица үшін А -1 табыңыз

Шешім.Айынды матрица әдісі бойынша А -1 табайық. Бізде det A \u003d 2 бар. А матрицасы элементтерінің алгебралық толықтауыштарын табайық. Бұл жағдайда матрица элементтерінің алгебралық қосымшалары формулаға сәйкес таңбамен алынған матрицаның өзіне сәйкес элементтері болады.

Бізде A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Біз матрицаны құрамыз

А * матрицасын тасымалдаймыз:

Кері матрицаны формула бойынша табамыз:

Біз алып жатырмыз:

Матрицалық әдісті қолданып А -1 табыңыз, егер

Шешім.Ең алдымен, кері матрицаның бар екеніне көз жеткізу үшін берілген матрицаның анықтамасын есептейміз. Бізде бар

Мұнда біз екінші қатардың элементтеріне бұрын (-1) көбейтілген үшінші қатар элементтерін қостық, содан кейін екінші қатардағы детерминантты кеңейттік. Берілген матрица нөлге тең емес болғандықтан, кері матрица бар. Байланысты матрица құру үшін берілген матрица элементтерінің алгебралық толықтыруларын табамыз. Бізде бар

Формула бойынша

матрицаны тасымалдау *:

Содан кейін формула бойынша

Элементтік түрлендіру әдісімен кері матрицаны табу

Формуладан шығатын кері матрицаны табу әдісінен басқа (қосымша матрица әдісі), элементар түрлендірулер әдісі деп аталатын кері матрицаны табу әдісі де бар.

Матрицалық түрлендірулер

Келесі түрлендірулер қарапайым матрицалық түрлендірулер деп аталады:

1) жолдардың (бағандардың) ауыстырылуы;

2) жолды (бағанды) нөлден басқа санға көбейту;

3) жол (баған) элементтеріне бұрын белгілі бір санға көбейтілген басқа жолдың (бағанның) сәйкес элементтерін қосу.

А -1 матрицасын табу үшін оң жақтағы А матрицасына бөлгіш сызық арқылы Е сәйкестендіру матрицасын тағайындай отырып, (n; 2n) бұйрықтардың тік бұрышты B \u003d (A | E) матрицасын құрамыз:

Мысалға тоқталайық.

Элементтік түрлендіру әдісін қолданып, егер А -1 табыңыз

В матрицасын құрайық:

В матрицасының жолдарын α 1, α 2, α 3 деп белгілейік. В матрицасының жолдарында келесі түрлендірулерді жүргізейік.

Анықтама 1: матрица дегенеративті деп аталады, егер оның детерминанты нөлге тең болса.

Анықтама 2: матрица анықталмаған деп аталады, егер оның детерминанты нөлге тең болмаса.

«А» матрицасы деп аталады кері матрицаегер A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E шарты орындалса (сәйкестендіру матрицасы).

Квадрат матрица дегенеративті емес болған жағдайда ғана кері қайтарылады.

Матрицаны есептеудің кері схемасы:

1) егер «А» матрицасының детерминантын есептеңіз ∆ A \u003d 0, онда кері матрица болмайды.

2) «А» матрицасының барлық алгебралық толықтауыштарын табыңыз.

3) алгебралық толықтыру матрицасын құрыңыз (Aij)

4) Алгебралық толықтыру матрицасын ауыстырыңыз (Aij) T

5) Транспозияланған матрицаны осы матрицаның детерминантына кері көбейтіңіз.

6) тексеру:

Бір қарағанда, бұл қиын сияқты көрінуі мүмкін, бірақ іс жүзінде бәрі өте қарапайым. Барлық шешімдер қарапайым арифметикалық амалдарға негізделген, шешім қабылдау кезінде бастысы «-» және «+» белгілерімен шатастырмау және оларды жоғалтпау.

Енді сіздермен бірге кері матрицаны есептеу арқылы практикалық тапсырманы шешейік.

Тапсырма: төмендегі суретте көрсетілген «А» кері матрицасын табыңыз:

Біз бәрін дәл матрицаны есептеу жоспарында көрсетілгендей шешеміз.

1. Біріншіден, «А» матрицасының детерминантын табу керек:

Түсіндіру:

Біз оның негізгі функционалдық мүмкіндіктерін пайдалана отырып, біліктілік деңгейімізді жеңілдеттік. Алдымен біз 2 және 3 қатарларға бір қатарға көбейтілген бірінші қатар элементтерін қостық.

Екіншіден, біз детерминанттың 2 және 3 бағандарын өзгерттік, ал оның қасиеттеріне сәйкес оның алдындағы белгіні өзгерттік.

Үшіншіден, біз екінші жолдың ортақ коэффициентін (-1) шығардық, сол арқылы таңбаны қайтадан өзгерттік, ол оң болды. Сонымен қатар біз мысалдың басындағыдай 3-жолды оңайлаттық.

Біз үшбұрышты детерминант алдық, онда диагональдан төмен элементтер нөлге тең, ал 7 қасиеті бойынша ол диагональ элементтерінің көбейтіндісіне тең. Нәтижесінде біз алдық ∆ A \u003d 26, демек, кері мән бар.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Келесі қадам - \u200b\u200bалынған толықтырулардан матрица құрастыру:

5. Осы матрицаны детерминантқа кері мәнге көбейтіңіз, яғни 1/26:

6. Ал енді біз тек мынаны тексеруіміз керек:

Тексеру барысында біз сәйкестендіру матрицасын алдық, сондықтан шешім мүлдем дұрыс орындалды.

Кері матрицаны есептеудің 2 әдісі.

1. Элементтік матрицаны түрлендіру

2. Элементтік трансформатор арқылы кері матрица.

Матрицалық түрлендіруге мыналар жатады:

1. Жолды нөлдік санға көбейту.

2. Кез-келген жолға санға көбейтілген басқа жол қосу.

3. Матрицаның жолдарын ауыстыру.

4. Элементарлы түрлендірулер тізбегін қолдана отырып, біз басқа матрица аламыз.

ЖӘНЕ -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.A -1 * A \u003d E

Практикалық мысалды нақты сандармен қарастырайық.

Тапсырма: Матрицаның кері жағын табыңыз.

Шешім:

Тексерейік:

Шешім туралы біраз түсініктеме:

Алдымен біз матрицаның 1 және 2 жолдарын қайта құрдық, содан кейін бірінші жолды (-1) көбейттік.

Осыдан кейін бірінші қатар (-2) көбейтіліп, матрицаның екінші қатарына қосылды. Содан кейін 2 жол 1/4 көбейтілді.

Трансформацияның соңғы кезеңі екінші жолды 2-ге көбейтіп, біріншісінен қосу болды. Нәтижесінде бізде сол жақта сәйкестендіру матрицасы болады, сондықтан кері - оң жақта матрица болады.

Тексеріп болғаннан кейін біз шешімнің дұрыс екеніне көз жеткіздік.

Көріп отырғаныңыздай, матрицаға кері есептеу өте оңай.

Осы дәрісті қорытындылай келе, мен де осындай матрицаның қасиеттеріне аз уақыт бөлгім келеді.

АЛГЕБРАЛЫҚ ҚОСУШЫЛАР ЖӘНЕ Кәмелетке толмағандар

Үшінші ретті анықтаушыға ие болайық: .

Кәмелетке толмағаносы элементке сәйкес келеді a ij үшінші реттің детерминанты, екінші ретті детерминант деп аталады, берілген элементтің қиылысында орналасқан жол мен бағанды \u200b\u200bөшіру арқылы алынған, яғни. мен-ші қатар және jбаған. Берілген элементке сәйкес келетін кәмелетке толмағандар a ij белгілейтін болады M ij.

Мысалға, кіші M 12сәйкес келеді 12, анықтаушы болады , берілген детерминанттан 1-ші жол мен 2-ші бағанды \u200b\u200bжою арқылы алынады.

Сонымен, үшінші ретті детерминантты анықтайтын формула бұл детерминанттың 1-қатар элементтерінің сәйкес кәмелетке толмағандар көбейтіндісінің қосындысына тең екендігін көрсетеді; элементке сәйкес келетін минор 12, «-» белгісімен алынған, яғни. біз мұны жаза аламыз

.

(1)

Сол сияқты екінші ретті және жоғары ретті детерминанттар үшін кәмелетке толмағандардың анықтамаларын енгізе аламыз.

Тағы бір тұжырымдаманы енгізейік.

Алгебралық комплементэлемент a ij детерминант оның миноры деп аталады M ij(–1) i + j көбейтілген.

Элементтің алгебралық толықтырушысы a ij белгіленді A ij.

Анықтамадан біз элементтің алгебралық қосымшасы мен оның миноры арасындағы байланыс теңдікпен өрнектелетінін анықтаймыз A ij \u003d (–1) i + j M ij.

Мысалға,

Мысал. Анықтауыш берілген. Табу A 13, A 21, A 32.

Элементтердің алгебралық толықтыруларын пайдалана отырып, формула (1) келесі түрде жазылатынын байқау қиын емес:

Осы формулаға ұқсас, сіз кез-келген жолдың немесе бағанның элементтеріне детерминанттың ыдырауын ала аласыз.

Мысалы, детерминантты 2-жол элементтері бойынша көбейтуді келесідей алуға болады. Детерминанттың 2-қасиетіне сәйкес бізде:

Алынған детерминантты 1-қатар элементтері бойынша кеңейтейік.

.

(2)

Осы жерден бері (2) формуладағы екінші ретті детерминанттар элементтердің минорлары болып табылады 21, а 22, а 23... Осылайша, яғни біз анықтауыштың ыдырауын 2 қатар элементтері тұрғысынан алдық.

Сол сияқты, сіз үшінші қатар элементтері бойынша анықтауыштың ыдырауын ала аласыз. Детерминанттардың 1 қасиетін (транспозиция туралы) пайдалана отырып, баған элементтері бойынша кеңейту үшін ұқсас кеңеюлердің де жарамды екендігін көрсетуге болады.

Сонымен, келесі теорема шындыққа сәйкес келеді.

Теорема (берілген жолдағы немесе бағандағы анықтауыштың кеңеюі туралы). Детерминант оның кез-келген жолдарының (немесе бағандарының) элементтерінің көбейтіндісіне олардың алгебралық қосымшаларына тең.

Жоғарыда айтылғандар кез келген жоғары ретті анықтаушыларға қатысты.

Мысалдар.

ҚАРСЫ МАТРИКС

Кері матрица ұғымы тек үшін енгізілген квадрат матрицалар.

Егер а A Ол квадрат матрица болып табылады кері ол үшін матрица - матрица деп белгіленеді A -1 және шартты қанағаттандырады. (Бұл анықтама сандарды көбейту аналогиясы бойынша енгізілген)

Бұл мақалада сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі туралы сөйлесеміз, оның анықтамасын табамыз және шешімге мысалдар келтіреміз.

Анықтама 1

Кері матрицалық әдіс белгісіздер саны теңдеулер санына тең болған жағдайда SLAE-ді шешу үшін қолданылатын әдіс.

1-мысал

N белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табыңыз:

11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Матрицалық жазу : A × X \u003d B

мұндағы А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - жүйенің матрицасы.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - белгісіз баған,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - еркін коэффициенттер бағаны.

Біз алған теңдеу бойынша сіз Х-ті өрнектеуіңіз керек. Ол үшін сол жақтағы матрица теңдеуінің екі жағын А - 1 көбейту керек:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

A - 1 × A \u003d E болғандықтан, E × X \u003d A - 1 × B немесе X \u003d A - 1 × B.

Түсініктеме

А матрицасына кері матрица d e t A шарты нөлге тең болмаса ғана өмір сүруге құқылы. Сондықтан, SLAE-ді кері матрицалық әдіспен шешкенде, ең алдымен, d e t A.

D e t A нөлге тең болмаған жағдайда жүйенің бір ғана шешімі болады: кері матрица әдісін қолдану. Егер d e t А \u003d 0 болса, онда жүйені бұл әдіспен шешу мүмкін емес.

Сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрица әдісі арқылы шешудің мысалы

2-мысал

SLAE-ді кері матрицалық әдіспен шешеміз:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Қалай шешуге болады?

• Біз жүйені матрицалық теңдеу түрінде жазамыз A X \u003d B, мұндағы

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Осы теңдеуден Х-ны өрнектейміз:

• А матрицасының детерминантын табыңыз:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А 0-ге тең емес, сондықтан матрицалық шешудің кері әдісі осы жүйеге сәйкес келеді.

• Біріктіру матрицасын қолданып А - 1 кері матрицасын табыңыз. A матрицасының сәйкес элементтеріне A i j алгебралық қосымшаларын есептейміз:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• А матрицасының алгебралық толықтыруларынан тұратын А * біріктіру матрицасын жазамыз:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Кері матрицаны формула бойынша жазамыз:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• А - 1 кері матрицасын В бос мүшелер бағанына көбейтеміз және жүйеге шешім аламыз:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Жауап : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз