Гаусс матрицалары. Думмиге арналған Гаусс әдісі: шешімдердің мысалдары. Гаусс ережесін қолдануға арналған есептер

Шешуі керек сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін (жүйенің әрбір теңдеуін теңдікке айналдыратын xi белгісіздерінің осындай мәндерін табыңыз).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

1) Шешімдеріңіз жоқ (болуы керек) сәйкес келмейтін).
2) Шексіз көп шешімдерге ие болыңыз.
3) Бірегей шешімге ие болыңыз.

Біздің есімізде, жүйе шексіз көп шешімдерге ие немесе сәйкес келмейтін жағдайларда Крамер ережесі мен матрица әдісі қолданылмайды. Гаусс әдісі – кез-келген сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табудың ең қуатты және жан-жақты құралы, бұл кез келген жағдайдабізді жауапқа жетелейді! Әдістің алгоритмінің өзі үш жағдайда бірдей жұмыс істейді. Егер детерминанттарды білу Крамер мен матрицалық әдістерде қажет болса, онда Гаусс әдісін қолдану үшін тек арифметикалық амалдар туралы білім қажет, бұл оны бастауыш сынып оқушылары үшін де қол жетімді етеді.

Кеңейтілген матрицалық түрлендірулер ( бұл жүйенің матрицасы - тек белгісіз коэффициенттерден тұратын матрица, оған бос мүшелер бағанасы)гаусс әдісіндегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

1) бастап жіптер матрицалар мүмкін қайта құруорындар.

2) егер матрицада пропорционалды (ерекше жағдайда - бірдей) жолдар болса (немесе болса), онда ол шығады жою матрицадан барлық осы жолдардан басқалары.

3) егер матрицада түрлендірулер кезінде нөлдік жол пайда болса, онда ол да шығады жою.

4) матрицаның жолы болуы мүмкін көбейту (бөлу)нөлден басқа кез келген санға.

5) матрицаның жолы болуы мүмкін санға көбейтілген басқа жолды қосыңызнөлдік емес.

Гаусс әдісінде элементар түрлендірулер теңдеулер жүйесінің шешімін өзгертпейді.

Гаусс әдісі екі кезеңнен тұрады:

1. «Тікелей қозғалу» - элементар түрлендірулердің көмегімен сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасын «үшбұрышты» сатылы түрге келтіріңіз: кеңейтілген матрицаның бас диагоналінен төмен орналасқан элементтері нөлге тең («жоғарыдан төменге» жылжу). Мысалы, мына формаға:

Ол үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

1) Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін қарастырайық және х 1-дегі коэффициент K. деп есептейік. Екінші, үшінші және т.б. теңдеулер келесідей түрге келтіріледі: әрбір теңдеу (белгісіздерге, оның ішінде еркін мүшелерге арналған коэффициенттер), әр теңдеуде тұрған белгісіз х 1 коэффициентіне бөлінеді және К-ге көбейтіледі. Осыдан кейін біз екінші теңдеуден біріншіні аламыз (белгісіздер мен еркін мүшелер үшін коэффициенттер). Екінші теңдеуде х 1 үшін 0 коэффициентін аламыз.Бірінші теңдеуді үшінші түрлендірілген теңдеуден шығарыңыз, біріншіден басқа барлық теңдеулерге дейін, белгісіз х 1 үшін 0 коэффициенті болады.

2) келесі теңдеуге өтіңіз. Бұл екінші теңдеу болсын және х 2-дегі коэффициент М-ге тең. Барлық «төменгі» теңдеулермен біз жоғарыда сипатталғандай жүреміз. Сонымен, барлық теңдеулерде белгісіз x 2 «астында» нөлдер болады.

3) келесі теңдеуге өтіңіз және соңғы белгісіз және түрлендірілген бос мүше болғанша.

1. Гаусс әдісінің «кері» - сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімін алу («төменнен жоғары» жылжу). Соңғы «төменгі» теңдеуден біз бір бірінші шешімді аламыз - белгісіз x n. Ол үшін біз A * x n \u003d B элементар теңдеуін шешеміз, жоғарыда келтірілген мысалда x 3 \u003d 4. Табылған мәнді келесі «жоғарғы» теңдеуге қойып, келесі белгісізге қатысты шешіңіз. Мысалы, x 2 - 4 \u003d 1, яғни. x 2 \u003d 5. Сонымен, біз барлық белгісіздерді тапқанға дейін.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешейік, кейбір авторлар кеңес береді:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, қарапайым түрлендірулерді қолданып, оны сатылы түрге келтірейік:

Біз жоғарғы сол жақтағы «қадамға» қараймыз. Ол жерде бізде бөлімше болу керек. Мәселе мынада: бірінші бағанда мүлдем жоқ, сондықтан жолдарды қайта реттеу ештеңені шешпейді. Мұндай жағдайларда қондырғыны қарапайым түрлендіруді қолдану арқылы ұйымдастыру керек. Мұны әдетте бірнеше жолмен жасауға болады. Мұны істейік:
1 қадам ... Бірінші жолға -1-ге көбейтілген екінші жолды қосыңыз. Яғни біз екінші жолды –1-ге ойша көбейтіп, бірінші және екінші жолдарды қостық, ал екінші жол өзгерген жоқ.

Енді сол жақта «минус бір» орналасқан, бұл біз үшін жақсы. +1 алғысы келетін кез-келген адам қосымша әрекетті орындай алады: бірінші жолды –1 көбейтіңіз (оның белгісін өзгертіңіз).

2-қадам ... 5-ке көбейтілген бірінші жол екінші жолға, 3-ке көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

3-қадам ... Бірінші жол -1-ге көбейтілді, негізінен бұл сұлулық үшін. Үшінші жолдың белгісі де өзгертіліп, ол екінші орынға ауыстырылды, осылайша екінші «қадамда» бізде қажетті бірлік бар.

4-қадам ... Үшінші жол 2-ге көбейтілген екінші жолға қосылды.

5-қадам ... Үшінші жол 3-ке бөлінді.

Есептеулердегі қателікті көрсететін белгі (жиі емес - қате) - «жаман» төменгі жол. Яғни, егер біз төменгі жағында (0 0 11 | 23) және сәйкесінше 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11 сияқты бірдеңе алсақ, онда жоғары ықтималдықпен қате кезінде жіберілген деп айтуға болады. қарапайым түрлендірулер.

Біз кері қозғалысты жүзеге асырамыз, мысалдарды жобалау кезінде жүйенің өзі көбінесе қайта жазылмайды және теңдеулер «берілген матрицадан тікелей алынады». Кері қозғалыс, мен сізге еске саламын, төменнен жоғары қарай жұмыс істейді. Бұл мысалда біз сыйлық алдық:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, сондықтан x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Жауап: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ұсынылған алгоритм бойынша сол жүйені шешейік. Біз алып жатырмыз

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Екінші теңдеуді 5-ке, ал үшіншісін 3-ке бөлеміз. Аламыз:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Екінші және үшінші теңдеулерді 4-ке көбейткенде:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Бірінші теңдеуді екінші және үшінші теңдеулерден алып тастай отырып, бізде:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Үшінші теңдеуді 0,64-ке бөліңіз:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Үшінші теңдеуді 0,4-ке көбейтіңіз

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

«Сатылы» кеңейтілген матрица алу үшін үшінші теңдеуден екіншісін алып тастайық:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Осылайша, есептеулер кезінде жинақталған қателік болғандықтан, x 3 \u003d 0,96 немесе шамамен 1 аламыз.

x 2 \u003d 3 және x 1 \u003d –1.

Осылайша шеше отырып, сіз есептеулерде ешқашан шатаспайсыз және есептеу қателіктеріне қарамастан нәтижеге қол жеткізесіз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің бұл әдісі оңай бағдарламаланады және белгісіздер үшін коэффициенттердің ерекше ерекшеліктерін ескермейді, өйткені тәжірибеде (экономикалық және техникалық есептеулерде) бүтін емес коэффициенттермен жұмыс істеу керек.

Сәттілік тілеймін! Сабақта кездескенше! Тәрбиеші.

блог. сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

Шешуі керек сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі берілсін (жүйенің әрбір теңдеуін теңдікке айналдыратын xi белгісіздерінің осындай мәндерін табыңыз).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

1) Шешімдеріңіз жоқ (болуы керек) сәйкес келмейтін).
2) Шексіз көп шешімдерге ие болыңыз.
3) Бірегей шешімге ие болыңыз.

Біздің есімізде, жүйе шексіз көп шешімдерге ие немесе сәйкес келмейтін жағдайларда Крамер ережесі мен матрица әдісі қолданылмайды. Гаусс әдісі – кез-келген сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табудың ең қуатты және жан-жақты құралы, бұл кез келген жағдайдабізді жауапқа жетелейді! Әдістің алгоритмінің өзі үш жағдайда бірдей жұмыс істейді. Егер детерминанттарды білу Крамер мен матрицалық әдістерде қажет болса, онда Гаусс әдісін қолдану үшін тек арифметикалық амалдар туралы білім қажет, бұл оны бастауыш сынып оқушылары үшін де қол жетімді етеді.

Кеңейтілген матрицалық түрлендірулер ( бұл жүйенің матрицасы - тек белгісіз коэффициенттерден тұратын матрица, оған бос мүшелер бағанасы)гаусс әдісіндегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі:

1) бастап жіптер матрицалар мүмкін қайта құруорындар.

2) егер матрицада пропорционалды (ерекше жағдайда - бірдей) жолдар болса (немесе болса), онда ол шығады жою матрицадан барлық осы жолдардан басқалары.

3) егер матрицада түрлендірулер кезінде нөлдік жол пайда болса, онда ол да шығады жою.

4) матрицаның жолы болуы мүмкін көбейту (бөлу)нөлден басқа кез келген санға.

5) матрицаның жолы болуы мүмкін санға көбейтілген басқа жолды қосыңызнөлдік емес.

Гаусс әдісінде элементар түрлендірулер теңдеулер жүйесінің шешімін өзгертпейді.

Гаусс әдісі екі кезеңнен тұрады:

1. «Тікелей қозғалу» - элементар түрлендірулердің көмегімен сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасын «үшбұрышты» сатылы түрге келтіріңіз: кеңейтілген матрицаның бас диагоналінен төмен орналасқан элементтері нөлге тең («жоғарыдан төменге» жылжу). Мысалы, мына формаға:

Ол үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

1) Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуін қарастырайық және х 1-дегі коэффициент K. деп есептейік. Екінші, үшінші және т.б. теңдеулер келесідей түрге келтіріледі: әрбір теңдеу (белгісіздерге, оның ішінде еркін мүшелерге арналған коэффициенттер), әр теңдеуде тұрған белгісіз х 1 коэффициентіне бөлінеді және К-ге көбейтіледі. Осыдан кейін біз екінші теңдеуден біріншіні аламыз (белгісіздер мен еркін мүшелер үшін коэффициенттер). Екінші теңдеуде х 1 үшін 0 коэффициентін аламыз.Бірінші теңдеуді үшінші түрлендірілген теңдеуден шығарыңыз, біріншіден басқа барлық теңдеулерге дейін, белгісіз х 1 үшін 0 коэффициенті болады.

2) келесі теңдеуге өтіңіз. Бұл екінші теңдеу болсын және х 2-дегі коэффициент М-ге тең. Барлық «төменгі» теңдеулермен біз жоғарыда сипатталғандай жүреміз. Сонымен, барлық теңдеулерде белгісіз x 2 «астында» нөлдер болады.

3) келесі теңдеуге өтіңіз және соңғы белгісіз және түрлендірілген бос мүше болғанша.

1. Гаусс әдісінің «кері» - сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімін алу («төменнен жоғары» жылжу). Соңғы «төменгі» теңдеуден біз бір бірінші шешімді аламыз - белгісіз x n. Ол үшін біз A * x n \u003d B элементар теңдеуін шешеміз, жоғарыда келтірілген мысалда x 3 \u003d 4. Табылған мәнді келесі «жоғарғы» теңдеуге қойып, келесі белгісізге қатысты шешіңіз. Мысалы, x 2 - 4 \u003d 1, яғни. x 2 \u003d 5. Сонымен, біз барлық белгісіздерді тапқанға дейін.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешейік, кейбір авторлар кеңес береді:

Жүйенің кеңейтілген матрицасын жазып, қарапайым түрлендірулерді қолданып, оны сатылы түрге келтірейік:

Біз жоғарғы сол жақтағы «қадамға» қараймыз. Ол жерде бізде бөлімше болу керек. Мәселе мынада: бірінші бағанда мүлдем жоқ, сондықтан жолдарды қайта реттеу ештеңені шешпейді. Мұндай жағдайларда қондырғыны қарапайым түрлендіруді қолдану арқылы ұйымдастыру керек. Мұны әдетте бірнеше жолмен жасауға болады. Мұны істейік:
1 қадам ... Бірінші жолға -1-ге көбейтілген екінші жолды қосыңыз. Яғни біз екінші жолды –1-ге ойша көбейтіп, бірінші және екінші жолдарды қостық, ал екінші жол өзгерген жоқ.

Енді сол жақта «минус бір» орналасқан, бұл біз үшін жақсы. +1 алғысы келетін кез-келген адам қосымша әрекетті орындай алады: бірінші жолды –1 көбейтіңіз (оның белгісін өзгертіңіз).

2-қадам ... 5-ке көбейтілген бірінші жол екінші жолға, 3-ке көбейтілген бірінші жол үшінші жолға қосылды.

3-қадам ... Бірінші жол -1-ге көбейтілді, негізінен бұл сұлулық үшін. Үшінші жолдың белгісі де өзгертіліп, ол екінші орынға ауыстырылды, осылайша екінші «қадамда» бізде қажетті бірлік бар.

4-қадам ... Үшінші жол 2-ге көбейтілген екінші жолға қосылды.

5-қадам ... Үшінші жол 3-ке бөлінді.

Есептеулердегі қателікті көрсететін белгі (жиі емес - қате) - «жаман» төменгі жол. Яғни, егер біз төменгі жағында (0 0 11 | 23) және сәйкесінше 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11 сияқты бірдеңе алсақ, онда жоғары ықтималдықпен қате кезінде жіберілген деп айтуға болады. қарапайым түрлендірулер.

Біз кері қозғалысты жүзеге асырамыз, мысалдарды жобалау кезінде жүйенің өзі көбінесе қайта жазылмайды және теңдеулер «берілген матрицадан тікелей алынады». Кері қозғалыс, мен сізге еске саламын, төменнен жоғары қарай жұмыс істейді. Бұл мысалда біз сыйлық алдық:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, сондықтан x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Жауап: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ұсынылған алгоритм бойынша сол жүйені шешейік. Біз алып жатырмыз

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Екінші теңдеуді 5-ке, ал үшіншісін 3-ке бөлеміз. Аламыз:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Екінші және үшінші теңдеулерді 4-ке көбейткенде:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Бірінші теңдеуді екінші және үшінші теңдеулерден алып тастай отырып, бізде:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Үшінші теңдеуді 0,64-ке бөліңіз:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Үшінші теңдеуді 0,4-ке көбейтіңіз

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

«Сатылы» кеңейтілген матрица алу үшін үшінші теңдеуден екіншісін алып тастайық:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Осылайша, есептеулер кезінде жинақталған қателік болғандықтан, x 3 \u003d 0,96 немесе шамамен 1 аламыз.

x 2 \u003d 3 және x 1 \u003d –1.

Осылайша шеше отырып, сіз есептеулерде ешқашан шатаспайсыз және есептеу қателіктеріне қарамастан нәтижеге қол жеткізесіз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің бұл әдісі оңай бағдарламаланады және белгісіздер үшін коэффициенттердің ерекше ерекшеліктерін ескермейді, өйткені тәжірибеде (экономикалық және техникалық есептеулерде) бүтін емес коэффициенттермен жұмыс істеу керек.

Сәттілік тілеймін! Сабақта кездескенше! Тәрбиеші Дмитрий Айстраханов.

сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.Жүйенің шешімін табу керек n сызықтық теңдеулер n белгісіз айнымалылар
ноль емес негізгі матрицаның детерминанты.

Гаусс әдісінің мәні белгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жоюдан тұрады: біріншіден, x 1 жүйенің барлық теңдеулерінен екіншісінен бастап одан әрі алып тастаңыз x 2барлық теңдеулердің үшіншіден басталатыны және т.с.с. соңғы теңдеуде тек белгісіз айнымалы ғана қалады x n... Белгісіз айнымалыларды дәйекті түрде жою үшін жүйенің теңдеулерін түрлендірудің мұндай процесі деп аталады гаусс әдісінің тікелей бағыты бойынша... Соңғы теңдеуден Гаусс әдісінің алға жүрісін аяқтағаннан кейін табамыз x n, осы мәнді пайдаланып, алдыңғы теңдеу есептеледі x n-1және т.с.с бірінші табудан табамыз x 1... Жүйенің соңғы теңдеуінен біріншісіне өту кезінде белгісіз айнымалыларды есептеу процесі деп аталады артта қалған Гаусс әдісі.

Белгісіз айнымалыларды жою алгоритмін қысқаша сипаттайық.

Біз жүйенің теңдеулерін қайта құру арқылы әрқашан қол жеткізе аламыз деп ойлаймыз. Белгісіз айнымалыны алып тастаңыз x 1 жүйенің барлық теңдеулерінің екіншісінен басталады. Ол үшін жүйенің екінші теңдеуіне біріншісін көбейтеміз, үшінші теңдеуіне біріншісін қосамыз, көбейтеміз және т.с.с. nthкөбейтуге теңдеуді қосамыз. Осындай түрлендірулерден кейінгі теңдеулер жүйесі форманы алады

қайда, а.

Егер біз білдірген болсақ, біз бірдей нәтижеге жетер едік x 1 жүйенің бірінші теңдеуіндегі басқа белгісіз айнымалылар арқылы және алынған өрнек барлық басқа теңдеулерге ауыстырылды. Сонымен айнымалы x 1 екіншіден басталатын барлық теңдеулерден алынып тасталды.

Ол үшін жүйенің үшінші теңдеуіне екіншісін көбейтіп, екіншісін төртінші теңдеуге көбейтуді және т.б. nthтеңдеуіне екіншісін қосамыз, көбейтеміз. Осындай түрлендірулерден кейінгі теңдеулер жүйесі форманы алады

қайда, а. Сонымен айнымалы x 2 үшіншіден басталатын барлық теңдеулерден алынып тасталды.

Сонымен, біз Гаусс әдісінің тікелей бағытын жүйе пайда болғанға дейін жалғастырамыз

Осы сәттен бастап біз Гаусс әдісінің кері бағытын бастаймыз: есептеңіз x n алынған теңдікті қолдана отырып, соңғы теңдеуден x n табу x n-1 алдыңғы теңдеуден және басқаларын табамыз x 1 бірінші теңдеуден.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісін қолданып шешіңіз. ...

Жауап:

x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

РХБ ҚОРҒАУ ӘСкери Университетінің КОСТРОМА ФИЛИАЛЫ

«Әскерлерді басқару мен басқаруды автоматтандыру» кафедрасы

Тек мұғалімдерге арналған

«Мақұлдаймын»

№9 бөлім бастығы

полковник А.Б.ЯКОВЛЕВ

«____» ______________ 2004 ж

доцент А.И.СМИРНОВА

«МАТРИКС. ГАУСТЫҢ ӘДІСІ»

ДӘРІС No2/3

№9 кафедра мәжілісінде талқыланды

«____» ___________ 2003 ж

Хаттама № ___________

Кострома, 2003 ж

Cуайым

Кіріспе

1. Матрицалардағы әрекеттер.

2. Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.

Қорытынды

Әдебиет

1. В.Е. Шнайдер және басқалар, Жоғары математиканың қысқаша курсы, I том, 2-бөлім, §6, 7.

2. В.С. Chипачев, жоғары математика, Ч. 10, § 1, 7.

КІРІСПЕ

Дәрісте матрица ұғымы, матрицалардағы әрекеттер, сонымен қатар сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі талқыланады. Квадрат матрицалар деп аталатын ерекше жағдай үшін детерминанттарды есептеуге болады, олардың тұжырымдамасы алдыңғы дәрісте талқыланды. Гаусс әдісі бұрын қарастырылған сызықтық жүйелерді шешуге арналған Крамер әдісіне қарағанда жалпы болып табылады. Дәрісте талқыланған сұрақтар математиканың әр түрлі салаларында және қолданбалы сұрақтарда қолданылады.

1-сұрақ МАТРИАЛАР БОЙЫНША ӘРЕКЕТТЕР

АНЫҚТАМА 1. Тік бұрышты кестем, n бар сандарм - жолдар жәнеn - бағандар, түрі:

деп аталады өлшем матрицасы м ´ n

Матрицаны құрайтын сандар деп аталады матрица элементтері.

Элементтің орны және мен j матрицада қос индекс сипатталады:

ең бірінші мен - жол нөмірі;

екінші j - қиылысында элемент тұрған бағанның нөмірі.

Қысқартылған түрінде матрицалар бас әріптермен белгіленеді: A, B, C ...

Қысқаша, сіз келесідей жаза аласыз:

АНЫҚТАМА 2.Жолдар саны бағандар санына тең матрица, т.а.м = n аталады шаршы

Квадрат матрицаның жолдарының (бағандарының) саны матрицаның реті деп аталады.

МЫСАЛ.

ЕСКЕРТУ 1. Біз жазбалары сандар болатын матрицаларды қарастырамыз. Математикада және оның қосымшаларында элементтері басқа объектілер болып табылатын матрицалар бар, мысалы, функциялар, векторлар.

ЕСКЕРТУ 2. Матрица - бұл ерекше математикалық ұғым. Матрицалардың көмегімен әр түрлі түрлендірулерді, сызықтық жүйелерді және т.б. жазу ыңғайлы, сондықтан матрицалар математикалық және техникалық әдебиеттерде жиі кездеседі.

АНЫҚТАМА 3.Матрица өлшемі1 nбір жол деп аталады матрица - жол.

T өлшемді матрица1 бір бағаннан тұрады деп аталады матрица - баған.

АНЫҚТАМА 4. Нөлдік матрица матрица деп аталады, оның барлық элементтері нөлге тең.

Төртбұрышты матрицаны қарастырайық n:

бүйір қиғаш

негізгі диагональ

Кестенің жоғарғы сол жақ элементінен төменгі оңға қарай жүретін квадрат матрицаның диагоналы деп аталады матрицаның негізгі диагоналы (негізгі диагональда пішін элементтері бар және мен мен).

Жоғарғы оң жақтан төменгі солға қарай жүретін диагональ деп аталады матрицаның бүйір диагоналы.

Квадрат матрицалардың кейбір ерекше түрлерін қарастырайық.

1) квадрат матрица деп аталады диагональегер бас диагональда емес барлық элементтер нөлге тең болса.

2) Бас диагональдың барлық элементтері біреуіне тең болатын диагональды матрица деп аталады жалғыз... Көрсетілген:

3) квадрат матрица деп аталады үшбұрышты, егер бас диагональдың бір жағындағы барлық элементтер нөлге тең болса:

жоғарғы төменгі

үшбұрышты матрица үшбұрышты матрица

Квадрат матрица үшін тұжырымдама енгізілген: матрицаның детерминанты... Бұл матрица элементтерінен тұратын детерминант. Көрсетілген:

Сәйкестік матрицасының детерминанты 1: 1-ге тең екені түсінікті E½ \u003d 1

ПІКІР. Квадрат емес матрицада детерминант болмайды.

Егер квадрат матрицаның детерминанты нөлге тең болмаса, онда матрица деп аталады деградацияланбаған, егер детерминант нөлге тең болса, онда матрица деп аталады азғындау.

АНЫҚТАМА 5. Оның қатарларын бірдей сандармен бағандарға ауыстыру арқылы алынған матрица деп аталады берілгенге ауыстырылды.

Матрица ауыстырылды ЖӘНЕ, белгілеу A T.

МЫСАЛ.

3 3 2

АНЫҚТАМА.Бірдей өлшемдегі екі матрица деп аталады тең, егер олардың барлық сәйкес элементтері тең болса .

Матрицалардағы амалдарды қарастырайық.

МАТРИЦАЛАР ҚОСУ.

Қосу операциясы тек бірдей өлшемдегі матрицалар үшін енгізіледі.

АНЫҚТАМА 7. Екі матрицаның қосындысы A \u003d (a) мен j ) және B \u003d ( b i j ) бірдей өлшем матрица деп аталады С \u003d (бірге мен j) бірдей өлшемді, оның элементтері матрица мүшелерінің сәйкес элементтерінің қосындыларына тең, яғни. бастап i j \u003d a i j + b i j

Матрицалардың қосындысы белгіленеді A + B.

МЫСАЛ.

МАТРИЗАЛАРДЫ НАҚТЫ Мультипликациялау

АНЫҚТАМА 8.Матрицаны санға көбейту үшінк, сізге матрицаның әрбір элементін осы санға көбейту керек:

егер а A \u003d(және мен j )содан кейін к · A= (к · а мен j )

МЫСАЛ.

МАТРИКС ҚОСУ ЖӘНЕ САН БОЙЫНША Мультипликация қасиеттері

1. Қоныс аудару қасиеті: A + B \u003d B + A

2. Аралас мүлік: (A + B) + C \u003d A + (B + C)

3. Тарату қасиеті: к · (A + B) = к A + к Bқайда к – нөмір

MATRIX Мультипликациясы

Матрица ЖӘНЕматрицасы бар глобула деп аталады INегер матрица бағандарының саны болса ЖӘНЕ матрицаның жолдарының санына тең IN, яғни матрицалар үшін матрица ЖӘНЕ мөлшері бар м ´ n , матрица IN мөлшері бар n ´ к . Квадрат матрицалар сәйкес келеді, егер олар бірдей тәртіпте болса.

АНЫҚТАМА 9.Өлшемді А матрицасының өнімім ´ n бір матрица үшін В өлшеміn ´ к өлшемді С матрицасы деп аталадым ´ коның элементі а мен j орналасқанмен -Осы жол жәнеj - баған, элементтер көбейтіндісінің қосындысына теңмен - сәйкес элементтерге А матрицасының үшінші қатарыj - В матрицасының бағанасы, яғни.

c мен j = а мен 1 б 1 j + а мен 2 б 2 j +……+ а мен n б n j

Біз мынаны белгілейміз: C \u003d A· IN.

содан кейін

Композиция IN´ ЖӘНЕ мағынасы жоқ, өйткені матрицалар

келісілмеген.

ЕСКЕРТПЕ 1. Егер ЖӘНЕ´ IN онда мағынасы бар IN´ ЖӘНЕ мағынасы болмауы мүмкін.

ЕСКЕРТУ 2. Егер бұл мағынасы болса ЖӘНЕ´ IN және IN´ ЖӘНЕ, содан кейін, жалпы айтқанда

ЖӘНЕ´ IN ¹ IN´ ЖӘНЕ, яғни матрицаны көбейтудің транспозиция заңы жоқ.

ЕСКЕРТПЕ 3. Егер ЖӘНЕБұл квадрат матрица және EСонымен, сәйкестілік матрицасы сол тәртіпте бола ма? ЖӘНЕ´ E= E´ A \u003d A.

Осыдан шығатыны, сәйкестендіру матрицасы көбейту кезінде бірлік рөлін атқарады.

МЫСАЛДАР... Мүмкіндігінше табыңыз, ЖӘНЕ´ IN және IN´ ЖӘНЕ.

Шешім: Бірдей екінші ретті квадрат матрицалар бір ретпен сәйкес келеді, сондықтан ЖӘНЕ´ IN және IN´ ЖӘНЕ бар.