Теңдеу және оның түбірлері: анықтамалар, мысалдар. Қандай теңдеудің түбірі жоқ? Теңдеулердің мысалдары Теңдеудің шексіз түбірі болғанда

Теңдіктер туралы жалпы түсінік алып, олардың түрлерінің бірімен - сандық теңдіктермен таныса отырып, теңдеулер туралы практикалық тұрғыдан тағы бір өте маңызды формалар туралы айтуға болады. Бұл мақалада біз талдаймыз теңдеу дегеніміз не, және теңдеудің түбірі деп не аталады. Мұнда біз сәйкес анықтамаларды береміз, сонымен қатар теңдеулер мен олардың түбірлеріне әр түрлі мысалдар келтіреміз.

Бетті шарлау.

Теңдеу дегеніміз не?

Теңдеулерге бағытталған кіріспе әдетте 2-сыныптан басталады. Осы уақытта келесілер келтірілген теңдеудің анықтамасы:

Анықтама.

Теңдеу Табылатын белгісіз саннан тұратын теңдік пе?

Теңдеулердегі белгісіз сандар, әдетте, кіші латын әріптері арқылы белгіленеді, мысалы, p, t, u және т.с.с., бірақ көбінесе х, у және z әріптері қолданылады.

Сонымен, теңдеу белгілеу формасы бойынша анықталады. Басқаша айтқанда, теңдік - бұл белгіленген нота ережелеріне бағынған кездегі теңдеу, онда оның мәнін тапқыңыз келетін әріп болады.

Мұнда ең алғашқы және қарапайым теңдеулерге мысалдар келтірілген. Х \u003d 8, у \u003d 3 және т.с.с теңдеулерден бастайық. Құрамында сандар мен әріптермен қатар арифметикалық амалдардың белгілері бар теңдеулер біршама күрделенген, мысалы, x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2.

Теңдеулердің әртүрлілігі танысқаннан кейін өседі - жақшалары бар теңдеулер пайда бола бастайды, мысалы, 2 (x - 1) \u003d 18 және x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. Теңдеудегі белгісіз әріп бірнеше рет пайда болуы мүмкін, мысалы, x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9, әріптер теңдеудің сол жағында, оның оң жағында немесе теңдеудің екі жағында да болуы мүмкін, мысалы, х (3 + 1) -4 \u003d 8, 7−3 \u003d z + 1 немесе 3x - 4 \u003d 2 (x + 12).

Әрі қарай, натурал сандарды зерттегеннен кейін бүтін сандармен, рационалды, нақты сандармен танысу пайда болады, жаңа математикалық объектілер зерттеледі: дәрежелер, түбірлер, логарифмдер және т.с.с., сонымен қатар осы заттарды қамтитын теңдеулердің жаңа түрлері пайда болады. Олардың мысалдарын мақаладан табуға болады теңдеулердің негізгі түрлерімектепте оқу.

7-сыныпта әріптермен бірге олар белгілі бір сандарды білдіретіндіктен, әр түрлі мағынаға ие бола алатын әріптерді қарастыра бастайды, оларды айнымалы деп атайды (мақаланы қараңыз). Бұл жағдайда «айнымалы» сөзі теңдеудің анықтамасына енеді және ол келесідей болады:

Анықтама.

Теңдеу мәні табылуы керек айнымалыны қамтитын теңдік.

Мысалы, x + 3 \u003d 6 x + 7 теңдеуі - айнымалысы бар теңдеу, ал 3 · z - 1 + z \u003d 0 - өзгермелі z.

Сол 7-сыныптағы алгебра сабағында олардың жазбасында бір емес, екі түрлі белгісіз айнымалылар болатын теңдеулермен кездесу болады. Олар екі айнымалыдағы теңдеулер деп аталады. Болашақта теңдеулерде үш немесе одан да көп айнымалылардың болуына жол беріледі.

Анықтама.

Бір, екі, үш және т. айнымалылар - бұл сәйкесінше бір, екі, үш, ... белгісіз айнымалылардан тұратын теңдеулер.

Мысалы, 3.2 x + 0.5 \u003d 1 теңдеуі - бір айнымалысы бар теңдеу, ал х - у \u003d 3 түріндегі теңдеу екі айнымалысы бар x және y болатын теңдеу. Тағы бір мысал: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27. Мұндай теңдеу x, y және z белгісіз үш айнымалысы бар теңдеу екендігі түсінікті.

Теңдеудің түбірі неде?

Теңдеудің анықтамасы осы теңдеудің түбірін анықтауға тікелей байланысты. Теңдеудің түбірі неде екенін түсінуге көмектесетін бірнеше дәлел келтірейік.

Бізде бір әріптен тұратын (айнымалы) теңдеу бар делік. Егер осы теңдеу жазбасына енгізілген әріптің орнына сан ауыстырылса, онда теңдеу сандық теңдікке айналады. Сонымен қатар, теңдік шын және жалған болуы мүмкін. Мысалы, a + 1 \u003d 5 теңдеуіндегі а әрпінің орнына 2 санын ауыстырсаңыз, қате сандық 2 + 1 \u003d 5 теңдігі шығады. Егер осы теңдеудегі а санын 4 санымен алмастырсақ, онда 4 + 1 \u003d 5 дұрыс теңдігі шығады.

Іс жүзінде, жағдайлардың басым көпшілігінде айнымалының мұндай мәндері қызығушылық тудырады, оларды теңдеуге ауыстыру дұрыс теңдік береді, бұл мәндер осы теңдеудің түбірлері немесе шешімдері деп аталады.

Анықтама.

Теңдеудің түбірі Әріптің мәні (айнымалысы), ауыстырылған кезде теңдеу шынайы сандық теңдікке айналады.

Бір айнымалыдағы теңдеудің түбірі теңдеудің шешімі деп те аталатынын ескеріңіз. Басқаша айтқанда, теңдеудің шешімі мен теңдеудің түбірі бір нәрсе.

Осы анықтаманы мысалмен түсіндірейік. Ол үшін жоғарыдағы a + 1 \u003d 5 теңдеуіне ораламыз. Теңдеу түбірінің анықталған анықтамасына сәйкес, 4 саны осы теңдеудің түбірі болып табылады, өйткені бұл санды а әрпінің орнына қойған кезде біз дұрыс теңдікті аламыз 4 + 1 \u003d 5, ал 2 саны оның түбірі емес, өйткені ол 2 + 1 түріндегі қате теңдікке сәйкес келеді. бес .

Осы кезде бірқатар табиғи сұрақтар туындайды: «Кез келген теңдеудің түбірі бар ма, және берілген теңдеудің неше түбірі бар?». Біз оларға жауап береміз.

Түбірлері бар теңдеулер де, түбірлері жоқ теңдеулер де бар. Мысалы, x + 1 \u003d 5 теңдеуінің түбірі 4-ке тең, ал 0 х \u003d 5 теңдеуінің түбірі жоқ, өйткені осы теңдеуде x айнымалысының орнына қандай санды қойсақ та, 0 \u003d 5 қате теңдігін аламыз.

Теңдеудің түбірлерінің санына келетін болсақ, түбірлердің белгілі бір ақырғы санына ие теңдеулер де (түбірлер, екі, үш және т.б.) және шексіз көп түбірлер болатын теңдеулер де бар. Мысалы, x - 2 \u003d 4 теңдеуінің ерекше түбірі 6, х 2 \u003d 9 теңдеуінің түбірлері −3 және 3 сандары, х (х - 1) (х - 2) \u003d 0 теңдеуінің үш түбірі 0, 1 және 2, ал х \u003d х теңдеуінің шешімі кез-келген сан, яғни оның шексіз түбірлер жиынтығы болады.

Теңдеу түбірлерінің қабылданған жазуы туралы бірнеше сөз айту керек. Егер теңдеудің түбірі болмаса, онда олар «теңдеудің түбірі жоқ» деп жазады немесе бос set таңбасын қолданады. Егер теңдеудің түбірлері болса, онда олар үтірлермен бөлініп жазылады немесе түрінде жазылады жиын элементтері бұйра жақшаларда. Мысалы, егер теңдеудің түбірлері −1, 2 және 4 сандары болса, онда олар −1, 2, 4 немесе (−1, 2, 4) жазады. Теңдеудің түбірлерін қарапайым теңдіктер түрінде жазуға да рұқсат етіледі. Мысалы, егер x әрпі теңдеуге кірсе, және осы теңдеудің түбірлері 3 пен 5 сандары болса, онда сіз x \u003d 3, x \u003d 5 деп жазуға болады, сонымен қатар айнымалы көбіне x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 жазуларымен қосылады, сандарды көрсеткендей теңдеудің түбірлері. Теңдеудің шексіз түбірлер жиыны әдетте түрінде жазылады; сонымен қатар, егер мүмкін болса, онда олар табиғи натурал сандар жиынтығы, Z бүтін сандар, нақты сандар R белгілерін қолданады. Мысалы, егер x айнымалысы бар теңдеудің түбірі кез келген бүтін сан болса, онда жазыңыз, ал y айнымалысы бар теңдеудің түбірлері 1-ден 9-ға дейінгі кез-келген нақты сан болса, жазыңыз.

Екі, үш және одан да көп айнымалысы бар теңдеулер үшін, әдетте, «теңдеу түбірі» термині қолданылмайды, бұл жағдайда олар «теңдеу шешімі» дейді. Бірнеше айнымалылардағы теңдеулерді шешу деп не аталады? Тиісті анықтама берейік.

Анықтама.

Екі, үш және т.б теңдеулерді шешу. айнымалылар ерлі-зайыптыларға, үшке және т.б. осы теңдеуді нақты сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың мәні.

Бірнеше мысал келтірейік. X + y \u003d 7 екі айнымалысындағы теңдеуді қарастырайық. Ондағы х-тің орнына 1 санын, ал у-ның орнына 2 санын қойып, бізде 1 + 2 \u003d 7 теңдігі болады. Әрине, бұл дұрыс емес, сондықтан x \u003d 1, y \u003d 2 мәндерінің жұбы жазылған теңдеудің шешімі емес. Егер біз x \u003d 4, y \u003d 3 мәндерінің жұбын алсақ, онда теңдеуге ауыстырғаннан кейін біз 4 + 3 \u003d 7 дұрыс теңдігіне келеміз, демек, айнымалылардың бұл жұп мәні анықтама бойынша x + y \u003d 7 теңдеуінің шешімі болады.

Бір айнымалысы бар теңдеулер сияқты бірнеше айнымалысы бар теңдеулерде түбірлер болмауы, түбірлердің ақырғы санына ие болуы немесе шексіз көп түбірлерге ие болуы мүмкін.

Жұп, үш, төрт және т.б. айнымалы мәндер көбінесе қысқаша жазылады, олардың мәндерін жақша ішінде үтірмен бөліп жазады. Бұл жағдайда жақшаға жазылған сандар алфавиттік ретпен айнымалыларға сәйкес келеді. Алдыңғы x + y \u003d 7 теңдеуіне оралу арқылы осы тармақты нақтылайық. Осы теңдеудің шешімі x \u003d 4, y \u003d 3 (4, 3) түрінде қысқаша жазуға болады.

Мектепте математика, алгебра курсында және анализдің басталуында бір айнымалысы бар теңдеулердің түбірлерін табуға көп көңіл бөлінеді. Біз осы процестің ережелерін мақалада егжей-тегжейлі талдаймыз. теңдеулерді шешу.

Әдебиеттер тізімі.

• Математика... 2 кл. Оқулық. жалпы білім беру үшін. мекемелермен бірге электронға тасымалдаушы. 14.00-де 1-бөлім / [М. И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Белтюкова және басқалар] - 3-ші басылым. - М.: Просвешение, 2012. - 96 б.: Ауру. - (Ресей мектебі). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра: оқу. 7 кл. жалпы білім беру. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. Теляковский. - 17-ші басылым - М .: Білім, 2008 .– 240 б. : ауру. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9-сынып: оқулық. жалпы білім беру үшін. мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. Теляковский. - 16-шы басылым - М .: Білім, 2009 .– 271 б. : ауру. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Теңдіктер ұғымын, атап айтқанда олардың бір түрі - сандық теңдіктерді зерттеп болғаннан кейін, біз басқа маңызды түрге - теңдеулерге ауыса аламыз. Осы материал аясында біз теңдеу және оның түбірі не екенін түсіндіреміз, негізгі анықтамаларды тұжырымдаймыз және теңдеулер мен олардың түбірлерін табуға әр түрлі мысалдар келтіреміз.

Теңдеу туралы түсінік

Әдетте, теңдеу ұғымы мектептегі алгебра курсының басында зерттеледі. Содан кейін ол келесідей анықталады:

Анықтама 1

Теңдеу табуға болатын белгісіз санмен теңдік деп аталады.

Белгісіздерді латын әріптерімен, мысалы, t, r, m және т.б әріптермен белгілеу әдетке айналған, бірақ көбінесе x, y, z қолданылады. Басқаша айтқанда, теңдеу оны жазудың формасын анықтайды, яғни теңдік оны белгілі бір формаға келтіргенде ғана теңдеу болады - онда әріпті, мәнді табу керек.

Ең қарапайым теңдеулерге бірнеше мысал келтірейік. Бұл х \u003d 5, у \u003d 6 және т.с.с. теңдеулер, сондай-ақ арифметикалық амалдарды қамтитындар болуы мүмкін, мысалы, x + 7 \u003d 38, z - 4 \u003d 2, 8 t \u003d 4, 6: x \u003d 3.

Жақша ұғымы зерттелгеннен кейін жақшалы теңдеулер ұғымы пайда болады. Оларға 7 (x - 1) \u003d 19, x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3 және т.б. жатады. Табылатын әріп бір рет емес, бірнеше рет болуы мүмкін, мысалы, мысалы, x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10 теңдеуінде. Сондай-ақ, белгісіздер сол жақта ғана емес, оң жақта да, екі бөлікте де бір уақытта орналасуы мүмкін, мысалы, x (8 + 1) - 7 \u003d 8, 3 - 3 \u003d z + 3 немесе 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

Бұдан әрі студенттер бүтін сандар, нақты, рационал, натурал сандар ұғымымен, сондай-ақ логарифмдермен, түбірлермен және дәрежелермен танысқаннан кейін, осы объектілерді қамтитын жаңа теңдеулер пайда болады. Осындай өрнектердің мысалдарына біз жеке мақала арнадық.

7-сынып бағдарламасында айнымалылар ұғымы алғаш рет пайда болады. Бұл әр түрлі мағынаға ие болатын әріптер (толығырақ сандық, әріптік және айнымалы өрнектер туралы мақаланы қараңыз). Осы тұжырымдама негізінде біз теңдеуді қайта анықтай аламыз:

Анықтама 2

Теңдеу Бұл сіз бағалағыңыз келетін айнымалыны қамтитын теңдік.

Яғни, мысалы, x + 3 \u003d 6 x + 7 өрнегі - айнымалысы бар теңдеу, ал 3 y - 1 + y \u003d 0 - айнымалысы бар теңдеу.

Бір теңдеуде бір айнымалы емес, екі немесе одан да көп болуы мүмкін. Олар сәйкесінше екі, үш айнымалысы бар теңдеулер деп аталады және т.б. Анықтаманы жазайық:

Анықтама 3

Екі (үш, төрт немесе одан да көп) айнымалысы бар теңдеулер - белгісіздердің тиісті санын қамтитын теңдеулер.

Мысалы, 3, 7 x + 0, 6 \u003d 1 түріндегі теңдік - бұл бір айнымалысы бар теңдеу, ал x - z \u003d 5 - екі айнымалысы бар x және z. Үш айнымалысы бар теңдеудің мысалы x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 \u003d 26 болады.

Теңдеудің түбірі

Біз теңдеу туралы айтқан кезде оның түбірі туралы ұғымды анықтау қажет болады. Оның мағынасын түсіндіруге тырысайық.

1-мысал

Бізге бір айнымалыны қамтитын қандай да бір теңдеу берілген. Егер біз белгісіз әріпке санды алмастыратын болсақ, онда теңдеу сандық теңдікке айналады - ақиқат немесе жалған. Сонымен, егер a + 1 \u003d 5 теңдеуінде әріпті 2 санымен алмастырсақ, онда теңдік қате болады, ал егер 4 болса, онда 4 + 1 \u003d 5 дұрыс теңдігін аламыз.

Бізді айнымалы дұрыс теңдікке айналатын мәндер көбірек қызықтырады. Оларды тамырлар немесе ерітінділер деп атайды. Анықтамасын жазып алайық.

Анықтама 4

Теңдеудің түбірі берілген теңдеуді шын теңдікке айналдыратын айнымалының мәні деп аталады.

Түбірді шешім деп те атауға болады, немесе керісінше - бұл екі ұғым да бір мағынаны білдіреді.

2-мысал

Осы анықтаманы нақтылау үшін мысал келтірейік. Жоғарыда біз a + 1 \u003d 5 теңдеуін бердік. Анықтама бойынша, бұл жағдайда түбір 4 болады, өйткені әріптің орнына ауыстырған кезде ол дұрыс сандық теңдікті береді, ал екеуі шешім болмайды, өйткені ол 2 + 1 \u003d 5 дұрыс емес теңдікке сәйкес келеді.

Бір теңдеудің неше түбірі болуы мүмкін? Кез-келген теңдеудің түбірі бар ма? Осы сұрақтарға жауап берейік.

Бір түбірі жоқ теңдеулер де бар. Мысал 0 x \u003d 5 болады. Біз оған әр түрлі сандарды алмастыра аламыз, бірақ олардың ешқайсысы оны шын теңдікке айналдырмайды, өйткені 0-ге көбейту әрқашан 0-ге тең болады.

Бірнеше түбірден тұратын теңдеулер де бар. Олардың түбірлері де шексіз және шексіз көп болуы мүмкін.

3-мысал

Сонымен, x - 2 \u003d 4 теңдеуінде бір ғана түбір бар - алтау, х 2 \u003d 9 екі түбір - үш және минус үш, х (х - 1) (х - 2) \u003d 0 үш түбір - нөл, бір және екеуі, х \u003d х теңдеуінде шексіз көп түбірлер бар.

Енді теңдеудің түбірлерін қалай дұрыс жазуға болатынын түсіндірейік. Егер олар жоқ болса, онда біз былай жазамыз: «теңдеудің түбірі жоқ». Бұл жағдайда бос жиынтықтың sign белгісін де көрсетуге болады. Егер тамырлар болса, оларды үтірлермен бөліп жазамыз немесе оларды жиынтықтың элементтері ретінде көрсетеміз, оларды бұйра жақшаға қоршаймыз. Сонымен, егер қандай да бір теңдеудің үш түбірі болса - 2, 1 және 5, онда біз жазамыз - 2, 1, 5 немесе (- 2, 1, 5).

Тамырларды қарапайым теңдіктер түрінде жазуға рұқсат етіледі. Сонымен, егер теңдеудегі белгісізді у әрпімен белгілеп, түбірлері 2 мен 7 болса, онда у \u003d 2 және у \u003d 7 деп жазамыз. Кейде әріптерге жазулар қосылады, мысалы, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Осылайша, біз тамырлардың сандарын көрсетеміз. Егер теңдеуде шексіз көп шешім болса, онда біз жауапты интервал түрінде жазамыз немесе жалпы қабылданған белгіні қолданамыз: натурал сандар жиыны N, бүтін сандар - Z, нақты - R арқылы белгіленеді. Мысалы, егер бізге теңдеудің шешімі кез-келген бүтін сан болатынын жазу керек болса, онда x ∈ Z деп жазамыз, ал егер бірден тоғызға дейінгі нақты болса, онда ∈ 1, 9 болады.

Егер теңдеуде екі, үш немесе одан да көп түбірлер болса, онда, әдетте, түбірлер туралы емес, теңдеудің шешімдері туралы айтады. Бірнеше айнымалыдағы теңдеу шешімінің анықтамасын тұжырымдайық.

Анықтама 5

Екі, үш немесе одан да көп айнымалысы бар теңдеудің шешімі - берілген теңдеуді шынайы сандық теңдікке айналдыратын айнымалылардың екі, үш немесе одан көп мәні.

Анықтаманы мысалдармен түсіндірейік.

4 мысал

Бізде екі айнымалыдағы теңдеу болатын x + y \u003d 7 өрнегі бар делік. Біріншісінің орнына біреуін, екіншісінің орнына екеуін ауыстырайық. Біз қате теңдікті аламыз, яғни бұл мәндер жұбы бұл теңдеудің шешімі болмайды. Егер 3 пен 4-тің жұбын алсақ, онда теңдік шындыққа айналады, демек, біз шешімін таптық.

Мұндай теңдеулерде түбірлер болмауы немесе олардың шексіз саны болуы мүмкін. Егер бізге екі, үш, төрт немесе одан да көп мәндер жазу керек болса, онда оларды жақшаның ішіне үтірлермен бөліп жазамыз. Яғни, жоғарыдағы мысалда жауап (3, 4) сияқты болады.

Іс жүзінде көбіне бір айнымалысы бар теңдеулермен айналысу керек. Оларды шешу алгоритмін теңдеулерді шешуге арналған мақалада егжей-тегжейлі қарастырамыз.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Математикадағы теңдеулер шешімі ерекше орын алады. Бұл процестің алдында көптеген сағаттық теориялар оқылады, бұл кезде студент теңдеулерді шешудің жолдарын үйренеді, олардың түрін анықтайды және автоматизмді аяқтауға дағдыландырады. Алайда тамырларды іздеу әрдайым мағыналы бола бермейді, өйткені олар жай болмауы да мүмкін. Тамыр табудың арнайы әдістері бар. Бұл мақалада біз негізгі функцияларды, олардың анықталу салаларын, сондай-ақ олардың тамыры жоғалған жағдайларды талдаймыз.

Қандай теңдеудің түбірі жоқ?

Егер теңдеу бірдей болатын нақты аргументтер болмаса, теңдеудің түбірі болмайды. Қарапайым адам үшін бұл тұжырым, көптеген математикалық теоремалар мен формулалар сияқты, өте түсініксіз және дерексіз болып көрінеді, бірақ бұл теория жүзінде. Іс жүзінде бәрі өте қарапайым болады. Мысалы: 0 * x \u003d -53 теңдеуінің шешімі жоқ, өйткені нөлдік көбейтіндісі нөлден басқасын беретін ондай х саны жоқ.

Енді теңдеулердің ең қарапайым түрлерін қарастырамыз.

1. Сызықтық теңдеу

Егер оның оң және сол жақтары сызықтық функциялар түрінде көрсетілсе, теңдеу сызықтық деп аталады: ax + b \u003d cx + d немесе жалпыланған түрде kx + b \u003d 0. Мұндағы a, b, c, d белгілі сандар, ал x - белгісіз мән ... Қандай теңдеудің түбірі жоқ? Сызықтық теңдеулердің мысалдары төмендегі суретте көрсетілген.

Негізінде сызықтық теңдеулер сандық бөлікті бір бөлікке, ал х-мен мазмұнын екінші бөлікке ауыстыру арқылы шешіледі. Mx \u003d n түріндегі теңдеу алынады, мұндағы m және n сандар, ал х белгісіз. Х-ті табу үшін екі бөлікті де m-ге бөлу жеткілікті. Сонда x \u003d n / m. Жалпы, сызықтық теңдеулерде тек бір ғана түбір бар, бірақ шексіз көп түбірлер болатын немесе мүлдем болмайтын жағдайлар бар. M \u003d 0 және n \u003d 0 үшін теңдеу 0 * x \u003d 0 түрін алады. Мұндай теңдеудің шешімі кез келген сан болады.

Алайда, қандай теңдеудің түбірі жоқ?

M \u003d 0 және n \u003d 0 үшін теңдеудің нақты сандар жиынында түбірі болмайды. 0 * x \u003d -1; 0 * x \u003d 200 - бұл теңдеулерде түбірлер жоқ.

2. Квадрат теңдеу

Квадрат теңдеу деп a \u003d 0 үшін ax 2 + bx + c \u003d 0 түріндегі теңдеуді айтады. Ең кең таралған шешім - бұл дискриминант арқылы. Квадрат теңдеудің дискриминантын табудың формуласы: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Әрі қарай x 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a екі түбір бар.

D\u003e 0 үшін теңдеудің екі түбірі бар, D \u003d 0 үшін оның бір түбірі бар. Бірақ қандай квадрат теңдеудің түбірі жоқ? Квадрат теңдеудің түбірлерінің санын байқаудың ең қарапайым тәсілі - парабола болып табылатын функционалдық графикадан. \u003e 0 үшін бұтақтар жоғарыға бағытталған, а< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Дискриминантты есептемей-ақ тамырлардың санын визуалды түрде анықтауға болады. Ол үшін параболаның шыңын тауып, бұтақтардың қай бағытқа бағытталғанын анықтау керек. Төбенің х координатасын формула арқылы анықтауға болады: x 0 \u003d -b / 2a. Бұл жағдайда шыңның у-координаты бастапқы теңдеуге x 0-ді жай қою арқылы табылады.

X 2 - 8x + 72 \u003d 0 квадрат теңдеуінің түбірлері жоқ, өйткені D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224 теріс дискриминанты бар. Бұл парабола абсцисса осіне жанаспайды және функция ешқашан 0 мәнін қабылдамайды дегенді білдіреді, сондықтан теңдеудің нақты түбірлері жоқ.

3. Тригонометриялық теңдеулер

Тригонометриялық функциялар тригонометриялық шеңберде қарастырылады, бірақ оларды декарттық координаттар жүйесінде де ұсынуға болады. Бұл мақалада біз екі негізгі тригонометриялық функцияны және олардың теңдеулерін қарастырамыз: sinx және cosx. Бұл функциялар радиусы 1 тригонометриялық шеңбер құрайтындықтан, | sinx | және | cosx | 1-ден үлкен бола алмайды. Сонымен, қандай теңдеудің тамыры жоқ? Төмендегі суретте көрсетілген sinx функциясының графигін қарастырыңыз.

Функция симметриялы және қайталау кезеңі 2pi болатынын көреміз. Осыған сүйене отырып, бұл функцияның максималды мәні 1, ал минимум -1 болуы мүмкін деп айта аламыз. Мысалы, cosx \u003d 5 өрнегінің түбірлері болмайды, өйткені модулі біреуінен үлкен.

Бұл тригонометриялық теңдеулердің қарапайым мысалы. Шындығында, оларды шешу көптеген парақтарды алуы мүмкін, олардың соңында сіз формуланы дұрыс қолданбағаныңызды және бәрін қайтадан бастауыңыз керек екенін түсінесіз. Кейде, тіпті тамырларды дұрыс тапқан кезде де, LDV-дегі шектеулерді ескеруді ұмытып кетуге болады, сол себепті жауапта қосымша түбір немесе интервал пайда болып, бүкіл жауап қатеге айналады. Сондықтан барлық шектеулерді қатаң сақтаңыз, өйткені барлық тамырлар тапсырма шеңберіне сәйкес келмейді.

4. Теңдеулер жүйесі

Теңдеулер жүйесі - бұйра немесе төртбұрышты жақшалармен біріктірілген теңдеулер жиынтығы. Бұйра жақшалар барлық теңдеулердің бірлесіп орындалуын білдіреді. Яғни, егер теңдеулердің ең болмағанда біреуінің түбірі болмаса немесе екіншісіне қайшы келсе, бүкіл жүйенің шешімі жоқ. Төрт жақшалар «немесе» сөзін білдіреді. Бұл дегеніміз, егер жүйенің теңдеулерінің кем дегенде біреуінің шешімі болса, онда бүкіл жүйенің шешімі бар.

С жүйесінің жауабы - бұл жеке теңдеулердің барлық түбірлерінің жиынтығы. Бұйра брекет жүйелерінің тек ортақ тамырлары бар. Теңдеулер жүйелерінде әр түрлі функциялар болуы мүмкін, сондықтан мұндай күрделілік қандай теңдеудің түбірі жоқ екенін бірден айтуға мүмкіндік бермейді.

Проблемалық кітаптар мен оқулықтарда теңдеулердің әр түрлі түрлері бар: түбірлері бар, ал жоқтары. Біріншіден, тамыр таба алмасаңыз, мүлдем жоқ деп ойламаңыз. Мүмкін сіз бір жерден қателескен шығарсыз, сонда шешіміңізді мұқият тексеріп алу жеткілікті.

Біз ең негізгі теңдеулерді және олардың түрлерін қарастырдық. Енді қандай теңдеудің түбірі жоқ екенін білуге \u200b\u200bболады. Көп жағдайда бұл қиын емес. Теңдеулерді шешуде сәттілік тек назар мен зейінді қажет етеді. Көбірек тәжірибе жасаңыз, бұл сізге материалды әлдеқайда жақсы және жылдам басқаруға көмектеседі.

Сонымен, теңдеудің түбірі жоқ, егер:

• mx \u003d n сызықтық теңдеуінде m \u003d 0 және n \u003d 0 мәні;
• квадрат теңдеуде, егер дискриминант нөлден аз болса;
• cosx \u003d m / sinx \u003d n түріндегі тригонометриялық теңдеуде, егер | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• егер кем дегенде бір теңдеудің түбірі болмаса, қисық жақшалы теңдеулер жүйесінде, ал егер барлық теңдеулерде түбірлер болмаса квадрат жақшада.