Күрделі бөлшек рационал теңдеулерді шешу жолы. Рационал теңдеулер - Knowledge Hypermarket. «Бөлшек рационал теңдеулерді шешу»

\(\таңбалау\) Рационал теңдеу \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] түрінде берілген теңдеу, мұнда \(P(x), \Q(x)\ ) - көпмүшеліктер (әртүрлі дәрежедегі «Х»-тердің қосындысы, әртүрлі сандарға көбейтілген).
Теңдеудің сол жағындағы өрнек рационал өрнек деп аталады.
Рационал теңдеудің EA (қабылданатын мәндер диапазоны) - бөлгіш ЖОҚПАЙТЫН \(x\) барлық мәндері, яғни \(Q(x)\ne 0\) .
\(\марк\) Мысалы, теңдеулер \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]рационал теңдеулер болып табылады.
Бірінші теңдеуде ODZ барлығы \(x\) \(x\ne 3\) болатындай (жазыңыз) \(x\in (-\infty;3)\кесе(3;+\infty)\)); екінші теңдеуде – бұлардың барлығы \(x\) \(x\ne -1; x\ne 1\) (жазыңыз) \(x\in (-\infty;-1)\кесе(-1;1)\кесе(1;+\infty)\)); ал үшінші теңдеуде ODZ бойынша шектеулер жоқ, яғни ODZ барлығы \(x\) (олар \(x\in\mathbb(R)\) деп жазады). \(\таңбалы\) Теоремалар:
1) Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, егер олардың біреуі нөлге тең болса, ал екіншісі мағынасын жоғалтпаса, сондықтан \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) жүйеге тең \[\begin(жағдайлар) \left[ \begin(жиналған)\begin(тураланған) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \соңы(тураланған) \соңы(жиналған) \оңға.\\ \ мәтін(ODZ теңдеулері) \соңы(регистрлер)\] 2) Бөлшек нөлге тең, егер алым нөлге тең болса және бөлгіш нөлге тең болмаса, сондықтан \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) теңдеулер жүйесіне тең \[\бастау(жағдайлар) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \соңы(жағдайлар)\]\(\bullet\) Бірнеше мысалды қарастырайық.

1) \(x+1=\dfrac 2x\) теңдеуін шешіңіз. Осы теңдеудің ODZ мәнін табайық - бұл \(x\ne 0\) (себебі \(x\) бөлгіште).
Бұл ОДЗ келесі түрде жазылуы мүмкін екенін білдіреді: .
Барлық терминдерді бір бөлікке жылжытып, оларды ортақ бөлгішке келтірейік: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Сол оң жақ көрсеткі\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrighterrow\quad \begin( жағдайлар) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(жағдайлар)\]Жүйенің бірінші теңдеуінің шешімі \(x=-2, x=1\) болады. Екі түбірдің де нөл емес екенін көреміз. Демек, жауап: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Теңдеуді шеш \(\сол(\dfrac4x - 2\оң)\cdot (x^2-x)=0\). Осы теңдеудің ODZ мәнін табайық. Сол жағы мағынасы жоқ \(x\) жалғыз мәні \(x=0\) екенін көреміз. Сонымен, ODZ келесідей жазылуы мүмкін: \(x\in (-\infty;0)\кесе(0;+\infty)\).
Осылайша, бұл теңдеу жүйеге эквивалентті:

\[\begin(жағдайлар) \left[ \begin(жиналды)\begin(тураланған) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(тураланған) \end(жиналған) \оңға. \\ x\ne 0 \соңы(жағдайлар) \төрт \Сол оң жақ көрсеткі \төрт \бастау(жағдайлар) \left[ \бастау(жиналған)\бастау(тураланған) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \соңы(тураланған) \соңы(жиналған) \оңға.\\ x\ne 0 \соңы(жағдайлар) \төрт \Сол оң жақ көрсеткі \төрт \бастау(жағдайлар) \left[ \бастау(жиналған)\бастау(тураланған) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \соңы(тураланған) \соңы(жиналған) \оңға.\\ x\ne 0 \соңы(жағдайлар) \quad \сол жақ көрсеткі \quad \left[ \бастау(жиналған) \бастау(тураланған) &x=2\\ &x=1 \соңы(тураланған) \соңы(жиналған) \оңға.\]Шынында да, \(x=0\) екінші фактордың түбірі болғанымен, бастапқы теңдеуге \(x=0\) ауыстырсаңыз, онда оның мағынасы болмайды, өйткені \(\dfrac 40\) өрнегі анықталмаған.
Осылайша, бұл теңдеудің шешімі \(x\in \(1;2\)\) болады.

3) Теңдеуді шеш \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]Біздің теңдеуімізде \(4x^2-1\ne 0\) , одан \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , яғни \(x\ne -\frac12; \frac12) \) .
Барлық терминдерді сол жаққа жылжытып, оларды ортақ бөлгішке келтірейік:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \төрт \Сол оң жақ көрсеткі \төрт \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\төрт \Сол оң жақ көрсеткі \төрт \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \төрт \Сол оң жақ көрсеткі\)

\(\Сол оң жақ көрсеткі \төрт \бастау(жағдайлар) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \соңғы(жағдайлар) \төрт \сол жақ көрсеткі \төрт \бастау(жағдайлар) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \соңы(жағдайлар) \төрт \Сол оң жақ көрсеткі \төрт \бастау(жағдайлар) \left[ \бастау(жиналған) \бастау( тураланған) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \соңы(тураланған)\соңы(жиналған) \оңға.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(регистрлер) \quad \ Сол жақ көрсеткі \төрттік x=-3\)

Жауабы: \(x\in \(-3\)\) .

Пікір. Егер жауап сандардың ақырлы жиынынан тұрса, онда алдыңғы мысалдарда көрсетілгендей, оларды нүктелі үтір арқылы бұйра жақшаға бөліп жазуға болады.

Рационал теңдеулерді шешуді талап ететін есептер жыл сайын математикадан Бірыңғай мемлекеттік емтиханда кездеседі, сондықтан аттестаттау сынағынан өтуге дайындалған кезде түлектер осы тақырып бойынша теорияны өз бетінше қайталауы керек. Емтиханның негізгі деңгейінде де, мамандандырылған деңгейде де тапсыратын түлектер мұндай тапсырмаларды жеңе алуы керек. Теорияны игеріп, «Рационал теңдеулер» тақырыбы бойынша практикалық жаттығуларды орындаған студенттер кез келген әрекеттер санымен есептер шығара алады және Бірыңғай мемлекеттік емтиханда бәсекелестік ұпайларды алуға сенеді.

Школково білім беру порталы арқылы емтиханға қалай дайындалуға болады?

Кейде математикалық есептерді шешудің негізгі теориясын толық ұсынатын дереккөзді табу өте қиын болып шығады. Оқулық қол астында болмауы мүмкін. Ал қажетті формулаларды табу кейде тіпті Интернетте өте қиын болуы мүмкін.

Shkolkovo білім порталы сізді қажетті материалды іздеу қажеттілігінен босатады және сертификаттау сынағынан өтуге жақсы дайындалуға көмектеседі.

Біздің мамандар «Рационал теңдеулер» тақырыбы бойынша барлық қажетті теорияны барынша қолжетімді түрде дайындап, ұсынды. Ұсынылған ақпаратты зерттегеннен кейін студенттер білімдегі олқылықтарды толтыра алады.

Бірыңғай мемлекеттік емтиханға сәтті дайындалу үшін түлектер «Рационал теңдеулер» тақырыбы бойынша негізгі теориялық материалды есте сақтауды ғана емес, сонымен қатар нақты мысалдар арқылы тапсырмаларды орындауға машықтануы керек. Тапсырмалардың үлкен таңдауы «Каталог» бөлімінде берілген.

Сайттағы әрбір жаттығу үшін біздің мамандар шешім алгоритмін жазып, дұрыс жауапты көрсетті. Студенттер өздерінің дағдыларының деңгейіне байланысты әртүрлі қиындық дәрежесіндегі есептерді шешуге машықтана алады. Тиісті бөлімдегі тапсырмалар тізімі үнемі толықтырылып, жаңартылып отырады.

Сіз теориялық материалды оқып, онлайн режимінде Бірыңғай мемлекеттік емтихан сынақтарына енгізілген «Рационалды теңдеулер» тақырыбы бойынша есептерді шешу дағдыларын жетілдіре аласыз. Қажет болса, ұсынылған тапсырмалардың кез келгенін «Таңдаулылар» бөліміне қосуға болады. «Рационал теңдеулер» тақырыбы бойынша негізгі теорияны тағы бір рет қайталай отырып, жоғары сынып оқушысы болашақта алгебра сабағында мұғаліммен оның шешілу барысын талқылау үшін мәселеге қайта оралады.

Құпиялықты сақтау біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялылық тәжірибелерімізді қарап шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыздың кейбір мысалдары берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге бірегей ұсыныстар, жарнамалық акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы сізбен байланысуға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды маңызды хабарламалар мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалана аламыз.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе ұқсас науқанға қатыссаңыз, біз сіз берген ақпаратты осындай бағдарламаларды басқару үшін пайдалана аламыз.

Ақпаратты үшінші тұлғаларға ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке мәліметтеріңізді жария етуге. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық маңызды мақсаттар үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті мұрагерге үшінші тарапқа бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалудан, ұрланудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылығыңызды құрметтеу

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік стандарттарын хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибесін қатаң түрде орындаймыз.

Бөлшек теңдеу дегеніміз – мүшелерінің ең болмағанда біреуі бөлшек болатын, бөлімінде белгісіз болатын теңдеу. Мысалы, бөлшек теңдеу – теңдеу.

Бөлшек теңдеулерді келесі ретпен шешу ыңғайлы:

• теңдеудегі бөлшектердің ортақ бөлімін табыңыз, егер әрбір бөлшек мағынасы болса,
• бұл теңдеуді екі жағын ортақ бөлгішке көбейтіп, бүтінге ауыстыр,
• алынған бүтін теңдеуді шешу,
• оның түбірлерінен ортақ бөлгіш жойылатындарды алып тастаңыз.

1-мысал.Бөлшек теңдеуді шешіңіз:

Шешім. c бөлігінің негізгі қасиетін қолданып, осы теңдеудің сол және оң жақтарын бөлгіші бірдей бөлшектер түрінде елестетейік:

.

Бұл бөлшектер тек алымдары тең және бөлгіші нөлден өзгеше болатын мәндер үшін тең. Егер бөлгіш нөлге тең болса, онда бөлшектер, демек, теңдеу мағынасы жоқ.

Сонымен, бұл теңдеудің түбірін табу үшін теңдеуді шешу керек

Теңдеуді жеңілдетіп (жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерді қосу арқылы) квадрат теңдеу аламыз.

.

Сағат квадрат теңдеуді шешуоның тамырын аламыз:

.

Табылған түбірлер бөлгішті жоғалтпайды, сондықтан олар бастапқы бөлшек теңдеудің түбірлері болып табылады.

2-мысал.Бөлшек теңдеуді шешіңіз:

.

Шешім. Осы бөлшек теңдеуіне кіретін бөлшектердің ортақ бөлімін табайық. Ортақ бөлгіш -

Бастапқы теңдеуді бүтін санмен ауыстырайық. Ол үшін екі бөлікті де ортақ бөлгішке көбейту керек. Біз алып жатырмыз:

Алынған теңдеуде қажетті түрлендірулерді орындап, квадрат теңдеуге келейік

Квадрат теңдеуді шешу, біз оның тамырларын аламыз:

Егер x= -3 болса, онда бірінші қадамда табылған бөлгіш нөлге айналады:

,

бірдей нәрсе, егер x = 3 .

Демек, -3 және 3 сандары бастапқы теңдеудің түбірлері емес және басқа түбірлер табылмағандықтан, бұл теңдеудің шешімі жоқ.

3-мысал.Бөлшек теңдеуді шешіңіз:

.

Шешім. Осы теңдеуге кіретін бөлшектердің ортақ бөлімін табайық. Ол үшін бөлшектердің бөлгіштерін көбейткіштерге бөлеміз:

.

Ортақ бөлгіш - өрнек

Бастапқы теңдеудің екі бөлігін де ортақ бөлгішке көбейтіп, бүтінге ауыстырайық. Біз алып жатырмыз:

Түрлендірулерді орындағаннан кейін квадрат теңдеуге келеміз

.

Квадрат теңдеуді шешу, біз оның тамырларын аламыз:

.

Түбірлердің ешқайсысы ортақ бөлімді жоғалтпайды. Демек, -4 және 9 сандары осы теңдеудің түбірі болады.

4-мысал.Бөлшек теңдеуді шешіңіз:

.

Шешім. -ді белгілейтін жаңа айнымалыны енгізейік. Айнымалысы бар теңдеуді аламыз ж .

Рационал және бөлшек рационал теңдеулермен танысып, олардың анықтамасын берейік, мысалдар келтірейік, сонымен қатар есептердің жиі кездесетін түрлерін талдап көрейік.

Рационал теңдеу: анықтамасы және мысалдары

Рационал өрнектермен таныстыру мектептің 8-сыныбында басталады. Осы кезде алгебра сабақтарында оқушылар жазбаларында рационал өрнектері бар теңдеулер бар тапсырмаларды жиі кездестіре бастайды. Оның не екенін еске түсіріп көрейік.

Анықтама 1

Рационал теңдеуекі жағында да рационал өрнектер болатын теңдеу.

Әртүрлі нұсқаулықтарда сіз басқа формуланы таба аласыз.

Анықтама 2

Рационал теңдеу- бұл теңдеу, оның сол жағында рационал өрнек, ал оң жағында нөл бар.

Рационал теңдеулер үшін біз берген анықтамалар бірдей, өйткені олар бір нәрсе туралы айтады. Сөзіміздің дұрыстығын кез келген ұтымды өрнектер үшін дәлелдейді ПЖәне Qтеңдеулер P = QЖәне P − Q = 0эквивалентті өрнектер болады.

Енді мысалдарды қарастырайық.

1-мысал

Рационал теңдеулер:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Рационал теңдеулер, басқа түрдегі теңдеулер сияқты, 1-ден бірнешеге дейінгі айнымалылардың кез келген санын қамтуы мүмкін. Бастау үшін біз теңдеулер тек бір айнымалыны қамтитын қарапайым мысалдарды қарастырамыз. Содан кейін біз тапсырманы біртіндеп қиындата бастаймыз.

Рационал теңдеулер екі үлкен топқа бөлінеді: бүтін және бөлшек. Әр топқа қандай теңдеулер қолданылатынын көрейік.

Анықтама 3

Рационал теңдеу бүтін болады, егер оның сол және оң жақтарында бүтін рационал өрнектер болса.

Анықтама 4

Рационал теңдеу бөлшек болады, егер оның бір бөлігінде немесе екеуінде де бөлшек болса.

Бөлшек рационал теңдеулер міндетті түрде айнымалыға бөлуді қамтиды немесе айнымалы бөлгіште болады. Тұтас теңдеулерді жазуда мұндай бөлу болмайды.

2-мысал

3 x + 2 = 0Және (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– бүтін рационал теңдеулер. Мұнда теңдеудің екі жағы да бүтін өрнектермен берілген.

1 x - 1 = x 3 және x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5бөлшек рационал теңдеулер.

Тұтас рационал теңдеулер сызықтық және квадрат теңдеулерді қамтиды.

Бүтін теңдеулерді шешу

Мұндай теңдеулерді шешу әдетте оларды эквивалентті алгебралық теңдеулерге түрлендіруге келеді. Бұған келесі алгоритмге сәйкес теңдеулерді эквивалентті түрлендірулер жүргізу арқылы қол жеткізуге болады:

• алдымен теңдеудің оң жағындағы нөлді аламыз, ол үшін теңдеудің оң жағындағы өрнекті оның сол жағына жылжытып, таңбасын өзгерту керек;
• онда теңдеудің сол жағындағы өрнекті стандартты түрдегі көпмүшеге айналдырамыз.

Біз алгебралық теңдеуді алуымыз керек. Бұл теңдеу бастапқы теңдеумен тең болады. Жеңіл жағдайлар есепті шешу үшін бүкіл теңдеуді сызықтық немесе квадраттық теңдеуге келтіруге мүмкіндік береді. Жалпы, біз дәреженің алгебралық теңдеуін шешеміз n.

3-мысал

Бүкіл теңдеудің түбірлерін табу керек 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Шешім

Эквивалентті алгебралық теңдеуді алу үшін бастапқы өрнекті түрлендірейік. Ол үшін теңдеудің оң жағындағы өрнекті сол жағына ауыстырамыз және таңбаны қарама-қарсысымен ауыстырамыз. Нәтижесінде біз аламыз: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Енді сол жағындағы өрнекті стандартты түрдегі көпмүшелікке айналдырып, осы көпмүшемен қажетті әрекеттерді орындайық:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Біз бастапқы теңдеудің шешімін түрдегі квадрат теңдеудің шешіміне келтіре алдық x 2 − 5 x − 6 = 0. Бұл теңдеудің дискриминанты оң: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Бұл екі нақты тамыр болатынын білдіреді. Оларды квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы арқылы табайық:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 немесе x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 немесе x 2 = - 1

Шешу кезінде тапқан теңдеудің түбірлерінің дұрыстығын тексерейік. Ол үшін алынған сандарды бастапқы теңдеуге ауыстырамыз: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Және 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Бірінші жағдайда 63 = 63 , екіншісінде 0 = 0 . Тамырлар x=6Және x = − 1шын мәнінде мысал шартында берілген теңдеудің түбірлері болып табылады.

Жауап: 6 , − 1 .

«Тұтас теңдеудің дәрежесі» нені білдіретінін қарастырайық. Біз бұл терминді тұтас теңдеуді алгебралық түрде көрсету қажет болған жағдайда жиі кездестіреміз. Тұжырымдаманы анықтайық.

Анықтама 5

Бүкіл теңдеудің дәрежесібастапқы бүтін теңдеуге эквивалентті алгебралық теңдеудің дәрежесі.

Жоғарыдағы мысалдағы теңдеулерді қарасаңыз, мынаны белгілеуге болады: бұл бүкіл теңдеудің дәрежесі екінші.

Егер біздің курс екінші дәрежелі теңдеулерді шешумен шектелсе, онда тақырыпты талқылау осымен аяқталуы мүмкін. Бірақ бұл қарапайым емес. Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешу қиындықтарға толы. Ал төртінші дәрежеден жоғары теңдеулер үшін жалпы түбір формулалары мүлдем жоқ. Осыған байланысты үшінші, төртінші және басқа дәрежелі теңдеулерді шешу бізден басқа да бірқатар әдістер мен әдістерді қолдануды талап етеді.

Тұтас рационал теңдеулерді шешудің ең жиі қолданылатын тәсілі көбейткіштерге бөлу әдісіне негізделген. Бұл жағдайда әрекеттер алгоритмі келесідей:

• жазбаның оң жағында нөл қалатындай етіп өрнекті оң жақтан солға жылжытамыз;
• Сол жағындағы өрнекті факторлардың туындысы ретінде көрсетеміз, содан кейін бірнеше қарапайым теңдеулердің жиынына көшеміз.

4-мысал

(x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) теңдеуінің шешімін табыңыз.

Шешім

Өрнекті жазбаның оң жағынан солға қарама-қарсы таңбамен жылжытамыз: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Сол жақ бөлігін стандартты түрдегі көпмүшеге айналдыру орынсыз, өйткені бұл бізге төртінші дәрежелі алгебралық теңдеуді береді: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Түрлендірудің қарапайымдылығы мұндай теңдеуді шешудегі барлық қиындықтарды ақтамайды.

Басқа жолмен жүру оңайырақ: жақшаның ішінен ортақ факторды алайық x 2 − 10 x + 13 .Осылайша біз пішіннің теңдеуіне келеміз (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Енді алынған теңдеуді екі квадрат теңдеу жиынымен ауыстырамыз x 2 − 10 x + 13 = 0Және x 2 − 2 x − 1 = 0және олардың түбірлерін дискриминант арқылы табыңдар: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Жауап: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Сол сияқты біз жаңа айнымалыны енгізу әдісін пайдалана аламыз. Бұл әдіс бастапқы бүтін теңдеудегі дәрежелерден төмен дәрежелі эквивалентті теңдеулерге көшуге мүмкіндік береді.

5-мысал

Теңдеудің түбірі бар ма? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Шешім

Егер біз енді тұтас рационал теңдеуді алгебралық теңдеуге келтіруге тырыссақ, рационал түбірі жоқ 4 дәрежелі теңдеуді аламыз. Сондықтан бізге басқа жолмен жүру оңайырақ болады: теңдеудегі өрнекті алмастыратын жаңа y айнымалысын енгізіңіз. x 2 + 3 x.

Енді біз бүкіл теңдеумен жұмыс істейміз (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Қарама-қарсы таңбамен теңдеудің оң жағын солға жылжытып, қажетті түрлендірулерді орындаймыз. Біз алып жатырмыз: y 2 + 4 y + 3 = 0. Квадрат теңдеудің түбірлерін табайық: y = − 1Және y = − 3.

Енді кері ауыстыруды жасайық. Біз екі теңдеу аламыз x 2 + 3 x = − 1Және x 2 + 3 · x = − 3 .Оларды x 2 + 3 x + 1 = 0 және түрінде қайта жазайық x 2 + 3 x + 3 = 0. Алынғандардан бірінші теңдеудің түбірлерін табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолданамыз: - 3 ± 5 2. Екінші теңдеудің дискриминанты теріс. Бұл екінші теңдеудің нақты түбірі жоқ дегенді білдіреді.

Жауап:- 3 ± 5 2

Есептерде жоғары дәрежелі теңдеулер жиі кездеседі. Олардан қорқудың қажеті жоқ. Сіз оларды шешудің стандартты емес әдісін, соның ішінде бірқатар жасанды түрлендірулерді қолдануға дайын болуыңыз керек.

Бөлшек рационал теңдеулерді шешу

Біз бұл тақырыпшаны қарастыруды p (x) q (x) = 0 түріндегі бөлшек рационал теңдеулерді шешу алгоритмінен бастаймыз, мұндағы p(x)Және q(x)– бүтін рационал өрнектер. Басқа бөлшектік рационал теңдеулердің шешімін әрқашан көрсетілген түрдегі теңдеулердің шешіміне келтіруге болады.

p (x) q (x) = 0 теңдеулерін шешудің ең жиі қолданылатын әдісі келесі тұжырымға негізделген: сандық бөлшек u v, Қайда v- бұл бөлшектің алымы нөлге тең болған жағдайда ғана нөлден өзгеше, нөлге тең сан. Жоғарыда келтірілген тұжырымның логикасына сүйене отырып, p (x) q (x) = 0 теңдеуінің шешімін екі шартты орындауға келтіруге болады деп айта аламыз: p(x)=0Және q(x) ≠ 0. Бұл p (x) q (x) = 0 түріндегі бөлшек рационал теңдеулерді шешу алгоритмін құрудың негізі болып табылады:

• бүтін рационал теңдеудің шешімін табыңыз p(x)=0;
• шешу кезінде табылған түбірлер үшін шарттың орындалғанын тексереміз q(x) ≠ 0.

Егер бұл шарт орындалса, онда табылған түбір орындалмаса, онда түбір мәселенің шешімі емес.

6-мысал

3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 теңдеуінің түбірлерін табайық.

Шешім

Біз p (x) q (x) = 0 түріндегі бөлшек рационал теңдеумен айналысамыз, онда p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Сызықтық теңдеуді шешуді бастайық 3 x − 2 = 0. Бұл теңдеудің түбірі болады x = 2 3.

Табылған түбірдің шартты қанағаттандыратынын тексерейік 5 x 2 − 2 ≠ 0. Ол үшін өрнектің орнына сандық мәнді қойыңыз. Біз аламыз: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Шарт орындалды. Соны білдіреді x = 2 3бастапқы теңдеудің түбірі болып табылады.

Жауап: 2 3 .

p (x) q (x) = 0 бөлшек рационал теңдеулерін шешудің тағы бір нұсқасы бар. Еске салайық, бұл теңдеу бүкіл теңдеуге эквивалентті p(x)=0бастапқы теңдеудің х айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонында. Бұл p (x) q (x) = 0 теңдеулерін шешуде келесі алгоритмді қолдануға мүмкіндік береді:

• теңдеуді шеш p(x)=0;
• х айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонын табу;
• бастапқы бөлшек рационал теңдеудің қажетті түбірлері ретінде х айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонында жатқан түбірлерді аламыз.

7-мысал

x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім

Алдымен квадрат теңдеуді шешейік x 2 − 2 x − 11 = 0. Оның түбірлерін есептеу үшін жұп екінші коэффициент үшін түбірлер формуласын қолданамыз. Біз алып жатырмыз D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12, және x = 1 ± 2 3.

Енді бастапқы теңдеу үшін х айнымалысының ODZ мәнін таба аламыз. Бұл барлық сандар x 2 + 3 x ≠ 0. Бұл бірдей x (x + 3) ≠ 0, мұндағы x ≠ 0, x ≠ − 3.

Енді шешімнің бірінші сатысында алынған x = 1 ± 2 3 түбірлері x айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің ауқымында екенін тексерейік. Біз олардың кіріп келе жатқанын көреміз. Бұл бастапқы бөлшек рационал теңдеудің x = 1 ± 2 3 екі түбірі бар екенін білдіреді.

Жауап: x = 1 ± 2 3

Сипатталған екінші шешім әдісі х айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазоны және теңдеу түбірлері оңай табылған жағдайда біріншіден оңайырақ. p(x)=0иррационалды. Мысалы, 7 ± 4 · 26 9. Түбірлер ұтымды болуы мүмкін, бірақ үлкен алыммен немесе бөлгішпен. Мысалы, 127 1101 Және − 31 59 . Бұл жағдайды тексеруге уақытты үнемдейді q(x) ≠ 0: ODZ сәйкес келмейтін тамырларды алып тастау әлдеқайда оңай.

Теңдеудің түбірлері болатын жағдайларда p(x)=0бүтін сандар болса, p (x) q (x) = 0 түріндегі теңдеулерді шешу үшін сипатталған алгоритмдердің біріншісін қолданған орынды. Тұтас теңдеудің түбірін тезірек табыңыз p(x)=0, содан кейін олар үшін шарттың орындалғанын тексеріңіз q(x) ≠ 0, ODZ табудың орнына, содан кейін теңдеуді шешу p(x)=0осы ОДЗ бойынша. Бұл мұндай жағдайларда әдетте DZ табудан гөрі тексеру оңайырақ болатындығына байланысты.

8-мысал

(2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 теңдеуінің түбірін табыңыз. = 0.

Шешім

Барлық теңдеуді қарастырудан бастайық (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0және оның тамырын табу. Ол үшін көбейткіштерге бөлу арқылы теңдеулерді шешу әдісін қолданамыз. Түпнұсқа теңдеу 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 төрт теңдеу жиынтығына балама болып шықты, оның үшеуі сызықтық және бірі квадраттық. Түбірлерді табу: бірінші теңдеуден x = 1 2, екіншісінен – x=6, үшіншіден – x = 7 , x = − 2 , төртіншіден – x = − 1.

Алынған тамырларды тексерейік. Бұл жағдайда ODZ анықтау қиын, өйткені ол үшін бесінші дәрежелі алгебралық теңдеуді шешуге тура келеді. Теңдеудің сол жағында орналасқан бөлшектің бөлгіші нөлге түспеуі керек шартты тексеру оңайырақ болады.

Өрнектегі х айнымалысының түбірлерін кезекпен ауыстырайық x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112және оның мәнін есептеңіз:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≠3;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Жүргізілген тексеру бастапқы бөлшек рационал теңдеудің түбірлері 1 2, 6 және − 2 .

Жауап: 1 2 , 6 , - 2

9-мысал

5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 бөлшек рационал теңдеуінің түбірін табыңыз.

Шешім

Теңдеумен жұмысты бастайық (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Оның тамырын табайық. Бізге бұл теңдеуді квадраттық және сызықтық теңдеулер жиынтығы ретінде елестету оңайырақ 5 x 2 − 7 x − 1 = 0Және x − 2 = 0.

Түбірлерін табу үшін квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласын қолданамыз. Бірінші теңдеуден екі түбір x = 7 ± 69 10, ал екіншісінен аламыз. x = 2.

Шарттарды тексеру үшін бастапқы теңдеудегі түбірлердің мәнін ауыстыру бізге өте қиын болады. x айнымалысының ODZ анықтау оңайырақ болады. Бұл жағдайда x айнымалысының ODZ шарты орындалғандардан басқа барлық сандар болып табылады x 2 + 5 x − 14 = 0. Біз мыналарды аламыз: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Енді біз тапқан түбірлердің x айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонына жататынын тексерейік.

x = 7 ± 69 10 түбірлері жатады, сондықтан олар бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады және x = 2- жатпайды, демек ол бөгде түбір.

Жауап: x = 7 ± 69 10 .

p (x) q (x) = 0 түріндегі бөлшек рационал теңдеудің алымында сан болатын жағдайларды бөлек қарастырайық. Мұндай жағдайларда алым нөлден басқа санды қамтыса, онда теңдеудің түбірі болмайды. Егер бұл сан нөлге тең болса, онда теңдеудің түбірі ОДЗ кез келген сан болады.

10-мысал

Бөлшек рационал теңдеуді шешіңіз - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Шешім

Бұл теңдеудің түбірлері болмайды, өйткені теңдеудің сол жағындағы бөлшектің алымы нөлдік емес санды қамтиды. Бұл х-тің ешбір мәнінде есеп нұсқауында берілген бөлшектің мәні нөлге тең болмайтынын білдіреді.

Жауап:тамыры жоқ.

11-мысал

0 x 4 + 5 x 3 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Шешім

Бөлшектің алымы нөлден тұратындықтан, теңдеудің шешімі х айнымалысының ODZ кез келген х мәні болады.

Енді ODZ анықтайық. Ол x-тің барлық мәндерін қамтиды x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Теңдеудің шешімдері x 4 + 5 x 3 = 0болып табылады 0 Және − 5 , өйткені бұл теңдеу теңдеумен тең x 3 (x + 5) = 0, және бұл өз кезегінде x 3 = 0 және екі теңдеуінің қосындысына тең x + 5 = 0, бұл тамырлар көрінетін жерде. Біз қолайлы мәндердің қалаған диапазоны кез келген x-тан басқа деген қорытындыға келеміз x = 0Және x = − 5.

0 x 4 + 5 x 3 = 0 бөлшек рационал теңдеуінің шешімдерінің шексіз саны бар, олар нөлден және - 5-тен басқа кез келген сандар болып табылады.

Жауап: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Енді ерікті түрдегі бөлшек рационал теңдеулер мен оларды шешу әдістеріне тоқталайық. Оларды былай жазуға болады r(x) = s(x), Қайда r(x)Және s(x)– рационал өрнектер және олардың ең болмағанда біреуі бөлшек. Мұндай теңдеулерді шешу p (x) q (x) = 0 түріндегі теңдеулерді шешуге келтіреді.

Біз өрнекті теңдеудің оң жағынан сол жағына қарама-қарсы таңбамен көшіру арқылы эквивалентті теңдеуді алуға болатынын бұрыннан білеміз. Бұл теңдеу дегенді білдіреді r(x) = s(x)теңдеуіне тең r (x) − s (x) = 0. Рационал өрнекті рационал бөлшекке түрлендіру жолдарын да қарастырдық. Осының арқасында теңдеуді оңай түрлендіруге болады r (x) − s (x) = 0 p (x) q (x) түріндегі бірдей рационал бөлшекке.

Сонымен, біз бастапқы бөлшек рационал теңдеуден көшеміз r(x) = s(x)Біз шешуді үйренген p (x) q (x) = 0 түріндегі теңдеуге.

-дан көшу кезінде ескеру қажет r (x) − s (x) = 0 p(x)q(x) = 0, содан кейін p(x)=0біз x айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің ауқымының кеңеюін ескермеуіміз мүмкін.

Түпнұсқа теңдеу болуы әбден мүмкін r(x) = s(x)және теңдеу p(x)=0түрлендірулердің нәтижесінде олар эквивалентті болуды тоқтатады. Содан кейін теңдеудің шешімі p(x)=0бізге жат болатын тамырлар бере алады r(x) = s(x). Осыған байланысты, әрбір жағдайда жоғарыда сипатталған әдістердің кез келгенін пайдаланып тексеру жүргізу қажет.

Тақырыпты оқуды жеңілдету үшін біз барлық ақпаратты форманың бөлшек рационал теңдеуін шешу алгоритміне жинақтадық. r(x) = s(x):

• өрнекті оң жақтан қарама-қарсы таңбамен ауыстырамыз және оң жақта нөл аламыз;
• бөлшектермен және көпмүшелермен амалдарды ретімен орындай отырып, бастапқы өрнекті рационал бөлшекке p (x) q (x) түрлендіру;
• теңдеуді шеш p(x)=0;
• Бөтен түбірлерді олардың ОДЗ-ға тиесілігін тексеру немесе бастапқы теңдеуге ауыстыру арқылы анықтаймыз.

Көрнекі түрде әрекеттер тізбегі келесідей болады:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → СЫРТҚЫ ТАМЫРЛАРДЫ жою

12-мысал

x x + 1 = 1 x + 1 бөлшек рационал теңдеуін шешіңіз.

Шешім

x x + 1 - 1 x + 1 = 0 теңдеуіне көшейік. Теңдеудің сол жағындағы бөлшек рационал өрнекті p (x) q (x) түріне түрлендірейік.

Ол үшін рационал бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп, өрнекті жеңілдету керек:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

- 2 x - 1 x (x + 1) = 0 теңдеуінің түбірін табу үшін теңдеуді шешуіміз керек. − 2 x − 1 = 0. Біз бір тамыр аламыз x = - 1 2.

Бізге тек әдістердің кез келгенін пайдаланып тексеру керек. Екеуін де қарастырайық.

Алынған мәнді бастапқы теңдеуге ауыстырайық. Біз - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 аламыз. Біз дұрыс сандық теңдікке жеттік − 1 = − 1 . Соны білдіреді x = − 1 2бастапқы теңдеудің түбірі болып табылады.

Енді ОДЗ арқылы тексерейік. x айнымалысының рұқсат етілген мәндерінің диапазонын анықтайық. Бұл − 1 және 0 (x = − 1 және x = 0 кезінде, бөлшектердің бөлгіштері жойылады) қоспағанда, барлық сандар жиыны болады. Біз алған тамыр x = − 1 2ОДЗ тиесілі. Бұл бастапқы теңдеудің түбірі екенін білдіреді.

Жауап: − 1 2 .

13-мысал

x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x теңдеуінің түбірлерін табыңыз.

Шешім

Біз бөлшек рационал теңдеумен айналысамыз. Сондықтан біз алгоритм бойынша әрекет етеміз.

Өрнекті оң жақтан солға қарама-қарсы таңбамен жылжытайық: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Қажетті түрлендірулерді орындайық: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

теңдеуіне келеміз x = 0. Бұл теңдеудің түбірі нөлге тең.

Бұл түбір бастапқы теңдеуге бөгде екенін тексерейік. Бастапқы теңдеудегі мәнді ауыстырайық: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Көріп отырғаныңыздай, алынған теңдеу мағынасы жоқ. Бұл 0 - бөгде түбір, ал бастапқы бөлшек рационал теңдеудің түбірі жоқ дегенді білдіреді.

Жауап:тамыры жоқ.

Алгоритмге басқа эквивалентті түрлендірулерді қоспасақ, бұл оларды қолдануға болмайды дегенді білдірмейді. Алгоритм әмбебап, бірақ ол шектеуге емес, көмектесуге арналған.

14-мысал

7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 теңдеуін шеш.

Шешім

Ең оңай жолы – берілген бөлшек рационал теңдеуді алгоритм бойынша шешу. Бірақ басқа жолы бар. Оны қарастырайық.

Оң және сол жақтан 7-ні алып тастасақ, мынаны аламыз: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Бұдан мынадай қорытынды жасауға болады: сол жағындағы бөлгіштегі өрнек оң жағындағы санның кері санына тең болуы керек, яғни 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Екі жағынан 3-ті алып тастаңыз: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Аналогия бойынша 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, мұндағы 1 5 - x 2 = 1 3, содан кейін 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Табылған түбірлердің бастапқы теңдеудің түбірлері екенін анықтау үшін тексеру жүргізейік.

Жауап: x = ± 2

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Сынып: 8

Сабақтың мақсаттары:

Тәрбиелік:

• бөлшек рационал теңдеулер туралы түсінік қалыптастыру;
• бөлшек рационал теңдеулерді шешудің әртүрлі жолдарын қарастыру;
• бөлшектің нөлге тең болу шартын қоса алғанда, бөлшек рационал теңдеулерді шешу алгоритмін қарастыру;
• бөлшек рационал теңдеулерді алгоритм арқылы шешуді үйрету;
• тест жұмысын жүргізу арқылы тақырыпты меңгеру деңгейін тексеру.

Дамытушылық:

• алған білімімен дұрыс әрекет ету және логикалық ойлау қабілетін дамыту;
• интеллектуалды дағдылар мен ақыл-ой операцияларын дамыту – талдау, синтез, салыстыру және жалпылау;
• бастаманы дамыту, шешім қабылдау және мұнымен тоқтап қалмау;
• сыни тұрғыдан ойлауды дамыту;
• зерттеу дағдыларын дамыту.

Тәрбиелеу:

• пәнге деген танымдық қызығушылықтарын арттыру;
• білім беру мәселелерін шешуде дербестікке тәрбиелеу;
• түпкілікті нәтижеге жету үшін ерік пен табандылыққа тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: сабақ – жаңа материалды түсіндіру.

Сабақтар кезінде

1. Ұйымдастыру кезеңі.

Сәлем жігіттер! Тақтада теңдеулер жазылған, мұқият қараңдар. Осы теңдеулердің барлығын шеше аласыз ба? Олардың қайсысы жоқ және неге?

Сол және оң жақтары бөлшек рационал өрнектер болатын теңдеулерді бөлшек рационал теңдеулер деп атайды. Қалай ойлайсыңдар, біз бүгін сабақта не оқимыз? Сабақтың тақырыбын тұжырымдау. Олай болса, дәптерлеріңді ашып, «Бөлшек рационал теңдеулерді шешу» сабағының тақырыбын жазыңдар.

2. Білімді жаңарту. Фронтальды сауалнама, сыныппен ауызша жұмыс.

Ал енді жаңа тақырыпты меңгеру үшін қажет болатын негізгі теориялық материалды қайталаймыз. Келесі сұрақтарға жауап беріңіз:

1. Теңдеу дегеніміз не? ( Айнымалы немесе айнымалымен теңдік.)
2. №1 теңдеу қалай аталады? ( Сызықтық.) Сызықтық теңдеулерді шешу әдісі. ( Белгісіз барлығын теңдеудің сол жағына, барлық сандарды оңға жылжытыңыз. Ұқсас терминдерді беріңіз. Белгісіз факторды табыңыз).
3. №3 теңдеу қалай аталады? ( Шаршы.) Квадрат теңдеулерді шешу әдістері. ( Виета теоремасын және оның нәтижелерін қолданатын формулалар арқылы толық квадратты оқшаулау.)
4. Пропорция дегеніміз не? ( Екі қатынастың теңдігі.) Пропорцияның негізгі қасиеті. ( Егер пропорция дұрыс болса, онда оның шеткі мүшелерінің көбейтіндісі ортаңғы мүшелерінің көбейтіндісіне тең болады.)
5. Теңдеулерді шешу кезінде қандай қасиеттер қолданылады? ( 1. Теңдеудегі мүшені таңбасын өзгерте отырып, бір бөлігінен екінші бөлігіне жылжытсаңыз, берілгенге тең теңдеу шығады. 2. Егер теңдеудің екі жағы да бірдей нөлдік емес санға көбейтілсе немесе бөлінсе, берілгенге тең теңдеу шығады..)
6. Бөлшек қай кезде нөлге тең болады? ( Бөлшек нөлге тең, ал бөлгіш нөлге тең, ал бөлгіш нөлге тең емес..)

3. Жаңа материалды түсіндіру.

No2 теңдеуді дәптерлеріңе және тақтаға шешіңдер.

Жауап: 10.

Пропорцияның негізгі қасиетін пайдаланып қандай бөлшек рационал теңдеуді шешуге болады? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

No4 теңдеуді дәптерлеріңе және тақтаға шығарыңдар.

Жауап: 1,5.

Теңдеудің екі жағын да бөлгішке көбейту арқылы қандай бөлшек рационал теңдеуді шешуге болады? (№ 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Жауап: 3;4.

Енді келесі әдістердің бірін пайдаланып №7 теңдеуді шешуге тырысыңыз.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Жауап: 0;5;-2.			Жауап: 5;-2.

Неліктен бұлай болғанын түсіндіріңізші? Неліктен бір жағдайда үш, екіншісінде екі түбір бар? Бұл бөлшек рационал теңдеудің түбірі қандай сандар?

Осы уақытқа дейін студенттер бөгде түбір ұғымын кездестірмеген; Бұл жағдайды сыныпта ешкім нақты түсіндіре алмаса, мұғалім жетекші сұрақтар қояды.

• No2 және 4 теңдеулер No5,6,7 теңдеулерден қалай ерекшеленеді? ( No2 және 4 теңдеулерде азайғышта сандар, №5-7 айнымалысы бар өрнектер берілген..)
• Теңдеудің түбірі дегеніміз не? ( Теңдеу ақиқат болатын айнымалының мәні.)
• Санның теңдеудің түбірі екенін қалай білуге ​​болады? ( Чек жасаңыз.)

Тестілеу кезінде кейбір оқушылар нөлге бөлу керек екенін байқайды. Олар 0 және 5 сандары бұл теңдеудің түбірі емес деген қорытындыға келеді. Сұрақ туындайды: бұл қатені жоюға мүмкіндік беретін бөлшек рационал теңдеулерді шешудің жолы бар ма? Иә, бұл әдіс бөлшек нөлге тең болу шартына негізделген.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Егер x=5 болса, онда x(x-5)=0, яғни 5 бөгде түбір.

Егер x=-2 болса, онда x(x-5)≠0.

Жауап: -2.

Бөлшек рационал теңдеулерді осылай шешу алгоритмін құрастырып көрейік. Балалар алгоритмді өздері құрастырады.

Бөлшек рационал теңдеулерді шешу алгоритмі:

1. Барлығын сол жаққа жылжытыңыз.
2. Бөлшектерді ортақ бөлімге келтіру.
3. Жүйені құрыңыз: алым нөлге тең, ал бөлгіш нөлге тең емес болғанда бөлшек нөлге тең.
4. Теңдеуді шеш.
5. Бөтен түбірлерді болдырмау үшін теңсіздікті тексеріңіз.
6. Жауабын жазыңыз.

Талқылау: пропорцияның негізгі қасиетін қолданса және теңдеудің екі жағын ортақ бөлгішке көбейтсе, шешімді қалай ресімдеуге болады. (Шешімге қосу: оның түбірлерінен ортақ бөлгіш жойылатындарды алып тастаңыз).

4. Жаңа материалды бастапқы түсіну.

Жұппен жұмыс. Оқушылар теңдеудің түріне қарай теңдеуді шешу жолын өздері таңдайды. «Алгебра 8» оқулығынан тапсырмалар, Ю.Н. Макарычев, 2007: № 600(б,в,і); № 601(a,e,g). Мұғалім тапсырманың орындалуын қадағалап, туындаған сұрақтарға жауап беріп, үлгерімі төмен оқушыларға көмек көрсетеді. Өзін-өзі тексеру: жауаптары тақтаға жазылады.

б) 2 – бөгде тамыр. Жауабы: 3.

в) 2 – бөгде тамыр. Жауабы: 1.5.

а) Жауабы: -12.5.

ж) Жауабы: 1;1.5.

5. Үй тапсырмасын қою.

1. Оқулықтан 25-параграфты оқу, 1-3 мысалдарды талдау.
2. Бөлшек рационал теңдеулерді шешу алгоритмін үйрену.
3. No600 (а, г, е) дәптерге шешу; № 601(g,h).
4. № 696(а) шешуге тырысыңыз (міндетті емес).

6. Өтілген тақырып бойынша бақылау тапсырмасын орындау.

Жұмыс қағаз бөліктерінде орындалады.

Мысал тапсырма:

А) Теңдеулердің қайсысы бөлшек рационал болып табылады?

B) Алымы ______________________, ал бөлгіші _______________________ болғанда бөлшек нөлге тең.

С) -3 саны 6 саны теңдеудің түбірі ме?

D) No7 теңдеуді шеш.

Тапсырманы бағалау критерийлері:

• «5» оқушы тапсырманың 90%-дан астамын дұрыс орындаса қойылады.
• "4" - 75%-89%
• «3» - 50%-74%
• «2» тапсырманы 50%-дан аз орындаған оқушыға қойылады.
• Журналда 2 деген баға берілмейді, 3 баға міндетті емес.

7. Рефлексия.

Өз бетінше жұмыс парақтарына мыналарды қойыңыз:

• 1 – егер сабақ сізге қызықты және түсінікті болса;
• 2 – қызықты, бірақ анық емес;
• 3 – қызықты емес, бірақ түсінікті;
• 4 – қызық емес, түсініксіз.

8. Сабақты қорытындылау.

Сонымен бүгінгі сабақта біз бөлшек рационал теңдеулермен танысып, осы теңдеулерді әртүрлі тәсілдермен шешуді үйрендік, өздік оқу жұмысы арқылы білімімізді тексердік. Өздік жұмысыңыздың нәтижесін келесі сабақта меңгересіз, үйде отырып біліміңізді бекітуге мүмкіндік аласыз.

Бөлшек рационал теңдеулерді шешудің қай әдісі, сіздің ойыңызша, оңайырақ, қолжетімді және ұтымдырақ? Бөлшек рационал теңдеулерді шешу әдісіне қарамастан, нені есте сақтау керек? Бөлшек рационал теңдеулердің «қулығы» неде?

Барлығына рахмет, сабақ аяқталды.