Ауыстыру әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу. Қосу және ауыстыру әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу мысалдары
Теңдеулер жүйесі әртүрлі процестерді математикалық модельдеу үшін экономикалық секторда кеңінен қолданылады. Мысалы, өндірісті басқару және жоспарлау, логистикалық маршруттар (көлік мәселесі) немесе жабдықты орналастыру мәселелерін шешу кезінде.
Теңдеулер жүйесі тек математикада ғана емес, сонымен қатар физикада, химияда, биологияда, популяция санын табу есептерін шешуде қолданылады.
Сызықтық теңдеулер жүйесі деп ортақ шешімін табу қажет бірнеше айнымалысы бар екі немесе одан да көп теңдеулерді айтады. Барлық теңдеулер шынайы теңдікке айналатын немесе тізбектің жоқтығын дәлелдейтін сандар тізбегі.
Сызықтық теңдеу
ax+by=c түріндегі теңдеулер сызықтық деп аталады. x, y белгілеулері - мәнін табу керек белгісіздер, b, a - айнымалылардың коэффициенттері, с - теңдеудің бос мүшесі.
Теңдеуді сызу арқылы шешу түзу сияқты болады, оның барлық нүктелері көпмүшенің шешімі болып табылады.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің түрлері
Ең қарапайым мысалдар екі айнымалы X және Y болатын сызықтық теңдеулер жүйесі болып саналады.
F1(x, y) = 0 және F2(x, y) = 0, мұндағы F1,2 - функциялар және (x, y) - функцияның айнымалылары.
Теңдеулер жүйесін шешу - бұл жүйе шынайы теңдікке айналатын мәндерді (x, y) табуды немесе x пен у сәйкес мәндерінің жоқтығын анықтауды білдіреді.
Нүктенің координатасы ретінде жазылған мәндер жұбы (x, y) сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
Егер жүйелердің бір ортақ шешімі болса немесе шешімі болмаса, олар эквивалент деп аталады.
Сызықтық теңдеулердің біртекті жүйелері деп оң жағы нөлге тең жүйелерді айтады. Теңдік белгісінен кейінгі оң жақ бөліктің мәні болса немесе функция арқылы өрнектелсе, мұндай жүйе гетерогенді болады.
Айнымалылар саны екіден әлдеқайда көп болуы мүмкін, онда үш немесе одан да көп айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалы туралы айту керек.
Жүйелермен бетпе-бет келгенде, мектеп оқушылары теңдеулер саны міндетті түрде белгісіздер санымен сәйкес келуі керек деп есептейді, бірақ олай емес. Жүйедегі теңдеулердің саны айнымалыларға байланысты емес, олардың саны қалағандай болуы мүмкін.
Теңдеулер жүйесін шешудің қарапайым және күрделі әдістері
Мұндай жүйелерді шешудің жалпы аналитикалық әдісі жоқ; барлық әдістер сандық шешімдерге негізделген; Мектеп математика курсында ауыстыру, алгебралық қосу, алмастыру, сонымен қатар графикалық және матрицалық әдістер, Гаусс әдісімен шешу сияқты әдістер толық сипатталған.
Шешім әдістерін оқытудағы негізгі міндет – жүйені дұрыс талдап, әрбір мысал бойынша оңтайлы шешім алгоритмін табуды үйрету. Ең бастысы - әрбір әдіс үшін ережелер мен әрекеттер жүйесін жаттау емес, белгілі бір әдісті қолдану принциптерін түсіну.
7-сыныптың жалпы білім беретін оқу бағдарламасында сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалдарын шешу өте қарапайым және жан-жақты түсіндіріледі. Кез келген математика оқулығында бұл бөлімге жеткілікті көңіл бөлінеді. Гаусс және Крамер әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалдарын шешу жоғары оқу орындарының алғашқы жылдарында толығырақ зерттеледі.
Ауыстыру әдісі арқылы жүйелерді шешу
Ауыстыру әдісінің әрекеттері бір айнымалының мәнін екіншісімен өрнектеуге бағытталған. Өрнек қалған теңдеуге ауыстырылады, содан кейін ол бір айнымалысы бар пішінге келтіріледі. Жүйедегі белгісіздердің санына байланысты әрекет қайталанады
Ауыстыру әдісін қолданып, 7-сыныптағы сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалының шешімін берейік:
Мысалдан көріп отырғанымыздай, х айнымалысы F(X) = 7 + Y арқылы өрнектелді. Алынған өрнек жүйенің 2-ші теңдеуіне X орнына ауыстырылды, 2-ші теңдеуде бір Y айнымалысын алуға көмектесті. . Бұл мысалды шешу оңай және Y мәнін алуға мүмкіндік береді. Соңғы қадам - алынған мәндерді тексеру.
Сызықтық теңдеулер жүйесінің мысалын ауыстыру арқылы шешу әрқашан мүмкін емес. Теңдеулер күрделі болуы мүмкін және айнымалыны екінші белгісіз арқылы өрнектеу әрі қарай есептеулер үшін тым қиын болады. Жүйеде 3-тен көп белгісіз болса, ауыстыру арқылы шешу де орынсыз.
Сызықтық біртекті емес теңдеулер жүйесінің мысалын шешу:
Алгебралық қосу арқылы шешу
Қосу әдісін қолданып жүйелердің шешімдерін іздеу кезінде теңдеулер мүше бойынша қосылып, әртүрлі сандарға көбейтіледі. Математикалық амалдардың түпкі мақсаты бір айнымалыдағы теңдеу болып табылады.
Бұл әдісті қолдану тәжірибе мен бақылауды қажет етеді. 3 немесе одан да көп айнымалы болған кезде қосу әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу оңай емес. Алгебралық қосу теңдеулерде бөлшек пен ондық болған кезде қолдануға ыңғайлы.
Шешу алгоритмі:
- Теңдеудің екі жағын да белгілі бір санға көбейтіңіз. Арифметикалық амалдың нәтижесінде айнымалының бір коэффициенті 1-ге тең болуы керек.
- Алынған өрнек мүшесін термин бойынша қосып, белгісіздердің бірін табыңыз.
- Қалған айнымалыны табу үшін алынған мәнді жүйенің 2-ші теңдеуіне ауыстырыңыз.
Жаңа айнымалыны енгізу арқылы шешу әдісі
Жаңа айнымалыны енгізуге болады, егер жүйе екіден көп емес теңдеулердің шешімін табуды талап етсе, белгісіздер саны да екіден көп болмауы керек;
Әдіс жаңа айнымалыны енгізу арқылы теңдеулердің бірін жеңілдету үшін қолданылады. Жаңа теңдеу енгізілген белгісіз үшін шешіледі, ал алынған мән бастапқы айнымалыны анықтау үшін қолданылады.
Мысал t жаңа айнымалысын енгізу арқылы жүйенің 1-ші теңдеуін стандартты квадрат үшмүшеге келтіруге болатынын көрсетеді. Дискриминантты табу арқылы көпмүшені шешуге болады.
Белгілі формуланы пайдаланып дискриминанттың мәнін табу керек: D = b2 - 4*a*c, мұндағы D - қажетті дискриминант, b, a, c - көпмүшенің көбейткіштері. Берілген мысалда a=1, b=16, c=39, сондықтан D=100. Егер дискриминант нөлден үлкен болса, онда екі шешім бар: t = -b±√D / 2*a, егер дискриминант нөлден кіші болса, онда бір шешім бар: x = -b / 2*a.
Алынған жүйелердің шешімі қосу әдісімен табылады.
Жүйелерді шешудің визуалды әдісі
3 теңдеу жүйесі үшін қолайлы. Бұл әдіс координат осінде жүйеге енгізілген әрбір теңдеудің графиктерін құрудан тұрады. Қисықтардың қиылысу нүктелерінің координаталары жүйенің жалпы шешімі болады.
Графикалық әдіс бірқатар нюанстарға ие. Сызықтық теңдеулер жүйесін визуалды түрде шешудің бірнеше мысалын қарастырайық.
Мысалдан көріп отырғанымыздай, әрбір жол үшін екі нүкте тұрғызылды, х айнымалысының мәндері ерікті түрде таңдалды: 0 және 3. x мәндерінің негізінде у үшін мәндер табылды: 3 және 0. Координаталары (0, 3) және (3, 0) болатын нүктелер графикте белгіленіп, түзу арқылы қосылды.
Екінші теңдеу үшін қадамдарды қайталау керек. Түзулердің қиылысу нүктесі жүйенің шешімі болып табылады.
Келесі мысал сызықтық теңдеулер жүйесінің графикалық шешімін табуды талап етеді: 0,5x-y+2=0 және 0,5x-y-1=0.
Мысалдан көрініп тұрғандай, жүйенің шешімі жоқ, өйткені графиктер параллель және олардың бүкіл ұзындығы бойынша қиылыспайды.
2 және 3 мысалдардағы жүйелер ұқсас, бірақ құрастырылған кезде олардың шешімдері әртүрлі екені анық болады. Жүйенің шешімі бар немесе жоқ екенін айту әрқашан мүмкін емес екенін есте ұстаған жөн;
Матрица және оның сорттары
Матрицалар сызықтық теңдеулер жүйесін қысқаша жазу үшін қолданылады. Матрица - сандармен толтырылған кестенің ерекше түрі. n*m-де n - жолдар және m - бағандар бар.
Матрица бағандар мен жолдар саны тең болған кезде квадрат болады. Матрица-вектор дегеніміз - жолдардың шексіз мүмкін саны бар бір бағанның матрицасы. Бірлері диагональдардың біреуінің бойында және басқа нөлдік элементтерден тұратын матрица сәйкестік деп аталады.
Кері матрица - бұл көбейтілген кезде бастапқы матрица бірлік матрицаға айналады;
Теңдеулер жүйесін матрицаға түрлендіру ережелері
Теңдеулер жүйесіне қатысты теңдеулердің коэффициенттері мен еркін мүшелері матрицалық сандар ретінде жазылады, бір теңдеу матрицаның бір жолы;
Матрицалық жол нөлге тең емес деп аталады, егер жолдың кем дегенде бір элементі нөлге тең болмаса. Сондықтан, егер теңдеулердің кез келгенінде айнымалылар саны әр түрлі болса, онда жетіспейтін белгісіздің орнына нөлді енгізу керек.
Матрицаның бағандары айнымалыларға қатаң сәйкес келуі керек. Бұл х айнымалысының коэффициенттерін тек бір бағанға жазуға болатындығын білдіреді, мысалы, бірінші, белгісіз у коэффициенті - тек екіншісінде.
Матрицаны көбейту кезінде матрицаның барлық элементтері ретімен санға көбейтіледі.
Кері матрицаны табу нұсқалары
Кері матрицаны табу формуласы өте қарапайым: K -1 = 1 / |K|, мұндағы K -1 кері матрица және |K| матрицаның анықтаушысы болып табылады. |Қ| нөлге тең болмауы керек, онда жүйенің шешімі болады.
Детерминант екі-екі матрица үшін оңай есептеледі; сізге диагональ элементтерін бір-біріне көбейту жеткілікті. «Үштен үш» опциясы үшін |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c формуласы бар. 3 + a 3 b 2 c 1 . Сіз формуланы пайдалана аласыз немесе жұмыста бағандар мен элементтер қатарларының нөмірлері қайталанбауы үшін әр жолдан және әр бағаннан бір элементті алу керек екенін есте сақтай аласыз.
Матрицалық әдіс арқылы сызықтық теңдеулер жүйесіне мысалдарды шешу
Шешімді табудың матрицалық әдісі айнымалылар мен теңдеулер саны көп жүйелерді шешу кезінде қолайсыз жазбаларды азайтуға мүмкіндік береді.
Мысалда a nm – теңдеулердің коэффициенттері, матрица – вектор x n – айнымалылар, ал b n – бос мүшелер.
Гаусс әдісі арқылы жүйелерді шешу
Жоғары математикада Гаусс әдісі Крамер әдісімен бірге зерттеледі, ал жүйелердің шешімдерін табу процесі Гаусс-Крамер шешу әдісі деп аталады. Бұл әдістер сызықтық теңдеулері көп жүйелердің айнымалыларын табу үшін қолданылады.
Гаусс әдісі алмастыру және алгебралық қосу арқылы шешімдерге өте ұқсас, бірақ жүйелі. Мектеп курсында 3 және 4 теңдеулер жүйелері үшін Гаусс әдісімен шешу қолданылады. Әдістің мақсаты - жүйені инверттелген трапеция түріне келтіру. Алгебралық түрлендірулер мен алмастырулар арқылы бір айнымалының мәні жүйенің теңдеулерінің бірінде табылады. Екінші теңдеу 2 белгісізі бар өрнек, ал 3 және 4 сәйкесінше 3 және 4 айнымалысы бар өрнек.
Жүйені сипатталған пішінге келтіргеннен кейін, одан әрі шешім белгілі айнымалыларды жүйенің теңдеулеріне ретімен ауыстыруға келтіріледі.
7-сыныпқа арналған мектеп оқулықтарында Гаусс әдісі бойынша шешімнің мысалы келесідей сипатталған:
Мысалдан көрініп тұрғандай, (3) қадамда екі теңдеу алынды: 3x 3 -2x 4 =11 және 3x 3 +2x 4 =7. Кез келген теңдеулерді шешу x n айнымалыларының бірін табуға мүмкіндік береді.
Мәтінде айтылған 5-теоремада жүйенің теңдеулерінің бірі эквиваленттімен ауыстырылса, онда алынған жүйе де бастапқыға тең болады деп көрсетілген.
Гаусс әдісін орта мектеп оқушылары үшін түсіну қиын, бірақ ол математика және физика сабақтарында тереңдетілген оқыту бағдарламасына қабылданған балалардың тапқырлығын дамытудың ең қызықты әдістерінің бірі болып табылады.
Жазуды жеңілдету үшін есептеулер әдетте келесідей орындалады:
Теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелер матрица түрінде жазылады, мұнда матрицаның әрбір жолы жүйенің теңдеулерінің біріне сәйкес келеді. теңдеудің сол жағын оң жағынан ажыратады. Рим сандары жүйедегі теңдеулердің санын көрсетеді.
Алдымен, жұмыс істейтін матрицаны, содан кейін жолдардың бірімен орындалатын барлық әрекеттерді жазыңыз. Алынған матрица «көрсеткі» белгісінен кейін жазылады және қажетті алгебралық амалдар нәтижеге жеткенше жалғасады.
Нәтиже диагональдарының бірі 1-ге тең, ал қалған барлық коэффициенттері нөлге тең болатын матрица болуы керек, яғни матрица бірлік пішінге келтіріледі. Теңдеудің екі жағындағы сандармен есептеулер жүргізуді ұмытпау керек.
Бұл жазу әдісі азырақ және көптеген белгісіздерді тізімдеу арқылы алаңдамауға мүмкіндік береді.
Кез келген шешім әдісін ақысыз пайдалану мұқият болуды және біраз тәжірибені қажет етеді. Барлық әдістер қолданбалы сипатта бола бермейді. Шешімдерді табудың кейбір әдістері адам қызметінің белгілі бір саласында жақсырақ, ал басқалары білім беру мақсатында бар.
Екі белгісізі бар сызықтық теңдеулер жүйесі деп олардың барлық ортақ шешімдерін табу қажет екі немесе одан да көп сызықтық теңдеулерді айтады. Екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырамыз. Екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы көрінісі төмендегі суретте берілген:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Мұнда х және у белгісіз айнымалылар, a1, a2, b1, b2, c1, c2 кейбір нақты сандар. Екі белгісіз екі сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі (x,y) сандар жұбы, егер бұл сандарды жүйенің теңдеулеріне ауыстырсақ, онда жүйенің әрбір теңдеуі шын теңдікке айналады. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу тәсілдерінің бірін, атап айтқанда ауыстыру әдісін қарастырайық.
Ауыстыру әдісімен шешу алгоритмі
Ауыстыру әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу алгоритмі:
1. Бір теңдеуді таңдап алыңыз (сандары кішірек теңдеуін таңдаған дұрыс) және одан бір айнымалыны екіншісімен өрнектеңіз, мысалы, х-ті у арқылы өрнектеңіз. (сонымен қатар y-ден x-ке дейін пайдалануға болады).
2. Сәйкес айнымалының орнына алынған өрнекті басқа теңдеуге ауыстырыңыз. Осылайша, бір белгісізі бар сызықтық теңдеу аламыз.
3. Алынған сызықтық теңдеуді шешіп, шешімін алыңыз.
4. Алынған шешімді бірінші абзацта алынған өрнекке ауыстырып, шешімнен екінші белгісізді аламыз.
5. Алынған ерітіндіні тексеріңіз.
Мысал
Түсінікті болу үшін шағын мысалды шешейік.
1-мысал.Теңдеулер жүйесін шешіңіз:
(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18
Шешімі:
1. Осы жүйенің бірінші теңдеуінен х айнымалысын өрнектейміз. Бізде x= (12 -2*y);
2. Осы өрнекті екінші теңдеудің орнына қойсақ, 2*x-3*y=-18 аламыз; 2*(12 -2*у) - 3*у = -18; 24 - 4ж - 3*у = -18;
3. Алынған сызықтық теңдеуді шешіңіз: 24 - 4у - 3*у = -18; 24-7*y =-18; -7*у = -42; y=6;
4. Алынған нәтижені бірінші абзацта алынған өрнектің орнына қойыңыз. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Ол үшін алынған шешімді тексереміз, табылған сандарды бастапқы жүйеге ауыстырамыз;
(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Біз дұрыс теңдіктерді алдық, сондықтан шешімін дұрыс таптық.
Ауыстыру әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу
Теңдеулер жүйесі дегеніміз не екенін еске түсірейік.
Екі айнымалысы бар екі теңдеулер жүйесі деп бір-бірінің астына жазылған, бұйра жақша арқылы қосылған екі теңдеулерді айтады. Жүйені шешу дегеніміз бірінші және екінші теңдеулерді бір уақытта шешетін сандар жұбын табу.
Бұл сабақта біз ауыстыру әдісі сияқты жүйелерді шешу әдісімен танысамыз.
Теңдеулер жүйесін қарастырайық:
Бұл жүйені графикалық түрде шешуге болады. Ол үшін бір координат жүйесіндегі теңдеулердің әрқайсысының графиктерін тұрғызып, оларды келесі түрге түрлендіру керек:
Содан кейін жүйенің шешімі болатын графиктердің қиылысу нүктесінің координаталарын табыңыз. Бірақ графикалық әдіс әрқашан қолайлы емес, өйткені төмен дәлдігімен, тіпті қол жетімсіздігімен ерекшеленеді. Жүйемізді толығырақ қарастыруға тырысайық. Енді ол келесідей көрінеді:
Сіз теңдеулердің сол жақтары тең екенін байқай аласыз, яғни оң жақтары да тең болуы керек. Сонда теңдеуді аламыз:
Бұл біз шеше алатын бір айнымалысы бар таныс теңдеу. Тасымалдау кезінде + және - белгілерін өзгертуді ұмытпай, белгісіз терминдерді сол жаққа, ал белгілілерді оңға жылжытайық. Біз алып жатырмыз:
Енді табылған х мәнін жүйенің кез келген теңдеуіне қойып, у мәнін табайық. Біздің жүйеде екінші теңдеуді пайдалану ыңғайлырақ y = 3 - x ауыстырғаннан кейін біз y = 2 аламыз. Енді орындалған жұмысты талдап көрейік. Біріншіден, бірінші теңдеуде у айнымалысын х айнымалысы арқылы өрнектедік. Содан кейін алынған өрнек - 2x + 4 екінші теңдеуде у айнымалысының орнына ауыстырылды. Содан кейін бір х айнымалысы бар алынған теңдеуді шешіп, оның мәнін таптық. Ақырында, біз басқа y айнымалысын табу үшін х-тің табылған мәнін қолдандық. Осы жерде сұрақ туындайды: у айнымалысын екі теңдеуден де бірден өрнектеу қажет болды ма? Әрине жоқ. Жүйенің тек бір теңдеуінде бір айнымалыны екіншісімен өрнектеп, екіншісінде сәйкес айнымалының орнына пайдалана аламыз. Сонымен қатар, кез келген теңдеуден кез келген айнымалыны өрнектей аласыз. Мұнда таңдау тек шоттың ыңғайлылығына байланысты. Математиктер бұл процедураны алмастыру әдісі арқылы екі айнымалысы бар екі теңдеу жүйесін шешу алгоритмі деп атады.
1. Жүйе теңдеулерінің бірінде айнымалылардың бірін екіншісімен өрнектеңіз.
2.Сәйкес айнымалының орнына алынған өрнекті жүйенің басқа теңдеуіне ауыстырыңыз.
3.Нәтижесінде бір айнымалысы бар теңдеуді шешіңіз.
4.Бірінші қадамда алынған өрнекке айнымалының табылған мәнін қойып, басқа айнымалының мәнін табыңыз.
5.Жауапты үшінші және төртінші қадамдарда табылған сандар жұбы түрінде жазыңыз.
Басқа мысалды қарастырайық. Теңдеулер жүйесін шешіңіз:
Мұнда бірінші теңдеудегі у айнымалысын өрнектеген ыңғайлырақ. Біз у = 8 - 2x аламыз. Алынған өрнекті екінші теңдеудегі у орнына қою керек. Біз алып жатырмыз:
Бұл теңдеуді бөлек жазып, оны шешейік. Алдымен жақшаларды ашайық. 3х - 16 + 4х = 5 теңдеуін аламыз. Теңдеудің сол жағындағы белгісіз мүшелерін, оң жағындағы белгілі мүшелерін жинап, ұқсас мүшелерін келтірейік. 7x = 21 теңдеуін аламыз, демек х = 3.
Енді x-тің табылған мәнін пайдаланып, мынаны табуға болады:
Жауабы: сандар жұбы (3; 2).
Осылайша, біз бұл сабақта екі белгісізі бар теңдеулер жүйесін күмәнді графикалық әдістерге жүгінбей, аналитикалық, дәл шешуді үйрендік.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 сынып 2 бөлім, 1 бөлім, Жалпы білім беретін мекемелерге арналған оқулық / А.Г. Мордкович. – 10-шы басылым, қайта өңделген – Мәскеу, «Мнемосине», 2007 ж.
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 сынып 2 бөлім, 2 бөлім, Оқу орындарына арналған есептер кітабы / [А.Г. Мордкович және басқалар]; өңдеген А.Г. Мордкович - 10-шы басылым, қайта өңделген - Мәскеу, «Мнемосине», 2007 ж.
- ОНЫ. Тульчинская, Алгебра 7 сынып. Блиц сауалнамасы: жалпы білім беретін оқу орындарының студенттеріне арналған оқу құралы, 4-ші басылым, қайта өңделген және кеңейтілген, Мәскеу, Мнемосына, 2008 ж.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 сынып. Жалпы білім беретін оқу орындарының оқушыларына арналған жаңа үлгідегі тақырыптық сынақ жұмыстары А.Г. Мордкович, Мәскеу, «Мнемосине», 2011 ж.
- Александрова Л.А. Алгебра 7 сынып. Жалпы білім беретін оқу орындарының студенттеріне арналған өзіндік жұмыстар, А.Г. Мордкович - 6-шы басылым, стереотиптік, Мәскеу, «Мнемосине», 2010 ж.
Әдетте жүйенің теңдеулері бірінің астындағы бағанға жазылады және бұйра жақшамен біріктіріледі.
Осы типтегі теңдеулер жүйесі, мұндағы a, b, c- сандар, және x, y- айнымалылар шақырылады сызықтық теңдеулер жүйесі.
Теңдеулер жүйесін шешу кезінде теңдеулерді шешуге жарамды қасиеттер қолданылады.
Ауыстыру әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу
Мысал қарастырайық 
1) Айнымалыны теңдеулердің бірінде өрнектеңіз. Мысалы, білдірейік жбірінші теңдеуде жүйені аламыз:
2) Жүйенің екінші теңдеуіне орнына қойыңыз жөрнек 3х-7:
3) Алынған екінші теңдеуді шешіңіз:
4) Алынған шешімді жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстырамыз:
Теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар: сандар жұбы x=1, y=-4. Жауап: (1; -4) , жақшаға жазылады, бірінші орында мән x, Екіншіден - ж.
Сызықтық теңдеулер жүйесін қосу арқылы шешу
Алдыңғы мысалдағы теңдеулер жүйесін шешейік қосу әдісі.
1) Жүйені айнымалылардың бірінің коэффициенттері қарама-қарсы болатындай түрлендіріңіз. Жүйенің бірінші теңдеуін «3»-ке көбейтейік.
2) Жүйенің мүшесінің теңдеулерін мүше бойынша қосыңыз. Жүйенің екінші теңдеуін (кез келген) өзгеріссіз қайта жазамыз.
3) Алынған шешімді жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстырамыз:
Сызықтық теңдеулер жүйесін графикалық жолмен шешу
Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесінің графикалық шешімі теңдеулер графиктерінің ортақ нүктелерінің координаталарын табуға келеді.
Сызықтық функцияның графигі түзу болады. Жазықтықтағы екі түзу бір нүктеде қиылысуы, параллель болуы немесе сәйкес келуі мүмкін. Сәйкесінше теңдеулер жүйесі: а) бірегей шешімі болуы мүмкін; б) шешімдері жоқ; в) шешімдерінің шексіз саны бар.
2) Теңдеулер жүйесінің шешімі графиктердің қиылысу нүктесі (егер теңдеулер сызықтық болса) болып табылады.
Жүйенің графикалық шешімі
Жаңа айнымалыларды енгізу әдісі
Айнымалыларды өзгерту бастапқыға қарағанда қарапайым теңдеулер жүйесін шешуге әкелуі мүмкін.
Жүйенің шешімін қарастырыңыз
Олай болса ауыстыруды енгізейік
Бастапқы айнымалыларға көшейік
Ерекше жағдайлар
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешпей-ақ, сәйкес айнымалылардың коэффициенттерінен оның шешімдерінің санын анықтауға болады.
Бұл жағдайда жүйенің екінші теңдеуінен х-ті у арқылы өрнектеп, бірінші теңдеудегі х орнына алынған өрнекті қойған ыңғайлы:
Бірінші теңдеу бір у айнымалысы бар теңдеу. Оны шешейік:
5(7-3ж)-2ж = -16
Алынған у мәнін x үшін өрнекке ауыстырамыз:
Жауабы: (-2; 3).
Бұл жүйеде бірінші теңдеудегі у-ны х арқылы өрнектеп, екінші теңдеудегі у орнына алынған өрнекті қою оңайырақ:
Екінші теңдеу бір х айнымалысы бар теңдеу. Оны шешейік:
3х-4(-1,5-3,5х)=23
y өрнекте х орнына х=1 қойып, у мәнін табамыз:
Жауабы: (1; -5).
Мұнда екінші теңдеудегі у-ны х арқылы өрнектеген ыңғайлы (өйткені 10-ға бөлу 4, -9 немесе 3-ке бөлуге қарағанда оңай):
Бірінші теңдеуді шешейік:
4x-9(1,6-0,3x)= -1
4x-14,4+2,7x= -1
x=2 орнына қойып, у мәнін табыңыз:
Жауабы: (2; 1).
Ауыстыру әдісін қолданбас бұрын бұл жүйені оңайлату керек. Бірінші теңдеудің екі жағын ең кіші ортақ бөлгішке көбейтуге болады, екінші теңдеуде жақшаларды ашып, ұқсас шарттарды береміз:
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесін алдық. Енді ауыстыруды қолданайық. Екінші теңдеуден a-дан b-ге дейін өрнектеу ыңғайлы:
Жүйенің бірінші теңдеуін шешеміз:
3(21,5 + 2,5б) – 7б = 63
a мәнін табу қалады:
Пішімдеу ережелері бойынша жауапты жақшаға нүктелі үтір арқылы алфавиттік тәртіппен жазамыз.
Жауабы: (14; -3).
Бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектегенде, оны белгілі бір коэффициентпен қалдыру кейде ыңғайлырақ.
