Ауыстыру әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу мысалдары. Сабақтың тақырыбы: «Ауыстыру әдісі» Ауыстыру әдісі арқылы жүйелерді шешу

2. Алгебралық қосу әдісі.
3. Жаңа айнымалыны енгізу әдісі (айнымалыны ауыстыру әдісі).

Анықтамасы:Теңдеулер жүйесі бір немесе бірнеше айнымалылар үшін бір уақытта орындалуы керек бірнеше теңдеулерді білдіреді, яғни. барлық теңдеулер үшін айнымалылардың бірдей мәндерімен. Жүйедегі теңдеулер жүйелік белгімен – бұйра жақшамен біріктіріледі.
1-мысал:

- екі айнымалысы бар екі теңдеулер жүйесі xЖәне ж.
Жүйенің шешімі - тамырлар. Бұл мәндерді ауыстырған кезде теңдеулер шынайы сәйкестіктерге айналады:

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

Жүйені шешудің ең көп тараған әдісі - ауыстыру әдісі.

Ауыстыру әдісі.

Теңдеулер жүйесін шешудің алмастыру әдісі жүйенің бір теңдеуінен айнымалыны басқаларымен өрнектеу және бұл өрнекті өрнектелген айнымалының орнына жүйенің қалған теңдеулеріне ауыстыру болып табылады.
2-мысал:
Теңдеулер жүйесін шешіңіз:

Шешімі:
Теңдеулер жүйесі берілген және оны алмастыру әдісі арқылы шешу қажет.
Айнымалыны өрнектеп көрейік жжүйенің екінші теңдеуінен.
Пікір:«Айнымалыны өрнектеу» теңдікті түрлендіруді білдіреді, осылайша бұл айнымалы 1 коэффициенті бар теңдік белгісінің сол жағында қалады, ал қалған барлық терминдер теңдіктің оң жағына жылжиды.
Жүйенің екінші теңдеуі:

Тек сол жақтан шығайық ж:

Ал бірінші теңдеудің орнына (әдіс атауы осыдан шыққан) ауыстырайық. сағол тең болатын өрнек, яғни. .
Бірінші теңдеу:

ауыстырайық:

Осы банальды квадрат теңдеуді шешейік. Мұны қалай жасау керектігін ұмытқандар үшін Квадрат теңдеулерді шешу мақаласы бар. .

Сонымен айнымалы мәндер xтабылды.
Осы мәндерді айнымалы өрнекке ауыстырайық ж. Мұнда екі мағына бар x, яғни. олардың әрқайсысы үшін мән табу керек ж .
1) рұқсат етіңіз
Біз оны өрнекке ауыстырамыз.

2) рұқсат етіңіз
Біз оны өрнекке ауыстырамыз.

Барлығына жауап беруге болады:
Пікір:Бұл жағдайда у айнымалысының қай мәні х айнымалысының қай мәніне сәйкес келетінін шатастырмау үшін жауапты жұппен жазу керек.
Жауап:
Пікір: 1-мысалда жүйенің шешімі ретінде тек бір жұп көрсетілген, яғни. бұл жұп жүйенің шешімі болып табылады, бірақ толық емес. Демек, теңдеуді немесе жүйені шешу жолы шешімді көрсету және басқа шешімдердің жоқтығын көрсету дегенді білдіреді. Міне, тағы бір жұп.

Бұл жүйенің шешімін мектеп стилінде ресімдейік:

Пікір:«» белгісі «баламалы» дегенді білдіреді, яғни. келесі жүйе немесе өрнек алдыңғыға тең.

Әдетте жүйенің теңдеулері бірінің астындағы бағанға жазылады және бұйра жақшамен біріктіріледі.

Осы типтегі теңдеулер жүйесі, мұндағы a, b, c- сандар, және x, y- айнымалылар шақырылады сызықтық теңдеулер жүйесі.

Теңдеулер жүйесін шешу кезінде теңдеулерді шешуге жарамды қасиеттер қолданылады.

Ауыстыру әдісі арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Мысал қарастырайық

1) Айнымалыны теңдеулердің бірінде өрнектеңіз. Мысалы, білдірейік жбірінші теңдеуде жүйені аламыз:

2) Жүйенің екінші теңдеуіне орнына қойыңыз жөрнек 3х-7:

3) Алынған екінші теңдеуді шешіңіз:

4) Алынған шешімді жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстырамыз:

Теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар: сандар жұбы x=1, y=-4. Жауап: (1; -4) , жақшаға жазылады, бірінші орында мән x, Екіншіден - ж.

Сызықтық теңдеулер жүйесін қосу арқылы шешу

Алдыңғы мысалдағы теңдеулер жүйесін шешейік қосу әдісі.

1) Жүйені айнымалылардың бірінің коэффициенттері қарама-қарсы болатындай түрлендіріңіз. Жүйенің бірінші теңдеуін «3»-ке көбейтейік.

2) Жүйенің мүшесінің теңдеулерін мүше бойынша қосыңыз. Жүйенің екінші теңдеуін (кез келген) өзгеріссіз қайта жазамыз.

3) Алынған шешімді жүйенің бірінші теңдеуіне ауыстырамыз:

Сызықтық теңдеулер жүйесін графикалық жолмен шешу

Екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесінің графикалық шешімі теңдеулер графиктерінің ортақ нүктелерінің координаталарын табуға келеді.

Сызықтық функцияның графигі түзу болады. Жазықтықтағы екі түзу бір нүктеде қиылысуы, параллель болуы немесе сәйкес келуі мүмкін. Сәйкесінше теңдеулер жүйесі: а) бірегей шешімі болуы мүмкін; б) шешімдері жоқ; в) шешімдерінің шексіз саны бар.

2) Теңдеулер жүйесінің шешімі графиктердің қиылысу нүктесі (егер теңдеулер сызықтық болса) болып табылады.

Жүйенің графикалық шешімі

Жаңа айнымалыларды енгізу әдісі

Айнымалыларды өзгерту бастапқыға қарағанда қарапайым теңдеулер жүйесін шешуге әкелуі мүмкін.

Жүйенің шешімін қарастырыңыз

Олай болса ауыстыруды енгізейік

Бастапқы айнымалыларға көшейік

Ерекше жағдайлар

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешпей-ақ, сәйкес айнымалылардың коэффициенттерінен оның шешімдерінің санын анықтауға болады.

Теңдеулер жүйесін шешудің екі түрін талдап көрейік:

1. Ауыстыру әдісі арқылы жүйені шешу.
2. Жүйе теңдеулерін мүше бойынша қосу (азайту) арқылы жүйені шешу.

Теңдеулер жүйесін шешу үшін ауыстыру әдісіменқарапайым алгоритмді орындау керек:
1. Экспресс. Кез келген теңдеуден бір айнымалыны өрнектейміз.
2. Ауыстыру. Алынған мәнді өрнектелген айнымалының орнына басқа теңдеумен ауыстырамыз.
3. Бір айнымалысы бар алынған теңдеуді шешіңіз. Біз жүйенің шешімін табамыз.

Шешу мүше бойынша қосу (азайту) әдісі бойынша жүйеқажет:
1. Бірдей коэффициенттер жасайтын айнымалыны таңдаңыз.
2. Теңдеулерді қосамыз немесе азайтамыз, нәтижесінде бір айнымалысы бар теңдеу шығады.
3. Алынған сызықтық теңдеуді шешіңіз. Біз жүйенің шешімін табамыз.

Жүйенің шешімі функция графиктерінің қиылысу нүктелері болып табылады.

Мысалдар арқылы жүйелердің шешімін егжей-тегжейлі қарастырайық.

№1 мысал:

Ауыстыру әдісімен шешейік

Ауыстыру әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу

2x+5y=1 (1 теңдеу)
x-10y=3 (2-ші теңдеу)

1. Экспресс
Екінші теңдеуде коэффициенті 1 болатын х айнымалысы бар екенін көруге болады, бұл екінші теңдеуден х айнымалысын өрнектеудің ең оңай екенін білдіреді.
x=3+10y

2. Оны өрнектеп болған соң, бірінші теңдеуде х айнымалысының орнына 3+10y мәнін қоямыз.
2(3+10у)+5у=1

3. Бір айнымалысы бар алынған теңдеуді шешіңіз.
2(3+10у)+5у=1 (жақшаларды ашыңыз)
6+20ж+5ж=1
25ж=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Теңдеулер жүйесінің шешімі графиктердің қиылысу нүктелері болып табылады, сондықтан біз х пен у-ды табуымыз керек, өйткені қиылысу нүктесі х пен у-дан тұрады, біз оны өрнектеген бірінші нүктеде у-ны ауыстырамыз.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Бірінші орынға х айнымалысын, екінші орынға у айнымалысын жазамыз нүктелерді жазу әдетке айналған.
Жауабы: (1; -0,2)

№2 мысал:

Терминді қосу (азайту) әдісі арқылы шешейік.

Қосу әдісі арқылы теңдеулер жүйесін шешу

3x-2y=1 (1 теңдеу)
2x-3y=-10 (2-ші теңдеу)

1. Айнымалыны таңдаймыз, x таңдаймыз делік. Бірінші теңдеуде х айнымалысының коэффициенті 3, екіншісінде - 2. Коэффициенттерді бірдей ету керек, ол үшін теңдеулерді көбейтуге немесе кез келген санға бөлуге құқығымыз бар. Бірінші теңдеуді 2-ге, екіншісін 3-ке көбейтіп, жалпы коэффициент 6-ға тең болады.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2х-3у=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Х айнымалысынан құтылу үшін бірінші теңдеуден екіншісін алып, сызықтық теңдеуді шешіңіз.
__6x-4y=2

5ж=32 | :5
y=6,4

3. х-ті табыңыз. Табылған у-ны теңдеулердің кез келгеніне қоямыз, айталық бірінші теңдеуге.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Қиылысу нүктесі x=4,6 болады; y=6,4
Жауабы: (4,6; 6,4)

Емтиханға тегін дайындалғыңыз келе ме? Тәрбиеші онлайн Тегін. Әзіл емес.

Оны анықтап көрейік Ауыстыру әдісі арқылы теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?

1) Жүйенің бірінші немесе екінші теңдеуінен белгісізді өрнектеңіз Xнемесе сағ(біз үшін не ыңғайлы болса);

2) Белгісіздің орнына басқа теңдеуге (белгісіз өрнектелмегенге) ауыстырыңыз Xнемесе сағ(көрсетілсе X, орнына ауыстырыңыз X; білдірілген болса сағ, орнына ауыстырыңыз сағ) нәтижелі өрнек;

3) Біз алған теңдеуді шешіңіз. Табамыз Xнемесе y;

4) Белгісіздің алынған мәнін ауыстырып, екінші белгісізді табыңыз.

Ереже жазылған. Енді оны теңдеулер жүйесін шешуге қолдануға тырысайық.

1-мысал.

Теңдеулер жүйесін мұқият қарастырайық. Бірінші теңдеуден оны өрнектеу оңай екенін байқаймыз сағ.

білдіреміз сағ:

–2у = 11 – 3х

y = (11 – 3x)/(–2)

y = –5,5 + 1,5x

Енді оның орнына екінші теңдеуді мұқият ауыстырайық сағөрнек –5,5 + 1,5x.

Біз аламыз: 4x – 5(–5,5 + 1,5x) = 3

Мына теңдеуді шешейік:

4x + 27,5 – 7,5x = 3

–3,5x = 3 – 27,5

–3,5x = –24,5

x = –24,5/(–3,5)

Өрнектің орнына y = – 5,5 + 1,5x мәнін қоямыз Xбіз тапқан құндылық. Біз алып жатырмыз:

у = – 5,5+ 1,5 7 = –5,5 + 10,5 = 5.

Жауабы: (7; 5)

Бұл қызық, бірақ бірінші теңдеуден өрнектесек жоқ сағ, А X, жауап өзгереді ме?

білдіруге тырысайық Xбірінші теңдеуден.

x = (11 + 2ж)/3

Оның орнына ауыстырайық Xекінші теңдеуде (11 +2у)/3 өрнегі, бір белгісізі бар теңдеуді аламыз және оны шешеміз.

4(11 + 2у)/3 – 5у = ​​3, теңдеудің екі жағын 3-ке көбейтеміз, аламыз

4(11 + 2ж) – 15у=9

44 + 8у – 15у = 9

–7у = 9 – 44

y = –35/(–7)

x = (11 +2y)/3 өрнегіне 5-тің орнына x айнымалысын табамыз.

x = (11 +2 5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7

Жауабы: (7; 5)

Сіз көріп тұрғаныңыздай, жауап бірдей болды. Егер сіз мұқият және мұқият болсаңыз, онда сіз қандай айнымалыны білдірсеңіз де - Xнемесе сағ, сіз дұрыс жауапты аласыз.

Студенттер жиі сұрайды: « Қосу мен ауыстырудан басқа жүйелерді шешудің басқа жолдары бар ма?»

Ауыстыру әдісінің кейбір модификациясы бар - белгісіздерді салыстыру тәсілі .

1) Жүйенің әрбір теңдеуінен бірдей белгісізді екіншісі арқылы өрнектеу керек.

2) Алынған белгісіздер салыстырылып, бір белгісізі бар теңдеу алынады.

3) Бір белгісіздің мәнін табыңыз.

4) Белгісіздің алынған мәнін ауыстырып, екінші белгісізді табыңыз.

2-мысал. Теңдеулер жүйесін шешу

Екі теңдеуден айнымалыны өрнектейміз Xарқылы сағ.

Бірінші теңдеуден х = (13 – 6у) / 5, ал екінші теңдеуден x = (–1 – 18у) / 7 аламыз.

Осы өрнектерді салыстыра отырып, бір белгісізі бар теңдеу аламыз және оны шешеміз:

(13 – 6ж) / 5 = (–1 – 18ж) / 7

7 (13 – 6ж) = 5 (–1 – 18ж)

91 – 42у = –5 – 90у

–42у + 90у = –5 – 91

у = – 96 / 48

Белгісіз Xмәнін қою арқылы табамыз сағөрнектерінің біріне айналдырады X.

(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5

Жауабы: (5; –2).

Сіз де жетістікке жетесіз деп ойлаймын. Сұрақтарыңыз болса, сабағыма келіңіз.

веб-сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру кезінде бастапқы дереккөзге сілтеме қажет.

1 . ТОЛЫҚ АТЫ. мұғалімдер: ____Ткачук Наталья Петровна ______________________________________________________________________________________________________

2. Сынып: _8 Күні: .11.03________Пән_-математика, сабақ кестесі бойынша No71:

3. Сабақтың тақырыбы Жүйені алмастыру арқылы шешу 4 . Оқытылатын тақырыптағы сабақтың орны мен рөлі :. Білімді бекіту сабағы. Сабақтың мақсаты :

Білімділік: теңдеулер жүйесін алмастыру әдісі арқылы шешу туралы білімдерін дамыту. Білу/түсіну: егер графиктердің ортақ нүктелері болса, онда жүйенің шешімдері болады; егер графиктердің ортақ нүктелері болмаса, онда жүйенің шешімдері жоқ; теңдеулер жүйесін шешу алгоритмі.Қолдану жүйелерді ауыстыру арқылы шешу Стандартты емес (стандартты) жағдайларда алған білімдерін қолдану дағдыларын дамытуға ықпал етуДамытушылық: Оқушылардың алған білімдерін жалпылау, талдау, жинақтау, салыстыру, қажетті қорытынды жасау дағдыларын дамытуға ықпал ету. Алған білімдерін стандартты емес және стандартты жағдайларда қолдану дағдыларын дамытуға ықпал ету.Тәрбиелік: Оқу іс-әрекетіне шығармашылық көзқарасын дамытуға ықпал ету

Сабақ кезеңдерінің сипаттамасы

Белсенділік

студенттер

Өзін-өзі анықтау.

Танымдық белсенділікті белсендіру

Жүйені шешу

ауызша

Фронтальды

Оқушылармен амандасу. жүзеге асыру. Сабаққа дайындық, алдағы сабақта табысқа жету жағдайын жасау.

Сабаққа дайындығын тексеру.

2. Білімді жаңарту.

Тақырып бойынша өткен сабақтарда алған білім, білік дағдыларының сапасы мен меңгеру деңгейін анықтау

Сандар жұбы жүйенің шешімі болып табылатынын анықтаңыз. x=5 y=9

Теңдеулермен қандай амалдарды орындауға болады?

(теңдеудің екі жағын бірдей санға көбейту, нөлге тең емес санға бөлу....)

Топтық жұмыс

Фронтальды. Гупповая – есептерді шешу алгоритмдерін талдау;

Қажет кезде жетекші сұрақтар қояды.

Қойылған сұрақтарға жауап береді.

3. Тәрбие міндетін, сабақ мақсаттарын айту.

Қалыптастыру

және дағдыларды дамыту

анықтау және тұжырымдау

мәселе, мақсат және тақырып

сызықтарды оқу

Теңдеулер жүйесін қосу, алмастыру арқылы шешу жолы.

Шешу кезінде қандай әдісті қолданған дұрыс. бұл жүйе?

Топтық жұмыс.

Жеке.

Фронтальды.

Сатып алу бағасын білу үшін қандай қадамдар жасадық?

Қандай тақырыпты оқимыз?

Олар сөйлейді.

4. Тақырып бойынша білімдерін пысықтау кезеңі

Сызықтарды ажырату және салыстыру дағдыларын дамытуға ықпал ету. Өз ойын сауатты, анық және дәл жеткізу дағдыларын дамытуға жағдай жасау.

№ 621

Түзулердің өзара орналасуын табыңыз

2x+0,5y= 1,2 және x- 4y=0

Коэффициенттері бойынша түзулердің қиылысатынын немесе қиылмайтынын анықтауға болады ма?

2. өзара параллель түзулердің теңдеулерін құру.

Оқушымен жұмыс

Өзін-өзі тексеру арқылы жұптық жұмыс

Фронтальды, жеке. есептерді шешу шеберханасы

Қажет кезде жетекші сұрақтар қояды. Бұрын зерттелген материалмен параллельдер жүргізеді.

Ұсынылған тапсырмаларды орындауға мотивация береді.

Оқушыларды формулалардың бар екендігі туралы қорытындыға жетелейді.

Есептерді шешу, қажет болса, жаттығуды дәптерге орындау.

Кезекпен түсініктеме беріңіз, талдаңыз, себептер мен шешімдерді анықтаңыз.

5.Өз бетінше жұмыс істеу

алған білімдерін қолдану. Есептерді шешуде білім мен дағдыларды жаңарту.

Сандарды оқу дағдыларын қалыптастыру және дамыту Берілген тапсырманы шешу үшін өз әрекеттерін жоспарлау, алынған нәтижені бақылау, алынған нәтижені түзету, өзін-өзі реттеу

1 вар –

2 вар

Өздік жұмыс. Көршіңізді тексеру.

«миға шабуыл»,

Жұмыстың орындалуын бақылайды.

Қамтамасыз етеді: жеке бақылау; селективті бақылау.

Өз пікіріңізді білдіруге шақырады.

Мәселелерді шешу. Орындау: өзін-өзі бағалау; алдын ала бағалауды қамтамасыз етеді.

6. Сабақты бағалау, өзін-өзі бағалау.

Өз жетістіктерін талдау және түсіну қабілетін қалыптастыру және дамыту.

Оқу материалын меңгеру деңгейін анықтау мүмкіндігі.

Оқу іс-әрекетіне мотивацияны арттыру үшін аралық нәтижелерді бағалау және өзін-өзі реттеу

Әр кезеңде бағалау

1. Сызықтық теңдеулердің графигін сала аласыз ба?

2.Олардың қиылыспайтынын анықтай аласыз ба?

3. Теңдеулер жүйесін шешу алгоритмін білесіз бе?

4. теңдеулер жүйесін шешудің қандай әдістерін білесіз?

Топтық жұмыс.

Топтық және жеке...

Өз пікіріңізді білдіруге шақырады.

Орындау: өзін-өзі бағалау және досын бағалау.

7. Сабақты қорытындылау. Үй жұмысы.

Өз қызметінің мақсаттары мен нәтижелерін өзара байланыстыра білу. Білім беру қызметіне мотивацияны сақтау үшін салауатты бәсекелестік рухын сақтау; мәселелерді ұжымдық талқылауға қатысу.

4.4 № 623 б

Топтық жұмыс.

Фронтальды – танымдық мақсатты анықтау және тұжырымдау, іс-әрекеттің әдістері мен шарттары туралы рефлексия

Объектілерді талдау және синтездеу

Өз пікіріңізді білдіруге шақырады.

Үй тапсырмасына түсініктеме береді; мәтіндегі мүмкіндіктерді іздеу тапсырмасы...

Балалар талқылауға қатысады, талдайды, әңгімелейді. Олардың жетістіктерін ой елегінен өткізіп, жазып алыңыз.

Бүгін сабақта мен білдім...

Бүгін сабақта мен білдім...