Көрсеткіштік теңсіздіктер жүйесінің шешімі. Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Біртекті теңдеулерді шешудің мысалдары

Теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Бастау үшін жалпы теңдеулер жүйесін шешудің қандай әдістері бар екенін қысқаша еске түсірейік.

Бар төрт негізгі жол теңдеулер жүйесін шешу:

Ауыстыру әдісі: осы теңдеулердің кез-келгені қабылданады және $ y $ $ x $ арқылы өрнектеледі, содан кейін $ y $ $ $ x $ айнымалысы табылған жүйенің теңдеуіне ауыстырылады.

Қосу әдісі: бұл әдісте теңдеудің біреуін немесе екеуін де осындай сандарға көбейту керек, сонда екеуі де қосылғанда айнымалылардың бірі «жоғалады».

Графикалық әдіс: жүйенің екі теңдеуі де координаталық жазықтықта бейнеленеді және олардың қиылысу нүктесі табылған.

Жаңа айнымалыларды енгізу әдісі: бұл әдісте біз жүйені жеңілдету үшін кез-келген өрнектерді ауыстырамыз, содан кейін жоғарыда аталған әдістердің бірін қолданамыз.

Көрсеткіштік теңдеулер жүйесі

Анықтама 1

Көрсеткіштік теңдеулерден тұратын теңдеулер жүйесін көрсеткіштік теңдеулер жүйесі деп атайды.

Көрсеткіштік теңдеулер жүйесін шешуді мысалдар арқылы қарастырамыз.

1-мысал

Теңдеулер жүйесін шешіңіз

Сурет 1.

Шешім.

Бұл жүйені шешу үшін біз бірінші әдісті қолданамыз. Алдымен, $ y $ -ды бірінші теңдеудегі $ x $ түрінде өрнектейік.

2-сурет.

Екінші теңдеудегі $ y $ ауыстырыңыз:

\\ \\ \\ [- 2-x \u003d 2 \\] \\ \\

Жауап: $(-4,6)$.

2-мысал

Теңдеулер жүйесін шешіңіз

3-сурет.

Шешім.

Бұл жүйе жүйеге балама

Сурет 4.

Теңдеулерді шешудің төртінші әдісін қолданайық. $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $ және $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $ болсын, біз мынаны аламыз:

Сурет 5.

Алынған жүйені қосу әдісімен шешейік. Теңдеулерді қосайық:

\ \

Сонда екінші теңдеуден біз мұны аламыз

Ауыстыруға қайта оралып, мен экспоненциалдық теңдеулердің жаңа жүйесін алдым:

6-сурет.

Біз алып жатырмыз:

7-сурет.

Жауап: $(0,1)$.

Көрсеткіштік теңсіздіктер жүйелері

Анықтама 2

Көрсеткіштік теңдеулерден тұратын теңсіздіктер жүйесі деп аталады экспоненциалды теңсіздіктер.

Көрсеткіштік теңсіздіктер жүйесін шешуді мысалдар арқылы қарастырамыз.

3-мысал

Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз

8-сурет.

Шешім:

Бұл теңсіздіктер жүйесі жүйеге эквивалентті

9-сурет.

Бірінші теңсіздікті шешу үшін көрсеткіштік теңсіздіктердің эквиваленттілігі туралы келесі теореманы еске түсіріңіз:

Теорема 1. $ A ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $ теңсіздігі, мұндағы $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ екі жүйенің жиынтығына тең

\\ U)