Емтиханға дайындық. Логарифмдік және көрсеткіштік теңсіздіктерді рационализация әдісімен шешу. Мановтың «емтихандағы логарифмдік теңсіздіктер» жұмысы логарифмдік теңсіздіктерді емтихан профилінің деңгейінің шешімі
Бөлімдері: Математика
Көбінесе, шешім қабылдаған кезде логарифмдік теңсіздіктер, логарифмнің айнымалы негізіне қатысты мәселелер бар. Сонымен, форманың теңсіздігі
стандартты мектеп теңсіздігі болып табылады. Әдетте, оны шешу үшін баламалы жүйелер жиынтығына көшу қолданылады:
Бұл әдістің кемшілігі - екі жүйені және бір жиынтығын есептемей, жеті теңсіздікті шешу қажеттілігі. Берілген квадраттық функциялардың көмегімен жиынтығын шешу көп уақытты қажет етеді.
Осы стандартты теңсіздікті шешудің баламалы, аз еңбекқор әдісі ұсынылуы мүмкін. Ол үшін біз келесі теореманы ескереміз.
Теорема 1. Х жиынында үздіксіз өсетін функция болсын. Сонда бұл жиында функцияның өсуінің белгісі аргументтің өсуімен сәйкес келеді, яғни қайда 
.
Ескерту: егер Х жиынындағы үздіксіз кемитін функция болса, онда.
Енді теңсіздікке қайта оралайық. Ондық логарифмге көшейік (тұрақты базасы бірден үлкен кез келгенге баруға болады).
Енді сіз теореманы функциялардың ұлғаюын ескере отырып, қолдана аласыз 
және бөлгіште. Сондықтан бұл шындық
Нәтижесінде жауапқа әкелетін есептеулер саны шамамен екі есеге азаяды, бұл уақытты үнемдеуге ғана емес, сонымен қатар ықтимал арифметикалық және «назар аудармау» қателіктерін жіберуге мүмкіндік береді.
1-мысал.
(1) -мен салыстыру арқылы табамыз 
, 
, .
(2) -ке өту бізде:
2-мысал.
(1) -мен салыстырсақ ,, табамыз.
(2) -ке өту бізде:
3-мысал.
Теңсіздіктің сол жағы және үшін өсетін функция болғандықтан 
, содан кейін жауап қойылады.
Теорема 1 қолданылуы мүмкін мысалдар жиынтығы, егер Теорема 2 ескерілсе, оңай кеңейтілуі мүмкін.
Түсірілім алаңында болсын X функциялар ,,, және осы белгілерді орнатады және сәйкес келеді, яғни. , содан кейін ол әділ болады.
4 мысал.
Мысал 5.
Стандартты тәсілмен мысал схема бойынша шешіледі: көбейткіштер әр түрлі белгілерде болғанда өнім нөлден аз болады. Анау. басында көрсетілгендей, әр теңсіздік тағы жетіге бөлінетін екі теңсіздік жүйесінің жиынтығы қарастырылады.
Егер біз 2-теореманы ескеретін болсақ, онда (2) ескере отырып, факторлардың әрқайсысын осы мысалда бірдей белгісі бар басқа функциямен ауыстыруға болады O.D.Z.
2-теореманы ескере отырып, функция өсімін аргумент өсіміне ауыстыру әдісі емтиханның C3 типтік есептерін шығарған кезде өте ыңғайлы болып шығады.
6-мысал.
7-мысал.
... Белгілейік. Біз алып жатырмыз
... Ауыстыру мынаны білдіреді:. Теңдеуге оралсақ, аламыз
.
8-мысал.
Біз қолданатын теоремаларда функциялар класына шектеу жоқ. Мысалы, осы мақалада теоремалар логарифмдік теңсіздіктерді шешуге қолданылды. Келесі бірнеше мысалдар теңсіздіктің басқа түрлерін шешудің әдісін уәде етеді.
ҚОЛДАНУДАҒЫ ЛОГАРИТМАЛЫҚ ТЕҢСІЗДІКТЕР
Сечин Михаил Александрович
Қазақстан Республикасының студенттеріне арналған кіші ғылым академиясы «Іздеуші»
«Советская №1 орта мектебі» МБО, 11 сынып, қала. Советский Совет ауданы
Гунько Людмила Дмитриевна, «№1 кеңестік мектеп» МБО мұғалімі
Совет ауданы
Жұмыс мақсаты: стандартты емес әдістерді қолдана отырып, С3 логарифмдік теңсіздіктерін шешу механизмін зерттеу, анықтау қызықты фактілер логарифм.
Зерттеу тақырыбы:
3) С3 стандартты емес логарифмдік теңсіздіктерді стандартты емес әдістерді қолдана отырып шешуді үйреніңіз.
Нәтижелер:
Мазмұны
Кіріспе …………………………………………………………… .4.
1 тарау. Анықтама ………………………………………………… ... 5
2 тарау. Логарифмдік теңсіздіктер жиынтығы …………………………… 7
2.1. Эквивалентті өтулер және интервалдардың жалпыланған әдісі …………… 7
2.2. Рационализация әдісі …………………………………………………… 15
2.3. Стандартты емес ауыстыру ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Қақпан миссиялары ………………………………………………… 27
Қорытынды ……………………………………………………………… 30
Әдебиет …………………………………………………………………………. 31
Кіріспе
Мен 11-сыныптамын және жоғары оқу орнына түсуді жоспарлап отырмын, қайда профиль тақырыбы математика. Сондықтан мен С бөлігінің есептерімен көп жұмыс істеймін, С3 тапсырмасында стандартты емес теңсіздікті немесе әдетте логарифммен байланысты теңсіздіктер жүйесін шешу керек. Емтиханға дайындалу барысында мен C3-те ұсынылған емтихан логарифмдік теңсіздіктерін шешудің әдістері мен тәсілдерінің жетіспеушілігі мәселесіне тап болдым. Оқылған әдістер мектеп бағдарламасы осы тақырып бойынша С3 тапсырмаларын шешуге негіз бола алмаңыз. Математика мұғалімі мені оның басшылығымен С3 тапсырмаларымен өз бетімше жұмыс істеуге шақырды. Сонымен қатар, мені сұрақ қызықтырды: біздің өмірімізде логарифмдер бар ма?
Осыны ескере отырып, тақырып таңдалды:
«Емтихандағы логарифмдік теңсіздіктер»
Жұмыс мақсаты: логарифмнің қызықты фактілерін анықтай отырып, стандартты емес әдістерді қолдана отырып, С3 есептерін шешу механизмін зерттеу.
Зерттеу тақырыбы:
1) Логарифмдік теңсіздіктерді шешудің стандартты емес әдістері туралы қажетті ақпаратты табыңыз.
2) Логарифмдер туралы көбірек ақпарат табыңыз.
3) С3 стандартты емес есептерді шығаруды үйреніңіз.
Нәтижелер:
Практикалық маңыздылығы C3 есептерін шешуге арналған аппаратты кеңейтуде. Бұл материалды кейбір сабақтарда, үйірмелерде, математикадан тыс жұмыстарда қолдануға болады.
Жоба өнімі «Шешімдерімен логарифмдік С3 теңсіздіктер» коллекциясы болады.
1 тарау
XVI ғасырда шамамен есептеулер саны, ең алдымен астрономияда тез өсті. Аспаптарды жетілдіру, планетарлық қозғалыстарды зерттеу және басқа жұмыстар өте үлкен, кейде көптеген жылдар бойы есептеулерді қажет етті. Астрономияға орындалмаған есептеулерге батып кету қаупі төнді. Қиындықтар басқа салаларда пайда болды, мысалы, сақтандыру бизнесінде әр түрлі қызығушылық мәндері үшін күрделі пайыздық кестелер қажет болды. Негізгі қиындық көбейту, көбейту, бөлу арқылы ұсынылды сандық сандар, әсіресе тригонометриялық шамалар.
Логарифмдердің ашылуы XVI ғасырдың соңына қарай белгілі прогрессиялық қасиеттерге негізделген. Архимед q, q2, q3, ... геометриялық прогрессиясының мүшелері мен олардың Забурдағы 1, 2, 3, ... көрсеткіштерінің арифметикалық прогрессиясы арасындағы байланыс туралы айтты. Тағы бір алғышарт - дәреже ұғымын теріс және бөлшек көрсеткіштерге дейін кеңейту болды. Көптеген авторлар түбірді көбейту, бөлу, дәрежелеу және экстракциялау экспоненциалды түрде арифметикада - бір ретпен - қосу, азайту, көбейту және бөлуге сәйкес келетіндігін көрсетті.
Бұл логарифмнің экспонент ретіндегі идеясы болды.
Логарифмдер ілімінің даму тарихында бірнеше кезеңдер өтті.
1 кезең
Логарифмдерді 1594 жылдан кешіктірмей шотландиялық барон Напье (1550-1617), ал он жылдан кейін швейцариялық механик Бурхи (1552-1632) ойлап тапты. Екеуі де арифметикалық есептеулердің жаңа ыңғайлы құралын бергісі келді, дегенмен бұл мәселеге әр түрлі көзқараспен қарады. Непер логарифмдік функцияны кинематикалық түрде өрнектеді және осылайша функциялар теориясының жаңа өрісіне шықты. Бургхи дискретті прогрессияны қарастыру негізінде қалды. Алайда, екеуіне де логарифмнің анықтамасы заманауиға ұқсамайды. «Логарифм» (логарифм) термині Напьерге тиесілі. Ол грек сөздерінің тіркесімінен пайда болды: logos - «қатынас» және ariqmo - «сан», бұл «қатынастар санын» білдірді. Бастапқыда Напье басқа терминді қолданды: numeri naturales - «жасанды сандар», ал numeri naturalts-қа қарағанда «натурал сандар».
1615 жылы Лондондағы Греш колледжінің математика профессоры Генри Бриггспен (1561-1631) әңгімесінде Напье бірлік логарифмі үшін нөлді, ал ондықтың логарифмі үшін 100-ді алуды, немесе дәл осыған келетін жай ғана 1. Осылайша ондық логарифмдер мен алғашқы логарифмдік кестелер басылды. Кейіннен Бриггстің кестелерін голландиялық кітап сатушы және математиканы жақсы көретін Андриан Флакк толықтырды (1600-1667). Напье мен Бриггс логарифмге басқалардан ерте келгенімен, өз кестелерін басқаларға қарағанда кешірек жариялады - 1620 ж. Журнал мен журнал белгілерін 1624 жылы И.Кеплер енгізген. «Табиғи логарифм» терминін Менголи 1659 жылы енгізген, одан кейін 1668 жылы Н.Меркатор енгізген, ал Лондон мұғалімі Джон Шпейдель «Жаңа логарифмдер» деген атпен 1-ден 1000-ға дейінгі сандардың табиғи логарифмдерінің кестелерін шығарды.
Орыс тіліндегі алғашқы логарифмдік кестелер 1703 жылы жарық көрді. Бірақ барлық логарифмдік кестелерде есептеу кезінде қателіктер жіберілген. Алғашқы қатесіз кестелер 1857 жылы Берлинде жарық көрді, оны неміс математигі К.Бремикер (1804-1877) редакциялады.
2 кезең
Логарифмдер теориясының одан әрі дамуы аналитикалық геометрия мен шексіз аз есептеулерді кеңірек қолданумен байланысты. Тең бүйірлі гиперболаның квадратурасы мен табиғи логарифм арасында байланыс орнату сол кезден басталады. Осы кезеңдегі логарифмдер теориясы бірқатар математиктердің есімдерімен байланысты.
Неміс математигі, астрономы және инженері Николаус Меркатор композицияда
«Логарифмтехника» (1668) ln (x + 1) дюймге ыдырайтын қатар береді
х-тің күші:
Бұл өрнек оның ойының жүрісіне толық сәйкес келеді, дегенмен ол, әрине, d, ... белгілерін қолданбаған, бірақ одан да ауыр белгілерді қолданған. Логарифмдік қатардың ашылуымен логарифмдерді есептеу әдістемесі өзгерді: олар шексіз қатарлар көмегімен анықтала бастады. 1907-1908 ж.ж. оқыған «Элементарлы математика» дәрістерінде Ф.Клейн формуланы логарифмдер теориясын құрудың бастапқы нүктесі ретінде қолдануды ұсынды.
3 кезең
Анықтама логарифмдік функция кері функция ретінде
экспоненциалды, логарифм берілген базаның дәрежесінің көрсеткіші ретінде
бірден тұжырымдалған жоқ. Леонард Эйлердің композициясы (1707-1783)
Шексіз аз анализге кіріспе (1748) әрі қарай қызмет етті
логарифмдік функция теориясының дамуы. Осылайша,
логарифмдердің алғаш енгізілгеніне 134 жыл өтті
(1614 жылдан бастап санау) математиктер анықтамаға келгенге дейін
қазір мектеп курсының негізі болып табылатын логарифм тұжырымдамасы.
2 тарау. Логарифмдік теңсіздіктер жиыны
2.1. Эквивалентті ауысулар және жалпыланған интервал әдісі.
Эквивалентті ауысулар
егер\u003e 1 болса
егер 0 <
а <
1
Жалпы интервал әдісі
Бұл әдіс кез-келген типтегі теңсіздіктерді шешуге арналған ең әмбебап әдіс. Шешім схемасы келесідей:
1. Теңсіздікті функция болатын формаға келтір 
, ал оң жақта 0.
2. Функцияның анықталу облысын табыңыз .
3. Функцияның нөлдерін табыңыз , яғни теңдеуді шешу 
(және теңдеуді шешу теңсіздікті шешуге қарағанда оңай).
4. Функцияның анықталу облысы мен нөлдерін сан жолына салыңыз.
5. Функцияның белгілерін анықтаңыз алынған аралықтарда.
6. Функция қажетті мәндерді алатын аралықтарды таңдап, жауабын жазыңыз.
1-мысал.
Шешім:
Аралықтар әдісін қолданайық
қайдан
Бұл мәндер үшін логарифмдер белгісіндегі барлық өрнектер оң мәнге ие.
Жауап:
2-мысал.
Шешім:
1-ші жол . ODZ теңсіздікпен анықталады х \u003e 3. Логарифмді осылай алу х 10-база, аламыз
Соңғы теңсіздікті ыдырау ережелерін қолдану арқылы шешуге болады, яғни. факторларды нөлге теңестіру. Алайда, бұл жағдайда функцияның тұрақтылық аралықтарын анықтау оңай
сондықтан интервалдар әдісін қолдануға болады.
Функция f(х) = 2х(х- 3,5) лгǀ х- 3ǀ үзіліссіз х \u003e 3 және нүктелерде жоғалады х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 \u003d 4. Сонымен, функцияның тұрақтылық аралықтарын анықтаймыз f(х):
Жауап:
2-ші жол . Интервалдар әдісінің идеяларын бастапқы теңсіздікке тікелей қолданайық.
Ол үшін өрнектерді еске түсіріңіз а б - а с және ( а - 1)(б - 1) бір белгі болуы керек. Сонда біздің теңсіздігіміз х \u003e 3 теңсіздікке тең
немесе
Соңғы теңсіздік интервалдар әдісімен шешіледі
Жауап:
3-мысал.
Шешім:
Аралықтар әдісін қолданайық
Жауап:
4 мысал.
Шешім:
2 х 2 - 3х + 3\u003e 0 барлығы үшін хсодан кейін
Екінші теңсіздікті шешу үшін интервалдар әдісін қолданамыз
Бірінші теңсіздікте біз ауыстыруды орындаймыз
онда біз 2y 2 теңсіздігіне келеміз - ж - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те жтеңсіздікті қанағаттандыратын -0.5< ж < 1.
Қайдан, бері
біз теңсіздікті аламыз
солармен бірге жүзеге асырылады х2. ол үшін х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Енді жүйенің екінші теңсіздігінің шешімін ескере отырып, біз ақыр соңында аламыз
Жауап:
Мысал 5.
Шешім:
Теңсіздік жүйелер жиынтығына тең
немесе
Интервалдар әдісін қолданайық немесе
Жауап:
6-мысал.
Шешім:
Теңсіздік жүйеге балама
Болсын
содан кейін ж > 0,
және бірінші теңсіздік
жүйе форманы алады
немесе кеңейту арқылы
квадрат триномиалды факторлар бойынша,
Соңғы теңсіздікке интервалдар әдісін қолдану,
оның шешімдері шартты қанағаттандыратынын көреміз ж \u003e 0 бәрі болады ж > 4.
Сонымен, бастапқы теңсіздік жүйеге балама:
Сонымен, теңсіздікті шешудің жолдары бәрі
2.2. Рационализация әдісі.
Бұрын теңсіздікті рационализациялау әдісі шешілмеген, ол белгісіз болған. Бұл «экспоненциалды және логарифмдік теңсіздіктерді шешудің жаңа заманауи тиімді әдісі» (С. И. Колесникованың кітабынан алынған)
Мұғалім оны білсе де, қорқу болды - емтихан алушы оны біледі және оны неге мектепте бермейді? Мұғалім оқушыға: «Сіз оны қайдан алдыңыз, отырыңыз - 2» деген жағдайлар болды.
Қазір әдіс кеңінен насихатталады. Мамандар үшін осы әдіспен байланысты нұсқаулар бар және «модель нұсқаларының ең толық нұсқаларында ...» С3 шешімінде бұл әдіс қолданылады.
КЕРЕМЕТ ӘДІС!
«Сиқырлы үстел»
Басқа ақпарат көздерінде
егер а a\u003e 1 және b\u003e 1, содан кейін a b\u003e 0 және (a -1) (b -1)\u003e 0 журналын жазыңыз;
егер а a\u003e 1 және 0 егер 0<а<1 и b
>1, содан кейін а b журналын жазыңыз<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
егер 0<а<1 и 00 және (a -1) (b -1)\u003e 0. Жоғарыда келтірілген пайымдау қарапайым, бірақ логарифмдік теңсіздіктерді шешуді едәуір жеңілдетеді. 4 мысал.
журнал x (x 2 -3)<0
Шешім:
Мысал 5.
журнал 2 x (2x 2 -4x +6) -log 2 x (x 2 + x) Шешім: 6-мысал.
Бұл теңсіздікті шешу үшін бөлгіштің орнына (х-1-1) (х-1), ал бөлгіштің орнына көбейтінді (х-1) (х-3-9 + х) деп жазамыз. 7-мысал.
8-мысал.
2.3. Стандартты емес ауыстыру. 1-мысал.
2-мысал.
3-мысал.
4 мысал.
Мысал 5.
6-мысал.
7-мысал.
журнал 4 (3 x -1) журнал 0.25 Ауыстыруды y \u003d 3 x -1 жасайық; онда бұл теңсіздік форманы алады Журнал 4 журнал 0.25 Қалай журнал 0.25 T \u003d log 4 y өзгертеміз және t 2 -2t + ≥0 теңсіздігін аламыз, оның шешімі - интервалдар Сонымен, у-тің мәндерін табу үшін бізде ең қарапайым екі теңсіздіктер жиынтығы болады Демек, бастапқы теңсіздік екі көрсеткіштік теңсіздіктер жиынтығына тең, Осы жиынның бірінші теңсіздігінің шешімі 0 аралығы болып табылады<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8-мысал.
Шешім:
Теңсіздік жүйеге балама DHS-ді анықтайтын екінші теңсіздіктің шешімі солардың жиынтығы болып табылады х,
кім үшін х > 0.
Бірінші теңсіздікті шешу үшін біз өзгеріс енгіземіз Сонда біз теңсіздікті аламыз немесе Соңғы теңсіздікті шешудің жиынтығы әдіс бойынша табылған аралықтар: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, Біз алып жатырмыз немесе Олардың көпшілігі хсоңғы теңсіздікті қанағаттандыратын oDZ тиесілі ( х \u003e 0), демек, жүйенің шешімі болып табылады демек, бастапқы теңсіздік. Жауап: 2.4. Тұзақ іздеу. 1-мысал.
Шешім. ODZ теңсіздіктерінің барлығы 0 шартты қанағаттандыратын х 2-мысал.
журнал 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Жауап... (0; 0,5) U.
Жауап :
(3;6)
.
\u003d -лог 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, содан кейін соңғы теңсіздікті 2log 4 y -log 4 2 y ≤ түрінде қайта жазыңыз.
Бұл жиынның шешімі 0 аралықтары болып табылады<у≤2 и 8≤у<+.
яғни жиынтық 
... Сонымен, бастапқы теңсіздік х-тің 0 аралықтарындағы барлық мәндеріне сәйкес келеді<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Демек, 0 аралығындағы барлық х
Қорытынды
Әр түрлі білім көздерінің молдығынан С3 есептерін шешудің арнайы әдістерін табу оңай болған жоқ. Орындалған жұмыс барысында мен күрделі логарифмдік теңсіздіктерді шешудің стандартты емес әдістерін зерттей алдым. Олар: эквивалентті ауысулар және интервалдардың жалпыланған әдісі, рационализация әдісі , стандартты емес ауыстыру , оДЗ-дағы тұзақтары бар тапсырмалар. Бұл әдістер мектеп бағдарламасында жоқ.
Әр түрлі әдістерді қолдана отырып, мен емтиханда ұсынылған 27 теңсіздікті С бөлігінде шештім, атап айтқанда С3. Әдістер бойынша шешімдермен берілген осы теңсіздіктер менің жұмысымның жобалық өнімі болған «Логарифмдік С3 шешімдермен теңсіздіктер» жинағына негіз болды. Жобаның басында айтқан гипотезам расталды: C3 міндеттерін осы әдістерді біле отырып тиімді шешуге болады.
Сонымен қатар, мен логарифмдер туралы қызықты фактілерді таптым. Мен үшін бұл қызық болды. Менің дизайнерлік өнімдерім студенттер үшін де, мұғалімдер үшін де пайдалы болады.
Қорытынды:
Осылайша, жобаның алға қойған мақсатына қол жеткізілді, мәселе шешілді. Мен жұмыстың барлық кезеңдерінде жобалық қызметте ең толық және жан-жақты тәжірибе алдым. Жоба бойынша жұмыс барысында менің негізгі дамытушылық әсерім ақыл-ой құзыреттілігіне, логикалық ақыл-ой операцияларына байланысты әрекеттерге, шығармашылық құзыреттіліктің дамуына, жеке бастамашылдыққа, жауапкершілікке, табандылыққа, белсенділікке әсер етті.
Ғылыми жоба құру кезінде сәттілік кепілі Мен мынандай болдым: мектептегі маңызды тәжірибе, әр түрлі ақпарат көздерінен ақпарат алу, сенімділігін тексеру, маңыздылығы бойынша дәрежелеу.
Математикадан тікелей пәндік біліммен қатар, ол информатика саласындағы практикалық дағдыларын кеңейтіп, психология саласында жаңа білім мен тәжірибе жинады, сыныптастарымен байланыс орнатты, ересектермен ынтымақтастықты үйренді. Жоба барысында ұйымдастырушылық, интеллектуалды және коммуникативті жалпы білім беру дағдылары мен қабілеттері дамыды.
Әдебиет
1. Корянов А. Г., Прокофьев А. А. Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесі (С3 типтік тапсырмалары).
2. Малкова А.Г. Математикадан емтиханға дайындық.
3. Самарова С.С. Логарифмдік теңсіздіктердің шешімі.
4. Математика. Оқу-әдістемелік жұмыстар жинағы А.Л. Семёнов және И.В. Ященко. -М.: МТСНМО, 2009 ж. - 72 б. -
Мақала математика пәні бойынша 2017 жылға арналған USE профилінен 15 тапсырманы талдауға арналған. Бұл тапсырмада студенттерге көбінесе логарифмдік теңсіздіктерді шешу ұсынылады. Мүмкін, индикативті болуы мүмкін. Бұл мақалада логарифмдік теңсіздіктерге, оның ішінде логарифм негізінде айнымалы бар мысалдарға талдау жасалған. Барлық мысалдар математикадағы USE тапсырмаларының ашық банкінен алынған (профиль), сондықтан мұндай теңсіздіктер сізге емтиханда 15-тапсырма ретінде кездеседі, бәлкім, қысқа мерзім ішінде USE профилінің екінші бөлігінен 15-тапсырманы қалай шешуді білгісі келетіндер үшін өте ыңғайлы. математикадан емтиханнан көбірек ұпай жинау.
Математикадан бейіндік емтиханнан 15 тапсырманы талдау
| Мысал 1. Теңсіздікті шеш: |
Математикадағы 15 ПАЙДАЛАНУ тапсырмаларында (профиль) логарифмдік теңсіздіктер жиі кездеседі. Логарифмдік теңсіздіктерді шешу қолайлы мәндер диапазонын анықтаудан басталады. Бұл жағдайда екі логарифмнің негізінде айнымалы болмайды, тек 11 саны болады, бұл тапсырманы едәуір жеңілдетеді. Демек, мұндағы жалғыз шектеу - логарифм белгісіндегі екі өрнектің де оң екендігі:
Тақырып \u003d «(! LANG: QuickLaTeX.com ұсынған">!}
Жүйедегі бірінші теңсіздік - квадрат теңсіздік. Шешу үшін біз сол жағын факторларға бөліп алсақ, зиян шекпес едік. Менің ойымша, сіз форманың кез-келген квадрат триномиясын білесіз 
келесі түрде бөлінеді:
мұндағы және теңдеудің түбірлері. Бұл жағдайда коэффициент 1-ге тең (бұл алдындағы сандық коэффициент). Коэффициент те 1, ал коэффициент кесінді, ол -20. Триномиалдың түбірлерін Вьетнам теоремасы анықтайды. Біз келтірген теңдеу, онда түбірлердің қосындысы қарама-қарсы таңбалы коэффициентке, яғни -1-ге тең болады, ал осы түбірлердің көбейтіндісі коэффициентке тең болады, яғни -20. Түбірлер -5 және 4 болатынын болжау қиын емес.
Енді теңсіздіктің сол жағын көбейтуге болады: title \u003d «(! LANG: Renderered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X -5 және 4. нүктелерінде. Демек, теңсіздіктің қалаған шешімі интервал болады. Мұнда жазылғандарды түсінбейтіндер үшін сіз осы сәттен бастап видеодан егжей-тегжейлі біле аласыз. Онда сіз жүйенің екінші теңсіздігі қалай шешілетінінің толық түсіндірмесін таба аласыз. Бұл шешілуде. Оның үстіне, жауап жүйенің бірінші теңсіздігімен бірдей. Яғни, жоғарыда жазылған жиынтық - теңсіздіктің рұқсат етілген мәндерінің аймағы.
Сонымен, факторизацияны ескере отырып, бастапқы теңсіздік келесі түрге ие болады:
Формуланы пайдаланып, өрнектің дәрежесіне бірінші логарифм белгісіне 11 келтіреміз, ал екінші логарифмді теңсіздіктің сол жағына, оның таңбасын керісінше өзгертеміз:
Төмендетуден кейін біз мынаны аламыз:
Функцияның өсуіне байланысты соңғы теңсіздік теңсіздікке тең 
, оның шешімі интервал 
... Оны теңсіздіктің рұқсат етілген мәндерімен қиылысу қалады, және бұл бүкіл тапсырмаға жауап болады.
Сонымен, тапсырманың қалаған жауабы:
Біз бұл тапсырманы анықтадық, енді математикадағы 15 ПАЙДАЛАНУ тапсырмасының келесі мысалына жүгінеміз (профиль).
| Мысал 2. Теңсіздікті шешіңіз:
|
Біз шешімді осы теңсіздіктің рұқсат етілген мәндерінің ауқымын анықтаудан бастаймыз. Әрбір логарифмнің негізінде 1-ге тең емес оң сан болуы керек, логарифм белгісіндегі барлық өрнектер оң мәнде болуы керек. Бөлшек бөлгішінде нөл болмауы керек. Соңғы шарт соған тең, өйткені әйтпесе бөлгіштегі екі логарифм де жоғалады. Барлық осы шарттар келесі теңсіздіктер жүйесімен анықталған осы теңсіздіктің рұқсат етілген мәндерінің ауқымын анықтайды:
Тақырып \u003d «(! LANG: QuickLaTeX.com ұсынған">!}
Жарамды мәндер аралығында логарифм түрлендіру формулаларын теңсіздіктің сол жағын оңайлату үшін қолдана аламыз. Формуланы қолдану 
бөлгіштен құтылу:
Енді бізде тек базалық логарифмдер бар. Бұл қазірдің өзінде ыңғайлы. Содан кейін біз формуланы, сондай-ақ даңққа лайық өрнекті келесі түрге келтіру үшін формуланы қолданамыз:
Есептеулерде біз рұқсат етілген мәндер ауқымын қолдандық. Ауыстыруды қолдана отырып, біз келесі өрнекке келеміз:
Біз тағы бір ауыстыруды қолданамыз:. Нәтижесінде біз келесі нәтижеге келеміз:
Сонымен, біз біртіндеп бастапқы айнымалыларға ораламыз. Бірінші айнымалыға:
