Қос жақшалы теңдеуді қалай шешуге болады. Жақшаларды кеңейту: ережелер мен мысалдар (7 сынып). Қарапайым сызықтық теңдеулердің өмірлік мысалдарын шешу

Жақшаны ашып, ұқсас мүшелерді қысқартқаннан кейін бір белгісіз теңдеу шығады

ax + b \u003d 0, мұндағы а және b ерікті сандар деп аталады сызықтық теңдеу біреуімен белгісіз. Бүгін біз осы сызықтық теңдеулерді қалай шешуге болатынын анықтаймыз.

Мысалы, барлық теңдеулер:

2х + 3 \u003d 7 - 0,5х; 0,3х \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - сызықтық.

Теңдеуді шын теңдікке айналдыратын белгісіздің мәні деп аталады шешім немесе теңдеудің түбірі .

Мысалы, егер 3 + 7 \u003d 13 теңдеуінде белгісіз х орнына 2 санын алмастыратын болса, онда біз дұрыс теңдікті аламыз 3 · 2 +7 \u003d 13. Демек, x \u003d 2 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі болады.

Ал x \u003d 3 мәні 3х + 7 \u003d 13 теңдеуін шын теңдікке айналдырмайды, өйткені 3 · 2 +7 ≠ 13. Демек, x \u003d 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі емес.

Кез-келген сызықтық теңдеулерді шешу формадағы теңдеулерді шешуге дейін азаяды

ax + b \u003d 0.

Еркін мүшені теңдеудің сол жағынан оңға жылжытып, b-нің алдындағы таңбаны керісінше өзгерте отырып, аламыз

Егер a ≠ 0 болса, онда x \u003d - b / a .

1-мысал. 3x + 2 \u003d 11 теңдеуін шешіңіз.

2-ді теңдеудің сол жағынан оңға қарай жылжытыңыз, ал 2-нің алдындағы белгіні қарама-қарсыға өзгертіңіз, аламыз
3x \u003d 11 - 2.

Алыңыз, содан кейін
3x \u003d 9.

Х-ті табу үшін өнімді белгілі факторға бөлу керек, яғни
x \u003d 9: 3.

Демек, x \u003d 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі болады.

Жауабы: x \u003d 3.

Егер a \u003d 0 және b \u003d 0 болса, содан кейін 0x \u003d 0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шексіз көп шешімдері бар, өйткені кез-келген санды 0-ге көбейткенде 0 шығады, бірақ b де 0 болады. Кез келген сан - бұл теңдеудің шешімі.

2-мысал.5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 теңдеуін шешіңіз.

Жақшаны кеңейтейік:
5х - 15 + 2 \u003d 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Міне, ұқсас терминдер:
0x \u003d 0.

Жауабы: х - кез келген сан.

Егер a \u003d 0 және b ≠ 0 болса, онда 0х \u003d - b теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімдері жоқ, өйткені кез-келген санды 0-ге көбейтсек, біз 0 аламыз, бірақ b ≠ 0.

3-мысал.X + 8 \u003d x + 5 теңдеуін шешіңіз.

Сол жағында белгісіздер бар мүшелерді, ал оң жақта бос мүшелерді топтастырайық:
x - x \u003d 5 - 8.

Міне, ұқсас терминдер:
0x \u003d - 3.

Жауап: шешімдер жоқ.

Үстінде сурет 1 сызықтық теңдеуді шешу схемасын көрсетеді

Бір айнымалысы бар теңдеулерді шешудің жалпы схемасын құрайық. 4-мысалдың шешімін қарастырыңыз.

4 мысал. Теңдеу шешілсін

1) Теңдеудің барлық шарттарын 12-ге тең бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіңіз.

2) Азайтқаннан кейін аламыз
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) құрамында белгісіз және еркін мүшелері бар мүшелерді ажырату үшін жақшаларды кеңейтеміз:
4х - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) бір бөлігінде белгісіздер бар мүшелерді, ал қалған бөлігінде бос мүшелерді топтастырайық:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Міне ұқсас терминдер:
- 22х \u003d - 154.

6) бөлу - 22, аламыз
x \u003d 7.

Көріп отырғаныңыздай, теңдеудің түбірі жеті.

Жалпы мұндай теңдеулерді келесі схема бойынша шешуге болады:

а) теңдеуді оның барлық түріне келтіру;

б) жақшаларды ашыңыз;

в) теңдеудің бір бөлігінде белгісізді, ал екінші бөлігінде еркін мүшелерді қамтитын мүшелерді топтастырыңыз;

г) ұқсас мүшелерді әкелу;

д) ұқсас мүшелерді келтіргеннен кейін алынған ax \u003d b түріндегі теңдеуді шешіңіз.

Алайда бұл схема әр теңдеу үшін қажет емес. Көптеген қарапайым теңдеулерді шешу кезінде біріншісінен емес, екіншісінен бастау керек ( Мысал. 2018-04-21 Аттестатта сөйлеу керек), үшінші ( Мысал. 13) тіпті бесінші кезеңнен бастап, мысалы 5.

Мысал 5.2x \u003d 1/4 теңдеуін шешіңіз.

X \u003d 1/4: 2 белгісізін табыңыз,
x \u003d 1/8 .

Негізгі мемлекеттік емтиханда табылған кейбір сызықтық теңдеулердің шешімін қарастырайық.

6-мысал.2 (x + 3) \u003d 5 - 6x теңдеуін шешіңіз.

2х + 6 \u003d 5 - 6х

2х + 6х \u003d 5 - 6

Жауап: - 0, 125

7-мысал.- 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7 теңдеуін шешіңіз.

- 30 + 18х \u003d 8х - 7

18х - 8х \u003d - 7 +30

Жауап: 2.3

8-мысал. Теңдеуді шешіңіз

3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24

9х - 12 \u003d 28х + 24

9х - 28х \u003d 24 + 12

9-мысал.F (x + 2) \u003d 3 7 болған жағдайда f (6) табыңыз

Шешім

$ F (6) $ табу керек болғандықтан, $ f (x + 2) $,
онда x + 2 \u003d 6.

X + 2 \u003d 6 сызықтық теңдеуін шешіңіз,
біз x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 аламыз.

Егер x \u003d 4 болса, онда
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Жауап: 27.

Егер сізде қандай да бір сұрақтар туындаса, теңдеулердің шешімін тереңірек түсінгіңіз келсе, КЕСТЕ бойынша менің сабақтарыма жазылыңыз. Мен сізге көмектесуге қуаныштымын!

Сондай-ақ, TutorOnline сізге тәрбиешіміз Ольга Александровнадан сызықтық теңдеулерді және басқаларын түсінуге көмектесетін жаңа бейне оқулықты көруге кеңес береді.

сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

Сызықтық теңдеулер. Шешімі, мысалдары.

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
материалдар 555.
«Өте ...» емес адамдар үшін
Ал «өте біркелкі ...» адамдар үшін))

Сызықтық теңдеулер.

Сызықтық теңдеулер мектеп математикасындағы ең қиын тақырып емес. Бірақ ол жерде оқыған оқушыны да таңдандыратын қулықтар бар. Біз оны анықтаймыз ба?)

Әдетте сызықтық теңдеу түрдегі теңдеу ретінде анықталады:

балта + б = 0 Қайда а және б - кез-келген сандар.

2х + 7 \u003d 0. Мұнда a \u003d 2, b \u003d 7

0,1х - 2,3 \u003d 0 Мұнда a \u003d 0,1, b \u003d -2.3

12x + 1/2 \u003d 0 Мұнда a \u003d 12, b \u003d 1/2

Ештеңе күрделі емес пе? Егер сіз мына сөздерді байқамасаңыз: «мұндағы а және b - кез келген сандар»... Егер сіз байқасаңыз, бірақ абайсызда ойлансаңыз?) Ақыр соңында, егер a \u003d 0, b \u003d 0 (кез-келген сандар болуы мүмкін бе?), содан кейін сіз күлкілі өрнек аласыз:

Бірақ бұл бәрі емес! Егер, айталық, a \u003d 0, және b \u003d 5, бұл әдеттен тыс нәрсе болып шығады:

Математикаға сенімділікті күшейтетін және әлсірететін нәрсе, иә ...) Әсіресе емтихандарда. Бірақ бұл таңқаларлық өрнектерден Х-ны да табу керек! Қандай мүлдем жоқ. Таңқаларлық, бұл Х-ны табу өте оңай. Мұны қалай жасау керектігін білетін боламыз. Бұл оқулықта.

Сызықтық теңдеуді сыртқы түріне қарай қалай білуге \u200b\u200bболады? Бұл сыртқы түрге байланысты.) Сызықтық теңдеулер тек формадағы теңдеулер ғана емес балта + б = 0 , сонымен қатар түрлендірулер мен оңайлатулар арқылы осы түрге келтірілген кез-келген теңдеулер. Оны азайтуға бола ма, жоқ па кім біледі?)

Сызықтық теңдеуді кейбір жағдайларда анық тануға болады. Айталық, егер бізде бірінші дәрежеде белгісіздер ғана болатын теңдеулер болса және сандар болса. Ал теңдеуде жоқ бөлшектер белгісіз , Бұл маңызды! Және бөлу нөмір, немесе сандық бөлшек - өтінемін! Мысалға:

Бұл сызықтық теңдеу. Мұнда бөлшектер бар, бірақ квадратта, кубта және т.б, ал бөлгіштерде х жоқ, т.с.с. емес х-ке бөлу... Міне, теңдеу

сызықтық деп атауға болмайды. Мұнда х-тің барлығы бірінші дәрежеде, бірақ бар х арқылы өрнек арқылы бөлу... Оңайлатулар мен түрлендірулерден кейін сызықтық теңдеуді, квадраттық және кез келген ұнаған нәрсені алуға болады.

Сызықтық теңдеуді қандай да бір қиын мысалда оны шешіп болғанша табу мүмкін емес екен. Бұл көңілсіз. Бірақ тапсырмалар әдетте теңдеу түрі туралы сұрамайды, солай ма? Тапсырмаларға теңдеулер берілген шешу. Бұл қуантады.)

Сызықтық теңдеулерді шешу. Мысалдар.

Сызықтық теңдеулердің барлық шешімдері мыналардан тұрады теңдеулердің бірдей түрлендірулері Айтпақшы, бұл түрлендірулер (екеуіндей!) Шешімдердің негізінде жатыр математиканың барлық теңдеулері. Басқаша айтқанда, шешім кез келген теңдеу дәл осы түрлендірулерден басталады. Сызықтық теңдеулер жағдайында ол (шешім) осы түрлендірулерге негізделген және толыққанды жауаппен аяқталады. Сілтемеге өту мағынасы бар емес пе?) Сонымен қатар, сызықтық теңдеулерді шешудің мысалдары да бар.

Ең қарапайым мысалдан бастайық. Қиындықтар жоқ. Осы теңдеуді шешу керек делік.

x - 3 \u003d 2 - 4x

Бұл сызықтық теңдеу. Х барлығы бірінші дәрежеде, Х бойынша бөліну жоқ. Бірақ, іс жүзінде оның қандай теңдеу екені бізге маңызды емес. Біз оны шешуіміз керек. Схема қарапайым. Барлығын теңдеудің сол жағында х, оң жағында х (цифры жоқ) барлығын жинаңыз.

Ол үшін сізге аудару керек - 4х солға, әрине, белгінің өзгеруімен, бірақ - 3 - Оңға. Айтпақшы, бұл теңдеулердің бірінші бірдей түрленуі. Сіз таңқалдыңыз ба? Сонымен, біз сілтемені ұстанған жоқпыз, бірақ бекер ...) Біз мынаны аламыз:

x + 4x \u003d 2 + 3

Біз ұқсастарды береміз, біз мыналарға сенеміз:

Толық бақыт үшін бізге не жетіспейді? Ия, сол жақта таза Х болуы үшін! Бесеуі жолда. Үздік бестіктен құтылу теңдеулердің екінші бірдей түрленуі. Атап айтқанда, біз теңдеудің екі жағын да 5-ке бөлеміз. Дайын жауап аламыз:

Әрине, қарапайым мысал. Бұл жылытуға арналған.) Мен неге дәл осындай түрлендірулерді еске түсіргенім түсініксіз? Жарайды. Біз бұқаны мүйізден аламыз.) Неғұрлым әсерлі нәрсе шешейік.

Мысалы, мына теңдеу:

Неден бастаймыз? Х - солға, х жоқ - оңға қарай ма? Осылай да болады. Ұзын жолдың бойымен кішкентай қадамдар. Немесе сіз әмбебап және қуатты түрде бірден жасай аласыз. Егер сіз, әрине, сіздің арсеналыңызда болса теңдеулердің бірдей түрлендірулері

Мен сізге негізгі сұрақ қоямын: бұл теңдеу сізге не ұнамайды?

100 адамның 95-і жауап береді: фракциялар ! Жауап дұрыс. Сондықтан олардан арыламыз. Сондықтан, біз бірден бастаймыз екінші тұлғаны трансформациялау... Бөлшекті толығымен азайтуға болатындай етіп, сол жақтағы бөлшекті көбейту үшін не қажет? Дұрыс, 3. Ал оң жақта? 4. Математика бізге екі жағын да көбейтуге мүмкіндік береді бірдей сан... Біз қалай шығамыз? Ал екі жағын да 12-ге көбейтейік! Анау. ортақ бөлгіш арқылы. Сонда үшеуі де, төртеуі де азаяды. Әр бөлікті көбейту керек екенін ұмытпаңыз толығымен... Алғашқы қадам осылай көрінеді:

Жақшаны кеңейтіңіз:

Назар аударыңыз! Нумератор (x + 2) Мен жақшаны қойдым! Себебі бөлшектерді көбейткенде, нумератор толығымен, толығымен көбейтіледі! Енді фракцияларды азайтуға болады:

Қалған жақшаларды кеңейтіңіз:

Мысал емес, керемет рахат!) Енді біз бастауыш сыныптардан заклинание еске түсіреміз: х - солға, х жоқ - оңға! Осы трансформацияны қолданыңыз:

Міне ұқсастар:

Және біз екі бөлікті де 25-ке бөлеміз, яғни. екінші түрлендіруді қайтадан қолданыңыз:

Осымен болды. Жауап: х=0,16

Ескерту: бастапқы күрделі теңдеуді жағымды түрге келтіру үшін біз екі (тек екеуі ғана) қолдандық бірдей түрлендірулер - таңбаның өзгеруімен және сол санға теңдеуді көбейту-бөлу арқылы солдан оңға ауыстыру. Бұл әмбебап әдіс! Біз осылайша жұмыс істейтін боламыз кез келген теңдеулер! Мүлдем. Сондықтан мен осы түрлендірулерді үнемі қайталап отырамын.)

Көріп отырғаныңыздай, сызықтық теңдеулерді шешу принципі қарапайым. Теңдеуді алып, оны көмегімен жеңілдетіңіз бірдей түрлендірулер жауап алынғанға дейін. Мұндағы негізгі проблемалар шешуге емес, есептеуге байланысты.

Бірақ ... Ең қарапайым сызықтық теңдеулерді шешу процесінде осындай тосынсыйлар бар, олар сізді күшті ступорға итермелейді ...) Бақытымызға орай, мұндай тосынсыйлар тек екі ғана болуы мүмкін. Оларды ерекше жағдайлар деп атайық.

Сызықтық теңдеулерді шешу кезіндегі ерекше жағдайлар.

Бірінші тосын сый.

Сіз қарапайым теңдеуді кездестірдіңіз делік, мысалы:

2х + 3 \u003d 5х + 5 - 3х - 2

Аздап зеріктіріп, біз оны х-мен солға, х-тен оңға қарай ауыстырамыз ... Белгінің өзгеруімен бәрі шын-чинар ... Біз аламыз:

2х-5х + 3x \u003d 5-2-3

Біз қарастырамыз, және ... әттең !!! Біз алып жатырмыз:

Бұл теңдіктің өзі қарсылықты емес. Нөл нөлге тең. Бірақ Х жоқ! Және біз жауапқа жазуымыз керек х деген не Әйтпесе, шешім есептелмейді, иә ...) Тығырық?

Тыныш! Мұндай күмәнді жағдайларда ең жалпы ережелер үнемделеді. Теңдеулерді қалай шешуге болады? Теңдеуді шешу дегеніміз не? Бұл дегеніміз, бастапқы теңдеуге ауыстырылған кезде бізге дұрыс теңдік беретін барлық x мәндерін табыңыз.

Бірақ бізде шынайы теңдік бар қазірдің өзінде болды! 0 \u003d 0, қаншалықты дәлірек?! Оның қандай хх болатынын анықтау керек. Х-тің қандай мәндерін ауыстыруға болады бастапқы егер бұл х болса, теңдеу бәрібір нөлге дейін қысқара ма? Қане?)

Ия !!! X-ті ауыстыруға болады кез келген! Сен не тілейсің. Кем дегенде 5, кем дегенде 0,05, кем дегенде -220. Олар бәрібір кішірейеді. Егер сенбесеңіз, оны тексеруге болады.) Кез келген x мәнін ауыстырыңыз бастапқы теңдеу және санау. Барлық уақытта таза шындық алынады: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 және т.б.

Міне жауап: х - кез келген сан.

Жауапты әр түрлі математикалық белгілерде жазуға болады, мәні өзгермейді. Бұл өте дұрыс және толық жауап.

Екінші тосын сый.

Сол қарапайым сызықтық теңдеуді алып, ондағы бір ғана санды өзгертейік. Біз мұны шешеміз:

2х + 1 \u003d 5х + 5 - 3x - 2

Дәл осындай түрлендірулерден кейін біз қызықты нәрсе аламыз:

Бұл сияқты. Сызықтық теңдеуді шешті, таңқаларлық теңдікті алды. Математикалық тұрғыдан алғанда, біз алдық қате теңдік. Және сөйлеу қарапайым тіл, бұл дұрыс емес. Рейв. Бірақ, бұл мағынасыздық - теңдеуді дұрыс шешуге өте жақсы себеп.)

Тағы да, біз жалпы ережелерге сүйене отырып ойлаймыз. Алғашқы теңдеуге ауыстырылған кезде бізге не береді? шын теңдік? Ия, жоқ! Мұндай х-тер жоқ. Қандай нәрсені алмастырсаңыз, бәрі азаяды, делирий қалады.)

Міне жауап: шешімдер жоқ.

Бұл да толық жауап. Математикада мұндай жауаптар жиі кездеседі.

Бұл сияқты. Енді кез-келген (тек сызықтық емес) теңдеуді шешу барысында x-тің жоғалуы сізді мүлде шатастырмайды деп үміттенемін. Мәселе бұрыннан таныс.)

Енді сызықтық теңдеулердегі барлық қателіктерді анықтағаннан кейін, оларды шешудің мәні бар.

Егер сізге бұл сайт ұнаса ...

Айтпақшы, менде сізге бірнеше қызықты сайттар бар.)

Сіз мысалдарды шешуге машықтанып, өз деңгейіңізді біле аласыз. Лездік тексеру тесті. Оқу - қызығушылықпен!)

функцияларымен және туындыларымен таныса аласыз.

Жақшалар сандық, әріптік және айнымалы өрнектердегі әрекеттерді орындау ретін көрсету үшін қолданылады. Жақшасы бар өрнектен жақшасыз бірдей тең өрнекке ауысу ыңғайлы. Бұл әдіс жақшаны кеңейту деп аталады.

Жақшаны кеңейту дегеніміз сол жақшаның ішіндегі өрнектен құтылу деген сөз.

Жақшаларды ашқандағы шешімдерді есепке алу ерекшеліктеріне қатысты тағы бір мәселе ерекше назар аударады. Бастапқы өрнекті жақшалармен және жақшаны кеңейткеннен кейін алынған нәтижені теңдік ретінде жаза аламыз. Мысалы, жақшаны кеңейткеннен кейін, өрнектің орнына
3− (5−7) 3−5 + 7 өрнегін аламыз. Осы екі өрнекті де 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7 теңдігі ретінде жаза аламыз.

Тағы бір маңызды мәселе. Математикада жазбаларды қысқарту үшін, егер ол алдымен өрнекте немесе жақшаның ішінде пайда болса, қосу таңбасын жазбау әдетке айналған. Мысалы, егер біз екі оң санды, мысалы, жеті және үшеуді қоссақ, онда + 7 + 3 емес, жай 7 + 3 деп жазамыз, дегенмен жеті де оң сан болып табылады. Сол сияқты, егер сіз (5 + x) өрнегін көрсеңіз - жақшаның алдында плюс бар екенін біліңіз, ол жазылмаған, ал бестіктің алдында плюс + (+ 5 + x) бар.

Жақшаны қосымша кеңейту ережесі

Жақшаны кеңейту кезінде жақшаның алдында плюс болса, жақшаға қоса бұл плюс алынып тасталады.

Мысал. 2 + (7 + 3) өрнегіндегі жақшаларды кеңейтіңіз, жақшалар плюс алдында жақшалардағы сандардың алдындағы белгілер өзгермейді дегенді білдіреді.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Азайтудағы жақшаның кеңею ережесі

Егер жақшалардың алдында минус болса, онда бұл минус жақшалармен бірге алынып тасталады, бірақ жақшада болған терминдер олардың таңбасын керісінше өзгертеді. Жақшаның ішіндегі бірінші мүшенің алдында белгінің болмауы + таңбасын білдіреді.

Мысал. Жақшаны 2 - (7 + 3) өрнегінде кеңейту

Жақшалардың алдында минус бар, яғни жақшалардан сандар алдындағы белгілерді өзгерту керек. Жақшада 7 санының алдында ешқандай белгі жоқ, бұл дегеніміз жетілік оң болады, алдында + белгісі бар деп есептеледі.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Жақшаларды кеңейту кезінде біз жақшаның алдында тұрған минусты алып тастаймыз, ал жақшалардың өзі 2 - (+ 7 + 3), ал жақшада тұрған белгілер кері болады.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Көбейту кезінде жақшаларды кеңейту

Егер жақшалардың алдында көбейту белгісі болса, онда жақшаның ішіндегі әрбір сан жақшаның алдындағы коэффициентке көбейтіледі. Бұл жағдайда минусты минусқа көбейту плюс береді, ал минусты плюсқа көбейту, сонымен қатар плюс минусқа көбейту минус береді.

Сонымен, көбейтудің үлестірімділік қасиетіне сәйкес шығармалардағы жақшалар кеңейтіледі.

Мысал. 2 (9 - 7) \u003d 2 9 - 2 7

Жақшаны жақшаға көбейту кезінде бірінші жақшаның әрбір мүшесі екінші жақшаның әр мүшесімен көбейтіледі.

(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Шындығында, барлық ережелерді есте сақтаудың қажеті жоқ, біреуін ғана есте сақтау жеткілікті, бұл: c (a-b) \u003d ca-cb. Неліктен? Егер сіз онда с-нің орнына біреуін ауыстырсаңыз, онда сіз (a - b) \u003d a - b ережесін аласыз. Ал егер минус біреуін ауыстырсақ, онда - (a - b) \u003d - a + b ережесі шығады. Егер сіз c орнына басқа жақшаны алмастырсаңыз, онда сіз соңғы ережені ала аласыз.

Жақшаларды бөлуге бөлу

Егер жақшадан кейін бөлу белгісі болса, онда жақшаның ішіндегі әрбір сан жақшадан кейін бөлгішке бөлінеді және керісінше.

Мысал. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3

Ұяланған жақшаларды қалай кеңейтуге болады

Егер өрнекте кірістірілген жақшалар болса, онда олар сыртқы немесе ішкі жақтаулардан бастап ретімен кеңейтіледі.

Сонымен қатар, жақшалардың бірін ашқанда, басқа жақшаларға қол тигізбеу керек, оларды сол күйінде қайта жазу керек.

Мысал. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b

Жақшаны ашып, ұқсас мүшелерді қысқартқаннан кейін бір белгісіз теңдеу шығады

ax + b \u003d 0, мұндағы а және b ерікті сандар деп аталады сызықтық теңдеу біреуімен белгісіз. Бүгін біз осы сызықтық теңдеулерді қалай шешуге болатынын анықтаймыз.

Мысалы, барлық теңдеулер:

2х + 3 \u003d 7 - 0,5х; 0,3х \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - сызықтық.

Теңдеуді шын теңдікке айналдыратын белгісіздің мәні деп аталады шешім немесе теңдеудің түбірі .

Мысалы, егер 3 + 7 \u003d 13 теңдеуінде белгісіз х орнына 2 санын алмастыратын болса, онда біз дұрыс теңдікті аламыз 3 · 2 +7 \u003d 13. Демек, x \u003d 2 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі болады.

Ал x \u003d 3 мәні 3х + 7 \u003d 13 теңдеуін шын теңдікке айналдырмайды, өйткені 3 · 2 +7 ≠ 13. Демек, x \u003d 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі емес.

Кез-келген сызықтық теңдеулерді шешу формадағы теңдеулерді шешуге дейін азаяды

ax + b \u003d 0.

Еркін мүшені теңдеудің сол жағынан оңға жылжытып, b-нің алдындағы таңбаны керісінше өзгерте отырып, аламыз

Егер a ≠ 0 болса, онда x \u003d - b / a .

1-мысал. 3x + 2 \u003d 11 теңдеуін шешіңіз.

2-ді теңдеудің сол жағынан оңға қарай жылжытыңыз, ал 2-нің алдындағы белгіні қарама-қарсыға өзгертіңіз, аламыз
3x \u003d 11 - 2.

Алыңыз, содан кейін
3x \u003d 9.

Х-ті табу үшін өнімді белгілі факторға бөлу керек, яғни
x \u003d 9: 3.

Демек, x \u003d 3 мәні теңдеудің шешімі немесе түбірі болады.

Жауабы: x \u003d 3.

Егер a \u003d 0 және b \u003d 0 болса, содан кейін 0x \u003d 0 теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шексіз көп шешімдері бар, өйткені кез-келген санды 0-ге көбейткенде 0 шығады, бірақ b де 0 болады. Кез келген сан - бұл теңдеудің шешімі.

2-мысал.5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1 теңдеуін шешіңіз.

Жақшаны кеңейтейік:
5х - 15 + 2 \u003d 3х - 12 + 2х - 1.

5х - 3х - 2х \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Міне, ұқсас терминдер:
0x \u003d 0.

Жауабы: х - кез келген сан.

Егер a \u003d 0 және b ≠ 0 болса, онда 0х \u003d - b теңдеуін аламыз. Бұл теңдеудің шешімдері жоқ, өйткені кез-келген санды 0-ге көбейтсек, біз 0 аламыз, бірақ b ≠ 0.

3-мысал.X + 8 \u003d x + 5 теңдеуін шешіңіз.

Сол жағында белгісіздер бар мүшелерді, ал оң жақта бос мүшелерді топтастырайық:
x - x \u003d 5 - 8.

Міне, ұқсас терминдер:
0x \u003d - 3.

Жауап: шешімдер жоқ.

Үстінде сурет 1 сызықтық теңдеуді шешу схемасын көрсетеді

Бір айнымалысы бар теңдеулерді шешудің жалпы схемасын құрайық. 4-мысалдың шешімін қарастырыңыз.

4 мысал. Теңдеу шешілсін

1) Теңдеудің барлық шарттарын 12-ге тең бөлгіштердің ең кіші ортақ еселігіне көбейтіңіз.

2) Азайтқаннан кейін аламыз
4 (x - 4) + 32 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) құрамында белгісіз және еркін мүшелері бар мүшелерді ажырату үшін жақшаларды кеңейтеміз:
4х - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) бір бөлігінде белгісіздер бар мүшелерді, ал қалған бөлігінде бос мүшелерді топтастырайық:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Міне ұқсас терминдер:
- 22х \u003d - 154.

6) бөлу - 22, аламыз
x \u003d 7.

Көріп отырғаныңыздай, теңдеудің түбірі жеті.

Жалпы мұндай теңдеулерді келесі схема бойынша шешуге болады:

а) теңдеуді оның барлық түріне келтіру;

б) жақшаларды ашыңыз;

в) теңдеудің бір бөлігінде белгісізді, ал екінші бөлігінде еркін мүшелерді қамтитын мүшелерді топтастырыңыз;

г) ұқсас мүшелерді әкелу;

д) ұқсас мүшелерді келтіргеннен кейін алынған ax \u003d b түріндегі теңдеуді шешіңіз.

Алайда бұл схема әр теңдеу үшін қажет емес. Көптеген қарапайым теңдеулерді шешу кезінде біріншісінен емес, екіншісінен бастау керек ( Мысал. 2018-04-21 Аттестатта сөйлеу керек), үшінші ( Мысал. 13) тіпті бесінші кезеңнен бастап, мысалы 5.

Мысал 5.2x \u003d 1/4 теңдеуін шешіңіз.

X \u003d 1/4: 2 белгісізін табыңыз,
x \u003d 1/8 .

Негізгі мемлекеттік емтиханда табылған кейбір сызықтық теңдеулердің шешімін қарастырайық.

6-мысал.2 (x + 3) \u003d 5 - 6x теңдеуін шешіңіз.

2х + 6 \u003d 5 - 6х

2х + 6х \u003d 5 - 6

Жауап: - 0, 125

7-мысал.- 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7 теңдеуін шешіңіз.

- 30 + 18х \u003d 8х - 7

18х - 8х \u003d - 7 +30

Жауап: 2.3

8-мысал. Теңдеуді шешіңіз

3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24

9х - 12 \u003d 28х + 24

9х - 28х \u003d 24 + 12

9-мысал.F (x + 2) \u003d 3 7 болған жағдайда f (6) табыңыз

Шешім

$ F (6) $ табу керек болғандықтан, $ f (x + 2) $,
онда x + 2 \u003d 6.

X + 2 \u003d 6 сызықтық теңдеуін шешіңіз,
біз x \u003d 6 - 2, x \u003d 4 аламыз.

Егер x \u003d 4 болса, онда
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

Жауап: 27.

Егер сізде әлі де сұрақтар туындайтын болса, онда теңдеулердің шешімін тереңірек түсінуге ұмтылыс бар. Мен сізге көмектесуге қуаныштымын!

Сондай-ақ, TutorOnline сізге тәрбиешіміз Ольга Александровнадан сызықтық теңдеулерді және басқаларын түсінуге көмектесетін жаңа бейне оқулықты көруге кеңес береді.

блог. сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.