Тригонометриялық теңдеулер өрнектерінің мәнін табыңыз. «Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету» сабағы

Бөлімдері: Математика

Сынып: 11

1-сабақ

Тақырып: 11 сынып (емтиханға дайындық)

Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету.

Қарапайым шешім тригонометриялық теңдеулер... (2 сағат)

Міндеттері:

• Тригонометрия формулаларын қолдануға және қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге байланысты студенттердің білімдері мен дағдыларын жүйелеу, жалпылау, кеңейту.

Сабаққа арналған жабдықтар:

Сабақтың құрылымы:

1. Ұйымдастыру сәті
2. Ноутбуктерде тестілеу. Нәтижелерді талқылау.
3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету
4. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
5. Өзіндік жұмыс.
6. Сабақтың қысқаша мазмұны. Үй тапсырмасын түсіндіру.

1. Ұйымдастыру сәті. (2 минут.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақтың тақырыбын жариялайды, тригонометрия формулаларын қайталау бойынша алдыңғы тапсырманы еске түсіреді және оқушыларды тестілеуге қояды.

2. Тестілеу. (15мин + 3миндік талқылау)

Мақсат - білімді тексеру тригонометриялық формулалар және оларды қолдану мүмкіндігі. Әр оқушының жұмыс үстелінде тест нұсқасы бар ноутбук бар.

Опциялардың кез-келген саны болуы мүмкін, олардың біреуіне мысал келтіремін:

I нұсқа

Өрнектерді жеңілдетіңіз:

а) негізгі тригонометриялық сәйкестіліктер

1. күнә 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) қосу формулалары

3.sin5x - sin3x;

в) көбейтіндіні қосындыға айналдыру

6.2sin8y жайлы;

г) қос бұрышты формулалар

7.2sin5x cos5x;

д) бұрыштың жарты формулалары

f) үш бұрыштық формулалар

ж) әмбебап ауыстыру

з) дәрежені төмендету

16. кос 2 (3x / 7);

Ноутбуктағы оқушылар әр формуланың алдында жауаптарын көреді.

Жұмысты компьютер бірден тексереді. Нәтижелер үлкен экранда барлығы көре алады.

Сондай-ақ, жұмыс аяқталғаннан кейін дұрыс жауаптар оқушылардың ноутбуктарында көрсетіледі. Әр оқушы қай жерде қателік жіберілгенін және қандай формулаларды қайталау керектігін көреді.

3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. (25 мин.)

Мақсат - тригонометрияның негізгі формулаларын қарастыру, тәжірибе жасау және қолдануды бекіту. Емтиханнан В7 есептерін шығару.

Бұл кезеңде сыныпты мұғаліммен жұмыс жасайтын күшті (кейінгі тексерумен өз бетінше жұмыс жасайтын) және әлсіз оқушылар тобына бөлген жөн.

Мықты оқушыларға арналған тапсырма (баспа негізінде алдын-ала дайындалады). 2011 ж. Емтиханына сәйкес негізгі редукция және екі бұрыштың формулаларына баса назар аударылады.

Өрнектерді жеңілдетіңіз (күшті оқушылар үшін):

Мұнымен қатар мұғалім әлсіз оқушылармен жұмыс істейді, оқушылардың диктанты бойынша экрандағы тапсырмаларды талқылайды және шешеді.

Есептеңіз:

5) күнә (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Жеңілдету:

Енді мықты топ жұмысының нәтижелерін талқылауға кезек келді.

Жауаптар экранда пайда болады, сонымен қатар бейнекамера көмегімен 5 әр түрлі оқушылардың жұмыстары көрсетіледі (әрқайсысына бір тапсырма).

Әлсіз топ шешудің шарты мен әдісін көреді. Талқылау және талдау жұмыстары жүріп жатыр. Техникалық құралдарды қолданғанда бұл тез орын алады.

4. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (30 мин.)

Мақсаты - қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешілуін, түбірлерін тіркей отырып, қайталау, жүйелеу және жалпылау. В3 мәселесін шешу.

Кез-келген тригонометриялық теңдеу, оны қалай шешсек те, ең қарапайымына әкеледі.

Тапсырманы орындаған кезде студенттер ерекше жағдайлардың теңдеулерінің түбірлерін және жалпы формасын жазуға және соңғы теңдеудегі түбірлерді таңдауға бағытталуы керек.

Теңдеулерді шешу:

Жауап ретінде ең кішкентай оң тамырды жазыңыз.

5. Өздік жұмыс (10 мин.)

Мақсат - алынған дағдыларды тексеру, проблемаларды, қателіктерді және оларды жою тәсілдерін анықтау.

Студенттің таңдауы бойынша әр түрлі деңгейдегі жұмыс ұсынылады.

«3» опциясы

1) өрнектің мәнін табыңыз

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α өрнегін жеңілдетіңіз

3) теңдеуді шешіңіз

«4» нұсқасы

1) өрнектің мәнін табыңыз

2) теңдеуді шешіңіз Жауапқа ең кіші оң түбірді жазыңыз.

«5» опциясы

1) егер tgα-ны табыңыз

2) Теңдеудің түбірін табыңыз Жауабыңызға ең кішкентай оң тамырды жазыңыз.

6. Сабақтың қысқаша мазмұны (5 мин.)

Мұғалім сабақта тригонометриялық формулаларды, қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді қайталап, шоғырландырғанын қорытындылайды.

Келесі сабақта реттік тексерулермен үйге тапсырма (алдын-ала баспа негізінде дайындалған).

Теңдеулерді шешу:

9)

10) Жауабыңыздағы ең кіші оң тамырды көрсетіңіз.

2 сессия

Тақырып: 11 сынып (емтиханға дайындық)

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. Тамырларды таңдау. (2 сағат)

Міндеттері:

• Әр түрлі типтегі тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша білімді жалпылау және жүйелеу.
• Оқушылардың математикалық ойлау қабілетін, бақылау, салыстыру, жалпылау, жіктеу қабілеттерін дамытуға ықпал ету.
• Студенттерді ақыл-ой әрекеті процесіндегі қиындықтарды жеңуге, өзін-өзі басқаруға, өз іс-әрекеттерін интроспекциялауға шақыру.

Сабаққа арналған жабдықтар: KRMu, әр студентке арналған ноутбуктар.

Сабақтың құрылымы:

1. Ұйымдастыру сәті
2. Д / с және самотты талқылау. өткен сабақтың жұмыстары
3. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін қайталау.
4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу
5. Тригонометриялық теңдеулердегі түбірлерді таңдау.
6. Өзіндік жұмыс.
7. Сабақтың қысқаша мазмұны. Үй жұмысы.

1. Ұйымдастыру сәті (2 мин.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақ тақырыбы мен жұмыс жоспарын хабарлайды.

2. а) Үй тапсырмасын шолу (5 мин.)

Мақсат - орындалуын тексеру. Бейнекамераның көмегімен бір жұмыс экранда көрсетіледі, қалғаны мұғалімнің тексеруі үшін іріктеліп жинақталады.

ә) Өздік жұмыстарды талдау (3 мин.)

Мақсаты - жіберілген қателіктерді талдау, оларды жою жолдарын көрсету.

Экранда студенттердің жауаптары мен шешімдері олардың жұмысына алдын-ала берілген. Талдау тез дамып келеді.

3. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін қайталау (5 мин.)

Мақсат - тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін еске түсіру.

Оқушылардан тригонометриялық теңдеулерді шешудің қандай әдістерін білетіндігін сұраңыз. Негізгі (жиі қолданылатын) деп аталатын әдістер бар екеніне назар аударыңыз:

• ауыспалы ауыстыру,
• факторизация,
• біртекті теңдеулер,

және қолданылатын әдістер бар:

• қосындысын көбейтіндіге, ал көбейтіндісін қосындыға айналдыру формулаларына сәйкес,
• дәрежені төмендету формулалары бойынша,
• әмбебап тригонометриялық алмастыру
• көмекші бұрышты енгізу,
• кейбір тригонометриялық функцияға көбейту.

Сондай-ақ, бір теңдеуді әртүрлі тәсілдермен шешуге болатындығын есте ұстаған жөн.

4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу (30 мин.)

Мақсат - осы тақырып бойынша білім мен дағдыларды қорыту және бекіту, емтиханнан бастап С1 шешіміне дайындық.

Әр әдіс бойынша теңдеулерді оқушылармен бірге шешуді мақсатты деп санаймын.

Оқушы шешімін өзі айтады, мұғалім планшетке жазып алады, бүкіл процесс экранда көрсетіледі. Бұл сізге бұрын қамтылған материалды тез және тиімді еске түсіруге мүмкіндік береді.

Теңдеулерді шешу:

1) айнымалының өзгеруі 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) факторинг 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) біртекті теңдеулер sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) қосындысын cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x) көбейтіндісіне айналдыру

5) көбейтіндіні 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 қосындысына айналдыру

6) sin2x қуатын төмендету - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) әмбебап тригонометриялық алмастыру sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Осы теңдеуді шеше отырып, синус пен косинусты tg (x / 2) ауыстырғандықтан, бұл әдісті қолдану анықталу аясының тарылуына әкелетінін ескеру керек. Сондықтан, жауабын жазбас бұрын π + 2πn, n Z жиынтығындағы сандар осы теңдеудің аттары болып табылатындығын тексеру керек.

8) angle3sinx + cosx - √2 \u003d 0 көмекші бұрышын енгізу

9) кейбір тригонометриялық функцияға көбейту cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Тригонометриялық теңдеулердің түбірлерін таңдау (20 мин.)

ЖОО-ға түсу кезінде қатал бәсекелестік жағдайында емтиханның бірінші бөлігін шешу жеткіліксіз болғандықтан, студенттердің көпшілігі екінші бөлімнің тапсырмаларына назар аударуы керек (C1, C2, C3).

Сондықтан сабақтың бұл кезеңінің мақсаты - бұрын оқылған материалды еске түсіру, 2011 ж. USE-ден С1 есебін шешуге дайындық.

Тригонометриялық теңдеулер бар, оларға жауап жазу кезінде түбірлерді таңдау керек. Бұл кейбір шектеулерге байланысты, мысалы: бөлшектің бөлгіші нөлге тең емес, жұп түбір астындағы өрнек теріс емес, логарифм белгісіндегі өрнек оң және т.б.

Мұндай теңдеулер күрделене түскен теңдеулер болып саналады және ПАЙДАЛАНУ нұсқасында екінші бөлімде, атап айтқанда С1 берілген.

Теңдеуді шешіңіз:

Егер ондай болса, онда бөлшек нөлге тең болады бірлік шеңберін қолданып, тамырларды таңдаймыз (1 суретті қараңыз)

Сурет 1.

біз x \u003d π + 2πn, n Z аламыз

Жауабы: π + 2πn, n Z

Экранда тамырларды таңдау түсті кескін шеңберінде көрсетіледі.

Көбейтінді нөлдердің кем дегенде біреуі нөлге тең болғанда нөлге тең болады, ал доға мағынасын жоғалтпайды. Содан кейін

Бірлік шеңберін пайдаланып түбірлерді таңдаңыз (2-суретті қараңыз)

«Тригонометриялық өрнектерді оңайлату» видео сабағы студенттердің негізгі тригонометриялық сәйкестіліктерді қолдану арқылы тригонометриялық есептерді шығару дағдыларын дамытуға арналған. Бейне сабақ барысында тригонометриялық сәйкестіліктің түрлері, оларды қолдану арқылы есептер шығарудың мысалдары қарастырылады. Көрнекі құралды қолдану арқылы мұғалімге сабақтың мақсатына жету оңайырақ. Материалдың айқын презентациясы маңызды сәттерді есте сақтауға көмектеседі. Анимациялық эффектілерді және дубляжды қолдану материалды түсіндіру кезеңінде мұғалімді толығымен ауыстыруға мүмкіндік береді. Сонымен, осы көрнекі құралды математика сабағында қолдана отырып, мұғалім оқытудың тиімділігін арттыра алады.

Бейне сабақтың басында оның тақырыбы жарияланады. Содан кейін бұрын зерттелген тригонометриялық сәйкестіліктер еске түсіріледі. Экранда теңдіктер sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, мұндағы kπZ үшін t ≠ ϵ / 2 + ck, ctg t \u003d cos t / sin t, t ≠ πk үшін жарамды, kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, t ≠ πk / 2 үшін, мұндағы kϵZ, негізгі тригонометриялық сәйкестілік деп аталады. Бұл сәйкестіктер көбінесе теңдікті дәлелдеу немесе өрнекті жеңілдету қажет болатын мәселелерді шешуде қолданылады деп атап көрсетілген.

Әрі қарай, осы сәйкестілікті есептер шығаруда қолдану мысалдары қарастырылады. Біріншіден, өрнектерді жеңілдетуге арналған есептерді шешуді қарастыру ұсынылады. 1 мысалда cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t өрнегін жеңілдету керек. Мысалды шешу үшін алдымен cos 2 t ортақ коэффициентін жақшалардың сыртына орналастырыңыз. Жақшаның ішіндегі осындай түрлендіру нәтижесінде 1- cos 2 t өрнегі алынады, оның мәні тригонометрияның негізгі сәйкестігінен sin 2 t-ге тең. Өрнекті түрлендіргеннен кейін тағы бір кең таралған sin 2 t факторын жақшаға айналдыруға болатыны анық, содан кейін өрнек sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t) формасын алады. Сол негізгі сәйкестіктен біз жақшаның ішіндегі өрнектің мәнін шығарамыз, 1-ге тең. Оңайлатудың нәтижесінде cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t аламыз.

2 мысалда, шығын / (1-синт) + шығын / (1+ синт) өрнегі де жеңілдетілуі керек. Өрнек құны екі бөлшектің де нуматорларында болғандықтан, оны қарапайым фактор ретінде жақшаға алуға болады. Содан кейін жақшалардағы бөлшектер көбейтілу арқылы (1-синт) (1+ синт) ортақ бөлгішке келтіріледі. Мұндай терминдер келтірілгеннен кейін нуматорда 2, ал бөлгіште 1 - sin 2 т қалады. Экранның оң жағында негізгі тригонометриялық сәйкестік sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 еске салынады. Оның көмегімен cos 2 t бөлшегінің бөлгішін табамыз. Бөлшекті азайтқаннан кейін біз cost / (1- sint) + cost / (1+ sint) \u003d 2 / cost өрнектерінің оңайлатылған түрін аламыз.

Әрі қарай, тригонометрияның негізгі сәйкестілігі туралы алынған білімдер қолданылатын жеке тұлғаны дәлелдеу мысалдары қарастырылады. 3 мысалда сәйкестікті дәлелдеу керек (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. Экранның оң жағында дәлелдеу үшін қажет болатын үш сәйкестік көрсетіледі - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t және tg t \u003d sin t / cos t шектеулермен. Сәйкестікті дәлелдеу үшін алдымен жақшалар кеңейтіледі, содан кейін негізгі мәнін көрсететін өнім жасалады тригонометриялық сәйкестілік tg t ctg t \u003d 1. Сонда, котангенс анықтамасынан алынған сәйкестікке сәйкес, ctg 2 t өзгереді. Түрлендірулер нәтижесінде 1-cos 2 t өрнегі алынады. Негізгі бірегейлікті қолдана отырып, өрнектің мағынасын табамыз. Сонымен, (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t екендігі дәлелденді.

4 мысалда tg t + ctg t \u003d 6 болса, tg 2 t + ctg 2 t өрнегінің мәнін табу керек. Өрнекті есептеу үшін алдымен теңдіктің оң және сол жақтары (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 квадратқа алынады. Қысқартылған көбейту формуласы экранның оң жағына ұқсайды. Өрнектің сол жағындағы жақшаларды кеңейткеннен кейін tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t қосындысы пайда болады, оны түрлендіру үшін тригонометриялық сәйкестіктің tg t · ctg t \u003d 1 біреуін қолдануға болады, оның формасы экранның оң жағында еске салынады. Трансформациядан кейін tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34 теңдігін аламыз. Теңдіктің сол жағы есептің шартымен сәйкес келеді, сондықтан жауап 34. Есеп шығарылды.

«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету» видео сабағы дәстүрлі мектеп математикасы сабағында қолдануға ұсынылады. Сонымен қатар, материал қашықтықтан оқытуды жүзеге асыратын мұғалім үшін пайдалы болады. Тригонометриялық есептерді шығару дағдыларын қалыптастыру мақсатында.

МӘТІН КОДЫ:

«Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету».

Теңдік

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (синус квадрат те плюс косинус квадрат те бірге тең)

2) tgt \u003d, t ≠ + πk үшін, kϵZ (te жанамасы te синусының кос косинусына қатынасына тең, егер te pi-ге екіге артық емес пи, ка Zet-ке тиесілі болса)

3) ctgt \u003d, t ≠ πk үшін, kϵZ (te котангенсі те шыңына тең болмаған кезде те косинустың te синусына қатынасына тең, ка z-ге жатады).

4) t t, kϵZ үшін tgt ∙ ctgt \u003d 1 (te жанамасы мен te котангенсінің көбейтіндісі, егер те шыңға тең болмаса, екіге бөлінсе, ка z-ға тиесілі)

негізгі тригонометриялық сәйкестілік деп аталады.

Олар көбінесе тригонометриялық өрнектерді оңайлату және дәлелдеу үшін қолданылады.

Осы формулаларды тригонометриялық өрнектерді жеңілдету үшін қолдану мысалдарын қарастырайық.

МЫСАЛ 1: Өрнекті жеңілдетіңіз: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (өрнек - косинустың төртбұрышына тең төрт минималды косинус пен минус төртбұрыш).

Шешім. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2) t) \u003d sin 2 t 1 \u003d sin 2 t

(біз косинустың квадратының ортақ коэффициентін шығарамыз, жақшада біз теинус квадратының квадратына бірінші сәйкестілікке тең болатын теосиннің квадраты мен квадратының арасындағы айырмашылықты аламыз. косинус квадраты te мен синус квадратының te төртінші дәрежелі синусының қосындысын аламыз. жақшада, жақшада біз косинус пен синустың квадраттарының қосындысын аламыз, олар негізгі тригонометриялық идентификация бойынша 1-ге тең болады. Нәтижесінде біз te синусының квадратын аламыз).

2-МЫСАЛ: Өрнекті жеңілдетіңіз: +.

(ба өрнегі - бөлгіштегі бірінші косинустың te бөлгішіндегі екі бөлшектің қосындысы, бір минус синус te, екінші косинустың бөлгіштегі бөлгіштегі екінші бірлік пен синус te).

(Жақшадан teine \u200b\u200bортақ коэффициентін алып шығайық, және жақша ішінде біз оны ортақ бөлгішке келтіреміз, бұл бір минус синусы мен бір синусының плюс көбейтіндісі.

Нуматорда біз аламыз: бір плюс синус те плюс бір минус синус те, біз ұқсастарды береміз, нумератор ұқсастардан кейін екіге тең.

Бөлгіште қысқартылған көбейту формуласын (квадраттардың айырмасы) қолдануға және негізгі тригонометриялық сәйкестілікке сәйкес, синусының бірлігі мен квадратының арасындағы айырмашылықты алуға болады.

космостық квадратына тең te. Косинус арқылы жойылғаннан кейін соңғы жауап аламыз: екеуі косинусқа бөлінеді).

Осы формулаларды тригонометриялық өрнектерді дәлелдеуде қолдану мысалдарын қарастырайық.

МЫСАЛ 3. Бірдейлікті дәлелде (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (te жанамасы te мен синусының квадраттары мен te котангенсінің квадраты арасындағы айырымның көбейтіндісі te синусының квадратына тең).

Дәлелдемелер.

Теңдіктің сол жағын өзгертейік:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d sin 2 t

(Жақшаларды ашайық, бұған дейін алынған қатынастан te жанамасы te мен котангенс квадраттарының көбейтіндісі 1-ге тең екені белгілі, котангенс те косинустың te синусына қатынасына тең екенін есте сақтаңыз, демек котангенстің квадраты - косинус те мен квадраттың те квадратының қатынасы.

Те квадратын синус арқылы жойғаннан кейін, те квадратының te) квадратының синусына тең болатын бірлік пен кос квинусының айырмасын аламыз. Q.E.D.

4-МЫСАЛ tgt + ctgt \u003d 6 болса, tg 2 t + ctg 2 t өрнегінің мәнін табыңыз.

(тангенс пен котангенстің квадраттарының қосындысы, егер тангенс пен котангенстің қосындысы алтыға тең болса).

Шешім. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Бастапқы теңдіктің екі жағын да квадраттап көрейік:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (te жанамасы te мен котангенс қосындысының квадраты алты квадратқа тең). Қысқартылған көбейту формуласын еске түсіріңіз: Екі шаманың қосындысының квадраты біріншінің квадратына, екіншісіне көбейтіндісінің екіншісіне көбейтіндісіне тең. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 аламыз (жанамалық квадрат те плюс жанама те мен котангенстің плюс котангенс квадратының көбейтіндісі отыз алтыға тең) ...

Te жанамасы te мен котангенстің көбейтіндісі бірге тең болғандықтан, tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (te жанамасы te мен котангенстің квадраттарының қосындысы отыз алтыға тең),

IN бірдей түрлендірулер тригонометриялық өрнектер келесі алгебралық техниканы қолдануға болады: бірдей мүшелерді қосу және азайту; жақшадан жалпы факторды шығару; бірдей мөлшерге көбейту және бөлу; қысқартылған көбейту формулаларын қолдану; толық шаршы таңдау; квадрат триномиалды факторизациялау; түрлендірулерді оңайлату мақсатында жаңа айнымалыларды енгізу.

Бөлшектері бар тригонометриялық өрнектерді түрлендіру кезінде пропорция, бөлшектерді азайту немесе бөлшектерді ортақ бөлгішке айналдыру қасиеттерін қолдануға болады. Сонымен қатар, сіз бөлшектің бөлігін және бөлгішін бірдей мөлшерге көбейтіп, мүмкін болған жағдайда бөлгіштің немесе бөлгіштің біртектілігін ескере отырып, бөлшектің барлық бөлігін таңдауды қолдана аласыз. Қажет болса, сіз бөлшекті бірнеше қарапайым бөлшектердің қосындысы немесе айырмасы ретінде көрсете аласыз.

Сонымен қатар, тригонометриялық өрнектерді түрлендірудің барлық қажетті әдістерін қолдана отырып, түрлендірілген өрнектердің рұқсат етілген мәндерінің ауқымын үнемі ескеріп отыру қажет.

Енді бірнеше мысал қарастырайық.

1-мысал.

А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ күнә (3π / 2 - x) күнә (2х -5π / 2)) 2

Шешім.

Редукция формулаларынан шығады:

күнә (2х - π) \u003d -күндік 2х; cos (3π - x) \u003d -cos x;

күнә (2х - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; күнә (2х - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Аргументтер мен негізгі тригонометриялық сәйкестендіру формулаларының көмегімен біз қайдан аламыз

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Жауап: 1.

2-мысал.

М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ өрнегін көбейтіндіге айналдыр.

Шешім.

Аргументтерді қосудың формулалары мен тригонометриялық функциялардың қосындысын сәйкес топтастырудан кейін көбейтіндіге айналдыру формулаларынан

М \u003d (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Жауабы: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

3-мысал.

A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) өрнегі барлық R үшін бір х қабылдайтынын көрсетіңіз. және сол мағына. Осы мәнді табыңыз.

Шешім.

Міне, осы мәселені шешудің екі әдісі. Толық квадратты таңдап, сәйкес тригонометриялық формулаларды қолдану арқылы бірінші әдісті қолданамыз

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Есепті екінші жолмен шешіп, А-ны х-тің функциясы ретінде R-ден қарастырып, оның туындысын есептеңдер. Трансформациялардан кейін біз аламыз

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Демек, интервал бойынша дифференциалданатын функцияның тұрақтылығы критерийі бойынша біз мынаны қорытындылаймыз:

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Жауап: x \u003d R үшін A \u003d 3/4.

Тригонометриялық сәйкестікті дәлелдеудің негізгі әдістері:

және) сәйкестіктің сол жағын оңға қарай тиісті түрлендірулермен азайту;
б) сәйкестіктің оң жағын солға қарай қысқарту;
жылы) сәйкестіліктің оң және сол жақтарын бірдей түрге келтіру;
г) дәлелденетін сәйкестіктің сол және оң жақтары арасындағы айырмашылықты нөлге дейін төмендету.

4 мысал.

Cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) екенін тексеріңіз.

Шешім.

Сәйкес тригонометриялық формулалар бойынша осы сәйкестіктің оң жағын түрлендіру бізде бар

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Сәйкестіктің оң жағы сол жаққа кішірейтілген.

Мысал 5.

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2, егер α, β, γ кейбір үшбұрыштың ішкі бұрыштары болса, дәлелдеңдер.

Шешім.

Α, β, γ кейбір үшбұрыштардың ішкі бұрыштары екенін ескере отырып, біз оны аламыз

α + β + γ \u003d π, демек, γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β))

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Бастапқы теңдік дәлелденді.

6-мысал.

Үшбұрыштың α, β, γ бұрыштарының бірі 60 ° болу үшін sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0 болу керек және жеткілікті екенін дәлелдеу үшін.

Шешім.

Бұл проблеманың шарты қажеттіліктің де, жеткіліктіліктің де дәлелі болып табылады.

Біріншіден, біз дәлелдейміз қажеттілік.

Мұны көрсетуге болады

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Демек, cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0 екенін ескере отырып, егер α, β немесе γ бұрыштарының бірі 60 ° болса, онда

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 және, демек, sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Енді дәлелдейік барабарлық көрсетілген шарт.

Егер sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0 болса, онда cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, демек

немесе cos (3α / 2) \u003d 0, немесе cos (3β / 2) \u003d 0, немесе cos (3γ / 2) \u003d 0.

Демек,

немесе 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, яғни. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

немесе 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, яғни. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

немесе 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

анау. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, мұндағы k ϵ Z.

Α, β, γ үшбұрыштың бұрыштары болғандықтан, бізде бар

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Демек, α \u003d π / 3 + 2πk / 3 немесе β \u003d π / 3 + 2πk / 3 немесе

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 барлық kϵZ тек k \u003d 0 сәйкес келеді.

Бұдан α \u003d π / 3 \u003d 60 °, немесе β \u003d π / 3 \u003d 60 °, немесе γ \u003d π / 3 \u003d 60 ° шығады.

Мәлімдеме дәлелденді.

Сұрақтарыңыз бар ма? Тригонометриялық өрнектерді қалай жеңілдетуге болатынын білмейсіз бе?
Тәрбиешінің көмегін алу үшін - тіркеліңіз.
Бірінші сабақ ақысыз!

сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.

Бөлімдері: Математика

Сынып: 11

1-сабақ

Тақырып: 11 сынып (емтиханға дайындық)

Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (2 сағат)

Міндеттері:

• Тригонометрия формулаларын қолдануға және қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге байланысты студенттердің білімдері мен дағдыларын жүйелеу, жалпылау, кеңейту.

Сабаққа арналған жабдықтар:

Сабақтың құрылымы:

1. Ұйымдастыру сәті
2. Ноутбуктерде тестілеу. Нәтижелерді талқылау.
3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету
4. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу
5. Өзіндік жұмыс.
6. Сабақтың қысқаша мазмұны. Үй тапсырмасын түсіндіру.

1. Ұйымдастыру сәті. (2 минут.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақтың тақырыбын жариялайды, тригонометрия формулаларын қайталау бойынша алдыңғы тапсырманы еске түсіреді және оқушыларды тестілеуге қояды.

2. Тестілеу. (15мин + 3миндік талқылау)

Мақсаты - тригонометриялық формулалар туралы білімді және оларды қолдану қабілетін тексеру. Әр оқушының жұмыс үстелінде тест нұсқасы бар ноутбук бар.

Опциялардың кез-келген саны болуы мүмкін, олардың біреуіне мысал келтіремін:

I нұсқа

Өрнектерді жеңілдетіңіз:

а) негізгі тригонометриялық сәйкестіліктер

1. күнә 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) қосу формулалары

3.sin5x - sin3x;

в) көбейтіндіні қосындыға айналдыру

6.2sin8y жайлы;

г) қос бұрышты формулалар

7.2sin5x cos5x;

д) бұрыштың жарты формулалары

f) үш бұрыштық формулалар

ж) әмбебап ауыстыру

з) дәрежені төмендету

16. кос 2 (3x / 7);

Ноутбуктағы оқушылар әр формуланың алдында жауаптарын көреді.

Жұмысты компьютер бірден тексереді. Нәтижелер үлкен экранда барлығы көре алады.

Сондай-ақ, жұмыс аяқталғаннан кейін дұрыс жауаптар оқушылардың ноутбуктарында көрсетіледі. Әр оқушы қай жерде қателік жіберілгенін және қандай формулаларды қайталау керектігін көреді.

3. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. (25 мин.)

Мақсат - тригонометрияның негізгі формулаларын қарастыру, тәжірибе жасау және қолдануды бекіту. Емтиханнан В7 есептерін шығару.

Бұл кезеңде сыныпты мұғаліммен жұмыс жасайтын күшті (кейінгі тексерумен өз бетінше жұмыс жасайтын) және әлсіз оқушылар тобына бөлген жөн.

Мықты оқушыларға арналған тапсырма (баспа негізінде алдын-ала дайындалады). 2011 ж. Емтиханына сәйкес негізгі редукция және екі бұрыштың формулаларына баса назар аударылады.

Өрнектерді жеңілдетіңіз (күшті оқушылар үшін):

Мұнымен қатар мұғалім әлсіз оқушылармен жұмыс істейді, оқушылардың диктанты бойынша экрандағы тапсырмаларды талқылайды және шешеді.

Есептеңіз:

5) күнә (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Жеңілдету:

Енді мықты топ жұмысының нәтижелерін талқылауға кезек келді.

Жауаптар экранда пайда болады, сонымен қатар бейнекамера көмегімен 5 әр түрлі оқушылардың жұмыстары көрсетіледі (әрқайсысына бір тапсырма).

Әлсіз топ шешудің шарты мен әдісін көреді. Талқылау және талдау жұмыстары жүріп жатыр. Техникалық құралдарды қолданғанда бұл тез орын алады.

4. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу. (30 мин.)

Мақсаты - қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешілуін, түбірлерін тіркей отырып, қайталау, жүйелеу және жалпылау. В3 мәселесін шешу.

Кез-келген тригонометриялық теңдеу, оны қалай шешсек те, ең қарапайымына әкеледі.

Тапсырманы орындаған кезде студенттер ерекше жағдайлардың теңдеулерінің түбірлерін және жалпы формасын жазуға және соңғы теңдеудегі түбірлерді таңдауға бағытталуы керек.

Теңдеулерді шешу:

Жауап ретінде ең кішкентай оң тамырды жазыңыз.

5. Өздік жұмыс (10 мин.)

Мақсат - алынған дағдыларды тексеру, проблемаларды, қателіктерді және оларды жою тәсілдерін анықтау.

Студенттің таңдауы бойынша әр түрлі деңгейдегі жұмыс ұсынылады.

«3» опциясы

1) өрнектің мәнін табыңыз

2) 1 - sin 2 3α - cos 2 3α өрнегін жеңілдетіңіз

3) теңдеуді шешіңіз

«4» нұсқасы

1) өрнектің мәнін табыңыз

2) теңдеуді шешіңіз Жауапқа ең кіші оң түбірді жазыңыз.

«5» опциясы

1) егер tgα-ны табыңыз

2) Теңдеудің түбірін табыңыз Жауабыңызға ең кішкентай оң тамырды жазыңыз.

6. Сабақтың қысқаша мазмұны (5 мин.)

Мұғалім сабақта тригонометриялық формулаларды, қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуді қайталап, шоғырландырғанын қорытындылайды.

Келесі сабақта реттік тексерулермен үйге тапсырма (алдын-ала баспа негізінде дайындалған).

Теңдеулерді шешу:

9)

10) Жауабыңыздағы ең кіші оң тамырды көрсетіңіз.

2 сессия

Тақырып: 11 сынып (емтиханға дайындық)

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. Тамырларды таңдау. (2 сағат)

Міндеттері:

• Әр түрлі типтегі тригонометриялық теңдеулерді шешу бойынша білімді жалпылау және жүйелеу.
• Оқушылардың математикалық ойлау қабілетін, бақылау, салыстыру, жалпылау, жіктеу қабілеттерін дамытуға ықпал ету.
• Студенттерді ақыл-ой әрекеті процесіндегі қиындықтарды жеңуге, өзін-өзі басқаруға, өз іс-әрекеттерін интроспекциялауға шақыру.

Сабаққа арналған жабдықтар: KRMu, әр студентке арналған ноутбуктар.

Сабақтың құрылымы:

1. Ұйымдастыру сәті
2. Д / с және самотты талқылау. өткен сабақтың жұмыстары
3. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін қайталау.
4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу
5. Тригонометриялық теңдеулердегі түбірлерді таңдау.
6. Өзіндік жұмыс.
7. Сабақтың қысқаша мазмұны. Үй жұмысы.

1. Ұйымдастыру сәті (2 мин.)

Мұғалім аудиториямен амандасады, сабақ тақырыбы мен жұмыс жоспарын хабарлайды.

2. а) Үй тапсырмасын шолу (5 мин.)

Мақсат - орындалуын тексеру. Бейнекамераның көмегімен бір жұмыс экранда көрсетіледі, қалғаны мұғалімнің тексеруі үшін іріктеліп жинақталады.

ә) Өздік жұмыстарды талдау (3 мин.)

Мақсаты - жіберілген қателіктерді талдау, оларды жою жолдарын көрсету.

Экранда студенттердің жауаптары мен шешімдері олардың жұмысына алдын-ала берілген. Талдау тез дамып келеді.

3. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін қайталау (5 мин.)

Мақсат - тригонометриялық теңдеулерді шешудің әдістерін еске түсіру.

Оқушылардан тригонометриялық теңдеулерді шешудің қандай әдістерін білетіндігін сұраңыз. Негізгі (жиі қолданылатын) деп аталатын әдістер бар екеніне назар аударыңыз:

• ауыспалы ауыстыру,
• факторизация,
• біртекті теңдеулер,

және қолданылатын әдістер бар:

• қосындысын көбейтіндіге, ал көбейтіндісін қосындыға айналдыру формулаларына сәйкес,
• дәрежені төмендету формулалары бойынша,
• әмбебап тригонометриялық алмастыру
• көмекші бұрышты енгізу,
• кейбір тригонометриялық функцияға көбейту.

Сондай-ақ, бір теңдеуді әртүрлі тәсілдермен шешуге болатындығын есте ұстаған жөн.

4. Тригонометриялық теңдеулерді шешу (30 мин.)

Мақсат - осы тақырып бойынша білім мен дағдыларды қорыту және бекіту, емтиханнан бастап С1 шешіміне дайындық.

Әр әдіс бойынша теңдеулерді оқушылармен бірге шешуді мақсатты деп санаймын.

Оқушы шешімін өзі айтады, мұғалім планшетке жазып алады, бүкіл процесс экранда көрсетіледі. Бұл сізге бұрын қамтылған материалды тез және тиімді еске түсіруге мүмкіндік береді.

Теңдеулерді шешу:

1) айнымалының өзгеруі 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) факторинг 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0 біртекті теңдеулер

4) қосындысын cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x) көбейтіндісіне айналдыру

5) көбейтіндіні 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0 қосындысына айналдыру

6) sin2x қуатын төмендету - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) әмбебап тригонометриялық алмастыру sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Осы теңдеуді шеше отырып, синус пен косинусты tg (x / 2) ауыстырғандықтан, бұл әдісті қолдану анықталу аясының тарылуына әкелетінін ескеру керек. Сондықтан, жауабын жазбас бұрын π + 2πn, n Z жиынтығындағы сандар осы теңдеудің аттары болып табылатындығын тексеру керек.

8) angle3sinx + cosx - √2 \u003d 0 көмекші бұрышын енгізу

9) кейбір тригонометриялық функцияға көбейту cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Тригонометриялық теңдеулердің түбірлерін таңдау (20 мин.)

ЖОО-ға түсу кезінде қатал бәсекелестік жағдайында емтиханның бірінші бөлігін шешу жеткіліксіз болғандықтан, студенттердің көпшілігі екінші бөлімнің тапсырмаларына назар аударуы керек (C1, C2, C3).

Сондықтан сабақтың бұл кезеңінің мақсаты - бұрын оқылған материалды еске түсіру, 2011 ж. USE-ден С1 есебін шешуге дайындық.

Тригонометриялық теңдеулер бар, оларға жауап жазу кезінде түбірлерді таңдау керек. Бұл кейбір шектеулерге байланысты, мысалы: бөлшектің бөлгіші нөлге тең емес, жұп түбір астындағы өрнек теріс емес, логарифм белгісіндегі өрнек оң және т.б.

Мұндай теңдеулер күрделене түскен теңдеулер болып саналады және ПАЙДАЛАНУ нұсқасында екінші бөлімде, атап айтқанда С1 берілген.

Теңдеуді шешіңіз:

Егер ондай болса, онда бөлшек нөлге тең болады бірлік шеңберін қолданып, тамырларды таңдаймыз (1 суретті қараңыз)

Сурет 1.

біз x \u003d π + 2πn, n Z аламыз

Жауабы: π + 2πn, n Z

Экранда тамырларды таңдау түсті кескін шеңберінде көрсетіледі.

Көбейтінді нөлдердің кем дегенде біреуі нөлге тең болғанда нөлге тең болады, ал доға мағынасын жоғалтпайды. Содан кейін

Бірлік шеңберін пайдаланып түбірлерді таңдаңыз (2-суретті қараңыз)

2-сурет.

5)

Келіңіздер жүйеге:

Жүйенің бірінші теңдеуінде өзгеріс журналы 2 (sinx) \u003d y жасаймыз, содан кейін теңдеу аламыз , жүйеге оралу

бірлік шеңберді пайдаланып тамырларды таңдаңыз (5-суретті қараңыз),

Сурет 5.

6. Өздік жұмыс (15 мин.)

Мақсат - материалдың жинақталғандығын және игерілгендігін тексеру, қателіктерді анықтау, оларды түзету жолдарын белгілеу.

Жұмыс студенттердің таңдауы үшін алдын-ала баспа түрінде дайындалған үш нұсқада ұсынылған.

Сіз теңдеулерді кез-келген жолмен шеше аласыз.

«3» опциясы

Теңдеулерді шешу:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 \u003d 0

2) sin2x \u003d -3cosx

«4» нұсқасы

Теңдеулерді шешу:

1) cos2x \u003d 11sinx - 5

2) (2sinx + √3) log 8 (cosx) \u003d 0

«5» опциясы

Теңдеулерді шешу:

1) 2sinx - 3cosx \u003d 2

2)

7. Сабақтың қысқаша мазмұны, үйге тапсырма (5 мин.)

Мұғалім сабақты қорытындылайды, тағы бір рет тригонометриялық теңдеуді бірнеше тәсілмен шешуге болатындығына назар аударады. Жылдам нәтижеге қол жеткізудің ең жақсы әдісі - оны жеке оқушы жақсы біледі.

Емтиханға дайындалу кезінде формулалар мен теңдеулерді шешудің әдістерін жүйелі түрде қайталау қажет.

Үйге тапсырма (алдын ала баспа негізінде дайындалған) таратылып, кейбір теңдеулерді қалай шешуге болатындығы туралы түсініктемелер беріледі.

Теңдеулерді шешу:

1) cosx + cos5x \u003d cos3x + cos7x

2) 5sin (x / 6) - cos (x / 3) + 3 \u003d 0

3) 4sin 2 x + sin2x \u003d 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x \u003d 0

5) cos3x cos6x \u003d cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx \u003d 1

7) 3sin2x + 4 cos2x \u003d 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x \u003d (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx) log 3 (2cos 2 x + cosx) \u003d 0

10) (2cos 2 x - -3cosx) log 7 (-tgx) \u003d 0

11)

Воронкова Ольга Ивановна

МБОУ «орта мектеп

№ 18 «

энгельс, Саратов облысы.

Математика мұғалімі.

«Тригонометриялық өрнектер және оларды түрлендіру»

Кіріспе ………………………………………………………………… ... 3

1-тарау Тригонометриялық өрнектердің түрлендірулерін қолдануға арналған есептердің жіктелуі ……………………………………… ... 5

1.1. Есептеу тапсырмалары тригонометриялық өрнектердің мәні ……… .5

1.2. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдетуге арналған тапсырмалар ... 7

1.3. Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар ... ..7

1.4 Аралас тапсырмалар ………………………………………

2-тарау. «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбын соңғы қайталауды ұйымдастырудың әдістемелік аспектілері ………………………… 11

2.1 10-сыныптағы тақырыптық қайталау …………………………………… ... 11

Тест 1 …………………………………………………………………… ..12

Тест 2 ……………………………………………………………………… ..13

Тест 3 …………………………………………………………………… ..14

2.2 11-сыныптағы қорытынды қайталау ………………………………………… ... 15

Тест 1 ……………………………………………………………………… ..17

Тест 2 ……………………………………………………………………… ..17

Тест 3 ……………………………………………………………………… ..18

Қорытынды. ……………………………………………………………… ....... 19

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ……………………………………… .. …… .20

Кіріспе.

Бүгінгі жағдайда ең маңызды сұрақ: «Біз студенттердің біліміндегі кейбір олқылықтарды жоюға қалай көмектесе аламыз және оларды емтихандағы қателіктерден қалай сақтай аламыз?». Бұл мәселені шешу үшін студенттерден бағдарламалық материалды формальды игеруді емес, оны терең және саналы түсінуді, ауызша есептеулер мен түрлендірулер жылдамдығын дамытуды, сонымен қатар қарапайым мәселелерді «ойда» шешу дағдыларын дамытуды іздеу қажет. Математиканы оқытуда практикалық дағдыларды, дағдыларды және оларды қолдануды меңгеруге байланысты белсенді позиция болған жағдайда ғана сіз нақты жетістікке сене аласыз деп оқушыларды сендіру қажет. 10-11 сыныптардағы элективті пәндерді қоса емтиханға дайындалу үшін барлық мүмкіндікті пайдалану қажет, сабақтарда және қосымша сабақтарда шешудің ең ұтымды тәсілін таңдай отырып, оқушылармен күрделі тапсырмаларды үнемі талдап отыру керек.Оң нәтижематематика мұғалімдері жасай отырып, типтік есептерді шешуге болады студенттердің негізгі базалық дайындығы, біздің алдымызда тұрған мәселелерді шешудің жаңа жолдарын іздеу, белсенді тәжірибе жасау, заманауи қолдану педагогикалық технологиялар, жаңа әлеуметтік жағдайларда оқушылардың өзін-өзі жүзеге асыруы мен өзін-өзі анықтауы үшін қолайлы жағдайлар туғызатын әдістер, тәсілдер.

Тригонометрия - мектептегі математика курсының ажырамас бөлігі. Тригонометрия бойынша жақсы білім мен мықты дағдылар - бұл математикалық мәдениеттің жеткілікті деңгейінің дәлелі, математиканы, физиканы, бірқатар техникалық ойдағыдай оқудың таптырмас шартыпәндер.

Жұмыстың өзектілігі. Мектеп бітірушілерінің едәуір бөлігі жылдан жылға математиканың өте маңызды дайындығын көрсетеді, оған өткен жылдардың нәтижелері дәлел (2011 ж. Аяқталу пайызы - 48,41%, 2012 ж. - 51,05%), өйткені бірыңғай мемлекеттік емтихан тапсыру талдауы көрсетті студенттер нақты осы бөлімнің тапсырмаларын орындау кезінде көптеген қателіктер жібереді немесе мұндай тапсырмаларды мүлдем қабылдамайды. Бірінде Мемлекеттік емтиханда тригонометрияға арналған сұрақтар тапсырманың үш түрінде кездеседі. Бұл В5 тапсырмасындағы ең қарапайым тригонометриялық теңдеулердің шешімі және В7 тапсырмасындағы тригонометриялық өрнектермен жұмыс және В14 тапсырмасындағы тригонометриялық функцияларды, сонымен қатар физикалық құбылыстарды сипаттайтын формулалары бар және тригонометриялық функцияларды қамтитын В12 тапсырмасын зерттеу. Бұл В тапсырмаларының бір бөлігі ғана! Сонымен қатар C1 түбірлерін таңдайтын сүйікті тригонометриялық теңдеулер және «өте ұнатпайтын» геометриялық тапсырмалар C2 және C4 бар.

Жұмыс мақсаты. Талдау емтихан материалы В7 тапсырмалары, тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған және тапсырмаларды оларды тест түрінде ұсыну түріне қарай жіктеңіз.

Жұмыс екі тараудан, кіріспеден және қорытындыдан тұрады. Кіріспеде жұмыстың өзектілігі атап көрсетілген. Бірінші тарауда тригонометриялық өрнектердің түрлендірулерін тестілеуде қолдануға арналған тапсырмалардың жіктелуі келтірілген емтихан тапсырмалары (2012).

Екінші тарауда 10, 11 сыныптарда «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбын қайталауды ұйымдастыру қарастырылып, осы тақырып бойынша тесттер құрастырылды.

Әдебиеттер тізіміне 17 дереккөз кіреді.

1-тарау. Тригонометриялық өрнектердің түрлендірулерін қолдануға арналған тапсырмаларды жіктеу.

Орта (толық) білім беру стандартына және оқушылардың дайындық деңгейіне қойылатын талаптарға сәйкес тригонометрия негіздерін білуге \u200b\u200bарналған тапсырмалар талаптардың кодификаторына енгізілген.

Тригонометрия негіздерін үйрену тиімді болады:

студенттердің бұрын оқылған материалды қайталауға оң мотивациясы қамтамасыз етіледі;

білім беру үдерісінде тұлғалық-бағдарланған тәсіл іске асырылатын болады;

студенттердің білімін кеңейтуге, тереңдетуге, жүйелеуге ықпал ететін тапсырмалар жүйесі қолданылады;

оқытудың озық технологиялары қолданылады.

Емтиханға дайындық туралы әдебиеттер мен интернет-ресурстарды талдай отырып, біз B7 (KIM USE 2012-тригонометрия) тапсырмаларының ықтимал жіктемелерінің бірін ұсындық: есептеу тапсырмалары тригонометриялық өрнектердің мәндері; үшін тапсырмаларсандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіру; әріптік тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар; аралас есептер.

1.1. Есептеу тапсырмалары тригонометриялық өрнектердің мәндері.

Қарапайым тригонометрия есептерінің ең кең таралған түрлерінің бірі тригонометриялық функциялардың мәндерін олардың біреуінің мәні бойынша есептеу болып табылады:

а) Негізгі тригонометриялық сәйкестілікті және оның салдарын қолдану.

1-мысал ... Егер табылса
және
.

Шешім.
,
,

Себебі содан кейін
.

Жауап.

2-мысал ... Табыңыз
, егер а
және.

Шешім.
,
,
.

Себебі содан кейін
.

Жауап. ...

б) Қос бұрышты формулаларды қолдану.

3-мысал ... Табыңыз
, егер а
.

Шешім. , .

Жауап.
.

4 мысал ... Өрнектің мағынасын табыңыз
.

Шешім. ...

Жауап.
.

1. Табыңыз , егер а
және
... Жауап. -0.2

2. Табыңыз , егер а
және
... Жауап. 0,4

3. Табыңыз
, егер а. Жауап. -12.884. Табыңыз
, егер а
... Жауап. -0.845. Өрнектің мағынасын табыңыз:
... Жауап. 66. Өрнектің мағынасын табыңыз
. Жауап. - он тоғыз

1.2. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдетуге арналған тапсырмалар. Кастингтің формулаларын студенттер жақсы меңгеруі керек, өйткені олар геометрия, физика сабақтарында және басқа сабақтарда қосымша қолдануды табады.

Мысал 5 . Өрнектерді жеңілдетіңіз
.

Шешім. ...

Жауап.
.

Өзіне-өзі көмектесу тапсырмалары:

1. Өрнекті жеңілдетіңіз
. Жауап. 0.62. Табыңыз
, егер а
және ... Жауап. 10.563. Өрнектің мағынасын табыңыз
, егер а
. Жауап. 2018-04-21 Аттестатта сөйлеу керек

1.3. Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған тапсырмалар.

Сандық тригонометриялық өрнектерді түрлендіруге арналған есептердің дағдылары мен дағдыларын машықтандыру кезінде тригонометриялық функциялардың мәндер кестесін, паритет қасиеттерін және тригонометриялық функциялардың периодтылығын білуге \u200b\u200bназар аударған жөн.

а) Тригонометриялық функциялардың кейбір бұрыштары үшін дәл мәндерін қолдану.

6-мысал ... Есепте
.

Шешім.
.

Жауап.
.

ә) Паритеттік қасиеттерді қолдану тригонометриялық функциялар.

7-мысал ... Есепте
.

Шешім. .

Жауап.

жылы) Мерзімділік қасиеттерін қолданутригонометриялық функциялар.

8-мысал . Өрнектің мағынасын табыңыз
.

Шешім. ...

Жауап.
.

Өзіне-өзі көмектесу тапсырмалары:

1. Өрнектің мағынасын табыңыз
. Жауап. -40.52. Өрнектің мағынасын табыңыз
. Жауап. 17

3. Өрнектің мағынасын табыңыз
. Жауап. 6

. Жауап. -24
Жауап. -64

1.4 Аралас тапсырмалар.

Сертификаттаудың сынақ формасы өте маңызды ерекшеліктерге ие, сондықтан бірнеше тригонометриялық формулаларды бір уақытта қолданумен байланысты міндеттерге назар аударған жөн.

9-мысал. Табыңыз
, егер а
.

Шешім.
.

Жауап.
.

10-мысал ... Табыңыз
, егер а
және
.

Шешім. .

Себебі содан кейін
.

Жауап.
.

11-мысал. Табыңыз
, егер а.

Шешім. , ,
,
,
,
,
.

Жауап.

12-мысал. Есепте
.

Шешім. .

Жауап.
.

13-мысал. Өрнектің мағынасын табыңыз
, егер а
.

Шешім. .

Жауап.
.

Өзіне-өзі көмектесу тапсырмалары:

1. Табыңыз
, егер а
. Жауап. -1.75
2. Табыңыз
, егер а
. Жауап. 33. Табыңыз
, егер а. Жауап. 0,254. Өрнектің мағынасын табыңыз
, егер а
. Жауап. 0,35. Өрнектің мағынасын табыңыз
, егер а
. Жауап. бес

2 тарау. «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбының соңғы қайталануын ұйымдастырудың әдістемелік аспектілері.

Оқу үлгерімін одан әрі арттыруға, студенттер арасында терең және тұрақты білімге қол жеткізуге ықпал ететін маңызды мәселелердің бірі - бұрын өткен материалды қайталау мәселесі. Практика көрсеткендей, 10-сыныпта тақырыптық қайталауды ұйымдастыру мақсатқа сай; 11-сыныпта - қорытынды қайталау.

2.1. 10-сыныпта тақырыптық қайталау.

Математикалық материалмен жұмыс істеу барысында әр аяқталған тақырыпты немесе курстың бүкіл бөлімін қайталау ерекше маңызды.

Тақырыптық қайталаумен студенттердің тақырып бойынша білімдері оны өтудің соңғы кезеңінде немесе үзілістен кейін жүйеленеді.

Тақырыптық қайталау үшін бір сабақтың материалы жинақталып, қорытылатын арнайы сабақтар бөлінеді.

Сабақтағы қайталау студенттерді осы әңгімеге кеңінен тарта отырып, әңгіме арқылы жүзеге асырылады. Осыдан кейін студенттерге белгілі бір тақырыпты қайталау ұсынылады және оларға тест жұмысы жүргізілетіндігі ескертіледі.

Тақырып бойынша тест барлық негізгі сұрақтарды қамтуы керек. Жұмысты аяқтағаннан кейін типтік қателіктер талданады және оларды жою үшін қайталау ұйымдастырылады.

Тақырыптық қайталау сабақтары үшін біз дамыған ұсынамыз тест жұмыстары«Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбында.

Тест №1

Тест нөмірі 2

Тест нөмірі 3

Жауап кестесі

Тест

2.2. 11-сыныпта қорытынды қайталау.

Қорытынды қайталау математика курсының негізгі мәселелерін оқып-үйренудің қорытынды кезеңінде жүзеге асырылады және осы бөлім немесе жалпы курс бойынша оқу материалын оқумен логикалық байланыста жүзеге асырылады.

Оқу материалын соңғы қайталау келесі мақсаттарды көздейді:

1. Оқу курсының материалын оның логикалық құрылымын нақтылау және пәндік және пәнаралық байланыстар шеңберінде жүйені құру үшін белсендіру.

2. Қайталау барысында курстың негізгі мәселелері бойынша студенттердің білімін тереңдету және мүмкін болса кеңейту.

Барлық бітірушілерге арналған міндетті математика емтиханын ескере отырып, Бірыңғай мемлекеттік емтиханды біртіндеп енгізу барлық студенттердің оқу материалын базалық деңгейде меңгеруін қамтамасыз ету қажеттілігін, сондай-ақ жоғары балл алуға ынталы студенттерге мүмкіндік беру мүмкіндігін ескере отырып, сабақтарды дайындау мен өткізуге жаңа көзқараспен қарауға мәжбүр етеді. жоғары оқу орнына түсу, материалды озық және жоғары деңгейде игеруде динамикалық прогресс.

Соңғы қайталау сабақтарында сіз келесі тапсырмаларды қарастыра аласыз:

1-мысал . Өрнектің мәнін есептеңіз.Шешім. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Жауап. 0,5. 2-мысал. Өрнек қабылдай алатын ең үлкен бүтін мәнді көрсетіңіз
.

Шешім. Қалай
кез келген мәнді қабылдай алады, сегмент [-1; 1], содан кейін
сегменттің кез-келген мәнін қабылдайды [–0.4; 0.4], сондықтан. Өрнектің бүтін мәні бір - 4 санына тең.

Жауап: 4 3-мысал . Өрнекті жеңілдетіңіз
.

Шешуі: Кубтардың қосындысын көбейтудің формуласын қолданайық:. Бізде бар

Бізде бар:
.

Жауабы: 1

4 мысал. Есепте
.

Шешім. ...

Жауап: 0,28

Соңғы қайталау сабақтарына біз «Тригонометриялық өрнектерді түрлендіру» тақырыбы бойынша құрастырылған тестілерді ұсынамыз.

1-ден аспайтын ең үлкен бүтін санды енгізіңіз

Қорытынды.

Осы тақырып бойынша тиісті әдістемелік әдебиеттер арқылы жұмыс істей отырып, мектеп математикасы курсында тригонометриялық түрлендірулерге байланысты тапсырмаларды шешу қабілеттері мен дағдылары өте маңызды деген қорытынды жасауға болады.

Орындалған жұмыс барысында В7 тапсырмаларын жіктеу жүргізілді. 2012 жылғы CMM-де жиі қолданылатын тригонометриялық формулалар қарастырылады. Шешімдері бар тапсырмалардың мысалдары келтірілген. Емтиханға дайындық кезінде білімді қайталау мен жүйелеуді ұйымдастыру үшін дифференциалданатын тесттер жасалды.

Қарастырылған басталған жұмысты жалғастырған жөн физикалық құбылыстарды сипаттайтын және тригонометриялық функцияларды қамтитын формулалары бар В5 тапсырмасындағы В5 тапсырмасындағы тригонометриялық функцияларды зерттеу, В5 тапсырмасындағы қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу.

Қорытындылай келе, емтиханды тапсырудың тиімділігі көбіне дайындық процесі білім берудің барлық деңгейлерінде оқушылардың барлық санаттарымен қаншалықты тиімді ұйымдастырылғандығымен анықталатынын атап өткім келеді. Егер біз студенттердің тәуелсіздігін, жауапкершілігін және олардың келесі өмірі бойына оқуды жалғастыруға дайындығын қалыптастыра алсақ, онда біз мемлекет пен қоғамның тапсырысын орындап қана қоймай, өзімізді-өзіміз бағалаймыз.

Оқу материалын қайталау мұғалімнен талап етеді шығармашылық жұмыс... Ол қайталану түрлері арасындағы нақты байланысты қамтамасыз етуі керек, терең ойластырылған қайталау жүйесін жүзеге асыруы керек. Қайталауды ұйымдастыру шеберлігін меңгеру - мұғалімнің міндеті. Студенттер білімінің беріктігі көбіне оның шешілуіне байланысты.

Әдебиет.

Выгодский Я.Я., Бастауыш математика бойынша анықтамалық. -М.: Наука, 1970.

Алгебра қиындықтарының жоғарылау мәселелері және талдау принциптері: Жалпы білім беретін мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық / Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд. - М.: Білім, 1990 ж.

Өрнектерді түрлендіруге негізгі тригонометриялық формулаларды қолдану (10 сынып) // Педагогикалық идеялар фестивалі. 2012-2013.

А.Г.Корянов , Прокофьев А.А. Біз емтиханға жақсы оқушылар мен үздік оқушыларды дайындаймыз. - М.: Педагогикалық университет «Бірінші қыркүйек», 2012. - 103 б.

Кузнецова Е.Н. Тригонометриялық өрнектерді жеңілдету. Тригонометриялық теңдеулерді әртүрлі әдістермен шешу (емтиханға дайындық). 11 сынып. 2012-2013.

Математикадан жарысқа арналған 3000 есеп. Төртінші., Аян. және қосыңыз. - М.: Рольф, 2000.

Мордкович А.Г. Орта мектепте тригонометрияны оқудың әдістемелік мәселелері // Мектептегі математика. 2002. № 6.

Пичурин Л.Ф. Тригонометрия туралы және ол туралы ғана емес: -М. Білім, 1985 ж

Решетников Н.Н. Мектептегі тригонометрия: -М. : Педагогикалық университет «Бірінші қыркүйек», 2006, 1-лк.

Шабунин М.И., Прокофьев А.А. Математика. Алгебра. Математикалық анализдің басталуы Бейіндік деңгей: 10 сынып оқулығы - М.: БИНОМ. Білім зертханасы, 2007 ж.

Емтиханға дайындалуға арналған білім беру порталы.

Математикадан бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындық «О, мына тригонометрия! http://festival.1september.ru/articles/621971/

«Математика? Оңай !!!» жобасыhttp://www.resolventa.ru/