Координаталар жүйесін жазықтықта түрлендіру. Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін жазықтықта түрлендіру. И.Привалов «Аналитикалық геометрия»

Жазықтықта екі ерікті декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін. Біріншісі О-ның басы және базистік векторлары арқылы анықталады мен j , екіншісі – орталық ТУРАЛЫ'және базистік векторлар мен ’ j ’ .

Бірінші координаталар жүйесіне қатысты қандай да бір М нүктесінің х у координаталарын өрнектеу мақсатын алайық. x’ Және ж’ – екінші жүйеге қатысты бір нүктенің координаталары.

байқа, бұл

Бірінші жүйеге қатысты О’ нүктесінің координаталарын a және b арқылы белгілейік:

Векторларды кеңейтейік мен ’ Және j ’ негізінде мен j :

(*)

Сонымен қатар, бізде:
. Мұнда базиске қатысты векторлардың кеңеюін енгізейік мен ’ j ’ :

осы жерден

Қорытындылай аламыз: жазықтықта қандай екі ерікті декарттық жүйе болса да, бірінші жүйеге қатысты жазықтықтағы кез келген нүктенің координаталары сол нүктенің координаталарының екінші жүйеге қатысты сызықтық функциялары болып табылады.

Алдымен (*) теңдеулерді скаляр арқылы көбейтейік мен , содан кейін j :

ТУРАЛЫ векторлар арасындағы бұрышпен  белгіленеді мен Және мен ’ . Координаталар жүйесі мен j жүйесімен біріктіруге болады мен ’ j ’ параллель аудару және  бұрышы арқылы кейінгі айналдыру арқылы. Бірақ мұнда доға опциясы да мүмкін: базистік векторлар арасындағы бұрыш мен мен ’ сонымен қатар , және базистік векторлар арасындағы бұрыш j ’ j ’ тең  - . Бұл жүйелерді параллель аудару және айналдырумен біріктіру мүмкін емес. Сондай-ақ осьтің бағытын өзгерту қажет сағкерісінше.

(**) формуласынан бірінші жағдайда аламыз:

Екінші жағдайда

Түрлендіру формулалары:

Біз екінші істі қарастырмаймыз. Екі жүйені де дұрыс деп санауға келейік.

Анау. қорытынды: екі дұрыс координаталар жүйесі қандай болса да, олардың біріншісін екіншісімен параллель көшіру және кейіннен координаталар координаттарын белгілі бір бұрышқа  айналдыру арқылы біріктіруге болады.

Параллель тасымалдау формулалары:

Осьтердің айналу формулалары:

Кері түрлендірулер:

Кеңістікте декарттық тікбұрышты координаталарды түрлендіру.

Кеңістікте ұқсас жолмен пайымдай отырып, біз мынаны жаза аламыз:

(***)

Ал координаттар үшін мынаны алыңыз:

(****)

Сонымен, кеңістікте қандай екі ерікті координаталар жүйесі болса да, бірінші жүйеге қатысты кейбір нүктенің x y z координаталары координаттардың сызықтық функциялары болып табылады. x’ ж’ z’ екінші координаталар жүйесіне қатысты бірдей нүкте.

Теңдіктердің әрқайсысын (***) скаляр бойынша көбейту мен ’ j ’ к ’ Біз алып жатырмыз:

IN Түрлендіру формулаларының (****) геометриялық мағынасын ашып көрейік. Ол үшін екі жүйенің де ортақ бастамасы бар деп есептеңіз: а = б = в = 0 .

Біріншіге қатысты екінші жүйенің осьтерінің орналасуын толық сипаттайтын үш бұрышты қарастырайық.

Бірінші бұрышты x осі мен u осі құрайды, ол xOy және x'Oy' жазықтықтарының қиылысуы болып табылады. Бұрыштың бағыты х осінен у осіне ең қысқа бұрылыс болып табылады. Бұрышты  арқылы белгілейік. Екінші бұрыш  – Oz және Oz осьтерінің арасындағы  аспайтын бұрыш. Соңында, үшінші бұрыш  - u осі мен Ox' арасындағы бұрыш, ол Ox'тен Oy'-ке ең қысқа бұрылыс бағыты бойынша u осінен өлшенеді. Бұл бұрыштар Эйлер бұрыштары деп аталады.

Бірінші жүйенің екіншісіне айналуын үш айналымның сабақтастығы ретінде көрсетуге болады: Oz осіне қатысты  бұрышымен; Ox’ осіне қатысты  бұрышы бойынша; және Oz осіне қатысты  бұрышымен.

 ij сандарын Эйлер бұрыштары арқылы көрсетуге болады. Біз бұл формулаларды жазбаймыз, өйткені олар ауыр.

Трансформацияның өзі параллель трансляцияның суперпозициясы және Эйлер бұрыштары арқылы дәйекті үш айналу болып табылады.

Бұл аргументтердің барлығы екі жүйенің де солшыл немесе әртүрлі бағыттылығы болған жағдайда жүзеге асырылуы мүмкін.

Егер бізде екі ерікті жүйе болса, онда, жалпы айтқанда, біз оларды параллель аудару және белгілі бір ось айналасында кеңістікте бір айналдыру арқылы біріктіре аламыз. Біз оны іздемейміз.

1) Жазықтықтағы бір декарттық тікбұрышты координаттар жүйесінен бағдары бірдей және басы бірдей басқа декарттық тікбұрышты жүйеге көшу.

Жазықтықта екі декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілген деп алайық xOyжәне шығу тегі ортақ ТУРАЛЫ, бірдей бағдарға ие (Cурет 145). Осьтердің бірлік векторларын белгілейік ОЖәне OUтиісінше арқылы және , және осьтердің бірлік векторлары және арқылы және арқылы. Соңында, осьтен бұрыш болсын Оосіне. Болсын XЖәне сағ– ерікті нүктенің координаталары Мжүйеде xOy, және бір нүктенің координаталары Мжүйеде.

Себебі осьтен бұрыш Овекторына тең, онда вектордың координаталары

Осьтен бұрыш Овекторға тең; сондықтан вектордың координаталары тең.

(3) § 97 формулалары пішінді алады

Бір декарттықтан өту матрицасы xOyтікбұрышты координаталар жүйесін басқа тікбұрышты жүйеге бірдей бағдары бар нысаны бар

Матрица ортогональды деп аталады, егер әрбір бағанда орналасқан элементтердің квадраттарының қосындысы 1-ге тең болса және әртүрлі бағандардың сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең болса, яғни. Егер

Осылайша, бір тікбұрышты координаталар жүйесінен басқа тікбұрышты жүйеге бірдей бағыттағы ауысу матрицасы (2) ортогональ болып табылады. Бұл матрицаның детерминанты +1 екенін ескеріңіз:

Керісінше, анықтауышы +1-ге тең ортогональды матрица (3) берілсе және жазықтыққа декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілсе. xOy, онда (4) қатынастарының арқасында векторлар әрі бірлік, әрі өзара перпендикуляр, сондықтан жүйедегі вектордың координаталары xOyжәне -ге тең, мұндағы вектордан векторға дейінгі бұрыш, ал вектор бірлік болғандықтан вектордан -ге айналдыру арқылы аламыз, онда не , не болса.

Екінші мүмкіндік алынып тасталды, өйткені егер бізде болса, онда ол бізге беріледі.

Бұл матрицаны білдіреді Аұқсайды

анау. бір тікбұрышты координаталар жүйесінен өту матрицасы болып табылады xOyбағдары және бұрышы бірдей басқа тікбұрышты жүйеге.

2. Жазықтықтағы бір декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінен басқа бағыты қарама-қарсы және басы бірдей декарттық тікбұрышты жүйеге көшу.

Жазықтыққа екі декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі енгізілсін xOyжәне шығу тегі ортақ ТУРАЛЫ, бірақ бағыты қарама-қарсы болса, осьтен бұрышты белгілейік Оарқылы оське (жазықтықтың бағытын жүйе белгілейді xOy).

Себебі осьтен бұрыш Овекторына тең болса, онда вектордың координаталары тең болады:

Енді вектордан векторға дейінгі бұрыш тең (146-сурет), сондықтан осьтен бұрыш Овекторға тең (бұрыштар үшін Часлес теоремасы бойынша), сондықтан вектордың координаталары тең:

Ал формулалар (3) § 97 пішінді алады

Өтпелі матрицасы

ортогональды, бірақ анықтауышы –1. (7)

Керісінше, анықтауышы –1-ге тең кез келген ортогональды матрица жазықтықтағы бір тікбұрышты координаталар жүйесінің басы бірдей, бірақ бағыты қарама-қарсы басқа тікбұрышты жүйеге айналуын көрсетеді. Сонымен, егер екі декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі xOyжәне ортақ бастамасы бар

Қайда X, сағ– жүйенің кез келген нүктесінің координаталары xOy; және жүйедегі бір нүктенің координаталары, және

ортогональды матрица.

Артқа егер

ерікті ортогоналды матрица, содан кейін қатынастар

Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінің декарттық тікбұрыштыға айналуын өрнектейді. жүйесі шығу тегі бірдей; - жүйедегі координаттар xOyосьтің оң бағытын беретін бірлік вектор; - жүйедегі координаттар xOyосьтің оң бағытын беретін бірлік вектор.

координат жүйелері xOyжәне бірдей бағдарға ие және бұл жағдайда керісінше.

3. Жазықтықтағы бір декарттық тікбұрышты координаталар жүйесін басқа тікбұрышты жүйеге жалпы түрлендіру.

Осы тармақтың 1) және 2) тармақтары негізінде, сондай-ақ § 96 негізінде, егер тікбұрышты координаталар жүйесі жазықтықта енгізілсе деген қорытындыға келеміз. xOyжәне , содан кейін координаталар XЖәне сағерікті нүкте Мжүйедегі ұшақтар xOyбірдей нүктенің координаталарымен Мжүйедегі қатынастар – жүйедегі координаталар жүйесінің басының координаталары арқылы байланысады xOy.

Ескі және жаңа координаттарды ескеріңіз X, сағжәне , декарттық тікбұрышты координаталар жүйесінің жалпы түрленуі кезіндегі векторлар қатынастар арқылы байланысады.

жүйелер болған жағдайда xOyжәне бірдей бағдар мен қарым-қатынаста болады

егер бұл жүйелер қарама-қарсы бағытқа ие болса немесе пішінде

ортогональды матрица. (10) және (11) түрлендірулер ортогональ деп аталады.

Тақырып 5. Сызықтық түрлендірулер.

Координаталар жүйесісандарды пайдалана отырып, қандай да бір геометриялық фигураға қатысты нүктенің орнын бір мәнді түрде анықтауға мүмкіндік беретін әдіс. Мысалдарға түзу сызықтағы координаталар жүйесі – сәйкесінше жазықтықтағы және кеңістіктегі координаталар осі және тікбұрышты декарттық координаталар жүйелері жатады.

Жазықтықтағы бір xy координат жүйесінен басқа жүйеге көшейік, яғни. Осы екі жүйедегі бір нүктенің декарттық координаталары бір-бірімен қалай байланысатынын анықтайық.

Алдымен қарастырайық параллель тасымалдаутікбұрышты декарттық координаталар жүйесі xy, яғни жаңа жүйенің осьтері мен ескі жүйенің сәйкес х және у осьтеріне параллель және олармен бірдей бағыттар болған жағдай.

Егер xy жүйесіндегі М (х; у) және (а; б) нүктелерінің координаталары белгілі болса, онда (15-сурет) жүйедегі М нүктесінің координаталары болады: .

Ұзындығы ρ ОМ кесіндісі және осімен бұрыш құрсын. Сонда (16-сурет) ОМ кесіндісі х осімен бұрыш жасайды және xy жүйесіндегі М нүктесінің координаталары тең болады. , .

Жүйеде М нүктесінің координаталары және -ге тең екенін ескерсек, аламыз

Бұрышпен «сағат тілімен» бұрылғанда, сәйкесінше:

Есеп 0.54. Жаңа координаталар жүйесіндегі М(-3; 7) нүктесінің координаталарын анықтаңыздар, оның координаталары 0 / нүктесі (3; -4) нүктесінде орналасқан, ал осьтері бұрынғы осьтерге параллель. координаталар жүйесі және олармен бірдей бағыттар болады.

Шешім. М және О / нүктелерінің белгілі координаталарын мына формулаларға ауыстырайық: x / = x-a, y / = y-b.
Біз мынаны аламыз: x / = -3-3 = -6, y / = 7-(-4) = 11. Жауап: M / (-6; 11).

§2. Сызықтық түрлендіру туралы түсінік, оның матрицасы.

Егер Х жиынының әрбір х элементі қандай да бір f ережесі бойынша У жиынының бір ғана у элементіне сәйкес келсе, онда берілген деп айтамыз. көрсету X жиынының f Y жиынына, ал X жиыны шақырылады анықтау аймағыкөрсету f . Егер, атап айтқанда, x 0 Î X элементі y 0 Î Y элементіне сәйкес келсе, онда y 0 = f (x 0) деп жазыңыз. Бұл жағдайда y 0 элементі шақырылады жолэлемент x 0 және элемент x 0 - прототипі 0-дегі элемент. Барлық кескіндерден тұратын Y жиынының Y 0 ішкі жиыны шақырылады мағыналар жиынтығыкөрсету f.

Егер f салыстыруында Х жиынының әртүрлі элементтері У жиынының әртүрлі элементтеріне сәйкес келсе, онда f кескіні деп аталады. қайтымды.

Егер Y 0 = Y болса, онда f салыстыру Х жиынының бейнеленуі деп аталады қосулы setY.

Х жиынын Y жиынына инвертивті салыстыру деп аталады бір-бір.

Жиынды жиынға бейнелеу тұжырымдамасының ерекше жағдайлары концепция болып табылады сандық функцияжәне тұжырымдама геометриялық картаға түсіру.

Егер X жиынының әрбір элементіне f салыстыру бір Х жиынының бір элементін байланыстырса, онда мұндай салыстыру деп аталады. түрлендіру X жиынтығы.

L n сызықтық кеңістіктің n өлшемді векторларының жиыны берілсін.

L n өлшемді сызықтық кеңістіктің f түрлендіруі деп аталады сызықтықегер трансформация

L n кез келген векторлар және кез келген α және β нақты сандар үшін. Басқаша айтқанда, егер векторлардың сызықтық комбинациясы олардың кескіндерінің сызықтық комбинациясына айналса, түрлендіру сызықтық деп аталады. сол сияқтыкоэффициенттер.

Егер вектор белгілі бір негізде берілсе және f түрлендіру сызықты болса, онда анықтамасы бойынша , мұндағы базистік векторлардың кескіндері.

Демек, сызықтық түрлендіру толығымен анықталған, егер қарастырылатын сызықтық кеңістіктің базистік векторларының кескіндері берілсе:

(12)

Матрица онда k-ші баған вектордың координаталық бағаны болып табылады негізде, деп аталады матрицасызықтық түрлендіру f осы негізде.

Детерминанты det L f түрлендіруінің анықтаушысы деп, ал Rg L сызықтық f түрлендірудің рангі деп аталады.

Егер сызықтық түрлендірудің матрицасы сингулярлық емес болса, онда түрлендірудің өзі сингулярлық емес. Ол L n кеңістігін бір-біріне айналдырады, яғни. L n әр векторы оның бірегей векторының бейнесі болып табылады.

Егер сызықтық түрлендірудің матрицасы жеке болса, онда түрлендірудің өзі жеке болады. Ол L n сызықтық кеңістігін оның қандай да бір бөлігіне түрлендіреді.

Теорема.Векторға L матрицасы бар f сызықтық түрлендіруді қолдану нәтижесінде вектор болып шығады осылай.

Жақшаға жазылған сандар негізіне сәйкес вектордың координаталары болып табылады:

(13)

Матрицаны көбейту операциясының анықтамасы бойынша жүйені (13) матрицамен ауыстыруға болады.

теңдік , бұл дәлелдеуді қажет етті.

Мысалдарсызықтық түрлендірулер.

1. х осі бойымен k 1 есе, ал у осі бойымен k 2 рет xy жазықтығында созылу матрицамен анықталады және координаталарды түрлендіру формулалары мына түрде болады: x / = k 1 x; y / = k 2 ж.

2. xy жазықтығындағы у осіне қатысты айнаның шағылысуы матрица арқылы анықталады және координаталарды түрлендіру формулалары мына түрге ие: x / = -x, y / = y.

байқа, бұл

Бірінші жүйеге қатысты О’ нүктесінің координаталарын a және b арқылы белгілейік:

Векторларды кеңейтейік мен ’ Және j ’ негізінде мен j :

(*)

Сонымен қатар, бізде:
. Мұнда базиске қатысты векторлардың кеңеюін енгізейік мен ’ j ’ :

осы жерден

Алдымен (*) теңдеулерді скаляр арқылы көбейтейік мен , содан кейін j :

Векторлар арасындағы бұрышты  арқылы белгілейік мен Және мен ’ . Координаталар жүйесі мен j жүйесімен біріктіруге болады мен ’ j ’ параллель аудару және  бұрышы арқылы кейінгі айналдыру арқылы. Бірақ мұнда доға опциясы да мүмкін: базистік векторлар арасындағы бұрыш мен мен ’ сонымен қатар , және базистік векторлар арасындағы бұрыш j ’ j ’ тең  - . Бұл жүйелерді параллель аудару және айналдырумен біріктіру мүмкін емес. Сондай-ақ осьтің бағытын өзгерту қажет сағкерісінше.

(**) формуласынан бірінші жағдайда аламыз:

Екінші жағдайда

Түрлендіру формулалары:

Біз екінші істі қарастырмаймыз. Екі жүйені де дұрыс деп санауға келейік.

Параллель тасымалдау формулалары:

Осьтердің айналу формулалары:

Кері түрлендірулер:

Кеңістікте декарттық тікбұрышты координаталарды түрлендіру.

Кеңістікте ұқсас жолмен пайымдай отырып, біз мынаны жаза аламыз:

(***)

Ал координаттар үшін мынаны алыңыз:

(****)

Теңдіктердің әрқайсысын (***) скаляр бойынша көбейту мен ’ j ’ к ’ Біз алып жатырмыз:

Біріншіге қатысты екінші жүйенің осьтерінің орналасуын толық сипаттайтын үш бұрышты қарастырайық.

 ij сандарын Эйлер бұрыштары арқылы көрсетуге болады. Біз бұл формулаларды жазбаймыз, өйткені олар ауыр.

1-тарау. Қосымша. Декарттық тікбұрышты координаталарды жазықтықта және кеңістікте түрлендіру. Жазықтықтағы және кеңістіктегі арнайы координаталар жүйесі.

Жазықтықта және кеңістікте координаталық жүйелерді құру ережелері 1-тараудың негізгі бөлімінде талқыланады. Тік бұрышты координаталар жүйесін қолданудың ыңғайлылығы атап өтілді. Аналитикалық геометрия құралдарын практикалық қолдануда жиі қабылданған координаттар жүйесін түрлендіру қажеттілігі туындайды. Бұл әдетте ыңғайлылық туралы ойлармен белгіленеді: геометриялық кескіндер жеңілдетіледі, аналитикалық модельдер мен есептеулерде қолданылатын алгебралық өрнектер айқынырақ болады.

Арнайы координаталар жүйесін құру және қолдану: полярлық, цилиндрлік және сфералық шешілетін есептің геометриялық мағынасына байланысты. Арнайы координат жүйелерін қолдану арқылы модельдеу көбінесе практикалық есептерді шешуде аналитикалық модельдерді әзірлеуді және қолдануды жеңілдетеді.

1-тараудың Қосымшасында алынған нәтижелер сызықтық алгебрада, олардың көпшілігі есептеулер мен физикада қолданылады.

Декарттық тікбұрышты координаталарды жазықтықта және кеңістікте түрлендіру.

Жазықтықта және кеңістікте координаталар жүйесін құру мәселесін қарастырғанда, координаталар жүйесі бір нүктеде қиылысатын сандық осьтерден құралатыны атап өтілді: жазықтықта екі ось, кеңістікте үш ось қажет. Векторлардың аналитикалық модельдерін құруға, векторлар жұмысының скалярлық көбейтіндісін енгізуге және геометриялық мазмұндағы есептерді шешуге байланысты тікбұрышты координаталар жүйесін қолданудың тиімді екендігі көрсетілді.

Егер нақты координаталар жүйесін түрлендіру мәселесін абстрактілі түрде қарастыратын болсақ, онда жалпы жағдайда осьтердің атын ерікті түрде өзгерту құқығымен берілген кеңістікте координаталық осьтердің ерікті қозғалысына рұқсат беруге болады.

Біз бастапқы тұжырымдамадан бастаймыз анықтамалық жүйелер , физикада қабылданған. Денелердің қозғалысын бақылай отырып, оқшауланған дененің қозғалысын өздігінен анықтауға болмайтыны анықталды. Қозғалыс байқалатын, яғни оның өзгеруіне қатысты кем дегенде бір дене болуы керек туыс ережелері. Аналитикалық модельдерді, заңдарды және қозғалысты алу үшін координаталар жүйесі осы екінші денемен сілтемелік жүйе ретінде байланысты болды және координаталар жүйесі осылай болатындай болды. қатты !

Қатты дененің кеңістіктегі бір нүктеден екінші нүктеге еркін қозғалысы екі тәуелсіз қозғалыспен ұсынылуы мүмкін болғандықтан: трансляциялық және айналмалы, координаттар жүйесін түрлендіру опциялары екі қозғалыспен шектелді:

1). Параллельді тасымалдау: біз тек бір нүктені ұстанамыз - нүкте.

2). Координаталар жүйесінің осьтерінің нүктеге қатысты айналуы: қатты дене ретінде.

Жазықтықтағы декарттық тікбұрышты координаталарды түрлендіру.

Жазықтықта координаталар жүйелері болсын: , және . Координаталар жүйесі жүйенің параллель трансляциясы арқылы алынады. Координаталар жүйесі жүйені бұрыш арқылы айналдыру арқылы алынады, ал айналудың оң бағыты осьтің сағат тіліне қарсы айналуы ретінде қабылданады.

Қабылданған координат жүйелері үшін базистік векторларды анықтайық. Жүйе жүйені параллель көшіру арқылы алынғандықтан, осы екі жүйе үшін де сәйкесінше базистік векторларды қабылдаймыз: , және бірлік бірліктер және координаталық осьтермен бағытта сәйкес келетін , . Жүйе үшін базистік векторлар ретінде , осьтерімен бағыты сәйкес келетін бірлік векторларды аламыз.

Координаталар жүйесі берілген және онда нүкте = анықталған болсын. Трансформацияға дейін бізде сәйкес келетін координаталар жүйесі бар деп есептейміз және . Вектормен анықталған координаталар жүйесіне параллель трансляцияны қолданайық. Нүктенің координаталық түрлендіруін анықтау қажет. Вектор теңдігін қолданайық: = + , немесе:

Параллель аударуды түрлендіруді қарапайым алгебрада белгілі мысалмен көрсетейік.

Мысал D–1 : Парабола теңдеуі берілген: = = . Осы параболаның теңдеуін оның қарапайым түріне келтіріңіз.

Шешім:

1). Техниканы қолданайық толық шаршыны бөлектеу : =, оны мына түрде оңай көрсетуге болады: –3 = .

2). Координаталық түрлендіруді қолданайық - параллель тасымалдау := . Осыдан кейін параболаның теңдеуі келесі түрді алады: . Алгебрадағы бұл түрлендіру келесідей анықталады: парабола = ең қарапайым параболаны 2-ге оңға және 3 бірлікке жоғары жылжыту арқылы алынады.

Жауабы: Параболаның қарапайым түрі: .

Координаталар жүйесі берілген және онда нүкте = анықталған болсын. Трансформацияға дейін бізде сәйкес келетін координаталар жүйесі бар деп есептейміз және . Координаталар жүйесіне айналу түрлендіруін қолданайық, сонда оның бастапқы орнына қатысты, яғни жүйеге қатысты, ол бұрышпен бұрылады. = нүктесінің координаталық түрленуін анықтау қажет. Координаталық жүйелердегі векторды және : = деп жазайық. (2) =1. Екінші ретті түзулер теориясынан эллипстің ең қарапайым (канондық!) теңдеуі алынғаны шығады.