Модульмен теңдеулерді шешудің мысалдары. Сан модулі (санның абсолюттік мәні), анықтамалары, мысалдары, қасиеттері. Сан модулі - анықтама, белгілеу және мысалдар
Біз математиканы таңдамаймызоның мамандығы, және ол бізді таңдайды.
Орыс математигі Ю.И. Манин
Модулі бар теңдеулер
Мектеп математикасының есептерін шығару қиын - модуль белгісіндегі айнымалылардан тұратын теңдеулер. Мұндай теңдеулерді сәтті шешу үшін модульдің анықтамасы мен негізгі қасиеттерін білу қажет. Әрине, студенттерде осы типтегі теңдеулерді шешу дағдылары болуы керек.
Негізгі түсініктер мен қасиеттер
Нақты санның модулі (абсолюттік мәні) белгіленді және келесідей анықталады:
Модульдің қарапайым қасиеттері келесі қатынастарды қамтиды:
Ескерту, соңғы екі қасиеттің кез-келген жұп дәрежеге жарамды екендігі.
Сонымен қатар, егер, қайда болса, онда
Модульдің күрделі қасиеттері, оны модульдермен теңдеулерді шешу үшін тиімді пайдалануға болады, келесі теоремалар арқылы тұжырымдалған:
Теорема 1. Кез-келген аналитикалық функциялар үшін және теңсіздік сақталады
Теорема 2. Теңдік теңсіздікке тең.
Теорема 3. Теңдік теңсіздікке тең.
Есептер шығарудың типтік мысалдарын «Теңдеулер, модуль белгісінің астындағы айнымалылардан тұрады.
Модульмен теңдеулерді шешу
Мектеп математикасында теңдеулерді модульмен шешудің кең тараған әдісі - әдіс, модульдерді кеңейтуге негізделген. Бұл әдіс жан-жақты, дегенмен, жалпы, оны қолдану өте ауыр есептеулерге әкелуі мүмкін. Осыған байланысты студенттер басқаларын білуі керек, осындай теңдеулерді шешудің тиімді әдістері мен тәсілдері. Соның ішінде, сізде теоремаларды қолдану дағдылары болуы керек, осы мақалада келтірілген.
1-мысал.Теңдеуді шешіңіз. (1)
Шешім. (1) теңдеу «классикалық» әдіс - модульдерді кеңейту әдісімен шешілетін болады. Ол үшін сан осін бөлеміз нүктелер және аралықтарға бөліп, үш жағдайды қарастырыңыз.
1. Егер, онда ,,, және (1) теңдеу форманы алады. Осыдан шығады. Алайда, бұл жерде табылған мән (1) теңдеудің түбірі емес.
2. Егер, онда (1) теңдеуден аламыз немесе.
Сол уақыттан бері теңдеудің түбірі (1).
3. Егер, онда (1) теңдеу форманы алады немесе. Ескертіп қой.
Жауап:,.
Келесі теңдеулерді модульмен шешкен кезде, біз осындай теңдеулерді шешу тиімділігін арттыру мақсатында модульдердің қасиеттерін белсенді қолданамыз.
2-мысал. Теңдеуді шешіңіз.
Шешім. Бастап, онда теңдеу көздейді... Осы байланыста , , , және теңдеу форманы алады... Демек, біз аламыз... Алайда, сондықтан бастапқы теңдеудің түбірі жоқ.
Жауап: тамырлар жоқ.
3-мысал. Теңдеуді шешіңіз.
Шешім. Сол уақыттан бері. Егер, онда, және теңдеу форманы алады.
Осы жерден аламыз.
4 мысал. Теңдеуді шешіңіз.
Шешім.Біз теңдеуді баламалы түрде қайта жазамыз. (2)
Алынған теңдеу түрдегі теңдеулерге жатады.
2-теореманы ескере отырып, (2) теңдеу теңсіздікке эквивалентті деп айтуға болады. Осы жерден аламыз.
Жауап:.
Мысал 5. Теңдеуді шешіңіз.
Шешім. Бұл теңдеудің формасы бар... Сондықтан, 3-теорема бойынша, міне бізде теңсіздік бар немесе.
6-мысал. Теңдеуді шешіңіз.
Шешім. Мұны ойлайық. Қалай, онда берілген теңдеу квадрат теңдеу түрінде болады, (3)
Қайда ... (3) теңдеудің жалғыз оң түбірі болғандықтан содан соң ... Демек, біз бастапқы теңдеудің екі түбірін аламыз: және.
7-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (4)
Шешім. Теңдеуден бастап екі теңдеудің тіркесіміне тең: және, онда (4) теңдеуді шешкен кезде екі жағдайды қарастырған жөн.
1. Егер болса, онда немесе.
Осы жерден біз аламыз, және.
2. Егер, онда немесе.
Сол уақыттан бері.
Жауап: ,,,.
8-мысал. Теңдеуді шешіңіз . (5)
Шешім. Бастап, содан кейін. Бұдан және (5) теңдеуден мыналар шығады және, яғни. мұнда бізде теңдеулер жүйесі бар
Алайда, бұл теңдеулер жүйесі сәйкес келмейді.
Жауап: тамырлар жоқ.
9-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (6)
Шешім.Егер біз белгілесек, онда және (6) теңдеуінен аламыз
Немесе. (7)
(7) теңдеудің формасы болғандықтан, бұл теңдеу теңсіздікке эквивалентті болады. Осы жерден аламыз. Содан бері, содан кейін немесе.
Жауап:.
10-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (8)
Шешім. 1-теорема бойынша біз жаза аламыз
(9)
(8) теңдеуді ескере отырып, (9) теңсіздіктердің екеуі де теңдікке айналады, яғни. теңдеулер жүйесі орындалады
Алайда, 3-теорема бойынша жоғарыда келтірілген теңдеулер жүйесі теңсіздіктер жүйесіне эквивалентті
(10)
Теңсіздіктер жүйесін (10) шеше отырып, аламыз. Теңсіздіктер жүйесі (10) (8) теңдеуге эквивалентті болғандықтан, бастапқы теңдеудің бір түбірі болады.
Жауап:.
11-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (11)
Шешім. Және, онда теңдік (11) теңдеуінен шығады.
Демек, және. Осылайша, бізде теңсіздіктер жүйесі бар
Осы теңсіздіктер жүйесінің шешімі мынада және.
Жауап:,.
12-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (12)
Шешім. (12) теңдеу модульдерді дәйекті кеңейту әдісімен шешілетін болады. Ол үшін бірнеше жағдайды қарастырыңыз.
1. Егер болса, онда.
1.1. Егер, онда және ,.
1.2. Егер болса, онда. Алайда, сондықтан, бұл жағдайда (12) теңдеудің түбірі жоқ.
2. Егер болса, онда.
2.1. Егер, онда және ,.
2.2. Егер болса, онда және.
Жауап: ,,,,.
13-мысал. Теңдеуді шешіңіз. (13)
Шешім. (13) теңдеудің сол жағы теріс емес болғандықтан, және. Осыған байланысты және (13) теңдеу
формасын алады немесе.
Теңдеу екені белгілі екі теңдеудің тіркесіміне барабар және, қайсысын алатынымызды шешеміз,. Қалай, онда (13) теңдеудің бір түбірі болады.
Жауап:.
14 мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз (14)
Шешім. Бастап және, содан кейін және. Сондықтан (14) теңдеулер жүйесінен төрт теңдеу жүйесін аламыз:
Жоғарыда келтірілген теңдеулер жүйесінің түбірлері теңдеулер жүйесінің түбірлері болып табылады (14).
Жауабы: ,,,,,,,.
15-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз (15)
Шешім. Сол уақыттан бері. Осыған байланысты (15) теңдеулер жүйесінен екі теңдеу жүйесін аламыз
Бірінші теңдеулер жүйесінің түбірлері және, ал екінші теңдеулер жүйесінен аламыз және аламыз.
Жауап: ,,,.
16-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз (16)
Шешім. Жүйенің (16) бірінші теңдеуінен шығады.
Сол уақыттан бері ... Жүйенің екінші теңдеуін қарастырайық. Сол сияқтысодан кейін, және теңдеу форманы алады, немесе.
Егер сіз мәнді ауыстырсаңыз жүйенің бірінші теңдеуіне (16), содан кейін немесе.
Жауап:,.
Мәселелерді шешу әдістерін тереңірек зерттеу үшін, теңдеулерді шешуге байланысты, модуль белгісінің астындағы айнымалылардан тұрады, мен кеңес бере аламын ба? оқулықтар ұсынылған әдебиеттер тізімінен.
1. Техникалық колледждерге түсушілерге арналған математикадан есептер жинағы / Ред. М.И. Сканави. - М.: Бейбітшілік және білім, 2013 ж. - 608 б.
2. Suprun V.P. Орта мектеп оқушыларына арналған математика: күрделенген мәселелер. - М.: «Librokom» CD / URSS, 2017 ж. - 200 б.
3. Suprun V.P. Орта мектеп оқушыларына арналған математика: стандартты емес есептер шығару әдістері. - М.: «Librokom» CD / URSS, 2017 .– 296 б.
Сұрақтарыңыз бар ма?
Тәрбиешінің көмегін алу үшін - тіркеліңіз.
сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.
Модуль - өрнектің абсолюттік мәні. Модульді кем дегенде қандай да бір түрде белгілеу үшін тік жақшаларды қолдану әдеттегідей. Тік жақшаға алынған мән - бұл модуль бойынша алынған мән. Кез-келген модульді шешу процесі математикалық тілде модульдік жақша деп аталатын оң жақшаларды кеңейтуден тұрады. Оларды ашу белгілі бір ережелер бойынша жүреді. Сондай-ақ, модульдерді шешу тәртібінде модуль жақшасында болған осы өрнектердің мәндер жиынтығы да бар. Барлық жағдайларда модуль субмодулярлы өрнек оң мәнді және теріс мәндерді, соның ішінде нөл мәнін алатындай етіп кеңейтіледі. Егер біз модульдің белгіленген қасиеттерінен бастасақ, онда процесте бастапқы өрнектен әртүрлі теңдеулер немесе теңсіздіктер құрылады, содан кейін оларды шешу керек. Модульдерді қалай шешуге болатынын білейік.
Шешім процесі
Модульді шешу бастапқы теңдеуді модульмен жазудан басталады. Теңдеулерді модульмен қалай шешуге болады деген сұраққа жауап беру үшін оны толығымен кеңейту керек. Осындай теңдеуді шешу үшін модуль кеңейтіледі. Барлық модульдік өрнектер ескерілуі керек. Оның құрамына кіретін белгісіз шамалардың қандай мәндерінде жақша ішіндегі модульдік өрнек нөлге айналатынын анықтау керек. Ол үшін модульдік жақшалардағы өрнекті нөлге теңестіріп, содан кейін алынған теңдеудің шешімін есептеу жеткілікті. Табылған мәндер жазылуы керек. Сол сияқты, осы теңдеудегі барлық модульдер үшін барлық белгісіз айнымалылардың мәнін анықтау қажет. Әрі қарай, өрнектердегі айнымалылардың нөлдік мәннен өзгеше болуын анықтайтын және қарастыратын барлық жағдайларды қарастыру қажет. Ол үшін барлық модульдерге сәйкес кейбір теңсіздіктер жүйесін бастапқы теңсіздікке жазу керек. Теңсіздіктер сандық сызықта кездесетін айнымалының барлық қол жетімді және мүмкін мәндерін қамтитын етіп жасалуы керек. Одан кейін визуалдау үшін осы сандық сызықты салу керек, ол бойынша сіз барлық алынған мәндерді кейінге қалдырасыз.
Қазір Интернетте бәрін жасауға болады. Модуль ережеден тыс емес. Сіз оны көптеген заманауи ресурстардың бірінде шеше аласыз. Нөлдік модульдегі айнымалының барлық мәндері модульдік теңдеуді шешу процесінде қолданылатын ерекше шектеу болады. Бастапқы теңдеуде өрнектің таңбасын қажетті айнымалының мәндері сан жолында көрінетін мәндермен сәйкес келетін етіп өзгерте отырып, барлық қол жетімді модульдік жақшаларды кеңейту қажет. Алынған теңдеу шешілуі керек. Теңдеуді шешу барысында алынатын айнымалының мәні модульдің өзі қойған шектеулерге тексерілуі керек. Егер айнымалының мәні шартты толығымен қанағаттандырса, онда ол дұрыс болады. Теңдеуді шешу кезінде алынатын, бірақ шектеулерге сәйкес келмейтін барлық түбірлер жойылуы керек.
Студенттер үшін қиын тақырыптардың бірі - модулі белгісінің астында айнымалысы бар теңдеулерді шешу. Бастапқыда анықтайық, бұл немен байланысты? Неліктен квадраттық теңдеулер көптеген балаларға арналған жаңғақ тәрізді кликтер болып табылады, бірақ модуль сияқты күрделі тұжырымдамадан сонша мәселе туындайды?
Менің ойымша, бұл қиындықтардың барлығы теңдеулерді модулі бар шешудің нақты тұжырымдалған ережелерінің болмауымен байланысты. Сонымен, шешім қабылдау квадрат теңдеу, студент алдымен дискриминанттық формуланы, содан кейін квадрат теңдеу түбірлерінің формуласын қолдану керек екенін анық біледі. Бірақ теңдеуде модуль болса ше? Біз теңдеуде модуль белгісімен белгісіз болған жағдайда, іс-әрекеттің қажетті жоспарын нақты сипаттауға тырысамыз. Әр мысалға бірнеше мысалдар келтірейік.
Бірақ алдымен есімізге түсірейік модульдің анықтамасы... Сонымен, санның модулі а бұл санның өзі егер деп аталады а теріс емес және -аегер нөмір болса а нөлден аз. Сіз оны осылай жаза аласыз:
| а | \u003d a, егер a ≥ 0 және | a | \u003d -a, егер а< 0
Модульдің геометриялық мағынасы туралы айта отырып, әрбір нақты сан сан осінің белгілі бір нүктесіне - оның к-не сәйкес келетінін есте ұстаған жөн. 
үйлестіру. Сонымен, санның модулі немесе абсолюттік мәні дегеніміз - осы нүктеден сандық осьтің басталуына дейінгі қашықтық. Қашықтық әрқашан оң сан ретінде көрсетіледі. Сонымен, кез-келген теріс санның абсолюттік мәні оң сан болады. Айтпақшы, осы кезеңнің өзінде көптеген студенттер абдырай бастайды. Модульде кез-келген сан болуы мүмкін, бірақ модульді қолдану нәтижесі әрқашан оң сан болады.
Енді теңдеулерді шешуге тікелей көшейік.
1. | Х | түріндегі теңдеуді қарастырайық \u003d с, мұндағы с - нақты сан. Бұл теңдеуді модуль анықтамасының көмегімен шешуге болады.
Барлық нақты сандарды үш топқа бөлеміз: нөлден үлкен, нөлден кіші, ал үшінші топ - 0 саны. Шешімін сызба түрінде жазайық:
(Егер c\u003e 0 болса ± c
Егер | x | \u003d c, онда x \u003d (0, егер c \u003d 0 болса
(егер болса, түбірлер жоқ< 0
1) | х | \u003d 5, өйткені 5\u003e 0, содан кейін x \u003d ± 5;
2) | х | \u003d -5, өйткені -бес< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | х | \u003d 0, содан кейін x \u003d 0.
2. | f (x) | түріндегі теңдеу \u003d b, мұндағы b\u003e 0. Бұл теңдеуді шешу үшін модульден арылу керек. Біз мұны осылай жасаймыз: f (x) \u003d b немесе f (x) \u003d -b. Енді алынған теңдеулердің әрқайсысын бөлек шешу керек. Егер бастапқы теңдеуде b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | \u003d 4, өйткені 4\u003e 0, содан кейін
x + 2 \u003d 4 немесе x + 2 \u003d -4
2) | x 2 - 5 | \u003d 11, өйткені 11\u003e 0, содан кейін
x 2 - 5 \u003d 11 немесе x 2 - 5 \u003d -11
x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6
x \u003d ± 4 түбір жоқ
3) | x 2 - 5x | \u003d -8, өйткені -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. | F (x) | түріндегі теңдеу \u003d g (x). Модуль мағынасында мұндай теңдеудің шешімдері болады, егер оның оң жағы нөлден үлкен немесе оған тең болса, яғни. g (x) ≥ 0. Сонда бізде:
f (x) \u003d g (x)немесе f (x) \u003d -g (x).
1) | 2х - 1 | \u003d 5х - 10. Бұл теңдеудің түбірлері болады, егер 5х - 10 ≥ 0. Егер осындай теңдеулердің шешімі осыдан басталса.
1. О.Д.З. 5х - 10 ≥ 0
2. Шешім:
2х - 1 \u003d 5х - 10 немесе 2х - 1 \u003d - (5х - 10)
3. Біз ODZ-ді біріктіреміз. және шешім:
X \u003d 11/7 түбірі O.D.Z сәйкес келмейді, ол 2-ден аз, ал x \u003d 3 осы шартты қанағаттандырады.
Жауабы: x \u003d 3
2) | х - 1 | \u003d 1 - x 2.
1. О.Д.З. 1 - x 2 ≥ 0. Осы теңсіздікті интервалдар әдісімен шешейік:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Шешім:
x - 1 \u003d 1 - x 2 немесе x - 1 \u003d - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0
x \u003d -2 немесе x \u003d 1 x \u003d 0 немесе x \u003d 1
3. Біз шешім мен ODZ-ді біріктіреміз:
Тек x \u003d 1 және x \u003d 0 түбірлері сәйкес келеді.
Жауабы: x \u003d 0, x \u003d 1.
4. | f (x) | түріндегі теңдеу \u003d | g (x) |. Мұндай теңдеу f (x) \u003d g (x) немесе f (x) \u003d -g (x) келесі екі теңдеуге тең.
1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2х - 5 |. Бұл теңдеу келесі екіге тең:
x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 немесе x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5
x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0
x \u003d 3 немесе x \u003d 4 x \u003d 2 немесе x \u003d 1
Жауабы: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.
5. Ауыстыру әдісімен шешілетін теңдеулер (айнымалы ауыстыру). Бұл шешім әдісін нақты мысалмен түсіндіру оңай. Сонымен, модулі бар квадрат теңдеу берілсін:
x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Модульдің қасиеті бойынша x 2 \u003d | x | 2, сондықтан теңдеуді келесідей етіп жазуға болады:
| х | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. | x | ауыстырамыз \u003d t ≥ 0, онда бізде:
t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Осы теңдеуді шеше отырып, t \u003d 1 немесе t \u003d 5. аламыз, алмастыруға оралайық:
| х | \u003d 1 немесе | х | \u003d 5
x \u003d ± 1 x \u003d ± 5
Жауабы: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.
Келесі мысалды қарастырайық:
x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Модульдің қасиеті бойынша x 2 \u003d | x | 2, сондықтан
| х | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Орнын ауыстырайық | х | \u003d t ≥ 0, содан кейін:
t 2 + t - 2 \u003d 0. Осы теңдеуді шеше отырып, t \u003d -2 немесе t \u003d 1 аламыз, алмастыруға оралайық:
| х | \u003d -2 немесе | x | \u003d 1
X \u003d ± 1 түбірлері жоқ
Жауабы: x \u003d -1, x \u003d 1.
6. Теңдеулердің тағы бір түрі - «күрделі» модулі бар теңдеулер. Бұл теңдеулерге «модульдегі модульдері» бар теңдеулер кіреді. Осы түрдегі теңдеулерді модуль қасиеттері арқылы шешуге болады.
1) | 3 - | х || \u003d 4. Біз екінші түрдегі теңдеулердегідей жүреміз. Себебі 4\u003e 0, содан кейін екі теңдеу шығады:
3 - | х | \u003d 4 немесе 3 - | x | \u003d -4.
Енді әрбір теңдеуде х модулін өрнектейміз, содан кейін | х | \u003d -1 немесе | х | \u003d 7.
Алынған теңдеулердің әрқайсысын шешеміз. Бірінші теңдеуде түбір жоқ, өйткені -1< 0, а во втором x = ±7.
Жауабы x \u003d -7, x \u003d 7.
2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Біз бұл теңдеуді дәл осылай шешеміз:
3 + | x + 1 | \u003d 5 немесе 3 + | x + 1 | \u003d -5
| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8
x + 1 \u003d 2 немесе x + 1 \u003d -2. Тамыр жоқ.
Жауабы: x \u003d -3, x \u003d 1.
Сонымен қатар модульмен теңдеулерді шешудің әмбебап әдісі бар. Бұл интервал әдісі. Бірақ біз оны кейінірек қарастырамыз.
сайт, материалдың толық немесе ішінара көшірмесімен, дереккөзге сілтеме қажет.
Латын тілінен сөзбе-сөз аударылған термин (модуль) «өлшем» дегенді білдіреді. Бұл ұғымды математикаға ағылшын ғалымы Р.Котс енгізген. Ал неміс математигі К.Вейерштрасс модульдік белгіні - жазу кезінде осы ұғымды білдіретін таңбаны енгізді.
Байланыста
Бұл тұжырымдама бірінші рет 6-сынып орта мектеп бағдарламасында математикада зерттеледі. Бір анықтамаға сәйкес, модуль - бұл нақты санның абсолюттік мәні. Басқаша айтқанда, нақты санның абсолюттік мәнін білу үшін оның таңбасын тастау керек.
Графикалық абсолютті мән және ретінде белгіленеді | а |.
Бұл тұжырымдаманың негізгі айырмашылық ерекшелігі - бұл әрқашан теріс емес шама.
Бір-бірінен тек белгілерімен ерекшеленетін сандар қарама-қарсы деп аталады. Егер мән оң болса, онда оның қарама-қарсы мәні теріс болады, ал нөл - өзіне қарама-қарсы болады.
Геометриялық мағынасы
Егер модуль ұғымын геометрия тұрғысынан қарастыратын болсақ, онда ол басынан бастап бірлік сегменттермен өлшенетін қашықтықты білдіреді. орнатылған нүкте... Бұл анықтама зерттелетін терминнің геометриялық мағынасын толық ашады.
Мұны графикалық түрде келесі түрде көрсетуге болады: | а | \u003d OA.
Абсолюттік шаманың қасиеттері
Төменде біз осы ұғымның барлық математикалық қасиеттерін және әріптік өрнектер түрінде жазу әдістерін қарастырамыз:
Модульмен теңдеулерді шешу ерекшеліктері
Егер модульді қамтитын математикалық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу туралы айтатын болсақ, онда оларды шешу үшін осы белгіні ашу керек екенін ұмытпаған жөн.
Мысалы, егер абсолюттік шаманың белгісінде кейбір математикалық өрнектер болса, онда модульді ашпас бұрын, қолданыстағы математикалық анықтамаларды ескеру қажет.
| A + 5 | \u003d A + 5егер, А нөлден үлкен немесе оған тең болса.
5-Aегер, және мәні нөлден аз болса.
Кейбір жағдайларда айнымалының кез-келген мәндері үшін белгіні бір мәнді түрде кеңейтуге болады.
Тағы бір мысал алайық. Абсолюттік мәні 5 болатын барлық сандық мәндерді белгілейтін координаталық түзуді құрайық.
Алдымен сізге координаталық сызық сызып, оның басталуын белгілеп, өлшем бірлігінің өлшемін орнату керек. Сонымен қатар, сызықтың бағыты болуы керек. Енді осы түзу сызықта бірлік сегменттің мәніне тең болатын белгілерді қолдану қажет.
Осылайша, осы координаталық түзуде 5 және -5 мәндері бар бізді қызықтыратын екі нүкте болатынын көре аламыз.
Санның бірлігін табу оңай, ал есеп шығарғанда оның негізіндегі теорияның маңызы зор.
Жаттығуларды шешуде және емтихандарда ашудың қасиеттері мен ережелері мектеп оқушылары мен студенттерге пайдалы болады. Https://teachs.ru сайтында өз біліміңізбен ақша табыңыз!
Математикадағы модуль дегеніміз не
Санның модулі нүктенің нөлден жататын бағытына қарамастан, сан сызығындағы нөлден нүктеге дейінгі қашықтықты сипаттайды. Математикалық жазба : | x |.
Басқаша айтқанда, бұл санның абсолюттік мәні. Анықтама мәннің ешқашан теріс болмайтындығын дәлелдейді.
Модульдің қасиеттері
Келесі қасиеттерді есте сақтау маңызды:
Кешенді модуль
Кешенді санның абсолюттік мәні дегеніміз - бұл күрделі жазықтықтың басынан бастап (а, b) нүктесіне дейін жүргізілген бағытталған кесіндінің ұзындығы.
Бұл бағытталған сызық сонымен қатар күрделі санды білдіретін вектор болып табылады a + bi, демек, күрделі санның абсолюттік мәні вектордың шамасымен (немесе ұзындығымен) бірдей a + bi.
Модуль көмегімен теңдеулерді қалай шешуге болады
Модулі бар теңдеу - бұл абсолютті мән өрнегін қамтитын теңдік. Егер нақты сан үшін ол оның басынан қашықтықты санау сызығында көрсетсе, онда модульдік теңсіздіктер абсолюттік мәндерден тұратын теңсіздіктің түрі болып табылады.
| X | сияқты теңдеулер \u003d а
| X | теңдеуі \u003d a бар екі жауап x \u003d a және x \u003d –aөйткені екі нұсқа да координаталық түзуде 0-ден a қашықтықта орналасқан.
Егер мән теріс болса, абсолютті мәнмен теңдіктің шешімі болмайды.
Егер | х |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.
| X | сияқты теңдеулер \u003d | у |
Теңдеулердің екі жағында абсолюттік мәндер болған кезде, сіз қолайлы анықтамалардың екі мүмкіндігін - оң және теріс өрнектерді ескеруіңіз керек.
Мысалы, теңдік үшін | х - а | \u003d | x + b | екі нұсқа бар: (x - a) \u003d - (x + b) немесе (x - a) \u003d (x + b).
| X | сияқты теңдеулер \u003d y
Осы түрдегі теңдеулерде өрнектің абсолюттік мәні айнымалысы нөлден солға, ал басқа белгісіз оң жақтан тұрады. Y айнымалысы нөлден үлкен немесе кем болуы мүмкін.
Осы теңдікте жауап алу үшін бірнеше теңдеулер жүйесін шешу керек, онда у теріс емес мән екеніне көз жеткізу керек:
Модульмен теңсіздіктерді шешу
Әр түрлі теңдіктер мен теңсіздіктер модулін қалай кеңейту керектігін жақсы түсіну үшін мысалдарды талдау керек.
| Х формасындағы теңдеулер \u003d а
1-мысал (алгебра 6 сынып). Шешу: | x | + 2 \u003d 4.
Шешім.
Мұндай теңдеулер абсолюттік мәндері жоқ теңдіктер сияқты шешіледі. Бұл белгісіздерді солға, тұрақтыларды оңға жылжыту арқылы өрнек өзгермейді деген сөз.
Константаны оңға жылжытқаннан кейін біз мынаны алдық: | х | \u003d 2.
Белгісіздер абсолютті мәнмен байланысты болғандықтан, бұл теңдіктің екі жауабы бар: 2 және −2 .
Жауап: 2 және −2 .
2-мысал(алгебра 7 сынып). | X + 2 | теңсіздігін шешіңіз ≥ 1.
Шешім.
Біріншіден, абсолюттік мән өзгеретін нүктелерді табу керек. Ол үшін өрнек тең болады 0 ... Алынған: x \u003d –2.
Бұл дегеніміз –2 - бұрылыс.
Аралықты 2 бөлікке бөлейік:
- x + 2 ≥ 0 үшін
[−1; + ∞).
- x + 2 үшін< 0
Осы екі теңсіздікке ортақ жауап - интервал (−∞; –3].
Соңғы шешім – жеке бөліктердің жауаптарын біріктіру:
х∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).
Жауап: х∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .
| Х формасындағы теңдеулер \u003d | у |
1-мысал (алгебра 8 сынып). Екі модульмен теңдеуді шешіңіз: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.
Шешім:
Жауап: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.
2-мысал (алгебра 8 сынып). Теңсіздікті шешу:
Шешім:
| Х формасындағы теңдеулер \u003d y
1-мысал (алгебра 10 сынып). X табу:
Шешім:
Оң жағын тексеру өте маңызды, әйтпесе жауап ретінде қате тамырларды жаза аласыз. Жүйеден алшақтықта не жатпайтынын көруге болады.
Жауап: x \u003d 0.
Қосынды модулі
Айырмашылық модулі
Екі санның айырымының абсолюттік мәні х және y - координаталары бар нүктелер арасындағы қашықтыққа тең X және Y координаталық түзуде.
1-мысал.
2-мысал.
Теріс сан модулі
Нөлден кем санның абсолюттік мәнін табу үшін оның нөлден қаншалықты алшақ екенін білу керек. Қашықтық әрдайым оң болғандықтан («теріс» қадамдардан өту мүмкін емес, олар тек басқа бағыттағы қадамдар), нәтиже әрқашан оң болады. Яғни,
Қарапайым тілмен айтқанда, теріс санның абсолюттік мәні қарама-қарсы мағынаға ие.
Нөлдік модуль
Белгілі мүлік:
Сондықтан абсолютті мәнді оң сан деп айтуға болмайды: нөл теріс де емес, оң да емес.
Шаршы модуль
Квадрат модулі әрқашан квадрат өрнекке тең:
Модульмен берілген графиктердің мысалдары
Көбінесе тесттер мен емтихандарда тек графиктерді талдау арқылы шешуге болатын тапсырмалар кездеседі. Осындай міндеттерді қарастырайық.
1-мысал.
F (x) \u003d | x | функциясы берілген. 1 қадамымен 3-тен 3-ке дейін график құру керек.
Шешім:
Түсіндіру: суретте графиканың Y осіне қатысты симметриялы екендігі көрсетілген.
2-мысал... F (x) \u003d | x - 2 | функцияларының графиктерін салу және салыстыру қажет және g (x) \u003d | x | –2.
Шешім:
Түсініктеме: абсолютті шаманың ішіндегі тұрақты графиктің мәні оң болса, оңға, оң болса солға жылжиды. Бірақ егер тұрақты мән графикті жоғарылатады, ал егер мән оң болса, төменге (мысалы - 2 функциясы бойынша g (x)).
Шыңның координаты х (екі сызықты қосатын нүкте, графиктің жоғарғы жағы) - бұл графиктің солға немесе оңға жылжытылған саны. Ал координат ж Графиктің жоғары немесе төмен жылжитын мәні.
Мұндай графиктерді интерактивті графикалық қосымшалардың көмегімен салуға болады. Олардың көмегімен тұрақтылардың функцияларға қалай әсер ететіндігін көруге болады.
Модульмен тапсырмалардағы интервалдық әдіс
Интервал аралығы - модуль есептерінде, әсіресе өрнекте біреуден көп болса, жауапты табудың ең жақсы тәсілдерінің бірі.
Әдісті қолдану үшін келесі әрекеттерді орындау қажет:
- Әр өрнекті нөлге қойыңыз.
- Айнымалылардың мәндерін табыңыз.
- 2-қадамда алынған нүктелерді сандық сызыққа қолданыңыз.
- Интервалдардағы өрнектердің белгісін (теріс немесе оң мән) анықтап, сәйкесінше - немесе + таңбасын салыңыз. Белгіні анықтаудың ең оңай әдісі - алмастыру әдісін қолдану (кез келген мәнді интервалдан ауыстыру).
- Пайда болған белгілермен теңсіздіктерді шешіңіз.
1-мысал... Интервалдар әдісімен шешіңіз.
Шешім:
