Įsivaizduojamų susikertančių linijų pora. Kokia yra kanoninė lygties forma? Elipsė ir jos kanoninė lygtis

8.3.15. Taškas A yra tiesėje. Atstumas nuo taško A iki plokštumos

8.3.16. Parašykite tiesės, simetriškos tiesei, lygtį

lėktuvo atžvilgiu .

8.3.17. Sudarykite projekcijų lygtis plokštumoje šias eilutes:

A) ;

b)

V) .

8.3.18. Raskite kampą tarp plokštumos ir linijos:

A) ;

b) .

8.3.19. Raskite tašką simetriškas taškas plokštumos, einančios per linijas, atžvilgiu:

Ir

8.3.20. Taškas A yra tiesėje

Atstumas nuo taško A iki tiesės lygus . Raskite taško A koordinates.

§ 8.4. ANTROSIOS NUOSTATOS KREIVĖS

Plokštumoje nustatykime stačiakampę koordinačių sistemą ir apsvarstykime bendrąją antrojo laipsnio lygtį

kuriame .

Vadinama aibė visų plokštumos taškų, kurių koordinatės tenkina (8.4.1) lygtį kreivas (linija) Antras užsakymas.

Bet kuriai antros eilės kreivei yra stačiakampė koordinačių sistema, vadinama kanonine, kurioje šios kreivės lygtis turi vieną iš šių formų:

1) (elipsė);

2) (įsivaizduojama elipsė);

3) (įsivaizduojamų susikertančių linijų pora);

4) (hiperbolė);

5) (susikertančių linijų pora);

6) (parabolė);

7) (lygiagrečių linijų pora);

8) (įsivaizduojamų lygiagrečių tiesių pora);

9) (sutampančių linijų pora).

1) – 9) lygtys vadinamos antrosios eilės kreivių kanoninės lygtys.

Antros eilės kreivės lygties redukavimo į problemą sprendimas kanoninė forma apima radimą kanoninė lygtis kreivė ir kanoninė koordinačių sistema. Sumažinimas iki kanoninės formos leidžia apskaičiuoti kreivės parametrus ir nustatyti jos vietą, palyginti su pradine koordinačių sistema. Perėjimas nuo originalo stačiakampė sistema koordinates į kanoninius atliekama sukant pradinės koordinačių sistemos ašis aplink tašką O tam tikru kampu j ir vėliau lygiagrečiai perkeliant koordinačių sistemą.

Antrosios eilės kreivės invariantai(8.4.1) vadinamos tokiomis jos lygties koeficientų funkcijomis, kurių reikšmės nesikeičia judant iš vienos stačiakampės koordinačių sistemos į kitą tos pačios sistemos.

Antros eilės kreivės (8.4.1) koeficientų suma kvadratinėmis koordinatėmis

,

determinantas, sudarytas iš pirmaujančių terminų koeficientų

ir trečios eilės determinantas

yra invariantai.

Invariantų s, d, D reikšmės gali būti naudojamos nustatant tipą ir sudaryti antros eilės kreivės kanoninę lygtį.

8.1 lentelė.

Antros eilės kreivių klasifikavimas pagal invariantus

Elipsinė kreivė		SD<0. Эллипс
		SD>0. įsivaizduojama elipsė
		Įsivaizduojamų tiesių, susikertančių realiame taške, pora
Hiperbolinio tipo kreivė		Hiperbolė
		Susikertančių linijų pora
Parabolinė kreivė		Parabolė
		Lygiagrečių linijų pora (skirtingų, įsivaizduojamų arba sutampančių)

Pažvelkime į elipsę, hiperbolę ir parabolę atidžiau.

Elipsė(8.1 pav.) – taškų lokusas plokštumoje, kurio atstumų suma iki dviejų fiksuotų taškų šis lėktuvas, vadinamas elipsės triukai, yra pastovi reikšmė (didesnė už atstumą tarp židinių). Tai neatmeta elipsės židinių sutapimo. Jei židiniai yra vienodi, tai elipsė yra apskritimas.

Pusė atstumų nuo elipsės taško iki jos židinių sumos žymima a, pusė atstumų tarp židinių - c. Jei stačiakampė koordinačių sistema plokštumoje pasirenkama taip, kad elipsės židiniai būtų Ox ašyje simetriškai pradžios atžvilgiu, tai šioje koordinačių sistemoje elipsė pateikiama lygtimi

, (8.4.2)

paskambino elipsės kanoninė lygtis, Kur .

Ryžiai. 8.1

Pasirinkus nurodytą stačiakampę koordinačių sistemą, elipsė yra simetriška koordinačių ašims ir pradžiai. Elipsės simetrijos ašys tai vadina kirvius, o simetrijos centras yra elipsės centras. Tuo pačiu metu skaičiai 2a ir 2b dažnai vadinami elipsės ašimis, o skaičiai a ir b vadinami didelis Ir pusiau mažoji ašis atitinkamai.

Elipsės ir jos ašių susikirtimo taškai vadinami elipsės viršūnes. Elipsės viršūnės turi koordinates (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Elipsės ekscentriškumas paskambino numeriu

Nuo 0£c

.

Tai rodo, kad ekscentriškumas apibūdina elipsės formą: kuo e arčiau nulio, tuo elipsė atrodo kaip apskritimas; e didėjant, elipsė pailgėja.

Dabar parodysime, kad antros eilės kreivių afininė klasifikacija pateikiama pačių kreivių pavadinimais, t. y., kad antros eilės kreivių afininės klasės yra klasės:

tikros elipsės;

įsivaizduojamos elipsės;

hiperbolė;

realių susikertančių tiesių poros;

susikertančių įsivaizduojamų (konjuguotų) poros;

lygiagrečių realių tiesių poros;

lygiagrečių įsivaizduojamų konjuguotų linijų poros;

sutampančių realių linijų poros.

Turime įrodyti du teiginius:

A. Visos to paties pavadinimo kreivės (ty visos elipsės, visos hiperbolės ir kt.) yra giminingai lygiavertės viena kitai.

B. Dvi skirtingų pavadinimų kreivės niekada nėra afininis ekvivalentas.

Įrodome teiginį A. XV skyriaus 3 paragrafe jau buvo įrodyta, kad visos elipsės yra giminingai lygiavertės vienai iš jų, būtent apskritimai ir visos hiperbolės yra hiperbolės. Taigi visos elipsės, atitinkamai visos hiperbolės, yra giminingai lygiavertės vienas kitą. Visos įsivaizduojamos elipsės, giminingai lygiavertės apskritimui - - 1 spindulio, taip pat yra giminingai lygiavertės viena kitai.

Įrodykime visų parabolių afininį ekvivalentiškumą. Įrodysime dar daugiau, būtent, kad visos parabolės yra panašios viena į kitą. Pakanka įrodyti, kad parabolė, pateikta tam tikroje koordinačių sistemoje pagal jos kanoninę lygtį

kaip parabolė

Norėdami tai padaryti, plokštumoje atliekame panašumo transformaciją su koeficientu - :

Tada taip, kad mūsų transformacijos metu kreivė

eina į kreivę

y., į parabolę

Q.E.D.

Pereikime prie nykstančių kreivių. § (9) ir (11) formulėse, 401 ir 402 p., buvo įrodyta, kad kreivė, išskaidanti į susikertančių tiesių porą kokioje nors (net stačiakampėje) koordinačių sistemoje, turi lygtį

Atliekant papildomą koordinačių transformaciją

matome, kad bet kuri kreivė, išskaidanti į susikertančių realių, atitinkamai, įsivaizduojamų konjugatų, tiesių, porą, tam tikroje afininėje koordinačių sistemoje turi lygtį

Kalbant apie kreives, padalintas į lygiagrečių tiesių porą, kiekviena iš jų (net ir tam tikroje stačiakampėje koordinačių sistemoje) gali būti pateikta lygtimi

tikrai, atitinkamai

menamiems, tiesioginiams. Koordinačių transformacija leidžia įvesti šias lygtis (arba sutampančių linijų atveju). Tai reiškia visų mažėjančių antros eilės kreivių, turinčių tą patį pavadinimą, afininį ekvivalentiškumą.

Mes pereiname prie teiginio B įrodymo.

Visų pirma, pažymime, kad afininės plokštumos transformacijos metu algebrinės kreivės tvarka išlieka nepakitusi. Be to: bet kuri antros eilės nykstanti kreivė yra linijų pora, o atliekant afininę transformaciją, linija pereina į tiesę, susikertančių tiesių pora pereina į susikertančių, o lygiagrečių tiesių pora - į porą. lygiagrečių; be to, tikrosios linijos tampa tikromis, o menamos – menamomis. Tai išplaukia iš to, kad visi koeficientai formulėse (3) (XI skyrius, § 3), apibrėžiančios afininę transformaciją, yra tikrieji skaičiai.

Iš to, kas pasakyta, išplaukia, kad linija, kuri yra afiniškai lygiavertė nurodytai mažėjančiai antros eilės kreivei, yra to paties pavadinimo nykstanti kreivė.

Mes pereiname prie nesuyrančių kreivių. Vėlgi, esant afininei transformacijai, tikroji kreivė negali pereiti į įsivaizduojamą ir atvirkščiai. Todėl įsivaizduojamų elipsių klasė yra afininė invariantinė.

Apsvarstykite realių neskaidomų kreivių klases: elipses, hiperboles, paraboles.

Tarp visų antrosios eilės kreivių kiekviena elipsė ir tik elipsė yra kokiame nors stačiakampyje, o parabolės ir hiperbolės (taip pat ir visos nykstančios kreivės) tęsiasi iki begalybės.

Atliekant afininę transformaciją, stačiakampis ABCD, kuriame yra nurodyta elipsė, pateks į lygiagretainį, kuriame yra transformuota kreivė, kuri todėl negali eiti į begalybę ir todėl yra elipsė.

Taigi, elipsei lygiavertė kreivė būtinai yra elipsė. Iš to, kas buvo įrodyta, išplaukia, kad kreivė, kuri afiniškai lygiavertė hiperbolei arba parabolei, negali būti elipsė (ir, kaip žinome, ji negali būti ir nykstanti kreivė. Todėl belieka įrodyti, kad esant afininei kreivė plokštumos transformacija, hiperbolė negali pereiti į parabolę, o priešingai, tai tikriausiai paprasčiausiai išplaukia iš to, kad parabolė neturi simetrijos centro, o hiperbolė turi. Tačiau kadangi simetrijos centro nebuvimas parabolė bus įrodyta tik kitame skyriuje, dabar pateiksime antrą, taip pat labai paprastą hiperbolės ir parabolės afininį neekvivalentiškumą.

Lemma. Jei parabolė turi bendrų taškų su kiekviena iš dviejų pusplokštumų, apibrėžtų tam tikros tiesės d plokštumoje, tada ji turi bent vieną bendrą tašką su tiese.

Iš tiesų, matėme, kad yra koordinačių sistema, kurioje duotoji parabolė turi lygtį

Tegul šios koordinačių sistemos atžvilgiu tiesė d turi lygtį

Daroma prielaida, kad parabolėje yra du taškai, iš kurių vienas yra teigiamoje, o kitas yra neigiamoje pusiausvyros plokštumoje lygties (1) atžvilgiu. Todėl prisimindami, kad galime rašyti

Norėdami tai iliustruoti konkrečiu pavyzdžiu, parodysiu, kas šiame aiškinime atitinka tokį teiginį: (tikrasis arba įsivaizduojamas) taškas P yra (tikrojoje arba įsivaizduojamoje) tiesėje g. Šiuo atveju, žinoma, būtina atskirti šiuos atvejus:

1) tikrasis taškas ir tikroji linija,

2) tikrasis taškas ir įsivaizduojama linija,

1 atvejis) nereikalauja iš mūsų jokio specialaus paaiškinimo; čia turime vieną iš pagrindinių įprastos geometrijos santykių.

2 atveju, kartu su duota įsivaizduojama linija, tiesių kompleksas, susietas su ja, būtinai turi eiti per duotą realųjį tašką; vadinasi, šis taškas turi sutapti su spindulių pluošto, kurį naudojame įsivaizduojamai linijai vaizduoti, viršūne.

Panašiai 3) atveju tikroji linija turi būti identiška tos tiesinės taškų involiucijos atramai, kuri yra duoto įsivaizduojamo taško atstovė.

Įdomiausias atvejis yra 4) (96 pav.): čia akivaizdu, kad kompleksinis konjugacijos taškas taip pat turi būti ant kompleksinės konjugacijos linijos, taigi iš to išplaukia, kad kiekviena tašką P žyminčių taškų involiucijos taškų pora turi būti ant kai kurių linijų poros tiesių, vaizduojančių tiesę g, t. y. kad abi šios involiucijos turi būti išdėstytos perspektyviai viena kitos atžvilgiu; be to, pasirodo, kad abiejų involiucijų rodyklės taip pat išdėstytos perspektyvoje.

Apskritai analitinėje plokštumos geometrijoje, kuri taip pat atkreipia dėmesį į sudėtingą sritį, gauname pilną realų šios plokštumos vaizdą, jei prie visų jos realių taškų ir tiesių aibės pridedame involiucinės aibės naujus elementus. pirmiau nurodytos figūros kartu su jų krypčių rodyklėmis. Čia pakaks, jei bendrais bruožais apibūdinsiu, kokia forma būtų sudarytas toks tikras sudėtingos geometrijos paveikslas. Tai darydamas vadovausiuosi tokia tvarka, kokia dabar dažniausiai pateikiami pirmieji elementariosios geometrijos teiginiai.

1) Jie prasideda egzistavimo aksiomomis, kurių tikslas yra tiksliai suformuluoti ką tik paminėtų elementų buvimą srityje, išplėstoje, palyginti su įprasta geometrija.

2) Tada jungties aksiomos, kurios teigia, kad ir 1) punkte apibrėžtoje išplėstinėje srityje! viena ir tik viena tiesė eina per (kiekvienus) du taškus, o ta (bet kuri) dvi tiesės turi vieną ir tik vieną bendrą tašką.

Tuo pačiu metu, kaip ir anksčiau, kiekvieną kartą turime atskirti keturis atvejus, priklausomai nuo to, ar pateikti elementai yra tikri, ir atrodo labai įdomu tiksliai pagalvoti, kurios tikrosios konstrukcijos su taškų ir linijų involiucijomis yra vaizdas. šių sudėtingų santykių.

3) Kalbant apie išdėstymo (tvarkos) aksiomas, čia, lyginant su faktiniais santykiais, atsiranda visiškai naujos aplinkybės; visų pirma, visi realūs ir sudėtingi taškai, esantys vienoje fiksuotoje tiesėje, taip pat visi spinduliai, einantys per vieną fiksuotą tašką, sudaro dvimatį kontinuumą. Galų gale, kiekvienas iš mūsų, tyrinėdamas funkcijų teoriją, išmoko įprotį reprezentuoti sudėtingo kintamojo verčių visumą visuose plokštumos taškuose.

4) Galiausiai, kalbant apie tęstinumo aksiomas, čia tik nurodysiu, kaip pavaizduoti sudėtingus taškus, esančius taip arti kokio nors tikro taško. Norėdami tai padaryti, per paimtą realųjį tašką P (arba per kitą realų tašką, esantį šalia jo), reikia nubrėžti tiesią liniją ir joje apsvarstyti tokias dvi taškų poras, skiriančias vienas kitą (t. ") taškų poros (. . 97 pav.), kad du taškai, paimti iš skirtingų porų, būtų arti vienas kito ir taško P; jei dabar sujungsime taškus neribotam laikui, tai įvardytų taškų porų apibrėžta involiucija išsigimsta, t. y. abu jos iki šiol sudėtingi dvigubi taškai sutampa su tašku. Kiekvienas iš dviejų šios involiucijos vaizduojamų įsivaizduojamų taškų (kartu su vienu arba kita rodyklė) praeina, vadinasi, ištisinė iki tam tikro taško, artimo P, arba net tiesiai į P. Žinoma, norint tinkamai panaudoti šias tęstinumo sąvokas, reikia su jomis dirbti išsamiai.

Nors visa ši konstrukcija yra gana sudėtinga ir varginanti, palyginti su įprasta realia geometrija, ji gali duoti nepalyginamai daugiau. Visų pirma, jis gali pakelti iki visiško geometrinio aiškumo lygio algebrinius vaizdus, ​​suprantamus kaip jų realių ir sudėtingų elementų rinkinius, ir su jo pagalba galima aiškiai suprasti pačias figūras tokias teoremas kaip pagrindinė algebros teorema. arba Bezouto teorema, kad dvi kreivių eilės paprastai turi lygiai bendrus taškus. Tam, žinoma, reikėtų daug tiksliau ir iliustratyviau nei iki šiol suvokti pagrindines nuostatas; tačiau literatūroje jau yra visa tokiems tyrimams būtina medžiaga.

Tačiau daugeliu atvejų šios geometrinės interpretacijos taikymas su visais teoriniais pranašumais vis dėlto sukeltų tokias komplikacijas, kad reikia pasitenkinti jos pagrindine galimybe ir iš tikrųjų grįžti prie naivesnio požiūrio, kuris yra toks: sudėtingas taškas yra trijų sudėtingų koordinačių rinkinys, su juo galima valdyti lygiai taip pat, kaip su realiais taškais. Iš tiesų toks įsivaizduojamų elementų įvedimas, susilaikant nuo bet kokių esminių samprotavimų, visada pasiteisindavo tais atvejais, kai tenka susidurti su įsivaizduojamais cikliniais taškais arba su sferų ratu. Kaip jau minėta, Poncelet pirmą kartą pradėjo naudoti įsivaizduojamus elementus šia prasme; jo pasekėjai šiuo atžvilgiu buvo kiti prancūzų geometrai, daugiausia Challas ir Darboux; Vokietijoje nemažai geometrų, ypač Lie, taip pat labai sėkmingai taikė tokį įsivaizduojamų elementų supratimą.

Šiuo nukrypimu į vaizduotės sritį užbaigiu visą antrąją savo kurso dalį ir pereinu prie naujo skyriaus,

Antros eilės eilutės

plokštumos tiesės, kurių Dekarto stačiakampės koordinatės tenkina 2 laipsnio algebrinę lygtį

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Lygtis (*) gali neapibrėžti tikrojo geometrinio vaizdo, tačiau bendraumo dėlei tokiais atvejais sakoma, kad ji lemia įsivaizduojamą tiesinį vaizdą. n. Priklausomai nuo bendrosios lygties (*) koeficientų reikšmių, ją galima transformuoti lygiagrečiai perkeliant koordinačių sistemos kilmę ir pasukimą tam tikru kampu į vieną iš 9 toliau pateiktų kanoninių formų, kurių kiekviena atitinka tam tikrą linijų klasę. tiksliai,

nepertraukiamos linijos:

y 2 = 2 pikseliai – parabolės,

lūžimo linijos:

x 2 - a 2 \u003d 0 - lygiagrečių linijų poros,

x 2 + a 2 \u003d 0 - įsivaizduojamų lygiagrečių linijų poros,

x 2 = 0 – sutampančių lygiagrečių tiesių poros.

L. žvilgsnio tyrimas. gali būti atliktas nesumažinant bendrosios lygties iki kanoninės formos. Tai pasiekiama bendrai įvertinus vadinamųjų vertybių. pagrindiniai invariantai L.v. n. - išraiškos, sudarytos iš lygties (*) koeficientų, kurių reikšmės nesikeičia lygiagrečiai verčiant ir sukant koordinačių sistemą:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Taigi, pavyzdžiui, elipsės, kaip nesuyrančios linijos, pasižymi tuo, kad joms Δ ≠ 0; teigiama invariantinio δ reikšmė išskiria elipses iš kitų tipų netirstančių linijų (hiperbolėms δ

Trys pagrindiniai invariantai Δ, δ ir S nustato KS. (išskyrus lygiagrečių tiesių atvejį) iki Euklido plokštumos judėjimo (žr. Judėjimas): jei dviejų tiesių atitinkami invariantai Δ, δ ir S yra lygūs, tai tokios tiesės gali būti uždėtos judesiu. Kitaip tariant, šios linijos yra lygiavertės plokštumos judesių grupei (metriškai ekvivalentiškos).

Yra L. klasifikacijos. kitų transformacijų grupių požiūriu. Taigi, santykinai bendresnė už judesių grupę – giminingų transformacijų grupę (žr. Afinines transformacijas) – bet kurios dvi linijos, apibrėžtos tos pačios kanoninės formos lygtimis, yra lygiavertės. Pavyzdžiui, du panašūs L. in. n. (žr. panašumą) laikomi lygiaverčiais. Ryšiai tarp skirtingų linijinių c.v klasių. leidžia nustatyti klasifikaciją projekcinės geometrijos požiūriu (žr. projekcinę geometriją), kurioje begalybės elementai nevaidina ypatingo vaidmens. Tikras nesuirstantis L. in. tt: elipsės, hiperbolės ir parabolės sudaro vieną projekcinę klasę – realių ovalo linijų (ovalų) klasę. Tikroji ovalo linija yra elipsė, hiperbolė arba parabolė, priklausomai nuo to, kaip ji išsidėsčiusi tiesės atžvilgiu begalybėje: elipsė kerta netinkamą tiesę dviejuose įsivaizduojamuose taškuose, hiperbolė – dviejuose skirtinguose realiuose taškuose, parabolė liečia netinkamą tiesę. ; yra projekcinių transformacijų, kurios perkelia šias eilutes vieną į kitą. Yra tik 5 L.v projekcinės ekvivalentiškumo klasės. n. Tiksliai,

neišsigimusios linijos

(x 1, x 2, x 3- vienarūšės koordinatės):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 – tikras ovalas,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 – įsivaizduojamas ovalas,

išsigimusios linijos:

x 1 2 - x 2 2= 0 - realių linijų pora,

x 1 2 + x 2 2= 0 - įsivaizduojamų linijų pora,

x 1 2= 0 – sutampančių realių eilučių pora.

A. B. Ivanovas.

Didžioji sovietinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija. 1969-1978 .

Pažiūrėkite, kas yra „Antros eilės eilutės“ kituose žodynuose:

Plokštumos linijos, kurių stačiakampio taško koordinatės tenkina 2-ojo laipsnio algebrinę lygtį. Tarp antrosios eilės eilučių yra elipsės (ypač apskritimai), hiperbolės, parabolės ... Didysis enciklopedinis žodynas

Plokštumos linijos, kurių stačiakampio taško koordinatės tenkina 2-ojo laipsnio algebrinę lygtį. Tarp antrosios eilės eilučių yra elipsės (ypač apskritimai), hiperbolės, parabolės. ... enciklopedinis žodynas

Plokščios linijos, stačiakampės taškų koordinatės k px tenkina algebras. 2-ojo laipsnio urnija. Tarp L. in. n. elipsės (ypač apskritimai), hiperbolės, parabolės... Gamtos mokslai. enciklopedinis žodynas

Plokščia linija, Dekarto stačiakampės koordinatės, atitinkančios algebrinį spiečius. 2-ojo laipsnio lygtis. Lygtis (*) negali nustatyti tikrosios geometrinės. vaizdas, tačiau, kad tokiais atvejais būtų išsaugotas bendrumas, jie sako, kad tai lemia ... ... Matematinė enciklopedija

Trimatės realios (arba kompleksinės) erdvės taškų aibė, kurios koordinatės Dekarto sistemoje tenkina algebrinę. 2-ojo laipsnio lygtis (*) Lygtis (*) negali nustatyti tikrosios geometrijos. vaizdai, tokie ...... Matematinė enciklopedija

Šis žodis, labai dažnai vartojamas lenktų linijų geometrijoje, turi ne visai apibrėžtą reikšmę. Kai šis žodis taikomas neuždaroms ir nesišakojančioms lenktoms linijoms, tada kreivės atšaka reiškia kiekvieną ištisinį individą ... ... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

Antros eilės linijos, dviejų skersmenų, kurių kiekviena dalija šios kreivės stygas, lygiagrečias kitai. SD vaidina svarbų vaidmenį bendroje antros eilės linijų teorijoje. Su lygiagrečia elipsės projekcija į jos S. d. apskritimą ... ...

Tiesės, gautos perpjovus dešinįjį apskritą kūgį plokštumomis, kurios nekerta jo viršūnės. K. s. gali būti trijų tipų: 1) pjovimo plokštuma kerta visus kūgio generatorius vienos jos ertmės taškuose; linija…… Didžioji sovietinė enciklopedija

Tiesės, gautos perpjovus dešinįjį apskritą kūgį plokštumomis, kurios nekerta jo viršūnės. K. s. gali būti trijų tipų: 1) pjovimo plokštuma kerta visus kūgio generatorius vienos savo ertmės taškuose (pav., a): susikirtimo linija ... ... Matematinė enciklopedija

Geometrijos skyrius. Pagrindinės algebrinės geometrijos sąvokos yra paprasčiausi geometriniai vaizdai (taškai, linijos, plokštumos, kreivės ir antros eilės paviršiai). Pagrindinės tyrimo priemonės A. g. yra koordinačių metodas (žr. toliau) ir metodai ... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Knygos

• Trumpas analitinės geometrijos kursas, Efimovas Nikolajus Vladimirovičius. Analitinės geometrijos studijų objektas yra figūros, kurios Dekarto koordinatėse pateikiamos pirmojo arba antrojo laipsnio lygtimis. Plokštumoje tai yra tiesios linijos ir antros eilės linijos. ...

Tai yra visuotinai priimta standartinė lygties forma, kai per kelias sekundes tampa aišku, kokį geometrinį objektą ji apibrėžia. Be to, kanoninė forma labai patogi sprendžiant daugelį praktinių problemų. Taigi, pavyzdžiui, pagal kanoninę lygtį "plokščias" tiesus, pirma, iš karto aišku, kad tai tiesi linija, antra, jai priklausantis taškas ir krypties vektorius yra tiesiog matomi.

Aišku, bet koks 1-oji eilė reiškia tiesią liniją. Antrame aukšte mūsų laukia nebe kiemsargis, o daug įvairesnė devynių statulų kompanija:

Antros eilės eilučių klasifikacija

Naudojant specialų veiksmų rinkinį, bet kuri antros eilės linijos lygtis sumažinama iki vieno iš šių tipų:

(ir yra teigiami realieji skaičiai)

1) yra elipsės kanoninė lygtis;

2) yra kanoninė hiperbolės lygtis;

3) yra kanoninė parabolės lygtis;

4) – įsivaizduojamas elipsė;

5) - susikertančių linijų pora;

6) - pora įsivaizduojamas susikertančios tiesės (su vieninteliu realiu susikirtimo tašku ištakoje);

7) - lygiagrečių linijų pora;

8) - pora įsivaizduojamas lygiagrečios linijos;

9) yra sutampančių linijų pora.

Kai kuriems skaitytojams gali susidaryti įspūdis, kad sąrašas yra neišsamus. Pavyzdžiui, 7 pastraipoje lygtis nustato porą tiesioginis, lygiagreti ašiai, ir kyla klausimas: kur yra lygtis, nustatanti tieses, lygiagrečias y ašiai? Atsakyk nelaikomas kanonu. Tiesios linijos žymi tą patį standartinį korpusą, pasuktą 90 laipsnių kampu, o papildomas įrašas klasifikacijoje yra nereikalingas, nes jame nėra nieko iš esmės naujo.

Taigi, yra devyni ir tik devyni skirtingi antrosios eilės eilučių tipai, tačiau praktikoje dažniausiai yra elipsė, hiperbolė ir parabolė.

Pirmiausia pažiūrėkime į elipsę. Kaip įprasta, daugiausia dėmesio skiriu tiems taškams, kurie yra labai svarbūs sprendžiant problemas, o jei jums reikia išsamaus formulių išvedimo, teoremų įrodymų, skaitykite, pavyzdžiui, Bazylevo / Atanasyano ar Aleksandrovo vadovėlį.

Elipsė ir jos kanoninė lygtis

Rašyba ... nekartokite kai kurių „Yandex“ vartotojų, kurie domisi „kaip sukurti elipsę“, „skirtumas tarp elipsės ir ovalo“ ir „elebs ekscentriškumas“, klaidų.

Kanoninė elipsės lygtis turi formą , kur yra teigiami realieji skaičiai ir . Elipsės apibrėžimą suformuluosiu vėliau, bet kol kas laikas pailsėti nuo kalbėjimo ir išspręsti dažną problemą:

Kaip sukurti elipsę?

Taip, imk ir tiesiog nupiešk. Užduotis yra įprasta, o nemaža dalis studentų ne visai kompetentingai susidoroja su piešiniu:

1 pavyzdys

Sukurkite elipsę, pateiktą pagal lygtį

Sprendimas: pirmiausia pateikiame lygtį į kanoninę formą:

Kodėl atnešti? Vienas iš kanoninės lygties privalumų yra tai, kad ji leidžia akimirksniu nustatyti elipsės viršūnės, kurie yra taškuose . Nesunku pastebėti, kad kiekvieno iš šių taškų koordinatės atitinka lygtį .

Tokiu atveju :


Linijos segmentas paskambino pagrindinė ašis elipsė;
linijos segmentas – mažoji ašis;
numerį paskambino pusiau pagrindinė ašis elipsė;
numerį – pusiau mažoji ašis.
mūsų pavyzdyje: .

Norėdami greitai įsivaizduoti, kaip atrodo ta ar kita elipsė, tiesiog pažiūrėkite į jos kanoninės lygties „a“ ir „be“ reikšmes.

Viskas puiku, tvarkinga ir gražu, tačiau yra vienas įspėjimas: piešinį padariau naudodamas programą. Ir jūs galite piešti naudodami bet kurią programą. Tačiau atšiaurioje realybėje ant stalo guli languotas popieriaus lapas, o aplink mūsų rankas šoka pelės. Meninio talento žmonės, žinoma, gali ginčytis, bet jūs turite ir pelių (nors ir mažesnių). Ne veltui žmonija išrado liniuotę, kompasą, transporterį ir kitus paprastus piešimo prietaisus.

Dėl šios priežasties vargu ar galėsime tiksliai nubrėžti elipsę, žinodami tik viršūnes. Vis tiek gerai, jei elipsė maža, pavyzdžiui, su pusašėmis. Arba galite sumažinti mastelį ir atitinkamai brėžinio matmenis. Tačiau apskritai labai pageidautina rasti papildomų taškų.

Yra du elipsės konstravimo būdai – geometrinis ir algebrinis. Nemėgstu statyti su kompasu ir liniuote dėl trumpo algoritmo ir didelės brėžinio netvarkos. Neatidėliotinais atvejais pasidomėkite vadovėliu, tačiau iš tikrųjų daug racionaliau naudoti algebros priemones. Iš juodraščio elipsės lygties greitai išreiškiame:

Tada lygtis padalijama į dvi funkcijas:
– apibrėžia viršutinį elipsės lanką;
– apibrėžia apatinį elipsės lanką.

Bet kuri elipsė yra simetriška koordinačių ašims, taip pat kilmei. Ir tai puiku – simetrija beveik visada yra dovanų pranašas. Akivaizdu, kad užtenka susitvarkyti su 1 koordinačių ketvirčiu, todėl mums reikia funkcijos . Siūloma rasti papildomų taškų su abscisėmis . Skaičiuoklėje paspaudėme tris SMS:

Žinoma, malonu ir tai, kad jei skaičiavimuose padaroma rimta klaida, tai iš karto paaiškės statybų metu.

Pažymėkite taškus ant piešinio (raudona spalva), simetriškus taškus ant kitų lankų (mėlyna spalva) ir atsargiai sujunkite visą įmonę linija:


Pradinį eskizą geriau nupiešti plonai ir plonai, o tik tada spausti pieštuką. Rezultatas turėtų būti gana padori elipsė. Beje, ar norėtumėte sužinoti, kas yra ši kreivė?