Kvadratinė šaknis iš skaičiaus iki laipsnio. Šaknų dauginimas: metodai ir taikymas. Pagrindinė daugybos taisyklė

Laipsnio formulės naudojamas mažinant ir supaprastinant sudėtingas išraiškas, sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:

Operacijos su laipsniais.

1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, pridedami jų rodikliai:

esu·a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:

3. 2 ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:

(a/b) n = a n/b n .

5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:

(a m) n = a m n .

Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacijos su šaknimis.

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neteigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neteigiamojo eksponento vertei:

Formulė esu:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.

Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Į formulę esu:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia išgauti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.

Norėdami sėkmingai naudoti šaknų ištraukimo operaciją praktikoje, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis.
Visos savybės yra suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknų ženklais, reikšmėmis.

1 teorema. Dviejų neneigiamų lustų sandaugos n-oji šaknis (n=2, 3, 4,...) yra lygi šių skaičių n-osios šaknų sandaugai:

komentaras:

1. 1 teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų skaičių sandauga.

2 teorema.Jeigu, ir n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė yra teisinga

Trumpai(nors ir netiksli) formuluotė, kurią patogiau naudoti praktiškai: trupmenos šaknis lygi šaknų daliai.

1 teorema leidžia padauginti t tik to paties laipsnio šaknys , t.y. tik šaknys su tuo pačiu indeksu.

3 teorema.Jei ,k yra natūralusis skaičius, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė yra teisinga

Kitaip tariant, norint pakelti šaknį į prigimtinę galią, pakanka iki šios galios pakelti radikalią išraišką.
Tai yra 1 teoremos pasekmė. Tiesą sakant, pavyzdžiui, esant k = 3, gauname: Lygiai taip pat galime samprotauti bet kurios kitos natūraliosios eksponento k vertės atveju.

4 teorema.Jei ,k, n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė yra teisinga

Kitaip tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius.
Pavyzdžiui,

Būk atsargus! Sužinojome, kad su šaknimis galima atlikti keturias operacijas: daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknies ištraukimas (iš šaknies). Bet kaip dėl šaknų pridėjimo ir atėmimo? Negali būti.
Pavyzdžiui, užuot parašęs Tikrai, Bet tai akivaizdu

5 teorema.Jei šaknies ir radikalinės išraiškos rodikliai dauginami arba dalijami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis, t.y.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys. Apskaičiuoti

Sprendimas. Naudodami pirmąją šaknų savybę (1 teorema), gauname:

2 pavyzdys. Apskaičiuoti
Sprendimas. Paverskite mišrų skaičių į netinkamą trupmeną.
Mes turime Naudojant antrąją šaknų savybę ( 2 teorema ), mes gauname:

3 pavyzdys. Apskaičiuoti:

Sprendimas. Bet kuri algebros formulė, kaip gerai žinote, naudojama ne tik „iš kairės į dešinę“, bet ir „iš dešinės į kairę“. Taigi pirmoji šaknų savybė reiškia, kad jas galima pavaizduoti forma ir, atvirkščiai, pakeisti išraiška. Tas pats pasakytina ir apie antrąją šaknų savybę. Atsižvelgdami į tai, atlikime skaičiavimus.

Iracionalios išraiškos ir jų transformacijos

Paskutinį kartą prisiminėme (arba sužinojome, priklausomai nuo to), kas tai yra , išmoko išgauti tokias šaknis, po gabalėlį išsiaiškino pagrindines šaknų savybes ir sprendė paprastus pavyzdžius su šaknimis.

Ši pamoka bus ankstesnės tęsinys ir bus skirta įvairiausių posakių, turinčių visas šaknis, transformacijoms. Tokios išraiškos vadinamos neracionalus. Čia atsiras išraiškos su raidėmis, papildomos sąlygos, neracionalumo pašalinimas trupmenomis ir keletas pažangių darbo su šaknimis technikų. Metodai, kurie bus aptariami šioje pamokoje, taps geru pagrindu sprendžiant beveik bet kokio sudėtingumo USE problemas (ir ne tik). Taigi pradėkime.

Pirmiausia čia pakartosiu pagrindines šaknų formules ir savybes. Kad nešokinėtum iš temos į temą. Jie yra čia:

adresu

Jūs turite žinoti šias formules ir mokėti jas taikyti. Ir į abi puses – tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Būtent jomis grindžiamas daugelio bet kokio sudėtingumo užduočių sprendimas. Pradėkime nuo kol kas paprasčiausio dalyko – tiesioginio formulių ar jų derinių taikymo.

Lengvas formulių pritaikymas

Šioje dalyje bus nagrinėjami paprasti ir nekenksmingi pavyzdžiai – be raidžių, papildomų sąlygų ir kitų gudrybių. Tačiau net ir juose, kaip taisyklė, yra galimybių. Ir kuo įmantresnis pavyzdys, tuo daugiau tokių variantų. O nepatyręs studentas susiduria su pagrindine problema – nuo ​​ko pradėti? Atsakymas čia paprastas - Jei nežinai, ko tau reikia, daryk, ką gali. Kol jūsų veiksmai yra taikoje ir dera su matematikos taisyklėmis ir joms neprieštarauja.) Pavyzdžiui, ši užduotis:

Apskaičiuoti:

Net ir tokiame paprastame pavyzdyje yra keli galimi atsakymo keliai.

Pirmasis yra tiesiog padauginti šaknis iš pirmosios savybės ir išgauti šaknį iš rezultato:

Antrasis variantas yra toks: mes jo neliečiame, dirbame su . Mes išimame daugiklį iš po šaknies ženklo, o tada - pagal pirmąją savybę. Kaip šitas:

Galite nuspręsti tiek, kiek norite. Bet kuriame iš variantų atsakymas yra vienas - aštuoni. Pavyzdžiui, man lengviau padauginti iš 4 ir 128 ir gauti 512, o kubo šaknį galima lengvai išgauti iš šio skaičiaus. Jei kas nors neprisimena, kad 512 yra 8 kubeliai, tai nesvarbu: galite parašyti 512 kaip 2 9 (pirmosios 10 dviejų laipsnių, tikiuosi, kad prisimenate?) ir naudodami laipsnio šaknies formulę :

Kitas pavyzdys.

Apskaičiuoti: .

Jei dirbsi pagal pirmą savybę (viską padėdamas po viena šaknimi), gausi nemenką skaičių, iš kurio paskui galima ištraukti šaknį – taip pat ne cukrų. Ir tai nėra faktas, kad jis bus išgautas tiksliai.) Todėl čia naudinga pašalinti veiksnius iš skaičiaus šaknies. Ir išnaudokite visas galimybes:

O dabar viskas gerai:

Belieka po viena šaknimi įrašyti aštuonis ir du (pagal pirmąją savybę) ir darbas atliktas. :)

Dabar pridėkime keletą trupmenų.

Apskaičiuoti:

Pavyzdys gana primityvus, bet turi ir galimybių. Galite naudoti daugiklį, norėdami transformuoti skaitiklį ir sumažinti jį vardikliu:

Arba galite iš karto naudoti šaknų padalijimo formulę:

Kaip matome, taip ir taip – ​​viskas teisinga.) Jei nesuklupsi pusiaukelėje ir nesuklysi. Nors kur man čia suklysti...

Dabar pažiūrėkime į patį paskutinį pavyzdį iš paskutinės pamokos namų darbų:

Supaprastinti:

Visiškai neįsivaizduojamas šaknų rinkinys ir net įdėtos. Ką turėčiau daryti? Svarbiausia nebijoti! Čia pirmiausia po šaknimis pastebime skaičius 2, 4 ir 32 – dviejų laipsnius. Pirmas dalykas, kurį reikia padaryti, yra sumažinti visus skaičius iki dviejų: juk kuo pavyzdyje daugiau identiškų skaičių ir kuo mažiau skirtingų, tuo lengviau.) Pradėkime atskirai nuo pirmojo koeficiento:

Skaičius gali būti supaprastintas sumažinus du po šaknimi su keturiais šaknies eksponente:

Dabar, atsižvelgiant į darbo šaknį:

.

Skaičiuje išimame du kaip šaknies ženklą:

Ir mes susiduriame su išraiška naudodami šaknies formulės šaknį:

Taigi, pirmasis veiksnys bus parašytas taip:

Likusios šaknys išnyko, skaičiai sumažėjo, tai jau džiugina. Tiesiog šaknys skirtingos, bet kol kas taip ir paliksime. Esant poreikiui juos konvertuosime į tokius pat. Paimkime antrąjį veiksnį.)

Antrąjį faktorių transformuojame panašiai, naudodami sandaugos šaknies ir šaknies šaknies formulę. Jei reikia, sumažiname rodiklius naudodami penktąją formulę:

Įklijuojame viską į pradinį pavyzdį ir gauname:

Gavome visą krūvą visiškai skirtingų šaknų produktą. Būtų gerai juos visus suvesti į vieną rodiklį, o tada pamatysime. Na, tai visai įmanoma. Didžiausias iš šaknies rodiklių yra 12, o visi kiti - 2, 3, 4, 6 - yra skaičiaus 12 dalikliai. Todėl visas šaknis pagal penktąją savybę sumažinsime iki vieno eksponento - 12:

Suskaičiuojame ir gauname:

Mes negavome gražaus skaičiaus, bet tai gerai. Mūsų paklausė supaprastinti išraiška, ne skaičiuoti. Supaprastinta? tikrai! Ir atsakymo tipas (sveikasis skaičius ar ne) čia nebevaidina jokio vaidmens.

Kai kurios sudėjimo/atimties ir sutrumpintos daugybos formulės

Deja, bendrosios formulės šaknų pridėjimas ir atėmimas ne matematikoje. Tačiau užduotyse šie veiksmai su šaknimis dažnai aptinkami. Čia reikia suprasti, kad bet kokios šaknys yra lygiai tokie patys matematiniai simboliai, kaip ir raidės algebroje.) O šaknims galioja ta pati technika ir taisyklės kaip ir raidėms – skliaustų atidarymas, panašių atvedimas, sutrumpintos daugybos formulės ir pan.

Pavyzdžiui, visiems aišku, kad . Panašus tas patsŠaknis galima gana lengvai pridėti/atimti viena nuo kitos:

Jei šaknys skirtingos, tuomet ieškome būdo, kaip jas padaryti vienodas – pridedant/atimant daugiklį arba naudojant penktąją savybę. Jei tai niekaip nesupaprastinta, tai galbūt transformacijos yra gudresnės.

Pažiūrėkime į pirmąjį pavyzdį.

Raskite posakio reikšmę: .

Visos trys šaknys, nors ir kubinės, yra iš skirtinga numeriai. Jie nėra grynai išgaunami ir pridedami / atimami vienas iš kito. Todėl bendrųjų formulių naudojimas čia netinka. Ką turėčiau daryti? Išimkime kiekvienos šaknies veiksnius. Bet kokiu atveju blogiau nebus.) Be to, iš tikrųjų nėra kitų galimybių:

Tai yra, .

Štai ir sprendimas. Čia su pagalba perėjome nuo skirtingų šaknų prie tų pačių daugiklio pašalinimas iš po šaknies. O paskui tiesiog atnešė panašių.) Nusprendžiame toliau.

Raskite išraiškos reikšmę:

Tikrai nieko nepadarysi dėl septyniolikos šaknies. Dirbame pagal pirmąją savybę - iš dviejų šaknų sandaugos darome vieną šaknį:

Dabar pažiūrėkime atidžiau. Kas yra po mūsų didžiąja kubo šaknimi? Skirtumas yra nedidelis... Na, žinoma! Kvadratų skirtumas:

Dabar belieka išgauti šaknį: .

Apskaičiuoti:

Čia turėsite parodyti matematinį išradingumą.) Mes galvojame maždaug taip: „Taigi, pavyzdyje – šaknų produktas. Po viena šaknimi yra skirtumas, o po kita - suma. Labai panaši į kvadratų formulę. Bet... Šaknys kitokios! Pirmoji – kvadratinė, o antroji – ketvirto laipsnio... Būtų gerai, kad jos būtų vienodos. Pagal penktąją savybę iš kvadratinės šaknies galite lengvai padaryti ketvirtą šaknį. Norėdami tai padaryti, užtenka išlyginti radikalią išraišką.

Jei galvojote apie tą patį, tada esate pusiaukelėje į sėkmę. Visiškai teisus! Pirmąjį veiksnį paverskime ketvirtąja šaknimi. Kaip šitas:

Dabar nieko nereikia daryti, bet turėsite prisiminti skirtumo kvadrato formulę. Tik tepant ant šaknų. Tai kas? Kodėl šaknys yra blogesnės už kitus skaičius ar išraiškas?! Mes statome:

„Hm, na, jie jį pastatė, o kas? Krienai nėra saldesni už ridikus. Sustabdyti! O jei išimsi keturis po šaknimi? Tada atsiras ta pati išraiška, kaip ir po antrąja šaknimi, tik su minusu, o mes būtent tai ir siekiame!

Teisingai! Paimkime keturis:

.

O dabar – technologijos reikalas:

Taip išpainiojami sudėtingi pavyzdžiai.) Dabar laikas praktikuoti su trupmenomis.

Apskaičiuoti:

Aišku, kad skaitiklį reikia konvertuoti. Kaip? Žinoma, naudojant sumos kvadrato formulę. Ar turime kitų galimybių? :) Padalijame kvadratu, išimame faktorius, mažiname rodiklius (kur reikia):

Oho! Gavome tiksliai savo trupmenos vardiklį.) Tai reiškia, kad visa trupmena akivaizdžiai lygi vienetui:

Kitas pavyzdys. Tik dabar kita sutrumpinto daugybos formulė.)

Apskaičiuoti:

Akivaizdu, kad skirtumo kvadratas turi būti naudojamas praktiškai. Atskirai išrašome vardiklį ir – einam!

Iš po šaknų išimame veiksnius:

Vadinasi,

Dabar viskas, kas bloga, yra labai sumažinta ir pasirodo:

Na, perkelkime tai į kitą lygį. :)

Laiškai ir papildomos sąlygos

Pažodiniai posakiai su šaknimis yra sudėtingesnis dalykas nei skaitinės išraiškos ir yra neišsenkantis erzinančių ir labai rimtų klaidų šaltinis. Uždarykite šį šaltinį.) Klaidos kyla dėl to, kad tokiose užduotyse dažnai naudojami neigiami skaičiai ir išraiškos. Jie mums pateikiami tiesiogiai atliekant užduotį arba paslėpti laiškus ir papildomas sąlygas. O dirbdami su šaknimis turime nuolat tai atsiminti šaknyse lygus laipsnis tiek po pačia šaknimi, tiek dėl šaknies ištraukimo turėtų būti neneigiama išraiška. Pagrindinė šios pastraipos užduočių formulė bus ketvirtoji formulė:

Nekyla klausimų su nelyginio laipsnio šaknimis – viskas visada išgaunama, ir teigiama, ir neigiama. O minusas, jei ką, iškeliamas į priekį. Eikime tiesiai prie šaknų net laipsnių.) Pavyzdžiui, tokia trumpa užduotis.

Supaprastinti: , Jeigu .

Atrodytų, viskas paprasta. Tai tik pasirodys X.) Bet kodėl tada papildoma sąlyga? Tokiais atvejais pravartu įvertinti skaičiais. Grynai dėl savęs.) Jeigu, tada x akivaizdžiai yra neigiamas skaičius. Pavyzdžiui, minus trys. Arba minus keturiasdešimt. Leisti . Ar galite padidinti minus tris iki ketvirtos laipsnio? tikrai! Rezultatas yra 81. Ar įmanoma išgauti ketvirtą šaknį iš 81? Kodėl gi ne? Gali! Gauni tris. Dabar išanalizuokime visą mūsų grandinę:

Ką mes matome? Įvestis buvo neigiamas skaičius, o išvestis jau buvo teigiama. Buvo minus trys, dabar plius trys.) Grįžkime prie raidžių. Be jokios abejonės, modulo tai bus lygiai X, bet tik pats X yra minusas (pagal sąlygą!), o ištraukimo rezultatas (dėl aritmetinės šaknies!) turi būti pliusas. Kaip gauti pliusą? Labai paprasta! Norėdami tai padaryti, tiesiog įrašykite minusą prieš akivaizdžiai neigiamą skaičių.) O teisingas sprendimas atrodo taip:

Beje, jei naudotume formulę, tai prisiminę modulio apibrėžimą iškart gautume teisingą atsakymą. Nes

|x| = -x ties x<0.

Išimkite faktorių iš šaknies ženklo: , Kur .

Pirmas žvilgsnis yra radikali išraiška. Viskas čia gerai. Bet kokiu atveju jis bus neneigiamas. Pradėkime išgauti. Naudodami produkto šaknies formulę, išskiriame kiekvieno veiksnio šaknį:

Nemanau, kad reikia aiškinti, iš kur atsirado moduliai.) Dabar išanalizuokime kiekvieną modulį.

Daugiklis | a | paliekame nepakeistą: neturime jokios sąlygos laiškuia. Mes nežinome, ar tai teigiama, ar neigiama. Kitas modulis |b 2 | galima drąsiai praleisti: bet kuriuo atveju išraiškab 2 neneigiamas. Bet apie |c 3 | - čia jau yra problema.) Jei, tada c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть su minusu: | c 3 | = - c 3 . Apskritai teisingas sprendimas būtų:

O dabar – atvirkštinė problema. Ne pati lengviausia, iš karto perspėju!

Įveskite daugiklį po šaknies ženklu: .

Jei tučtuojau užrašysite sprendimą taip

tada tu pateko į spąstus. Tai neteisingas sprendimas! Kas nutiko?

Pažvelkime atidžiau į posakį po šaknimi. Po ketvirtojo laipsnio šaknimi, kaip žinome, turėtų būti neneigiamas išraiška. Priešingu atveju šaknis neturi reikšmės.) Todėl O tai, savo ruožtu, reiškia, kad ir, vadinasi, pati taip pat yra neteigiama: .

Ir čia klaida ta, kad mes pristatome iš pradžių ne teigiamas numerį: ketvirtas laipsnis paverčia jį neneigiamas ir gaunamas neteisingas rezultatas - kairėje yra sąmoningas minusas, o dešinėje jau pliusas. Ir tepkite prie šaknies net laipsnį turime tik teisę neneigiamas skaičiai ar išraiškos. Ir palikite minusą, jei toks yra, prieš šaknį.) Kaip galime nustatyti neneigiamą skaičiaus veiksnį, žinant, kad jis pats yra visiškai neigiamas? Taip, lygiai tas pats! Įdėkite minusą.) Ir kad niekas nepasikeistų, kompensuokite tai dar vienu minusu. Kaip šitas:

Ir jau dabar neneigiamas Ramiai įvedame skaičių (-b) po šaknimi pagal visas taisykles:

Šis pavyzdys aiškiai parodo, kad, skirtingai nei kitose matematikos šakose, šaknyse teisingas atsakymas ne visada išplaukia iš formulių. Turite pagalvoti ir asmeniškai priimti teisingą sprendimą.) Ypač turėtumėte būti atsargesni prisijungdami neracionalios lygtys ir nelygybės.

Pažvelkime į kitą svarbią techniką dirbant su šaknimis - atsikratyti iracionalumo.

Iracionalumo pašalinimas trupmenomis

Jei posakyje yra šaknų, tai, priminsiu, tokia išraiška vadinama išraiška su neracionalumu. Kai kuriais atvejais gali būti naudinga atsikratyti šio neracionalumo (t. y. šaknų). Kaip galite pašalinti šaknį? Mūsų šaknis išnyksta, kai... pakeliama į galią. Su indikatoriumi, lygiu šaknies indikatoriui arba jo kartotiniu. Bet jei šaknį pakelsime į laipsnį (ty šaknį padauginsime iš pačios reikiamą skaičių kartų), išraiška pasikeis. Negerai.) Tačiau matematikoje yra temų, kur daugyba gana neskausminga. Pavyzdžiui, trupmenomis. Pagal pagrindinę trupmenos savybę, skaitiklį ir vardiklį padauginus (padalijus) iš to paties skaičiaus, trupmenos reikšmė nepasikeis.

Tarkime, kad mums duota ši trupmena:

Ar galima atsikratyti šaknies vardiklyje? Gali! Norėdami tai padaryti, šaknis reikia supjaustyti kubeliais. Ko mums trūksta viso kubo vardiklyje? Mums trūksta daugiklio, t.y.. Taigi trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš

Vardiklio šaknis dingo. Bet... jis pasirodė skaitiklyje. Nieko nepadarysi, toks likimas.) Mums tai nebesvarbu: buvo paprašyta išlaisvinti vardiklį iš šaknų. Išleistas? Be jokios abejonės.)

Beje, tie, kurie jau yra susipažinę su trigonometrija, galėjo atkreipti dėmesį į tai, kad, pavyzdžiui, kai kuriuose vadovėliuose ir lentelėse jie žymimi skirtingai: kažkur , o kažkur . Kyla klausimas – kas teisinga? Atsakymas: viskas teisinga!) Jei atspėsite– tai tiesiog išsivadavimo iš iracionalumo trupmenos vardiklyje rezultatas. :)

Kodėl turėtume išsivaduoti nuo neracionalumo trupmenomis? Koks skirtumas – šaknis yra skaitiklyje ar vardiklyje? Skaičiuoklė vis tiek viską suskaičiuos.) Na, o tiems, kurie nesiskiria su skaičiuokle, tai tikrai praktiškai jokio skirtumo... Bet net ir skaičiuojant skaičiuotuvu galima atkreipti dėmesį į tai, kad padalintiįjungta visas numeris visada yra patogesnis ir greitesnis nei įjungtas neracionalus. Ir aš nutylėsiu apie padalijimą į koloną.)

Šis pavyzdys tik patvirtins mano žodžius.

Kaip čia galime pašalinti vardiklio kvadratinę šaknį? Jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš išraiškos, vardiklis bus sumos kvadratas. Pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma duos mums tik skaičius be šaknų, o tai labai džiugina. Tačiau... jis pasirodys dvigubas produktas nuo pirmojo skaičiaus iki antrojo, kur vis tiek išliks trijų šaknis. Jis nekanalizuoja. Ką turėčiau daryti? Prisiminkite dar vieną nuostabią sutrumpinto daugybos formulę! Kur nėra dvigubų gaminių, o tik kvadratai:

Išraiška, kurią padauginus iš tam tikros sumos (arba skirtumo), gaunama kvadratų skirtumas, taip pat vadinama konjuguota išraiška. Mūsų pavyzdyje konjuguota išraiška bus skirtumas. Taigi skaitiklį ir vardiklį padauginame iš šio skirtumo:

Ką aš galiu pasakyti? Dėl mūsų manipuliacijų ne tik dingo vardiklio šaknis, bet ir visai išnyko trupmena! :) Net ir su skaičiuotuvu atimti trijų šaknį iš trijų yra lengviau nei skaičiuoti trupmeną, kai vardiklyje yra šaknis. Kitas pavyzdys.

Išlaisvinkite save nuo neracionalumo trupmenos vardiklyje:

Kaip iš to ištrūkti? Sutrumpinto daugybos su kvadratais formulės neveikia iš karto - visiškai pašalinti šaknų nepavyks dėl to, kad šį kartą mūsų šaknis yra ne kvadratas, o kub. Būtina, kad šaknis kažkaip būtų pakelta į kubą. Todėl reikia naudoti vieną iš formulių su kubeliais. Kuris? Pagalvokime apie tai. Vardiklis yra suma. Kaip galime pasiekti šaknies kubą? Padauginti iš dalinis kvadratinis skirtumas! Taigi, mes pritaikysime formulę kubelių suma. Šitas:

Kaip a mes turime tris, ir kaip kokybę b– penkių kubo šaknis:

Ir vėl trupmena dingo.) Tokių situacijų, kai, išsivadavus iš iracionalumo trupmenos vardiklyje, pati trupmena visiškai išnyksta kartu su šaknimis, pasitaiko labai dažnai. Kaip jums patinka šis pavyzdys!

Apskaičiuoti:

Tiesiog pabandykite pridėti šias tris trupmenas! Jokių klaidų! :) Vieno bendro vardiklio verta. O kas, jei pabandytume išsivaduoti nuo neracionalumo kiekvienos trupmenos vardiklyje? Na, pabandykime:

Oho, kaip įdomu! Visos frakcijos dingo! Visiškai. O dabar pavyzdį galima išspręsti dviem būdais:

Paprasta ir elegantiška. Ir be ilgų ir varginančių skaičiavimų. :)

Štai kodėl išsivadavimo iš iracionalumo operaciją reikia mokėti atlikti trupmenomis. Tokiuose sudėtinguose pavyzdžiuose tai vienintelis dalykas, kuris gelbsti, taip.) Žinoma, niekas neatšaukė dėmesingumo. Yra užduočių, kuriose jūsų prašoma atsikratyti neracionalumo skaitiklis. Šios užduotys niekuo nesiskiria nuo aptartų, tik skaitiklis pašalinamas iš šaknų.)

Sudėtingesni pavyzdžiai

Belieka apsvarstyti keletą specialių darbo su šaknimis technikų ir praktikuoti išpainioti ne pačius paprasčiausius pavyzdžius. Ir tada gautos informacijos pakaks bet kokio sudėtingumo užduotims išspręsti. Taigi – pirmyn.) Pirmiausia išsiaiškinkime, ką daryti su įdėtomis šaknimis, kai šaknies formulė neveikia. Pavyzdžiui, čia yra pavyzdys.

Apskaičiuoti:

Šaknis yra po šaknimi... Be to, po šaknimis yra suma arba skirtumas. Todėl šaknies šaknies formulė (su eksponentų daugyba) yra čia Jis neveikia. Taigi reikia kažką daryti radikalios išraiškos: Mes tiesiog neturime kitų galimybių. Tokiais pavyzdžiais dažniausiai užšifruojama didelė šaknis tobulas kvadratas tam tikra suma. Arba skirtumai. O aikštės šaknis jau puikiai ištraukta! O dabar mūsų užduotis yra jį iššifruoti.) Toks iššifravimas gražiai atliktas lygčių sistema. Dabar viską pamatysite patys.)

Taigi, po pirmąja šaknimi turime šią išraišką:

Ką daryti, jei atspėjote neteisingai? Patikrinkime! Mes jį kvadratu, naudodami sumos kvadrato formulę:

Teisingai.) Bet... Iš kur aš gavau tokį posakį? Iš dangaus?

Ne.) Sąžiningai jį sumažinsime. Paprasčiausiai naudodamas šią išraišką aš tiksliai parodysiu, kaip užduočių autoriai užšifruoja tokius kvadratus. :) Kas yra 54? Tai pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma. Ir, atkreipkite dėmesį, jau be šaknų! Ir šaknis lieka viduje dvigubas produktas, kuri mūsų atveju yra lygi . Todėl tokių pavyzdžių aiškinimas prasideda nuo dvigubo produkto paieškos. Jei išnarpliojate su įprasta atranka. Ir, beje, apie ženklus. Čia viskas paprasta. Jei prieš dvigubą yra pliusas, tada sumos kvadratas. Jei tai minusas, tai skirtumai.) Turime pliusą - tai reiškia sumos kvadratą.) O dabar - pažadėtas analitinis dekodavimo metodas. Per sistemą.)

Taigi po mūsų šaknimi aiškiai slypi posakis (a+b) 2, o mūsų užduotis yra surasti a Ir b. Mūsų atveju kvadratų suma duoda 54. Taigi rašome:

Dabar padvigubinkite produktą. Mes jį turime. Taigi užrašome:

Turime tokią sistemą:

Išsprendžiame įprastu pakeitimo metodu. Pavyzdžiui, išreiškiame iš antrosios lygties ir pakeičiame ją pirmąja:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Gavau bikvadratinis lygtis santykinėa . Apskaičiuojame diskriminantą:

Reiškia,

Gavome net keturias galimas reikšmesa. Mes nebijome. Dabar išrausime visus nereikalingus dalykus.) Jei dabar apskaičiuosime atitinkamas kiekvienos iš keturių rastų verčių reikšmes, gausime keturis mūsų sistemos sprendimus. Jie yra čia:

Ir čia kyla klausimas – kuris sprendimas mums tinka? Pagalvokime apie tai. Neigiamus sprendimus galima iš karto atmesti: kvadratuojant „išdegs“ minusai, o visa radikali išraiška kaip visuma nepasikeis.) Lieka pirmieji du variantai. Galite juos pasirinkti visiškai savavališkai: perstačius terminus suma vis tiek nesikeičia.) Tegul, pavyzdžiui, , a .

Iš viso gavome šios sumos kvadratą po šaknimi:

Viskas aišku.)

Ne veltui taip išsamiai aprašinėju sprendimo procesą. Kad būtų aišku, kaip vyksta iššifravimas.) Tačiau yra viena problema. Analitinis dekodavimo metodas, nors ir patikimas, yra labai ilgas ir gremėzdiškas: reikia išspręsti bikvadratinę lygtį, gauti keturis sistemos sprendinius ir tada dar galvoti, kuriuos pasirinkti... Vargina? Sutinku, tai vargina. Šis metodas veikia nepriekaištingai daugumoje šių pavyzdžių. Tačiau labai dažnai galite sutaupyti daug darbo ir kūrybiškai rasti abu skaičius. Pagal pasirinkimą.) Taip, taip! Dabar, naudodamas antrojo termino (antrosios šaknies) pavyzdį, parodysiu lengvesnį ir greitesnį būdą atskirti visą kvadratą po šaknimi.

Taigi dabar turime šią šaknį: .

Pagalvokime taip: „Po šaknimi greičiausiai yra užšifruotas pilnas kvadratas. Kai prieš dublį yra minusas, tai reiškia skirtumo kvadratą. Pirmojo ir antrojo skaičių kvadratų suma suteikia mums skaičių 54. Bet kokie tai kvadratai? 1 ir 53? 49 ir ​​5 ? Per daug variantų... Ne, geriau pradėti išpainioti nuo dvigubo produkto. Mūsųgali būti parašytas kaip. Kai produktas padvigubėjo, tada iškart atmetame abu. Tada kandidatai į vaidmenį a ir b lieka 7 ir . O jei 14 ir/2 ? Tai įmanoma. Bet mes visada pradedame nuo kažko paprasto! Taigi, tegul . Patikrinkime jų kvadratų sumą:

Įvyko! Tai reiškia, kad mūsų radikali išraiška iš tikrųjų yra skirtumo kvadratas:

Čia yra lengvas būdas išvengti problemų su sistema. Tai ne visada veikia, bet daugelyje šių pavyzdžių to visiškai pakanka. Taigi, po šaknimis yra pilni kvadratai. Belieka teisingai ištraukti šaknis ir apskaičiuoti pavyzdį:

Dabar pažvelkime į dar nestandartinę užduotį dėl šaknų.)

Įrodykite, kad skaičius A– sveikasis skaičius, jei .

Tiesiogiai nieko neišgaunama, šaknys įleistos, ir net įvairaus laipsnio... Košmaras! Tačiau užduotis turi prasmę.) Todėl yra jos sprendimo raktas.) O čia svarbiausia yra tai. Apsvarstykite mūsų lygybę

Kaip lygtis santykinė A. Taip taip! Būtų malonu atsikratyti šaknų. Mūsų šaknys yra kubinės, todėl supjaustykime abi lygties puses. Pagal formulę sumos kubas:

Kubai ir kubinės šaknys panaikina vienas kitą, o po kiekviena didele šaknimi paimame po vieną skliaustelį iš kvadrato ir skirtumo bei sumos sandaugą sutraukiame į kvadratų skirtumą:

Atskirai apskaičiuojame kvadratų skirtumą po šaknimis:

Pamokos pradžioje apžvelgsime pagrindines kvadratinių šaknų savybes, o tada pažvelgsime į kelis sudėtingus kvadratinių šaknų turinčių išraiškų supaprastinimo pavyzdžius.

Tema:Funkcija. Kvadratinės šaknies savybės

Pamoka:Sudėtingesnių išraiškų su šaknimis konvertavimas ir supaprastinimas

1. Kvadratinių šaknų savybių apžvalga

Trumpai pakartokime teoriją ir prisiminkime pagrindines kvadratinių šaknų savybes.

Kvadratinių šaknų savybės:

1. todėl, ;

3. ;

4. .

2. Posakių su šaknimis supaprastinimo pavyzdžiai

Pereikime prie šių savybių naudojimo pavyzdžių.

1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Kad būtų paprasčiau, skaičius 120 turi būti padalytas į pirminius veiksnius:

Sumos kvadratą atskleisime naudodami atitinkamą formulę:

2 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Atsižvelkime į tai, kad ši išraiška neturi prasmės visoms galimoms kintamojo reikšmėms, nes šioje išraiškoje yra kvadratinių šaknų ir trupmenų, o tai lemia leistinų verčių diapazono „susiaurėjimą“. ODZ: ().

Skliausteliuose esančią išraišką perkelkime į bendrą vardiklį ir paskutinės trupmenos skaitiklį parašykime kaip kvadratų skirtumą:

At.

Atsakymas. adresu.

3 pavyzdys: supaprastinkite išraišką .

Sprendimas. Matyti, kad antrasis skaitiklio skliaustas atrodo nepatogiai ir jį reikia supaprastinti; pabandykime jį suskirstyti grupavimo metodu.

Kad galėtume išvesti bendrą veiksnį, supaprastinome šaknis, jas įvertindami. Pakeiskime gautą išraišką pradine trupmena:

Sumažinus trupmeną taikome kvadratų skirtumo formulę.

3. Iracionalumo atsikratymo pavyzdys

4 pavyzdys. Išsilaisvinkite nuo neracionalumo (šaknų) vardiklyje: a) ; b) .

Sprendimas. a) Siekiant atsikratyti neracionalumo vardiklyje, naudojamas standartinis trupmenos skaitiklio ir vardiklio dauginimo iš konjuguoto koeficiento su vardikliu metodas (ta pati išraiška, bet su priešingu ženklu). Tai daroma siekiant papildyti trupmenos vardiklį prie kvadratų skirtumo, o tai leidžia atsikratyti vardiklio šaknų. Padarykime tai mūsų atveju:

b) atlikti panašius veiksmus:

Atsakymas.; .

4. Pavyzdys, kaip įrodyti ir identifikuoti pilną kvadratą kompleksiniame radikale

5 pavyzdys. Įrodykite lygybę .

Įrodymas. Naudokime kvadratinės šaknies apibrėžimą, iš kurio išplaukia, kad dešiniosios išraiškos kvadratas turi būti lygus radikaliajai išraiškai:

. Atidarykime skliaustus naudodami sumos kvadrato formulę:

, gavome teisingą lygybę.

Įrodyta.

6 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas. Ši išraiška paprastai vadinama kompleksiniu radikalu (šaknis po šaknimi). Šiame pavyzdyje turite išsiaiškinti, kaip atskirti visą kvadratą nuo radikalios išraiškos. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį, kad iš dviejų terminų jis yra kandidatas į dvigubo produkto vaidmenį skirtumo kvadrato formulėje (skirtumas, nes yra minusas). Parašykime jį tokio sandauga: , tada 1 pretenduoja į vieną iš pilno kvadrato sąlygų, o 1 teigia esantis antrasis.

Pakeiskime šią išraišką šaknimi.

Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir imsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikaliojo skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Šakninę reikšmę gausite kaip dešimtainę trupmeną, kuri turi būti padauginta iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus skaičiai 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinus skaičiuotuvą, atsakymas yra 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas - suskaidykite radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius . Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Surašykite pirminius veiksnius į eilę ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Viršuje dešinėje parašysite atsakymą (šio skaičiaus šaknį).

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir parašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių vietoje brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaičių po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

   Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Kaip ir dalijimo metu, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, iš eilės apdorojame skaitmenų porą (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį ).

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.