Medžiagų stiprumo būsena plokštumoje. įtempta ir deformuota būsena. Stačiakampės sijos sukimas
Tamprumo teorijos pagrindai
4 paskaita
Tamprumo teorijos plokštumos problema
skaidrė 2
Elastingumo teorijoje yra didelė problemų klasė, kuri yra svarbi praktinio pritaikymo prasme ir tuo pačiu leidžia žymiai supaprastinti matematinę sprendimo pusę. Supaprastinimas slypi tame, kad šiuose uždaviniuose viena iš kūno koordinačių ašių, pavyzdžiui, z ašis, gali būti atmesta ir visi reiškiniai gali būti laikomi vykstančiais toje pačioje apkrauto kūno koordinačių plokštumoje x0y. Šiuo atveju įtempiai, deformacijos ir poslinkiai bus dviejų koordinačių – x ir y – funkcijos.
Dviejose koordinatėse nagrinėjama problema vadinama elastingumo teorijos plokštumos problema.
pagal terminą " elastingumo teorijos plokštumos problema» Sujunkite dvi fiziškai skirtingas problemas, sukeldami labai panašius matematinius ryšius:
1) plokštumos deformacijos (plokštumos deformacijos) problema;
2) plokštumos įtempių būsenos problema.
Šios problemos dažniausiai pasižymi dideliu skirtumu tarp vieno geometrinio matmens ir kitų dviejų nagrinėjamų kūnų matmenų: pirmuoju atveju didelis ilgis ir antruoju atveju mažas storis.
Plokštumos deformacija
Deformacija vadinama plokščiąja, jeigu visų kūno taškų poslinkiai gali vykti tik dviem kryptimis vienoje plokštumoje ir nepriklauso nuo šiai plokštumai normaliosios koordinatės, t.y.
u=u(x,y); v=v(x,y); w = 0 (4,1)
Plokštumos deformacija atsiranda ilguose prizminiuose arba cilindriniuose kūnuose, kurių ašis lygiagreti z ašiai, išilgai kurios apkrova veikia šoninį paviršių, statmeną šiai ašiai ir išilgai jos nesikeičia.
Plokštumos deformacijos pavyzdys yra įtempių ir deformacijų būsena, kuri atsiranda ilgoje tiesioje užtvankoje ir ilgoje požeminio tunelio arkoje (4.1 pav.).
Paveikslas - 4.1. Plokštuminė deformacija vyksta užtvankos korpuse ir požeminio tunelio skliaute
skaidrė 3
Pakeitę poslinkio vektoriaus (4.1) komponentus į Koši formules (2.14), (2.15), gauname:
(4.2)
Linijinių deformacijų nebuvimas z ašies kryptimi lemia normalių įtempių σ z atsiradimą. Iš Huko dėsnio formulės (3.2) deformacijai ε z išplaukia, kad
iš kur gaunama įtempio σ z išraiška:
(4.3)
Pakeitę šį santykį į pirmąsias dvi Huko dėsnio formules, randame:
(4.4)
skaidrė 4
Iš (4.2) − (4.4) ir (3.2) formulių analizės taip pat matyti, kad
Taigi, pagrindinės trimatės tamprumo teorijos lygtys plokštumos deformacijos atveju yra labai supaprastintos.
Iš trijų Navier diferencialinės pusiausvyros lygčių (2.2) liko tik dvi lygtys:
(4.5)
o trečiasis virsta tapatybe.
Kadangi krypties kosinusas yra visur šoniniame paviršiuje n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, iš trijų paviršiaus sąlygų lieka tik dvi lygtys (2.4):
(4.6)
čia l, m yra išorinės normaliosios krypties kosinusai v prie kontūro paviršiaus;
X, Y, X v, Y v yra atitinkamai kūno jėgų ir išorinių paviršiaus apkrovų x ir y ašims intensyvumo komponentai.
skaidrė 5
Šešios Koši lygtys (2.14), (2.15) sumažinamos iki trijų:
(4.7)
Iš šešių Saint-Venant deformacijos tęstinumo lygčių (2.17), (2.18) lieka viena lygtis:
(4.8)
o likusieji virsta tapatybėmis.
Iš šešių Huko dėsnio (3.2) formulių, atsižvelgiant į (4.2), (4.4), išlieka trys formulės:
Šiuose santykiuose tamprumo teorijoje tradiciniam įrašo tipui įvedamos naujos elastinės konstantos:
skaidrė 6
Plokštumos įtempių būsena
Plokštumos įtempių būsena atsiranda, kai to paties prizminio kūno ilgis yra mažas, palyginti su kitais dviem matmenimis. Šiuo atveju jis vadinamas storiu. Įtempiai kūne xOy koordinačių plokštumoje veikia tik dviem kryptimis ir nepriklauso nuo z koordinatės. Tokio korpuso pavyzdys yra plona h storio plokštė, apkraunama išilgai šoninio paviršiaus (ribo) jėgomis, lygiagrečiomis plokštės plokštumai ir tolygiai paskirstyta per jos storį (4.2 pav.).
4.2 pav. Plona plokštė ir jai taikomos apkrovos
Šiuo atveju taip pat galimi supaprastinimai, panašūs į plokštumos deformacijos problemą. Įtempių tenzoriaus komponentai σ z , τ xz , τ yz abiejose plokštės plokštumose yra lygūs nuliui. Kadangi plokštė yra plona, galime manyti, kad jos yra lygios nuliui ir plokštės viduje. Tada įtempių būseną lems tik komponentai σ x , σ y , τ xy, kurie nepriklauso nuo z koordinatės, ty nesikeičia per plokštės storį, o yra tik x ir y funkcijos.
Taigi plonoje plokštėje susidaro tokia įtempio būsena:
7 skaidrė
Kalbant apie įtempius, plokštumos įtempių būsena nuo plokštumos deformacijos skiriasi sąlyga
Be to, iš Huko dėsnio (3.2) formulės, atsižvelgiant į (4.10), tiesinei deformacijai ε z gauname, kad ji nėra lygi nuliui:
Dėl to plokštės pagrindai bus išlenkti, nes bus poslinkių 
išilgai z ašies.
Remiantis šiomis prielaidomis, pagrindinės plokštumos deformacijų lygtys: diferencialinės pusiausvyros lygtys (4.5), paviršiaus sąlygos (4.6), Koši lygtys (4.7) ir deformacijų tęstinumo lygtys (4.8) išlaiko tą pačią formą plokštumos įtempių uždavinyje.
Huko dėsnio formulės bus tokios formos:
Formulės (4.11) skiriasi nuo Huko dėsnio (4.9) plokštumos deformacijos formulių tik tamprumo konstantų reikšmėmis: E ir E 1 , v Ir v 1 .
8 skaidrė
Atvirkščia forma Huko dėsnis gali būti parašytas taip:
(4.12)
Taigi, sprendžiant šiuos du uždavinius (plokštumos deformaciją ir plokštumos įtempių būseną), galima naudoti tas pačias lygtis ir sujungti uždavinius į vieną plokštumos tamprumo teorijos uždavinį.
Tamprumo teorijos plokštumoje yra aštuoni nežinomieji:
yra du poslinkio vektoriaus u ir v komponentai;
– trys įtempių tenzoriaus dedamosios σ x , σ y , τ xy ;
yra trys deformacijos tenzoriaus ε x , ε y , γ xy komponentai .
Uždaviniui išspręsti naudojamos aštuonios lygtys:
– dvi diferencialinės pusiausvyros lygtys (4.5);
– trys Koši lygtys (4.7);
yra trys Huko dėsnio (4.9) arba (4.11) formulės.
Be to, gauti deformacijos turi atitikti deformacijų tęstinumo lygtį (4.8) ir pusiausvyros sąlygas (4.6) tarp vidinių įtempių ir išorinės paviršiaus apkrovos X intensyvumo. v, Y v.
Įtempta ir deformuota būsena
Yra trys streso būsenos tipai:
1) linijinio įtempio būsena – įtempimas (suspaudimas) viena kryptimi;
2) plokštumos įtempių būsena - įtempimas (suspaudimas) dviem kryptimis;
3) tūrinė įtempių būsena – įtempimas (suspaudimas) trimis viena kitai statmenomis kryptimis.
Apsvarstykite begalinį gretasienį (kubą). Jos paviršiuose gali būti normalūs s ir tangentiniai įtempiai t. Pakeitus „kubo“ padėtį, pasikeičia įtampa. Galite rasti padėtį, kurioje nėra šlyties įtempių, žr.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Iškirpkime elementarų gretasienį (a pav.) su įstrižinė pjūvis.tik viena plokštuma.Laikome elementarią trikampę prizmę (b pav.) Pasvirusios srities padėtis nustatoma pagal kampą a.Jei sukimasis nuo x ašies yra prieš laikrodžio rodyklę (žr. b pav.), tai a>0.
Normalūs įtempiai turi indeksą, atitinkantį jų krypties ašį. šlyties įtempiai, paprastai, turi du indeksus: pirmasis atitinka normalios krypties į vietą, antrasis – paties įtempio kryptį (deja, yra ir kitų pavadinimų bei kitokio koordinačių ašių pasirinkimo, dėl ko pasikeičia ženklai kai kurios formulės).
Normalus įtempis yra teigiamas, jei jis yra tempiamas, o šlyties įtempis yra teigiamas, jei jis linkęs pasukti nagrinėjamą elemento dalį pagal laikrodžio rodyklę apie vidinį tašką. pp (kai kuriuose vadovėliuose ir universitetuose šlyties įtempiams priimtina priešingai).
Įtempimai ant nuožulnios platformos:
Šlyties įtempių poravimosi dėsnis: jei vietą veikia tangentinis įtempis, tai jai statmeną vietą veiks tangentinis įtempis, kurio dydis yra lygus ir priešingo ženklo ženklas. (txz=-tzx)
Streso būsenos teorijoje yra du pagrindiniai uždaviniai.
Tiesioginė problema . Remiantis žinomais pagrindiniais įtempiais: s1 = smax, s2 = smin, reikia nustatyti, kad vieta, pasvirusi tam tikru kampu (a) į pagrindines vietas, normaliąsias ir šlyties įtempes:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
arba 
.
Statmenai platformai:
.
Iš kur matyti, kad sa + sb = s1 + s2 yra normaliųjų įtempių suma dviejose viena kitai statmenose invariantinės (nepriklausomos) srityse šių sričių nuolydžio atžvilgiu.
Kaip ir tiesinio įtempio būsenoje, didžiausi šlyties įtempiai atsiranda esant a=±45o, t.y..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Jei vienas iš pagrindinių įtempių yra neigiamas, jie turi būti pažymėti s1, s3, jei abu yra neigiami , tada s2, s3.
Tūrinio streso būsena
Įtempiai bet kurioje vietoje, kurių pagrindiniai įtempiai s1, s2, s3:
čia a1, a2, a3 yra kampai tarp normalios į nagrinėjamą plotą ir pagrindinių įtempių krypčių.
Didžiausias šlyties įtempis: 
.
Jis veikia ant platformos, lygiagrečios pagrindiniam įtempimui s2 ir pasvirusią 45o kampu į pagrindinius įtempius s1 ir s3.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (kartais vadinami pagrindiniais šlyties įtempiais).
Plokštumos įtempių būsena yra ypatingas trimatės atvejis ir gali būti pavaizduotas trimis Mohro apskritimais, o vienas iš pagrindinių įtempių turi būti lygus 0. Šlyties įtempiams, taip pat plokštumos įtempių būsenoje, poravimosi dėsnis: šlyties įtempių komponentai išilgai vienas kitam statmenų plotų, statmenai šių sričių susikirtimo linijai, yra vienodo dydžio ir priešingos krypties.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Aštuonkampis normalusis įtempis yra lygus trijų pagrindinių įtempių vidurkiui.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Aštuonkampis šlyties įtempis yra proporcingas pagrindinių šlyties įtempių geometrinei sumai. Streso intensyvumas:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Tūrio pokytis nepriklauso nuo pagrindinių įtempių santykio, bet priklauso nuo pagrindinių įtempių sumos. Tai reiškia, kad elementarus kubas pasieks tą patį tūrio pokytį, jei jo paviršiams bus taikomi tokie patys vidutiniai įtempiai: 
, tada 
, kur K= - tūrinis modulis. Kai deformuojamas kūnas, kurio medžiaga Puasono koeficientas m = 0,5 (pavyzdžiui, guma), kūno tūris nekinta.
Galimos įtampos įtampos energija
Esant paprastam įtempimui (suspaudimui), potenciali energija yra U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" plotis ="234 "height="50 src="> arba
Bendra deformacijos energija, sukaupta tūrio vienetui, gali būti laikoma susidedančia iš dviejų dalių: 1) energijos uo, sukauptos dėl tūrio pasikeitimo (ty vienodo visų kubo matmenų pasikeitimo, nekeičiant kubo formos) ir 2) energijos uf, susijusią su kubo formos keitimu (t. y. energija, sunaudojama paverčiant kubą gretasieniu). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Sukant koordinačių sistemą keičiasi tenzoriaus koeficientai, lieka pats tenzorius pastovus.
Trys streso būsenos invariantai:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea – santykinė deformacija, ga – šlyties kampas.
Ta pati analogija galioja ir masinei būsenai. Todėl turime deformuotos būsenos invariantus:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - deformacijos tenzorius.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx yra deformuotos būsenos komponentai.
Ašims, kurios sutampa su pagrindinių deformacijų e1, e2, e3 kryptimis, deformacijos tenzorius įgauna tokią formą: 
.
Stiprumo teorijos
Bendruoju atveju pavojinga konstrukcinio elemento įtempių būsena priklauso nuo trijų pagrindinių įtempių (s1,s2,s3) santykio. Tai yra, griežtai kalbant, kiekvienam santykiui būtina eksperimentiškai nustatyti ribojančio įtempio dydį, o tai nerealu. Todėl buvo priimti tokie stiprumo skaičiavimo metodai, kurie leistų įvertinti bet kokios įtempimo būsenos pavojaus laipsnį dėl tempimo-gniuždymo įtempių. Jos vadinamos stiprumo teorijomis (ribinių įtempių būsenų teorijomis).
1-oji stiprumo teorija(didžiausių normaliųjų įtempių teorija): ribojančios įtampos būsenos atsiradimo priežastis yra didžiausi normalūs įtempiai. smax= s1£ [s]. Pagrindinis trūkumas: neatsižvelgiama į kitus du pagrindinius įtempius. Patirtis tai patvirtina tik tempiant labai trapias medžiagas (stiklą, gipsą). Šiuo metu jis praktiškai nenaudojamas.
2-oji stiprumo teorija(didžiausių santykinių deformacijų teorija): ribinės įtempių būsenos atsiradimo priežastis yra didžiausias pailgėjimas. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, stiprumo sąlyga: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Pagrindinis trūkumas yra tai, kad neatsižvelgiama į s2 įtaka.
Plokštuminėje įtempių būsenoje: sekvvIII= 
£ [s]. Už sy=0 gauname 
Plačiai naudojamas plastikinėms medžiagoms.
4-oji stiprumo teorija(energijos teorija): ribinės įtempių būsenos atsiradimo priežastis yra specifinės formos pasikeitimo potencinės energijos vertė. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Jis naudojamas skaičiuojant trapias medžiagas, kuriose leistini tempimo ir gniuždymo įtempiai nėra vienodi (ketaus).
Dėl plastikinių medžiagų = Mohro teorija virsta 3 teorija.
Mohro ratas (streso ratas). Apskritimo taškų koordinatės atitinka normaliuosius ir šlyties įtempius skirtingose vietose. Spindulį iš s ašies atidedame nuo centro C kampu 2a (a> 0, tada puslapis prieš laikrodžio rodyklę), randame tašką D,
kurių koordinatės yra: sa, ta. Galite grafiškai išspręsti tiek tiesiogines, tiek atvirkštines problemas.
Grynas pamainas
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, kur Q yra jėga, veikianti išilgai veido, F yra veido sritis . , kuriose veikia tik šlyties įtempiai, vadinamos grynojo šlyties sritimis. Šlyties įtempiai joms yra didžiausi. Grynasis šlyties įtempis gali būti pavaizduotas kaip vienu metu vykstantis suspaudimas ir įtempimas dviem tarpusavyje statmenomis kryptimis. Tai yra ypatingas atvejis plokštumos įtempių būsena, kurioje pagrindiniai įtempiai: s1= - s3 = t, s2= 0. Pagrindiniai plotai sudaro 45° kampą su grynosiomis šlyties sritimis.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - santykinis poslinkis arba šlyties kampas.
Huko dėsnis šlytyje : g = t/G arba t = G × g.
G- šlyties modulis arba antrojo tipo tamprumo modulis [MPa] – medžiagos konstanta, apibūdinanti gebėjimą atsispirti šlyties deformacijoms. (E – tamprumo modulis, m – Puasono koeficientas).
Potenciali šlyties energija: 
.
Specifinė potenciali šlyties deformacijos energija: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Visa potenciali energija gryno šlyties metu išeikvojama tik formos pasikeitimui, tūrio pokytis šlyties deformacijos metu yra lygus nuliui.
Mohro ratas grynoje pamainoje.
Sukimas
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Šis deformacijos tipas, kai veikia tik vienas sukimo momentas - Mk Sukimo momento Mk ženklą patogu nustatyti išorinio momento kryptimi Jei žiūrint iš ruožo pusės išorinis momentas nukreiptas prieš laikrodžio rodyklę, tai Mk> 0 (taip pat galioja atvirkštinė taisyklė). sukimas, viena sekcija sukasi kitos atžvilgiu posūkio kampas- j. Sukant apvalią strypą (veleną), atsiranda gryno šlyties įtempių būsena (nėra normalių įtempių), atsiranda tik tangentiniai įtempiai. Daroma prielaida, kad plokštumos atkarpos prieš sukimą lieka plokščios, o po sukimo - plokštumos pjūvių dėsnis. Šlyties įtempiai pjūvio taškuose kinta proporcingai taškų atstumui nuo ašies. ..gif" width="103" height="57 src="> - santykinis posūkio kampas..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, plastikinei medžiagai tlim yra šlyties takumo riba tm, trapiai medžiagai tv yra didžiausias stiprumas , [n] – sukimo standumo koeficiento sąlyga: qmax£[q] – leistinas posūkio kampas.
Stačiakampės sijos sukimas
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">stačiakampio pjūvio šlyties įtempių diagramos.
; , Jk ir Wk – sąlyginai vadinami inercijos momentu ir pasipriešinimo momentu sukimosi metu. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Didžiausi šlyties įtempiai tmax bus ilgosios pusės viduryje, įtempiai trumposios pusės viduryje: t= g×tmax, koeficientai: a, b, g nurodyti žinynuose, priklausomai nuo santykio h. /b (pavyzdžiui, kai h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795.
lenkti
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - neutralaus sluoksnio kreivio spindulys, y - atstumas nuo tam tikro pluošto iki neutralus sluoksnis. Huko dėsnis lenkiant: , iš kur (Navier formulė): , Jx - pjūvio inercijos momentas pagrindinės centrinės ašies atžvilgiu, statmenai lenkimo momento plokštumai, EJx - lenkimo standumas, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx sekcijos modulis lenkiant, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, kur Sx(y) yra statinis momentas neutralios ašies atžvilgiu ta ploto dalis, esanti žemiau arba virš sluoksnio, nutolusi "y" atstumu nuo neutralios ašies; Jx - inercijos momentas Iš viso skerspjūvis neutralios ašies atžvilgiu, b(y) yra pjūvio plotis sluoksnyje, kuriame nustatomi šlyties įtempiai.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, apskritam skyriui:, F=p×R2 , bet kokios formos sekcijai ,
k- koeficientas, priklausantis nuo pjūvio formos (stačiakampis: k= 1,5; apskritimas - k= 1,33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Išmetos dalies veiksmas pakeičiamas vidinės jėgos faktoriais M ir Q, kurie nustatomi iš pusiausvyros lygčių. Kai kuriuose universitetuose yra nustatytas momentas M>0, ty momentų diagrama sudaryta ant ištemptų skaidulų. Kai Q= 0, turime schemos ekstremumą akimirkos. Diferencinės priklausomybės tarp M,KIrq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Lenkimo stiprio skaičiavimas
:
dvi stiprumo sąlygos, susijusios su skirtingais sijos taškais: a) normaliais įtempiais 
, (taškai toliausiai nuo C); b) pagal šlyties įtempius https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, kurie tikrinami pagal b). Gali būti taškų sijų ruožai, kuriuose randami ir normalūs, ir dideli tangentiniai įtempiai. Šiems taškams randami lygiaverčiai įtempiai, kurie neturi viršyti leistinų. Stiprumo sąlygos tikrinamos pagal įvairias stiprumo teorijas
Aš-aš: 
; II-I: (su Puasono koeficientu m=0,3); - retai naudotas.
III-I: 
, IV-I: 
,
Mohro teorija: , (naudojama ketui, kuriame leistinas tempiamasis įtempis ¹ – gniuždomasis).
Sijų poslinkių nustatymas lenkimo metu
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, kur r(x) yra lenktos ašies kreivio spindulys sija x pjūvyje, M (x) - lenkimo momentas toje pačioje atkarpoje, EJ - sijos standumas Iš aukštosios matematikos žinoma: - kampo tarp x ašies ir kreivosios ašies liestinės liestinė. Ši reikšmė labai maža (sijos įlinkiai maži) Þ jos kvadratas nepaisomas ir pjūvio sukimosi kampas prilyginamas liestine. apytikslis lenktos pluošto ašies diferencialinė lygtis: 
. Jei y ašis nukreipta į viršų, tada ženklas (+). Kai kuriuose universitetuose y ašis nusileidžia Þ(-). Integruojant diff..gif" width="226" height="50 src="> - gauname įlinkio lygis. Integravimo konstantos C ir D randamos iš kraštinių sąlygų, kurios priklauso nuo sijos tvirtinimo būdų.
a" nuo pradžios, jis dauginamas iš koeficiento (x - a) 0, kuris yra lygus 1. Bet kokia paskirstyta apkrova tęsiama iki sijos galo, o jai kompensuoti taikoma apkrova priešinga kryptimi. .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); integruojame:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Pradiniai parametrai yra tie, kuriuos turime pradžioje, ty figūrai: M0=0, Q0=RA, įlinkis y0=0, sukimosi kampas q0¹0. q0 iš pakeitimo į antrąją lygtį randame tinkamos atramos fiksavimo sąlygas: x=a+b+c; y(x)=0.
Diferencinės priklausomybės lenkiant :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Poslinkių apibrėžimas fiktyvios apkrovos metodu. Lygčių atitikimas:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> ir mes turime analogiją, Þ įlinkių apibrėžimas gali Sumažinti iki momentų apibrėžimo nuo kokios nors fiktyvios (sąlyginės) apkrovos fiktyvioje sijoje: Momentas nuo fiktyvios apkrovos Mf padalijus iš EJ yra lygus deformacijai "y" tam tikroje sijoje nuo tam tikros apkrovos Atsižvelgiant į tai, kad ir , gauname, kad sukimosi kampas tam tikrame pluošte yra skaitine prasme lygus fiktyviai skersinei jėgai fiktyviame pluošte.. Šiuo atveju turėtų būti visiška dviejų sijų kraštinių sąlygų analogija.Kiekvienas duotas pluoštas atitinka savo fiktyvus spindulys.
Fiktyvių sijų tvirtinimas pasirenkamas su sąlyga, kad sijos galuose ir ant atramų būtų pilnas atitikimas tarp "y" ir "q" tam tikroje sijoje ir Mf ir Qf fiktyvioje sijoje. Jei momentų diagramos tiek realiame, tiek fiktyviame sijose sudarytos iš ištempto pluošto šono (ty teigiamas momentas yra nutiestas), tai nurodytos sijos įlinkio linijos sutampa su momentų diagrama fiktyvus spindulys.
Statiškai neapibrėžtos sijos.
Sistemos vadinamos statiškai neapibrėžtomis, jei reakcijos, kurių negalima nustatyti pagal kieto kūno pusiausvyros lygtis. Tokiose sistemose yra daugiau ryšių, nei reikia pusiausvyrai. Sijos statinio neapibrėžtumo laipsnis(be tarpinių vyrių - ištisinės sijos) yra lygus išorinių nuorodų pertekliui (papildomam) skaičiui (daugiau nei trys).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" height="49 src=">+ MA=0; yra RA ir MA.
vadinamas papildomas „taisymas“. pagrindinė sistema. Dėl „papildomo“ nežinomybės galite imtis bet kokių reakcijų. Pritaikę nurodytas apkrovas pagrindinei sistemai, pridedame sąlygą, užtikrinančią duotosios sijos ir pagrindinės sutapimą - poslinkio suderinamumo lygtį. Pav.: yB=0, ty įlinkis taške B = 0. Šios lygties sprendimas galimas įvairiais būdais.
Būdas palyginti poslinkius
.
B taško įlinkis (pav.) nustatomas pagrindinėje sistemoje, veikiant tam tikrai apkrovai (q): yВq = "papildomas" nežinomas RB, ir randamas įlinkis nuo RB veikimo: 
. Pakeiskite poslinkio suderinamumo lygtį: yB= yВq += 0, t. y. += 0, iš kur RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" height="300 src="> Trijų momentų teorema
. Naudojamas skaičiuojant ištisinės sijos- sijos ant daugelio atramų, iš kurių viena yra fiksuota, likusios yra kilnojamos. Norint pereiti nuo statiškai neapibrėžtos sijos prie statiškai apibrėžtos pagrindinės sistemos, virš papildomų atramų įkišti vyriai. Papildomi nežinomieji: momentai Mn taikomi tarpatramių galams virš papildomų atramų.
Momentų grafikai sudaromi kiekvienam sijos tarpatramiui nuo tam tikros apkrovos, kiekvieną tarpatramį laikant paprasta sija ant dviejų atramų. Kiekvienai tarpinei paramai sudaroma „n“. trijų momentų lygtis:
wn, wn+1 – sklypo plotai, an – atstumas nuo kairiosios diagramos svorio centro iki kairiosios atramos, bn+1 – atstumas nuo dešiniosios diagramos svorio centro iki dešinės atramos. Momentinių lygčių skaičius lygus tarpinių atramų skaičiui. Jų bendras sprendimas leidžia rasti nežinomus atramos momentus. Žinant atramos momentus, atsižvelgiama į atskirus tarpatramius ir iš statinių lygčių randamos nežinomos atramos reakcijos. Jei yra tik du tarpatramiai, tada kairysis ir dešinysis momentai yra žinomi, nes jie yra arba duoti momentai, arba jie lygūs nuliui. Dėl to gauname vieną lygtį su viena nežinoma М1.
Bendrieji poslinkių nustatymo metodai
m" , kurį sukelia apibendrintos „n" jėgos veikimas. Bendras poslinkis, kurį sukelia keli jėgos veiksniai: DР = DРP + DРQ + DРM. Poslinkiai, kuriuos sukelia viena jėga arba vienas momentas: d - specifinis poslinkis. Jei viena jėga P=1 sukėlė poslinkį dP, tai bendras jėgos P sukeltas poslinkis bus: DP=P×dP. Jei sistemą veikiantys jėgos veiksniai žymimi X1, X2, X3 ir tt, tada judėjimas kiekvieno iš jų kryptimi:
kur Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Konkrečių poslinkių matmenys: 
, J - džauliai, darbo matmuo yra 1J = 1Nm.
Išorinių jėgų, veikiančių elastinę sistemą, darbas: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - koeficientas, atsižvelgiant į netolygų šlyties įtempių pasiskirstymą skerspjūvio plote, priklauso nuo pjūvio formos.
Remiantis energijos tvermės dėsniu: potencinė energija U=A.
D 
11 - judėjimas kryptimi. jėga P1 nuo jėgos P1 veikimo;
D12 - judėjimas kryptimi. jėga P1 nuo jėgos P2 veikimo;
D21 - judėjimas kryptimi. jėga P2 nuo jėgos P1 veikimo;
D22 - judėjimas kryptimi. jėga P2 nuo jėgos P2 veikimo.
А12=Р1×D12 – pirmosios būsenos jėgos Р1 darbas judant jos kryptimi, sukeltas antrosios būsenos jėgos Р2. Panašiai: A21=P2×D21 – antrosios būsenos jėgos P2 poveikis judėjimui jos kryptimi, kurį sukelia pirmosios būsenos jėga P1. A12=A21. Tas pats rezultatas gaunamas esant bet kokiam jėgų ir momentų skaičiui. Darbo abipusiškumo teorema: Р1×D12=Р2×D21.
Pirmosios būsenos jėgų darbas poslinkiuose jų kryptimis, kuriuos sukelia antrosios būsenos jėgos, yra lygus antrosios būsenos jėgų darbui poslinkiams jų kryptimis, kuriuos sukelia pirmosios būsenos jėgos. .
Teorema apie poslinkių abipusiškumą (Maksvelo teorema) Jei P1=1 ir P2=1, tai P1d12=P2d21, ty d12=d21, apskritai dmn=dnm.
Dviejų tamprios sistemos vienetinių būsenų judėjimas pirmosios jėgos vieneto kryptimi, kurį sukelia antroji vienetinė jėga, yra lygus judėjimui antrosios jėgos vieneto kryptimi, kurį sukelia pirmoji jėga.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> nuo vienetinės jėgos veikimo; 4) rastos išraiškos pakeičiamos į Mohro integralas ir integruotas pagal pateiktą Jei gautas Dmn>0, tai poslinkis sutampa su pasirinkta vienetinės jėgos kryptimi, jei<0, то противоположно.
Plokščiam dizainui:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> atveju, kai tam tikros apkrovos diagrama yra savavališkos formos ir iš vienos apkrovos - tiesus yra patogiai nustatomas Vereshchagino pasiūlytu grafinės analizės metodu. 
, kur W yra diagramos plotas Мр nuo išorinės apkrovos, yc yra diagramos ordinatės nuo vienetinės apkrovos po diagramos Мр svorio centru. Diagramų daugybos rezultatas yra lygus vienos iš diagramų ploto sandaugai su kitos diagramos ordinatėmis, paimta po pirmosios diagramos srities svorio centro. Ordinatės turi būti paimtos iš tiesios linijos. Jei abi diagramos yra tiesios, tada ordinates galima paimti iš bet kurios.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Ši formulė apskaičiuojama sekcijomis, kurių kiekviena turi turėti tiesią liniją diagrama be lūžių.Sudėtinė diagrama Mp suskirstyta į paprastas geometrines figūras, kurioms lengviau nustatyti svorio centrų koordinates.Dauginant dvi diagramas, kurios atrodo kaip trapecijos, patogu naudoti formulę: 
. Ta pati formulė tinka ir trikampėms diagramoms, jei atitinkamą ordinatę pakeisime = 0.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (pav., t.y. 
, xC=L/2).
aklas "įterpimas su tolygiai paskirstyta apkrova, turime įgaubtą kvadratinę parabolę, kuriai =3L/4. Jį taip pat galima gauti, jei diagrama pavaizduota skirtumu tarp trikampio ploto ir išgaubtos kvadratinės parabolės ploto: 
. „Trūkstamoji“ sritis laikoma neigiama.
Castigliano teorema.
– apibendrintos jėgos taikymo taško poslinkis jos veikimo kryptimi yra lygus potencinės energijos dalinei išvestinei šios jėgos atžvilgiu. Nepaisydami ašinių ir skersinių jėgų įtakos judėjimui, turime potencialią energiją: 
, kur 
.
Statiškai neapibrėžtos sistemos- sistemos, kurių elementų jėgos faktoriai negali būti nustatyti tik iš standaus kūno pusiausvyros lygčių. Tokiose sistemose ryšių skaičius yra didesnis nei būtina pusiausvyrai. Statinio neapibrėžtumo laipsnis: S = 3n - m, n - uždarų kilpų skaičius konstrukcijoje, m - pavienių vyrių skaičius (vyris, jungiantis du strypus, skaičiuojamas kaip vienas, jungiantis tris strypus - kaip du ir tt). jėgos metodas jėgos veiksniai laikomi nežinomais. Skaičiavimo seka: 1) nustatykite statiškumo laipsnį. neapibrėžtumas; 2) pašalinus nereikalingus ryšius, pirminė sistema pakeičiama statiškai determinuota - pagrindine sistema (tokių sistemų gali būti kelios, tačiau pašalinant nereikalingus ryšius, neturėtų būti pažeistas geometrinis konstrukcijos nekintamumas); 3) pagrindinė sistema yra apkrauta duotomis jėgomis ir nereikalingais nežinomais; 4) turi būti parinktos nežinomos jėgos, kad pradinės ir pagrindinės sistemos deformacijos nesiskirtų. Tai yra, atmestų jungčių reakcijos turėtų turėti tokias reikšmes, kuriose poslinkiai jų kryptimis = 0. Kanoninės jėgų metodo lygtys:
Šios lygtys yra papildomos ur padermės, leidžiančios atidaryti statinį. neapibrėžtumas. ur-s skaičius = atmestų jungčių skaičius, t.y. sistemos neapibrėžtumo laipsnis.
dik – judėjimas i kryptimi, sukeltas vienetinės jėgos, veikiančios k kryptimi. dii – pagrindiniai, dik – šoniniai judesiai. Pagal abipusiškumo teoremą: dik=dki. Dip - judėjimas i-osios jungties kryptimi, sukeliamas tam tikros apkrovos (apkrovos elementų) veikimo. Į kanonines lygtis įtraukti poslinkiai patogiai nustatomi Mohro metodu.
Tam pagrindinei sistemai taikomos pavienės apkrovos X1=1, X2=1, Xn=1, išorinė apkrova ir brėžiamos lenkimo momentų kreivės. Mohro integralas naudojamas norint rasti: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
Linija virš M rodo, kad šias vidines jėgas sukelia vienetinės jėgos veikimas.
Sistemoms, sudarytoms iš tiesių elementų, diagramas patogu padauginti naudojant Vereshchagin metodą. 
; 
WP yra Mp diagramos plotas nuo išorinės apkrovos, yСр yra diagramos ordinatės nuo vienos apkrovos po Мр diagramos svorio centru, W1 yra M1 diagramos plotas nuo viena apkrova. Diagramų daugybos rezultatas yra lygus vienos iš diagramų ploto sandaugai su kitos diagramos ordinatėmis, paimta po pirmosios diagramos srities svorio centro.
Plokščių lenktų strypų (stypų) skaičiavimas
Išlenktos sijos apima kabliukus, grandines, arkas ir tt Apribojimai: skerspjūvis turi simetrijos ašį, sijos ašis yra plokščia kreivė, apkrova veikia toje pačioje plokštumoje. Yra mažo kreivumo strypai: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН – neutralaus sluoksnio spindulys, e=R – rН, R – sluoksnio, kuriame yra pjūvio svorio centrai, spindulys. Neutrali kreivio pluošto ašis nekerta C sekcijos svorio centro. Ji visada yra arčiau kreivio centro nei pjūvio svorio centras. , r=rН – y. Žinodami neutralaus sluoksnio spindulį, galite nustatyti atstumą „e“ nuo neutralaus sluoksnio iki svorio centro. Stačiakampei sekcijai, kurios aukštis h, išorinis spindulys R2 ir vidinis R1: ; skirtingiems skyriams formulės pateiktos informacinėje literatūroje. Dėl h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Normalūs įtempiai pjūvyje pasiskirsto pagal hiperbolinį dėsnį (išoriniame pjūvio krašte mažiau, vidiniame – daugiau). Veikiant normaliai jėgai N: 
(čia rН yra neutralaus sluoksnio spindulys, kuris būtų veikiamas tik momento M, t. y. esant N=0, bet realiai, veikiant išilginei jėgai, šis sluoksnis nebėra neutralus). Stiprumo būklė: 
, atsižvelgiant į kraštutinius taškus, kuriuose bendrieji įtempiai dėl lenkimo ir įtempimo-suspaudimo bus didžiausi, ty y= – h2 arba y= h1. Poslinkiai patogiai nustatomi Mohro metodu.
Suspaustų strypų stabilumas. Išilginis lenkimas
Meškerykočio sunaikinimas gali įvykti ne tik dėl to, kad sulaužys stiprumą, bet ir dėl to, kad kotas neišlaiko norimos formos. Pavyzdžiui, lenkimas pagal išilginį plonos liniuotės suspaudimą. Centriškai suspausto strypo tiesinės formos pusiausvyros stabilumo praradimas vadinamas sulinkimas. Elastinis balansas stabiliai, jei deformuotas kūnas su bet kokiu nedideliu nukrypimu nuo pusiausvyros būsenos linkęs grįžti į pradinę būseną ir į ją grįžta pašalinus išorinį poveikį. Apkrova, kurios perteklius praranda stabilumą, vadinama kritinė apkrova Rcr (kritinė jėga). Leidžiama apkrova [P]=Pkr/nу, nу – norminis stabilumo koeficientas..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - formulė pateikia strypo su atverčiamais galais kritinės jėgos reikšmę. Su įvairiais tvirtinimais: 
, m yra ilgio mažinimo koeficientas.
Su šarnyriniu abiejų strypo galų tvirtinimu m=1; meškerei uždarais galais m=0,5; meškerei su vienu uždaru ir kitu laisvu galu m=2; strypo, kurio vienas galas fiksuotas, o kitas – šarnyrinis, m=0,7.
Kritinis gniuždymo įtempis.: 
, – strypo lankstumas, 
yra mažiausias pagrindinis strypo skerspjūvio ploto inercijos spindulys. Šios formulės galioja tik tada, kai įtampos skr £ spts yra proporcingumo riba, t.y. Huko dėsnio taikymo ribose. Eulerio formulė taikoma, kai strypas yra lankstus: 
, pavyzdžiui, plieno St3 (C235) lkr "100. Bylai l
Pakankamai trumpos meškerės, kurioms l
(Fnet = Fgross-Fweak - susilpnintos sekcijos plotas, atsižvelgiant į skylių plotą skyriuje Fweak, pavyzdžiui, iš kniedžių). \u003d scr / nу, nу - standartinis koeficientas. stabilumo riba. Leistinas įtempis išreiškiamas pagrindiniu leistinu įtempimu [s], naudojamu stiprumo skaičiavimuose: =j×[s], j - leistinas streso mažinimo koeficientas suspaustiems strypams (išlinkimo koeficientas). J reikšmės pateiktos lentelėje. vadovėliuose ir priklauso nuo strypo medžiagos bei jo lankstumo (pvz., plienui St3 esant l=120 j=0,45).
Projektuojant reikiamo skerspjūvio plotą, pirmuoju žingsniu imamas j1 = 0,5–0,6; rasti: 
. Be to, žinodami Fgross, pasirinkite atkarpą, nustatykite Jmin, imin ir l, nustatykite pagal lentelę. tikrasis j1I, jei jis labai skiriasi nuo j1, skaičiavimas kartojamas su vidurkiu j2= (j1+j1I)/2. Dėl antrojo bandymo randamas j2I, lyginamas su ankstesne reikšme ir taip toliau, kol pasiekiamas pakankamai artimas atitikimas. Paprastai tai užtrunka 2-3 bandymus.
Santykiai tarp inercijos momentai sukant ašis:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Kampas a>0, jei perėjimas iš senosios koordinačių sistemos į naują vyksta prieš laikrodžio rodyklę. p. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Vadinamos ekstremalios (didžiausios ir minimalios) inercijos momentų reikšmės pagrindiniai inercijos momentai. Vadinamos ašys, kurių atžvilgiu ašiniai inercijos momentai turi kraštutines vertes pagrindinės inercijos ašys. Pagrindinės inercijos ašys yra viena kitai statmenos. Išcentriniai inercijos momentai apie pagrindines ašis \u003d 0, ty pagrindinės inercijos ašys yra ašys, kurių atžvilgiu išcentrinis inercijos momentas \u003d 0. Jei viena iš ašių sutampa arba abi sutampa su simetrijos ašimi, tada jie yra pagrindiniai. Kampas, apibrėžiantis pagrindinių ašių padėtį: 
, jei a0>0 Þ ašys sukamos prieš laikrodžio rodyklę. p. Maksimumo ašis visada sudaro mažesnį kampą su ašių, kurių atžvilgiu inercijos momentas turi didesnę reikšmę, kampą. Pagrindinės ašys, einančios per svorio centrą, vadinamos pagrindinės centrinės inercijos ašys. Šių ašių inercijos momentai: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Išcentrinis inercijos momentas apie pagrindines centrines inercijos ašis lygus 0. Jei žinomi pagrindiniai inercijos momentai, tai perėjimo prie suktų ašių formulės yra šios:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax – Jmin)sin2a;
Galutinis pjūvio geometrinių charakteristikų skaičiavimo tikslas – nustatyti pagrindinius centrinius inercijos momentus ir pagrindinių centrinių inercijos ašių padėtį. 
Inercijos spindulys– https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Skyriams, turintiems daugiau nei dvi simetrijos ašis (pvz., apskritimas, kvadratas, žiedas ir kt.) ašiniai inercijos momentai visų centrinių ašių atžvilgiu yra lygūs vienas kitam, Jxy=0, inercijos elipsė virsta inercijos apskritimu.
s- normali įtampa[Pa], 1Pa (paskalis) = 1 N/m2,
106Pa = 1 MPa (megapaskalis) = 1 N/mm2
N – išilginė (normali) jėga [N] (niutonas); F – skerspjūvio plotas [m2]
e - santykinė deformacija [bedimensinė vertė];
DL – išilginė deformacija [m] (absoliutus pailgėjimas), L – strypo ilgis [m].
Huko dėsnis – s = E×e
E – tempimo modulis (1-osios rūšies tamprumo modulis arba Youngo modulis) [MPa]. Plienui E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 ("senojoje" agregatų sistemoje).
(kuo daugiau E, tuo mažiau plečiasi medžiaga)
; - Huko dėsnis
EF – strypo standumas tempiant (suspaudimas).
Ištempus strypą jis „plonėja“, jo plotis – a mažėja dėl skersinės deformacijos – Da.
Santykinė skersinė deformacija.
 |
Pagrindinės medžiagų mechaninės charakteristikos
sp - proporcingumo riba, st - takumo stiprumas, sВ- jėgos riba arba laikina varža, sk – įtampa trūkimo momentu.
Trapios medžiagos, tokios kaip ketus, lūžta esant mažam pailgėjimui ir neturi išeigos plynaukštės, geriau atsparios suspaudimui nei tempimui.
Leidžiama įtampa https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> įtempiai išilgai šlaito:
Tiesioginė užduotis……………………………………………………..3
Atvirkštinė problema…………………………………………………………3
Tūrinio įtempio būsena……………………………………………………………………………………
Įtempiai išilgai oktaedrinės vietos…………………………..5
Deformacijos esant tūriniam įtempimui.
Apibendrintas Huko dėsnis …………………………………………… 6
Potencialios deformacijos energija……………………………7
Stiprumo teorijos……………………………………………………………………9
Mohro jėgos teorija …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………
Mohro ratas ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………
Grynasis poslinkis………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………
Huko dėsnis šlytyje………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………
Sukimas…………………………………………………………..13
Stačiakampio strypo sukimasis……………………….14
Lenkimas……………………………………………………………… 15
Žuravskio formulė………………………………………………………………16
Lenkimo stiprio apskaičiavimas…………………………………………………………………18
Sijų poslinkių nustatymas lenkimo metu……………19
Diferencinės priklausomybės lenkiant………………….20
Poslinkio suderinamumo lygtis………………………..22
Poslinkių palyginimo būdas………………………………..22
Trijų momentų teorema…………………………………………..22
Bendrieji poslinkių nustatymo metodai…………………….24
Darbo abipusiškumo teorema (Betley teorema)………………….25
Poslinkių abipusiškumo teorema (Maksvelo teorema).. 26
Mohro integralo apskaičiavimas Vereshchagino metodu……….27
Castigliano teorema……………………………………………..28
Statiškai neapibrėžtos sistemos…………………………..29
Plokščių lenktų strypų (stypų) skaičiavimas……………………31
Suspaustų strypų stabilumas. Išilginis lenkimas………33
Plokščiųjų pjūvių geometrinės charakteristikos…………36
Pjūvio inercijos momentai……………………………………..37
Pjūvio išcentrinis inercijos momentas ……………………..37
Paprastų formų pjūvių inercijos momentai…………………..38
Inercijos momentai apie lygiagrečias ašis……..39
Inercijos momentų santykis sukant
ašys……………………………………………………………… 40
Pasipriešinimo momentai……………………………………….42
Įtempimas ir suspaudimas…………………………………………………… 43
Pagrindinės medžiagų mechaninės charakteristikos…….45
dviašė arba butas vadinama tokia kūno įtempimo būsena, kai visuose jo taškuose vienas pagrindinių įtempių lygus nuliui. Galima parodyti *, kad prizminiame arba cilindriniame kūne (17.1 pav.), kurio galai laisvi ir neapkrauti, atsiranda plokštuminė įtempių būsena, jei kūno šoniniam paviršiui veikia išorinių jėgų sistema, normali ašiai. Ozas ir keičiasi priklausomai nuo z pagal kvadratinį dėsnį jis yra simetriškas vidutinės pjūvio atžvilgiu. Pasirodo, kad visuose kūno skerspjūviuose
ir įtampa a x, a y, x keisti priklausomai nuo z taip pat pagal kvadratinį dėsnį jis yra simetriškas vidutinės pjūvio atžvilgiu. Šių prielaidų įvedimas leidžia gauti uždavinio sprendimą, tenkinantį sąlygas (17.13) ir visas elastingumo teorijos lygtis.
Įdomus yra ypatingas atvejis, kai įtempiai nepriklauso nuo kintamojo z'-
Tokia įtempta būsena įmanoma tik veikiant apkrovai, tolygiai paskirstytai išilgai. Iš Huko dėsnio (16.3) formulių išplaukia, kad deformacijos e x, e y, e z , y taip pat nepriklauso nuo z, ir deformacijos y ir y zx atsižvelgiant į (17.13) yra lygūs nuliui. Šiuo atveju identiškai tenkinamos ketvirtoji ir penktoji deformacijos tęstinumo lygtys (16.4), (16.5), o antroji, trečioji ir šeštoji lygtys įgauna formą
Integruojant šias lygtis ir atsižvelgiant į trečiąją Huko dėsnio formulę (16.3) su az = 0, gauname
Cm.: Timošenko S. P., Goodyear J. Elastingumo teorija. Maskva: Nauka, 1975 m.
Taigi plokštuminė įtempių būsena prizminiame arba cilindriniame kūne, kurio laisvieji galai apkrauti paviršiaus apkrovos konstanta išilgai kūno ilgio, galima tik konkrečiu atveju, kai įtempių suma. a x + a y kinta priklausomai nuo kintamųjų x ir adresu linijinis arba pastovus.
Jei atstumas tarp kėbulo galinių plokštumų (7.1 pav.) yra mažas, palyginti su pjūvių matmenimis, tai turime plonos plokštės atvejį (17.5 pav.), apkrautą išilgai išorinio kontūro jėgomis, simetriškai paskirstytomis plokštės vidurinė plokštuma pagal kvadratinį dėsnį. Kadangi plokštės storis h yra mažas, tada su nedidele paklaida galima daryti prielaidą, kad esant bet kokiai simetrinei įtempių plokštės vidurinės plokštumos apkrovai a x, a v, txv yra tolygiai pasiskirstę per jo storį.
Šiuo atveju įtempiai turėtų būti suprantami kaip, pavyzdžiui, jų vidutinės vertės per storį
Taip pat reikėtų pažymėti, kad įvedus prielaidą (17.14), nulinių įtempių sąlyga (17.13)
Nagrinėjamas plonos plokštės įtempių būsenos atvejis su prielaidomis (17.13) ir (17.14) dažnai vadinamas apibendrinta plokštumos įtempių būsena.
Panagrinėkime pagrindines elastingumo teorijos lygtis šiam atvejui.
Atsižvelgiant į (17.13), Huko dėsnio (16.3) formules galima parašyti formoje
Atitinkami atvirkštiniai santykiai turi formą
Formulės (17.17) ir (17.18) skiriasi nuo Huko dėsnio plokštumos deformacijos formulių (17.7) ir (17.9) tik tuo, kad pastarojoje vietoj tamprumo modulio E o Puasono koeficientas v apima sumažintus kiekius E ( ir vr
Pusiausvyros lygtys, Koši santykiai, deformacijų tęstinumo lygtis ir statinės ribinės sąlygos nesiskiria nuo atitinkamų lygčių (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) plokštumos deformacijai.
Plokštumos deformacija ir apibendrinta plokštumos įtempių būsena iš esmės apibūdinamos tomis pačiomis lygtimis. Vienintelis skirtumas yra Huko dėsnio formulių elastingumo konstantų vertės. Todėl abi užduotys yra sujungtos bendru pavadinimu: elastingumo teorijos plokštumos problema.
Visą plokštumos uždavinio lygčių sistemą sudaro dvi pusiausvyros lygtys (17.10), trys geometriniai Koši ryšiai (17.3) ir trys Huko dėsnio formulės (17.7) arba (17.17). Juose yra aštuonios nežinomos funkcijos: trys įtampos a x, a y, x xy, trys padermės e x, e y, y xy ir du judesiai Ir Ir Ir.
Jei sprendžiant problemą nereikia nustatyti poslinkių, tada nežinomųjų skaičius sumažinamas iki šešių. Joms nustatyti yra šešios lygtys: dvi pusiausvyros lygtys, trys Huko dėsnio formulės ir deformacijų tęstinumo lygtis (17.11).
Pagrindinis skirtumas tarp dviejų nagrinėjamų plokštumos problemų tipų yra toks. Dėl plokštumos deformacijos ? z = 0,oz* 0 ir reikšmę c z Nustačius įtempius o x io, galima rasti pagal (17.6) formulę. Apibendrintai plokštumos įtempių būsenai a z = 0, ? z Ф 0 ir deformuotis ? z galima išreikšti įtempiais o x ir OU pagal formulę (17.16). juda w galima rasti integravus Koši lygtį
DEFORMUOTOS BŪSENOS („PLOKIOS PROBLEMOS“)
Plokštumos įtempių ir plokštumos deformacijų būsenos apibūdinamos šiais požymiais.
1. Visi įtempių komponentai nepriklauso nuo vienos iš koordinačių, bendrų visiems komponentams, ir išlieka pastovūs, kai ji keičiasi.
2. Plokštumose, kurios yra normalios šios koordinatės ašiai:
a) šlyties įtempių komponentai lygūs nuliui;
b) normalusis įtempis yra lygus nuliui (plokštumos įtempių būsena), arba lygus pusei kitų dviejų normalių įtempių sumos (plokštumos deformacijos būsena).
Paimkime ašį, kuri buvo minėta anksčiau, y ašį. Iš to, kas pasakyta, aišku, kad ši ašis bus pagrindinė, t.y., ji taip pat gali būti žymima indeksu 2. Be to, , ir nepriklauso nuo y; tuo pačiu metu ir , taigi, ir ir yra lygūs nuliui.
Plokštumai įtemptai būsenai = 0. Plokštumos deformuotai būsenai (šis plokštumos deformuotos būsenos požymis bus įrodytas toliau).
Visada reikia atsižvelgti į reikšmingą skirtumą tarp plokštumos įtempių ir plokštumos deformacijų būsenų.
Pirmoje, trečios ašies kryptimi, nėra normalaus įtempio, bet yra deformacija, antroje yra normalus įtempis, bet nėra deformacijos.
Plokštumos įtempių būsena gali būti, pavyzdžiui, plokštėje, kuriai jos kontūrą veikia lygiagrečiai plokštės plokštumai ir tolygiai paskirstomos per jos storį (3.16 pav.). Plokštės storio pokytis šiuo atveju neturi reikšmės, o jos storis gali būti laikomas vienetu. Esant pakankamam tikslumui, flanšo įtempimo būsena gali būti laikoma plokščia, kai iš lakštinės medžiagos brėžiamas cilindrinis ruošinys.
Plokštuminė deformuota būsena gali būti priimta didelio ilgio cilindrinio ar prizminio kūno atkarpoms, nutolusioms nuo jo galų, jei kūnas yra apkrautas jėgomis, kurios nekinta išilgai ir yra nukreiptos statmenai generatoriams. Pavyzdžiui, plokščioje deformacijoje strypas gali būti nukrypęs jo storio kryptimi, kai galima nepaisyti deformacijos išilgai.
Visos plokštumos uždavinio įtempių būsenų lygtys yra labai supaprastintos ir sumažinamas kintamųjų skaičius.
Plokštumos uždavinio lygtis galima lengvai gauti iš anksčiau gautų masinio įtempio būsenos lygčių, atsižvelgiant į tai, kad 
\u003d 0 ir imant \u003d 0, nes nuožulnios sritys turėtų būti laikomos tik lygiagrečiomis y ašiai, ty normaliomis sritims, kuriose nėra įtempių plokštumos įtempių būsenoje arba nėra deformacijų plokštumoje (3.17 pav.) ).
Nagrinėjamu atveju
Pažymėdami kampą (žr. 3.17 pav.) tarp normaliosios į pasvirusiąją sritį ir ašies (arba ašies, jei įtempių būsena nurodyta pagrindinėse ašyse 1 ir 2) per , gauname , iš kur .
Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta aukščiau, tiesioginiais tūrinio įtempių būsenos reiškiniais (3.10) ir (3.11) pakeitus, gauname normaliuosius ir šlyties įtempius pasvirusioje srityje (žr. 3.17 pav.).
3.15 pav. Plokštumos įtempių būsena (a), įtempimas ant nuožulnios platformos (b)
normali įtampa
šlyties įtempis
. (3.41)
Iš (3.41) išraiškos nesunku pastebėti, kad jos maksimumas yra sin 2 \u003d 1, ty \u003d 45 °:
. (3.42)
Pagrindinių įtempių dydis gali būti išreikštas komponentais savavališkose ašyse, naudojant (3.13) lygtį, iš kurios gauname
. (3.43)
Šiuo atveju plokštumos įtempių būsena = 0; plokščiai įtemptai būsenai
Žinant įtempių būseną pagrindinėse ašyse, lengva pereiti prie bet kokių savavališkų koordinačių ašių (3.18 pav.). Tegul naujoji koordinačių ašis x sudaro kampą su ašimi, tada, laikydami ją normalia pasvirusiajai sričiai, turime pastarąją pagal lygtį (3.40)
bet ašiai įtampa yra įtampa, taigi
ši išraiška gali būti konvertuojama taip:
(3.44)
Naujoji ašis bus pakreipta į 1 ašį kampu (+90°); todėl ankstesnėje lygtyje pakeitę ( + 90°) gauname
Įtampą nustatome pagal išraišką (3.41):
. (3.46)
Nurodydami vidutinę įtampą per, ty imdami
, (3.47)
ir atsižvelgiant į (3.42) lygtį, gauname vadinamąsias transformacijos formules, kurios išreiškia įtempių komponentus kaip kampo funkciją:
(3.48)
Kurdami Mohro diagramą, atsižvelgiame į tai, kad kadangi nagrinėjame sritis, lygiagrečias y ašiai (t. y. 2 ašiai), krypties kosinusas visada yra lygus nuliui, ty kampas = 90 °. Todėl visos atitinkamos reikšmės ir bus išdėstytos apskritime, apibrėžtame lygtimi (3.36 b), kai į ją pakeičiate = 0, būtent:
, (3.49)
arba atsižvelgiant į (3.47) ir (3.42) išraiškas
. (3.49a)
Šis ratas parodytas fig. 3.19 ir yra Mohro diagrama. Tam tikro taško P, esančio apskritime, koordinatės nustato atitinkamas reikšmes ir tašką P sujungsime su tašku . Nesunku pastebėti, kad atkarpos 0 2 P = ;
Рр= , Ор= , taigi ir nuodėmė 
= 
.
Palyginę gautas išraiškas su (3.48) lygtimis, galime nustatyti, kad
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Taigi žinant pasvirusios srities padėtį, kurią lemia kampas , galima rasti įtempių ir veikimo šioje srityje reikšmes.
3.17 pav. Mohro diagrama
,
tada atkarpa OP išreiškia bendrą įtempį S.
Jei įtempto kūno elementas, kurio pasvirusiame paviršiuje atsižvelgiama į įtempius, nubrėžtas taip, kad pagrindinis įtempis būtų nukreiptas lygiagrečiai ašiai, tai normalusis N nubrėžtas į šį pasvirusį paviršių, taigi ir įtempių kryptis, bus lygiagreti atkarpai СР.
Tęsdami tiesę P0 2 iki sankirtos su apskritimu, taške P "gauname antrą reikšmių porą ir kitą pasvirusią sritį, kurioje " = + 90 °, ty plotui, statmenai pirmajai , su normaliosios krypties ". Normalių N ir N kryptys" gali būti paimtos atitinkamai kaip naujų ašių kryptys: ir , ir įtempiai ir " - atitinkamai koordinačių įtempiams ir. Taigi galima nustatyti įtempių būseną savavališkose ašyse nenaudodami formulių (3.44) - (3.46).yra lygūs vienas kitam pagal poravimosi dėsnį.
Išspręsti atvirkštinę užduotį nesunku: duotiesiems įtempiams dviejose tarpusavyje statmenose srityse , ir , t "(kur t" = t) raskite pagrindinius įtempius.
Nubraižome koordinačių ašis n ir (3.19 pav.). Nubraižome taškus P ir P "koordinatėmis, atitinkančiomis duotus įtempius , ir ,. Atkarpos PP susikirtimas su ašimi nulems Mohro apskritimo 0 2 centrą, kurio skersmuo PP "= 2 31. Be to, jei statome ašis N, N" (arba, kažkas tas pats, , ) ir pasukame figūrą taip, kad šių ašių kryptys būtų lygiagrečios įtempių kryptims ir nagrinėjamame kūno taške, tada ašių kryptys ir diagrama bus lygiagreti 1 ir 2 pagrindinių ašių krypčiai.
Plokštumos uždavinio diferencialinės pusiausvyros lygtis gauname iš lygčių (3.38), atsižvelgiant į tai, kad visos išvestinės y atžvilgiu yra lygios nuliui, taip pat lygios nuliui ir :
(3.50)
Sprendžiant kai kuriuos su plokštuma susijusius uždavinius, kartais patogu naudoti ne stačiakampes, o polines koordinates, taško padėtį nustatant pagal spindulio vektorių ir poliarinį kampą, t.y. kampą, kurį spindulio vektorius sudaro su ašimi.
Pusiausvyros sąlygas polinėse koordinatėse galima lengvai gauti iš tų pačių sąlygų cilindrinėse koordinatėse prilyginant
Ir atsižvelgiant į tai, kad išvestinės yra lygios
(3.51)
Ypatingas plokštumos uždavinio atvejis yra toks, kai įtempiai taip pat nepriklauso nuo koordinatės (įtempių pasiskirstymas yra simetriškas ašies atžvilgiu). Šiuo atveju išvestinės ir įtempių bei atžvilgiu išnyks, o pusiausvyros sąlygos nustatomos viena diferencialine lygtimi
. (3.52)
Akivaizdu, kad ir čia stresai yra pagrindiniai.
Tokią įtemptą būseną galima paimti apvalaus ruošinio flanšui tempiant, nespaudžiant cilindrinio puodelio.
Streso būsenos tipas
Įtempių būsena bet kuriame deformuojamo kūno taške apibūdinama trimis pagrindiniais normaliaisiais įtempiais ir pagrindinių ašių kryptimis.
Yra trys pagrindiniai įtempių būsenų tipai: tūrinis (triašė), kai visi trys pagrindiniai įtempiai nėra lygūs nuliui, plokščioji (dviašė), kai vienas iš pagrindinių įtempių yra nulis, ir linijinis (vienašis), kuriame tik vienas pagrindinis įtempis skiriasi nuo nulio.
Jei visi normalūs įtempiai turi tą patį ženklą, tai įtempių būsena vadinama tuo pačiu pavadinimu, o jei skirtingų ženklų įtempiai yra priešingo ženklo.
Taigi įtempių būsenos yra devynios rūšys: keturios tūrinės, trys plokščios ir dvi tiesinės (3.18 pav.).
Įtempių būsena vadinama vienalyte, kai bet kuriame deformuojamo kūno taške pagrindinių ašių kryptys ir pagrindinių normaliųjų įtempių dydžiai išlieka nepakitę.
Įtempių būsenos tipas turi įtakos metalo gebėjimui plastiškai deformuotis nesugriuvus ir išorinės jėgos dydžiui, kurį reikia taikyti, kad būtų pasiekta tam tikros vertės deformacija.
Taigi, pavyzdžiui, deformacijai tos pačios tūrinės įtempio būsenos sąlygomis reikia daugiau pastangų nei esant priešingai įtempių būsenai, kai visi kiti dalykai yra vienodi.
testo klausimai
1. Kas yra įtampa? Kas apibūdina taško, viso kūno įtempimo būseną?
2. Ką indeksai išreiškia įtempių tenzoriaus komponentų žymėjimu?
3. Pateikite įtempių tenzoriaus komponentų ženklo taisyklę.
4. Užrašykite Koši formules įtempimams ant pasvirusių platformų. Kuo grindžiama jų išvada?
5. Kas yra įtampos tenzorius? Kokie yra įtempio tenzoriaus komponentai?
6. Kaip vadinami įtempio tenzoriaus savieji vektoriai ir savosios reikšmės?
7. Kas yra pagrindiniai įtempiai? Kiek?
8. Pateikite indeksų priskyrimo prie pagrindinių normaliųjų įtempių taisyklę.
9. Pateikite pagrindinių normaliųjų įtempių ir įtempių tenzoriaus pagrindinių ašių fizikinę interpretaciją.
10. Parodykite pagrindinių normaliųjų įtempių diagramas pagrindiniams OMD procesams - valcavimui, tempimui, presavimui.
11. Kas yra įtempių tenzorių invariantai? Kiek?
12. Kokia mechaninė pirmojo įtempių tenzoriaus invarianto reikšmė?
13. Kas vadinamas šlyties įtempių intensyvumu?
14..Kokie pagrindiniai šlyties įtempiai? Raskite jų platformas
15.. Kiek pagrindinių šlyties įtempių sričių galima nurodyti kuriame nors deformuojamo kūno taške?
16. Koks yra didžiausias šlyties įtempis, normalus įtempis vietoje, kurioje jis veikia?
17. Kas yra ašiesimetrinė įtempio būsena? Pateikite pavyzdžių.
18. Parodykite pagrindinių normaliųjų įtempių diagramas pagrindiniams OMD procesams – valcavimui, braižymui, presavimui.
19. Kas bendro tarp plokštumos įtemptos ir plokštumos deformuotos būsenos ir kuo jos skiriasi? Kurią iš šių būsenų reiškia paprastas poslinkis?
20. Pateikite jums žinomas įtempių teorijos formules pagrindinėje koordinačių sistemoje
21. Kas yra streso elipsoidas? Užrašykite jos lygtį ir nurodykite statybos tvarką. Kokia yra įtempių elipsoido forma hidrostatiniam slėgiui, plokštumai ir linijinėms įtempių būsenoms?
22. Užrašykite lygtį pagrindinių normaliųjų įtempių paieškai ir tris lygčių sistemas pagrindinėms ašims rasti T a.
23..Kas yra sferinis tenzorius ir įtempių deviatorius? Kokie dydžiai naudojami apskaičiuojant antrąjį ir trečiąjį įtempių deviatoriaus invariantus?
24. Parodykite, kad įtempių tenzoriaus ir įtempių deviatoriaus pagrindinių koordinačių sistemos sutampa.
25. Kodėl atsižvelgiama į įtempių intensyvumą ir šlyties įtempių intensyvumą? Paaiškinkite jų fizinę reikšmę ir pateikite geometrines interpretacijas.
26. Kas yra Mohro diagrama? Kokie yra pagrindinių apskritimų spinduliai?
27. Kaip pasikeis Mohro diagrama pasikeitus vidutinei įtampai?
28. Kas yra oktaedriniai įtempiai?
29. Kiek charakteringų sričių galima nubrėžti per įtempto kūno tašką?
30. Tūrinio įtempių būsenos pusiausvyros sąlygos stačiakampėse koordinatėse, cilindrinėse ir sferinėse koordinatėse.
31. Plokštumos uždavinio pusiausvyros lygtys.
BIBLIOGRAFIJA
1. Ilušinas A. A. Plastiškumas. Ch.I. M.-L., GTI, 1948. 346 p. (33)
2. I. M. Pavlovas „Apie tenzorinių vaizdų fizinę prigimtį plastiškumo teorijoje“, Izvestija vuzovas. Juodoji metalurgija“, 1965, Nr. 6, p. 100–104.
3. V. V. Sokolovskis, Plastiškumo teorija. M., Aukštoji mokykla, 1969. 608 p. (91)
4. M. V. Storoževas ir E. A. Popovas, Metalo apdorojimo slėgiu teorija. M., "Inžinerija", 1971. 323 p. (99)
5. S. P. Timošenko, Elastingumo teorija. Gostekhizdat, 1934. 451 p. (104)
6. Šofmanas L. A. Štampavimo ir presavimo proceso skaičiavimo pagrindai. Mashgiz, 1961. (68)
Panagrinėkime plokštumos įtempių būsenos atvejį, kuris yra svarbus taikymams ir realizuojamas, pavyzdžiui, plokštumoje Oyz.Įtempių tenzorius šiuo atveju turi formą
Geometrinė iliustracija parodyta 1 pav. Tuo pačiu metu svetainės x= const yra pagrindinės su atitinkamomis nulinėmis pagrindinėmis įtampomis. Įtempių tenzoriaus invariantai yra , o charakteristikos lygtis įgauna formą
Šios lygties šaknys yra
|
Šaknų numeracija yra skirta bylai 
1 pav. Pradinė plokštumos įtempio būsena. 
2 pav. Pagrindinių įtempių padėtis
Savavališkai vietai būdingas kampas Fig. 1, o vektorius P turi komponentus: , , n x \u003d 0. Normalūs ir šlyties įtempiai pasvirusioje vietoje išreiškiami kampu taip:
Mažiausia teigiama (4) lygties šaknis bus pažymėta . Nuo tg( X) yra periodinė funkcija su tašku , tada turime dvi viena kitai stačiakampes kryptis, kurios sudaro kampus ir 
su ašimi OU.Šios kryptys atitinka viena kitai statmenas pagrindines sritis (2 pav.).
Jei santykį (2) diferencijuosime su nuliu ir išvestinę prilyginsime nuliui, tada gauname (4) lygtį, kuri įrodo, kad pagrindiniai įtempiai yra ekstremalūs.
Norėdami rasti sričių, kuriose yra dideli šlyties įtempiai, orientaciją, išraiškos išvestinę prilygstame nuliui
iš kur gauname
|
Palyginę (4) ir (5) ryšius, matome, kad
Ši lygybė įmanoma, jei kampai ir skiriasi kampu . Vadinasi, zonų su ekstremaliais šlyties įtempiais kryptys skiriasi nuo pagrindinių sričių krypčių kampu (3 pav.).
3 pav. Ekstremalus šlyties įtempis
Ekstremalių šlyties įtempių vertės gaunamos pakeitus (5) į santykį (3), naudojant formules
.
Po tam tikrų transformacijų gauname
Lyginant šią išraišką su anksčiau gautomis pagrindinių įtempių reikšmėmis (2.21), kraštutinius šlyties įtempius išreiškiame pagrindiniais įtempiais.
Panašus pakeitimas į (2) lemia normalių įtempių išraišką srityse su
Gauti ryšiai leidžia atlikti kryptingai orientuotą konstrukcijų stiprumo analizę esant plokštumos įtempių būsenai.
ĮTEMPIMO TENZORIUS
Pirmiausia panagrinėkime plokštumos deformacijos atvejį (4 pav.). Tegul plokščias elementas MNPQ juda plokštumos viduje ir deformuojasi (keičia formą ir dydį). Paveiksle pažymėtos elemento taškų koordinatės prieš ir po deformacijos.
4 pav. Plokščia deformacija.
Pagal apibrėžimą santykinė tiesinė deformacija taške M ašies kryptimi Oi yra lygus
Iš pav. 4 seka
Turint omenyje MN=dx, mes gauname
Esant mažoms deformacijoms, kai , , galime nepaisyti kvadratinių terminų. Atsižvelgiant į apytikslį santykį
mugė x<<1, окончательно для малой деформации получим
Kampinė deformacija apibrėžiama kaip kampų ir (4) suma. Esant mažoms deformacijoms
Dėl kampinės deformacijos turime
Atlikdami panašius skaičiavimus bendruoju trimatės deformacijos atveju, turime devynis ryšius
Šis tenzorius visiškai nustato kietojo kūno deformuotą būseną. Jis turi tas pačias savybes kaip ir įtampos tenzorius. Simetrijos savybė tiesiogiai išplaukia iš kampinių deformacijų apibrėžimo. Pagrindinės vertės ir pagrindinės kryptys, taip pat kraštutinės kampinių deformacijų vertės ir jas atitinkančios kryptys nustatomos tais pačiais metodais, kaip ir įtempių tenzoriui.
Įtempimo tenzoriaus invariantai apibrėžiami analogiškomis formulėmis, o pirmasis mažojo deformacijos tenzoriaus invariantas turi aiškią fizinę reikšmę. Prieš deformaciją jo tūris lygus dV 0 =dxdydz. Jei neatsižvelgsime į šlyties deformacijas, kurios keičia formą, o ne tūrį, tada po deformacijos briaunos turės matmenis
(4 pav.), o jo tūris bus lygus
Santykinis tūrio pokytis
mažų deformacijų ribose bus
kuris sutampa su pirmojo invarianto apibrėžimu. Akivaizdu, kad tūrio pokytis yra fizinis dydis, kuris nepriklauso nuo koordinačių sistemos pasirinkimo.
Kaip ir įtempių tenzorius, deformacijos tenzorius gali būti suskaidytas į sferinį tenzorių ir deviatorių. Šiuo atveju pirmasis deviatoriaus invariantas lygus nuliui, t.y. deviatorius apibūdina kūno deformaciją nekeičiant jo tūrio.
