Logaritminių nelygybių sprendimas su logaritmu pagrinde. Viskas apie logaritmines nelygybes. Pavyzdžių analizė. Logaritminės nelygybės sprendimo algoritmas
Tarp visų veislių logaritminės nelygybės nelygybės su kintama baze tiriamos atskirai. Jie sprendžiami pagal specialią formulę, kuri kažkodėl retai pasakojama mokykloje. Pristatyme pateikiami matematikos egzamino C3 - 2014 užduočių sprendimai.
Parsisiųsti:
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite „Google“ paskyrą (paskyrą) ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
Logaritminių nelygybių, turinčių kintamąjį logaritmo pagrinde, sprendimas: metodai, metodai, lygiaverčiai perėjimai matematikos mokytojas MBOU 143 vidurinė mokykla Knyazkina TV
Tarp visų logaritminių nelygybių įvairovės nelygybės su kintama baze tiriamos atskirai. Juos išsprendžia speciali formulė, kuri dėl kažkokių priežasčių mokykloje retai pasakojama: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) ( k (x) - 1) ∨ 0 Vietoj žymimo langelio „∨“ galite uždėti bet kokį nelygybės ženklą: daugiau ar mažiau. Svarbiausia, kad abiejose nelygybėse ženklai būtų vienodi. Taigi mes atsikratome logaritmų ir problemą paverčiame racionalia nelygybe. Pastarąjį išspręsti yra daug lengviau, tačiau metant logaritmus gali atsirasti nereikalingų šaknų. Norint juos nutraukti, pakanka rasti priimtinų verčių diapazoną. Nepamirškite logaritmo ODZ! Viskas, kas susiję su leistinų verčių diapazonu, turi būti parašyta ir išspręsta atskirai: f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1. Šios keturios nelygybės sudaro sistemą ir turi būti tenkinamos vienu metu. Kai randamas galiojančių verčių diapazonas, belieka kirsti jį su sprendimu racionali nelygybė - ir atsakymas paruoštas.
Išspręskite nelygybę: sprendimas Pirmiausia parašykime logaritmo ODZ. Pirmosios dvi nelygybės įvykdomos automatiškai, o paskutinę teks užrašyti. Kadangi skaičiaus kvadratas yra lygus nuliui tada ir tik tuo atveju, jei pats skaičius yra lygus nuliui, turime: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. Pasirodo, kad logaritmo ODZ yra visi skaičiai, išskyrus nulį: x ∈ (−∞0) ∪ (0; + ∞). Dabar mes išsprendžiame pagrindinę nelygybę: mes atliekame perėjimą nuo logaritminės nelygybės prie racionalios. Pradinėje nelygybėje yra „mažiau“ ženklas, o tai reiškia, kad atsirandanti nelygybė taip pat turi būti su „mažiau“ ženklu.
Mes turime: (10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)
Logaritminių nelygybių transformavimas Pradinė nelygybė dažnai skiriasi nuo aukščiau nurodytos. Tai galima lengvai išspręsti pagal standartines darbo su logaritmais taisykles. Būtent: Bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su tam tikra baze; Logaritmų su tais pačiais pagrindais suma ir skirtumas gali būti pakeisti vienu logaritmu. Taip pat norėčiau jums priminti apie priimtinų verčių diapazoną. Kadangi pradinėje nelygybėje gali būti keli logaritmai, kiekvienam iš jų reikia rasti ODV. Taigi bendra logaritminių nelygybių sprendimo schema yra tokia: Raskite kiekvieno į nelygybę įtraukto logaritmo ODV; Pagal logaritmų pridėjimo ir atimimo formules sumažinkite nelygybę iki standartinės; Pagal aukščiau pateiktą schemą išspręskite susidariusią nelygybę.
Išspręskite nelygybę: sprendimas. Raskite pirmojo logaritmo apibrėžimo sritį (ODD): spręskite intervalų metodu. Raskite skaitiklio nulius: 3 x - 2 \u003d 0; x \u003d 2/3. Tada - vardiklio nuliai: x - 1 \u003d 0; x \u003d 1. Pažymime nulius ir ženklus koordinačių tiesėje:
Gauname x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Antrasis ODV logaritmas bus tas pats. Netikėkite - galite patikrinti. Dabar mes pertvarkome antrąjį logaritmą taip, kad pagrinde būtų 2: Kaip matote, trigubos bazėje ir priešais logaritmą buvo panaikintos. Gavo du logaritmus su ta pačia baze. Sumuokite juos: 2 žurnalas (x - 1) 2
(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)
Mus domina aibių susikirtimas, todėl mes pasirenkame abiejose rodyklėse užpildytus intervalus. Gauname: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - visi taškai yra pradurti. Atsakymas: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3)
Egzamino-2014 tipo C3 užduočių sprendimas
Išspręskite nelygybės sistemą Sprendimas. ODZ: 1) 2)
Išspręskite nelygybių sistemą 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + - - (tęsinys)
Išspręskite nelygybių sistemą 4) Bendras sprendimas: ir -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (tęsinys)
Išspręskite nelygybę (tęsinys) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4
Išspręskite nelygybės sprendimą. ODZ:
Nelygybės sprendimas (tęsinys)
Išspręskite nelygybės sprendimą. ODZ: -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2
Jie yra logaritmų viduje.
Pavyzdžiai:
\\ (\\ log_3\u2061x≥ \\ log_3\u20619 \\)
\\ (\\ log_3\u2061 ((x ^ 2-3))< \log_3{(2x)}\)
\\ (\\ log_ (x + 1) \u2061 ((x ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\)
\\ (\\ lg ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10≤11 \\ lg\u2061 ((x + 1)) \\)
Kaip išspręsti logaritmines nelygybes:
Bet kokia logaritminė nelygybė turi būti sumažinta iki formos \\ (\\ log_a\u2061 (f (x)) ˅ \\ log_a (\u2061g (x)) \\) (simbolis \\ (˅ \\) reiškia bet kurį iš). Ši forma leidžia atsikratyti logaritmų ir jų pagrindų, pereinant prie logaritmų išraiškų nelygybės, tai yra, į formą \\ (f (x) ˅ g (x) \\).
Tačiau atliekant šį perėjimą yra vienas labai svarbus subtilumas:
\\ (- \\) jei yra skaičius ir jis yra didesnis nei 1, nelygybės ženklas perėjimo metu lieka tas pats
\\ (- \\) jei bazė yra skaičius didesnis nei 0, bet mažesnis nei 1 (yra tarp nulio ir vieno), tai nelygybės ženklas turėtų būti pakeistas, t.
|
\\ (\\ log_2\u2061 ((8-x))<1\) Sprendimas: |
\\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5\u2061) \\) \\ ((2x-4) \\) ≥ \\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5) \\) \u2061 \\ (((x + vienas)) \\) Sprendimas: |
Labai svarbus! Bet kurioje nelygybėje pereiti nuo formos \\ (\\ log_a (\u2061f (x)) ˅ \\ log_a\u2061 (g (x)) \\) į išraiškų palyginimą pagal logaritmus galima tik tuo atveju, jei:
Pavyzdys ... Išspręskite nelygybę: \\ (\\ log \\) \\ (≤-1 \\)
Sprendimas:
|
\\ (\\ log \\) \\ (_ (\\ frac (1) (3)) \u2061 (\\ frac (3x-2) (2x-3)) \\)\(≤-1\) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \\ (\\ frac (3x-2) (2x-3) \\) \\ (\u003e 0 \\) |
|
|
\\ (\u2061 \\ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \\)\(≥\) \(0\) |
Atidarome skliaustus, duodame. |
|
\\ (\u2061 \\ frac (-3x + 7) (2x-3) \\) \\ (≥ \\) \\ (0 \\) |
Padauginame nelygybę iš \\ (- 1 \\), nepamirštant pakeisti palyginimo ženklo. |
|
\\ (\u2061 \\ frac (3x-7) (2x-3) \\) \\ (≤ \\) \\ (0 \\) |
|
|
\\ (\u2061 \\ frac (3 (x- \\ frac (7) (3))) (2 (x- \\ frac (3) (2))))\(≤\) \(0\) |
Sukonstruokime skaičių ašį ir pažymėkime joje taškus \\ (\\ frac (7) (3) \\) ir \\ (\\ frac (3) (2) \\). Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio taškas pradurtas, nepaisant to, kad nelygybė nėra griežta. Faktas yra tas, kad šis taškas nebus sprendimas, nes pakeitus jį nelygybe, jis mus nulems. |
|
|
Dabar, toje pačioje skaitinėje ašyje, mes įdėjome ODZ ir atsakydami užrašome intervalą, kuris patenka į ODZ. |
|
|
Užrašome galutinį atsakymą. |
Pavyzdys ... Išspręskite nelygybę: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)
Sprendimas:
|
\\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) |
Išrašykime ODZ. |
|
ODZ: \\ (x\u003e 0 \\) |
Eikime prie sprendimo. |
|
Sprendimas: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\) |
Prieš mus yra tipiška kvadratinės-logaritminės nelygybė. Mes tai darome. |
|
\\ (t \u003d \\ log_3\u2061x \\) |
Išplėskite kairę nelygybės pusę į. |
|
\\ (D \u003d 1 + 8 \u003d 9 \\) |
|
|
Dabar reikia grįžti prie pradinio kintamojo - x. Norėdami tai padaryti, eikite į tą patį sprendimą ir pakeiskite atvirkščiai. |
|
|
\\ (\\ kairė [\\ prasideda (surinkta) t\u003e 2 \\\\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\\\ \\ log_3\u2061x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Konvertuoti \\ (2 \u003d \\ log_3\u20619 \\), \\ (- 1 \u003d \\ log_3\u2061 \\ frac (1) (3) \\). |
|
\\ (\\ kairė [\\ begin (surinkta) \\ log_3\u2061x\u003e \\ log_39 \\\\ \\ log_3\u2061x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Pereiname prie argumentų palyginimo. Logaritmų bazės yra didesnės nei \\ (1 \\), todėl nelygybės ženklas nesikeičia. |
|
\\ (\\ kairė [\\ prasideda (surinkta) x\u003e 9 \\\\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Sujunkime nelygybės ir DHS sprendimą viename paveiksle. |
|
|
Užrašykime atsakymą. |
VARTOJIMO LOGARITMINIAI NETALYBIAI
Sečinas Michailas Aleksandrovičius
Mažoji mokslų akademija Kazachstano Respublikos studentams „Seeker“
MBOU „Sovetskajos 1-oji vidurinė mokykla“ 11 klasė, miestas. Sovetsky Sovetsky rajonas
Gunko Liudmila Dmitrievna, MBOU „Sovietinė mokykla №1“ mokytoja
Sovietinis rajonas
Darbo tikslas: logaritminių nelygybių C3 sprendimo nestandartiniais metodais tyrimo mechanizmas, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijos tema:
3) Išmokite spręsti specifines logaritmines nelygybes C3 naudodami nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Turinys
Įvadas ………………………………………………………………………… .4
1 skyrius. Pagrindai …………………………………………………… ... 5
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkimas ………………………… 7
2.1. Lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas …………… 7
2.2. Racionalizavimo metodas ………………………………………………… 15
2.3. Nestandartinis pakeitimas ……………… ........................................ .. ..... 22
2.4. Spąstų misijos ……………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………… 27 27
Išvada ………………………………………………………………… 30
Literatūra ……………………………………………………………………. 31
Įvadas
Aš einu 11 klasėje ir planuoju stoti į universitetą, kuriame matematika yra specializuotas dalykas. Todėl daug dirbu su C dalies problemomis. C3 užduotyje turite išspręsti nestandartinę nelygybę arba nelygybių sistemą, paprastai susijusią su logaritmais. Ruošdamasis egzaminui susidūriau su metodų ir metodų trūkumu sprendžiant egzaminų logaritmines nelygybes, siūlomas C3. Metodai, kurie yra nagrinėjami mokyklos programoje šia tema, nesudaro pagrindo spręsti C3 užduočių. Matematikos mokytoja pakvietė mane savarankiškai dirbti su C3 užduotimis, jai vadovaujant. Be to, mane domino klausimas: ar logaritmai pasitaiko mūsų gyvenime?
Atsižvelgiant į tai, tema buvo pasirinkta:
"Logaritminės nelygybės egzamine"
Darbo tikslas: C3 problemų sprendimo mechanizmo tyrimas naudojant nestandartinius metodus, atskleidžiant įdomius logaritmo faktus.
Studijos tema:
1) Raskite reikiamos informacijos apie nestandartinius metodus, kaip išspręsti logaritmines nelygybes.
2) Suraskite daugiau informacijos apie logaritmus.
3) Išmokite spręsti specifines C3 problemas naudodami nestandartinius metodus.
Rezultatai:
Praktinė reikšmė yra aparato išplėtimas sprendžiant C3 problemas. Ši medžiaga gali būti naudojama kai kuriose pamokose, būreliams, popamokinei matematikos veiklai.
Projekto produktas bus kolekcija „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“.
1 skyrius. Pagrindas
XVI amžiuje apytikslių skaičiavimų skaičius sparčiai augo, visų pirma astronomijoje. Instrumentų tobulinimas, planetų judesių tyrimas ir kiti darbai reikalavo kolosalių, kartais daug metų, skaičiavimų. Neįvykdytais skaičiavimais astronomijai gresia realus skendimas. Sunkumų kilo kitose srityse, pavyzdžiui, draudimo versle, norint sudaryti įvairias palūkanų vertes, reikėjo sudėtinių palūkanų lentelių. Pagrindinis sunkumas buvo dauginimas, daugybinių skaičių, ypač trigonometrinių dydžių, padalijimas.
Logaritmų atradimas buvo pagrįstas gerai žinomomis progresijų savybėmis iki XVI amžiaus pabaigos. Archimedas kalbėjo apie ryšį tarp geometrinės progresijos q, q2, q3, ... narių ir jų 1, 2, 3, ... rodiklių aritmetinės progresijos Psalmėje. Kita būtina sąlyga buvo laipsnio sąvokos išplėtimas į neigiamus ir dalinius rodiklius. Daugelis autorių atkreipė dėmesį į tai, kad šaknies dauginimas, dalijimasis, eksponavimas ir išskyrimas eksponentiškai atitinka aritmetinę - ta pačia tvarka - sudėjimą, atimimą, dauginimą ir dalybą.
Tai buvo logaritmo, kaip eksponento, idėja.
Logaritmų doktrinos raidos istorijoje praėjo keli etapai.
1 etapas
Logaritmus išrado ne vėliau kaip 1594 m., Nepriklausomai vienas nuo kito Škotijos baronas Napieras (1550–1617), o po dešimties metų - šveicarų mechanikas Burghi (1552–1632). Abu norėjo suteikti naują patogią aritmetinių skaičiavimų priemonę, nors prie šios problemos priartėjo skirtingai. Neperis kinematiškai išreiškė logaritminę funkciją ir taip pateko į naują funkcijų teorijos lauką. Burghi liko atsižvelgdamas į diskretiškas progresijas. Tačiau abiejų logaritmo apibrėžimas nėra panašus į šiuolaikinį. Terminas „logaritmas“ (logaritmas) priklauso Napieriui. Jis atsirado iš graikiškų žodžių junginio: logos - „santykis“ ir ariqmo - „skaičius“, kuris reiškė „santykių skaičius“. Iš pradžių Napieras vartojo kitą terminą: numeri dirbtiniai - „dirbtiniai skaičiai“, priešingai nei numeri natūralūs - „natūralūs skaičiai“.
1615 m., Kalbėdamasis su Henry Briggs (1561-1631), matematikos profesoriumi Gresch koledže Londone, Napieras pasiūlė nulį už vienybės logaritmą ir 100 už dešimties logaritmą, arba tas pats, tiesiog 1. Taip atsirado dešimtainiai logaritmai ir atspausdintos pirmosios logaritminės lentelės. Vėliau Briggso lenteles papildė olandų knygnešys ir matematikos mylėtojas Andrianas Flakkas (1600–1667). Napieras ir Briggsas, nors prie logaritmų atėjo anksčiau nei kas kitas, savo lenteles paskelbė vėliau nei kiti - 1620 m. Žurnalą ir žurnalo ženklus 1624 m. Pristatė I. Kepleris. Terminą „natūralusis logaritmas“ 1659 m. Įvedė Mengoli, vėliau 1668 m. - N. Mercator, o Londono mokytojas Johnas Speidelis pavadinimu „Naujieji logaritmai“ paskelbė skaičių nuo 1 iki 1000 natūralių logaritmų lenteles.
Rusų kalba pirmosios logaritminės lentelės buvo paskelbtos 1703 m. Bet visose logaritminėse lentelėse buvo padaryta klaidų skaičiuojant. Pirmosios lentelės be klaidų buvo paskelbtos 1857 m. Berlyne, jas apdorojo vokiečių matematikas K. Bremikeris (1804–1877).
2 etapas
Tolesnė logaritmų teorijos plėtra siejama su platesniu analitinės geometrijos ir begalinio skaičiavimo taikymu. Ryšys tarp lygiakraščio hiperbolio kvadratūros ir natūralaus logaritmo užmegztas tuo metu. Šio laikotarpio logaritmų teorija siejama su daugybės matematikų vardais.
Vokiečių matematikas, astronomas ir inžinierius Nikolausas Mercatoris kompozicijoje
"Logaritmtechnika" (1668) pateikia seriją, kuri skaido ln (x + 1)
x galios:
Ši išraiška tiksliai atitinka jo minties eigą, nors, žinoma, jis naudojo ne ženklus d, ..., o sudėtingesnius simbolius. Atradus logaritmines eilutes, pasikeitė logaritmų skaičiavimo technika: juos pradėta nustatyti naudojant begalines eilutes. Savo paskaitose „Elementari matematika aukščiausiu požiūriu“, perskaityta 1907–1908 m., F. Kleinas pasiūlė formulę naudoti kaip išeities tašką konstruojant logaritmų teoriją.
3 etapas
Logaritminės funkcijos kaip atvirkštinės funkcijos apibrėžimas
eksponentinis, logaritmas kaip tam tikros bazės laipsnio rodiklis
nebuvo iš karto suformuluotas. Leonardo Eulerio (1707–1783) kompozicija
Įžanga į begalinio mažiausio analizę (1748 m.) Tarnavo toliau
logaritminės funkcijos teorijos plėtra. Taigi,
praėjo 134 metai, kai pirmą kartą buvo įvesti logaritmai
(skaičiuojant nuo 1614 m.) prieš matematikams priėmus apibrėžimą
logaritmo samprata, kuri dabar yra mokyklos kurso pagrindas.
2 skyrius. Logaritminių nelygybių rinkimas
2.1. Ekvivalentiški perėjimai ir apibendrinto intervalo metodas.
Lygiaverčiai perėjimai
jei a\u003e 1
jei 0 <
а <
1
Apibendrinto intervalo metodas
Šis metodas yra pats universaliausias sprendžiant beveik bet kokio tipo nelygybę. Sprendimo schema atrodo taip:
1. Nelygybę nukreipkite į formą, kurioje funkcija 
ir dešinėje 0.
2. Raskite funkcijos sritį .
3. Raskite funkcijos nulius , tai yra išspręsti lygtį 
(o išspręsti lygtį paprastai yra lengviau nei išspręsti nelygybę).
4. Ant skaičių tiesės nubrėžkite funkcijos sritį ir nulius.
5. Nustatykite funkcijos požymius gautais intervalais.
6. Pasirinkite intervalus, kur funkcija paima reikiamus dydžius, ir užrašykite atsakymą.
1 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
iš kur
Šioms reikšmėms visos logaritmų ženklo išraiškos yra teigiamos.
Atsakymas:
2 pavyzdys.
Sprendimas:
1-oji būdu . ODZ apibrėžiama nelygybe x \u003e 3. Imant logaritmą tokiems x bazė 10, mes gauname
Paskutinę nelygybę buvo galima išspręsti naudojant skaidymo taisykles, t. lyginant veiksnius su nuliu. Tačiau šiuo atveju lengva nustatyti funkcijos pastovumo intervalus
todėl galite taikyti intervalų metodą.
Funkcija f(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ yra nepertraukiamas x \u003e 3 ir išnyksta taškuose x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. Taigi mes apibrėžiame funkcijos pastovumo intervalus f(x):
Atsakymas:
2 būdas . Taikykime intervalų metodo idėjas tiesiai į pirminę nelygybę.
Norėdami tai padaryti, prisiminkite, kad išraiškos a b - a c ir ( a - 1)(b - 1) turi vieną ženklą. Tada mūsų nelygybė x \u003e 3 yra lygi nelygybei
arba
Paskutinė nelygybė išsprendžiama intervalų metodu
Atsakymas:
3 pavyzdys.
Sprendimas:
Taikykime tarpų metodą
Atsakymas:
4 pavyzdys.
Sprendimas:
Nuo 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 visiems realiems xtada
Norėdami išspręsti antrąją nelygybę, naudojame intervalų metodą
Pagal pirmąją nelygybę mes padarome pakeitimą
tada pasiekiame nelygybę 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те ykurie tenkina nelygybę -0,5< y < 1.
Nuo kur
gauname nelygybę
kuris atliekamas su tais xuž kurį 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Dabar, atsižvelgdami į antrosios sistemos nelygybės sprendimą, mes pagaliau gauname
Atsakymas:
5 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemų visumai
arba
Taikykime intervalų arba
Atsakymas:
6 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai
Leisti būti
tada y > 0,
ir pirmoji nelygybė
sistema įgauna formą
arba plečiantis
kvadratinis trinomas pagal faktorius,
Taikant intervalų metodą paskutinei nelygybei,
matome, kad jos sprendimai tenkina sąlygą y \u003e 0 bus viskas y > 4.
Taigi pirminė nelygybė yra tolygi sistemai:
Taigi nelygybės sprendimai yra visi
2.2. Racionalizavimo metodas.
Anksčiau nelygybės racionalizavimo metodas nebuvo išspręstas, jis nebuvo žinomas. Tai „naujas modernus efektyvus būdas eksponentinėms ir logaritminėms nelygybėms spręsti“ (citata iš S. I. Kolesnikovos knygos)
Ir net jei mokytojas jį pažinojo, kilo baimė - ar egzaminuotojas jį pažįsta ir kodėl jam neduodama mokykloje? Buvo situacijų, kai mokytojas pasakė mokiniui: "Kur tu tai gavai? Sėsk - 2."
Dabar metodas plačiai populiarinamas. Ir ekspertams yra gairėssusietas su šiuo metodu, o išsamiausiuose modelių leidimuose ... sprendimas C3 naudoja šį metodą.
NUOSTABUS METODAS!
"Stebuklingas stalas"
Kituose šaltiniuose
jeigu a\u003e 1 ir b\u003e 1, tada registruokite a b\u003e 0 ir (a -1) (b -1)\u003e 0;
jeigu a\u003e 1 ir 0 jei 0<a<1 и b
>1, tada užregistruokite a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jei 0<a<1 и 00 ir (a -1) (b -1)\u003e 0. Minėti argumentai nėra sudėtingi, tačiau jie žymiai supaprastina logaritminių nelygybių sprendimą. 4 pavyzdys.
žurnalas x (x 2–3)<0
Sprendimas:
5 pavyzdys.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Sprendimas: 6 pavyzdys.
Norėdami išspręsti šią nelygybę, vietoj vardiklio rašome (x-1-1) (x-1), o vietoj skaitiklio - sandaugą (x-1) (x-3-9 + x). 7 pavyzdys.
8 pavyzdys.
2.3. Nestandartinis pakeitimas. 1 pavyzdys.
2 pavyzdys.
3 pavyzdys.
4 pavyzdys.
5 pavyzdys.
6 pavyzdys.
7 pavyzdys.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Padarykime pakaitalą y \u003d 3 x -1; tada ši nelygybė įgauna formą 4 žurnalas 0,25 Nes log 0,25 Atliekame pokytį t \u003d log 4 y ir gauname nelygybę t 2 -2t + ≥0, kurios sprendimas yra intervalai - Taigi, norėdami rasti y reikšmes, turime dviejų paprasčiausių nelygybių rinkinį Todėl pirminė nelygybė prilygsta dviejų eksponentinių nelygybių rinkimui, Pirmosios šios aibės nelygybės sprendimas yra intervalas 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ 8 pavyzdys.
Sprendimas:
Nelygybė yra tolygi sistemai Antrosios nelygybės, lemiančios DHS, sprendimas bus šių rinkinys x,
kam x > 0.
Norėdami išspręsti pirmąją nelygybę, mes atliekame pakeitimą Tada mes gauname nelygybę arba Paskutinės nelygybės sprendinių rinkinys randamas metodu intervalai: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mes gauname arba Daugelis iš jų xkurie patenkina paskutinę nelygybę priklauso ODZ ( x \u003e 0), todėl yra sistemos sprendimas taigi ir pirminė nelygybė. Atsakymas: 2.4. Užduotys su spąstais. 1 pavyzdys.
Sprendimas. ODZ nelygybės yra visos, atitinkančios 0 sąlygą 2 pavyzdys.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Atsakymas... (0; 0,5) U.
Atsakymas :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, tada perrašykite paskutinę nelygybę kaip 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Šio rinkinio sprendimas yra 0 intervalai<у≤2 и 8≤у<+.
tai yra visuma 
... Taigi pirminė nelygybė galioja visoms x reikšmėms nuo 0 intervalų<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Todėl visi x nuo 0 intervalo
Išvada
Iš didelės gausybės skirtingų švietimo šaltinių nebuvo lengva rasti specialių metodų C3 problemoms spręsti. Atlikdamas darbą galėjau ištirti nestandartinius metodus, kaip išspręsti kompleksines logaritmines nelygybes. Tai yra: lygiaverčiai perėjimai ir apibendrintas intervalų metodas, racionalizavimo metodas , nestandartinis pakeitimas , užduotys su spąstais ODZ. Šių metodų nėra mokyklos programoje.
Naudodamas skirtingus metodus, aš išsprendžiau 27 nelygybes, pasiūlytas egzamino C dalyje, būtent C3. Šios nelygybės su sprendimais metodais sudarė pagrindą kolekcijai „Logaritminės C3 nelygybės su sprendimais“, kuri tapo mano darbo projektiniu produktu. Hipotezė, kurią iškėliau projekto pradžioje, pasitvirtino: žinant šiuos metodus, C3 užduotis galima efektyviai išspręsti.
Be to, radau įdomių faktų apie logaritmus. Man buvo įdomu tai padaryti. Mano dizaino produktai bus naudingi tiek studentams, tiek mokytojams.
Išvados:
Taigi užsibrėžtas projekto tikslas buvo pasiektas, problema išspręsta. Aš gavau kuo išsamesnę ir įvairiapusiškesnę projektinės veiklos patirtį visais darbo etapais. Vykdant projektą, pagrindinis mano raidos poveikis buvo psichinei kompetencijai, veiklai, susijusiai su loginėmis protinėmis operacijomis, kūrybinės kompetencijos ugdymui, asmeninei iniciatyvai, atsakomybei, atkaklumui, veiklai.
Sėkmės garantas kuriant mokslinių tyrimų projektą Tapau: reikšminga mokyklos patirtis, gebėjimas išgauti informaciją iš įvairių šaltinių, patikrinti jos patikimumą, surikiuoti pagal svarbą.
Be tiesioginių matematikos dalykų žinių, jis išplėtė praktinius įgūdžius informatikos srityje, įgijo naujų žinių ir patirties psichologijos srityje, užmezgė ryšius su klasės draugais ir išmoko bendradarbiauti su suaugusiaisiais. Vykdant projekto veiklas, buvo ugdomi organizaciniai, intelektiniai ir komunikaciniai bendrojo lavinimo įgūdžiai ir gebėjimai.
Literatūra
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Nelygybių sistemos su vienu kintamuoju (tipinės užduotys C3).
2. Malkova A. G. Pasirengimas matematikos egzaminui.
3. Samarova SS Logaritminių nelygybių sprendimas.
4. Matematika. Mokomųjų darbų rinkinys, redaguotas A.L. Semjonovas ir I.V. Jaščenka. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 p. -
Mes apsvarstėme paprasčiausių logaritminių nelygybių ir nelygybių, kai fiksuojama logaritmo pagrindas, sprendimą paskutinėje pamokoje.
Bet ką daryti, jei logaritmo pagrinde yra kintamasis?
Tada ateis mums į pagalbą nelygybės racionalizavimas.Norėdami suprasti, kaip tai veikia, apsvarstykime, pavyzdžiui, nelygybę:
$$ \\ log_ (2x) x ^ 2\u003e \\ log_ (2x) x. $$
Kaip ir tikėtasi, pradėkime nuo ODZ.
ODZ
$$ \\ kairė [\\ begin (masyvas) (l) x\u003e 0, \\\\ 2x ≠ 1. \\ end (masyvas) \\ dešinė. $$
Nelygybės sprendimas
Pagalvokime, lyg nelygybę spręstume su fiksuota baze. Jei pagrindas yra didesnis nei vienas, mes atsikratome logaritmų, o nelygybės ženklas nesikeičia, jei jis yra mažesnis nei vienas, jis keičiasi.
Parašykime tai kaip sistemą:
$$ \\ kairė [\\ begin (masyvas) (l) \\ left \\ (\\ begin (masyvas) (l) 2x\u003e 1, \\\\ x ^ 2\u003e x; \\ end (masyvas) \\ dešinė. \\\\ \\ kairė \\ (\\ begin (masyvas) (l) 2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Dėl tolesnių argumentų visas dešiniųjų nelygybės puses perkeliame į kairę.
$$ \\ left [\\ begin (masyvas) (l) \\ left \\ (\\ begin (masyvas) (l) 2x-1\u003e 0, \\\\ x ^ 2 -x\u003e 0; \\ end (masyvas) \\ dešinė. \\ \\ \\ kairė \\ (\\ begin (masyvas) (l) 2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$
Ką mes padarėme? Paaiškėjo, kad mums reikia, kad posakiai „2x-1“ ir „x ^ 2 - x“ būtų teigiami arba neigiami tuo pačiu metu. Tas pats rezultatas bus gautas, jei išspręsime nelygybę:
$$ (2x-1) (x ^ 2 - x)\u003e 0. $$
Ši nelygybė, kaip ir pradinė sistema, yra teisinga, jei abu veiksniai yra teigiami arba neigiami. Pasirodo, kad galima pereiti nuo logaritminės nelygybės prie racionalios (atsižvelgiant į ODZ).
Suformuluokime logaritminių nelygybių racionalizavimo metodas $$ \\ log_ (f (x)) g (x) \\ vee \\ log_ (f (x)) h (x) \\ Kairė rodyklė (f (x) - 1) (g (x) -h (x)) \\ vee 0, $$ kur "\\ vee" yra bet koks nelygybės ženklas. (Ženklui „\u003e“ ką tik patikrinome formulės pagrįstumą. Likusioms dalims siūlau tai patikrinti patiems - taip ji bus geriau įsimenama).
Grįžkime prie nelygybės sprendimo. Išsiplėtę į skliaustus (kad būtų lengviau matyti funkcijos nulius), gauname
$$ (2x-1) x (x - 1)\u003e 0. $$
Tarpų metodas suteiks tokį vaizdą:
(Kadangi nelygybė yra griežta, o intervalų galai mums neįdomūs, jie nėra šešėliai.) Kaip matote, gauti intervalai tenkina ODZ. Gavau atsakymą: "(0, \\ frac (1) (2)) \\ cup (1, ∞)".
Antras pavyzdys. Kintamosios bazinės logaritminės nelygybės sprendimas
$$ \\ log_ (2-x) 3 \\ leqslant \\ log_ (2-x) x. $$
ODZ
$$ \\ kairė \\ (\\ begin (masyvas) (l) 2-x\u003e 0, \\\\ 2-x ≠ 1, \\\\ x\u003e 0. \\ end (masyvas) \\ right. $$
$$ \\ kairė \\ (\\ begin (masyvas) (l) x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \\ end (masyvas) \\ right. $$
Nelygybės sprendimas
Pagal taisyklę mes ką tik gavome logaritminių nelygybių racionalizavimas, gauname, kad ši nelygybė yra identiška (atsižvelgiant į ODD):
$$ (2-x -1) (3-x) \\ leqslant 0. $$
$$ (1-x) (3-x) \\ leqslant 0. $$
Sujungę šį sprendimą su ODZ, gauname atsakymą: "(1,2)".
Trečias pavyzdys. Trupmenos logaritmas
$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant -1. $$
ODZ
$$ \\ left \\ (\\ begin (masyvas) (l) \\ dfrac (4x + 5) (6-5x)\u003e 0, \\\\ x\u003e 0, \\\\ x ≠ 1. \\ end (masyvas) \\ right. $ $
Kadangi sistema yra gana sudėtinga, nedelsdami nubrėžkime skaičių ašies nelygybių sprendimą:
Taigi, ODZ: "(0,1) \\ puodelis \\ kairė (1, \\ frac (6) (5) \\ dešinė)".
Nelygybės sprendimas
Atvaizduokime „-1“ kaip logaritmą su pagrindu „x“.
$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant \\ log_x x ^ (- 1). $$
Per racionalizuojant logaritminę nelygybę gauname racionalią nelygybę:
$$ (x-1) \\ left (\\ frac (4x + 5) (6-5x) - \\ frac (1) (x) \\ right) \\ leqslant0, $$
$$ (x-1) \\ kairė (\\ frac (4x ^ 2 + 5x - 6 + 5x) (x (6-5x)) \\ dešinė) \\ leqslant0, $$
$$ (x-1) \\ left (\\ frac (2x ^ 2 + 5x - 3) (x (6-5x)) \\ right] \\ leqslant0. $$
