Така,.

За функцијата на единицата Хевисајд беше откриено дека. Врз основа на докажаната теорема, следува дека за функцијата, L-сликата ќе биде, т.е

Дефиниција 3.Континуирана или на делови континуирана функција d(t,l)аргумент т, во зависност од параметарот л, повикан во облик на игла, Ако:

Дефиниција 4.Нумеричка функција ѓ, дефиниран на некој линеарен простор Л, повикан функционалност.

Дозволете ни да го дефинираме множеството функции на кои ќе дејствуваат функционалните. Како оваа колекција, размислете за комплетот Ксите реални функции c(x), од кои секоја има континуирани изводи од сите редови и е конечна, односно исчезнува надвор од одредена ограничена област (своја за секоја од функциите c(x)). Ние ќе ги наречеме овие функции главен, и целиот нивен сет ДО - главен простор.

Дефиниција 5. Генерализирана функцијае која било линеарна континуирана функционалност дефинирана на основниот простор ДО.

Ајде да ја дешифрираме дефиницијата за генерализирана функција:

1) генерализирана функција ѓима функционалност на главните функции ts, односно секој tsодговара на (комплексен) број (ѓ, в);

2) функционалност ѓлинеарна, односно за кои било сложени броеви л 1 И л 2 и сите основни функции ts 1 И ts 2 ;

3) функционалност ѓконтинуирано, односно ако.

Дефиниција 6.Пулсот- единечен, краткорочен наплив на електрична струја или напон.

Дефиниција 7.Просечна густина- односот на телесната тежина мдо неговиот волумен В, тоа е .

Теорема 2.(Генерализирана теорема за средна вредност).

Ако f(t) е континуирана и е интегрирана функција на , и не го менува знакот на овој интервал, тогаш каде.

Теорема 3.Нека функцијата f(x) е ограничена и има најмногу конечен број точки на дисконтинуитет. Тогаш функцијата е антидеривативна за функцијата f(x) на интервалот и за кој било антидериват Ф(x) формулата е валидна.

Дефиниција 8.Множество од сите континуирани линеарни функционалности дефинирани на некој линеарен простор Е, формира линеарен простор. Тоа се вика простор конјугираатСо Е, и се означува Е * .

Дефиниција 9.Линеарен простор Е, во која е наведена некоја норма, се нарекува нормализиран простор.

Дефиниција 10.Низата се нарекува слабо конвергентен k, ако за секој односот е задоволен.

Теорема 4.Ако (x n ) е слабо конвергентна низа во нормализиран простор, тогаш постои константен број C така што .

ДЕЛТА ФУНКЦИЈА

Дефиниција. Делта функција

(2.1)

А генерализирана функција

Сл.1. Делта функција

Состојба на нормализација

, . (2.2)

а, како што е прикажано на слика 1, б

Паритет функцијаследи од (2.1)

. (2.2а)

, (2.2б)

како што следува од сл. 1, б.

Ортонормалност. Многу карактеристики

Својства на ФУНКЦИЈАТА ДЕЛТА

Филтрирање имот

добиваме

б, ние најдовме

,

, . (2.5)

Ортонормалност на основата

Во (2.5) претпоставуваме

, ,

. (2.7)

Изведена

,

, (2.8)

Доказ

Поедноставување на аргументот

Ако се корените на функцијата , Потоа

. (2.9)

Доказ

.

Во мало маало се шириме Тејлор серија

и се ограничиме на првите два термина

Ајде да користиме (2.8)

Ги споредуваме интеградите и добиваме (2.9).

Конволуција

Од дефиницијата за конволуција (1.22)

,

на добиваме

.

Ние веруваме , и наоѓаме

и (2.35а) даде

. (2.35б)

добиваме

. (2.36а)

и (2.36а) даде

. (2.36б)

. (2.37а)

добиваме

. (2.37б)

Функција за чешел

(2.53)

Моделира неограничена кристална решетка, антена и други периодични структури.

Со Фуриеовата трансформација, функцијата на чешел станува функција на чешел.

,

(2.8)

добиваме

. (2.54)

Својства

Дури и функција

,

периодични

,

период . Својството за филтрирање на делта функциите дава

. (2.55)

Фуриеова слика

За периодична функција со точка ЛФуриевата слика е изразена во однос на Фуриеовите коефициенти

, (1.47)

, (1.49)

За функцијата чешел со точка добиваме

,

каде се зема предвид филтрирањето на функцијата делта. Од (1.47) ја наоѓаме Фуриевата трансформација

. (2.56)

Фуриевата трансформација на функцијата на чешел е функцијата чешел.

Од (2.56), користејќи ја теоремата на Фурие за трансформација на скалирање на аргументот, добиваме

. (2.59)

Зголемување на периодот на функцијата на чешел ()го намалува периодот и ја зголемува амплитудата на неговиот спектар .

Фуриерска серија

Ние користиме

За , добиваме

ДЕЛТА ФУНКЦИЈА

Дефиниција. Делта функција

моделира точкасто нарушување и се дефинира како

(2.1)

Функцијата е еднаква на нула во сите точки, освен кога нејзиниот аргумент е еднаков на нула, и каде што функцијата е бесконечна, како што е прикажано на сл. 1, А. Поставувањето на вредностите во точките на аргументот е двосмислено поради неговото свртување кон бесконечност, така што функцијата делта е генерализирана функција , и бара дополнително дефинирање во форма на нормализација.

Сл.1. Делта функција

Состојба на нормализација

, . (2.2)

Површината под графикот на функцијата е еднаква на една во кој било интервал што содржи точка а, како што е прикажано на слика 1, б. Според тоа, делта функцијата моделира точкасто нарушување на единечната големина.

Паритет функцијаследи од (2.1)

. (2.2а)

Од симетрија за точка добиваме

, (2.2б)

како што следува од сл. 1, б.

Ортонормалност. Многу карактеристики

формира ортонормална бесконечно-димензионална основа.

Функцијата делта била користена во оптика од Кирхоф во 1882 година, а во електромагнетната теорија од Хевисајд во 90-тите години на 19 век.

Густав Кирхоф (1824–1887) Оливер Хевисајд (1850–1925)

Оливер Хевисајд, самоук научник, беше првиот што ги користеше векторите во физиката, разви векторска анализа, го воведе концептот на оператор и разви оперативна пресметка - метод на оператор за решавање диференцијални равенки. Тој ја воведе функцијата за префрлување, која подоцна беше именувана по него, и користеше точка импулсна функција - делта функција. Применети сложени броеви во теоријата на електрични кола. За прв пат тој ги запиша Максвеловите равенки во форма на 4 равенки наместо 20 равенки, како што имаше Максвел. Воведени термини: спроводливост, импеданса, индуктивност, електрет . Тој ја разви теоријата за телеграфска комуникација на долги растојанија и предвиде присуство на јоносфера во близина на Земјата - слојот Kennelly-Heaviside.

Математичката теорија на генерализирани функции беше развиена од Сергеј Лвович Соболев во 1936 година. Тој беше еден од основачите на академскиот град Новосибирск. По него е именуван Институтот за математика на СБ РАС.

Сергеј Лвович Соболев (1908-1989)

Својства на ФУНКЦИЈАТА ДЕЛТА

Филтрирање имот

За непречена функција без дисконтинуитети, од (2.1)

добиваме

Претпоставувајќи и користење на делта функцијата во форма на лимит во , прикажана на сл. 1, б, ние најдовме

,

Интеграцијата го дава својството за филтрирање во интегрална форма

, . (2.5)

Ортонормалност на основата

Во (2.5) претпоставуваме

, ,

и го добиваме условот за ортонормалност на основа со континуиран спектар

. (2.7)

Скалирање на аргументи

Изведена

,

, (2.8)

Доказ

Ние го интегрираме производот од делта функцијата со мазна функција во текот на интервалот, каде што:

каде што се прави замена на променлива и се користи својството за филтрирање. Споредувајќи ги почетните и завршните изрази се добива (2.8).

Поедноставување на аргументот

Ако се корените на функцијата , Потоа

. (2.9)

Доказ

Функцијата е ненула само во близина на точките, во овие точки е бесконечна.

За да ја пронајдеме тежината со која влегува бесконечноста, го интегрираме производот со мазна функција во текот на интервалот. Придонесите се ненула само во близина на точките

. , (2.10) .. (2.35а)

Теорема за поместување на аргументите на Фурие

и (2.35а) даде

. (2.35б)

Од (1.1) и интегрално претставување (2.24)

добиваме

. (2.36а)

Фуриеова теорема за фазното поместување на функцијата

и (2.36а) даде

. (2.36б)

Од (2.35а) и теоремата за диференцијација на Фурие

. (2.37а)

Од (2.36а) и Фуриеовата теорема за множење со аргументот

добиваме

. (2.37б)

Дирак делта функција

Делта функцијата (5-функција) беше воведена од англискиот физичар P. A. M. Dirac „од потреба“ кога го создаде математичкиот апарат на квантната механика. Математичарите „не го препознаа“ некое време, по што ја создадоа теоријата на генерализирани функции, чиј посебен случај е δ-функција.

Според (наивната) дефиниција, δ-функцијата е секаде нула освен една точка, но областа опфатена со оваа функција е еднаква на една:

Овие контрадикторни

барањата не можат да се задоволат со функцијата „обичен“ тип.

Зелдович Ја.Б. Виша математика за почетни физичари и техничари. -М.: Наука, 1982 година.

Всушност како диференцијал δхне е број (еднаков на нула), а фразата „бесконечно мала количина“ е тешко квалитативно да се разбере, правилно да се разбере δхне како број, туку како граница (процес), а δ-функцијата може правилно да се разбере и како граница (процес). На сл. 3.7.1 и 3.7.2 покажуваат неколку функции (во зависност од параметарот), чија граница е δ-функција. Има бесконечен број на такви функции - секој може да избере своја.

Δ-функцијата има многу корисни својства, особено како континуум аналог на симболот Кронекер δкк

спореди со

Друга неверојатна врска покажува како да се разликувате со интегрирање:

Каде 8 - дериват 8- функции.

Ориз. 3.7.1 - Две последователни приближувања на δ-

Дирак функционира. Прикажана карактеристика

Ориз. 3.7.2 - Две функции кои се во граница А ->∞ дадете δ-функции:

Конечно, забележете дека интервалот од δ-функција:

Каде во (x)- Heaviside функција,

чекор, со пауза во точка x = 0 .

Фазни транзиции

За да се зборува за фазни транзиции, неопходно е да се дефинира што се фази. Концептот на фази се среќава во многу појави, затоа, наместо да дадеме општа дефиниција (колку е поопшта, толку е поапстрактна и понејасна, како што треба), ќе дадеме неколку примери.

Прво, пример за нивната физика. За обичната, најчеста течност во нашите животи - водата, познати се три фази: течна, цврста (мраз) и гасовита (пареа). Секој од нив се карактеризира со свои вредности на параметрите. Важно е дека кога се менуваат надворешните услови, една фаза (мраз) се трансформира во друга (течност). Друг омилен предмет на теоретичарите се феромагнетите (железо, никел и многу други чисти метали и легури). На ниски температури (за никел подолу Т= 3600 СО) примерокот од никел е феромагнетен кога ќе се отстрани надворешното магнетно поле, тој останува магнетизиран, т.е. може да се користи како постојан магнет. На температури над Цова својство се губи кога надворешното магнетно поле е исклучено, тоа оди во парамагнетна состојба и не е постојан магнет. Кога температурата се менува, се случува премин - фазен премин - од една фаза во друга.

Да дадеме уште еден геометриски пример од теоријата на перколација. Случајно отсекување врски од мрежата, на крајот кога концентрацијата на преостанатите врски е Рќе биде помала од одредена вредност rs, веќе нема да може да се оди по решетката „од едниот до другиот крај“. Така, решетката од состојбата на проток - фазата "протекување" - ќе оди во состојба на фазата "непротекување".

Од овие примери е јасно дека за секој од разгледуваните системи постои таканаречен параметар на редот кој одредува во која фаза е системот. Во феромагнетизмот, параметарот на редот е магнетизација во нулта надворешно поле во теоријата на пробивање, тоа е поврзаноста на мрежата или, на пример, нејзината спроводливост или густината на бесконечно кластер.

Постојат различни типови на фазни транзиции. Фазните транзиции од првиот вид се такви транзиции кога во еден систем можат истовремено да постојат неколку фази. На пример, на температура од 0 ° Вмразот плови во вода. Ако системот е во термодинамичка рамнотежа (нема снабдување или отстранување на топлина), тогаш мразот не се топи или расте. За фазни транзиции од втор ред, истовремено постоење на неколку фази е невозможно. Парче никел е или во парамагнетна или во феромагнетна состојба. Мрежата со случајно исечени врски е поврзана или не.

Одлучувачки во создавањето на теоријата за фазни транзиции од втор ред, која беше иницирана од Л.Д. Ландау, имаше воведување на параметарот за нарачка (ќе го означиме G]) како карактеристична карактеристика на системската фаза. Во една од фазите, на пример, парамагнетна, r] = 0, а во другата, феромагнетна, Г ^ 0. За магнетни појави, параметарот на редот ] е магнетизацијата на системот.

За да се опишат фазните транзиции, се воведува одредена функција на параметри кои ја одредуваат состојбата на системот - G(n, T,...). Во физичките системи, ова е енергијата на Гибс. Во секој феномен (пробивање, мрежа на „мали светови“ итн.) оваа функција се одредува „независно“. Главното својство на оваа функција, првата претпоставка на Л.Д. Ландау - во состојба на рамнотежа, оваа функција зема минимална вредност:

Во физичките системи зборуваме за термодинамичка рамнотежа, во теоријата на сложени синџири можеме да зборуваме за стабилност. Забележете дека условот за минималност се одредува со менување на параметарот на редот.

Втората претпоставка на Л.Д. Ландау - за време на фазна трансформација n = 0. Според оваа претпоставка, функцијата b(n,T,...) во близина на преодната точка на фаза може да се прошири во серија во моќи од параметарот на редот n:

каде што n = 0 во една фаза (парамагнетна, ако зборуваме за магнетизам и некохерентна, ако зборуваме за мрежа) и n ^ 0 во друга (феромагнетна или поврзана).

Од состојбата

што ни дава две решенија

За T > Tcрешението n = 0 мора да се одржи, и за Т< Тс решение n ^ 0. Ова може да се задоволи ако за случајот T > Tcи n = 0 изберете А > 0 . Во овој случај, нема втор корен. И за таа прилика Т < Цмора да има второ решение, т.е. мора да се исполни А< 0. Така:

А > 0 во T > Tc, А< 0 во Т< Тс ,

Втората претпоставка на Ландау бара исполнување на A(Tc) = 0. Наједноставниот облик на функцијата A(T) што ги задоволува овие барања е

Таканаречениот критичен индекс и функцијата C(g],T)добива форма:

На сл. 3.8.1 ја покажува зависноста b(n, T) за T > TcИ Т< Тс .

Ориз. 3.8.1 - Графикони на функции на параметар G(n, Т) За T > Tc И Т< Тс

Постон Т., Стјуарт I. Теорија на катастрофи и нејзините примени. - М.: Мир, 1980 година.Гилмор Р. Применета теорија на катастрофи. - М.: Мир, 1984 година.

Квалитативна зависност на параметрите G(j], T)на параметарот наредба ] е прикажано на сл. 3.8.1 (G0 = 0). Зависноста на параметарот на редот ] од температурата е прикажана на сл. 3.8.2.

Понапредна теорија зема предвид дека кога T > Tcпараметарот за редослед ], иако е многу мал, не е точно еднаков на нула.

Премин на системот од држава со h = 0 во T > Tcво состојба со ч- 0 кога се намалува Ти достигнување вредности Т £ Тцможе да се сфати како губење на стабилноста на позицијата h = 0 во Т £ Тц. Неодамна се појави математичка теорија

со звучното име „Теорија на катастрофи“, која опишува многу различни феномени од една гледна точка. Од гледна точка на теоријата на катастрофа, транзицијата на фаза од втор ред е „катастрофа на склопување“.

Ориз. 3.8.2 - Зависност од параметарот на редот n од температура: при Т< Tc и во близина Tc параметар за нарачка n се однесува како функција на моќност, и кога Т> Tc n = 0

Федерална агенција за образование

Државна образовна институција за високо стручно образование
Државниот хуманитарен универзитет Вјатка

Математички факултет

Катедра за математичка анализа и методи на настава по математика

Конечна квалификациска работа

Дирак функција

Завршено од студент од петта година

Математички факултет Прокашева Е.В.

________________________________/потпис/

Научен советник:

Ончукова Л.В.

потпис/

Рецензент:

Виш предавач на Катедрата за математичка анализа и МММ Фалелеева С.А.

________________________________/ потпис/

Примен во одбрана во државната комисија за сертификација

"___" __________2005 Раководител. Одделот М.В. Крутихин

Вовед ................................................ .......................................................... ............. ........ 3

Поглавје 1. Дефиниција на функцијата Дирак.......................................... .......................... 4

1.1. Основни концепти................................................ ................................................... 4

1.2. Проблеми кои водат до дефиниција на функцијата Дирак делта…………10

1.2.1. Проблем со моментот………………………………………….10

1.2.2.Проблем за густината на материјална точка……………………………………………………………………

1.3. Математичка дефиниција на делта функцијата…………………………..16

Поглавје 2. Примена на функцијата Дирак………………………………………………………19

2.1. Дисконтинуирани функции и нивни изводи………………………………………….19

2.2. Наоѓање изводи на дисконтинуирани функции……………………………….21

Заклучок………………………………………………………………………………… 25

Вовед

Развојот на науката бара сè повеќе „висока математика“ за нејзино теоретско оправдување, чие едно од достигнувањата се генерализираните функции, особено функцијата Дирак. Во моментов, теоријата на генерализирани функции е релевантна во физиката и математиката, бидејќи има голем број извонредни својства кои ги прошируваат можностите на класичната математичка анализа, го прошируваат опсегот на проблеми што се разгледуваат, а исто така доведува до значителни поедноставувања во пресметките, автоматизирање на основните операции.

Цели на оваа работа:

1) проучување на концептот на функцијата Дирак;

2) да се разгледаат физичките и математичките пристапи за неговото дефинирање;

3) прикажете ја примената за наоѓање изводи на дисконтинуирани функции.

Цели на работата: да ги прикаже можностите за користење на функцијата делта во математиката и физиката.

Во трудот се претставени различни начини на дефинирање и воведување на функцијата Dirac delta, и нејзината примена во решавање на проблеми.

Поглавје 1

Дефиниција на функцијата Дирак

1.1. Основни концепти.

Во различни прашања од математичката анализа, терминот „функција“ треба да се разбере со различен степен на општост. Понекогаш се разгледуваат континуирани, но недиференцибилни функции, во други прашања треба да претпоставиме дека станува збор за функции кои се диференцијабилни еднаш или повеќе пати итн. Меѓутоа, во голем број случаи класичниот концепт на функција, дури и толкуван во најширока смисла, т.е. како произволно правило доделувањето на секоја вредност x од доменот на дефиниција на оваа функција одреден број y=f(x), се покажува како недоволен.

Еве еден важен пример: при примена на апаратурата за математичка анализа на одредени проблеми, мораме да се соочиме со ситуација кога одредени операции за анализа ќе се покажат како невозможни; на пример, функцијата што нема извод (во некои точки или дури и насекаде) не може да се разликува ако изводот се сфати како елементарна функција. Тешкотиите од овој тип би можеле да се избегнат ако се ограничиме само на разгледување на аналитичките функции. Меѓутоа, ваквото стеснување на опсегот на дозволените функции во многу случаи е многу непожелно. Потребата за понатамошно проширување на концептот на функција стана особено акутна.

Во 1930 година, за да ги реши проблемите на теоретската физика, најголемиот англиски теоретски физичар П. Дирак, еден од основачите на квантната механика, немал доволно класична математика, и тој вовел нов објект наречен „делта функција“, кој отишол далеку подалеку од класичната дефиниција на функцијата .

П. Дирак во својата книга „Принципи на квантната механика“ ја дефинира делта функцијата δ(x) на следниов начин:

Покрај тоа, условот е поставен:

Можете јасно да замислите график на функција слична на δ(x), како што е прикажано на слика 1. Колку повеќе

Оваа идеја е општо прифатена во физиката.

Треба да се нагласи дека δ(x) не е функција во вообичаена смисла, бидејќи оваа дефиниција подразбира некомпатибилни услови од гледна точка на класичната дефиниција на функција и интеграл:

Во класичната анализа не постои функција која ги има својствата пропишани од Дирак. Само неколку години подоцна во делата на С.Л. Соболев и Л. Шварц, делта функцијата го добила својот математички дизајн, но не како обична, туку како генерализирана функција.

Пред да продолжиме со разгледување на функцијата Дирак, ги воведуваме основните дефиниции и теореми кои ќе ни требаат:

Дефиниција 1. Слика на функција f(t) или L - слика на дадена функција f(t) е функција од сложена променлива p, дефинирана со еднаквоста:

Дефиниција 2.Функција ѓ(т) , дефинирано вака:

Ќе најдеме Л– слика на функцијата Heaviside:

Нека функцијата f(t) на t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

За да ја пронајдете сликата δ(x) користејќи помошна функција, разгледајте ја теоремата за одложување:

Теорема 1.АкоФ(стр) има слика на функцијатаѓ(т), односно сликата на функцијатаѓ(т- т 0 ), односно акоЛ{ ѓ(т)}= Ф(стр), Тоа

Доказ.

По дефиниција за слика имаме