Истражувачки проект „Cardano Formula: History and Application“. Решавање кубни равенки Карданоова теорема за решавање кубни равенки

ОПШТИНСКИ VII СТУДЕНТСКА НАУЧНА И ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦИЈА „МЛАДИ: КРЕАТИВНОСТ, ПРЕБАРУВАЊЕ, УСПЕХ“

Општинскиот округ Анински

Регионот Воронеж

Дел:МАТЕМАТИКА

Тема:„Формула Кардано: историја и примена“

Средно училиште МКОУ Аннинскаја бр. 3, 9 клас „Б“.

Николо Фонтана Тартаља (италијански: NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - италијански математичар.

Во принцип, историјата кажува дека формулата првично била откриена од Тартаља и му била предадена на Кардано во готова форма, но самиот Кардано го негираше овој факт, иако не ја негираше вмешаноста на Тартаља во создавањето на формулата.

Името „Формулата на Кардано“ е цврсто вкоренето зад формулата, во чест на научникот кој всушност ја објасни и ја претстави на јавноста.

1. Математички спорови во средниот век.

Споровите во средниот век секогаш претставувале интересен спектакл, привлекувајќи безделничани жители, млади и стари. Темите на дебатите беа разновидни, но секогаш научни. Во исто време, науката се сфаќаше како она што беше вклучено во списокот на таканаречените седум либерални уметности, што беше, се разбира, теологија. Најчести биле теолошките расправии. Се расправаа за се. На пример, за тоа дали глувчето да се поврзе со светиот дух ако јаде светата тајна, дали Кума Сибила можела да го предвиди раѓањето на Исус Христос, зошто браќата и сестрите на Спасителот не се канонизирани итн.

За спорот што требаше да се случи меѓу познатиот математичар и не помалку познатиот лекар, беа направени само најопшти нагаѓања, бидејќи никој навистина ништо не знаеше. Рекоа дека едниот го измамил другиот (не се знае кој точно и на кого). Речиси сите што се собраа на плоштадот имаа најнејасни идеи за математиката, но сите со нетрпение го очекуваа почетокот на дебатата. Секогаш беше интересно, можеше да му се смееш на губитникот, без разлика дали е во право или не.

Кога часовникот на градското собрание отчука пет, портите ширум се отворија и толпата се втурна во катедралата. Од двете страни на централната линија што го поврзува влезот во олтарот, во близина на двете странични столбови биле подигнати два високи амвони, наменети за дебатери. Присутните направија силен шум, не обрнувајќи внимание на фактот дека се во црквата. Конечно, пред железната решетка што го одвојуваше иконостасот од останатиот дел од централниот кораб, се појави градски плач во црна и виолетова наметка и прогласи: „Преславни граѓани на градот Милано! Сега ќе ви зборува познатиот математичар Николо Тартаља од Бренија. Неговиот противник требаше да биде математичарот и лекар Џеронимо Кардано. Николо Тартаља го обвинува Кардано за фактот дека овој во својата книга „Арсмања“ објавил метод за решавање на равенка од 3 степен, што му припаѓа, Тартаља. Сепак, самиот Кардано не можеше да дојде на дебатата и затоа го испрати својот ученик Луиге Ферари. Така, дебатата е прогласена за отворена, нејзините учесници се поканети во одделенијата. На говорницата лево од влезот се качи незгоден човек со закачен нос и виткана брада, а на спротивната говорница се искачи млад човек на дваесетина години со згодно самоуверено лице. Целото негово однесување одразуваше целосна увереност дека секој негов гест и секој збор ќе бидат прифатени со задоволство.

Тартаља започна.

Почитувани! Знаете дека пред 13 години успеав да најдам начин да решам равенка од 3 степен и потоа, користејќи го овој метод, го добив спорот со Фиори. Мојот метод го привлече вниманието на твојот сограѓанин Кардано, а тој ја искористи сета своја лукава уметност за да ја дознае тајната од мене. Тој не запре ниту од измама, ниту од отворен фалсификат. Знаете и дека пред 3 години во Нирнберг беше објавена книгата на Кардано за правилата на алгебрата, каде што мојот метод, толку бесрамно украден, беше достапен на сите. Ги предизвикав Кардано и неговиот ученик на натпревар. Предложив да решам 31 проблем, исто толку ми предложија и моите противници. Беше поставен рок за решавање на проблемите - 15 дена. За 7 дена успеав да ги решам повеќето проблеми кои беа составени од Кардано и Ферари. Ги испечатив и ги испратив по курир во Милано. Сепак, морав да чекам цели пет месеци додека не добијам одговори на моите задачи. Тие беа погрешно решени. Ова ми даде основа да ги предизвикам и двајцата на јавна дебата.

Тартаља замолкна. Младиот човек, гледајќи во несреќната Тартаља, рече:

Почитувани! Мојот достоен противник си дозволи, уште во првите зборови од својот говор, да искаже толку многу клевети против мене и против мојот учител; неговиот аргумент беше толку неоснован што тешко дека ќе ми требаше мака да го побијам првото и да ви ја покажам недоследноста на вториот. Како прво, за каква измама можеме да зборуваме ако Николо Тартаља целосно доброволно го сподели својот метод со нас двајцата? А вака Џеронимо Кардано пишува за улогата на мојот противник во откривањето на алгебарското правило. Тој вели дека не тој, Кардано, „туку мојот пријател Тартаља ја има честа да открие нешто толку убаво и неверојатно, што ја надминува човечката духовитост и сите таленти на човечкиот дух. Ова откритие е навистина небесен дар, толку прекрасен доказ за моќта на умот што го сфатил, што ништо не може да се смета за недостижно“.

Мојот противник ме обвини мене и мојот наставник дека наводно му дадовме погрешно решение за неговите проблеми. Но, како може коренот на равенката да биде неточен ако со замена во равенката и со извршување на сите дејства пропишани во оваа равенка, доаѓаме до идентитетот? И ако сенорот Тартаља сака да биде доследен, тогаш требаше да одговори на забелешката зошто ние, кои, според неговите зборови, го украдовме неговиот изум и го искористивме за да ги решиме предложените проблеми, добивме погрешно решение. Ние - мојот учител и јас - не го сметаме пронајдокот на Сињор Тартаља за мала важност. Овој изум е прекрасен. Згора на тоа, потпирајќи се во голема мера на тоа, најдов начин да решам равенка од 4 степен, а во Арсмања мојот учител зборува за ова. Што сака Сенор Тартаља од нас? Што се обидува да постигне со спорот?

Господа, господа“, извика Тартаља, „Ве молам да ме слушате!“ Не негирам дека мојот млад противник е многу силен по логика и елоквентност. Но, ова не може да замени вистински математички доказ. Проблемите што им ги дадов на Кардано и на Ферари беа погрешно решени, но и јас ќе го докажам тоа. Навистина, да земеме, на пример, равенка од решените. Познато е...

Во црквата се крена незамислива врева, целосно апсорбирајќи го крајот на реченицата што ја започна несреќниот математичар. Не му беше дозволено да продолжи. Толпата бараше тој да замолчи и Ферари да дојде на ред. Тартаља, гледајќи дека продолжувањето на расправијата е сосема бескорисно, набрзина се симна од говорницата и излезе низ северниот трем на плоштадот. Толпата диво го поздрави „победникот“ во спорот, Луиџи Ферари.

Така заврши овој спор кој продолжува да предизвикува се повеќе и повеќе нови спорови. Кој всушност го поседува методот за решавање на равенка од 3 степен? Сега зборуваме - Николо Тартаље. Тој го открил, а Кардано го измамил да го направи откритието. И ако сега формулата што ги претставува корените на равенката од 3 степен преку нејзините коефициенти ја наречеме формула Кардано, тогаш ова е историска неправда. Сепак, дали е тоа неправедно? Како да се пресмета степенот на учество на секој математичар во откритието? Можеби со текот на времето некој ќе може апсолутно точно да одговори на ова прашање, или можеби ќе остане мистерија...

1. Формула Кардано

Користејќи современ математички јазик и модерна симболика, изведбата на формулата на Кардано може да се најде со користење на следниве исклучително елементарни размислувања:

Да ни биде дадена општа равенка од 3 степен:

x 3 + секира 2 + bx + в = 0,

(1)

Кадеа, б, в – произволни реални броеви.

Да ја замениме променливата во равенката (1)X до нова променлива yспоред формулата:

x 3 +секира 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3г 2 + 3г+ a(y 2 2 г+од страна = y 3 y 3 + (б

тогаш равенката (1) ќе добие формаy 3 + ( б

Ако ја воведеме ознакатастр = б, q = ,

тогаш равенката ќе добие формаy 3 + py + q = 0.

Ова е познатата формула Кардано.

Корени на кубна равенкаy 3 + py + q = 0 зависат од дискриминаторот

Д=

АкоД> 0, тогашкубен полином има три различни реални корени.

АкоД< 0, то кубен полином има еден реален корен и два сложени корени (кои се сложени конјугирани).

АкоД = 0, има повеќекратен корен (или еден корен од мноштвото 2 и еден корен од мноштвото 1, од кои и двата се реални; или еден единствен реален корен од мноштвото 3).

2.4. Примери на универзални методи за решавање кубни равенки

Ајде да се обидеме да ја примениме Кардановата формула за решавање конкретни равенки.

Пример 1: x 3 +15 x+124 = 0

Евестр = 15; q = 124.

Одговор:X

Формула Кардано

Мостовој

Одеса

Споровите во средниот век секогаш претставувале интересен спектакл, привлекувајќи безделничани жители, млади и стари. Темите на дебатите беа разновидни, но секогаш научни. Во исто време, науката се сфаќаше како она што беше вклучено во списокот на таканаречените седум либерални уметности, што беше, се разбира, теологија. Најчести биле теолошките расправии. Се расправаа за се. На пример, за тоа дали глувчето да се поврзе со светиот дух ако јаде светата тајна, дали Кума Сибила можела да го предвиди раѓањето на Исус Христос, зошто браќата и сестрите на Спасителот не се канонизирани итн.

За спорот што требаше да се случи меѓу познатиот математичар и не помалку познатиот лекар, беа направени само најопшти нагаѓања, бидејќи никој навистина ништо не знаеше. Рекоа дека едниот го измамил другиот (не се знае кој точно и на кого). Речиси сите што се собраа на плоштадот имаа најнејасни идеи за математиката, но сите со нетрпение го очекуваа почетокот на дебатата. Секогаш беше интересно, можеше да му се смееш на губитникот, без разлика дали е во право или не.

Кога часовникот на градското собрание отчука пет, портите ширум се отворија и толпата се втурна во катедралата. Од двете страни на централната линија што го поврзува влезот во олтарот, во близина на двете странични столбови биле подигнати два високи амвони, наменети за дебатери. Присутните направија силен шум, не обрнувајќи внимание на фактот дека се во црквата. Конечно, пред железната решетка што го одвојуваше иконостасот од останатиот дел од централниот кораб, се појави градски плач во црна и виолетова наметка и прогласи: „Преславни граѓани на градот Милано! Сега ќе ви зборува познатиот математичар Николо Тартаља од Бренија. Неговиот противник требаше да биде математичарот и лекар Џеронимо Кардано. Николо Тартаља го обвинува Кардано дека е последниот што во својата книга „Ars magna“ објавил метод за решавање на равенка од 3 степен, што му припаѓа нему, Тартаља. Сепак, самиот Кардано не можеше да дојде на дебатата и затоа го испрати својот ученик Луиге Ферари. Така, дебатата е прогласена за отворена, нејзините учесници се поканети во одделенијата. На говорницата лево од влезот се качи незгоден човек со закачен нос и виткана брада, а на спротивната говорница се искачи млад човек на дваесетина години со згодно самоуверено лице. Целото негово однесување одразуваше целосна увереност дека секој негов гест и секој збор ќе бидат прифатени со задоволство.

Тартаља започна.

Почитувани! Знаете дека пред 13 години успеав да најдам начин да решам равенка од 3 степен и потоа, користејќи го овој метод, го добив спорот со Фиори. Мојот метод го привлече вниманието на твојот сограѓанин Кардано, а тој ја искористи сета своја лукава уметност за да ја дознае тајната од мене. Тој не запре ниту од измама, ниту од отворен фалсификат. Знаете и дека пред 3 години во Нирнберг беше објавена книгата на Кардано за правилата на алгебрата, каде што мојот метод, толку бесрамно украден, беше достапен на сите. Ги предизвикав Кардано и неговиот ученик на натпревар. Предложив да решам 31 проблем, исто толку ми предложија и моите противници. Беше поставен рок за решавање на проблемите - 15 дена. За 7 дена успеав да ги решам повеќето проблеми кои беа составени од Кардано и Ферари. Ги испечатив и ги испратив по курир во Милано. Сепак, морав да чекам цели пет месеци додека не добијам одговори на моите задачи. Тие беа погрешно решени. Ова ми даде основа да ги предизвикам и двајцата на јавна дебата.

Тартаља замолкна. Младиот човек, гледајќи во несреќната Тартаља, рече:

Почитувани! Мојот достоен противник си дозволи, уште во првите зборови од својот говор, да искаже толку многу клевети против мене и против мојот учител; неговиот аргумент беше толку неоснован што тешко дека ќе ми требаше мака да го побијам првото и да ви ја покажам недоследноста на вториот. Како прво, за каква измама можеме да зборуваме ако Николо Тартаља целосно доброволно го сподели својот метод со нас двајцата? А вака Џеронимо Кардано пишува за улогата на мојот противник во откривањето на алгебарското правило. Тој вели дека не тој, Кардано, „туку мојот пријател Тартаља ја има честа да открие нешто толку убаво и неверојатно, што ја надминува човечката духовитост и сите таленти на човечкиот дух. Ова откритие е навистина небесен дар, толку прекрасен доказ за моќта на умот што го сфатил, што ништо не може да се смета за недостижно за него“.

Мојот противник ме обвини мене и мојот наставник дека наводно му дадовме погрешно решение за неговите проблеми. Но, како може коренот на равенката да биде неточен ако со замена во равенката и со извршување на сите дејства пропишани во оваа равенка, доаѓаме до идентитетот? И ако сенорот Тартаља сака да биде доследен, тогаш требаше да одговори на забелешката зошто ние, кои крадевме, но според неговите зборови, неговиот изум и го искористивме за решавање на предложените проблеми, добивме погрешно решение. Ние - мојот учител и јас - не сметаме дека пронајдокот на Сињор Тартаља е од мала важност. Овој изум е прекрасен. Згора на тоа, потпирајќи се во голема мера на тоа, најдов начин да решам равенка од 4 степен, а во Арс Магна мојот учител зборува за ова. Што сака Сенор Тартаља од нас? Што се обидува да постигне со спорот?

Господа, господа“, извика Тартаља, „Ве молам да ме слушате!“ Не негирам дека мојот млад противник е многу силен по логика и елоквентност. Но, ова не може да замени вистински математички доказ. Проблемите што им ги дадов на Кардано и на Ферари не беа решени правилно, но и ова ќе го докажам. Навистина, да земеме, на пример, равенка од решените. Познато е...

Во црквата се крена незамислива врева, целосно апсорбирајќи го крајот на реченицата што ја започна несреќниот математичар. Не му беше дозволено да продолжи. Толпата бараше тој да замолчи и Ферари да дојде на ред. Тартаља, гледајќи дека продолжувањето на расправијата е сосема бескорисно, набрзина се симна од говорницата и излезе низ северниот трем на плоштадот. Толпата диво го поздрави „победникот“ во спорот, Луиџи Ферари.

...Вака заврши овој спор кој продолжува да предизвикува се повеќе нови расправии. Кој всушност го поседува методот за решавање на равенка од 3 степен? Сега зборуваме - Николо Тартаље. Тој го открил, а Кардано го измамил да го направи откритието. И ако сега формулата што ги претставува корените на равенката од 3 степен преку нејзините коефициенти ја наречеме формула Кардано, тогаш ова е историска неправда. Сепак, дали е тоа неправедно? Како да се пресмета степенот на учество на секој математичар во откритието? Можеби со текот на времето некој ќе може апсолутно точно да одговори на ова прашање, или можеби ќе остане мистерија...

Формула Кардано

Користејќи современ математички јазик и модерна симболика, изведбата на формулата на Кардано може да се најде со користење на следниве исклучително елементарни размислувања:

Да ни биде дадена општа равенка од 3 степен:

секира 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Ако ставите

, тогаш ја даваме равенката (1) на ум

(2) , .

Ајде да воведеме нова непозната Укористејќи еднаквост

.

Со воведување на овој израз во (2) , добиваме

(3) ,

оттука

Ако броителот и именителот на вториот член се помножат со изразот

и земете го предвид добиениот израз за uИзлегува дека е симетрично во однос на знаците „+“ и „-“, тогаш конечно добиваме .

(Производот на кубните радикали во последното равенство мора да биде еднаков стр).

Ова е познатата формула Кардано. Ако одите од yназад кон x,тогаш добиваме формула со која се одредува коренот на општа равенка од 3 степен.

Младиот човек кој толку безмилосно се однесуваше со Тартаља ја разбра математиката исто толку лесно како што ги разбираше правата на непретенциозна тајност. Ферари наоѓа начин да реши равенка од 4 степен. Кардано го вклучи овој метод во својата книга. Што е овој метод?

(1)

– општа равенка од 4 степен.(2)

Каде p, q, r– некои коефициенти во зависност од а, б, в, г, е. Лесно е да се види дека оваа равенка може да се запише на следниов начин:

(3)

Всушност, доволно е да се отворат заградите, а потоа сите термини кои содржат т, поништува и се враќаме на равенката (2) .

Ајде да избереме параметар ттака што десната страна на равенката (3) беше совршен квадрат во однос на y. Како што е познато, неопходен и доволен услов за тоа е исчезнувањето на дискриминаторот на коефициентите на триномот (во однос на y) стои на десната страна.

Спор

Формула Кардано

Споровите во средниот век секогаш претставувале интересен спектакл, привлекувајќи безделничани жители, млади и стари. Темите на дебатите беа разновидни, но секогаш научни. Во исто време, науката се сфаќаше како она што беше вклучено во списокот на таканаречените седум либерални уметности, што беше, се разбира, теологија. Најчести биле теолошките расправии. Се расправаа за се. На пример, за тоа дали глувчето да се поврзе со светиот дух ако јаде светата тајна, дали Кума Сибила можела да го предвиди раѓањето на Исус Христос, зошто браќата и сестрите на Спасителот не се канонизирани итн.
За спорот што требаше да се случи меѓу познатиот математичар и не помалку познатиот лекар, беа направени само најопшти нагаѓања, бидејќи никој навистина ништо не знаеше. Рекоа дека едниот го измамил другиот (не се знае кој точно и на кого). Речиси сите што се собраа на плоштадот имаа најнејасни идеи за математиката, но сите со нетрпение го очекуваа почетокот на дебатата. Секогаш беше интересно, можеше да му се смееш на губитникот, без разлика дали е во право или не.
Кога часовникот на градското собрание отчука пет, портите ширум се отворија и толпата се втурна во катедралата. Од двете страни на централната линија што го поврзува влезот во олтарот, во близина на двете странични столбови биле подигнати два високи амвони, наменети за дебатери. Присутните направија силен шум, не обрнувајќи внимание на фактот дека се во црквата. Конечно, пред железната решетка што го одвојуваше иконостасот од останатиот дел од централниот кораб, се појави градски плач во црна и виолетова наметка и прогласи: „Преславни граѓани на градот Милано! Сега ќе ви зборува познатиот математичар Николо Тартаља од Бренија. Неговиот противник требаше да биде математичарот и лекар Џеронимо Кардано. Николо Тартаља го обвинува Кардано дека е последниот што објавил во својата книга „Ars magna“ метод за решавање на равенката од трет степен што му припаѓала, Тартаља. Сепак, самиот Кардано не можеше да дојде на дебатата и затоа го испрати својот ученик Луиге Ферари. Така, дебатата е прогласена за отворена, нејзините учесници се поканети во одделенијата. На говорницата лево од влезот се качи незгоден човек со закачен нос и виткана брада, а на спротивната говорница се искачи млад човек на дваесетина години со згодно самоуверено лице. Целото негово однесување одразуваше целосна увереност дека секој негов гест и секој збор ќе бидат прифатени со задоволство.
Тартаља започна.

• Почитувани! Знаете дека пред 13 години успеав да најдам начин да решам равенка од 3 степен и потоа, користејќи го овој метод, го добив спорот со Фиори. Мојот метод го привлече вниманието на твојот сограѓанин Кардано, а тој ја искористи сета своја лукава уметност за да ја дознае тајната од мене. Тој не запре ниту од измама, ниту од отворен фалсификат. Знаете и дека пред 3 години во Нирнберг беше објавена книгата на Кардано за правилата на алгебрата, каде што мојот метод, толку бесрамно украден, беше достапен на сите. Ги предизвикав Кардано и неговиот ученик на натпревар. Предложив да решам 31 проблем, исто толку ми предложија и моите противници. Беше поставен рок за решавање на проблемите - 15 дена. За 7 дена успеав да ги решам повеќето проблеми кои беа составени од Кардано и Ферари. Ги испечатив и ги испратив по курир во Милано. Сепак, морав да чекам цели пет месеци додека не добијам одговори на моите задачи. Тие беа погрешно решени. Ова ми даде основа да ги предизвикам и двајцата на јавна дебата.

Тартаља замолкна. Младиот човек, гледајќи во несреќната Тартаља, рече:

• Почитувани! Мојот достоен противник си дозволи, уште во првите зборови од својот говор, да искаже толку многу клевети против мене и против мојот учител; неговиот аргумент беше толку неоснован што тешко дека ќе ми требаше мака да го побијам првото и да ви ја покажам недоследноста на вториот. Како прво, за каква измама можеме да зборуваме ако Николо Тартаља целосно доброволно го сподели својот метод со нас двајцата? А вака Џеронимо Кардано пишува за улогата на мојот противник во откривањето на алгебарското правило. Тој вели дека не тој, Кардано, „туку мојот пријател Тартаља ја има честа да открие нешто толку убаво и неверојатно, што ја надминува човечката духовитост и сите таленти на човечкиот дух. Ова откритие е навистина небесен дар, толку прекрасен доказ за моќта на умот што го сфатил, што ништо не може да се смета за недостижно“.
• Мојот противник ме обвини мене и мојот наставник дека наводно му дадовме погрешно решение за неговите проблеми. Но, како може коренот на равенката да биде неточен ако со замена во равенката и со извршување на сите дејства пропишани во оваа равенка, доаѓаме до идентитетот? И ако сенорот Тартаља сака да биде доследен, тогаш требаше да одговори на забелешката зошто ние, кои крадевме, но според неговите зборови, неговиот изум и го искористивме за решавање на предложените проблеми, добивме погрешно решение. Ние - мојот учител и јас - не го сметаме пронајдокот на Сињор Тартаља за мала важност. Овој изум е прекрасен. Згора на тоа, потпирајќи се во голема мера на тоа, најдов начин да решам равенка од 4 степен, а во Арс Магна мојот учител зборува за ова. Што сака од нас сенор Тартаља? Што се обидува да постигне со спорот?
• Господа, господа“, извика Тартаља, „Ве молам да ме слушате!“ Не негирам дека мојот млад противник е многу силен по логика и елоквентност. Но, ова не може да замени вистински математички доказ. Проблемите што им ги дадов на Кардано и на Ферари не беа решени правилно, но и ова ќе го докажам. Навистина, да земеме, на пример, равенка од решените. Познато е...

Во црквата се крена незамислива врева, целосно апсорбирајќи го крајот на реченицата што ја започна несреќниот математичар. Не му беше дозволено да продолжи. Толпата бараше тој да замолчи и Ферари да дојде на ред. Тартаља, гледајќи дека продолжувањето на расправијата е сосема бескорисно, набрзина се симна од говорницата и излезе низ северниот трем на плоштадот. Толпата диво го поздрави „победникот“ во спорот, Луиџи Ферари.
Така заврши овој спор кој продолжува да предизвикува се повеќе и повеќе нови спорови. Кој всушност го поседува методот за решавање на равенка од 3 степен? Сега зборуваме - Николо Тартаље. Тој го открил, а Кардано го измамил да го направи откритието. И ако сега формулата што ги претставува корените на равенката од 3 степен преку нејзините коефициенти ја наречеме формула Кардано, тогаш ова е историска неправда. Сепак, дали е тоа неправедно? Како да се пресмета степенот на учество на секој математичар во откритието? Можеби со текот на времето некој ќе може апсолутно точно да одговори на ова прашање, или можеби ќе остане мистерија...

Формула Кардано

Користејќи современ математички јазик и модерна симболика, изведбата на формулата на Кардано може да се најде со користење на следниве исклучително елементарни размислувања:
Да ни биде дадена општа равенка од 3 степен:

Ако ставиме , тогаш ја намалуваме равенката (1) на формата

, (2)

Каде, .
Ајде да воведеме нова непозната користејќи ја еднаквоста .
Воведувајќи го овој израз во (2), добиваме

. (3)

Од тука
,

оттука,
.

Ако броителот и именителот на вториот член се помножат со изразот и земете во предвид дека добиениот израз за излегува дека е симетричен во однос на знаците „“ и „“, тогаш конечно добиваме

.

(Производот на кубните радикали во последното равенство треба да биде еднаков ).
Ова е познатата формула Кардано. Ако одиме од повторно во , добиваме формула која го одредува коренот на општа равенка од 3 степен.
Младиот човек кој толку безмилосно се однесуваше со Тартаља ја разбра математиката исто толку лесно како што ги разбираше правата на непретенциозна тајност. Ферари наоѓа начин да реши равенка од 4 степен. Кардано го вклучи овој метод во својата книга. Што е овој метод?
Нека
- (1)

Општа равенка од 4 степен.
Ако поставиме , тогаш равенката (1) може да се сведе на формата

, (2)

каде , , се некои коефициенти во зависност од , , , , . Лесно е да се види дека оваа равенка може да се запише на следниов начин:

. (3)

Всушност, доволно е да се отворат заградите, потоа сите поими што содржат , се поништуваат еден со друг и се враќаме на равенката (2).
Дозволете ни да избереме параметар така што десната страна на равенката (3) е совршен квадрат во однос на . Како што е познато, неопходен и доволен услов за тоа е исчезнувањето на дискриминаторот на коефициентите на триномот (во однос на ) десно:
. (4)

Добивме целосна кубна равенка, која сега можеме да ја решиме. Ајде да најдеме некој од неговите корени и да го внесеме во равенката (3), сега тој ќе ја добие формата

.

Од тука
.

Ова е квадратна равенка. Со негово решавање, може да се најде коренот на равенката (2) и, следствено, (1).
4 месеци пред смртта, Кардано ја заврши својата автобиографија која интензивно ја пишуваше во текот на минатата година и која требаше да го сумира неговиот тежок живот. Чувствуваше дека смртта се приближува. Според некои извештаи, неговиот сопствен хороскоп ја поврзал неговата смрт со неговиот 75-ти роденден. Починал на 21 септември 1576 година, 2 дена пред годишнината. Постои верзија дека тој извршил самоубиство во очекување на непосредна смрт или дури и да го потврди својот хороскоп. Во секој случај, астрологот Кардано сериозно го сфатил хороскопот.

Забелешка за формулата на Кардано

Да ја анализираме формулата за решавање на равенката во реалниот регион. Значи,
.

Кубна равенканаречена равенка на формата

• секира 3 + bx 2 + cx +d = 0, (1)
• каде што a, b,c,d се константни коефициенти, а x е променлива.

Ќе го разгледаме случајот кога коефициентите се реални броеви.

Корени на кубната равенка. Наоѓање на корените (решение) на кубна равенка.

Се повикува бројот x коренот на кубната равенка(1), ако при замена, равенката (1) се претвори во вистинска еднаквост.

Кубната равенка има најмногу три корени (на сложено поле секогаш има три корени, земајќи ја предвид мноштвото). И секогаш има барем 1 (вистински)корен. Сите можни случаи на состав на коренот може лесно да се одредат со помош на знакот дискриминатор на кубната равенка , т.е.:

Δ= -4 б 3 г + б 2 в 2 - 4ак 3 + 18а бе це де - 27а 2 г 2 (Да, ова е дискриминатор на кубната равенка)

Значи, можни се само следниве 3 случаи:

• Δ > 0 - тогаш равенката има 3 различни корени. (За напредните - три различни вистински корени)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 вистински и пар сложени конјугирани корени)
• Δ = 0 - најмалку 2 корени од равенката се совпаѓаат. Оние. имаме работа или со равенка со 2 корени кои се совпаѓаат, и уште 1 различен од нив, или со равенка со 3 корени кои се совпаѓаат. (Во секој случај, сите корени се реални. А равенката има 3 корени кои одговараат ако и само ако нејзиниот и вториот извод се еднакви на нула)

Кардано формула за решавање кубни равенки (наоѓање корени).

Ова е формула за наоѓање на корените на канонската форма на кубната равенка. (Над полето сложени броеви).

Канонска формакубна равенка е равенка на формата

y 3 + py + q = 0 (2)

Секоја кубна равенка од формата (1) може да се намали на оваа форма користејќи ја следната замена:

Значи, да почнеме да ги пресметуваме корените. Да ги најдеме следните количини:

Дискриминантата на равенката (2) во овој случај е еднаква на

Дискриминаторот од првобитната равенка (1) ќе го има истиот знак како горенаведената дискриминаторка. Корените на равенката (2) се изразени на следниов начин:

Според тоа, ако Q>0, тогаш равенките (2) и (1) ќе имаат само 1 (вистински)корен, y 1 . Да го замениме со (3) и да најдеме x за равенката (1). (ако ве интересираат и имагинарни корени, тогаш едноставно пресметајте ги y 2 , y 3 и заменете ги во (3).

Ако П<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Ако Q =0, тогаш сите корени на равенките (1) и (2) се реални, а најмалку 2 корени од секоја равенка се совпаѓаат. Во овој случај имаме

• α = β, и
• y 1 =2α,
• y 2 = y 3 = - α.

Слично, заменуваме во (3) и го добиваме одговорот.

Тригонометриската формула на Виета за решавање на кубни равенки (пронаоѓање корени).

Оваа формула наоѓа решенија намалена кубна равенка, односно равенки на формата

x 3 + секира 2 + bx +c = 0 (4)

Очигледно, секоја равенка од типот (1) може да се намали во форма (4) едноставно со делење со коефициентот a.

Значи, алгоритмот за примена на оваа формула:

1. Пресметај

2. Пресметај

3. а) Ако S>0, тогаш пресметајте

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

И нашата равенка има 3 корени (вистински):

б) Ако С<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Ние пресметуваме

φ=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Тогаш единствениот корен (вистински): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3

За оние кои исто така се заинтересирани за имагинарни корени:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

КАДЕ:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - знак на x

в) Ако S=0, тогаш равенката има помалку од три различни решенија:

Ајде повторно да ја погледнеме формулата на коцката сума, но напишете ја поинаку:

Споредете го овој запис со равенката (13) и обидете се да воспоставите врска меѓу нив. Дури и со навестување не е лесно. Мораме да им оддадеме почит на математичарите од ренесансата кои ја решија кубната равенка без да знаат азбучна симболика. Ајде да го замениме во нашата формула:

Сега е јасно: за да се најде коренот на равенката (13), доволно е да се реши системот на равенки

или

и земете како износ и . Со замена на , овој систем се сведува на многу едноставна форма:

Потоа можете да дејствувате на различни начини, но сите „патишта“ ќе доведат до истата квадратна равенка. На пример, според теоремата на Виета, збирот на корените на намалената квадратна равенка е еднаков на коефициентот со знак минус, а производот е еднаков на слободниот член. Следи дека и се корените на равенката

Ајде да ги запишеме овие корени:

Променливите и се еднакви на кубните корени на и , а саканото решение на кубната равенка (13) е збирот на овие корени:

.

Оваа формула е позната како Формула Кардано.

Тригонометриско решение

со замена се сведува на „нецелосна“ форма

, , . (14)

Корените , , на „нецелосната“ кубна равенка (14) се еднакви

, ,

, ,

.

Нека е валидна „нецелосната“ кубна равенка (14).

а) Ако (случајот „нередуциран“), тогаш

,

,

.

(б) Ако , , тогаш

, .

(в) Ако , , тогаш

, ,

, .

Во сите случаи, се зема вистинската вредност на коренот на коцката.

Биквадратна равенка

Алгебарска равенка од четврти степен.

каде што a, b, c се некои реални броеви, повикани биквадратна равенка. Со замена равенката се сведува на квадратна равенка проследено со решавање на две биномни равенки и ( и се корените на соодветната квадратна равенка).

Ако и , тогаш биквадратната равенка има четири реални корени:

Ако, ), тогаш биквадратната равенка има два реални корени и имагинарни конјугирани корени:

.

Ако и , тогаш биквадратната равенка има четири чисто имагинарни парни конјугирани корени:

, .

Равенки од четврти степен

Во 16 век е пронајден метод за решавање равенки од четврти степен. Лудовико Ферари, ученик на Џероламо Кардано. Така се вика - методот. Ферари.

Како и при решавање на кубни и квадратни равенки, во равенка од четврти степен

може да се ослободите од терминот со замена. Затоа, ќе претпоставиме дека коефициентот на коцката на непознатото е нула:

Идејата на Ферари беше да ја претстави равенката во форма , каде што левата страна е квадратот на изразот , а десната страна е квадратот на линеарна равенка од , чии коефициенти зависат од . После ова, останува да се решат две квадратни равенки: и . Се разбира, таквото претставување е можно само со посебен избор на параметарот. Удобно е да се земе во форма, тогаш равенката ќе се препише на следниов начин:

Десната страна на оваа равенка е квадратниот трином на . Ќе биде целосен квадрат кога неговата дискриминаторна е еднаква на нула, т.е.

, или

Оваа равенка се нарекува растворлив (т.е. „попустливо“). Тој е релативно кубен, а формулата на Кардано ни овозможува да најдеме некои од неговите корени. Кога десната страна од равенката (15) ќе добие форма

,

а самата равенка се сведува на две квадратни:

.

Нивните корени ги даваат сите решенија на првобитната равенка.

На пример, да ја решиме равенката

Тука ќе биде попогодно да се користат не готови формули, туку самата идеја за решението. Ајде да ја преработиме равенката во форма

и додадете го изразот на двете страни така што на левата страна се формира целосен квадрат:

Сега да ја изедначиме дискриминаторот на десната страна на равенката со нула:

или, по поедноставување,

Еден од корените на добиената равенка може да се погоди со сортирање на делителите на слободниот член: . По замена на оваа вредност ја добиваме равенката

каде . Корените на добиените квадратни равенки се И . Се разбира, во општиот случај може да се добијат и сложени корени.