Видови медијани. Средина на триаголник. Теореми поврзани со медијани на триаголник. Формули за наоѓање медијани. Собирање и користење на лични информации

Средината на триаголникот, исто како и висината, служи како графички параметар кој го одредува целиот триаголник, вредноста на неговите страни и агли. Три вредности: медијани, висини и симетрали - ова е како баркод на производ, нашата задача е едноставно да можеме да го броиме.

Дефиниција

Медијаната е линискиот сегмент што ги поврзува висината и средината на спротивната страна. Триаголникот има три темиња, што значи дека има три средни. Медијаните не секогаш се совпаѓаат со височините или симетралите. Најчесто тоа се посебни сегменти.

Својства на медијани

Средината на рамнокрак триаголник нацртан до основата се совпаѓа со надморската височина и симетралата. Во рамностран триаголник, сите медијани се совпаѓаат со симетралите и надморските височини.
Сите посредини на триаголник се сечат во една точка.
Средина го дели триаголникот на два триаголници со еднаква површина, а три медијални делат триаголник на 6 триаголници со еднаква површина.

Триаголниците чии плоштини се еднакви се нарекуваат еднакви плоштини.

Ориз. 1. Три медијани формираат 6 еднакви триаголници.

Пресечната точка на медијаните ги дели во сооднос 2:1, сметајќи од темето.
Средината нацртана до хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаква на половина од хипотенузата.

Задачи

Сите овие својства се лесни за паметење, тие лесно се консолидираат во пракса. За подобро да ја разбереме темата, да решиме неколку проблеми:

Во правоаголен триаголник се познати катети кои се еднакви на a=3 и b=4. Најдете ја вредноста на медијаната m нацртана на хипотенузата c.

Ориз. 2. Цртеж за проблемот.

За да ја најдеме вредноста на медијаната, треба да ја најдеме хипотенузата, бидејќи медијаната извлечена до хипотенузата е еднаква на половина од неа. Хипотенуза преку Питагоровата теорема: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Да ја најдеме вредноста на медијаната: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - добиениот број е вредноста на медијаната.

Медијаните во триаголникот не се еднакви. Затоа, императив е да се замисли точно која вредност треба да се најде.

Познати се вредностите на страните во триаголник: a=7; b=8; c=9. Најдете ја вредноста на медијаната спуштена на страната b.

Ориз. 3. Цртеж за проблемот.

За да го решите овој проблем, треба да користите една од трите формули за да ја пронајдете средината по страните на триаголникот:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Како што можете да видите, главната работа овде е да се запамети коефициентот на заградите и знаците на страните. Знаците најлесно се паметат - секогаш се одзема страната до која е спуштена медијаната. Во нашиот случај тоа е b, но може да биде било кое друго.

Ајде да ги замениме вредностите во формулата и да ја најдеме средната вредност: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - да го оставиме резултатот како корен.

Во рамнокрак триаголник, медијаната што е повлечена до основата е 8, а самата основа е 6. Заедно со преостанатите два, оваа средина го дели триаголникот на 6 триаголници. Најдете ја областа на секоја од нив.

Медијаните делат триаголник на шест еднакви области. Ова значи дека областите на малите триаголници ќе бидат еднакви една со друга. Доволно е да се најде плоштината на поголемата и да се подели со 6.

Со оглед на средината навлечена до основата, во рамнокрак триаголник тоа се симетралата и висината. Тоа значи дека се познати основата и висината на триаголникот. Можете да ја најдете областа.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Површина на секој од малите триаголници: $$(24\over6)=4$$

Што научивме?

Научивме што е медијана. Ги утврдивме својствата на медијаната и најдовме решенија за типични проблеми. Зборувавме за основните грешки и сфативме како брзо и лесно да ја запомниме формулата за наоѓање на медијаната низ страните на триаголникот.

Тест на темата

Рејтинг на статијата

Просечна оцена: 4.7. Вкупно добиени оценки: 75.

Својства на акорди

1. Дијаметарот (радиусот), нормален на акордот, ја дели оваа акорд и двата лака потиснати од него на половина. Обратна теорема е исто така вистинита: ако дијаметарот (радиусот) пресече акорд, тогаш тој е нормален на оваа акорд.

2. Лаците содржани помеѓу паралелните акорди се еднакви.

3. Ако два акорда од круг, АБИ ЦДсе сечат во точка М, тогаш производот на отсечки од една акорд е еднаков на производот на отсечки од друга акорд: AM MB = CM MD.

Својства на круг

1. Правата може да нема заеднички точки со круг; имаат една заедничка точка со кругот ( тангента); има две заеднички точки со неа ( секант).

2. Преку три точки кои не лежат на иста линија, можете да нацртате круг, и тоа само една.

3. Точката на допир на два круга лежи на линијата што ги поврзува нивните центри.

Тангента и секантна теорема

Ако тангента и секанта се нацртани од точка што лежи надвор од кругот, тогаш квадратот на должината на тангентата е еднаков на производот на секантата и нејзиниот надворешен дел: MC 2 = MA MB.

Секантна теорема

Ако се извлечат две секанти од точка што лежи надвор од кругот, тогаш производот на едната секанта и нејзиниот надворешен дел е еднаков на производот на другата секанта и нејзиниот надворешен дел. MA MB = MC MD.

Агли во круг

ЦентралноАгол во круг е рамен агол со теме во центарот.

Се нарекува агол чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат оваа кружница впишан агол.

Било кои две точки на кругот го делат на два дела. Секој од овие делови се нарекува лаккругови. Мерката на лакот може да биде мерка на неговиот соодветен централен агол.

Лакот се нарекува полукруг,ако сегментот што ги поврзува неговите краеви е со дијаметар.

Својства на агли поврзани со круг

1. Впишан агол е или еднаков на половина од соодветниот централен агол или надополнува половина од овој агол до 180°.

2. Аглите впишани во еден круг и потпираат на истиот лак се еднакви.

3. Впишаниот агол подвижен од дијаметарот е 90°.

5. Аголот формиран од тангента на круг и секант извлечен низ допирната точка е еднаков на половина од лакот содржан меѓу неговите страни.

Должини и области

1. Обем Врадиус Рпресметано со формулата: C= 2 Р.

2. Површина Срадиус на кругот Рпресметано со формулата: S = R 2.

3. Должина на кружен лак Лрадиус Рсо централниот агол измерен во радијани, пресметан со формулата: L = R .

4. Површина Срадиус сектори Рсо централен агол во радијани се пресметува со формулата: S = R 2 .

Впишани и ограничени кругови

Круг и триаголник

· центарот на впишаниот круг е точката на пресек на симетралите на триаголникот, неговиот радиус рпресметано со формулата:

r =, Каде Се плоштината на триаголникот и - полупериметар;

· Центарот на опишаната кружница е точката на пресек на симетралите нормални, неговиот радиус R се пресметува со формулата:

R= , R = ;

· центарот на кругот опфатен со правоаголен триаголник лежи на средината на хипотенузата;

· центрите на ограничените и впишаните кругови на триаголник се совпаѓаат само ако овој триаголник е правилен.

Круг и четириаголници

· Круг може да се опише околу конвексен четириаголник ако и само ако збирот на неговите внатрешни спротивни агли е еднаков на 180°:

180°;

круг може да се впише во четириаголник ако и само ако збировите на неговите спротивни страни се еднакви a + c = b + d;

паралелограм може да се опише како круг ако и само ако е правоаголник;

· може да се опише круг околу трапез ако и само ако овој трапез е рамнокрак; центарот на кругот лежи на пресекот на оската на симетрија на трапезот со нормалната симетрала на страната;

· круг може да се впише во паралелограм ако и само ако е ромб.

Триаголници

Својства на медијана на триаголник

1. Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква плоштина.

2. Средините на триаголникот се сечат во една точка, што ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува Центар на гравитацијатријаголник.

3. Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.

Својства на симетралите на триаголниците

1. Симетралата на аголот е локус на точки што се еднакво оддалечени од страните на овој агол.

2. Симетралата на внатрешниот агол на триаголникот ја дели спротивната страна на отсечки пропорционални на соседните страни: .

3. Точката на пресек на симетралите на триаголникот е центарот на кругот впишан во овој триаголник.

Својства на височините на триаголниците

1. Во правоаголен триаголник, висината извлечена од темето на правиот агол го дели на два триаголници слични на првобитниот.

2. Во остар триаголник, неговите две височини отсекуваат слични триаголници од него.

Средина е отсечка извлечена од темето на триаголникот до средината на спротивната страна, односно ја дели на половина во точката на пресек. Точката во која средната ја пресекува страната спроти темето од кое излегува се нарекува основа. Секоја средина на триаголникот минува низ една точка, наречена пресечна точка. Формулата за нејзината должина може да се изрази на неколку начини.

Формули за изразување на должината на медијаната

Често во задачите по геометрија, учениците треба да се справат со сегмент како што е средната на триаголник. Формулата за нејзината должина е изразена во однос на страните:

каде a, b и c се страните. Покрај тоа, c е страната на која паѓа медијаната. Вака изгледа наједноставната формула. Посреднините на триаголникот понекогаш се потребни за помошни пресметки. Постојат и други формули.

Ако при пресметувањето се познати две страни на триаголник и одреден агол α лоциран меѓу нив, тогаш должината на средината на триаголникот, спуштена на третата страна, ќе се изрази на следниов начин.

Основни својства

Сите медијани имаат една заедничка точка на пресек О и се делат со неа во однос два спрема еден, ако се бројат од темето. Оваа точка се нарекува центар на гравитација на триаголникот.
Средината го дели триаголникот на два други чии плоштини се еднакви. Таквите триаголници се нарекуваат еднаква површина.
Ако ги нацртате сите медијани, триаголникот ќе се подели на 6 еднакви фигури, кои исто така ќе бидат триаголници.
Ако сите три страни на триаголникот се еднакви, тогаш секоја од средини ќе биде и висина и симетрала, односно нормална на страната на која е нацртан и го преполовува аголот од кој излегува.
Во рамнокрак триаголник, медијаната извлечена од темето што е спротивна на страната што не е еднаква на ниту една друга, исто така ќе биде висината и симетралата. Медијаните отфрлени од другите темиња се еднакви. Ова е исто така неопходен и доволен услов за рамнокрак.
Ако триаголник е основата на правилна пирамида, тогаш висината падната на оваа основа се проектира до точката на пресек на сите медијани.

Во правоаголен триаголник, средната средна до најдолгата страна е еднаква на половина од нејзината должина.
Нека O е пресечната точка на медијаните на триаголникот. Формулата подолу ќе биде точна за која било точка М.

Средината на триаголникот има друго својство. Формулата за квадратот на неговата должина низ квадратите на страните е претставена подолу.

Својства на страните на кои е нацртана медијаната

Ако поврзете било кои две точки на вкрстување на средните страни со страните на кои се испуштени, тогаш добиениот сегмент ќе биде средната линија на триаголникот и едната половина од страната на триаголникот со која нема заеднички точки.
На истиот круг лежат основите на надморските височини и средини во триаголник, како и средните точки на отсечките што ги поврзуваат темињата на триаголникот со точката на пресек на височините.

Како заклучок, логично е да се каже дека еден од најважните сегменти е медијаната на триаголникот. Неговата формула може да се користи за да се најдат должините на другите страни.

Средина на триаголник- ова е отсечка што го поврзува темето на триаголникот со средината на спротивната страна на овој триаголник.

Својства на медијана на триаголник

1. Средината го дели триаголникот на два триаголници со еднаква плоштина.

2. Средините на триаголникот се сечат во една точка, што ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темето. Оваа точка се нарекува центар на гравитација на триаголникот (центроид).

3. Целиот триаголник е поделен со неговите средни на шест еднакви триаголници.

Должина на медијаната повлечена на страна: (докажување со градење до паралелограм и користење на еднаквоста во паралелограм од двојно поголема сума од квадратите на страните и збирот на квадратите на дијагоналите )

Т1.Трите посредини на триаголникот се сечат во една точка М, која ја дели секоја од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот. Дадени: ∆ ABC, SS 1, AA 1, ББ 1 - медијана
∆ABC. Докажи: и

D-vo: Нека M е пресечната точка на медијаните CC 1, AA 1 на триаголникот ABC. Да означиме A 2 - средината на сегментот AM и C 2 - средината на сегментот CM. Тогаш A 2 C 2 е средната линија на триаголникот АМС.Средства, A 2 C 2|| AC

и A 2 C 2 = 0,5 * AC. СО 1 А 1 - средната линија на триаголникот ABC. Така А 1 СО 1 || AC и A 1 СО 1 = 0,5 * AC.

Четириаголник A 2 C 1 A 1 C 2- паралелограм, бидејќи неговите спротивни страни се А 1 СО 1 И A 2 C 2еднакви и паралелни. Оттука, A 2 M =М-р 1 И C 2 M = MC 1 . Ова значи дека точките А 2И Мподелете ја медијаната АА 2на три еднакви делови, т.е. AM = 2MA 2. Исто како CM = 2MC 1 . Значи, точката М на пресекот на две медијани АА 2И CC 2триаголникот ABC го дели секој од нив во сооднос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот. На сосема сличен начин се докажува дека пресечната точка на медијаните AA 1 и BB 1 ја дели секоја од нив во однос 2:1, сметајќи од темињата на триаголникот.

На средната AA 1 таква точка е точката М, според тоа, точка Ми тука е точката на пресек на медијаните AA 1 и BB 1.

Така, n

Т2.Докажи дека отсечките што го поврзуваат центроидот со темињата на триаголникот го делат на три еднакви делови. Дадено: ∆ABC, - неговата средина.

Доказ: S AMB =S BMC =S AMC .Доказ. ВО,тие имаат едно заедничко. бидејќи нивните основи се еднакви и висината извлечена од темето М,тие имаат едно заедничко. Потоа

На сличен начин се докажува дека S AMB = S AMC .Така, S AMB = S AMC = S CMB.n

Симетрала на триаголник.Теореми поврзани со симетрали на триаголници. Формули за наоѓање симетрали

Симетрала на агол- зрак со почеток на темето на агол, делејќи го аголот на два еднакви агли.

Симетралата на аголот е место на точки во аголот што се подеднакво оддалечени од страните на аголот.

Својства

1. Теорема за симетрала: Симетралата на внатрешен агол на триаголник ја дели спротивната страна во однос еднаков на односот на двете соседни страни

2. Симетралите на внатрешните агли на триаголникот се сечат во една точка - центарот - центарот на кругот впишан во овој триаголник.

3. Ако две симетрали во триаголникот се еднакви, тогаш триаголникот е рамнокрак (теорема Штајнер-Лемус).

Пресметка на должината на симетралата

l c - должина на симетралата нацртана на страната c,

a,b,c - страни на триаголникот спротивни темиња A,B,C, соодветно,

p е полупериметар на триаголникот,

a l , b l - должини на отсечките на кои симетралата l c ја дели страната c,

α, β, γ - внатрешни агли на триаголникот на темињата A, B, C, соодветно,

h c е висината на триаголникот, спуштен на страната c.

Метод на површина.

Карактеристики на методот.Како што сугерира името, главниот предмет на овој метод е област. За голем број фигури, на пример за триаголник, областа е прилично едноставно изразена преку разни комбинации на елементи на фигурата (триаголник). Затоа, многу ефикасна техника е кога се споредуваат различни изрази за областа на дадена фигура. Во овој случај, се појавува равенка која ги содржи познатите и посакуваните елементи на фигурата, со чие решавање ја одредуваме непознатата. Тука се манифестира главната карактеристика на методот на областа - тој „прави“ алгебарски проблем од геометриски проблем, сведувајќи сè на решавање на равенка (а понекогаш и систем на равенки).

1) Метод на споредување: поврзан со голем број формули S од истите фигури

2) Метод на релација S: врз основа на проблеми за поддршка на трага:

Теорема на Цева

Нека точките A", B", C" лежат на правите BC, CA, AB на триаголникот. Правите AA", BB", CC" се сечат во една точка ако и само ако

Доказ.

Да означиме со точката на пресек на отсечките и . Да ги спуштиме перпендикуларите од точките C и A на правата BB 1 додека не се вкрстат со неа во точките K и L, соодветно (види слика).

Бидејќи триаголниците имаат заедничка страна, нивните области се поврзани како висини нацртани на оваа страна, т.е. AL и CK:

Последната еднаквост е точно, бидејќи правоаголните триаголници се слични по остар агол.

Слично добиваме И

Ајде да ги помножиме овие три еднаквости:

Q.E.D.

Коментар. Отсечка (или продолжение на отсечка) што го поврзува темето на триаголникот со точка што лежи на спротивната страна или нејзиното продолжение се нарекува цевиана.

Теорема (инверзна од теоремата на Цева). Нека точките A, B, C" лежат на страните BC, CA и AB на триаголникот ABC, соодветно. Нека релацијата е задоволена

Тогаш отсечките AA",BB",CC" се сечат во една точка.

Теорема на Менелаус

Теорема на Менелаус. Нека права го пресекува триаголникот ABC, со C 1 точката на нејзиното вкрстување со страната AB, A 1 точката на нејзиното пресекување со страната BC и B 1 точката на нејзиниот пресек со продолжувањето на страната AC. Потоа

Доказ . Да повлечеме права паралелна на AB низ точката В. Да ја означиме со K нејзината точка на пресек со правата B 1 C 1 .

Триаголниците AC 1 B 1 и CKB 1 се слични (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Оттука,

Слични се и триаголниците BC 1 A 1 и CKA 1 (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Средства,

Од секоја еднаквост изразуваме CK:

Каде Q.E.D.

Теорема (инверзна теорема на Менелај).Нека е даден триаголникот ABC. Нека точката C 1 лежи на страната AB, точката A 1 на страната BC и точката B 1 на продолжението на страната AC, и нека важи следнава врска:

Тогаш точките A 1, B 1 и C 1 лежат на истата линија.