Која е густината на дистрибуција на случајна променлива. Континуирана случајна променлива, функција на дистрибуција и густина на веројатност. Закон за распределба на веројатност за дискретна дводимензионална случајна променлива

Континуирано с. В. може да се специфицира со помош на функција наречена густина на дистрибуција или густина на веројатност или диференцијална дистрибуција функција.

Густина на дистрибуцијаверојатности на континуиран с. В. X се нарекува функција f(x) - првиот извод на функцијата за распределба F(x):

Од оваа дефиниција произлегува дека функцијата на дистрибуција е антидериват на густината на распределбата.

Да се ​​опише распределбата на веројатноста на дискретни с. В. распределбата на густината не е применлива.

Веројатно значење на густината на дистрибуцијата.

Така, границата на соодносот на веројатност што континуирано с. В. ќе земе вредност која припаѓа на интервалот (x, x +∆x), до должината на овој интервал (за ∆x → 0) еднаква на вредноста на густината на распределбата во точката x.

Функцијата за густина ја карактеризира секоја вредност на континуирана случајна променлива посебно, а не целиот опсег како што е случајот со функцијата за дистрибуција.

Веројатност за удирање на континуирано с. В. во даден интервал.

Според формулата Њутн-Лајбниц:

P(a< X  b}= F(b) – F(a),

Така

Наоѓање на функцијата за распределба од позната функција на густина.

Претпоставувајќи ја претходната формула a = -∞, b = x, и заменувајќи ја интеграциската променлива x со t, имаме:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

оттука

Својства на густината на дистрибуцијата

Имотот 1. Густината на дистрибуција е ненегативна функција: f(x)0 (бидејќи функцијата на интегрална дистрибуција е функција која не се намалува, а густината на распределбата е нејзиниот прв извод).

Сопственост 2:

Доказ. Несоодветен интеграл
ја изразува веројатноста за настан случајната променлива да земе вредност што припаѓа на интервалот (-∞, ∞). Очигледно, таков настан е сигурен, затоа, неговата веројатност е еднаква на еден.

Геометриски, тоа значи дека целата површина на криволинеарниот трапез, ограничена со оската 0x и кривата на дистрибуција е еднаква на една.

ВО особено, ако сите можни вредности на случајна променлива припаѓаат на интервалот (a,b), тогаш
.

График за густина на можна дистрибуција (пример)

f 1 (x) – густина на дистрибуција на победничката големина во првиот натпревар

f 2 (x) – густина на дистрибуција на победничката големина во вториот натпревар

Која игра е пожелна?

Нумерички карактеристики на случајни променливи. .

Овие карактеристики овозможуваат да се решат многу проблеми без да се знае законот за распределба на случајни променливи.

Карактеристики на положбата на случајна променлива на нумеричката оска.

Очекувана вредностова е пондериран просек на вредностите на случајната променлива X, во која апсцисата на секоја точка x i влегува со „тежина“ еднаква на соодветната веројатност.

Математичкото очекување понекогаш се нарекува едноставно просечна вредност на r.v.

Ознака: m x или M [X].

За дискретна случајна променлива

M [X] =

За континуирана случајна променлива

Мода– ова е најверојатната вредност на случајната променлива (онаа за која веројатноста p i , или густината на распределбата f(x) достигнува максимум).

Ознака: 

Постојат унимодални распределби (имаат еден режим), полимодални распределби (имаат неколку режими) и анимодални (немаат режим)

унимодални

Медијана– ова е вредноста на случајната променлива x m за која важи следнава еднаквост:

P(X< х m }= P{X >x m)

Медијаната ја дели областа ограничена со f(x) на половина

Ако густината на распределбата на случајната променлива е симетрична и унимодална, тогаш M[X],  и x m се совпаѓаат

M[X], , x m – неслучајни величини

Континуирана случајна променлива може да се специфицира не само со користење на функцијата за дистрибуција. Да го воведеме концептот на густина на веројатност на континуирана случајна променлива.

Размислете за веројатноста континуирана случајна променлива да падне на интервалот [ X, X + Δ X]. Веројатноста за таков настан

П(X ≤ X ≤ X + Δ X) = Ф(X+ Δ X) – Ф(X),

тие. еднаков на зголемувањето на функцијата на дистрибуција Ф(X) во оваа област. Тогаш веројатноста по единица должина, т.е. просечна густина на веројатност во областа од Xпред X+ Δ X, е еднаков

Движење до граница Δ X→ 0, ја добиваме густината на веројатноста во точката X:

претставувајќи го изводот на функцијата на дистрибуција Ф(X). Потсетете се дека за континуирана случајна променлива Ф(X) е диференцијабилна функција.

Дефиниција. Густина на веројатност (густина на дистрибуција ) ѓ(x) на континуирана случајна променлива X е изводот на нејзината дистрибутивна функција

ѓ(x) = Ф′( x).

(4.8)

За случајна променлива Xвелат дека има распределба со густина ѓ(x) на одреден дел од оската x.

Густина на веројатност ѓ(x), како и функцијата на дистрибуција Ф(x) е еден од облиците на законот за распределба. Но, за разлика од функцијата за дистрибуција, таа постои само за континуирани случајни променливи.

Густината на веројатноста понекогаш се нарекува диференцијална функцијаили закон за диференцијална распределба. Заплетот на густината на веројатноста се нарекува крива на дистрибуција.

Пример 4.4.Врз основа на податоците во примерот 4.3, пронајдете ја густината на веројатноста на случајната променлива X.

Решение. Ќе ја најдеме густината на веројатноста на случајна променлива како извод на нејзината дистрибутивна функција ѓ(x) = Ф"(x).

◄

Да ги забележиме својствата на густината на веројатноста на континуирана случајна променлива.

1. Густината на веројатноста е ненегативна функција, т.е.

Геометриски, веројатноста да падне во интервалот [ α , β ,] е еднаква на плоштината на фигурата ограничена одозгора со кривата на дистрибуција и врз основа на сегментот [ α , β ,] (сл. 4.4).

Ориз. 4.4 Сл. 4.5

3. Функцијата на дистрибуција на континуирана случајна променлива може да се изрази во однос на густината на веројатноста според формулата:

Геометриски својства 1 И 4 густината на веројатноста значи дека нејзиниот график - кривата на дистрибуција - не лежи под оската на апсцисата, а вкупната површина на фигурата ограничена со кривата на дистрибуција и оската на апсцисата е еднаква на една.

Пример 4.5.Функција ѓ(x) е дадена во форма:

Најдете: а) вредност А; б) изразување на функцијата на дистрибуција Ф(X); в) веројатноста дека случајната променлива Xќе земе вредност на интервалот .

Решение. а) Со цел да ѓ(x) беше густината на веројатноста на некоја случајна променлива X, мора да биде ненегативна, затоа вредноста мора да биде ненегативна А. Со оглед на имотот 4 ние најдовме:

, каде А = .

б) Ја наоѓаме функцијата за распределба користејќи го својството 3 :

Ако x≤ 0, тогаш ѓ(x) = 0 и затоа, Ф(x) = 0.

Ако 0< x≤ 2, тогаш ѓ(x) = X/2 и затоа

Ако X> 2, тогаш ѓ(x) = 0 и затоа

в) Веројатноста дека случајната променлива Xќе земе вредност на сегментот, го наоѓаме користејќи го својството 2 .

Очекувана вредност

Дисперзијаконтинуирана случајна променлива X, чиишто можни вредности припаѓаат на целата оска Ox, се определува со еднаквоста:

Цел на услугата. Онлајн калкулаторот е дизајниран да решава проблеми во кои или густина на дистрибуција f(x) или дистрибутивна функција F(x) (види пример). Обично во такви задачи треба да најдете математичко очекување, стандардно отстапување, графички функции f(x) и F(x).

Инструкции. Изберете го типот на изворните податоци: густина на дистрибуција f(x) или функција на дистрибуција F(x).

Густината на распределбата f(x) е дадена:

Функцијата за распределба F(x) е дадена:

Континуирана случајна променлива е одредена со густина на веројатност
(Рејлиевиот закон за дистрибуција - се користи во радио инженерството). Најдете M(x) , D(x) .

Се повикува случајната променлива X континуирано , ако неговата дистрибутивна функција F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцијата за распределба на континуирана случајна променлива се користи за пресметување на веројатноста случајната променлива да падне во даден интервал:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Покрај тоа, за континуирана случајна променлива, не е важно дали нејзините граници се вклучени во овој интервал или не:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Густина на дистрибуција континуирана случајна променлива се нарекува функција
f(x)=F’(x) , извод на функцијата распределба.

Својства на густината на дистрибуцијата

1. Густината на распределбата на случајната променлива е ненегативна (f(x) ≥ 0) за сите вредности на x.
2. Состојба за нормализација:

Геометриското значење на условот за нормализација: површината под кривата на густина на распределбата е еднаква на единство.
3. Веројатноста случајната променлива X да падне во интервалот од α до β може да се пресмета со формулата

Геометриски, веројатноста континуираната случајна променлива X да падне во интервалот (α, β) е еднаква на областа на криволинеарниот трапез под кривата на густина на дистрибуција врз основа на овој интервал.
4. Функцијата на дистрибуција се изразува во однос на густината на следниот начин:

Вредноста на густината на распределбата во точката x не е еднаква на веројатноста да се прифати оваа вредност; за континуирана случајна променлива можеме да зборуваме само за веројатноста да падне во даден интервал. Нека)