Што е симетрала дефиниција. Симетрала на триаголник - што е тоа? Некои својства на симетралата
Внатре во агол, подеднакво оддалечен од страните на аголот.
Мнемоничко правило
Симетрала е стаорец кој трча по аглите и го преполовува аголот.
Го олеснува запомнувањето на формулацијата. Најчесто се користи од деца.
Фондацијата Викимедија. 2010 година.
Синоними:- Речник на поими за планиметрија
- Впишан круг
Погледнете што е „симетрала“ во другите речници:
симетрала- y, w. bissecrice f. математика. Права линија што минува низ темето на аголот и ја дели на половина. БАС 2. Нацртајте симетрала. Васјукова 1999. Симетрала е стаорец кој трча по аглите и го дели аголот на половина. 1994. Белјанин. Лекс. Брокг... ... Историски речник на галицимите на рускиот јазик
симетрала- математика, линија, директно Речник на руски синоними. именка симетрала, број на синоними: 3 ред (182) ... Речник на синоними
СИЕКТОР- (од латински bis двапати и секо сечам) агол е полуправа линија (зрак), која излегува од темето на аголот и ја дели на половина... Голем енциклопедиски речник
СИЕКТОР- [исе], симетрали, женски. (од лат. bissectrix секнува низ) (мат.). 1. Во еден агол има права линија што го дели аголот на половина. 2. Во триаголник, права линија повлечена од некој агол на спротивната страна и делејќи ја оваа страна на делови е права... ... Објаснувачкиот речник на Ушаков
СИЕКТОР- BISEXECTRISE, s, женски. Во математиката: зрак (во 3 цифри) што произлегува од темето на аголот и го дели на половина. Објаснувачкиот речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ју. Шведова. 1949 1992 година… Објаснувачки речник на Ожегов
симетрала- BISEXTER, s, f. Наставник по математика во училиште. Од училиште... Речник на руски аргот
симетрала- - [А.С. Голдберг. Англиско-руски енергетски речник. 2006] Темите за енергија општо EN значи линија ... Водич за технички преведувач
СИЕКТОР- зрак што излегува од врвот на аголот и го дели на половина; која било точка B. е подеднакво оддалечена од страните на аголот. Трите B. агли на триаголник се сечат во една точка во центарот на кругот впишан во триаголникот... Голема политехничка енциклопедија
симетрала- (француски bissetrice лат. bis sectrix (bissectricis) сечење на два дела) geom. зрак што минува низ темето на аголот и го дели на половина. Нов речник на странски зборови. од EdwART, 2009. симетрала [ise], симетрала, w. [од латински. бисектрикс –…… Речник на странски зборови на рускиот јазик
симетрала- s; и. [француски бисекрице од лат. бис двапати и секаре сецира] Мат. Зрак што излегува од врвот на аголот и го дели на половина. * * * симетрала (од латинскиот bis двапати и seco I сечам) на агол, полуправа (зрак) што излегува од темето на аголот и го дели... енциклопедиски речник
Книги
- Симетрала е таков стаорец..., Наталија Цитронова. Првата книга на авторот е раскази и есеи за прелетните деведесетти... Напишана лесно, со хумор, без крвави или секс сцени...
Симетралата на триаголникот е отсечка која го дели аголот на триаголникот на два еднакви агли. На пример, ако аголот на триаголникот е 120 0, тогаш со цртање симетрала, ќе конструираме два агли од по 60 0.
И бидејќи има три агли во триаголникот, може да се нацртаат три симетрали. Сите тие имаат една точка на пресек. Оваа точка е центарот на кругот впишан во триаголникот. На друг начин, оваа пресечна точка се нарекува центар на триаголникот.
Кога се сечат две симетрали на внатрешен и надворешен агол, се добива агол од 90 0. Надворешен агол во триаголник е аголот во непосредна близина на внатрешниот агол на триаголникот.
Ориз. 1. Триаголник кој содржи 3 симетрали
Симетралата ја дели спротивната страна на два сегменти кои се поврзани со страните:
$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$
Симетралните точки се еднакво оддалечени од страните на аголот, што значи дека се на исто растојание од страните на аголот. Односно, ако од која било точка на симетралата паднеме нормални на секоја од страните на аголот на триаголникот, тогаш овие нормални ќе бидат еднакви.
Ако нацртате средина, симетрала и висина од едно теме, тогаш средната ќе биде најдолгата отсечка, а висината најкратката.
Некои својства на симетралата
Кај одредени типови триаголници симетралата има посебни својства. Ова првенствено се однесува на рамнокрак триаголник. Оваа бројка има две идентични страни, а третата се нарекува основа.
Ако нацртате симетрала од темето на аголот на рамнокрак триаголник до основата, тогаш таа ќе ги има својствата и на висината и на средината. Според тоа, должината на симетралата се совпаѓа со должината на средната и висината.
Дефиниции:
- Висина- нормална извлечена од темето на триаголникот на спротивната страна.
- Медијана– отсечка што ги поврзува темето на триаголникот и средината на спротивната страна.
Ориз. 2. Симетрала во рамнокрак триаголник
Ова исто така важи и за рамностран триаголник, односно за триаголник во кој сите три страни се еднакви.
Пример за задача
Во триаголникот ABC: BR е симетралата, со AB = 6 cm, BC = 4 cm и RC = 2 cm. Одземете ја должината на третата страна.
Ориз. 3. Симетрала во триаголник
Решение:
Симетралата ја дели страната на триаголникот во одредена пропорција. Да ја искористиме оваа пропорција и да изразиме AR. Тогаш ќе ја најдеме должината на третата страна како збир на отсечките на кои оваа страна е поделена со симетралата.
- $(AB\над(BC)) = (AR\над(RC))$
- $RC=(6\over(4))*2=3 cm$
Тогаш целиот сегмент AC = RC+ AR
AC = 3+2=5 cm.
Во рамнокрак триаголник, симетралата нацртана до основата го дели триаголникот на два еднакви правоаголни триаголници.
Што научивме?
Откако ја проучувавме темата симетрала, дознавме дека таа го дели аголот на два еднакви агли. И ако го нацртате во рамнокрак или рамностран триаголник до основата, тогаш ќе ги има својствата и на средните и висини во исто време.
Тест на темата
Рејтинг на статијата
Просечна оцена: 4.2. Вкупно добиени оценки: 157.
Колку изнесува симетралата на аголот на триаголникот? На ова прашање, познатиот стаорец што трча по аглите и го дели аголот на половина, излегува од устата на некои луѓе.“ Ако одговорот треба да биде „хумористичен“, тогаш можеби е точен. Но од научна гледна точка на гледиште, одговорот на ова прашање треба да биде: нешто вака: почнувајќи од врвот на аголот и делејќи го вториот на два еднакви делови“. Во геометријата, оваа бројка се перцепира и како сегмент од симетралата додека не се пресече со спротивната страна на триаголникот. Ова не е заблуда. Што друго се знае за симетралата на аголот, покрај нејзината дефиниција?
Како и секој геометриски локус на точки, тој има свои карактеристики. Првиот од нив, напротив, не е ни знак, туку теорема, која накратко може да се изрази на следниов начин: „Ако страната спротивна на неа е поделена на два дела со симетрала, тогаш нивниот однос ќе одговара на односот на страните на голем триаголник“.
Второто својство што го има: точката на пресек на симетралите на сите агли се нарекува центар.
Третиот знак: симетралите на еден внатрешен и два надворешни агли на триаголник се сечат во центарот на една од трите впишани кругови.
Четвртото својство на симетралата на аголот на триаголникот е дека ако секоја од нив е еднаква, тогаш втората е рамнокрака.
Петтиот знак, исто така, се однесува на рамнокрак триаголник и е главното упатство за негово препознавање на цртежот по симетрали, имено: во рамнокрак триаголник тој истовремено служи како средина и надморска височина.
Симетралата на аголот може да се конструира со помош на компас и линијар:
Шестото правило вели дека е невозможно да се конструира триаголник користејќи го вториот само со постоечките симетрали, исто како што е невозможно да се конструира на овој начин удвојување на коцка, квадрат на круг и трисекција на агол. Строго кажано, ова се сите својства на симетралата на аголот на триаголникот.
Ако внимателно го прочитавте претходниот пасус, тогаш можеби сте заинтересирани за една фраза. "Што е трисекција на агол?" - веројатно ќе прашате. Трисекторот е малку сличен на симетралата, но ако ја нацртате втората, аголот ќе се подели на два еднакви дела, а при конструирање трисек ќе се подели на три. Секако, симетралата на аголот е полесно да се запомни, бидејќи трисекцијата не се учи на училиште. Но, заради комплетноста, ќе ви кажам и за тоа.
Трисектор, како што веќе реков, не може да се конструира само со компас и линијар, но може да се создаде користејќи ги правилата на Фуџита и некои кривини: полжави на Паскал, квадрати, конхоиди на Никомед, конусни делови,
Проблемите со трисекција на агол се прилично едноставно решени со помош на невсис.
Во геометријата постои теорема за трисектори на агол. Се нарекува Морлиева теорема. Таа наведува дека пресечните точки на трисекторите на секој агол лоцирани во средината ќе бидат темиња
Мал црн триаголник во голем секогаш ќе биде рамностран. Оваа теорема ја открил британскиот научник Френк Морли во 1904 година.
Еве колку можете да научите за делењето агол: трисекторот и симетралата на аголот секогаш бараат детални објаснувања. Но, тука беа дадени многу дефиниции што сè уште не ги открив: полжавот на Паскал, конхоидот на Никомед итн. Бидете сигурни, има уште многу да се пишува за нив.
Денес ќе биде многу лесна лекција. Ќе разгледаме само еден објект - симетралата на аголот - и ќе го докажеме неговото најважно својство, кое ќе ни биде многу корисно во иднина.
Само не опуштајте се: понекогаш студентите кои сакаат да добијат висока оценка на истиот унифициран државен испит или унифициран државен испит не можат точно да ја формулираат дефиницијата за симетрала во првата лекција.
И наместо да правиме навистина интересни задачи, губиме време на такви едноставни работи. Затоа, прочитајте, гледајте и усвоете го. :)
За почеток, малку чудно прашање: што е агол? Така е: аголот е едноставно два зраци кои произлегуваат од иста точка. На пример:
Примери на агли: остри, тапи и правилни Како што можете да видите од сликата, аглите можат да бидат остри, тапи, прави - сега не е важно. Често, за погодност, на секој зрак се означува дополнителна точка и велат дека пред нас е аголот $AOB$ (напишан како $\angle AOB$).
Се чини дека капетанот Очигледност навестува дека покрај зраците $OA$ и $OB$, секогаш е можно да се нацртаат уште еден куп зраци од точката $O$. Но, меѓу нив ќе има еден посебен - тој се нарекува симетрала.
Дефиниција. Симетрала на аголот е зракот што излегува од темето на тој агол и го преполовува аголот.
За горенаведените агли, симетралите ќе изгледаат вака:
Примери на симетрали за остри, тапи и прави агли
Бидејќи во реалните цртежи не е секогаш очигледно дека одреден зрак (во нашиот случај тоа е зракот $OM$) го дели оригиналниот агол на два еднакви, во геометријата вообичаено е да се означат еднакви агли со ист број на лакови ( во нашиот цртеж ова е 1 лак за остар агол, два за тап, три за прави).
Добро, ја средивме дефиницијата. Сега треба да разберете какви својства има симетралата.
Главното својство на симетралата на аголот
Всушност, симетралата има многу својства. И ние дефинитивно ќе ги погледнеме во следната лекција. Но, постои еден трик што треба да го разберете токму сега:
Теорема. Симетралата на аголот е локус на точки што се еднакво оддалечени од страните на даден агол.
Преведено од математички на руски, тоа значи два факти одеднаш:
- Секоја точка што лежи на симетралата на одреден агол е на исто растојание од страните на овој агол.
- И обратно: ако точката лежи на исто растојание од страните на даден агол, тогаш гарантирано е да лежи на симетралата на овој агол.
Пред да ги докажеме овие тврдења, да разјасниме една точка: како, точно, се нарекува растојание од точка до страна на агол? Тука ќе ни помогне старото добро определување на растојанието од точка до права:
Дефиниција. Растојанието од точка до права е должината на нормалната извлечена од дадена точка до оваа права.
На пример, земете ја правата $l$ и точката $A$ што не лежи на оваа линија. Дозволете ни да нацртаме нормална на $AH$, каде што $H\во l$. Тогаш должината на оваа нормална ќе биде растојанието од точката $A$ до права линија $l$.
Графички приказ на растојанието од точка до права Бидејќи аголот е едноставно два зраци, а секој зрак е парче права линија, лесно е да се одреди растојанието од точка до страните на аголот. Ова се само две нормални:
Одреди го растојанието од точката до страните на аголот Тоа е се! Сега знаеме што е растојание и што е симетрала. Затоа, можеме да го докажеме главниот имот.
Како што ветивме, доказот ќе го поделиме на два дела:
1. Растојанието од точката на симетралата до страните на аголот се исти
Размислете за произволен агол со теме $O$ и симетрала $OM$:
Да докажеме дека токму оваа точка $M$ е на исто растојание од страните на аголот.
Доказ. Дозволете ни да нацртаме перпендикулари од точката $M$ до страните на аголот. Да ги наречеме $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:
Нацртајте перпендикулари на страните на аголот
Добивме два правоаголни триаголници: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Тие имаат заедничка хипотенуза $OM$ и еднакви агли:
- $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$ по услов (бидејќи $OM$ е симетрала);
- $\агол M((H)_(1))O=\агол M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкција;
- $\агол OM((H)_(1))=\агол OM((H)_(2))=90()^\circ -\агол MO((H)_(1))$, бидејќи збир Острите агли на правоаголен триаголник се секогаш 90 степени.
Следствено, триаголниците се еднакви по страничните и двата соседни агли (види знаци за еднаквост на триаголниците). Затоа, особено, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. растојанијата од точката $O$ до страните на аголот се навистина еднакви. Q.E.D. :)
2. Ако растојанијата се еднакви, тогаш точката лежи на симетралата
Сега ситуацијата е обратна. Нека е даден агол $O$ и точка $M$ еднакво оддалечена од страните на овој агол:
Да докажеме дека зракот $OM$ е симетрала, т.е. $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$.
Доказ. Прво, да го нацртаме овој зрак $OM$, инаку нема да има што да се докажува:
Спроведено $OM$ зрак во внатрешноста на аголот
Повторно добиваме два правоаголни триаголници: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очигледно тие се еднакви затоа што:
- Хипотенуза $OM$ - општо;
- Кратки $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по услов (на крајот на краиштата, точката $M$ е еднакво оддалечена од страните на аголот);
- Останатите нозе се исто така еднакви, бидејќи според Питагоровата теорема $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.
Според тоа, триаголниците $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ на три страни. Конкретно, нивните агли се еднакви: $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$. И ова само значи дека $OM$ е симетрала.
За да го заклучиме доказот, ги означуваме добиените еднакви агли со црвени лакови:
Симетралата го дели аголот $\агол ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два еднакви
Како што можете да видите, ништо комплицирано. Докажавме дека симетралата на аголот е локус на точки еднакво оддалечени од страните на овој агол. :)
Сега, кога повеќе или помалку одлучивме за терминологијата, време е да преминеме на следното ниво. Во следната лекција ќе разгледаме посложени својства на симетралата и ќе научиме како да ги примениме за решавање на реални проблеми.
Зборот „симетрала“ е преведен од француски како „сечење на два дела“. Симетралата на аголот е агол на „еднакво делење“, т.е. пресекување на агол.
Симетрала на агол - зрак извлечен од темето на агол меѓу неговите страни и го дели аголот на половина.
Симетралата на аголот може да се конструира со помош на степенот на мерката на аголот со помош на транспортер. За да го направите ова, степенот на даден агол е поделен на половина, а степенот на половина агол е поставен на едната страна од темето. Втората страна на таков агол ќе биде симетрала на дадениот агол.
Ако даден агол има степенска мерка од 60°, тогаш двата агли конструирани со помош на симетралата се по 30°, бидејќи 60°:2 = 30°.
Прав агол се дели со симетрала на два прави агли (180°:2=90°), секој тап агол се дели со симетрала на два остри агли.
Конструирање симетрала на агол со помош на компас и линијар
За да ја конструирате симетралата на аголот без транспортер, користејќи само компас и линијар, треба да ги извршите следните чекори (видете ја сликата погоре).
- Од темето на аголот, од кој било радиус, потребно е да се нацрта лак на круг така што ќе ги пресекува страните на аголот
- Од секоја точка (има две) на пресекот на лакот и страната на аголот, повторно нацртајте ја душата на кругот (со различен радиус)
- Низ која било од пресечните точки на лаците на дополнително конструираните кругови, нацртајте зрак од темето на аголот, кој ќе биде симетрала на овој агол.
Симетрала на агол на триаголник
Симетрала на агол на триаголнике отсечка од симетралата на аголот извлечен од темето на аголот до неговото пресекување со спротивната страна.
Триаголникот има три симетрали, извлечен од секое негово теме.
Симетралата на аголот на триаголникот има многу посебни својства, кои се опишани во посебна статија "
