20. Еквивалентни формули на логика на предикат

21. Еквивалентни формули на предикатна логика

22. Еквивалентни формули на предикатна логика

23. Закони на логички операции (општо валидни формули на логика на предикат)

24. Вежбајте

25. Вежбајте

26.

27.

Логика и аргументација: Учебник. прирачник за универзитети. Ружавин Георги Иванович

4.2. Квантификатори

4.2. Квантификатори

Значајна разлика помеѓу логиката на предикат и искажната логика е и тоа што првата воведува квантитативна карактеристика на искази или, како што велат во логиката, ги квантификува. Веќе во традиционалната логика, судовите беа класифицирани не само по квалитет, туку и по квантитет, т.е. општите судови се разликувале од посебните и поединечните. Но, немаше теорија за поврзаноста меѓу нив. Модерната логика ги разгледува квантитативните карактеристики на исказите во посебна теорија на квантификација, која е составен дел на пресметувањето на предикатот.

За квантификацијата (квантитативните карактеристики) на искази, оваа теорија воведува два главни квантификатори: општиот квантификатор, кој ќе го означиме со симболот (x) и егзистенцијалниот квантификатор, означен со симболот (Ex). Тие се ставаат непосредно пред изјавите или формулите на кои се однесуваат. Во случај кога квантификаторите имаат поширок опсег, заградите се ставаат пред соодветната формула.

Општиот квантификатор покажува дека предикатот означен со одреден симбол им припаѓа на сите предмети од дадена класа или универзум на расудување.

Така, исказот: „Сите материјални тела имаат маса“ може да се преведе на симболичен јазик на следниов начин:

каде што x - го означува материјалното тело:

М - маса;

(x) е општ квантификатор.

Слично на тоа, изјавата за постоење на екстрасензорни феномени може да се изрази преку квантификатор на постоење:

каде што x означува феномени:

Е - сопственост на екстрасензорна перцепција својствена за таквите појави;

(Ex) е егзистенцијален квантификатор.

Користејќи го квантификаторот за општост, можете да изразите емпириски и теоретски закони, генерализации за врската помеѓу феномените, универзални хипотези и други општи изјави. На пример, законот за термичко проширување на телата може симболично да се претстави како формула:

(x) (T(x) ? P(x)),

каде што (x) е општ квантификатор;

T(x) - телесна температура;

P(x) е неговото проширување;

Знак на импликација.

Егзистенцијалниот квантификатор се однесува само на одреден дел од предметите од даден универзум на расудување. Затоа, на пример, се користи за симболично пишување статистички закони кои наведуваат дека својството или врската се применува само за карактеризирање на одреден дел од предметите што се проучуваат.

Воведувањето на квантификатори овозможува, пред сè, да се трансформираат предикатите во одредени искази. Самите предикати не се ниту вистинити ниту лажни. Тие стануваат такви ако конкретните искази или се заменат со променливите, или, ако се поврзани со квантификатори, тие се квантифицираат. Врз основа на тоа, се воведува поделба на променливите на врзани и слободни.

Променливите кои потпаѓаат под влијание на знаците на квантификаторите на општоста или постоењето се нарекуваат врзани. На пример, формулите (x) A (x) и (x) (P (x) ? Q (x)) ја содржат променливата x. Во првата формула, општиот квантификатор стои непосредно пред предикатот A(x), во втората, квантификаторот го проширува своето дејство на променливите вклучени во претходните и следните термини на импликацијата. Слично на тоа, егзистенцијалниот квантификатор може да се однесува и на посебен прирок и на нивна комбинација, формирани со помош на логичките операции на негација, конјункција, дисјункција итн.

Слободната променлива не подлежи на квантификациони знаци, така што карактеризира предикатна или исказна функција, а не исказ.

Користејќи комбинација од квантификатори, може да се искажат прилично сложени природни јазични реченици на симболичкиот јазик на логиката. Во овој случај, со користење на квантификаторот за постоење се воведуваат искази каде што зборуваме за постоење на објекти кои задоволуваат одреден услов. На пример, изјавата за постоењето на радиоактивни елементи е напишана со формулата:

каде што R означува својство на радиоактивност.

Изјавата дека постои опасност пушачот да добие рак може да се изрази на следниов начин: (Ex) (K(x) ? P(x)), каде што K означува својство „да се биде пушач“ и P - „ добивање на рак“. Со одредени резерви, истото би можело да се изрази“ со помош на општ квантификатор: (x) (K(x) ? P(x)). Но, изјавата дека секој што пуши може да заболи од рак би била неточна, и затоа најдобро е да се напише со користење на квантификатор за постоење наместо со општ квантификатор.

Општиот квантификатор се користи за искази кои наведуваат дека одреден предикат А е задоволен од кој било објект во неговиот опсег на вредности. Во науката, како што веќе беше споменато, општиот квантификатор се користи за изразување изјави од универзална природа, кои се вербално претставени со користење на фрази како „за секого“, „секој“, „било кој“, „било кој“ итн. Со негирање на квантификаторот на општоста, може да се изразат генерално негативни искази, кои во природниот јазик се воведуваат со зборовите „никој“, „не еден“, „никој“ итн.

Се разбира, при преведувањето на искази од природен јазик на симболичен јазик, се среќаваат одредени потешкотии, но се постигнува потребната точност и недвосмислено изразување на мислата. Меѓутоа, не може да се мисли дека формалниот јазик е побогат од природниот јазик, во кој не се изразува само значењето, туку и неговите различни нијанси. Затоа, можеме само да зборуваме за попрецизно претставување на природните јазични изрази како универзално средство за изразување мисли и нивна размена во процесот на комуникација.

Најчесто, квантификаторите на општоста и постоењето се појавуваат заедно. На пример, за симболично да ја изразиме изјавата: „За секој реален број x, има број y таков што x ќе биде помал од y“, го означуваме прирокот „да биде помал“ со симболот<, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Од самото дефинирање на квантификаторите на општоста и постоењето веднаш произлегува дека меѓу нив постои одредена поврзаност, која вообичаено се изразува со користење на следните закони.

1. Закони за пермутација на квантификатори:

(x) (y) A ~ (y) (x) A;

(Ex) (Ey) A ~ (Ey) (Ex) A;

(Ex) (y) A ~ (y) (Ex) A;

2. Закони за негација на квантификатори:

¬ (x) A ~ (Ex) ¬ A;

¬ (Ex) A ~ (x) ¬ A;

3. Закони за меѓусебна изразливост на квантификаторите:

(x) A ~ ¬ (Ex) ¬ A;

(Прв) A ~ ¬ (x) ¬ А.

Овде, A означува која било формула на јазикот на објектот (предметот). Значењето на негацијата на квантификаторите е очигледно: ако не е точно дека за кој било x А важи, тогаш има x за кои А не важи. Следи и дека ако: кој било x има А, тогаш нема х што нема-А, што е симболично претставено во првиот закон за меѓуизразливост.

Функционалната природа на предикатот повлекува воведување на друг концепт - квантификатор. (квантна – од латински „колку“) Операциите со квантификатори можат да се сметаат како генерализација на операциите на сврзување и дисјункција во случај на конечни и бесконечни региони.

Општ квантификатор (сите, сите, сите, кои било (сите - „сите“)). Соодветниот вербален израз звучи вака:

„За секој x P(x) е точно“. Појавата на променлива во формулата може да се врзува ако променливата се наоѓа или веднаш по знакот за квантификатор или во опсегот на квантификаторот по кој се појавува променливата. Сите други појави се бесплатни, преминот од P(x) во x(Px) или (Px) се нарекува врзување на променливата x или прикачување на квантификатор на променливата x (или на предикатот P) или квантификација на променливата x. Се нарекува променливата на која е прикачен квантификаторот поврзани, се нарекува неповрзана квантизациска променлива бесплатно.

На пример, променливата x во предикатот P(x) се нарекува слободна (x е кое било од M), во исказот P(x) променливата x се нарекува врзана променлива.

Еквивалентноста е точна: P(x 1)P(x 2)…P(x n),

P(x) – предикат дефиниран на множеството M=(x 1,x 2 ...x 4)

Квантификатор на постоење(постои – „да постои“). Соодветниот вербален израз е: „Постои x такво што P(x) е точно“. Исказот xP(x) повеќе не зависи од x, променливата x е поврзана со квантификатор.

Еквивалентноста е правична:

xP(x) = P(x 1)P(x 2)…P(x n), каде

P(x) е предикат дефиниран на множеството M=(x 1 ,x 2 …x n ).

Општиот квантификатор и егзистенцијалниот квантификатор се нарекуваат двојни, понекогаш се користи и квантификаторната нотација! - „Постои, а згора на тоа, само еден“.

Јасно е дека тврдењето xP(x) е точно само во единствениот случај кога P(x) е идентично вистинит прирок, а исказот е неточен само кога P(x) е идентично неточен прирок.

Операциите со квантификатори се применуваат и на повеќемесни предикати. Примената на операција на квантификатор на предикатот P(x,y) во однос на променливата x го става во кореспонденција со двоместниот прирок P(x,y) едноместочниот предикат xP(x,y) или xP( x,y), во зависност од y и независно од x.

На предикатот од две места, можете да примените операции на квантификатори на двете променливи. Потоа добиваме осум изјави:

1. P(x,y); 2. P(x,y);

3. P(x,y); 4. P(x,y);

5. P(x,y); 6. P(x,y);

7. P(x,y); 8. P(x,y)

Пример 3.Размислете за можните опции за прикачување квантификатори на прирок P(x,y) – “xподелено со y”, дефинирано на множеството природни броеви (без нула) Н. Дајте вербални формулации на примените изјави и утврдете ја нивната вистинитост.

Работата на прикачување квантификатори води до следните формули:

Изјави „за кои било два природни броја, едниот е делив со другиот“ (или 1) сите природни броеви се деливи со кој било природен број; 2) секој природен број е делител за кој било природен број) неточно;

Изјави „има два природни броја такви што првиот е делив со вториот“ (1. „има природен број x кој е делив со некој број y“; 2. „има природен број y кој е делител на некои природни броеви x") се вистинити;

Изјавата „постои природен број што се дели со кој било природен број“ е погрешна;

Исказот „за секој природен број има природен број кој е делив со првиот“ (или за секој природен број има дивиденда) е точен;

Исказот „за секој природен број x има природен број y со кој се дели“ (или „за секој природен број има делител“) е точно;

Исказот „има природен број кој е делител на секој природен број“ е точен (таков делител е еден).

Во општиот случај, менувањето на редоследот на квантификаторите го менува значењето на исказот и неговото логично значење, т.е. на пример, изјавите P(x,y) и P(x,y) се различни.

Нека прирокот P(x,y) значи дека x е мајка на y, тогаш P(x,y) значи дека секој човек има мајка - вистинска изјава. P(x,y) значи дека постои мајка на сите луѓе. Вистината на оваа изјава зависи од множеството вредности што може да ги земете: ако е збир на браќа и сестри, тогаш е точно, во спротивно е неточно. Така, преуредувањето на квантификаторите на универзалноста и постоењето може да го промени самото значење и значење на изразот.

а) заменете го почетниот знак (или) со спротивниот

б) стави знак пред остатокот од прирокот

Во логиката на предикатот се разгледуваат две операции кои преобразуваат едномесен прирок во исказ, за ​​таа цел се користат посебни зборови кои се ставаат пред предикатите. Во логиката тие се нарекуваат квантификатори.

Постојат два вида квантификатори:

1. Општ квантификатор;

2. Квантификатор на постоење.

1. Општ квантификатор.

Нека има предикат P(x) дефиниран на множеството М

Симболот се нарекува универзален квантификатор(заедница). Ова е превртената прва буква од англискиот збор Сите - сè. Тие читаат „сите“, „секој“, „било кој“, „секој“. Променлива x во прирок P(x) се нарекува бесплатно (може да му се дадат различни значења од М), до изјаватие го нарекуваат х поврзаниуниверзален квантификатор.

Пример бр. 1: P(x) – „Пристиот број x е непарен“

Ајде да додадеме општ квантификатор - „Секој прост број x е непарен“ - лажна изјава.

Израз е исказ што е точно кога P(x) е точно за секој елемент x од множеството M, а во спротивно е неточно. Оваа изјава повеќе не зависи од x.

2. Квантификатор на постоење.

Нека P(x) - прирокдефинирано на множеството M. Под израз подразбираме изјава, што е точно ако има елемент за кој P(x) е точно, а неточно во спротивно. Оваа изјава повеќе не зависи од x. Соодветниот вербален израз е: „Постои x такво што P(x) е точно“. Симболот се нарекува квантификатор на постоење.Во изјавата, променливата x е врзана со овој квантификатор (на него е прикачен квантификатор).

(Прочитајте: „Има x во M така што P во x е точно“)

Израз е исказ што е точно ако има елемент x€M (барем еден) за кој P(x) е точно, а во спротивно неточно.

Пример бр. 2: P(x) „Бројот x е повеќекратен од 5“

Секој природен број е повеќекратен од 5"

Секој природен број е повеќекратен од 5" лажни изјави

Сите природни броеви се множители на 5."

Има природен број делив со 5

Најдете природен број делив со 5 вистинити тврдења

Најмалку еден природен број е делив со 5

Операциите со квантификатори се применуваат и на повеќемесни предикати. Нека, на пример, нека биде даден прирок со две места P(x,y) на множеството М. Примената на операцијата квантификатор на прирокот P(x,y) во однос на променливата x става во кореспонденција со двоместниот прирок P(x,y) едномесен прирок (или едномесен прирок) во зависност од променливата y и не зависи од променливата x. Можете да примените операции со квантификатори на нив на променливата y, што ќе доведе до изјави од следниве типови:

За да изградите негации со квантификатори, потребни ви се:

1) заменете го квантификаторот на општоста со квантификатор на постоењето и заменете го квантификаторот на постоењето со квантификаторот на општоста;

2) замени прирокот со негова негација.

Така, следните формули се валидни:

Негирањето на реченицата треба да се пишува како , а негацијата на реченицата како . Очигледно е дека реченицата има исто значење, а со тоа и иста вистинитост, како реченицата, а реченицата има исто значење како . Со други зборови, тоа е еквивалентно на ; еквивалент

ПРИМЕР бр.3. Конструирај негација на исказот „Некои двоцифрени броеви се деливи со 12“.

Решение.Да го замениме квантификаторот на постоењето (тоа се изразува со зборот „некои“) со квантификаторот на општоста „сите“ и да ја конструираме негацијата на реченицата по зборот „некои“, ставајќи ја честичката „не“ пред на глаголот. Ја добиваме изјавата „Сите двоцифрени броеви не се деливи со 12“.

ПРИМЕР бр.4. Формулирајте ја негацијата на изјавата „Во секое одделение барем еден ученик падна на тестот“.

Решение: Оваа изјава содржи општ квантификатор изразен со зборот „секој“ и квантификатор за постоење изразен со зборовите „барем еден“. Според правилото за конструирање на негациите на искази со квантификатори, потребно е квантификаторот на општоста да се замени со квантификатор на постоењето, а квантификаторот на постоењето со квантификатор на општоста и да се отстрани честичката „не“ од глаголот. Добиваме: „Има час во кој сите ученици го положија тестот“.

Ајде да погледнеме неколку реченици со променлива:

- « - прост природен број“; опсегот на дозволените вредности на овој предикат е збир на природни броеви;

- « - парен цел број“; опсегот на дозволените вредности на овој предикат е збир на цели броеви;

- «
- рамностран“;

- «
»

- „студент доби оценка »

- « се дели со 3"

Дефиниција. Ако реченицата со променливи, со каква било замена на променливите со дозволени вредности, се претвори во исказ, тогаш таквата реченица се нарекува предикат.

,
,
,
- предикати од една променлива (прироци од едно место). Предикати од две променливи:
,
- двомесни предикати. Предлозите се предикати со нула место.

Општ квантификатор.

Дефиниција. Симбол се нарекува општ квантификатор.

прочитајте: за кој било , за секој , за сите .

Нека
- унарен прирок.

прочитајте: за кој било
- вистина.

Пример.

- „Сите природни броеви се прости“ - Лажна изјава.

- „Сите цели броеви се парни“ - Лажна изјава.

- „Сите ученици добија оценка “ е едноместен прирок. Ставивме квантификатор на двоместен прирок и добивме прирок од едно место. Исто така
-n-ary прирок, тогаш

- (n-1)-локален прирок.

- (n-2)-место прирок.

На руски, генералниот квантификатор е испуштен.

Квантификатор на постоење.

Дефиниција.Симбол наречен квантификатор на постоење.

прочитајте: постои , Ете го , ќе биде .

Изразување
, Каде
- едноместен прирок, читај: постои , за што
вистина.

Пример.

- „Постојат прости природни броеви“. (И)

- „Има дури и цели броеви“. (И).

- „Има ученик што добил оценка “ е едноместен прирок.

Ако додадеме 1 квантификатор на n-арен прирок, добиваме (n-1)-арински прирок, ако додадеме n квантификатори, добиваме прирок со нула место, т.е. изјава.

Ако доделиме квантификатори од ист тип, тогаш редоследот по кој се доделуваат квантификаторите не е важен. И ако различни квантификатори се доделени на прирок, тогаш редоследот по кој се доделуваат квантификаторите не може да се промени.

Конструкција на негација на искази кои содржат квантификатори. Законите на Де Морган.

Законот на Де Морган.

При конструирање на негација на исказ кој содржи општ квантификатор, овој општ квантификатор се заменува со квантификатор за постоење, а прирокот се заменува со негова негација.

Законот на Де Морган.

При конструирање на негација на искази кои содржат егзистенцијален квантификатор, потребно е егзистенцијалниот квантификатор да се замени со општ квантификатор, а прирокот
- неговото демантирање. Негирањето на искази кои содржат неколку квантификатори се конструира на сличен начин: општиот квантификатор се заменува со квантификатор за постоење, квантификаторот на постоење се заменува со општ квантификатор, прирокот се заменува со негова негација.

П.2. Елементи на теории на множества (интуитивна теорија на множества). Нумерички множества. Множество реални броеви.

Опис на комплетот: Зборот множество се однесува на збирка предмети што се смета како една целина. Наместо зборот „сет“ понекогаш велат „колекција“, „класа“.

Дефиниција. Објектот вклучен во множеството се нарекува негов елемент.

Снимајте
значи дека е елемент на множеството . Снимајте
значи дека не е елемент на множеството . Можете да кажете за кој било предмет дали е елемент на множеството или не. Ајде да ја напишеме оваа изјава користејќи логички симболи:

Не постои објект кој истовремено припаѓа на множество и не припаѓа, т.е.

Множеството не може да содржи идентични елементи, т.е. ако од множество кое содржи елемент , отстранете го елементот , тогаш добиваме множество што не го содржи елементот .

Дефиниција.Два комплети И се вели дека се еднакви ако ги содржат истите елементи.