Плоштад ур. Квадратни равенки. Решавање на целосни квадратни равенки. Намалени и намалени квадратни равенки

Се надевам дека со проучување на овој напис, ќе научите како да ги пронајдете корените на целосната квадратна равенка.

Со помош на дискриминаторот се решаваат само целосните квадратни равенки, се користат други методи за решавање на нецелосни квадратни равенки, што ќе ги најдете во написот „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? тоа равенки на формата ax 2 + b x + c \u003d 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да се реши целосната квадратна равенка, треба да ја пресметате дискриминантата Д.

D \u003d b 2 - 4ac.

Во зависност од тоа каква вредност има дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен (Д.< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x \u003d (-b) / 2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (Д\u003e 0),

тогаш x 1 \u003d (-b - √D) / 2a и x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

На пример. Решете ја равенката x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Одговор: 2.

Реши равенка 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Одговор: нема корени.

Реши равенка 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Одговор: - 3,5; 1.

Значи, ќе го претставиме решението за целосни квадратни равенки според колото на слика 1.

Секоја целосна квадратна равенка може да се реши со користење на овие формули. Треба само да бидете внимателни за да го осигурате тоа равенката е напишана како стандарден полином

и x 2 + bx + c, во спротивно, можете да направите грешка. На пример, при пишувањето на равенката x + 3 + 2x 2 \u003d 0, можете погрешно да одлучите за тоа

a \u003d 1, b \u003d 3 и c \u003d 2. Потоа

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е точно. (Погледнете го решението за примерот 2 погоре).

Затоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво целосната квадратна равенка мора да биде напишана како полином на стандардната форма (на прво место треба да биде мономот со најголем експонент, т.е. и x 2 , тогаш со помалку – bxа потоа слободен член од

Кога решавате намалена квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент на вториот мандат, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосната квадратна равенка со вториот поим коефициентот е парен (b \u003d 2k), тогаш равенката може да се реши со помош на формулите прикажани на дијаграмот на слика 2.

Комплетна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на една и равенката има форма x 2 + px + q \u003d 0... Таква равенка може да се даде за решението, или се добива со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот истои во x 2 .

Слика 3 покажува шема за решавање на намалениот квадрат
равенки. Да разгледаме пример за примена на формулите дискутирани во оваа статија.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Да ја решиме оваа равенка со примена на формулите прикажани на дијаграмот на слика 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3

Може да се забележи дека коефициентот на x во оваа равенка е парен број, односно b \u003d 6 или b \u003d 2k, од каде k \u003d 3. Тогаш ќе се обидеме да ја решиме равенката со формулите прикажани на дијаграмот на сликата Д 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (Д 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3... Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се поделени со 3 и извршувајќи поделба, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалената квадратна
равенка слика 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (Д 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Одговор: -1 - √3; –1 + √3.

Како што можете да видите, при решавање на оваа равенка со употреба на различни формули, го добивме истиот одговор. Затоа, добро совладувајќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш можете да ја решите секоја целосна квадратна равенка.

страница, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Продолжуваме да ја проучуваме темата „ решавање равенки" Ние веќе се сретнавме со линеарни равенки и продолжуваме да се запознаваме квадратни равенки.

Прво, ќе анализираме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. После тоа, користејќи примери, детално ќе анализираме како се решени нецелосните квадратни равенки. Потоа преминуваме кон решавање на целосните равенки, ја добиваме формулата за корените, се запознаваме со дискриминаторот на квадратната равенка и ги разгледуваме решенијата за типични примери. Конечно, да ја проследиме врската помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страницата.

Што е квадратна равенка? Нивните видови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне да се зборува за квадратни равенки со дефиницијата на квадратна равенка, како и дефинициите поврзани со неа. После тоа, можете да ги разгледате главните типови на квадратни равенки: намалени и не-намалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција

Квадратна равенка Е равенка на формата a x 2 + b x + c \u003d 0 , каде x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a не е нула.

Да речеме веднаш дека квадратните равенки честопати се нарекуваат равенки од втор степен. Ова е затоа што квадратната равенка е алгебарска равенка втор степен.

Звучената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0, итн. Дали се квадратни равенки.

Дефиниција

Броеви а, б и в се викаат коефициенти на квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент на x 2, b е втор коефициент, или коефициент на x, и c е слободен термин.

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, тука водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е is2, а пресекот е −3. Забележете дека кога коефициентите b и / или c се негативни, како во примерот што е даден само сега, тогаш кратката форма на квадратната равенка е 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, а не 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Треба да се напомене дека кога коефициентите a и / или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите на пишувањето на таквите. На пример, во квадратна равенка y 2 −y + 3 \u003d 0, водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е −1.

Намалени и намалени квадратни равенки

Намалени и не-намалени квадратни равенки се разликуваат во зависност од вредноста на водечкиот коефициент. Дозволете ни да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 намалена квадратна равенка... Инаку квадратната равенка е не е намален.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, итн. - даден, во секоја од нив првиот коефициент е еднаков на еден. И 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од која било не-намалена квадратна равенка со делење на нејзините два дела со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалената. Оваа акција е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и оригиналната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Ајде да анализираме со пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во редуцирана.

Пример.

Од равенката 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0, одете на соодветната намалена квадратна равенка.

Одлука.

Треба само да ги поделиме обете страни на оригиналната равенка со водечкиот фактор 3, таа е не нула, за да можеме да ја извршиме оваа акција. Имаме (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, што е исто, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0, и понатаму (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, од \u200b\u200bкаде. Значи, ја добивме намалената квадратна равенка, што е еквивалентно на оригиналната.

Одговор:

Комплетни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a ≠ 0. Овој услов е неопходен за равенката a x 2 + b x + c \u003d 0 да биде точно квадратна, бидејќи на a \u003d 0 таа всушност станува линеарна равенка на формата b x + c \u003d 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат нула, и одделно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција

Се нарекува квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0 нецелосниако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција

Целосна квадратна равенка Е равенка во која сите коефициенти се не нула.

Овие имиња не се дадени случајно. Ова ќе стане јасно од следниве размислувања.

Ако коефициентот b е еднаков на нула, тогаш квадратната равенка има форма a x 2 + 0 x + c \u003d 0, и таа е еквивалентна на равенката a x 2 + c \u003d 0. Ако c \u003d 0, односно квадратната равенка има форма a x 2 + b x + 0 \u003d 0, тогаш може да се препише како x 2 + b x \u003d 0. И со b \u003d 0 и c \u003d 0, ја добиваме квадратната равенка a x 2 \u003d 0. Резултирачките равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту поим со променлива x, ниту слободен термин, или обете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Така, равенките x 2 + x + 1 \u003d 0 и −2 x 2 −5 x + 0,2 \u003d 0 се примери на целосни квадратни равенки и x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот пасус произлегува дека има три вида нецелосни квадратни равенки:

• a x 2 \u003d 0, коефициентите b \u003d 0 и c \u003d 0 одговараат на тоа;
• a x 2 + c \u003d 0 кога b \u003d 0;
• и a x 2 + b x \u003d 0 кога c \u003d 0.

Ајде да анализираме со цел како да се решат нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 \u003d 0

Да започнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a · x 2 \u003d 0. Равенката a · x 2 \u003d 0 е еквивалентна на равенката x 2 \u003d 0, што се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненултен број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 \u003d 0 е нула, бидејќи 0 2 \u003d 0. Оваа равенка нема други корени, што е објаснето, навистина, за кој било нула број p, важи нееднаквоста p 2\u003e 0, од \u200b\u200bкаде произлегува дека за p ≠ 0 еднаквоста p 2 \u003d 0 никогаш не е постигната.

Значи, нецелосната квадратна равенка a · x 2 \u003d 0 има еден корен x \u003d 0.

Како пример, да го дадеме решението за нецелосната квадратна равенка −4 · x 2 \u003d 0. Равенката x 2 \u003d 0 е еквивалентна на неа, единствениот корен е x \u003d 0, затоа, оригиналната равенка има и единствена нула на коренот.

Кратко решение во овој случај може да се формулира на следниов начин:
X4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Сега ќе разгледаме како се решени нецелосните квадратни равенки, во кои коефициентот b е нула, и c ≠ 0, односно равенки од формата a · x 2 + c \u003d 0. Знаеме дека пренесувањето на поимот од едната страна на равенката на другата со спротивниот знак, како и поделбата на обете страни на равенката со не нула број, даваат еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следниве еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 + c \u003d 0:

• поместете го c на десната страна, што ја дава равенката 2 \u003d −c,
• и подели ги двата дела со а, добиваме.

Резултирачката равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a \u003d 1 и c \u003d 2, тогаш) или позитивна (на пример, ако a \u003d −2 и c \u003d 6, тогаш), таа не е еднаква на нула , бидејќи според услов c ≠ 0. Дозволете ни да ги испитаме одделно случаите и.

Ако, тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е негативен број. Од ова произлегува дека кога, тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистинита.

Ако, тогаш ситуацијата со корените на равенката е поинаква. Во овој случај, ако се сеќавате на, тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен, тоа е број, бидејќи. Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина. Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со противречност. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката што звучеа само како x 1 и −x 1. Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2, различен од посочените корени x 1 и −x 1. Познато е дека замената на нејзините корени во равенка наместо x ја претвора равенката во вистинска бројна еднаквост. За x 1 и −x 1 имаме, и за x 2 имаме. Карактеристиките на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме термин по термин одземање на вистински бројни еднаквости, така што со одземање на соодветните делови на еднаквостите се даваат x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Карактеристиките на дејствата со броеви ви овозможуваат да ја препишете добиената еднаквост како (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Затоа, од добиената еднаквост произлегува дека x 1 - x 2 \u003d 0 и / или x 1 + x 2 \u003d 0, што е исто, x 2 \u003d x 1 и / или x 2 \u003d −x 1. Така дојдовме до противречност, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 се разликува од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и.

Ајде да ги сумираме информациите за оваа ставка. Нецелосната квадратна равенка a x 2 + c \u003d 0 е еквивалентна на равенката што

• нема корени ако,
• има два корени и, ако.

Размислете за примери за решавање на нецелосни квадратни равенки на формата a · x 2 + c \u003d 0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 + 7 \u003d 0. По пренесувањето на слободниот термин на десната страна на равенката, тој ќе добие форма 9 · x 2 \u003d −7. Поделувајќи ги обете страни на добиената равенка со 9, стигнуваме до. Бидејќи има негативен број на десната страна, оваа равенка нема корени, затоа, оригиналната нецелосна квадратна равенка 9 · x 2 + 7 \u003d 0 нема корени.

Реши друга нецелосна квадратна равенка −x 2 + 9 \u003d 0. Поместете ги деветте надесно: −x 2 \u003d −9. Сега ги делиме обете страни со −1, добиваме x 2 \u003d 9. На десната страна има позитивен број, од кој заклучуваме дека или. Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 + 9 \u003d 0 има два корени x \u003d 3 или x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c \u003d 0. Нецелосните квадратни равенки на формата a x 2 + b x \u003d 0 ви овозможуваат да ги решите метод на факторизација... Очигледно, можеме, сместено на левата страна на равенката, за што е доволно да се искористи заедничкиот фактор x. Ова ни овозможува да преминеме од оригиналната нецелосна квадратна равенка во еквивалентна равенка на формата x · (a · x + b) \u003d 0. И оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки x \u003d 0 и a x + b \u003d 0, од \u200b\u200bкои последната е линеарна и има корен x \u003d −b / a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a x 2 + b x \u003d 0 има два корени x \u003d 0 и x \u003d −b / a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на специфичен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Одлука.

Поместување на x од загради дава равенка. Тоа е еквивалентно на две равенки x \u003d 0 и. Ние ги решаваме примените линеарна равенка:, и откако ќе го поделиме измешаниот број со обична дропка, наоѓаме. Затоа, корените на оригиналната равенка се x \u003d 0 и.

По добивањето на потребната пракса, решенијата за ваквите равенки можат да бидат напишани накратко:

Одговор:

x \u003d 0,.

Дискриминирачки, формулата за корените на квадратната равенка

Постои коренска формула за решавање на квадратни равенки. Ајде да напишеме квадратна формула:, каде D \u003d b 2 −4 a c - т.н. квадратна дискриминација... Записот во суштина значи дека.

Корисно е да се знае како е добиена коренската формула и како се применува при наоѓање на корените на квадратни равенки. Ајде да сфатиме.

Извод на формулата за корените на квадратната равенка

Да претпоставиме дека треба да ја решиме квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

• Ние можеме да ги поделиме обете страни на оваа равенка со ненултен број a, како резултат на тоа ја добиваме намалената квадратна равенка.
• Сега изберете целосен квадрат на левата страна:. После тоа, равенката ќе добие форма.
• Во оваа фаза, можно е да се изврши пренесување на последните два термина на десната страна со спротивниот знак, што го имаме.
• И, исто така, го трансформираме изразот на десната страна:.

Како резултат, дојдовме до равенка што е еквивалентна на оригиналната квадратна равенка a x 2 + b x + c \u003d 0.

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните пасуси кога ги анализиравме. Ова ни овозможува да ги донесеме следниве заклучоци во врска со корените на равенката:

• ако, тогаш равенката нема реални решенија;
• ако, тогаш равенката има форма, од каде е видлив нејзиниот единствен корен;
• ако, тогаш или, што е исто или, односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, па оттука и оригиналната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се определува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4 · a 2 е секогаш позитивен, односно знакот на изразот b 2 −4 · a · c. Овој израз b 2 −4 a c беше повикан дискриминаторот на квадратната равенка и обележано со буквата Д... Од ова, суштината на дискриминаторот е јасна - според неговата вредност и знак, се заклучува дали квадратната равенка има вистински корени, и ако е така, колкав е нивниот број - еден или два.

Враќајќи се на равенката, повторно напишете ја со користење на дискриминаторната нотација:. И ние извлекуваме заклучоци:

• ако Д.<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D \u003d 0, тогаш оваа равенка има еден корен;
• конечно, ако D\u003e 0, тогаш равенката има два корени или, што, според нејзиното значење, може да се препише во форма или, и по проширувањето и намалувањето на дропките во заеднички именител, ќе добиеме.

Така, ние ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие имаат форма каде што дискриминантот Д се пресметува со формулата D \u003d b 2 −4 · a · c.

Со нивна помош, со позитивен дискриминатор, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратната равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули ја даваат истата коренска вредност што одговара на уникатно решение на квадратната равенка. И со негативен дискриминант, кога се обидуваме да ја користиме формулата за корените на квадратната равенка, ние сме соочени со екстракција квадратен корен од негативен број, што нè носи подалеку и наставна програма... Со негативен дискриминант, квадратната равенка нема вистински корени, но има пар комплексен конјугат корени, што може да се најде со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со употреба на коренски формули

Во пракса, при решавање на квадратни равенки, можете веднаш да ја користите формулата за корените, со која можете да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе за наоѓање сложени корени.

Сепак, на курсот за училишна алгебра, ние обично зборуваме не за сложени, туку за вистински корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е прво да го пронајдете дискриминаторот пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, да бидете сигурни дека таа не е негативна (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени), и само после тоа да се пресметаат вредностите на корените.

Горенаведеното резонирање ни овозможува да пишуваме решавач на квадратна равенка... За да ја решите квадратната равенка a x 2 + b x + c \u003d 0, ви требаат:

• според дискриминаторската формула D \u003d b 2 −4 · a · c пресметај ја нејзината вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминаторот е негативен;
• пресметај го единствениот корен на равенката со формулата ако D \u003d 0;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминаторот е позитивен.

Тука само забележуваме дека кога дискриминаторот е еднаков на нула, формулата може да се користи и таа ќе ја даде истата вредност како и.

Може да продолжите со примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Размислете за решенија за три квадратни равенки со позитивни, негативни и нула дискриминанти. Кога се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Пронајдете ги корените на равенката x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Одлука.

Во овој случај, ги имаме следниве коефициенти на квадратната равенка: a \u003d 1, b \u003d 2 и c \u003d −6. Според алгоритмот, прво треба да го пресметате дискриминаторот, за ова ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, имаме D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Од 28\u003e 0, односно дискриминаторот е поголем од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ги наоѓаме според корената формула, добиваме, тука можете да ги поедноставите изразите добиени со правење факторизирање на знакот на коренот со последователно намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Реши ја квадратната равенка −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Одлука.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Затоа, оваа квадратна равенка има еден корен, што го наоѓаме како, т.е.

Одговор:

x \u003d 3,5.

Останува да се разгледа решението на квадратни равенки со негативен дискриминатор.

Пример.

Решете ја равенката 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Одлука.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a \u003d 5, b \u003d 6 и c \u003d 2. Заменувајќи ги овие вредности во формулата за дискриминација, имаме D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Дискриминаторот е негативен, затоа, оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете сложени корени, тогаш ја применуваме добро познатата формула за корените на квадратната равенка и извршуваме комплексни операции со броеви:

Одговор:

нема вистински корени, сложените корени се како што следува:.

Уште еднаш, забележуваме дека ако дискриминаторот на квадратната равенка е негативен, тогаш на училиште тие обично веднаш го запишуваат одговорот, во кој укажуваат дека нема вистински корени, а сложените корени не се наоѓаат.

Коренска формула за дури и други коефициенти

Формулата за корените на квадратната равенка, каде што D \u003d b 2 −4 a c овозможува да се добие покомпактна формула што овозможува решавање на квадратни равенки со парен коефициент на x (или едноставно со коефициент на формата 2 n, на пример, или 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Ајде да го извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка на формата a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Ајде да ги најдеме нејзините корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, пресметајте го дискриминаторот D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 ca c), а потоа користете ја коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 ·a · c како D 1 (понекогаш се означува со Д "). Тогаш формулата за корените на разгледуваната квадратна равенка со вториот коефициент 2 n добива форма , каде што D 1 \u003d n 2 - a · c.

Лесно е да се види дека D \u003d 4 · D 1 или D 1 \u003d D / 4. Со други зборови, Д 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот на Д 1 е ист како и знакот на Д. Тоа е, знакот на Д 1 е исто така показател за присуството или отсуството на корените на квадратната равенка.

Значи, за да се реши квадратната равенка со вториот коефициент 2 n, ви треба

• Пресметај D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 \u003d 0, тогаш пресметај го единствениот корен на равенката со формулата;
• Ако D 1\u003e 0, тогаш најдете два вистински корени според формулата.

Да го разгледаме решението на еден пример користејќи ја коренската формула добиена во овој пасус.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5x2 6x - 32 \u003d 0.

Одлука.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2 · (−3). Тоа е, можете да ја преработите оригиналната квадратна равенка во форма 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, тука a \u003d 5, n \u003d −3 и c \u003d −32, и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторот: D 1 \u003d n 2 ca c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Бидејќи нејзината вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за коренот:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратната равенка, но во овој случај, ќе треба да се направи поголема пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете со пресметување на корените на квадратната равенка со формули, не боли да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка“? Се согласувам дека, во однос на пресметките, ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 од 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0.

Обично, поедноставување на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двата дела со некој број. На пример, во претходниот пасус, успеавме да ја поедноставиме равенката 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 со делење на обете страни со 100.

Слична трансформација се спроведува со квадратни равенки, чии коефициенти не се. Во овој случај, обете страни на равенката обично се делат со апсолутни вредности нејзините коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. апсолутните вредности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Поделувајќи ги обете страни на оригиналната квадратна равенка со 6, стигнуваме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

И множењето на обете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободи од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши од именителите на неговите коефициенти. На пример, ако обете страни на квадратната равенка се помножат со LCM (6, 3, 1) \u003d 6, тогаш ќе се добие поедноставна форма x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека скоро секогаш се ослободуваме од минусот на водечкиот коефициент на квадратната равенка, менувајќи ги знаците на сите поими, што одговара на множење (или поделба) на двата дела со − 1. На пример, обично од квадратната равенка −2x2 −3x + 7 \u003d 0 се преминува на решението 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Однос помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на една равенка во однос на нејзините коефициенти. Врз основа на формулата за коренот, можете да добиете други зависности помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и применливи формули се од теоремата на Виета за формата и. Особено, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивниот знак, а производот на корените е еднаков на слободниот термин. На пример, според формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, можеме веднаш да кажеме дека збирот на неговите корени е 7/3, а производот на корените е 22/3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, можете да го изразите збирот на квадратите на корените на квадратната равенка преку нејзините коефициенти:.

Список на препораки.

• Алгебра: студија за 8 кл. општо образование. институции / [Ју. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ед. S. A. Telyakovsky. - 16-то издание - М.: Образование, 2008 година. - 271 стр. : лошо - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Алгебра. 8 одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за студенти на образовни институции / A. G. Mordkovich. - 11-то издание, избришано. - М: Мнемозина, 2009 година. - 215 стр: лошо. ISBN 978-5-346-01155-2.

Само. Со формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза

потребно е да се намали дадената равенка на стандарден поглед, т.е. да гледа:

Ако равенката веќе ви е дадена во оваа форма, не треба да го правите првиот чекор. Најважната работа е во право

утврди ги сите коефициенти, и, б и в.

Формула за наоѓање на корените на квадратната равенка.

Се нарекува израз под знакот на коренот дискриминирачки ... Како што можете да видите, да најдеме x, ние

употреба само a, b и c. Оние коефициенти од квадратна равенка... Само внимателно заменете

значење а, б и в во оваа формула и брои. Замени со од нивните знаци!

на пример, во равенката:

и =1; б = 3; в = -4.

Заменете ги вредностите и напишете:

Примерот е скоро решен:

Ова е одговорот.

Најчестите грешки се конфузија со знаци на значење. а, би од... Наместо тоа, со замена

негативни вредности во формулата за пресметување на корените. Тука зачувува детална нотација на формулата

со специфични броеви. Ако имате компјутерски проблеми, направете го тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решите овој пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Ние сликаме сè во детали, внимателно, без да пропуштиме ништо со сите знаци и загради:

Квадратните равенки често изгледаат малку поинакви. На пример, вака:

Сега, забележете ги најдобрите практики што драматично ќе ги намалат грешките.

Прв прием... Немојте да бидете мрзливи порано решение на квадратната равенка донесете ја во стандардна форма.

Што значи тоа?

Да речеме, по какви било трансформации, ја добивте следната равенка:

Не брзајте да ја напишете коренската формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите. а, б и в.

Правилно изградете го примерот. Прво, X е на квадрат, потоа без квадрат, па слободен термин. Како ова:

Ослободете се од минусот. Како? Треба да ја помножите целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да го пресметате дискриминаторот и да го завршите примерот.

Направи го сам. Треба да имате корени 2 и -1.

Втор прием. Проверете ги корените! Од страна на теорема на Виета.

Да се \u200b\u200bрешат дадените квадратни равенки, т.е. ако коефициентот

x 2 + bx + c \u003d 0,

тогаш x 1 x 2 \u003d в

x 1 + x 2 \u003d -б

За целосна квадратна равенка во која а ≠ 1:

x 2 +бx +в=0,

подели ја целата равенка со и:

→ →

каде x 1 и x 2 - корените на равенката.

Прием трето... Ако вашата равенка содржи дробни коефициенти, ослободете се од дропките! Множете се

равенка на заеднички именител.

Заклучок. Практичен совет:

1. Пред да ја решиме, ја доведуваме квадратната равенка во стандардната форма, изгради ја правилно.

2. Ако има негативен коефициент пред x во квадрат, го елиминираме со множење на вкупниот број

равенки со -1.

3. Ако коефициентите се дропки, ги отстрануваме дропките множејќи ја целата равенка со соодветната

фактор

4. Ако x квадрат е чист, неговиот коефициент е еднаков на еден, растворот може лесно да се провери со

Квадратни равенки... Генерални информации.

ИН квадратна x мора да биде присутен на плоштадот (затоа е наречен

„Плоштад“). Покрај него, равенката може (или не може да биде!) Само x (во прв степен) и

само број (слободен член). И не треба да има x до степен поголем од два.

Општа алгебарска равенка.

каде x - бесплатна променлива, а, б, в - коефициенти, и а≠0 .

на пример:

Изразување наречен квадрат трином.

Елементите на квадратната равенка имаат свои имиња:

Наречен прв или највисок коефициент,

Наречен втор или коефициент на,

· Наречен слободен член.

Комплетна квадратна равенка.

Овие квадратни равенки имаат комплетен термин лево. X на квадрат со

коефициент и, x до првата моќност со коефициент б и бесплатно член од ИНсите коефициенти

мора да биде не нула.

Нецелосно се нарекува квадратна равенка во која барем еден од коефициентите, освен

највисокиот (или вториот коефициент или слободниот термин) е еднаков на нула.

Да се \u200b\u200bпреправаме така б \u003d 0, - x исчезнува во прв степен. Излегува, на пример:

2x 2 -6x \u003d 0,

Итн И ако и двата коефициенти, б и в еднаква на нула, тогаш сè е уште поедноставно, на пр:

2x 2 \u003d 0,

Забележете дека квадрат x е присутен во сите равенки.

Зошто и не може да биде нула? Потоа x квадрат исчезнува и равенката станува линеарна .

И се одлучува на сосема поинаков начин ...

Нецелосна квадратна равенка се разликува од класичните (целосни) равенки по тоа што нејзините фактори или пресретнување се еднакви на нула. Графикот на таквите функции е парабола. Во зависност од нивниот општ изглед, тие се поделени во 3 групи. Принципите на решавање за сите видови равенки се исти.

Нема ништо тешко во одредувањето на видот на нецелосен полином. Најдобро е да се земат предвид главните разлики со илустративни примери:

1. Ако b \u003d 0, тогаш равенката е ax 2 + c \u003d 0.
2. Ако c \u003d 0, тогаш треба да се реши изразот ax 2 + bx \u003d 0.
3. Ако b \u003d 0 и c \u003d 0, тогаш полиномот станува еднаквост на типот ax 2 \u003d 0.

Вториот случај е повеќе теоретска можност и никогаш не се појавува во задачи за тестирање на знаење, бидејќи единствената валидна вредност на променливата x во изразот е нула. Во иднина, ќе бидат разгледани методите и примерите за решавање на нецелосни квадратни равенки 1) и 2) типови.

Општ алгоритам за наоѓање на променливи и примери со решение

Без оглед на видот на равенката, алгоритмот на решението се сведува на следниве чекори:

1. Намалете го изразот во форма погодна за наоѓање корени.
2. Изведете пресметки.
3. Снимете го вашиот одговор.

Најлесен начин да се решат нецелосните равенки е со факторирање на левата страна и оставање нула на десната страна. Така, формулата за нецелосна квадратна равенка за наоѓање на корените се сведува на пресметување на вредноста на x за секој од факторите.

Можете само да научите како да го решите во пракса, па ајде да разгледаме специфичен пример за наоѓање на корените на нецелосна равенка:

Како што можете да видите, во овој случај b \u003d 0. Ние ја факторуваме левата страна и го добиваме изразот:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Очигледно, производот е нула кога барем еден од факторите е нула. Вредностите на променливата x1 \u003d 0,5 и (или) x2 \u003d -0,5 ги исполнуваат овие барања.

Со цел лесно и брзо да се справите со проблемот со факторирање на квадратниот трином во фактори, треба да ја запомните следната формула:

Ако нема слободен термин во изразот, задачата е многу поедноставена. Willе биде доволно само да се најде и извади заедничкиот именител. За јасност, разгледајте пример за тоа како да ги решите нецелосните квадратни равенки на формата ax2 + bx \u003d 0.

Да ја извадиме променливата x од заградите и да го добиеме следниот израз:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Водени од логиката, доаѓаме до заклучок дека x1 \u003d 0, и x2 \u003d -3.

Традиционално решение и нецелосни квадратни равенки

Што ќе се случи ако ја примените формулата за дискриминација и се обидете да ги пронајдете корените на полиномот, со коефициенти еднакви на нула? Да земеме пример од збирка типични задачи за испит по математика во 2017 година, да го решиме користејќи стандардни формули и методот на факторирање.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Да ја пресметаме вредноста на дискриминаторот: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Излегува дека полиномот има два корени:

Сега, да ја решиме равенката со факторирање и да ги споредиме резултатите.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Како што можете да видите, двата методи даваат ист резултат, но решавањето на равенката со вториот метод се покажа многу полесно и побрзо.

Теорема на Виета

И што да правиме со саканата теорема Виета? Може ли овој метод да се користи со нецелосен трином? Да се \u200b\u200bобидеме да ги разбереме аспектите на намалување на нецелосните равенки до класичната форма ax2 + bx + c \u003d 0.

Всушност, можно е да се примени теоремата на Виета во овој случај. Потребно е само да се донесе изразот во општа форма, заменувајќи ги членовите што недостасуваат со нула.

На пример, со b \u003d 0 и a \u003d 1, со цел да се елиминира веројатноста за конфузија, задачата треба да се напише во форма: ax2 + 0 + c \u003d 0. Потоа, односот на збирот и производот на корените и факторите на полиномот може да се изрази како што следува:

Теоретските пресметки помагаат да се запознаат со суштината на ова прашање и секогаш бараат вежбање вештини за решавање на специфични проблеми. Да се \u200b\u200bсвртиме повторно кон референтната книга за типични задачи за испитот и да најдеме соодветен пример:

Дозволете ни да го напишеме изразот во форма погодна за примена на теоремата на Виета:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Следниот чекор е да се создаде систем на услови:

Очигледно, корените на квадратниот полином ќе бидат x 1 \u003d 4 и x 2 \u003d -4.

Сега, ајде да вежбаме да ја донесеме равенката во општа форма. Земете го следниот пример: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

За да се примени теоремата на Виета на израз, потребно е да се ослободиме од дропката. Множете ја левата и десната страна со 4 и погледнете го резултатот: x2– 4 \u003d 0. Резултирачката еднаквост е подготвена да се реши со теоремата на Виета, но многу е полесно и побрзо да се добие одговорот едноставно со пренесување на c \u003d 4 на десната страна на равенката: x2 \u003d 4.

Сумирајќи, треба да се каже дека најдобриот начин да се решат нецелосните равенки е факторизација, што е наједноставниот и најбрзиот метод. Ако наидете на тешкотии во процесот на наоѓање корени, можете да се свртите кон традиционалниот метод за наоѓање корени преку дискриминаторот.