1. Општа равенка рамнина

Дефиниција. Авионот се нарекува површина, чии точки ги задоволуваат вкупната равенка: AX + BY + CZ + D \u003d 0, каде A, B, C - координатите на векторот

N \u003d AI + BJ + CK е стандард на нормална во рамнината. Следниве посебни случаи се можни:

A \u003d 0 - Авион паралелно со оската Ох

B \u003d 0 - Авион паралелно со оската Ц \u003d 0 - Авион паралелно со оската Оз

D \u003d 0 - авионот поминува низ потеклото на координатите

A \u003d B \u003d 0 - Авионот е паралелен со рамнината на XOO A \u003d C \u003d 0 - авионот е паралелен со XZ B \u003d C \u003d 0 рамнина - авионот паралелно со авионот Yoz A \u003d D \u003d 0 - на Авионот поминува низ оската Ох

B \u003d d \u003d 0 - авионот поминува низ оската на ou c \u003d d \u003d 0 - авионот поминува низ оската Оз

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - авионот се совпаѓа со рамнината на Xou A \u003d C \u003d D \u003d 0 - авионот се совпаѓа со авионот XOZ B \u003d C \u003d D \u003d 0 - авионот се совпаѓа со авионот Yoz

2. Површинска равенка во вселената

Дефиниција. Секоја равенка која ги поврзува координатите X, Y, Z било која точка на површината е равенката на оваа површина.

3. Равенката на авионот кој поминува низ три точки

Со цел преку три точки на Какелибо, беше можно да се спроведе еден авион, неопходно е овие точки да не лежат на една права линија.

Размислете за точки M1 (x1, Y1, Z1), M2 (x2, Y2, Z2), M3 (X3, Y3, Z3) во вкупниот дергален систем

координира.
За да за произволна точка m (x, y, z)	лежи во иста рамнина со точки
M 1, m 2, m 3 е неопходно векторот m 1 m 2, m 1 m 3, m 1 m беа оддел, т.е.
M1 m \u003d (x - x1; y - y1; z-z1)
(M 1 m 2, m 1 m 3, m 1 m) \u003d 0. Така, m 1 m 2	\u003d (x 2 - x 1; y 2		- y 1; Z 2 - Z 1)
М1 М 3.	\u003d (x 3 - x 1; y 3 - y 1; z 3 - Z 1)
		x - X1.	y - y1.	z-Z1.
Равенката на авионот поминува низ три точки:		x 2 - x 1	y 2 - y 1	z 2 - Z 1
		x 3 - x 1	y 3 - y 1	z 3 - Z 1

4. Равенката на рамнината на две точки и векторот, авионската рамнина

Дозволете поени M1 (x1, Y1, Z1), M2 (X2, Y2, Z2) и вектор \u003d (A 1, A 2, A 3).

Ние ќе ја направиме равенката на авионот кој ќе помине низ податоците на точките М1 и М2 и произволни

точка m (x, y, z) во паралелен вектор a.
Вектори М1 М \u003d (x - x1; y - y1; Z-Z1)	и вектор A \u003d (A, A					мора да биде
M 1m 2 \u003d (x 2 - x 1; y 2 \u200b\u200b- y 1; z 2 - Z 1)
			x - X1.				y - y1.	z-Z1.
компаниана, односно. (M 1 m, m 1 m 2, a) \u003d 0.europeance на авионот:		x 2 - x 1					y 2 - y 1	z 2 - Z 1

5. Равенката на авионот во еден момент и два вектори, авионски авион

Дозволете две верзии на A \u003d (A 1, A 2, A 3) и B \u003d (B1, B2, B3), се специфицирани колапини. Потоа за произволна точка m (x, y, z) кои припаѓаат на авионот, векторите А, Б, ММ 1 мора да бидат оддел.

6. Равенката на авионот на точката и векторот на нормално

Теорема. Ако точка m 0 (x 0, y 0, z 0) е наведен во просторот, равенката на авионот што минува низ точката m 0 нормално на векторот на нормално n (a, b, c) е: А ( x - x 0) + b (y - y 0) + c (z-z 0) \u003d 0.

7. Равенката на авионот во сегменти

Ако во целокупната секира + од + CZ + D \u003d 0 равенка за споделување на двата дела на (-D)

x -

y -

z - 1 \u003d 0, замена -

В, ние ја добиваме рамнината на рамнината

во сегменти:

еден. Броеви А, Б, Ц се точки на пресекот на авионот, соодветно

со оски x, y, z.

8. Равенка на рамнината во векторска форма

r n \u003d p, каде r \u003d xi + yj + zk е радиус на тековната точка m (x, y, z),

n \u003d i cosα + j cos β + k cosg - еден вектор кој има насока, нормално,

спуштени на авионот од почетокот на координатите. α, β и γ-агли формирани од овој вектор со оски x, y, z. P е должината на оваа нормална. Во координатите, оваа равенка изгледа како:

x cosα + y cos β + z cosg - p \u003d 0

9. Растојание од точка до авион

Растојание од произволна точка m 0 (x 0, y 0, z 0) до авионот секира + од + CZ + D \u003d 0 е:

d \u003d AX0 + BY0 + CZ0 + D

A2 + B2 + C 2

Пример. Пронајдете ја равенката на авионот што минува низ поени А (2, -1.4) и во (3.2, -1) нормално на авионот X + Y + 2Z - 3 \u003d 0.

Посакуваната рамна равенка е: AX + BY + CZ + D \u003d 0, вектор Нормално на оваа рамнина N 1 (A, B, C). Вектор АБ (1.3, -5) му припаѓа на авионот. Авионот што ни е даден,

перпендикуларниот посакуван има вектор на нормална N 2 (1,1,2). Затоа што Точките А и Б припаѓаат на двете авиони, а авионот е меѓусебно нормален, тогаш

n \u003d ab × n

− 5

- J.

− 5

11 I - 7 J - 2 k.

− 5

Така, векторот на нормална N 1 (11, -7, -2). Затоа што Точка А припаѓа на саканиот авион, неговите координати мора да ја задоволат равенката на овој авион, односно.

11.2 + 7.1- 2.4 + D \u003d 0; D \u003d - 21. Вкупно, ние ја добиваме равенката на рамнината: 11x - 7 y - 2Z - 21 \u003d 0

10. Линија равенка во вселената

И во авионот и во вселената, секоја линија може да се дефинира како збир на поени чии координати во некој координатен систем избрани во вселената ја задоволуваат равенката:

F (x, y, z) \u003d 0. Оваа равенка се нарекува линија равенка во вселената.

Покрај тоа, линијата во вселената може да се одреди и на друг начин. Тоа може да се смета за линија на пресек на две површини, од кои секоја е поставена со иста равенка.

Нека f (x, y, z) \u003d 0 и φ (x, y, z) \u003d 0 Бидете равенки на површините Пресекнување заедно L.

F (x, y, z) \u003d 0

Потоа пар на равенки f (x, y, z) \u003d 0 наречен линија равенка во вселената.

11. Равенката е директно во вселената на точка и водич вектор 0 \u003d m 0 m.

Затоа што Весели се m 0 m и Solinear, потоа соодносот m 0 m \u003d st, каде што т е некој параметар. Вкупно, можете да напишете: r \u003d r 0 + st.

Затоа што Оваа равенка ги задоволува координатите на било која точка директна, добиената равенка е параметарска равенка директно.

x \u003d x0 + mt

Оваа векторска равенка може да биде претставена во координатна форма: y \u003d y 0 + nt

z \u003d z0 + pt

Конвертирање на овој систем и изедначување на вредноста на т параметарот, ние добиваме канонски

равенки директно во вселената:	x - X0.		y-y0.		z-Z0.

Дефиниција. Директните косини се директно наречени косини водичи на векторот С, што може да се пресмета од формулите:

	cosα \u003d.			; Cos β \u003d.		; cosgh \u003d.
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p 2

Од тука добиваме: m: n: p \u003d cosα: cos β: cosg.

Броевите m, n, p се нарекуваат аголни коефициенти директно. Затоа што S е ненутен вектор, а потоа M, N и P не може да биде нула во исто време, но еден или два од овие броеви може да бидат нула. Во овој случај, во равенката, соодветните брошнитори треба да бидат изедначени.

12. Равенката е директна во вселената која поминува низ две точки

Ако постојат две произволни точки m 1 (x 1, y 1, z 1) на право во вселената) и

M 2 (x 2, y 2, Z 2), координатите на овие точки мора да ја задоволат равенката добиени погоре:

x 2 - x 1		y 2 - y 1		z 2 - Z 1

Можете да поставите на различни начини (по една точка и вектор, две точки и вектор, три точки итн.). Тоа го зема предвид ова што рамнината равенка може да има различни типови. Исто така, предмет на одредени услови, авионот може да биде паралелен, нормален за пресекување, итн. Земете го ова и зборувајте за овој напис. Ние ќе научиме да направиме општа рамна равенка и не само.

Нормална форма равенка

Да претпоставиме дека постои простор R3, кој има правоаголен координатен систем на XYZ. Поставете го векторот α, кој ќе биде ослободен од почетната точка О. По завршувањето на векторот α, ќе го спроведеме авионот P, што ќе биде нормално на тоа.

Означува со произволна точка Q \u003d (x, y, z). Радиус-векторска точка Q се претплатите на буквата r. Во овој случај, должината на векторот α е еднаква на p \u003d iαi и ʋ \u003d (cosα, cosβ, cosg).

Ова е еден вектор кој е насочен настрана, како и векторот α. α, β и γ се аглите кои се формираат помеѓу векторот ʋ и позитивните насоки на оските на X, Y, Z, соодветно. Проекцијата на било која точка QBP на векторот ʋ е постојана вредност што е еднаква на p: (p, ʋ) \u003d p (p≥0).

Специфичната равенка има смисла кога p \u003d 0. Единствениот, авионот P во овој случај ќе ја преминат точката O (α \u003d 0), што е почеток на координатите, а единицата вектор ʋ, објавен од точка О, ќе биде нормално на P, и покрај нејзината насока, Што значи дека векторот ʋ се одредува со точност пред знакот. Претходната равенка е равенката на нашата рамнина N, изразена во векторска форма. Но, во координатите, неговиот изглед ќе биде вака:

R Тука е поголема или еднаква на 0. Ние ја пронајдовме рамнината равенка во просторот во нормална форма.

Општа равенка

Ако равенката во координатите да се размножуваат на било кој број што не е нула, ја добиваме равенката еквивалентна на ова, што го одредува многу авионот. Тоа ќе има ваков вид:

Тука A, B, C е бројки кои истовремено се разликуваат од нула. Оваа равенка се нарекува равенка на општата форма на форма.

Равенки на авиони. Приватни случаи

Равенката во општа форма може да се менува во присуство на дополнителни услови. Размислете за некои од нив.

Да претпоставиме дека коефициентот А е 0. Ова значи дека овој авион е паралелен со наведената оска Ох. Во овој случај, погледот на равенката ќе се промени: WU + CZ + D \u003d 0.

Слично на видот на равенката ќе се смени под следните услови:

• Прво, ако B \u003d 0, равенката ќе се смени во AH + CZ + D \u003d 0, која ќе укаже на паралелно со оската ОУ.
• Второ, ако C \u003d 0, равенката се претвора во AH + W + D \u003d 0, која ќе зборува за паралелно со наведената оска Оз.
• Трето, ако D \u003d 0, равенката ќе изгледа како ah + v / cz \u003d 0, што ќе значи дека авионот ги преминува О (потеклото на координатите).
• Четврто, ако A \u003d B \u003d 0, равенката ќе се промени на CZ + D \u003d 0, која ќе се покаже паралелно со окси.
• Петто, ако B \u003d C \u003d 0, равенката ќе стане ах + D \u003d 0, а тоа значи дека авионот на Ојз е паралелен.
• Шесто, ако A \u003d C \u003d 0, тогаш равенката ќе се стекне со поглед на WU + D \u003d 0, односно, ќе пријави паралелно со Oxz.

Погледнете ја равенката во сегменти

Во случај кога броевите A, B, C, D се различни од нула, формата на равенката (0) може да биде како што следува:

x / a + y / b + z / s \u003d 1,

во која a \u003d -d / a, b \u003d -d / b, c \u003d -d / s.

Ние го добиваме на крајот вреди да се напомене дека оваа рамнина ќе ја премине оската О, во точка со координати (A, 0.0), OU - (0, B, 0), и OZ - (0.0, C).

Имајќи ја предвид равенката X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, не е тешко визуелно да се презентира поставувањето на авионот во однос на наведениот координатен систем.

Координати на нормалниот вектор

Нормалниот вектор N на Пленот на П има координати кои се коефициенти на општата равенка на овој авион, односно N (A, B, C).

Со цел да се одредат координатите на нормална N, доволно е да се знае општата равенка на наведената рамнина.

Кога ја користите равенката во сегменти, која има форма X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, како и со употребата на општата равенка, можни се координатите на секој нормален вектор на наведената рамнина: (1 / A + 1 / B + 1 / од).

Вреди да се напомене дека нормалниот вектор помага да се решат различни задачи. Најчестите задачи вклучуваат доказ за перпендикуларност или паралелизам на авиони, задачи за изнаоѓање агли помеѓу авиони или агли помеѓу авиони и право.

Поглед на равенката на рамнината според координатите на точката и нормалниот вектор

NONZERO Vector N, нормално на наведената рамнина, се нарекува нормално (нормално) за дадена рамнина.

Да претпоставиме дека во координатниот простор (е даден правоаголен координатен систем) OXYZ:

• точка mₒ со координати (xₒ, uₒ, zₒ);
• нула вектор n \u003d a * i + in * j + s * k.

Неопходно е да се направи равенката на авионот, кој ќе помине низ точката Mₒ нормално на нормална Н.

Во вселената, изберете било која произволна точка и означете го m (x y, z). Нека радиус-вектор на било која точка m (x, y, z) ќе биде r \u003d x * i + y * j + z * k, и радиус-векторска точка mₒ (xₒ, uₒ, zₒ) - rₒ \u003d xₒ * i + u * j + zₒ * k. Точката М ќе припаѓа на дадена рамнина ако векторот mₒm е нормално на векторот Н. Ние ја запишуваме состојбата на ортогоналноста со помош на скаларен производ:

[Mₒm, n] \u003d 0.

Бидејќи Mₒm \u003d R-Rₒ, векторната равенка на авионот изгледа вака:

Оваа равенка може да има друга форма. За таа цел се користат својствата на скаларниот производ, а левата страна на равенката се конвертира. \u003d -. Ако назначите како C, тогаш ќе се добие следната равенка: - C \u003d 0 или \u003d C, која ја изразува постојаноста на проекциите на нормалниот вектор на радиус вектори на наведените точки кои припаѓаат на авионот.

Сега можете да го добиете координатниот поглед на евиденцијата на векторната равенка на нашиот авион \u003d 0. Од r-rₒ \u003d (x-x ₒ) * i + (y-Uₒ) * J + (z-zₒ) * k, и n \u003d a * i + in * j + c * k, имаме:

Излезе, имаме авионска равенка што минува низ точка нормална за нормална n:

A * (X-Xₒ) + B * (U-) C * (z-zₒ) \u003d 0.

Поглед на равенката на рамнината според координатите на две точки и вектор, авионски авион

Ние ќе поставиме две произволни точки M '(x', u ', z') и m "(x", y, z "), како и векторот А (А", А ", А ‴).

Сега ќе можеме да ја изготвиме равенката на даден авион, кој ќе помине низ достапните точки M 'и M ", како и секоја точка M со координати (X, Y, Z) паралелно со наведениот вектор a.

Во исто време, векторите mm \u003d (xx '; y,'; zz ') и m "m \u003d (x" -h'; y '-u'; z "-z ') мора да биде оддел со Вектор A \u003d (a ', a ", a ‴), што значи дека (m'm, m" m, a) \u003d 0.

Значи, нашата равенка на авионот во вселената ќе изгледа вака:

Поглед на равенката на авионот кој поминува низ три точки

Да претпоставиме дека имаме три точки: (x ', y', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴), кои не припаѓаат на една права линија. Неопходно е да се напише равенката на авионот што минува низ наведените три точки. Теоријата на геометријата тврди дека овој вид на авион навистина постои, тоа е само тоа е единствениот и уникатен. Бидејќи оваа рамнина ја преминува поентата (x ", во ', z'), погледот на нејзината равенка ќе биде како што следува:

Еве А, Б, со не-нула во исто време. Исто така, наведената рамнина поминува уште две поени: (x ", y, z") и (x ‴, ‴, z ‴). Во овој поглед, овој вид на состојба мора да се изврши:

Сега можеме да изготвиме хомоген систем со непознат U, V, W:

Во нашата случај x, y или Z врши произволна точка што ја задоволува равенката (1). Со оглед на равенката (1) и системот од равенки (2) и (3), системот на равенки наведени во горната слика го задоволува векторот N (A, B, C), кој не е тривијален. Затоа, детерминанта на овој систем е нула.

Равенка (1), која успеавме, ова е равенката на авионот. По 3 поени, таа точно поминува, и лесно е да се провери. За да го направите ова, распаѓање на нашиот идентификатор во елементите во првата линија. Од постојните својства на одредник, следува дека нашиот авион истовремено преминува три првични поени (x ", u ', z'), (x", y, z "), (x ‴, ‴, z ‴). Тоа е, решивме задачата поставена пред нас.

Дво монтиран агол помеѓу авиони

Два монтиран агол е просторен геометриска формаформирана од две полу-авиони кои доаѓаат од една права линија. Со други зборови, ова е дел од просторот што е ограничен од овие полу-авиони.

Да претпоставиме дека имаме две авиони со следните равенки:

Ние знаеме дека векторите n \u003d (a, b, c) и n¹ \u003d (a¹, v¹, c¹) се нормални според наведените авиони. Во врска со ова, аголот помеѓу векторите n и n¹ е еднаков на аголот (двајца мажи), кој се наоѓа помеѓу овие авиони. Скаларен производ Таа има форма:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

тоа е затоа што

cosφ \u003d nn¹ / | n || n¹ | \u003d (aa¹ + експлозивни + ss¹) / ((√ (a ² + c² + c²)) * (√ (A¹) ² + (v) ² + (²) ²))))))) .

Доволно е да се разгледа дека 0≤≤≤π.

Всушност, две авиони кои се пресекуваат, формираат два агол (двајца мажи): φ 1 и φ 2. Сумата е еднаква на π (φ 1 + φ 2 \u003d π). Што се однесува до нивните косини, нивните апсолутни вредности се еднакви, но тие се разликуваат во знаците, односно Cos φ 1 \u003d -COS φ 2. Ако во равенката (0) се заменува со, во и c по број -, - и -s, соодветно, равенката што ја добиваме ќе го одредиме истиот авион, единствениот, аголот φ во cos φ \u003d Nn 1 / равенка | n || n 1 | ќе бидат заменети со π-φ.

Равенка перпендикуларен рамнина

Perpendicular се нарекува рамнина помеѓу кој аголот е 90 степени. Користејќи го материјалот поставен погоре, можеме да ја најдеме равенката на рамнината нормална на друга. Да претпоставиме дека имаме две авиони: AH + V / CZ + D \u003d 0 и A¹x + V \u003d 0 и AZ + D \u003d 0. Ние можеме да тврдиме дека тие ќе бидат нормални ако cosφ \u003d 0. Ова значи дека NN¹ \u003d AA¹ + експлозија + SS¹ \u003d 0.

Равенка на паралелна рамнина

Паралелите се нарекуваат две авиони кои не содржат заеднички точки.

Состојбата (нивните равенки се исти како и во претходниот став) лежи во фактот дека векторите n и n¹, кои се нормални за нив, Колинеарни. Ова значи дека се исполнети следниве услови:

A / \u003d v / v¹ \u003d c / c¹.

Ако условите за пропорционалност се прошират - A / A¹ \u003d IN / C \u003d C / C¹ \u003d DD¹,

ова сугерира дека овие планови се совпаѓаат. И ова значи дека равенките ah + v / cz + d \u003d 0 и a¹x + in + ¹z + d¹ \u003d 0 Опишете еден авион.

Растојание до авион од точка

Да претпоставиме дека имаме авион P, што е поставено со равенка (0). Неопходно е да се најде растојанието од точка со координатите (xₒ, uₒ, zₒ) \u003d qₒ. За да го направите ова, треба да ја донесете равенката на P авионот во нормална форма:

(ρ, v) \u003d p (p≥0).

Во овој случај, ρ (x, y, z) е радиус-вектор на нашата точка Q се наоѓа на p, p е должината на перпендикуларниот N, кој беше ослободен од нулта точка, V е еден вектор, кој е Се наоѓа во насока А.

Разликата ρ-ρº радиус-вектор на одреден момент Q \u003d (x, y, z) кои припаѓаат на n, како и радиус вектор на одредена точка Q 0 \u003d (xₒ, uₒ, zₒ) е истиот вектор, абсолутна вредност Проекциите за кои на V е еднаква на далечината D за да се најдат од Q 0 \u003d (xₒ, y, zₒ) до P:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) | Но

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d p- (ρ 0, v).

Така излегува

d \u003d | (ρ 0, v) -r |.

Така, ќе ја најдеме апсолутната вредност на добиениот израз, односно саканиот D.

Користење на јазикот на параметрите, добиваме очигледно:

d \u003d | ah ₒ + vuₒ + czₒ | / √ (a² + c² + c²).

Ако точка Q 0 е на другата страна на авионот P, како и почетокот на координатите, а потоа помеѓу векторот ρ-ρ 0 и V е:

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -r\u003e 0.

Во случај кога точката Q 0, заедно со почетокот на координатите, се наоѓа на истата страна од N, тогаш создадениот агол е остри, односно:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)\u003e 0.

Како резултат на тоа, излегува дека во првиот случај (ρ 0, v)\u003e p, во вториот (ρ 0, v)<р.

Тангентната рамнина и нејзината равенка

Допирањето на авионот на површината во точка на допирање Mº е рамнина што ги содржи сите можни тангенти на кривата спроведена преку оваа точка на површината.

Со оваа форма на равенката на површината f (x, y, z) \u003d 0, равенката на тангентната рамнина на тангента точка mº (xº, Uº, zº) ќе изгледа вака:

F x (xº, yº, zº) (xº) + f x (xº, yº, zº) (uh º) + f x (xº, yº, zº) (z-zº) \u003d 0.

Ако ја наведете површината во експлицитна форма z \u003d f (x, y), тогаш тангентата ќе биде опишана со равенката:

z-zº \u003d f (xº, Uº) (xº) + f (xº, yº) (Uº).

Премин на две авиони

Се наоѓа координатен систем (правоаголен) оксиз, се даваат две авиони P 'и p "се дадени, кои се сечат и не се совпаѓаат. Бидејќи било кој авион во правоаголниот координатен систем е определен од вкупната равенка, претпоставуваме дека p 'и p "се поставени од равенките a'h + b'u + c'z + d' \u003d 0 и" x + во "Y + со" Z + D "\u003d 0. Во овој случај, имаме нормално n '(a', b ', c') авион p 'и нормално n "(a", во ", c") авион p ". Бидејќи нашите авиони не се паралелни и не се совпаѓаат, овие вектори не се собираат. Користејќи го јазикот на математиката, можеме да ја напишеме оваа состојба на следниов начин: N '≠ n "↔ (А', во ', c') ≠ (λ * a", λ * во ", λ * s"), λεr. Нека права линија, која лежи на пресекот на P 'и P ", ќе биде означена со буквата А, во овој случај, a \u003d p' ∩ p".

а е директна се состои од различни сите точки (општи) авиони p 'и p ". Ова значи дека координатите на која било точка што припаѓаат на директни А треба истовремено да ги задоволат равенките a'h + b'u + c'z + d '\u003d 0 и "x + до" y + со "z + d" \u003d 0 . Значи, координатите на точката ќе бидат приватно решение на следниов систем на равенки:

Како резултат на тоа, излегува дека решението (општо) на овој систем на равенки ќе ги одреди координатите на секоја од точките на линијата, која ќе делува како точка на пресек на P 'и P "и ќе го одреди директно А во оксиз координатен систем (правоаголни) во вселената.

Размислете за авион во вселената. Позицијата на тоа е целосно определена од страна на збир на вектор N нормален на овој авион, а некои фиксна точка лежи во Q авионот. Вектор N, нормален авион Q, се нарекува нормален вектор на оваа рамнина. Ако назначите преку A, B и од проекцијата на нормалниот вектор N, тогаш

Ние ја извлекуваме равенката на авионот Q што минува низ оваа точка и има даден нормален вектор. За да го направите ова, размислете за векторната точка за поврзување со произволна точка на авионот Q (слика 81).

На секоја позиција на точката М на авионот Q, MXEM е нормално на нормалниот вектор N авионот Q. Затоа, скаларниот производ ќе напише скаларен производ преку проекции. Како и вектор, тогаш

а со тоа и,

Ние покажавме дека координатите на било која точка на авионот Q ја задоволуваат равенката (4). Лесно е да се напомене дека координатите на точките кои не лежат на рамнината на Q, оваа равенка не е задоволувачка (во вториот случај). Како резултат на тоа, ја добивме саканата равенка на авионот Q. Равенката (4) се нарекува равенка на авионот што минува низ оваа точка. Тоа е прв степен во однос на тековните координати.

Значи, покажавме дека секој авион одговара на равенката на првиот степен во однос на тековните координати.

Пример 1. Напишете ја равенката на авионот што минува низ точка нормално на векторот.

Одлука. Тука. Врз основа на формулата (4) добиваме

или по поедноставување

Давање коефициенти А, Б и од равенката (4) различни вредности, можеме да ја добиеме равенката на кој било авион што минува низ точка. Комбинацијата на авиони што минуваат низ оваа точка се нарекуваат лигамент на авиони. Равенка (4), во која коефициентите A, B и C може да ги преземат сите вредности, се нарекуваат равенка на лигаментот на авионите.

Пример 2. Направете равенка на авионот кој поминува низ три точки (Слика 82).

Одлука. Напишете ја равенката на лигаментите на авионите што минуваат низ точка

Позицијата на авионот во просторот ќе биде сосема дефинирана ако е поставена на растојание од почетокот на О, односно должината на нормалната од, намалена од точка o во авионот и единицата вектор n °, перпендиран во авионот и насочен од почеток до авионот (Слика 110).

Кога поентата М се движи по должината на авионот, неговиот радиус-вектор варира така што цело време е поврзано со некоја состојба. Ајде да видиме што е оваа состојба. Очигледно, за било која точка лежи на авионот, имаме:

Оваа состојба се одвива само за рамни точки; Тоа е скршено ако м м лежи надвор од авионот. Така, еднаквоста (1) го изразува имотот, вкупните рамнини и само нив. Според § 7 ч. 11 Имаме:

и, според тоа, равенката (1) може да биде препишана во форма:

Равенката (г) изразува состојба во која точка) лежи на овој авион, и се нарекува нормална равенка за оваа рамнина. Радиус-вектор на произволна точка на авионот се нарекува тековен радиус-вектор.

Равенката (1) на авионот е напишана во векторска форма. Осврнувајќи се кон координатите и поставувањето на потеклото на почетокот на векторите - точка O, забележуваме дека проекциите на единицата вектор на оската на координатите се косинуси на аглите составени од оските со овој вектор и проекциите на радиус-векторска точка м

послужете ги координатите на точката, јас. Имаме:

Равенката (г) оди во координата:

При преведувањето на векторската равенка (г) на авионот до координативната равенка (2), ја користевме формулата (15) § 9 ч. 11 Изразувајќи скаларен производ преку проекциите на векторите. Равенката (2) изразува состојба во која точката m (x, y, z) лежи на овој авион, и се нарекува нормална равенка за оваа рамнина во координатната форма. Како резултат на равенката (2) е прв степен роднина, односно секој авион може да биде претставен со равенката на првиот степен во однос на тековните координати.

Имајте на ум дека изведените равенки (1 ") и (2) остануваат во сила, а потоа кога, т.е., овој авион поминува низ потеклото. Во овој случај, можно е да се преземат било кој од двајцата вектори нормално на авионот и различно од друга насока.

Коментар. Нормалната равенка на авионот (2) може да се излезе без користење на векторскиот метод.

Земете произволна рамнина и поминуваат преку потеклото на координатите нормално на него директно I. Ние инсталираме на оваа директна позитивна насока од почетокот на координатите до авионот (ако избраниот авион помина низ потеклото на координатите, тогаш насоката на право може да се преземат).

Позицијата на оваа рамнина во просторот е целосно определена од растојанието од потеклото, односно должината на сегментот на оската L од потеклото до пресечната точка со авионот (на сликата 111 - сегмент) и аглите помеѓу оската и координатните оски. Кога поентата на координатите се движи по должината на авионот, нејзините координати се менуваат така што цело време е поврзано со некоја состојба. Ајде да видиме што е оваа состојба.

Изградба на Сл. 111 Координатна скршена линија Opsm произволна точка М рамнина. Земете ја проекцијата на ова скршено на оската l. Забележувајќи дека проекцијата на скршената е еднаква на проекцијата на сегментот на краток спој (ch. I, § 3), ќе имаме.

24. Линеарна зависност на колоните на матрицата. Својства линеарна зависност и независност на стрингови (колони) на матрицата

Својства на линеарно зависни и линеарно независни колони на матрици

25. Основи мало. Теорема на основниот малолетник. Опсег на опсег.

26. Системи на линеарни равенки. Теорема на Кронкенер - Капели за компатибилноста на системите.

27. Единствени системи на линеарни равенки. Својства на нивните решенија. Општа одлука на магарето.

28. Основни системски решенија

29. Неомогени системи на линеарни равенки. Својства на нивните решенија. Градење на општо решение на NSLU.

30. Линеарни простори. Дефиниција. Примери, ефекти од аксиома.

31. Линеарна зависност на линеарни вселенски вектори. Својства

32. Основа на линеарен простор. Димензија

33. Единственоста на распаѓањето на векторите по база. Координира. Акции на вектори во форматната форма.

34. Промена на векторските координати кога се префрлате на нова основа. Матрица на транзиција.

35. Евклидонски простор. Дефиниција, примери. Вектор модул. Аголот помеѓу векторите. Нееднаквоста на Cauchy Bunyakovsky.

36. Линеарен оператор. Матрицата на линеарниот оператор. Промена на матрицата на линеарниот оператор при префрлување на нова основа.

37. Сликата и јадрото на линеарен оператор. Ранг линеарен оператор.

38. Во посебна датотека.

39. сопствени вектори и сопствени вредности на линеарен оператор. Нивните својства

40. Секвенца. Граница на секвенца. Ограничени, неограничени, бесконечно мали и бескрајно големи секвенци. Дефиниција

[Уреди] Примери

[Уреди] Операции на секвенци

[Уреди] Последователност

[Уреди] Примери

[Уреди] својства

[Уреди] Ограничена точка секвенца

[Уреди] граница на секвенци

[Уреди] Некои видови на секвенци

[Уреди] ограничени и неограничени секвенци

[Уреди] Критериум Ограничена нумеричка секвенца

[Уреди] својства на ограничени секвенци

[Уреди] бескрајно големи и бескрајно мали секвенци

[Уреди] својства на бескрајно мали секвенци

[Уреди] конвергентни и дивергентни секвенци

[Уреди] својства на конвергирачки секвенци

41. Концептот на функцијата. Начини за поставување на функцијата.

42. Ограничена функција во точка, во бесконечност. Геометриско толкување. Дефиниции и примери.

43. Теоремите се ограничени:

44. Континуирани функции и својства:

Својства локални

Глобал

Знак за зачувување на теорема за континуирана функција

Доказ

45. Првиот прекрасен лимит. Последици. Лимит теорема износи, дела и приватни.

46. \u200b\u200bОграничени функции и нивните својства. Потребниот услов за постоење на граница на функцијата во точка.

47. Бескрајни мали функции, нивните својства. Лема

Lemmas за бескрајно мал

48. Критериум за постоење на граница на функцијата во точка.

49. Бескрајни големи функции, комуникација со бескрајно мали функции.

50. Обелоденување на неизвесности. Втората прекрасна граница.

51. еквивалентни бесконечно мали функции. Табела со еквивалентни бесконечно мали функции.

52. Теорема за употреба на еквивалентно бескрајно мал за да ги пресмета границите.

3.2. Главните формули за еквивалентност се бескрајно мали.

53. Еднонасочна функција ограничувања во точка. Едностран континуитет на функцијата во точка.

54. Точка пауза поени и нивна класификација.

55. Својства на функции Континуирано на сегментот.

56. Задачи што довеле до концептот на дериватот. Концептот на дериватот. Геометриски и физички знаат дериват.

1.1 Задачи што доведоа до концептот на дериватот

, Ако.

57. Диференцијалност на функцијата. Функција за диференцијабилност на критериумите во точка.

57. Диференцијалност на функцијата. Функција за диференцијабилност на критериумите во точка.

58. Деривативна комплексна функција.

59. Диференцијална функција. Инкреација на првата форма на диференцијална снимање.

60. Обратна функција и нејзиниот дериват.

60. Обратна функција и нејзиниот дериват.

61. правила за диференцијација.

63. Логаритамски диференцијација. Дериватот на последната индикативна функција.

5.4. Дериватот на последната индикативна функција

64. Погледнете посебна датотека.

65. Теореми во просек - фарма, се тркалаат.

66. Средните теореми на Lagrange, Cauchy.

67. Диференцијали на повисоки нарачки. Не-инвариантска форма за снимање.

68. Правило Lopital. Откривање на неизвесности со користење на Lopital правило.

69. Формула Тејлор. Распаѓање на функцијата според формулата Тејлор.

70. Монотонијата на функцијата. Услови за монотоничност.

71. Екстремна функција. Потребниот услов за постоење на екстрем.

72. Доволно екстремни услови.

73. Конверзија и конкавна функција на функцијата. Точки на флексија.

74. Асимптоти на графика.

[Уреди] Видови на асимптоти на графикони [уреди] вертикална

[Уреди] Хоризонтално

[Уреди] склони

[Уреди] Наоѓање на асимптотот

76. Метод за замена на променливите на неопределено интеграл.

77. Интеграција во делови на неопределено интеграл. Класите на функции се интегрираат во делови.

78. Рационално ФРАКИ. Распаѓање на рационални фракции на збирот на наједноставните.

79. Интегрирање на наједноставните рационални фракции.

80. Интегрирање на тригонометриски функции.

81. Интеграција на очите ирационални ...

82. Интеграција на очите ирационалности ...

83. Концептот на специфичен интеграл, нејзиното геометриско значење и својства. Среден теорема.

84. Интеграл со променлива горната граница. Формула Newton Labitsa.

85. Поларниот координатен систем. Равенки на криви во поларниот координатен систем.

Равенка на криви во поларните координати

Круг

Поларна Роса

Спирала Архимед

Конусни делови

86. Пресметка на специфичен составен дел. Употребата на тоа за пресметување на областите на рамни бројки, должината на кривата на лак.

87. Пресметка на тела, тела на ротација.

88. Додаток специфичен составен дел на задачите на физиката.

89. Неважни интеграли од II.

89. Неважни интеграли од II.

Неважните интеграли на мене

Геометриско значење на некомпатибилниот составен I

Примери

90. Неварни интеграли на родот.

Геометриско значење на несоодветни интеграли на родот

Нормална рамна равенка.

Се вика општата равенка на видот нормална равенка на рамнинатаАко должината на векторот еднаква на еден, тоа е, , и.

Често е можно да се види дека нормалната равенка на авионот е напишана во форма. Тука - водич косинци на нормалниот вектор на оваа рамнина на една должина, тоа е, и р. - Не-негативен број еднаков на растојанието од почетокот на координатите во авионот.

Нормална рамна равенка во правоаголен координатен систем Оксиз. Го одредува авионот што е отстранет од почетокот на координатите р. Во позитивна насока на нормалниот вектор на оваа рамнина . Ако p \u003d 0.Авионот поминува низ потеклото на координатите.

Ние даваме пример за нормална рамна равенка.

Нека авионот поставен во правоаголниот координатен систем Оксиз. Заедничка равенка на рамнината на формата . Оваа општа равенка на авионот е нормална равенка на авионот. Навистина, нормалниот вектор на оваа рамнина има должина еднаква на една, бидејќи .

Равенката на авионот во нормална форма ви овозможува да ја пронајдете растојанието од точка до авионот.

Растојание од точка до авионот.

Растојанието од точка до авионот е најмалата од растојанијата помеѓу оваа точка и точките на авионот. Тоа е познато дека растојание Од точка до авионот е еднаква на должината на перпендикуларната, намалена од оваа точка до авионот.

Ако потеклото на координатите лежи на различни страни на авионот, во спротивен случај. Растојанието од точка до авионот е

Взаемна локација на авионите. Услови на паралелизам и нормалноста на авионите.

Растојание помеѓу паралелните авиони

Поврзани концепти

Авионот е паралелен , ако

или (Векторска уметност)

Авиони перпендикуларни, ако

Или . (Скаларен производ)

Директно во вселената. Различни видови на равенки се исправени.

Равенки директно во вселената - првични информации.

Директна равенка на авионот Окси е линеарна равенка со две променливи x. и. y.Кои ги задоволуваат координатите на било која точка директно и не ги задоволуваат координатите на сите други точки. Со линија во три-димензионален простор, тоа е малку поинакво - не постои линеарна равенка со три варијабли. x., y. и. z.што би ги задоволила само координатите на точките директно наведени во правоаголниот координатен систем Оксиз.. Навистина, равенката на видовите каде x., y. и. z. - променливи, и A., Б., В. и. Д. - некои валидни броеви, и И., Внатре и. Од Во исто време не се нула, претставува општа равенка на авионот. Тогаш се поставува прашањето: "Како може директната линија да биде опишана во правоаголен координатен систем Оксиз.»?

Одговорот на него е содржан во следните ставови од статијата.

Равенките директно во вселената се равенките на две пресечни авиони.

Потсетиме една аксиома: Ако две авиони во вселената имаат заедничка точка, тогаш тие имаат заеднички директен на кој се наоѓаат сите заеднички точки на овие рамнини. Така, може да се специфицира директна линија во вселената, што укажува на две авиони пресечени преку овој директен.

Ја пренесуваме последната изјава на јазикот на алгебрата.

Дозволете правоаголниот координатен систем да биде фиксиран во тридимензионален простор Оксиз. И тоа е познато дека правилно a. Тоа е линија на пресек на две авиони и, што одговара на заедничките равенки на авионот е видеото. Од a. Тоа е збир на сите заеднички точки на авиони и, потоа координатите на која било точка директно ќе ги задоволат двете равенки, координатите на сите други точки нема да бидат задоволни истовремено и двете равенки на авионите. Следствено, координатите на било која точка директно a. во правоаголен координатен систем Оксиз. Претставува приватно решение на системот на линеарни равенки Поглед на поглед , и општото решение на системот на равенки ги дефинира координатите на секоја точка директно a., тоа е, го одредува директното a..

Значи, директно во вселената во правоаголен координатен систем Оксиз. може да се постави од страна на системот од равенките од две пресечни авиони .

Еве еден пример за задачата на права линија во вселената со користење на систем на две равенки - .

Описот на права линија со равенките на двете пресечни авиони е одличен за наоѓање на координатите на пресекот на директниот и рамнинатакако и наоѓање на координатите на пресекот на два директни во вселената.

Препорачуваме да ја продолжиме проучувањето на оваа тема со контактирање на статијата. равенки директно во вселената - равенки на две пресечни авиони. Таа претставува подетални информации, решенијата на карактеристични примери и задачи детално се расклопуваат, а методот на транзиција кон равенките директно е прикажан во просторот на друг вид.

Треба да се напомене дека постојат различни методи на задачата директно во вселената, и во пракса, директна е почесто дефинирана со две пресечни авиони, но директна линија на директна и точка лежи на оваа права линија. Во овие случаи, полесно е да се добијат канонски и параметриски равенки директно во вселената. Ние ќе зборуваме за нив во следните ставови.

Параметриски равенки директно во вселената.

Параметарски равенки директно во вселената имаат вид ,

каде x. 1 ,y. 1 и. z. 1 - координати на некоја точка директна, a. x. , a. y. и. a. z. (a. x. , a. y. и. a. z. Во исто време не се нула) - релевантни директни вектори Директни координати, А - некој параметар кој може да преземе важечко значење.

Со било која вредност на параметарот со параметарски равенки, директно во вселената можеме да ги пресметаме првите три броеви,

тоа ќе одговара на некоја точка директно (оттука и името на овој тип на равенки линија). На пример, кога

од параметарски равенки, директно во вселената добиваме координати x. 1 , y. 1 и. z. 1 : .

Како пример, разгледајте ги директните, кои параметални равенки посебно се поставени . Оваа директна поминува низ точката, а водичот вектор на овој директ има координати.

Препорачуваме продолжување на проучувањето на темата со контактирање на статијата параметарски равенки директно во вселената. Таа го покажува повлекувањето на параметарските равенки на директно во вселената, посебните случаи на параметриски равенки се расклопуваат во вселената, дадени се графички илустрации, се даваат детални решенија на карактеристични задачи и поврзувањето на параметарските равенки директно со други видови директни равенки .

Канонските равенки директно во вселената.

Решавање на секоја од параметарските равенки од директен тип во однос на параметарот, лесно да се оди канонските равенки директно во вселената Поглед на поглед .

Канонските равенки директно во вселената се дефинираат директно поминување низ точката и директен директен вектор е вектор . На пример, равенките директно во канонската форма одговараат на директна минува низ точка на простор со координати, водечкиот вектор на овој директ има координати.

Треба да се напомене дека еден или два од броевите во канонските равенки на правото може да бидат нула (сите три не можат да бидат нула поединечно еднакви, бидејќи директната линија не може да биде нула). Потоа евиденција на погледот се смета за формално (како во деноминаторите на една или две фракции ќе бидат нули) и треба да се сфати како каде.

Ако еден од броевите во канонските равенки е директно еднаков на нула, тогаш директните лежи во една од координатните авиони, или во авионот паралелно. Ако два од романите се нула, тогаш директно или се совпаѓа со една од координатните оски, или паралелно со него. На пример, директна соодветна на канонските равенки директно во просторот на видот лежи во авионот z \u003d -2.што е паралелно со координатната рамнина Оксии координира оска Ој. Утврдени со канонски равенки.

Графички илустрации на овие случаи, повлекување на канонските равенки во вселената, детални решенија на карактеристични примери и задачи, како и транзицијата од канонските равенки директно до други равенки директно во вселената, видете ја статијата канонските равенки директно во вселената.

Општата равенка е исправена. Транзиција од вкупно на канонската равенка.

"