Што е функционална табела. Изградба на графикони на функции. Функција на моќност со дури и позитивен експонент

1. Линеарна дробна функција и нејзиниот график

Функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми, се нарекува фракциона рационална функција.

Веројатно веќе сте запознаени со концептот на рационални броеви. Слично на тоа рационални функциисе функции кои можат да се претстават како количник од два полиноми.

Ако фракционата рационална функција е количник од две линеарни функции - полиноми од прв степен, т.е. функција за преглед

y = (ax + b) / (cx + d), тогаш се нарекува фракционо линеарно.

Забележете дека во функцијата y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (во спротивно функцијата станува линеарна y = ax/d + b/d) и дека a/c ≠ b/d (инаку функцијата е константа). Линеарно-фракционата функција е дефинирана за сите реални броеви, освен за x = -d/c. Графиконите на линеарно-фракционите функции не се разликуваат по форма од графикот што го знаете y = 1/x. Се повикува кривата која е график на функцијата y = 1/x хипербола. Со неограничено зголемување на x во апсолутна вредност, функцијата y = 1/x се намалува бесконечно во апсолутна вредност и двете гранки на графикот се приближуваат до оската на апсцисата: десната се приближува одозгора, а левата се приближува одоздола. Линиите до кои се приближуваат гранките на хиперболата се нарекуваат нејзини асимптоти.

Пример 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Решение.

Да го избереме целобројниот дел: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување за 3 единични отсечки надесно, растегнување по оската Oy за 7 пати и поместување за 2 единици сегменти нагоре.

Секоја дропка y = (ax + b) / (cx + d) може да се напише на ист начин, истакнувајќи го „целиот дел“. Следствено, графиците на сите линеарно-фракциони функции се хиперболи поместени по координатните оски на различни начини и се протегаат по оската Oy.

За да се нацрта график на некоја произволна линеарно-фракциона функција, воопшто не е неопходно да се трансформира дропот што ја дефинира оваа функција. Бидејќи знаеме дека графикот е хипербола, доволно ќе биде да се најдат линиите до кои се приближуваат неговите гранки - асимптоти на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2

Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцијата не е дефинирана, кога x = -1. Оттука, линијата x = -1 служи како вертикална асимптота. За да ја пронајдеме хоризонталната асимптота, ајде да откриеме кои вредности на функцијата y(x) пристапуваат кога аргументот x се зголемува во апсолутна вредност.

За да го направите ова, ги делиме броителот и именителот на дропката со x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Како x → ∞ дропката се стреми кон 3/2. Оттука, хоризонталната асимптота е права линија y = 3/2.

Пример 3

Нацртај ја функцијата y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Го избираме „целиот дел“ од дропот:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види дека графикот на оваа функција е добиен од графикот на функцијата y = 1/x со следните трансформации: поместување од 1 единица налево, симетричен приказ во однос на Ox и поместување од 2 единични интервали нагоре по оската Oy.

Домен на дефиниција D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки со оски: c Oy: (0; 1); в Вол: (-1/2; 0). Функцијата се зголемува на секој од интервалите на доменот на дефиниција.

Одговор: слика 1.

2. Дробно-рационална функција

Размислете за фракциона рационална функција од формата y = P(x) / Q(x), каде што P(x) и Q(x) се полиноми со степен повисок од првиот.

Примери за такви рационални функции:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцијата y = P(x) / Q(x) е количник од два полиноми со степен повисок од првиот, тогаш нејзиниот график, по правило, ќе биде покомплициран и понекогаш може да биде тешко да се изгради точно , со сите детали. Сепак, често е доволно да се применат техники слични на оние со кои веќе се запознавме погоре.

Нека дропот е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очигледно, графикот на фракционата рационална функција може да се добие како збир на графикони на елементарни дропки.

Исцртување на дробни рационални функции

Размислете за неколку начини за исцртување на фракционо-рационална функција.

Пример 4

Нацртај ја функцијата y = 1/x 2 .

Решение.

Го користиме графикот на функцијата y \u003d x 2 за да го нацртаме графикот y \u003d 1 / x 2 и го користиме методот на „поделба“ на графиконите.

Домен D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Опсег на вредности E(y) = (0; +∞).

Нема точки на вкрстување со оските. Функцијата е изедначена. Се зголемува за сите x од интервалот (-∞; 0), се намалува за x од 0 на +∞.

Одговор: слика 2.

Пример 5

Нацртај ја функцијата y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Решение.

Домен D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Овде ја користевме техниката на факторинг, редукција и редукција до линеарна функција.

Одговор: слика 3.

Пример 6

Нацртајте ја функцијата y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Решение.

Доменот на дефиниција е D(y) = R. Бидејќи функцијата е парна, графикот е симетричен во однос на y-оската. Пред да направиме заговор, повторно го трансформираме изразот со означување на целобројниот дел:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Забележете дека изборот на цел број во формулата на фракционо-рационална функција е еден од главните при исцртување на графикони.

Ако x → ±∞, тогаш y → 1, т.е. правата y = 1 е хоризонтална асимптота.

Одговор: слика 4.

Пример 7

Размислете за функцијата y = x/(x 2 + 1) и обидете се да ја пронајдете точно нејзината најголема вредност, т.е. највисоката точка на десната половина од графиконот. За прецизно да се изгради овој график, денешното знаење не е доволно. Очигледно е дека нашата крива не може да се „искачи“ многу високо, бидејќи именителот брзо почнува да го „престигнува“ броителот. Ајде да видиме дали вредноста на функцијата може да биде еднаква на 1. За да го направите ова, треба да ја решите равенката x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Оваа равенка нема вистински корени. Значи, нашата претпоставка е погрешна. За да ја пронајдете најголемата вредност на функцијата, треба да откриете за кое најголемо A решение ќе има равенката A \u003d x / (x 2 + 1). Да ја замениме првобитната равенка со квадратна: Ax 2 - x + A \u003d 0. Оваа равенка има решение кога 1 - 4A 2 ≥ 0. Оттука ја наоѓаме најголемата вредност A \u003d 1/2.

Одговор: Слика 5, max y(x) = ½.

Дали имате прашања? Не знаете како да изградите графикони на функции?
За да добиете помош од тутор - регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

сајт, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Основните елементарни функции, нивните својствени својства и соодветните графикони се една од основите на математичкото знаење, слично по важност на табелата за множење. Елементарните функции се основа, поддршка за проучување на сите теоретски прашања.

Написот подолу дава клучен материјал за темата на основните елементарни функции. Ќе воведеме поими, ќе им дадеме дефиниции; Дозволете ни да го проучуваме детално секој тип на елементарни функции и да ги анализираме нивните својства.

Се разликуваат следниве видови основни елементарни функции:

Дефиниција 1

• постојана функција (константа);
• корен од n-ти степен;
• функција за напојување;
• експоненцијална функција;
• логаритамска функција;
• тригонометриски функции;
• братски тригонометриски функции.

Константна функција се дефинира со формулата: y = C (C е некој реален број) и исто така има име: константа. Оваа функција одредува дали некоја реална вредност на независната променлива x одговара на истата вредност на променливата y – вредноста C .

Графикот на константа е права линија која е паралелна на оската x и минува низ точка со координати (0, C). За јасност, презентираме графикони на константни функции y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (означени со црно, црвено и сино на цртежот, соодветно).

Дефиниција 2

Оваа елементарна функција е дефинирана со формулата y = x n (n е природен број поголем од еден).

Да разгледаме две варијации на функцијата.

1. Корен од n-ти степен, n е парен број

За јасност, го означуваме цртежот, кој ги прикажува графиконите на таквите функции: y = x, y = x 4 и y = x 8 . Овие функции се кодирани во боја: црна, црвена и сина, соодветно.

Сличен приказ на графиконите на функцијата на парен степен за други вредности на индикаторот.

Дефиниција 3

Својства на функцијата корен од n-ти степен, n е парен број

• доменот на дефиниција е множество од сите ненегативни реални броеви [0, + ∞);
• кога x = 0, функцијата y = x n има вредност еднаква на нула;
• оваа функција е функција од општа форма (не е ниту парна ниту непарна);
• опсег: [ 0 , + ∞);
• оваа функција y = x n со парни експоненти на коренот се зголемува во целиот домен на дефиниција;
• функцијата има конвексност со нагорна насока низ целиот домен на дефиниција;
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;
• графикот на функцијата за парни n минува низ точките (0 ; 0) и (1 ; 1) .

1. Корен од n-тиот степен, n е непарен број

Таквата функција е дефинирана на целото множество реални броеви. За јасност, разгледајте ги графиконите на функциите y = x 3, y = x 5 и x 9 . На цртежот, тие се означени со бои: црна, црвена и сина боја на кривите, соодветно.

Други непарни вредности на експонентот на коренот на функцијата y = x n ќе дадат график со слична форма.

Дефиниција 4

Својства на функцијата корен од n-ти степен, n е непарен број

• доменот на дефиниција е множество од сите реални броеви;
• оваа функција е непарна;
• опсегот на вредности е збир на сите реални броеви;
• Функцијата y = x n со непарни експоненти на коренот се зголемува во целиот домен на дефиниција;
• функцијата има конкавност на интервалот (- ∞ ; 0 ] и конвексност на интервалот [ 0 , + ∞);
• точката на флексија има координати (0 ; 0) ;
• нема асимптоти;
• графикот на функцијата за непарен n минува низ точките (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .

Функција за напојување

Дефиниција 5

Функцијата моќност е дефинирана со формулата y = x a.

Видот на графиконите и својствата на функцијата зависат од вредноста на експонентот.

• кога функцијата на моќност има цел број експонент a, тогаш формата на графикот на функцијата моќност и нејзините својства зависат од тоа дали експонентот е парен или непарен, а исто така и каков знак има експонентот. Да ги разгледаме сите овие посебни случаи подетално подолу;
• експонентот може да биде дробен или ирационален - во зависност од тоа, се разликуваат и типот на графиконите и својствата на функцијата. Ќе анализираме посебни случаи со поставување на неколку услови: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• функцијата за моќност може да има нула експонент, исто така ќе го анализираме овој случај подетално подолу.

Ајде да ја анализираме функцијата на моќност y = x a кога a е непарен позитивен број, на пример, a = 1 , 3 , 5 ...

За јасност, ги наведуваме графиконите на таквите функции на моќност: y = x (црна боја на графиконот), y = x 3 (сина боја на табелата), y = x 5 (црвена боја на графикот), y = x 7 (зелен график). Кога a = 1, добиваме линеарна функција y = x.

Дефиниција 6

Својства на функцијата моќност кога експонентот е непарен позитивен

• функцијата се зголемува за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• функцијата е конвексна за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и конкавна за x ∈ [ 0 ; + ∞) (со исклучок на линеарната функција);
• точката на флексија има координати (0 ; 0) (со исклучок на линеарната функција);
• нема асимптоти;
• функциските минливи точки: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ајде да ја анализираме функцијата на моќност y = x a кога a е парен позитивен број, на пример, a = 2 , 4 , 6 ...

За јасност, ги наведуваме графиконите на таквите функции на моќност: y \u003d x 2 (црна боја на графикот), y = x 4 (сина боја на графикот), y = x 8 (црвена боја на графикот). Кога a = 2, добиваме квадратна функција чиј график е квадратна парабола.

Дефиниција 7

Својства на функцијата моќност кога експонентот е дури позитивен:

• домен на дефиниција: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• намалување за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• функцијата е конкавна за x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;
• функциските минливи точки: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Сликата подолу покажува примери на графикони на експоненцијални функции y = x a кога a е непарен негативен број: y = x - 9 (црна боја на графикот); y = x - 5 (сина боја на графикот); y = x - 3 (црвена боја на табелата); y = x - 1 (зелен график). Кога \u003d - 1, добиваме обратна пропорционалност, чиј график е хипербола.

Дефиниција 8

Карактеристики на функцијата за моќност кога експонентот е непарен негативен:

Кога x \u003d 0, добиваме дисконтинуитет од вториот вид, бидејќи lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ за \u003d - 1, - 3, - 5, .... Така, правата линија x = 0 е вертикална асимптота;

• опсег: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• функцијата е непарна бидејќи y (- x) = - y (x) ;
• функцијата се намалува за x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• функцијата е конвексна за x ∈ (- ∞ ; 0) и конкавна за x ∈ (0 ; + ∞) ;
• нема точки на флексија;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 кога a = - 1, - 3, - 5, . . . .

• функциските минливи точки: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Сликата подолу покажува примери на графикони на функцијата моќност y = x a кога a е парен негативен број: y = x - 8 (табела во црно); y = x - 4 (сина боја на графикот); y = x - 2 (црвена боја на графиконот).

Дефиниција 9

Карактеристики на функцијата за моќност кога експонентот е дури негативен:

• домен на дефиниција: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Кога x \u003d 0, добиваме дисконтинуитет од вториот вид, бидејќи lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ за \u003d - 2, - 4, - 6, .... Така, правата линија x = 0 е вертикална асимптота;

• функцијата е парна затоа што y (- x) = y (x) ;
• функцијата се зголемува за x ∈ (- ∞ ; 0) и се намалува за x ∈ 0 ; +∞ ;
• функцијата е конкавна за x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• нема точки на флексија;
• хоризонталната асимптота е права линија y = 0 затоа што:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 кога a = - 2, - 4, - 6, . . . .

• функциските минливи точки: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Од самиот почеток, обрнете внимание на следниот аспект: во случај кога a е позитивна дропка со непарен именител, некои автори го земаат интервалот - ∞ како домен на дефинирање на оваа функција на моќност; + ∞ , одредувајќи дека експонентот a е несводлива дропка. Во моментов, авторите на многу едукативни публикации за алгебра и почетоците на анализата НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност, каде што експонентот е дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Понатаму, ќе се придржуваме токму на таквата позиција: го земаме множеството [0; +∞) . Препорака за учениците: дознајте го гледиштето на наставникот во овој момент за да избегнете несогласувања.

Значи, ајде да ја разгледаме функцијата за напојување y = x a кога експонентот е рационален или ирационален број под услов 0< a < 1 .

Да ги илустрираме со графикони функциите на моќност y = x a кога a = 11 12 (табела во црно); a = 5 7 (црвена боја на графикот); a = 1 3 (сина боја на табелата); a = 2 5 (зелена боја на графиконот).

Други вредности на експонентот a (претпоставувајќи 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Дефиниција 10

Карактеристики на функцијата за моќност на 0< a < 1:

• опсег: y ∈ [ 0 ; +∞);
• функцијата се зголемува за x ∈ [0; +∞);
• функцијата има конвексност за x ∈ (0 ; + ∞) ;
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;

Ајде да ја анализираме функцијата на моќност y = x a кога експонентот е нецелоброен рационален или ирационален број под услов a > 1 .

Ги илустрираме графиконите на функцијата моќност y \u003d x a под дадени услови користејќи ги следните функции како пример: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (црна, црвена, сина, зелена графикони, соодветно).

Други вредности на експонентот a под услов a > 1 ќе дадат сличен приказ на графикот.

Дефиниција 11

Карактеристики на функцијата за напојување за > 1:

• домен на дефиниција: x ∈ [ 0 ; +∞);
• опсег: y ∈ [ 0 ; +∞);
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• функцијата се зголемува за x ∈ [0; +∞);
• функцијата е конкавна за x ∈ (0 ; + ∞) (кога 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;
• функциските минливи точки: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ви го обрнуваме вниманието!Кога a е негативна дропка со непарен именител, во делата на некои автори постои став дека доменот на дефиниција во овој случај е интервалот - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) под услов експонентот a да е несводлива дропка. Во моментов, авторите на едукативни материјали за алгебра и почетоците на анализата НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност со експонент во форма на дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Понатаму, ние се придржуваме до таквото гледиште: го земаме множеството (0 ; + ∞) како домен на функции на моќност со фракционо негативни експоненти. Предлог за учениците: Разјаснете ја визијата на вашиот наставник во овој момент за да избегнете несогласување.

Ја продолжуваме темата и ја анализираме функцијата на моќност y = x a обезбедено: - 1< a < 0 .

Еве цртеж на графикони од следните функции: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (црни, црвени, сини, зелени линии, соодветно ).

Дефиниција 12

Карактеристики на функцијата за напојување на - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ кога - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• опсег: y ∈ 0 ; +∞ ;
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• нема точки на флексија;

На цртежот подолу се прикажани графикони на функциите на моќност y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (црна, црвена, сина, зелена боја на кривите, соодветно).

Дефиниција 13

Својства на функцијата за моќност за a< - 1:

• домен на дефиниција: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ кога a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• опсег: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• функцијата се намалува за x ∈ 0; +∞ ;
• функцијата е конкавна за x ∈ 0; +∞ ;
• нема точки на флексија;
• хоризонтална асимптота - права линија y = 0 ;
• минлива точка на функцијата: (1 ; 1) .

Кога a \u003d 0 и x ≠ 0, ја добиваме функцијата y \u003d x 0 \u003d 1, која ја одредува линијата од која е исклучена точката (0; 1) (се согласивме дека изразот 0 0 нема да биде даден која било вредност).

Експоненцијалната функција ја има формата y = a x, каде што a > 0 и a ≠ 1, а графикот на оваа функција изгледа различно врз основа на вредноста на основата a. Да разгледаме посебни случаи.

Прво, да ја анализираме ситуацијата кога основата на експоненцијалната функција има вредност од нула до еден (0< a < 1) . Илустративен пример се графиконите на функции за a = 1 2 (сина боја на кривата) и a = 5 6 (црвена боја на кривата).

Графиконите на експоненцијалната функција ќе имаат слична форма за другите вредности на основата, под услов 0< a < 1 .

Дефиниција 14

Својства на експоненцијална функција кога основата е помала од една:

• опсег: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• експоненцијална функција чија основа е помала од една се намалува низ целиот домен на дефиниција;
• нема точки на флексија;
• хоризонталната асимптота е права линија y = 0 со променливата x склона кон + ∞ ;

Сега разгледајте го случајот кога основата на експоненцијалната функција е поголема од една (a > 1).

Да го илустрираме овој посебен случај со графикот на експоненцијалните функции y = 3 2 x (сина боја на кривата) и y = e x (црвена боја на графикот).

Други вредности на основата, поголеми од една, ќе дадат сличен приказ на графикот на експоненцијалната функција.

Дефиниција 15

Својства на експоненцијалната функција кога основата е поголема од една:

• доменот на дефиниција е целото множество на реални броеви;
• опсег: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• експоненцијална функција чија основа е поголема од една се зголемува за x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• функцијата е конкавна за x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• нема точки на флексија;
• хоризонтална асимптота - права линија y = 0 со променлива x склона кон - ∞ ;
• минлива точка на функцијата: (0 ; 1) .

Логаритамската функција има форма y = log a (x) , каде a > 0 , a ≠ 1 .

Таквата функција е дефинирана само за позитивни вредности на аргументот: за x ∈ 0 ; +∞ .

Графикот на логаритамската функција има различна форма, врз основа на вредноста на основата a.

Размислете прво за ситуацијата кога 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Други вредности на основата, не поголеми од една, ќе дадат сличен приказ на графикот.

Дефиниција 16

Својства на логаритамска функција кога основата е помала од една:

• домен на дефиниција: x ∈ 0 ; +∞ . Бидејќи x се стреми кон нула од десно, вредностите на функцијата имаат тенденција на + ∞;
• опсег: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• логаритамски
• функцијата е конкавна за x ∈ 0; +∞ ;
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;

Сега да анализираме посебен случај кога основата на логаритамската функција е поголема од една: a > 1 . На цртежот подолу, има графикони на логаритамски функции y = log 3 2 x и y = ln x (сина и црвена боја на графиконите, соодветно).

Други вредности на основата поголеми од една ќе дадат сличен приказ на графикот.

Дефиниција 17

Својства на логаритамска функција кога основата е поголема од една:

• домен на дефиниција: x ∈ 0 ; +∞ . Бидејќи x се стреми кон нула од десно, вредностите на функцијата имаат тенденција на - ∞;
• опсег: y ∈ - ∞ ; + ∞ (целото множество реални броеви);
• оваа функција е функција од општа форма (не е непарна ниту парна);
• логаритамската функција се зголемува за x ∈ 0; +∞ ;
• функцијата има конвексност за x ∈ 0; +∞ ;
• нема точки на флексија;
• нема асимптоти;
• минлива точка на функцијата: (1 ; 0) .

Тригонометриските функции се синус, косинус, тангента и котангента. Ајде да ги анализираме својствата на секој од нив и соодветните графикони.

Општо земено, сите тригонометриски функции се карактеризираат со својство на периодичност, т.е. кога вредностите на функциите се повторуваат за различни вредности на аргументот што се разликуваат едни од други по вредноста на периодот f (x + T) = f (x) (T е период). Така, ставката „најмалку позитивен период“ се додава на списокот со својства на тригонометриските функции. Дополнително, ќе ги посочиме таквите вредности на аргументот за кои исчезнува соодветната функција.

1. Синусна функција: y = sin(x)

Графикот на оваа функција се нарекува синусен бран.

Дефиниција 18

Својства на синусната функција:

• домен на дефиниција: целото множество реални броеви x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• функцијата исчезнува кога x = π k , каде k ∈ Z (Z е множество од цели броеви);
• функцијата се зголемува за x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z и се намалува за x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• синусната функција има локални максими во точките π 2 + 2 π · k ; 1 и локални минимуми во точките - π 2 + 2 π · k ; - 1, k∈ Z;
• синусната функција е конкавна кога x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z и конвексни кога x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• нема асимптоти.

1. косинус функција: y=cos(x)

Графикот на оваа функција се нарекува косинус бран.

Дефиниција 19

Својства на косинусната функција:

• домен на дефиниција: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• најмал позитивен период: T \u003d 2 π;
• опсег: y ∈ - 1 ; 1 ;
• оваа функција е парна, бидејќи y (- x) = y (x) ;
• функцијата се зголемува за x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и се намалува за x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• косинусната функција има локални максими во точките 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локални минимуми во точките π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
• косинусната функција е конкавна кога x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z и конвексни кога x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• точките на флексија имаат координати π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• нема асимптоти.

1. Тангентна функција: y = t g (x)

Графикот на оваа функција се нарекува тангентоид.

Дефиниција 20

Својства на функцијата тангента:

• домен на дефиниција: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , каде k ∈ Z (Z е множество цели броеви);
• Однесувањето на функцијата тангента на границата на доменот на дефиниција lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Така, правите x = π 2 + π · k k ∈ Z се вертикални асимптоти;
• функцијата исчезнува кога x = π k за k ∈ Z (Z е множество од цели броеви);
• опсег: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• оваа функција е непарна бидејќи y (- x) = - y (x) ;
• функцијата се зголемува при - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• функцијата тангента е конкавна за x ∈ [ π · k ; π 2 + π k) , k ∈ Z и конвексни за x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
• точките на флексија имаат координати π k; 0 , k ∈ Z ;

1. Котангентна функција: y = c t g (x)

Графикот на оваа функција се нарекува котангентоид. .

Дефиниција 21

Својства на функцијата котангента:

• домен на дефиниција: x ∈ (π k ; π + π k) , каде k ∈ Z (Z е множество од цели броеви);

Однесување на функцијата котангента на границата на доменот на дефиниција lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Така, правите x = π k k ∈ Z се вертикални асимптоти;

• најмал позитивен период: T \u003d π;
• функцијата исчезнува кога x = π 2 + π k за k ∈ Z (Z е множество од цели броеви);
• опсег: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• оваа функција е непарна бидејќи y (- x) = - y (x) ;
• функцијата се намалува за x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• функцијата котангента е конкавна за x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z и конвексна за x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
• точките на флексија имаат координати π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
• нема коси и хоризонтални асимптоти.

Инверзните тригонометриски функции се лаксин, аркозин, арктангенс и лактангенс. Често, поради присуството на префиксот „лак“ во името, инверзните тригонометриски функции се нарекуваат лак функции. .

1. Функција на лак: y = a r c sin (x)

Дефиниција 22

Својства на лаксинската функција:

• оваа функција е непарна бидејќи y (- x) = - y (x) ;
• функцијата на лак е конкавна за x ∈ 0; 1 и конвексност за x ∈ - 1 ; 0;
• точките на флексија имаат координати (0 ; 0), исто така е нула на функцијата;
• нема асимптоти.

1. Функција на аркозин: y = a r c cos (x)

Дефиниција 23

Карактеристики на функцијата на аркозин:

• домен на дефиниција: x ∈ - 1 ; 1 ;
• опсег: y ∈ 0 ; π;
• оваа функција е од општа форма (ниту парни, ниту непарни);
• функцијата се намалува на целиот домен на дефиниција;
• аркозинската функција е конкавна за x ∈ - 1 ; 0 и конвексност за x ∈ 0 ; 1 ;
• точките на флексија имаат координати 0 ; π2;
• нема асимптоти.

1. Функција арктангента: y = a r c t g (x)

Дефиниција 24

Карактеристики на функцијата арктангент:

• домен на дефиниција: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• опсег: y ∈ - π 2 ; π2;
• оваа функција е непарна бидејќи y (- x) = - y (x) ;
• функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција;
• функцијата арктангента е конкавна за x ∈ (- ∞ ; 0 ] и конвексна за x ∈ [ 0 ; + ∞);
• точката на флексија има координати (0; 0), исто така е нула на функцијата;
• хоризонталните асимптоти се прави линии y = - π 2 за x → - ∞ и y = π 2 за x → + ∞ (асимптотите на сликата се зелени линии).

1. Функција на лак котангента: y = a r c c t g (x)

Дефиниција 25

Карактеристики на функцијата на лак котангента:

• домен на дефиниција: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• опсег: y ∈ (0 ; π) ;
• оваа функција е од општ тип;
• функцијата се намалува на целиот домен на дефиниција;
• функцијата котангента на лакот е конкавна за x ∈ [0; + ∞) и конвексност за x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• точката на флексија има координати 0; π2;
• хоризонтални асимптоти се прави линии y = π на x → - ∞ (зелена линија на цртежот) и y = 0 на x → + ∞.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Знаење основни елементарни функции, нивните својства и графиконине помалку важно од познавањето на табелата за множење. Тие се како темел, сè е засновано на нив, сè е изградено од нив, и сè се сведува на нив.

Во оваа статија, ги наведуваме сите главни елементарни функции, ги даваме нивните графикони и ги даваме без изведување и докази. својства на основните елементарни функцииспоред шемата:

• однесување на функцијата на границите на доменот на дефиниција, вертикални асимптоти (доколку е потребно, видете ја статијата класификација на точките на прекин на функцијата);
• парни и непарни;
• интервали на конвексност (конвексност нагоре) и конкавност (конвексност надолу), точки на флексија (доколку е потребно, видете ја функцијата на статијата конвексност, насока на конвексност, точки на флексија, конвексност и услови на флексија);
• коси и хоризонтални асимптоти;
• еднина точки на функции;
• посебни својства на некои функции (на пример, најмал позитивен период за тригонометриски функции).

Ако сте заинтересирани за или, тогаш можете да отидете на овие делови од теоријата.

Основни елементарни функциисе: константна функција (константа), корен од n-ти степен, функција на моќност, експоненцијална, логаритамска функција, тригонометриски и инверзни тригонометриски функции.

Навигација на страницата.

Постојана функција.

Константна функција е дадена на множеството од сите реални броеви со формулата, каде што C е некој реален број. Константната функција и доделува на секоја реална вредност на независната променлива x иста вредност на зависната променлива y - вредноста С. Константна функција се нарекува и константа.

Графикот на константна функција е права линија паралелна на оската x и која минува низ точка со координати (0,C) . На пример, да прикажеме графикони на константни функции y=5 , y=-2 и , кои на сликата подолу одговараат на црните, црвените и сините линии, соодветно.

Својства на константна функција.

• Домен на дефиниција: целото множество реални броеви.
• Постојаната функција е рамномерна.
• Опсег на вредности: множество кое се состои од еден број C .
• Константна функција е нерастечка и ненамалувачка (затоа е константна).
• Нема смисла да се зборува за конвексноста и конкавноста на константата.
• Нема асимптота.
• Функцијата минува низ точката (0,C) на координатната рамнина.

Коренот на n-ти степен.

Да ја разгледаме основната елементарна функција, која е дадена со формулата , каде што n е природен број поголем од еден.

Коренот на n-тиот степен, n е парен број.

Да почнеме со n-тиот корен функција за парни вредности на коренскиот експонент n.

На пример, даваме слика со слики од графикони на функции и , тие одговараат на црни, црвени и сини линии.

Графиконите на функциите на коренот со рамномерен степен имаат слична форма за другите вредности на индикаторот.

Својства на коренот од n-ти степен за парен n.

Коренот на n-тиот степен, n е непарен број.

Функцијата на коренот од n-тиот степен со непарен експонент на коренот n е дефинирана на целото множество реални броеви. На пример, презентираме графикони на функции и , црните, црвените и сините криви одговараат на нив.

За други непарни вредности на коренскиот експонент, графиците на функцијата ќе имаат сличен изглед.

Својства на коренот на n-тиот степен за непарен n .

Функција за напојување.

Функцијата моќност е дадена со формула на формата.

Размислете за видот на графиконите на функцијата на моќност и својствата на функцијата за моќност во зависност од вредноста на експонентот.

Да почнеме со функција за моќност со цел број експонент a . Во овој случај, формата на графиконите на функциите на моќност и својствата на функциите зависат од парниот или непарниот експонент, како и од неговиот знак. Затоа, прво ги разгледуваме функциите на моќност за непарните позитивни вредности на експонентот a, потоа за парните позитивни, потоа за непарните негативни експоненти и на крајот, за парните негативни вредности a.

Својствата на функциите на моќност со дробни и ирационални експоненти (како и видот на графиконите на таквите функции на моќност) зависат од вредноста на експонентот a. Ќе ги разгледаме, прво, кога a е од нула до еден, второ, кога a е поголемо од еден, трето, кога a е од минус еден до нула, и четврто, кога a е помало од минус еден.

Како заклучок на оваа потсекција, заради комплетноста, опишуваме функција на моќност со нула експонент.

Функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Размислете за функција на моќност со непарен позитивен експонент, односно со a=1,3,5,… .

На сликата подолу се прикажани графикони на функциите на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија, - зелена линија. За a=1 имаме линеарна функција y=x.

Својства на функција на моќност со непарен позитивен експонент.

Функција на моќност со дури и позитивен експонент.

Размислете за функција на моќност со парен позитивен експонент, односно за a=2,4,6,… .

Како пример, да земеме графикони на функции на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија. За a=2 имаме квадратна функција чиј график е квадратна парабола.

Својства на функција на моќност со парен позитивен експонент.

Функција на моќност со непарен негативен експонент.

Погледнете ги графиконите на експоненцијалната функција за непарни негативни вредности на експонентот, односно за \u003d -1, -3, -5, ....

На сликата се прикажани графикони на експоненцијални функции како примери - црна линија, - сина линија, - црвена линија, - зелена линија. За a=-1 имаме обратна пропорционалност, чиј график е хипербола.

Својства на функцијата моќност со непарен негативен експонент.

Функција на моќност со парен негативен експонент.

Да преминеме на функцијата моќност на a=-2,-4,-6,….

На сликата се прикажани графикони на функции на моќност - црна линија, - сина линија, - црвена линија.

Својства на функцијата моќност со парен негативен експонент.

Функција на моќност со рационален или ирационален експонент чија вредност е поголема од нула и помала од еден.

Забелешка!Ако a е позитивна дропка со непарен именител, тогаш некои автори сметаат дека интервалот е домен на функцијата моќност. Притоа, се пропишува дека експонентот a е несводлива дропка. Сега авторите на многу учебници за алгебра и почетоците на анализата НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност со експонент во форма на дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Ќе се придржуваме токму на таквото гледиште, односно ќе ги сметаме домениите на функциите на моќност со фракционо позитивни експоненти за множество. Ги охрабруваме учениците да ја добијат перспективата на вашиот наставник за оваа суптилна точка за да избегнат несогласувања.

Размислете за функција на моќност со рационален или ирационален експонент a , и .

Претставуваме графикони на функции за моќност за a=11/12 (црна линија), a=5/7 (црвена линија), (сина линија), a=2/5 (зелена линија).

Функција на моќност со нецелоброен рационален или ирационален експонент поголем од еден.

Размислете за функција на моќност со нецелоброен рационален или ирационален експонент a , и .

Да ги претставиме графиконите на функциите на моќност дадени со формулите (црни, црвени, сини и зелени линии соодветно).

>

За другите вредности на експонентот a, графиците на функцијата ќе имаат сличен изглед.

Својства на функцијата за напојување за .

Функција на моќност со реален експонент кој е поголем од минус еден и помал од нула.

Забелешка!Ако a е негативна дропка со непарен именител, тогаш некои автори го разгледуваат интервалот . Притоа, се пропишува дека експонентот a е несводлива дропка. Сега авторите на многу учебници за алгебра и почетоците на анализата НЕ ДЕФИНИРААТ функции на моќност со експонент во форма на дропка со непарен именител за негативните вредности на аргументот. Ќе се придржуваме токму на таквото гледиште, односно ќе ги сметаме за множество домените на функциите на моќност со фракционо негативни експоненти. Ги охрабруваме учениците да ја добијат перспективата на вашиот наставник за оваа суптилна точка за да избегнат несогласувања.

Преминуваме на функцијата моќ , каде .

За да имаме добра идеја за типот на графикони на функции за моќност, даваме примери на графикони на функции (црни, црвени, сини и зелени кривини, соодветно).

Својства на функција на моќност со експонент a , .

Функција на моќност со нецелоброен реален експонент кој е помал од минус еден.

Да дадеме примери на графикони на функции на моќност за , тие се прикажани со црни, црвени, сини и зелени линии, соодветно.

Својства на функција на моќност со нецелоброен негативен експонент помал од минус еден.

Кога a=0 и имаме функција - ова е права линија од која точката (0; 1) е исклучена (изразот 0 0 беше договорено да не придава никаква важност).

Експоненцијална функција.

Една од основните елементарни функции е експоненцијалната функција.

График на експоненцијалната функција, каде и добива различна форма во зависност од вредноста на основата a. Ајде да го сфатиме.

Прво, разгледајте го случајот кога основата на експоненцијалната функција зема вредност од нула до еден, односно .

На пример, ги прикажуваме графиконите на експоненцијалната функција за a = 1/2 - сината линија, a = 5/6 - црвената линија. Графиконите на експоненцијалната функција имаат сличен изглед за другите вредности на основата од интервалот.

Својства на експоненцијална функција со основа помала од една.

Се свртуваме кон случајот кога основата на експоненцијалната функција е поголема од една, односно .

Како илустрација, ги прикажуваме графиконите на експоненцијалните функции - сината линија и - црвената линија. За други вредности на основата, поголеми од една, графиците на експоненцијалната функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на експоненцијална функција со основа поголема од една.

Логаритамска функција.

Следната основна елементарна функција е логаритамската функција , каде што , . Логаритамската функција е дефинирана само за позитивните вредности на аргументот, односно за .

Графикот на логаритамската функција добива различна форма во зависност од вредноста на основата a.

Да почнеме со случајот кога .

На пример, ги прикажуваме графиконите на логаритамската функција за a = 1/2 - сината линија, a = 5/6 - црвената линија. За други вредности на основата, кои не надминуваат една, графиците на логаритамската функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на логаритамска функција со основа помала од една.

Да преминеме на случајот кога основата на логаритамската функција е поголема од една ().

Ајде да прикажеме графикони на логаритамски функции - сина линија, - црвена линија. За други вредности на основата, поголеми од една, графиците на логаритамската функција ќе имаат сличен изглед.

Својства на логаритамска функција со основа поголема од една.

Тригонометриски функции, нивните својства и графикони.

Сите тригонометриски функции (синус, косинус, тангента и котангента) се основни елементарни функции. Сега ќе ги разгледаме нивните графикони и ќе ги наведеме нивните својства.

Тригонометриските функции го имаат концептот периодичноста(повторување на вредностите на функциите за различни вредности на аргументот што се разликуваат една од друга по вредноста на периодот , каде што Т е период), затоа, ставка е додадена на списокот со својства на тригонометриските функции „најмал позитивен период“. Исто така, за секоја тригонометриска функција ќе ги означиме вредностите на аргументот при кој исчезнува соодветната функција.

Сега да се справиме со сите тригонометриски функции по редослед.

Синусната функција y = sin(x) .

Ајде да нацртаме график на синусната функција, таа се нарекува „синусоид“.

Својства на синусната функција y = sinx .

Косинусна функција y = cos(x) .

Графикот на функцијата косинус (тоа се нарекува „косинус“) изгледа вака:

Својства на косинус функција y = cosx .

Тангента функција y = tg(x) .

Графикот на функцијата тангента (тоа се нарекува „тангеноид“) изгледа вака:

Својства на функцијата тангента y = tgx .

Котангентна функција y = ctg(x) .

Ајде да нацртаме график на функцијата котангента (тоа се нарекува „котангеноид“):

Својства на функцијата котангента y = ctgx .

Инверзни тригонометриски функции, нивните својства и графикони.

Инверзните тригонометриски функции (арксин, аркозин, арктангенс и лактангенс) се основните елементарни функции. Често, поради префиксот „лак“, инверзните тригонометриски функции се нарекуваат лак функции. Сега ќе ги разгледаме нивните графикони и ќе ги наведеме нивните својства.

Функција на лаксин y = arcsin(x) .

Да ја нацртаме функцијата на лак:

Својства на функцијата лактангента y = arcctg(x) .

Библиографија.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. Алгебра и почетоците на анализата: Прок. за 10-11 клетки. образовните институции.
• Вигодски М.Ја. Прирачник по елементарна математика.
• Новоселов С.И. Алгебра и елементарни функции.
• Туманов С.И. Елементарна алгебра. Водич за самообразование.

Функциите и нивните графикони се една од најфасцинантните теми во училишната математика. Штета само што поминува... покрај часовите и покрај учениците. Никогаш нема доволно време за неа во средно училиште. А оние функции што се одвиваат во 7-мо одделение - линеарна функција и парабола - се премногу едноставни и некомплицирани за да се прикажат сета разновидност на интересни задачи.

Способноста да се градат графикони на функции е неопходна за решавање проблеми со параметри на испитот по математика. Ова е една од првите теми на курсот за математичка анализа на универзитетот. Ова е толку важна тема што ние, во Обединетиот државен испит-студио, спроведуваме посебни интензивни курсеви за тоа за средношколци и наставници, во Москва и онлајн. И често учесниците велат: „Штета што не го знаевме ова порано“.

Но, тоа не е се. Со концептот на функција започнува вистинската, „возрасна“ математика. На крајот на краиштата, собирање и одземање, множење и делење, дропки и пропорции - ова е сè уште аритметика. Трансформациите на изразите се алгебра. А математиката е наука не само за бројките, туку и за односите на количините. Јазикот на функции и графикони е разбирлив за физичар, биолог и економист. И како што рече Галилео Галилеј, „Книгата на природата е напишана на јазикот на математиката“.

Поточно, Галилео Галилеј го рекол ова: „Математиката е азбуката со која Господ го нацртал универзумот“.

Теми за прегледување:

1. Графиконирајте ја функцијата

Познат предизвик! Такви се сретнаа во варијантите на ОГЕ во математиката. Таму се сметаа за тешки. Но, тука нема ништо комплицирано.

Ајде да ја поедноставиме формулата на функцијата:

График на функции - права линија со пробиена точка

2. Графикирајте ја функцијата

Ајде да го избереме целобројниот дел во формулата за функција:

Графикот на функцијата е хипербола поместена за 3 надесно во x и 2 нагоре во y и се протегала 10 пати во споредба со графикот на функцијата

Изборот на целобројниот дел е корисна техника што се користи за решавање на неравенки, цртање графикони и проценување на цели броеви во задачи на броеви и нивните својства. Ќе го запознаете и во првата година, кога ќе треба да земете интеграли.

3. Графикирајте ја функцијата

Се добива од графикот на функцијата со истегнување 2 пати, превртување вертикално и поместување 1 нагоре вертикално

4. Графикирајте ја функцијата

Главната работа е правилниот редослед на дејства. Ајде да ја напишеме формулата за функција во попогодна форма:

Постапуваме по редослед:

1) Поместување на графикот на функцијата y=sinx налево;

2) стискајте 2 пати хоризонтално,

3) истегнете 3 пати вертикално,

4) поместете се нагоре за 1

Сега ќе изградиме неколку графикони на фракциони рационални функции. За подобро да разберете како го правиме ова, прочитајте ја статијата „Однесување на функции во бесконечност. Асимптоти“.

5. Графикувајте ја функцијата

Опсег на функција:

Функција нули: и

Правата x = 0 (y-оска) е вертикална асимптота на функцијата. Асимптота- права линија, на која графикот на функцијата се приближува бесконечно блиску, но не ја пресекува и не се спојува со неа (види тема „Однесување на функција во бесконечност. Асимптоти“)

Дали има други асимптоти за нашата функција? За да дознаеме, ајде да видиме како функцијата се однесува додека x оди до бесконечност.

Ајде да ги отвориме заградите во формулата за функција:

Ако x оди до бесконечност, тогаш оди на нула. Правата линија е коси асимптота на графикот на функцијата.

6. Графикувајте ја функцијата

Ова е фракциона рационална функција.

Опсег на функција

Функции нули: точки - 3, 2, 6.

Интервалите на константноста на знакот на функцијата ќе се одредат со методот на интервали.

Вертикални асимптоти:

Ако x се стреми кон бесконечност, тогаш y се стреми кон 1. Оттука, е хоризонтална асимптота.

Еве скица на графиконот:

Друга интересна техника е додавањето графикони.

7. Графикувајте ја функцијата

Ако x се стреми кон бесконечност, тогаш графикот на функцијата ќе се приближи бесконечно блиску до косата асимптота

Ако x се стреми кон нула, тогаш функцијата се однесува вака Ова е она што го гледаме на графикот:

Така, изградивме график на збирот на функции. Сега распоредот за работа!

8. Графикувајте ја функцијата

Доменот на оваа функција се позитивни броеви, бидејќи е дефиниран само позитивен x

Вредностите на функцијата се нула на (кога логаритмот е нула), како и во точките каде што, т.е.

Кога , вредноста (cos x) е еднаква на еден. Вредноста на функцијата во овие точки ќе биде еднаква на

9. Графикирајте ја функцијата

Функцијата е дефинирана за Тоа е парна, бидејќи е производ на две непарни функции и Графикот е симетричен во однос на y-оската.

Нулите на функцијата се во точките каде што, односно на

Ако x оди до бесконечност, оди на нула. Но, што се случува ако x се стреми кон нула? На крајот на краиштата, и x и sin x ќе стануваат се помали и помали. Како ќе се однесува приватниот?

Излегува дека ако x се стреми кон нула, тогаш се стреми кон еден. Во математиката, оваа изјава се нарекува „Прва извонредна граница“.

Но, што е со дериватот? Да, конечно стигнавме таму. Дериватот помага попрецизно да се исцртаат функциите. Најдете максимални и минимални поени, како и функционални вредности на овие точки.

10. Графикирајте ја функцијата

Обемот на функцијата се сите реални броеви, бидејќи

Функцијата е непарна. Неговиот график е симетричен во однос на потеклото.

При x=0 вредноста на функцијата е еднаква на нула. За вредностите на функцијата се позитивни, за се негативни.

Ако x оди до бесконечност, тогаш оди на нула.

Да го најдеме изводот на функцијата
Според формулата за извод на количник,

Ако или

Во точката, изводот го менува знакот од „минус“ во „плус“, - минималната точка на функцијата.

Во точката, изводот го менува знакот од „плус“ во „минус“, - максималната точка на функцијата.

Да ги најдеме вредностите на функцијата на x=2 и на x=-2.

Удобно е да се градат графикони на функции според одреден алгоритам или шема. Се сеќаваш дека го учеше во училиште?

Општата шема за конструирање график на функција:

1. Опсег на функција

2. Опсег на вредности на функции

3. Пар - непарен (ако има)

4. Фреквенција (ако има)

5. Нули на функцијата (точки каде графикот ги преминува координатните оски)

6. Интервали на постојаност на функција (односно интервали на кои таа е строго позитивна или строго негативна).

7. Асимптоти (ако ги има).

8. Однесување на функција во бесконечност

9. Извод на функција

10. Интервали на зголемување и намалување. Високи и ниски точки и вредности на овие точки.