Областа на паралелограм. Пресметајте го збирот на аглите и плоштината на паралелограмот: својства и карактеристики Плоштината на паралелограм ако се познати страните и дијагоналата

Формула за плоштина на паралелограм

Површината на паралелограм е еднаква на производот на неговата страна и висината спуштена на оваа страна.

Доказ

Ако паралелограмот е правоаголник, тогаш еднаквоста се задоволува со теоремата за плоштина на правоаголникот. Понатаму, претпоставуваме дека аглите на паралелограмот не се правилни.

Нека $\агол BAD$ е остар агол во паралелограм $ABCD$ и $AD > AB$. Во спротивно, ќе ги преименуваме темињата. Тогаш висината $BH$ од темето $B$ до линијата $AD$ паѓа на страната $AD$, бидејќи кракот $AH$ е пократок од хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Ајде да ја споредиме областа на паралелограмот $ABCD$ и плоштината на правоаголникот $HBCK$. Површината на паралелограмот е поголема за плоштината $\триаголник ABH$, но помала за плоштината $\триаголник DCK$. Бидејќи овие триаголници се складни, нивните плоштини се исто така складни. Тоа значи дека плоштината на паралелограм е еднаква на плоштината на правоаголникот со страни долги на страната и висината на паралелограмот.

Формула за плоштина на паралелограм во однос на страни и синус

Површината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни и синусот на аголот меѓу нив.

Доказ

Висината на паралелограмот $ABCD$ спуштен на страната $AB$ е еднаква на производот на отсечката $BC$ и синусот на аголот $\агол ABC$. Останува да се примени претходното тврдење.

Формула за плоштина на паралелограм во однос на дијагоналите

Областа на паралелограм е еднаква на половина од производот на дијагоналите и синусот на аголот меѓу нив.

Доказ

Нека дијагоналите на паралелограмот $ABCD$ се сечат во точката $O$ под агол $\alpha$. Потоа $AO=OC$ и $BO=OD$ со својството паралелограм. Синусите на аглите што се собираат до $180^\circ$ се $\агол AOB = \агол COD = 180^\circ - \агол BOC = 180^\circ - \агол AOD$. Оттука, синусите на аглите на пресекот на дијагоналите се еднакви на $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\триаголник AOB) + S_(\триаголник BOC) + S_(\триаголник COD) + S_(\триаголник AOD)$

според аксиомата за мерење на површината. Примени ја формулата за плоштина на триаголник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \агол ABC$ за овие триаголници и агли кога се сечат дијагоналите. Страните на секоја се еднакви на половина од дијагоналите, а синусите се исто така еднакви. Според тоа, плоштините на сите четири триаголници се $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \dfrac( AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Сумирајќи ги сите погоре, добиваме

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Како и во Евклидовата геометрија, точката и правата линија се главните елементи на теоријата на рамнините, така и паралелограмот е една од клучните фигури на конвексните четириаголници. Од него, како нишки од топка, течат концептите на „правоаголник“, „квадрат“, „ромб“ и други геометриски големини.

Во контакт со

Дефиниција на паралелограм

конвексен четириаголник,кој се состои од отсечки, од кои секој пар е паралелен, во геометријата е познат како паралелограм.

Како изгледа класичен паралелограм е четириаголник ABCD. Страните се нарекуваат основи (AB, BC, CD и AD), нормалното извлечено од кое било теме на спротивната страна на ова теме се нарекува висина (BE и BF), линиите AC и BD се дијагонали.

Внимание!Квадрат, ромб и правоаголник се посебни случаи на паралелограм.

Страни и агли: карактеристики на сооднос

Клучни својства, во голема мера, предодредено со самата ознака, тие се докажуваат со теоремата. Овие карактеристики се како што следува:

1. Спротивни страни се идентични во парови.
2. Аглите кои се спротивни еден на друг се еднакви во парови.

Доказ: земете ги ∆ABC и ∆ADC, кои се добиваат со делење на четириаголникот ABCD со правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, бидејќи AC е заеднички за нив (вертикални агли за BC||AD и AB||CD, соодветно). Од ова произлегува: ∆ABC = ∆ADC (вториот критериум за еднаквост на триаголниците).

Сегментите AB и BC во ∆ABC одговараат во парови на линиите CD и AD во ∆ADC, што значи дека тие се идентични: AB = CD, BC = AD. Така, ∠B одговара на ∠D и тие се еднакви. Бидејќи ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, кои исто така се идентични во парови, тогаш ∠A = ∠C. Имотот е докажан.

Карактеристики на дијагоналите на фигурата

Главна карактеристикаовие паралелограмски прави: пресечната точка ги пресекува.

Доказ: нека m E е пресечната точка на дијагоналите AC и BD на сликата ABCD. Тие формираат два сразмерни триаголници - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD бидејќи се спротивни. Според линиите и секантите, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

Според вториот знак за еднаквост, ∆ABE = ∆CDE. Тоа значи дека елементите ∆ABE и ∆CDE се: AE = CE, BE = DE и, згора на тоа, тие се сразмерни делови на AC и BD. Имотот е докажан.

Карактеристики на соседните агли

На соседните страни, збирот на аглите е 180°, бидејќи лежат на иста страна на паралелните прави и секантата. За четириаголник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Карактеристики на симетралата:

1. , спуштени на едната страна, се нормални;
2. спротивните темиња имаат паралелни симетрали;
3. триаголникот добиен со цртање на симетралата ќе биде рамнокрак.

Одредување на карактеристичните црти на паралелограм со теоремата

Карактеристиките на оваа бројка произлегуваат од нејзината главна теорема, која гласи на следниов начин: четириаголник се смета за паралелограмво случај кога неговите дијагонали се сечат, а оваа точка ги дели на еднакви отсечки.

Доказ: Нека правите AC и BD на четириаголникот ABCD се сечат во t. E. Бидејќи ∠AED = ∠BEC и AE+CE=AC BE+DE=BD, тогаш ∆AED = ∆BEC (со првиот знак за еднаквост на триаголниците). Тоа е, ∠EAD = ∠ЕЦБ. Тие се и внатрешните агли на вкрстување на секантата AC за линиите AD и BC. Така, по дефиниција на паралелизам - АД || п.н.е. Слично својство на линиите BC и CD е исто така изведено. Теоремата е докажана.

Пресметување на плоштината на фигурата

Областа на оваа бројка пронајдени на неколку начиниеден од наједноставните: множење на висината и основата до која е нацртан.

Доказ: Нацртај нормални BE и CF од темињата B и C. ∆ABE и ∆DCF се еднакви бидејќи AB = CD и BE = CF. ABCD е еднаков на правоаголникот EBCF, бидејќи тие исто така се состојат од пропорционални фигури: S ABE и S EBCD, како и S DCF и S EBCD. Следи дека областа на оваа геометриска фигура е иста како онаа на правоаголникот:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да ја одредиме општата формула за плоштината на паралелограм, ја означуваме висината како hb, и страната б. Соодветно:

Други начини за наоѓање област

Пресметки на површина низ страните на паралелограмот и аголот, кој тие го формираат, е вториот познат метод.

,

Спр-ма - област;

a и b се неговите страни

α - агол помеѓу отсечките a и b.

Овој метод практично се базира на првиот, но во случај да е непознат. секогаш отсекува правоаголен триаголник чии параметри се наоѓаат со тригонометриски идентитети, т.е. Трансформирајќи го соодносот, добиваме . Во равенката на првиот метод, ја заменуваме висината со овој производ и добиваме доказ за валидноста на оваа формула.

Преку дијагоналите на паралелограм и агол,кои ги создаваат кога ќе се вкрстат, можете да ја најдете и областа.

Доказ: AC и BD вкрстувајќи се формираат четири триаголници: ABE, BEC, CDE и AED. Нивниот збир е еднаков на плоштината на овој четириаголник.

Плоштината на секое од овие ∆ може да се најде од изразот , каде што a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Бидејќи , тогаш во пресметките се користи една вредност на синусот. Тоа е . Бидејќи AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за плоштина се намалува на:

.

Примена во векторска алгебра

Карактеристиките на составните делови на овој четириаголник нашле примена во векторската алгебра, имено: собирање на два вектори. Правилото за паралелограм го кажува тоа ако се дадени векториИНесе колинеарни, тогаш нивниот збир ќе биде еднаков на дијагоналата на оваа бројка, чии основи одговараат на овие вектори.

Доказ: од произволно избран почеток - т.е. - градиме вектори и . Следно, градиме паралелограм OASV, каде што отсечките OA и OB се страни. Така, ОС лежи на векторот или збирот.

Формули за пресметување на параметрите на паралелограм

Идентитетот се дава под следниве услови:

1. a и b, α - страни и аголот меѓу нив;
2. d 1 и d 2 , γ - дијагонали и на местото на нивното вкрстување;
3. h a и h b - висини спуштени на страните a и b;

Параметар	Формула
Наоѓање страни
по дијагоналите и косинусот на аголот меѓу нив
дијагонално и странично
преку висина и спротивно теме
Наоѓање на должината на дијагоналите
на страните и големината на врвот меѓу нив
по страните и една од дијагоналите	 Заклучок Паралелограмот, како една од клучните фигури на геометријата, се користи во животот, на пример, во градежништвото при пресметување на површината на локацијата или други мерења. Затоа, знаењето за карактеристичните карактеристики и методите за пресметување на неговите различни параметри може да биде корисно во секое време од животот.

Што е паралелограм? Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во пар.

1. Плоштината на паралелограм се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = a \cdot h_(a)\]

Каде:
a е страната на паралелограмот,
h a е висината повлечена на оваа страна.

2. Ако се познати должините на две соседни страни на паралелограмот и аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Ако се дадени дијагоналите на паралелограмот и е познат аголот меѓу нив, тогаш плоштината на паралелограмот се пресметува со формулата:

\[ \ГОЛЕМИ S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Својства на паралелограм

Во паралелограм, спротивните страни се еднакви: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

Во паралелограм, спротивните агли се: \(\агол A = \агол C \) , \(\агол B = \агол D \)

Дијагоналите на паралелограмот на пресечната точка се пресечени \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Дијагоналата на паралелограм го дели на два еднакви триаголници.

Збирот на аглите на паралелограм во непосредна близина на едната страна е 180 o:

\(\агол A + \агол B = 180^(o) \), \(\агол B + \агол C = 180^(o)\)

\(\агол C + \агол D = 180^(o) \), \(\агол D + \агол A = 180^(o)\)

Дијагоналите и страните на паралелограмот се поврзани со следнава врска:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Во паралелограм, аголот помеѓу висините е еднаков на неговиот остар агол: \(\агол K B H =\агол A \) .

Симетралите на аглите соседни на едната страна на паралелограмот се меѓусебно нормални.

Симетрали на два спротивни агли на паралелограм се паралелни.

Карактеристики на паралелограм

Четириаголник е паралелограм ако:

\(AB = CD \) и \(AB || CD \)

\(AB = CD \) и \(BC = AD \)

\(AO = OC \) и \(BO = OD \)

\(\агол A = \агол C \) и \(\агол B = \агол D \)

Javascript е оневозможен во вашиот прелистувач.
Контролите ActiveX мора да бидат овозможени за да се прават пресметки!

При решавање на проблеми на оваа тема, покрај основни својства паралелограми соодветните формули, можете да го запомните и примените следново:

1. Симетралата на внатрешниот агол на паралелограмот отсекува рамнокрак триаголник од него
2. Симетралите на внатрешните агли во непосредна близина на една од страните на паралелограмот се меѓусебно нормални
3. Симетрали кои доаѓаат од спротивни внатрешни агли на паралелограм, паралелни едни на други или лежат на една права линија
4. Збирот на квадратите на дијагоналите на паралелограмот е еднаков на збирот на квадратите на неговите страни
5. Плоштината на паралелограмот е половина од производот на дијагоналите повеќе од синусот на аголот меѓу нив.

Да ги разгледаме задачите во чие решение се користат овие својства.

Задача 1.

Симетралата на аголот C на паралелограмот ABCD ја пресекува страната AD во точката M и продолжението на страната AB надвор од точката A во точката E. Најдете го периметарот на паралелограмот ако AE \u003d 4, DM \u003d 3.

Решение.

1. Триаголник CMD рамнокрак. (Својство 1). Затоа, CD = MD = 3 cm.

2. Триаголникот ЕАМ е рамнокрак.
Затоа, AE = AM = 4 cm.

3. АД = АМ + МД = 7 см.

4. Периметар ABCD = 20 cm.

Одговори. 20 см

Задача 2.

Дијагоналите се нацртани во конвексен четириаголник ABCD. Познато е дека плоштините на триаголниците ABD, ACD, BCD се еднакви. Докажи дека дадениот четириаголник е паралелограм.

Решение.

1. Нека BE е висината на триаголникот ABD, CF е висината на триаголникот ACD. Бидејќи, според состојбата на задачата, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа АД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. BE = CF.

2. BE, CF се нормални на AD. Точките B и C се наоѓаат на иста страна од правата AD. BE = CF. Затоа, линијата BC || АД. (*)

3. Нека AL е висината на триаголникот ACD, BK висината на триаголникот BCD. Бидејќи, според состојбата на проблемот, плоштините на триаголниците се еднакви и имаат заедничка основа ЦД, тогаш висините на овие триаголници се еднакви. АЛ = БК.

4. AL и BK се нормални на CD. Точките Б и А се наоѓаат на истата страна од правата линија ЦД. АЛ = БК. Затоа, линијата AB || ЦД (**)

5. Условите (*), (**) имплицираат дека ABCD е паралелограм.

Одговори. Докажано. ABCD е паралелограм.

Задача 3.

На страните BC и CD на паралелограмот ABCD, точките M и H се означени, соодветно, така што отсечките BM и HD се сечат во точката O;<ВМD = 95 о,

Решение.

1. Во триаголникот ДОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. Во правоаголен триаголник DHC
(

Потоа<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Бидејќи во правоаголен триаголник, кракот што лежи спроти агол од 30 o е еднаков на половина од хипотенузата).

Но, CD = AB. Тогаш AB: HD = 2: 1.

3. <С = 30 о,

4. <А = <С = 30 о, <В =

Одговор: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Задача 4.

Една од дијагоналите на паралелограм со должина 4√6 прави агол од 60° со основата, а втората дијагонала прави агол од 45° со истата основа. Најдете ја втората дијагонала.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Примени ја синусната теорема на триаголникот AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Одговор: 12.

Задача 5.

За паралелограм со страни 5√2 и 7√2, помалиот агол помеѓу дијагоналите е еднаков на помалиот агол на паралелограмот. Најдете го збирот на должините на дијагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 се дијагоналите на паралелограмот, а аголот помеѓу дијагоналите и помалиот агол на паралелограмот е φ.

1. Да изброиме две различни
начини на нејзината област.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Ја добиваме еднаквоста 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Користејќи го односот помеѓу страните и дијагоналите на паралелограмот, ја запишуваме еднаквоста

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ајде да направиме систем:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Помножете ја втората равенка на системот со 2 и додадете ја на првата.

Добиваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Оттука, Id 1 + d 2 I = 24.

Бидејќи d 1, d 2 се должините на дијагоналите на паралелограмот, тогаш d 1 + d 2 = 24.

Одговор: 24.

Задача 6.

Страните на паралелограмот се 4 и 6. Остриот агол меѓу дијагоналите е 45 o. Најдете ја плоштината на паралелограмот.

Решение.

1. Од триаголникот AOB, користејќи ја косинусната теорема, ја запишуваме врската помеѓу страната на паралелограмот и дијагоналите.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Слично ја пишуваме релацијата за триаголникот AOD.

Тоа го земаме предвид<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Ја добиваме равенката d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Имаме систем
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Одземање на првата од втората равенка, добиваме 2d 1 d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Забелешка:Во овој и во претходниот проблем, нема потреба од целосно решавање на системот, предвидувајќи дека во оваа задача ни треба производ на дијагонали за да ја пресметаме плоштината.

Одговор: 10.

Задача 7.

Плоштината на паралелограмот е 96, а неговите страни се 8 и 15. Најдете го квадратот на помалата дијагонала.

Решение.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Ајде да направиме замена во формулата.

Добиваме 96 = 8 15 sin VAD. Оттука грев VAD = 4/5.

2. Најдете cos BAD. грев 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Според состојбата на проблемот, ја наоѓаме должината на помалата дијагонала. Дијагоналата BD ќе биде помала ако аголот BAD е остар. Тогаш cos BAD = 3/5.

3. Од триаголникот ABD, користејќи ја косинусната теорема, го наоѓаме квадратот на дијагоналата BD.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВД 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Одговор: 145.

Дали имате прашања? Не знаете како да решите геометриски проблем?
За да добиете помош од тутор - регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

сајт, со целосно или делумно копирање на материјалот, потребна е врска до изворот.

Пред да научиме како да ја пронајдеме плоштината на паралелограм, треба да запомниме што е паралелограм и што се нарекува неговата висина. Паралелограм е четириаголник чии спротивни страни се паралелни во пар (лежат на паралелни прави). Нормалната извлечена од произволна точка на спротивната страна на правата што ја содржи оваа страна се нарекува висина на паралелограмот.

Квадрат, правоаголник и ромб се посебни случаи на паралелограм.

Областа на паралелограм е означена како (S).

Формули за наоѓање плоштина на паралелограм

S=a*h, каде што a е основата, h е висината што се влече кон основата.

S=a*b*sinα, каде што a и b се основите, а α е аголот помеѓу основите a и b.

S \u003d p * r, каде што p е полупериметар, r е радиусот на кругот што е впишан во паралелограмот.

Областа на паралелограмот формиран од векторите a и b е еднаква на модулот на производот на дадените вектори, имено:

Размислете за пример бр. 1: Даден е паралелограм, чија страна е 7 cm, а висината е 3 cm. Како да ја пронајдеме плоштината на паралелограмот, потребна ни е формула за решавање.

Значи S= 7x3. S=21. Одговор: 21 cm 2.

Размислете за пример бр. 2: Основите се 6 и 7 cm, а аголот помеѓу основите е 60 степени. Како да се најде плоштината на паралелограм? Формула што се користи за решавање:

Така, прво го наоѓаме синусот на аголот. Синус 60 \u003d 0,5, соодветно S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Одговор: 21 cm 2.

Се надевам дека овие примери ќе ви помогнат во решавањето на проблемите. И запомнете, главната работа е познавање на формули и внимание