Kanoniczna forma kwadratowa. Kanoniczna forma formy kwadratowej. Redukcja formy kwadratowej do formy kanonicznej

Biorąc pod uwagę formę kwadratową (2) ZA(x, x) \u003d, gdzie x = (x 1 , x 2 , …, x n). Rozważmy kwadratową formę w przestrzeni R To znaczy 3 x = (x 1 , x 2 , x 3), ZA(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(zastosowaliśmy warunek symetrii kształtu, czyli i 12 = i 21 , i 13 = i 31 , i 23 = i 32). Napiszmy macierz postaci kwadratowej ZA w podstawie ( mi}, ZA(mi) =
... Gdy zmienia się podstawa, macierz postaci kwadratowej zmienia się zgodnie ze wzorem ZA(fa) = do t ZA(mi)dogdzie do - macierz przejścia od podstawy ( mi) do podstawy ( fa), i do t - transponowana macierz do.

Definicja11.12. Nazywa się postać formy kwadratowej z ukośną matrycą kanoniczny.

Więc pozwól ZA(fa) =
następnie ZA"(x, x) =
+
+
gdzie x" 1 , x" 2 , x„3 - współrzędne wektora x na nowej podstawie ( fa}.

Definicja11.13. Wpuść n V taka podstawa jest wybrana fa = {fa 1 , fa 2 , …, fa n ), w którym forma kwadratowa ma postać

ZA(x, x) =
+
+ … +
, (3)

gdzie y 1 , y 2 , …, y n - współrzędne wektora x w podstawie ( fa). Wyrażenie (3) jest wywoływane widok kanoniczny forma kwadratowa. Współczynniki  1, λ 2,…, λ n są nazywane kanoniczny; nazywana jest podstawa, w której forma kwadratowa ma formę kanoniczną podstawa kanoniczna.

Komentarz... Jeśli forma kwadratowa ZA(x, x) sprowadza się do formy kanonicznej, więc generalnie nie wszystkie współczynniki  ja są niezerowe. Ranga formy kwadratowej jest równa randze jej macierzy w dowolnej bazie.

Niech ranga formy kwadratowej ZA(x, x) jest równy rgdzie r ≤ n... Macierz o formie kwadratowej w formie kanonicznej ma postać ukośną. ZA(fa) =
ponieważ jego ranga to r, a następnie wśród współczynników  ja Powinien być rróżne od zera. Stąd wynika, że \u200b\u200bliczba niezerowych współczynników kanonicznych jest równa randze postaci kwadratowej.

Komentarz... Liniowa transformacja współrzędnych to przejście od zmiennych x 1 , x 2 , …, x n do zmiennych y 1 , y 2 , …, y n , w którym stare zmienne są wyrażone w postaci nowych zmiennych z pewnymi współczynnikami liczbowymi.

x 1 \u003d α 11 y 1 + α 12 y 2 + ... + α 1 n y n ,

x 2 \u003d α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + ... + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 \u003d α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + ... + α nn y n .

Ponieważ każda transformacja podstawy odpowiada nieodegenerowanej liniowej transformacji współrzędnych, kwestię redukcji postaci kwadratowej do postaci kanonicznej można rozwiązać, wybierając odpowiednią niezdegenerowaną transformację współrzędnych.

Twierdzenie 11.2 (główne twierdzenie o formach kwadratowych). Dowolna forma kwadratowa ZA(x, x) podane w n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V, używając niezdegenerowanej liniowej transformacji współrzędnych można sprowadzić do postaci kanonicznej.

Dowód... (Metoda Lagrange'a) Ideą tej metody jest sukcesywne uzupełnianie kwadratowego trójmianu w każdej zmiennej do pełnego kwadratu. Zakładamy, że ZA(x, x) ≠ 0 iw podstawie mi = {mi 1 , mi 2 , …, mi n ) ma postać (2):

ZA(x, x) =
.

Jeśli ZA(x, x) \u003d 0, a następnie ( za ij) \u003d 0, czyli forma jest już kanoniczna. Formuła ZA(x, x) można przekształcić tak, aby współczynnik za 11 ≠ 0. Jeśli za 11 \u003d 0, wówczas kwadratowy współczynnik innej zmiennej jest różny od zera, to poprzez przenumerowanie zmiennych można to osiągnąć za 11 ≠ 0. Renumeracja zmiennych jest nieodegenerowaną transformacją liniową. Jeżeli wszystkie współczynniki kwadratów zmiennych są równe zeru, wymagane przekształcenia uzyskuje się w następujący sposób. Niech na przykład za 12 ≠ 0 (ZA(x, x) ≠ 0, a więc przynajmniej jeden współczynnik za ij ≠ 0). Rozważ transformację

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x ja = y ja , w ja = 3, 4, …, n.

Ta transformacja jest niezdegenerowana, ponieważ wyznacznik jej macierzy jest niezerowy
= = 2 ≠ 0.

Następnie 2 za 12 x 1 x 2 = 2 za 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
czyli w formie ZA(x, x) pojawią się kwadraty dwóch zmiennych.

ZA(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Przydzieloną kwotę przeliczamy na formularz:

ZA(x, x) = za 11
, (5)

podczas gdy współczynniki za ij zmień na ... Rozważ niezdegenerowaną transformację

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Wtedy dostajemy

ZA(x, x) =
. (6).

Jeśli forma kwadratowa
\u003d 0, to kwestia redukcji ZA(x, x) do formy kanonicznej zostaje rozwiązana.

Jeśli ta postać nie jest równa zeru, powtarzamy rozumowanie, biorąc pod uwagę przekształcenia współrzędnych y 2 , …, y n i bez zmiany współrzędnych y 1. Oczywiście te przemiany nie będą zdegenerowane. W skończonej liczbie kroków forma kwadratowa ZA(x, x) zostanie zredukowana do formy kanonicznej (3).

Komentarz1. Pożądane przekształcenie oryginalnych współrzędnych x 1 , x 2 , …, x n można otrzymać mnożąc niezdegenerowane transformacje, które można znaleźć w procesie rozumowania: [ x] = ZA[y], [y] = b[z], [z] = do[t], następnie [ x] = ZAb[z] = ZAbdo[t], czyli [ x] = M[t], gdzie M = ZAbdo.

Komentarz 2. Niech ZA(x, x) = ZA(x, x) =
+
+ …+
, gdzie  ja ≠ 0, ja = 1, 2, …, r, gdzie  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Rozważ niezdegenerowaną transformację

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n ... W rezultacie ZA(x, x) przybierze postać: ZA(x, x) = + + … + – – … – który jest nazywany normalny rodzaj formy kwadratowej.

Przykład11.1. Kanonizuj formę kwadratową ZA(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Decyzja... O ile za 11 \u003d 0, używamy transformacji

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Ta transformacja ma macierz ZA =
czyli [ x] = ZA[y] otrzymujemy ZA(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Ponieważ współczynnik w nie jest zerem, możesz wybrać kwadrat jednej nieznanej, niech tak będzie y 1. Wybierzmy wszystkich członków zawierających y 1 .

ZA(x, x) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Wykonajmy transformację, której macierz jest równa b.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

b =
, [y] = b[z].

Dostajemy ZA(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Wybierzmy członków zawierających z 2. Mamy ZA(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Wykonywanie transformacji za pomocą macierzy do:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

do =
, [z] = do[t].

Dostał: ZA(x, x) = 2– 2+ 6 forma kanoniczna formy kwadratowej, podczas gdy [ x] = ZA[y], [y] = b[z], [z] = do[t], stąd [ x] = ABC[t];

ZAbdo =


=
... Formuły transformacji są następujące

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Forma kwadratowa nazywana jest kanoniczną, jeśli wszystko, tj.

Dowolną formę kwadratową można zredukować do postaci kanonicznej za pomocą przekształceń liniowych. W praktyce zwykle stosuje się następujące metody.

1. Ortogonalna transformacja przestrzeni:

gdzie - wartości własne macierzy ZA.

2. Metoda Lagrange'a - sekwencyjny wybór doskonałych kwadratów. Na przykład, jeśli

Następnie podobna procedura jest wykonywana z formą kwadratową itd. Jeśli w formie kwadratowej wszystko jest następnie po wstępnym przekształceniu sprawa sprowadza się do rozpatrywanej procedury. Więc jeśli na przykład umieścimy

3. Metoda Jacobiego (w przypadku, gdy wszyscy główni nieletni są niezerowe):

Każda prosta na płaszczyźnie może być określona przez równanie pierwszego rzędu

Ax + Wu + C \u003d 0,

a stałe A, B nie są równe zero w tym samym czasie. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie prostej.W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące przypadki specjalne:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia przechodzi przez początek

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - prosta jest równoległa do osi Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - prosta jest równoległa do osi Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - prosta pokrywa się z osią Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - prosta pokrywa się z osią Ox

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od danych warunków początkowych.

Można określić prostą linię w przestrzeni:

1) jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn, tj. układ równań:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3,2)

2) za pomocą dwóch punktów M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), a następnie przechodząca przez nie prosta jest określona równaniami:

= ; (3.3)

3) należący do niego punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) oraz wektor za(m, n, p), współliniowe z nim. Następnie prostą określają równania:

. (3.4)

Nazywa się równania (3.4) równania kanoniczne prostej.

Wektor za nazywa wektor kierujący prostej.

Równania parametryczne prostej otrzymujemy, zrównując każdy ze stosunków (3.4) z parametrem t:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + рt. (3,5)

Układ rozwiązywania (3.2) jako układ równań liniowych względem niewiadomych x i y, dochodzimy do równań prostej w projekcje lub zredukowane równania prostej:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3,6)

Z równań (3.6) można przejść do równań kanonicznych, znajdując z z każdego równania i zrównanie uzyskanych wartości:

.

Z równań ogólnych (3.2) można przejść do kanonicznego iw inny sposób, jeśli znajdziemy jakiś punkt tej prostej i jej wektor kierunkowy n= [n 1 , n 2], gdzie n 1 (A 1, B 1, C 1) i n 2 (A 2, B 2, C 2) to wektory normalne danych płaszczyzn. Jeśli jeden z mianowników m, n lub r w równaniach (3.4) będzie równa zero, wówczas licznik odpowiedniego ułamka musi być równy zero, tj. system

jest odpowiednikiem systemu ; taka prosta jest prostopadła do osi Wołu.

System jest odpowiednikiem systemu x \u003d x 1, y \u003d y 1; prosta jest równoległa do osi Oz.

Dowolne równanie pierwszego stopnia w odniesieniu do współrzędnych x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3,1)

definiuje płaszczyznę i odwrotnie: każdą płaszczyznę można przedstawić za pomocą równania (3.1), które nazywa się równanie płaszczyzny.

Wektor n (A, B, C) ortogonalna do płaszczyzny jest nazywana wektor normalny samolot. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C nie są jednocześnie równe 0.

Specjalne przypadki równania (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - płaszczyzna przechodzi przez początek.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - płaszczyzna jest równoległa do osi Oz.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - płaszczyzna przechodzi przez oś Oz.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oyz.

Równania płaszczyzn współrzędnych: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Linia może, ale nie musi należeć do samolotu. Należy do samolotu, jeśli co najmniej dwa jego punkty leżą na płaszczyźnie.

Jeśli linia nie należy do płaszczyzny, może być do niej równoległa lub przecinać ją.

Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeśli jest równoległa do innej prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

Prosta może przecinać płaszczyznę pod różnymi kątami, a zwłaszcza być do niej prostopadła.

Punkt w stosunku do płaszczyzny można umieścić w następujący sposób: należy do niej lub nie należy. Punkt należy do płaszczyzny, jeśli znajduje się na prostej znajdującej się w tej płaszczyźnie.

W przestrzeni dwie linie mogą się przecinać, być równoległe lub przecinać się.

W rzutach zachowana jest równoległość segmentów linii.

Jeśli linie się przecinają, to punkty przecięcia ich rzutów o tej samej nazwie znajdują się na tej samej linii komunikacyjnej.

Skrzyżowane linie nie należą do tej samej płaszczyzny, tj. nie przecinają się ani nie równolegle.

na rysunku rzuty linii o tej samej nazwie, wzięte oddzielnie, mają znaki przecinających się lub równoległych linii.

Elipsa. Elipsa to zbiór punktów, dla których suma odległości do dwóch punktów stałych (ognisk) ma taką samą stałą wartość dla wszystkich punktów elipsy (ta stała wartość musi być większa niż odległość między ogniskami).

Najprostsze równanie elipsy

gdzie za - półoś wielka elipsy, b jest półosiową elipsą. Jeśli 2 do to odległość między ogniskami, a następnie między za, b i do (Jeśli za > b) istnieje związek

za 2 - b 2 = do 2 .

Mimośrodowość elipsy to stosunek odległości między ogniskami tej elipsy do długości jej głównej osi

Elipsa ma ekscentryczność mi < 1 (так как do < za) i skupia się na głównej osi.

Równanie hiperboli pokazane na rysunku.

Parametry:
a, b - półosie;
- odległość między ogniskami,
- ekscentryczność;
- asymptoty;
- dyrektorzy.
Prostokąt pokazany pośrodku rysunku jest głównym prostokątem, jego przekątne to asymptoty.