Macierze Gaussa. Metoda Gaussa dla manekinów: przykłady rozwiązań. Problemy ze stosowaniem reguły Gaussa
Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, które należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych xi, które zamieniają każde równanie układu w równość).
Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:
1) Nie mam rozwiązań (np niespójny).
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej unikalne rozwiązanie.
Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie mają zastosowania w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i najbardziej wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, który w każdym przypadkudoprowadzi nas do odpowiedzi! Algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli znajomość wyznaczników jest wymagana w metodach Cramera i macierzowych, to do zastosowania metody Gaussa niezbędna jest znajomość tylko operacji arytmetycznych, co czyni ją dostępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.
Rozszerzone transformacje macierzy ( to jest macierz układu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wolnych terminów)układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:
1) z smyczki matryce mogą przemieniaćw miejscach.
2) jeśli macierz zawiera (lub jest) proporcjonalna (w szczególnym przypadku - te same) wiersze, to wynika usunąć z macierzy wszystkie te wiersze oprócz jednego.
3) jeśli zerowy wiersz pojawił się w macierzy podczas transformacji, to również następuje usunąć.
4) może być wiersz macierzy mnożyć (dzielić)do dowolnej liczby innej niż zero.
5) może być wiersz macierzy dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbęniezerowe.
W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.
Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:
- „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych zredukuj rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do „trójkątnej” postaci krokowej: elementy rozszerzonej macierzy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch „z góry na dół”). Na przykład do tego formularza:
Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki:
1) Załóżmy, że rozważamy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik przy x 1 to K. Drugie, trzecie itd. równania są przekształcane w następujący sposób: każde równanie (współczynniki dla niewiadomych, w tym wyrażeń wolnych) dzieli się przez współczynnik dla nieznanego x 1, który jest w każdym równaniu, i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równania (współczynniki dla niewiadomych i wyrażeń wolnych). W drugim równaniu otrzymujemy współczynnik 0 dla x 1. Odejmij pierwsze równanie od trzeciego przekształconego równania, aż wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, dla nieznanego x 1 będą miały współczynnik równy 0.
2) Przejdź do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie, a współczynnik przy x 2 będzie równy M. Przy wszystkich „niższych” równaniach postępujemy jak opisano powyżej. Zatem „pod” nieznane x 2 we wszystkich równaniach będzie zerami.
3) Przejdź do następnego równania i tak dalej, aż pojawi się ostatnia niewiadoma i przekształcony wolny wyraz.
- „Odwrotność” metody Gaussa - uzyskanie rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „oddolny”). Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - nieznane x n. Aby to zrobić, rozwiązujemy elementarne równanie A * x n \u003d B. W powyższym przykładzie x 3 \u003d 4. Zastąp znalezioną wartość w „wyższym” następnym równaniu i rozwiąż ją w odniesieniu do następnej niewiadomej. Na przykład x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.
Przykład.
Rozwiążmy układ równań liniowych metodą Gaussa, jak radzą niektórzy autorzy:
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą transformacji elementarnych sprowadzimy ją do postaci krokowej:
Patrzymy na lewy górny „stopień”. Powinniśmy mieć tam jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma, więc przestawienie rzędów niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana z wykorzystaniem transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to:
1 krok
... Dodaj drugą linię pomnożoną przez -1 do pierwszej linii. Oznacza to, że pomnożymy w myślach drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.
Teraz w lewym górnym rogu jest „minus jeden”, co jest dla nas w porządku. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszą linię przez -1 (zmienić jej znak).
Krok 2 ... Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii, a pierwsza pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.
Krok 3 ... Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to dla piękna. Znak trzeciej linii również został zmieniony i został przeniesiony na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku mamy wymaganą jednostkę.
Krok 4 ... Trzecia linia została dodana do drugiej linii pomnożona przez 2.
Krok 5 ... Trzecia linia została podzielona przez 3.
Znakiem wskazującym na błąd w obliczeniach (rzadziej - literówkę) jest „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli na dole otrzymamy coś takiego (0 0 11 | 23), a zatem 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że popełniono błąd podczas elementarne przemiany.
Wykonujemy ruch odwrotny, w projektowaniu przykładów często sam system nie jest przepisywany, a równania są „pobierane bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że ruch odwrotny działa od dołu do góry. W tym przykładzie otrzymaliśmy prezent:
x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, więc x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1
Odpowiedź: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Rozwiążmy ten sam system zgodnie z zaproponowanym algorytmem. Dostajemy
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Drugie równanie podziel przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymamy:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymujemy:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Odejmując pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, otrzymujemy:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Podziel trzecie równanie przez 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Pomnóż trzecie równanie przez 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Odejmijmy drugie od trzeciego równania, aby otrzymać „stopniową” rozszerzoną macierz:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Tak więc, ponieważ błąd narosły podczas obliczeń, otrzymujemy x 3 \u003d 0,96 lub około 1.
x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d –1.
Rozwiązując w ten sposób nigdy nie pogubisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.
Ta metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwa do zaprogramowania i nie uwzględnia specyfiki współczynników dla niewiadomych, ponieważ w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.
Życzę Ci sukcesów! Do zobaczenia w klasie! Korepetytor.
blog., z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Niech zostanie podany układ liniowych równań algebraicznych, które należy rozwiązać (znajdź takie wartości niewiadomych xi, które zamieniają każde równanie układu w równość).
Wiemy, że układ liniowych równań algebraicznych może:
1) Nie mam rozwiązań (np niespójny).
2) Miej nieskończenie wiele rozwiązań.
3) Miej unikalne rozwiązanie.
Jak pamiętamy, reguła Cramera i metoda macierzowa nie mają zastosowania w przypadkach, gdy system ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny. Metoda Gaussa – najpotężniejsze i najbardziej wszechstronne narzędzie do znajdowania rozwiązań dowolnego układu równań liniowych, który w każdym przypadkudoprowadzi nas do odpowiedzi! Algorytm samej metody działa tak samo we wszystkich trzech przypadkach. Jeśli znajomość wyznaczników jest wymagana w metodach Cramera i macierzowych, to do zastosowania metody Gaussa niezbędna jest znajomość tylko operacji arytmetycznych, co czyni ją dostępną nawet dla uczniów szkół podstawowych.
Rozszerzone transformacje macierzy ( to jest macierz układu - macierz złożona tylko ze współczynników niewiadomych plus kolumna wolnych terminów)układy liniowych równań algebraicznych w metodzie Gaussa:
1) z smyczki matryce mogą przemieniaćw miejscach.
2) jeśli macierz zawiera (lub jest) proporcjonalna (w szczególnym przypadku - te same) wiersze, to wynika usunąć z macierzy wszystkie te wiersze oprócz jednego.
3) jeśli zerowy wiersz pojawił się w macierzy podczas transformacji, to również następuje usunąć.
4) może być wiersz macierzy mnożyć (dzielić)do dowolnej liczby innej niż zero.
5) może być wiersz macierzy dodaj kolejny ciąg pomnożony przez liczbęniezerowe.
W metodzie Gaussa przekształcenia elementarne nie zmieniają rozwiązania układu równań.
Metoda Gaussa składa się z dwóch etapów:
- „Ruch bezpośredni” - za pomocą przekształceń elementarnych zredukuj rozszerzoną macierz układu liniowych równań algebraicznych do „trójkątnej” postaci krokowej: elementy rozszerzonej macierzy znajdujące się poniżej głównej przekątnej są równe zeru (ruch „z góry na dół”). Na przykład do tego formularza:
Aby to zrobić, wykonaj następujące kroki:
1) Załóżmy, że rozważamy pierwsze równanie układu liniowych równań algebraicznych, a współczynnik przy x 1 to K. Drugie, trzecie itd. równania są przekształcane w następujący sposób: każde równanie (współczynniki dla niewiadomych, w tym wyrażeń wolnych) dzieli się przez współczynnik dla nieznanego x 1, który jest w każdym równaniu, i mnożymy przez K. Następnie odejmujemy pierwsze od drugiego równania (współczynniki dla niewiadomych i wyrażeń wolnych). W drugim równaniu otrzymujemy współczynnik 0 dla x 1. Odejmij pierwsze równanie od trzeciego przekształconego równania, aż wszystkie równania, z wyjątkiem pierwszego, dla nieznanego x 1 będą miały współczynnik równy 0.
2) Przejdź do następnego równania. Niech to będzie drugie równanie, a współczynnik przy x 2 będzie równy M. Przy wszystkich „niższych” równaniach postępujemy jak opisano powyżej. Zatem „pod” nieznane x 2 we wszystkich równaniach będzie zerami.
3) Przejdź do następnego równania i tak dalej, aż pojawi się ostatnia niewiadoma i przekształcony wolny wyraz.
- „Odwrotność” metody Gaussa - uzyskanie rozwiązania układu liniowych równań algebraicznych (ruch „oddolny”). Z ostatniego „niższego” równania otrzymujemy jedno pierwsze rozwiązanie - nieznane x n. Aby to zrobić, rozwiązujemy elementarne równanie A * x n \u003d B. W powyższym przykładzie x 3 \u003d 4. Zastąp znalezioną wartość w „wyższym” następnym równaniu i rozwiąż ją w odniesieniu do następnej niewiadomej. Na przykład x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tak dalej, aż znajdziemy wszystkie niewiadome.
Przykład.
Rozwiążmy układ równań liniowych metodą Gaussa, jak radzą niektórzy autorzy:
Zapiszmy rozszerzoną macierz układu i za pomocą transformacji elementarnych sprowadzimy ją do postaci krokowej:
Patrzymy na lewy górny „stopień”. Powinniśmy mieć tam jednostkę. Problem polega na tym, że w pierwszej kolumnie w ogóle nie ma, więc przestawienie rzędów niczego nie rozwiąże. W takich przypadkach jednostka musi być zorganizowana z wykorzystaniem transformacji elementarnej. Zwykle można to zrobić na kilka sposobów. Zróbmy to:
1 krok
... Dodaj drugą linię pomnożoną przez -1 do pierwszej linii. Oznacza to, że pomnożymy w myślach drugą linię przez –1 i dodaliśmy pierwszą i drugą linię, podczas gdy druga linia się nie zmieniła.
Teraz w lewym górnym rogu jest „minus jeden”, co jest dla nas w porządku. Każdy, kto chce otrzymać +1, może wykonać dodatkową akcję: pomnożyć pierwszą linię przez -1 (zmienić jej znak).
Krok 2 ... Pierwsza linia pomnożona przez 5 została dodana do drugiej linii, a pierwsza pomnożona przez 3 została dodana do trzeciej linii.
Krok 3 ... Pierwsza linia została pomnożona przez -1, w zasadzie to dla piękna. Znak trzeciej linii również został zmieniony i został przeniesiony na drugie miejsce, dzięki czemu na drugim „kroku mamy wymaganą jednostkę.
Krok 4 ... Trzecia linia została dodana do drugiej linii pomnożona przez 2.
Krok 5 ... Trzecia linia została podzielona przez 3.
Znakiem wskazującym na błąd w obliczeniach (rzadziej - literówkę) jest „zły” wynik finansowy. To znaczy, jeśli na dole otrzymamy coś takiego (0 0 11 | 23), a zatem 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, to z dużym prawdopodobieństwem można argumentować, że popełniono błąd podczas elementarne przemiany.
Wykonujemy ruch odwrotny, w projektowaniu przykładów często sam system nie jest przepisywany, a równania są „pobierane bezpośrednio z danej macierzy”. Przypominam, że ruch odwrotny działa od dołu do góry. W tym przykładzie otrzymaliśmy prezent:
x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, więc x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1
Odpowiedź: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Rozwiążmy ten sam system zgodnie z zaproponowanym algorytmem. Dostajemy
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Drugie równanie podziel przez 5, a trzecie przez 3. Otrzymamy:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Mnożąc drugie i trzecie równanie przez 4, otrzymujemy:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Odejmując pierwsze równanie od drugiego i trzeciego równania, otrzymujemy:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Podziel trzecie równanie przez 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Pomnóż trzecie równanie przez 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Odejmijmy drugie od trzeciego równania, aby otrzymać „stopniową” rozszerzoną macierz:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Tak więc, ponieważ błąd narosły podczas obliczeń, otrzymujemy x 3 \u003d 0,96 lub około 1.
x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d –1.
Rozwiązując w ten sposób nigdy nie pogubisz się w obliczeniach i pomimo błędów obliczeniowych otrzymasz wynik.
Ta metoda rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych jest łatwa do zaprogramowania i nie uwzględnia specyfiki współczynników dla niewiadomych, ponieważ w praktyce (w obliczeniach ekonomicznych i technicznych) mamy do czynienia ze współczynnikami niecałkowitymi.
Życzę Ci sukcesów! Do zobaczenia w klasie! Korepetytor Dmitrij Aistrachanow.
strona, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału, wymagany jest link do źródła.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.Musimy znaleźć rozwiązanie dla systemu z n równania liniowe z n nieznane zmienne
wyznacznik głównej macierzy jest różny od zera.
Istota metody Gaussa polega na sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych: po pierwsze, x 1 ze wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego, dodatkowo wyklucz x 2wszystkich równań, zaczynając od trzeciego i tak dalej, aż w ostatnim równaniu pozostaje tylko nieznana zmienna x n... Taki proces przekształcania równań układu w celu sukcesywnej eliminacji nieznanych zmiennych nazywa się bezpośrednim przebiegiem metody Gaussa... Po zakończeniu biegu do przodu metody Gaussa, z ostatniego równania, znajdujemy x n, używając tej wartości z przedostatniego równania jest obliczana x n-1itd. z pierwszego znalezionego równania x 1... Wywoływany jest proces obliczania nieznanych zmiennych podczas przechodzenia z ostatniego równania systemu do pierwszego wsteczna metoda Gaussa.
Opiszmy pokrótce algorytm eliminacji nieznanych zmiennych.
Przyjmiemy to, ponieważ zawsze możemy to osiągnąć, zmieniając równania układu. Wyeliminuj nieznaną zmienną x 1 wszystkich równań układu, zaczynając od drugiego. Aby to zrobić, do drugiego równania układu dodajemy pierwsze, pomnożone przez, do trzeciego równania dodajemy pierwsze, pomnożone przez itd., n-tydo równania dodajemy pierwszą pomnożoną przez. Układ równań po takich przekształceniach przyjmuje postać
gdzie.
Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy wyrazili x 1 przez inne nieznane zmienne w pierwszym równaniu systemu, a wynikowe wyrażenie zostało zastąpione wszystkimi innymi równaniami. Więc zmienna x 1 wykluczone ze wszystkich równań, począwszy od drugiego.
W tym celu do trzeciego równania układu dodajemy drugie pomnożone przez, do czwartego równania dodajemy drugie pomnożone przez i tak dalej, do n-tydo równania dodajemy drugą, pomnożoną przez. Układ równań po takich przekształceniach przyjmuje postać
gdzie. Więc zmienna x 2 wykluczone ze wszystkich równań, począwszy od trzeciego.
Kontynuujemy więc bezpośredni przebieg metody Gaussa, aż system przybierze formę
Od tego momentu rozpoczynamy odwrotny przebieg metody Gaussa: oblicz x n z ostatniego równania jako, używając uzyskanej wartości x n odnaleźć x n-1 z przedostatniego równania i tak dalej x 1 z pierwszego równania.
Przykład.
Rozwiąż układ równań liniowych metodą Gaussa. ...
Odpowiedź:
x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.
ODDZIAŁ KOSTROMA WOJSKOWEGO UNIWERSYTETU OCHRONY RHB
Dział "Automatyzacji dowodzenia i kierowania wojskami"
Tylko dla nauczycieli
"Pochwalam"
Kierownik działu nr 9
pułkownik A.B. YAKOVLEV
„____” ______________ 2004
profesor nadzwyczajny A.I. SMIRNOVA
„MATRYCE. METODA GAUSSA”
WYKŁAD nr 2/3
Omówiono na spotkaniu wydziału nr 9
„____” ___________ 2003
Protokół nr ___________
Kostroma, 2003
doobsesja
Wprowadzenie
1. Działania na macierzach.
2. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą Gaussa.
Wniosek
Literatura
1. V.E. Schneider i in., Short Course in Higher Mathematics, tom I, rozdz. 2, §6, 7.
2.V.S. Shchipachev, Higher Mathematics, Ch. 10, 1, 7.
WPROWADZENIE
Wykład omawia pojęcie macierzy, działania na macierzach, a także metodę Gaussa do rozwiązywania układów równań liniowych. Dla szczególnego przypadku, tzw. Macierzy kwadratowych, można obliczyć wyznaczniki, których koncepcja była rozważana na poprzednim wykładzie. Metoda Gaussa jest bardziej ogólna niż wcześniej rozważana metoda Cramera do rozwiązywania układów liniowych. Zagadnienia omawiane na wykładzie są wykorzystywane w różnych działach matematyki oraz w pytaniach stosowanych.
Pierwsze pytanie badawcze DZIAŁANIA NA MATRYCE
DEFINICJA 1. Prostokątny stół odm, n liczby zawierającem - linie in - kolumny typu:
nazywa macierz rozmiarów m ´ n
Nazywane są liczby, które tworzą macierz elementy matrycy.
Pozycja pozycji i ja jot w macierzy charakteryzują się podwójnym indeksem:
pierwszy ja - numer kolejki;
druga jot - numer kolumny, na przecięciu której stoi element.
W formie skróconej macierze oznaczono dużymi literami: A, B, C ...
Krótko możesz napisać tak:
DEFINICJA 2.Macierz z liczbą wierszy równą liczbie kolumn, tj.m = n jest nazywany plac.
Liczba wierszy (kolumn) macierzy kwadratowej nazywana jest porządkiem macierzy.
PRZYKŁAD.
UWAGA 1. Rozważymy macierze, których wpisy są liczbami. W matematyce i jej zastosowaniach istnieją macierze, których elementami są inne obiekty, na przykład funkcje, wektory.
UWAGA 2. Macierz to specjalna koncepcja matematyczna. Za pomocą macierzy wygodnie jest pisać różne transformacje, układy liniowe itp., Dlatego macierze często można znaleźć w literaturze matematycznej i technicznej.
DEFINICJA 3.Macierz rozmiarów1 nwywoływana jest jedna linia macierz - ciąg.
Matryca rozmiaru T.1 składa się z jednej kolumny macierz - kolumna.
DEFINICJA 4. Zero Matrix zwana macierzą, której wszystkie elementy są równe zeru.
Rozważmy kwadratową macierz porządku n:
boczna przekątnagłówna przekątna
Nazywa się przekątną kwadratowej macierzy biegnącą od lewego górnego elementu tabeli do prawego dolnego główna przekątna matrycy (główna przekątna zawiera elementy formularza i ja ja).
Nazywa się przekątną biegnącą od prawego górnego elementu do lewego dolnego z boku przekątnej matrycy.
Rozważmy kilka specjalnych typów macierzy kwadratowych.
1) Nazywa się macierz kwadratową przekątnajeśli wszystkie elementy spoza głównej przekątnej są równe zero.
2) Nazywa się macierz przekątną, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe jeden pojedynczy... Wskazane jest:
3) Nazywa się macierz kwadratową trójkątny, jeśli wszystkie elementy po tej samej stronie głównej przekątnej wynoszą zero:
górna dolna
macierz trójkątna macierz trójkątna
W przypadku macierzy kwadratowej wprowadzono pojęcie: wyznacznik macierzy... Jest to wyznacznik złożony z elementów macierzy. Wskazane jest:
Oczywiste jest, że wyznacznik macierzy tożsamości jest równy 1: 1 mi½ \u003d 1
KOMENTARZ. Macierz niekwadratowa nie ma wyznacznika.
Jeśli wyznacznik macierzy kwadratowej jest różny od zera, wówczas wywoływana jest macierz niezdegenerowany, jeśli wyznacznik jest równy zero, wówczas wywoływana jest macierz zdegenerowany.
DEFINICJA 5. Macierz uzyskana z tego poprzez zastąpienie jej wierszy kolumnami o tych samych numerach nosi nazwę transponowane do danego.
Macierz transponowana do I, oznacz W.
PRZYKŁAD.
3 3 2DEFINICJA.Nazywa się dwie macierze tego samego rozmiaru równy, jeśli wszystkie odpowiadające im elementy są równe .
Rozważmy operacje na macierzach.
DODAWANIE MATRIXÓW.
Operacja dodawania jest wprowadzana tylko dla macierzy o tym samym rozmiarze.
DEFINICJA 7. Suma dwóch macierzy A \u003d (a ja jot ) i B \u003d ( b i jot ) ten sam rozmiar macierz С \u003d (z ja jot) o tej samej wielkości, których elementy są równe sumom odpowiednich elementów składników macierzy, tj. z i j \u003d a i j + b i j
Suma macierzy jest oznaczona A + B.
PRZYKŁAD.
PRAWDZIWE MULTIPLIKACJA MATRYC
DEFINICJA 8.Mnożenie macierzy przez liczbęk, musisz pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę:
jeśli A \u003d(i ja jot )następnie k · ZA= (k · za ja jot )
PRZYKŁAD.
WŁAŚCIWOŚCI DODAWANIA I MNOŻENIA MATRYCY WEDŁUG LICZBY
1. Właściwość przemieszczenia: A + B \u003d B + A
2. Właściwość kombinacji: (A + B) + C \u003d A + (B + C)
3. Właściwość dystrybucji: k · (ZA + b) = k ZA + k bgdzie k – numer
MULTIPLIKACJA MATRYCY
Macierz Ibędzie nazywana globulą z macierzą Wjeśli liczba kolumn macierzy I jest równa liczbie wierszy macierzy Wczyli dla spójnych macierzy macierz I ma rozmiar m ´ n , macierz W ma rozmiar n ´ k . Macierze kwadratowe są spójne, jeśli mają tę samą kolejność.
DEFINICJA 9.Iloczyn macierzy A o rozmiarzem ´ n na rozmiar macierzy B.n ´ k zwana macierzą C o rozmiarzem ´ kktórego element a ja jot położony wja -Ta linia ijot - ta kolumna jest równa sumie iloczynów elementówja - wiersz macierzy A do odpowiednich elementówjot - kolumna macierzy B, tj.
do ja jot = za ja 1 b 1 jot + za ja 2 b 2 jot +……+ za ja n b n jot
Oznaczamy: C \u003d A· W.
następnieKompozycja W´ I nie ma sensu, bo matryce
nie zgadzać się.UWAGA 1. Jeśli I´ W to ma sens W´ I może nie mieć sensu.
UWAGA 2. Jeśli ma to sens I´ W i W´ I, więc ogólnie mówiąc
I´ W ¹ W´ Iczyli mnożenie macierzy nie ma prawa transpozycji.
UWAGA 3. Jeśli IJest macierzą kwadratową i miCzy zatem macierz tożsamości jest tego samego rzędu I´ mi= mi´ A \u003d A.
Z tego wynika, że \u200b\u200bmacierz tożsamości odgrywa rolę jedności w pomnożeniu.
PRZYKŁADY... Znajdź, jeśli to możliwe, I´ W i W´ I.
Decyzja: Macierze kwadratowe tego samego drugiego rzędu są dopasowywane w tej samej kolejności i dlatego I´ W i W´ I istnieć.
