W kierunku prędkości. Wyznaczanie przyspieszenia punktów figury płaskiej metodami mtsu wyznaczania przyspieszenia punktów figury płaskiej

Biorąc pod uwagę ruch płaski figury płaskiej jako sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z przyspieszeniem a A bieguna A i obrotowym

ruchu wokół tego bieguna otrzymujemy wzór na określenie przyspieszenia dowolnego punktu B płaskiej figury w postaci

a B \u003d		a +		a BA \u003d		a A + a BAв +	a BAc.
Tutaj						przyśpieszenie	bieguny A; za		Przyśpieszenie

ruch obrotowy punktu B wokół bieguna A, który podobnie jak w przypadku obrotu ciała wokół stałej osi jest wektorem

jest sumą przyspieszenia obrotowego a BA wi środka

szybkie przyspieszenie a BA c ... Moduły tych przyspieszeń są określone wzorami

moduł przyspieszenia kątowego. Przyspieszenie obrotowe a BA in jest skierowane prostopadle do odcinka AB w kierunku strzałki łuku ε, a przyspieszenie dośrodkowe a BAc jest skierowane wzdłuż linii AB od punktu B do bieguna A (rys. 12). Bezwzględny moduł przyspieszenia a BA punktu B względem bieguna A ze względu na warunek a BA w BA q oblicza się według wzoru

Rys 12. Wyznaczanie przyspieszenia punktu B

za pomocą bieguna A.

Aby znaleźć przyspieszenie a B według wzoru (2.18)

zaleca się użycie analityczny sposób... W metodzie tej wprowadzono prostokątny kartezjański układ współrzędnych (układ Bxy na rys. 12) i rzuty a Bx, a By

wymagane przyspieszenie jako sumy algebraiczne rzutów przyspieszeń zawartych po prawej stronie równości (2.18):

(a in

(a c

a cosα

do;

(a in

(a c

sinα

gdzie α jest kątem między wektorem a A

i oś Bx. Znalezione

Opisana metoda wyznaczania przyspieszeń punktów figury płaskiej ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, w których określany jest ruch bieguna A i kąt obrotu figury

równania (2.14). Jeżeli zależność kąta obrotu od czasu nie jest znana, to dla danego położenia figury należy wyznaczyć chwilową prędkość kątową i chwilowe przyspieszenie kątowe. Metody ich określania omówiono szerzej na przykładach zadania 2.

Zauważ również, że przy wyznaczaniu przyspieszeń punktów figury płaskiej można użyć natychmiastowe centrum przyspieszenia- punkt, którego przyspieszenie w danej chwili jest równe zero. Wykorzystanie chwilowego środka przyspieszenia wiąże się jednak z dość pracochłonnymi metodami wyznaczania jego położenia, dlatego zaleca się wyznaczenie przyspieszenia punktów płaskiej figury według wzoru

2.4 Zadanie 2. Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń punktów mechanizmu płaskiego

Mechanizmy (patrz str. 5) nazywane są płaskimi, jeśli wszystkie jego punkty poruszają się w jednej lub równoległych płaszczyznach, w przeciwnym razie mechanizmy nazywane są przestrzenią

nym.

W zadanie 2.1 dotyczyprzekładnie planetarne,

w zadaniu 2.2 - mechanizmy korbowo-postawy oraz w zadaniu

2.3 Oprócz dwóch wymienionych typów, badany jest ruch mechanizmów innych typów. Większość rozważanych mechanizmów to mechanizmy z jednym stopniem swobody,

w którym aby określić ruch wszystkich linków, musisz ustawić prawo ruchu jednego łącza.

Cesja 2.1

W mechanizmie planetarnym (ryc. 13) korba 1 o długości OA \u003d 0,8 (m) obraca się wokół stałej osi O, prostopadłej do płaszczyzny figury, zgodnie z prawem

ϕ OA (t) \u003d 6t - 2t 2 (rad). W punkcie A korba jest przegubowa

ze środkiem tarczy 2 o promieniu r \u003d 0,5 (m), która jest wewnętrznie sprzężona z kołem stałym 3, współosiowo z

korba OA. Punkt B jest ustawiony na dysku 2 w czasie t 1 \u003d 1 (s), którego położenie jest określone przez odległość AB \u003d 0,5 (m) i kąt α \u003d 135 °. (W danym momencie kąt α jest mierzony od osi Ax w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara dla α\u003e 0 lub w kierunku przeciwnym dla

α < 0).

Rys 13. Mechanizm planetarny i metoda określania położenia punktu B.

Określić w chwili t 1

1) prędkość punktu B na dwa sposoby: korzystając z chwilowego środka prędkości (IMC) dysku 2 i używając bieguna A;

2) Przyspieszenie punktu B za pomocą bieguna A.

1) Określenie prędkości punktu B.

Najpierw musisz wykonać obraz graficzny

mechanizm w wybranej skali (np. w 1 cm rysunku - 0,1 m odcinka OA i promieniu r) i pokazują zadane położenie punktu B (rys. 14).

Rys 14. Wyznaczenie prędkości punktu B na podstawie chwilowego środka prędkości P i bieguna A.

Zgodnie z podanym prawem obrotu korby OA znajdujemy prędkość środka A tarczy 2. Wyznaczamy prędkość kątową korby w zadanym czasie t 1 \u003d 1 (c):

ω OA \u003d ϕ! OA \u003d (6 t -				6 - 4 t;	ω OA (t 1) \u003d 2 (rad / s).

Uzyskana wartość ω OA (t 1) jest dodatnia, dlatego strzałkę łuku ω OA kierujemy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, czyli w dodatnim kierunku kąta ϕ.

Oblicz moduł prędkości

v A \u003d ω OA (t 1) OA \u003d 2 0,8 \u003d 1,6 (m / s)

i skonstruuj wektor prędkości v A prostopadły do \u200b\u200bОА w kierunku strzałki łuku ω OA.

strzałka łuku ω OA i wektor v A są rysowane w przeciwnym kierunku, a moduł jest używany do obliczenia v A

ω OA (t 1).

Chwilowy środek prędkości (punkt P) dysku 2 znajduje się w punkcie jej styku z kołem 3 (patrz poz. 5 na str. 34). Wyznaczmy chwilową prędkość kątową ω dysku ze znalezionej wartości prędkości v A:

ω \u003d v A / AP \u003d v A / r \u003d 1,6 / 0,5 \u003d 3,2 (rad / s)

i narysuj strzałkę łuku na rysunku (Rys. 14).

Aby określić prędkość punktu B za pomocą MCS, znajdujemy odległość BP zgodnie z twierdzeniem cosinus z trójkąta ABP:

BP \u003d AB2 + AP2 - 2 AB AP cos135 "\u003d

0,5 2 + 0,52 - 2 0,52 (- 2/2) ≈ 0,924 (m).

Prędkość v B jest równa wartości bezwzględnej

v B \u003d ω PB \u003d 3,2 0,924 ≈ 2,956 (m / s)

i jest skierowana prostopadle do odcinka PB w kierunku strzałki łuku ω.

Ten sam wektor v B można znaleźć za pomocą bieguna A zgodnie ze wzorem (2.15): v B \u003d v A + v BA. Przenosimy wektor v A do punktu B i konstruujemy wektor v BA, prostopadły do \u200b\u200bodcinka AB i skierowany w stronę łukowej strzałki ω. Moduł

że kąt między wektorami v A i v BA wynosi 45 °. Następnie według wzoru (2.16) znajdujemy

vB \u003d vA 2 + vBA 2 + 2 vA vBA cos 45 "\u003d

1,6 2 + 1,62 + 2 1,62 (2/2) ≈ 2,956 (m / s).

Na rysunku wektor v B musi pokrywać się z przekątną równoległoboku, którego bokami są wektory v A i v BA. Osiąga się to poprzez konstruowanie wektorów v A, v B i v BA w wybranych

standardowa skala (na przykład 1 cm na rysunku odpowiada 0,5 m / s). Należy zwrócić uwagę, że skale przedstawione w rozważanym przykładzie można zmieniać i przypisywać niezależnie.

2). Wyznaczenie przyspieszenia punktu B.

Przyspieszenie punktu B określa wzór (2.18) wykorzystujący biegun A, którego przyspieszenie jest sumą wektora z przyspieszenia stycznego i normalnego:

a B \u003d a A + a BA в + a BA c \u003d a τ A + a A n + a BA в + a BA c.

Zgodnie z podanym prawem obrotu korby OA, znajdujemy jej przyspieszenie kątowe:

ε OA \u003d ω! OA \u003d (6 - 4t!) \u003d - 4 (rad / s 2).

Uzyskana wartość ε OA jest ujemna, dlatego kierujemy strzałkę łuku ε OA zgodnie z ruchem wskazówek zegara

jest w kierunku ujemnym, a przy dalszych obliczeniach weźmiemy tę wartość w module.

Moduły przyspieszeń stycznych i normalnych bieguna A w danym czasie t 1 wyznaczają wzory (2.11):

a τ A \u003d ε OA OA \u003d 4 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2); a n A \u003d ω OA 2 OA \u003d 22 0,8 \u003d 3,2 (m / s 2).

Przyspieszenie styczne a τ A jest skierowane prostopadle do korby OA w kierunku strzałki łuku ε OA, a normalne przyspieszenie a A n jest skierowane od tęsknoty A do punktu O w dowolnym kierunku prędkości kątowej korby (rys. 15). Nie trzeba określać całkowitego przyspieszenia a A.

Rys 15. Wyznaczanie przyspieszenia punktu B za pomocą bieguna A.

ω \u003d v A / r \u003d ω OA (OA / r).
	z definicji kątowe	przyśpieszenie	dysk (at
OA / r \u003d const) jest równe
ε = ω ! =	ω! OA (OA / r) \u003d ε OA (OA / r) \u003d -	4 (0.8 / 0.5) =	- 6,4 (rad / s 2).

strzałka kątowa ε jest skierowana w kierunku przeciwnym do strzałki łuku ω.

Obliczamy moduły przyspieszeń obrotowych i dośrodkowych punktu B względem bieguna A według wzorów

a BAв						AB \u003d	6,4 0,5 \u003d 3,2 (m / s 2);
a BAö						2 AB \u003d	3,22 0,5 \u003d 5,12 (m / s 2).

Wektor a BA jest skierowany prostopadle do odcinka AB w kierunku

łukowa strzałka ε i wektor a BA c - od punktu B do bieguna A.

Przyspieszenie punktu B znajdujemy na podstawie jego rzutów na oś układu współrzędnych Axy:

a Bx \u003d (a τ A) x +					(a An) x + (a BAc) x + (a BAc) x \u003d
	0 - a n A -			bA przy cos 45 "+			a BAö	cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 + 5.12		2 / 2 ≈	- 1,84 (m / s 2);
a By \u003d (a τ A) y +					(a An) y + (a BAc) y + (a BAc) y \u003d
		a τ A +	0 −		a BAв	cos45 "	- a BA c cos 45 "\u003d
		3.2 −				/ 2 − 5.12		2 / 2 ≈	- 9,08 (m / s 2).
Moduł a B \u003d		a Bx2			a By2	≈ 9,27 (m / s 2).
					przyśpieszenie		a τ A,	a A n	a BA c, a BA c jest wymagane

reprezentować w wybranej skali i konstruować w tej samej skali wektor a B zgodnie ze znalezionymi rzutami (rys. 15).

Wstępne dane do samodzielnego wykonania zadania 2.1 podano w tabeli na str. 44.

				Kinematyka nadwozia sztywnego
		ϕ OA (t), rad				α, deg	t 1, s
		t2 + 3t
		8t - 3t2
		t2 - 4t
		3t - 2t2
		2t2 - t
		4t - t2
		2t2 - 6t
		2t - 3t2
		3t2 - 4t
		8t - 2t2
		4t2 - 6t
		3t - 4t2
		4t2 - 2t
		6t - t2
		2t2 - 4t
		4t - 3t2
		2t2 + t
		4t - 2t2
		3t2 - 10t
		t - 2t2
		3t2 + 2t
		6t - 3t2
		3t2 - 8t
		2t - 4t2

Wyznaczanie prędkości punktów płaskiej figury

Zauważono, że ruch figury płaskiej można uznać za składową ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z prędkościąsłupy I iz ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Pokażmy, że prędkość dowolnego punktu Mliczby są dodawane geometrycznie na podstawie prędkości, które punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.

Rzeczywiście, położenie dowolnego punktu M kształty są definiowane w odniesieniu do osi Ooh wektor promienia(Ryc. 3), gdzie jest wektorem promienia bieguna I , - wektor określający położenie punktu Mwzględem osiporuszanie się z biegunem Itranslacyjnie (ruch figury względem tych osi to obrót wokół bieguna I). Następnie

W uzyskanej równości ilośćto prędkość bieguna I ; wielkośćrówna prędkości który punkt M dostaje sięczyli względem osilub innymi słowy, gdy postać obraca się wokół słupa I... Tak więc naprawdę wynika to z poprzedniej równości

Prędkość który punkt Mpojawia się, gdy postać obraca się wokół słupa I :

gdzie ω jest prędkością kątową figury.

Tak więc prędkość dowolnego punktu M płaska figura jest geometrycznie złożona z prędkości innego punktu I wzięty za biegun i prędkość, którą to punkt M pojawia się, gdy kształt obraca się wokół tego bieguna. Moduł prędkości i kierunekmożna znaleźć, konstruując odpowiedni równoległobok (ryc. 4).

Ryc.3 Ryc.4

Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała

Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej (lub ciała poruszającego się w płaszczyźnie równoległej) wiąże się zwykle z dość skomplikowanymi obliczeniami. Można jednak uzyskać szereg innych, praktycznie wygodniejszych i prostszych metod określania prędkości punktów figury (lub ciała).

Ryc.5

Jedną z takich metod daje twierdzenie: rzuty prędkości dwóch punktów ciała sztywnego na oś przechodzącą przez te punkty są sobie równe. Rozważ dwa dowolne punkty I i W płaska figura (lub ciało). Biorąc punkt I dla bieguna (ryc. 5), otrzymujemy... Stąd rzutowanie obu stron równości na oś skierowaną wzdłuż ABi biorąc pod uwagę, że wektorprostopadły AB, znaleźliśmy

i twierdzenie zostało udowodnione.

Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej na podstawie chwilowego środka prędkości.

Inna prosta i intuicyjna metoda wyznaczania prędkości punktów figury płaskiej (lub ciała poruszającego się w płaszczyźnie) opiera się na koncepcji chwilowego środka prędkości.

Centrum prędkości chwilowej nazywany jest punktem płaskiej figury, którego prędkość w danym czasie jest równa zeru.

Łatwo jest się upewnić, że postać się porusza niejawnie, to taki punkt w każdym momencie t jest i zresztą jedyny. Niech ta chwila w czasie t zwrotnica I i W płaskie figury mają prędkościi nie równolegle do siebie (ryc. 6). Wtedy chodzi o to Rleżący na przecięciu prostopadłych Aa do wektorai W b do wektora , i będzie chwilowym środkiem prędkości od tego czasu... Rzeczywiście, jeśli to założymy, a następnie przez twierdzenie o rzucie prędkości wektormuszą być jednocześnie prostopadłe i AR (tak jak) i BP (tak jak), co jest niemożliwe. Z tego samego twierdzenia jasno wynika, że \u200b\u200bżaden inny punkt figury w tym momencie nie może mieć prędkości równej zeru.

Ryc.6

Jeśli teraz przejdziemy do sedna R poza biegunem, a następnie prędkość punktu I będzie

tak jak ... Podobny wynik uzyskuje się dla dowolnego innego punktu kształtu. W konsekwencji prędkości punktów płaskiej figury wyznaczane są w danym momencie tak, jakby ruch figury był obracany wokół chwilowego środka prędkości. W którym

Z równości wynika również, żepunkty płaskiej figury są proporcjonalne do ich odległości od MDC.

Uzyskane wyniki prowadzą do następujących wniosków.

1. Aby wyznaczyć chwilowy środek prędkości, wystarczy znać kierunki prędkościi dowolne dwa punkty I i W płaska figura (lub trajektoria tych punktów); Chwilowy środek prędkości znajduje się w punkcie przecięcia się prostopadłych pobranych z punktów I i W do prędkości tych punktów (lub do stycznych do trajektorii).

2. Aby określić prędkość dowolnego punktu płaskiej figury, musisz znać moduł i kierunek prędkości dowolnego punktu I figury i kierunek prędkości jego drugiego punktu W... Następnie odzyskiwanie z punktów I i W prostopadłe doi , skonstruuj natychmiastowy środek prędkości R i w kierunkuokreślić kierunek obrotu figury. Potem wiedząc, znajdź prędkośćdowolny punkt M płaska postać. Wektor skierowanyprostopadły RM w kierunku obrotu figury.

3. Prędkość kątowapłaskiej figury jest w dowolnym momencie równa stosunkowi prędkości pewnego punktu figury do jego odległości od chwilowego środka prędkości R :

Rozważmy kilka specjalnych przypadków wyznaczania chwilowego środka prędkości.

a) Jeżeli ruch płasko-równoległy jest wykonywany przez toczenie bez przesuwania jednego cylindrycznego korpusu po powierzchni innego nieruchomego korpusu, wówczas punkt R toczącego się ciała, dotykającego nieruchomej powierzchni (rys. 7), ma w danym czasie ze względu na brak poślizgu prędkość równą zeru (), i dlatego jest chwilowym środkiem prędkości. Przykładem jest toczenie koła po szynie.

b) Jeśli prędkości punktów I i W płaskie figury są równoległe do siebie i do linii AB nie prostopadle(Ryc. 8, a), to chwilowy środek prędkości leży w nieskończoności, a prędkości wszystkich punktów są równoległe... Co więcej, z twierdzenia o rzutach prędkości wynika, żeto znaczy ; podobny wynik uzyskuje się dla wszystkich innych punktów. W konsekwencji w rozpatrywanym przypadku prędkości wszystkich punktów figury w danym czasie są sobie równe zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku, tj. figura ma natychmiastowy translacyjny rozkład prędkości (ten stan ruchu ciała nazywany jest również natychmiastowym translacyjnym). Prędkość kątowaciało w tej chwili, jak widać, wynosi zero.

Ryc.7

Ryc.8

c) Jeśli prędkości punktów I i W figury płaskie są równoległe do siebie i do linii ABprostopadły, potem natychmiastowy środek prędkości R zależy od konstrukcji pokazanej na rys. 8, b. Rzetelność konstrukcji wynika z proporcji. W tym przypadku, w przeciwieństwie do poprzednich, aby znaleźć centrum R oprócz wskazówek musisz również znać moduły prędkości.

d) Jeśli znany jest wektor prędkościdowolny punkt W figury i ich prędkość kątowa, a następnie położenie chwilowego środka prędkości R leżąc prostopadle do(ryc. 8, b), można znaleźć jako.

Rozwiązywanie problemów w celu określenia prędkości.

Aby określić pożądane właściwości kinematyczne (prędkość kątową ciała lub prędkości jego punktów), konieczne jest poznanie modułu i kierunku prędkości dowolnego punktu oraz kierunku prędkości innego punktu przekroju tego ciała. Rozwiązanie należy rozpocząć od zdefiniowania tych cech zgodnie z zadanymi zadaniami.

Mechanizm, którego ruch jest badany, należy przedstawić na rysunku w położeniu, dla którego wymagane jest określenie odpowiednich właściwości. Przy obliczeniach należy pamiętać, że pojęcie chwilowego środka prędkości ma miejsce dla danego ciała sztywnego. W mechanizmie składającym się z kilku ciał, każde nietranslacyjne poruszające się ciało w danym czasie ma swoje własne chwilowe centrum prędkości R i jego prędkość kątową.

Przykład 1.Ciało, które ma kształt zwoju, toczy się ze środkowym cylindrem w ustalonej płaszczyźnie tak, że(cm). Promienie cylindrów:R= 4 głoska bezdźwięczna r\u003d 2 cm (rys. 9). .

Ryc.9

Decyzja. Określamy prędkość punktu A, Bi Z.

Chwilowy środek prędkości znajduje się w punkcie, w którym cewka dotyka płaszczyzny.

Prędkość bieguna Z .

Prędkość kątowa cewki

Prędkości punktowe I i Wskierowane prostopadle do odcinków linii łączących te punkty z chwilowym środkiem prędkości. Wielkość prędkości:

Przykład 2. Koło promieniowe R \u003d 0,6 m rolki bez ślizgania się po prostym odcinku toru (rysunek 9.1); prędkość jego środka C jest stała i równav c \u003d 12 m / s. Znajdź prędkość kątową koła i prędkości końców M 1 , M 2 , M 3 , M 4 pionowe i poziome średnice kół.

Rysunek 9.1

Decyzja. Koło porusza się równolegle do płaszczyzny. Chwilowy środek prędkości koła znajduje się w punkcie M1 styku z płaszczyzną poziomą, tj.

Prędkość kątowa koła

Znajdź prędkości punktów M2, M3 i M4

Przykład3 . Promień koła napędowego samochodu R \u003d 0,5 m toczy się z poślizgiem (ze poślizgiem) po prostym odcinku autostrady; jego prędkość środkowa Z stały i równyv c = 4 m / s. Chwilowy środek prędkości koła znajduje się w tym punkcie R na odległość godz = 0,3 m od płaszczyzny toczenia. Znajdź prędkość kątową koła i prędkość punktów I i W jego średnica pionowa.

Rysunek 9.2

Decyzja. Prędkość kątowa koła

Znajdź prędkość punktów I i W

Przykład 4.Znajdź prędkość kątową korbowodu AB i prędkość punktów W i Z mechanizmu korbowego (Rys. 9.3, i). Biorąc pod uwagę prędkość kątową korby OA i rozmiary: ω OA \u003d 2 s -1, OA = AB \u003d 0,36 m, TAK JAK\u003d 0,18 m.

i) b)

Rysunek 9.3

Decyzja. Korba OA wykonuje ruch obrotowy, korbowód AB - ruch płasko-równoległy (rysunek 9.3, b).

Znajdź prędkość punktu I połączyć OA

Prędkość punktowa W skierowane poziomo. Znajomość kierunku prędkości punktów I i W korbowód AB, określić położenie jego chwilowego środka prędkości - punkt R AB.

Połącz prędkość kątową AB i prędkość punktów W i C:

Przykład 5. Jądro ABprzesuwa jego końce wzdłuż wzajemnie prostopadłych linii prostych tak, że pod kątemprędkość (rys.10). Długość prętaAB \u003d l... Określ prędkość końca I i prędkość kątową pręta.

Ryc.10

Decyzja. Łatwo jest określić kierunek wektora prędkości punktowej I przesuwając się po linii pionowej. Następnieznajduje się na przecięciu prostopadłychi (rys.10).

Prędkość kątowa

Prędkość punktowa I :

I prędkość środka pręta Z np. skierowane prostopadlei jest równe:

Plan prędkości.

Niech znane są prędkości kilku punktów płaskiego przekroju ciała (ryc. 11). Jeśli te prędkości są wykreślane w skali od pewnego punktu O i połącz ich końce liniami prostymi, otrzymasz obraz, który nazywa się planem prędkości. (Na zdjęciu) .

Ryc.11

Właściwości planu prędkości.

a) Boki trójkątów na planie prędkości są prostopadłe właściwyprosto w płaszczyźnie ciała.

Naprawdę, ... Ale na planie prędkości. Znaczyponadto prostopadły AB, w związku z tymPodobnie, i.

b) Boki planu prędkości są proporcjonalne do odpowiednich odcinków linii na płaszczyźnie ciała.

Tak jakz tego wynika, że \u200b\u200bboki planu prędkości są proporcjonalne do odcinków linii na płaszczyźnie ciała.

Łącząc te właściwości możemy stwierdzić, że plan prędkości jest podobny do odpowiedniej figury i obrócony względem niej o 90˚ w kierunku obrotu.Te właściwości planu prędkości pozwalają na graficzne wyznaczenie prędkości punktów ciała.

Przykład 6. Rysunek 12 przedstawia przeskalowaną ilustrację mechanizmu. Znana prędkość kątowapołączyć OA.

Ryc.12

Decyzja.Aby skonstruować plan prędkości, trzeba znać prędkość jednego punktu, chociaż kierunek wektora prędkości innego. W naszym przykładzie możesz określić prędkość punktu I : i kierunek wektora.

Ryc.13

Odkładamy (ryc. 13) od punktu o w skaliZnany jest kierunek wektora prędkości pełzacza W - poziomy. Narysuj plan prędkości z punktu O prostoja w kierunku prędkościgdzie powinien byćbokreślenie prędkości tego punktu W... Ponieważ boki planu prędkości są prostopadłe do odpowiednich ogniw mechanizmu, punkty iprowadzić prosto prostopadle ABprzed przecięciem z linią prostą ja... Punkt przecięcia zdefiniuje punktb, a tym samym prędkość punktu W : ... Zgodnie z drugą właściwością planu prędkości, jego boki są podobne do ogniw mechanizmu. Punkt Z dzieli AB to znaczy na pół z powinien podzielić i b w połowie. Punkt z określi wielkość i kierunek prędkości na planie prędkości(Jeśli z połącz z kropką O).

Prędkość punktowa mi równa zero, więc punkt mi na planie prędkości pokrywa się z punktem O.

Następnie powinno byći ... Rysujemy te linie, znajdujemy ich punkt przecięciare.Sekcja o re określi wektor prędkości.

Przykład 7.Przegubowe czterodrożny OABS korba napędowaOA cm obraca się równomiernie wokół osi O prędkość kątowaω \u003d 4 s -1 i za pomocą korbowodu AB \u003d 20 cm napędza korbę obrotową Słońce wokół osi Z (Rysunek 13.1, i). Określ prędkości punktów I i W, jak również prędkości kątowe korbowodu ABi korba Słońce.

i) b)

Rysunek 13.1

Decyzja.Prędkość punktowa I korba OA

Biorąc punkt I dla bieguna ułóż równanie wektora

gdzie

Graficzne rozwiązanie tego równania przedstawiono na rysunku 13.1. , b (plan prędkości).

Korzystając z planu prędkości, otrzymujemy

Prędkość kątowa korbowodu AB

Prędkość punktowa W można znaleźć używając twierdzenia o rzutach prędkości dwóch punktów ciała na łączącą je prostą

B i prędkość kątową korby SV

Wyznaczanie przyspieszenia punktów o kształcie płaskim

Pokażmy, że przyspieszenie dowolnego punktu M figury płaskiej (a także prędkości) jest sumą przyspieszeń, jakie otrzymuje punkt podczas ruchu postępowego i obrotowego tej figury. Pozycja punktowa M w stosunku do osi O xy (patrz Rysunek 30) wektor promieniajest kątem między wektoremi segment MAMA (rys.14).

Zatem przyspieszenie dowolnego punktu Mpłaska figura jest geometrycznie złożona z przyspieszenia innego punktu I wzięty za biegun i przyspieszenie, o które chodzi Mpojawia się, gdy postać obraca się wokół tego słupa. Moduł i kierunek przyspieszenia, można znaleźć, konstruując odpowiedni równoległobok (ryc. 23).

Jednak obliczenia i przyspieszenie dowolny punkt I ta liczba w tej chwili; 2) trajektoria innego punktu W dane liczbowe. W niektórych przypadkach zamiast trajektorii drugiego punktu figury wystarczy znać położenie chwilowego środka prędkości.

Podczas rozwiązywania problemów ciało (lub mechanizm) należy przedstawić w pozycji, dla której wymagane jest określenie przyspieszenia odpowiedniego punktu. Obliczenia rozpoczynają się od określenia punktu przyjętego jako biegun zgodnie z danymi problemu.

Plan rozwiązania (jeśli określono prędkość i przyspieszenie jednego punktu figury płaskiej oraz kierunki prędkości i przyspieszenia innego punktu figury):

1) Wyznacz chwilowy środek prędkości, przywracając prostopadłe do prędkości dwóch punktów płaskiej figury.

2) Wyznacz chwilową prędkość kątową figury.

3) Określić przyspieszenie dośrodkowe punktu wokół bieguna, równe zeru sumie rzutów wszystkich składników przyspieszenia na oś prostopadłą do znanego kierunku przyspieszenia.

4) Znajdź moduł przyspieszenia obrotowego, zrównując do zera sumę rzutów wszystkich składników przyspieszenia na oś prostopadłą do znanego kierunku przyspieszenia.

5) Wyznacz chwilowe przyspieszenie kątowe płaskiej figury na podstawie znalezionego przyspieszenia obrotowego.

6) Znajdź przyspieszenie punktu płaskiej figury, korzystając ze wzoru na rozkład przyspieszeń.

Przy rozwiązywaniu zadań można zastosować „twierdzenie o rzutach wektorów przyspieszenia dwóch punktów ciała absolutnie sztywnego”:

„Rzuty wektorów przyspieszenia dwóch punktów ciała absolutnie sztywnego, wykonującego ruch równolegle do płaszczyzny, na prostą obróconą względem prostej przechodzącej przez te dwa punkty, w płaszczyźnie ruchu tego ciała pod kątemw kierunku przyspieszenia kątowego są równe. "

Twierdzenie to wygodnie jest zastosować, jeśli przyspieszenia tylko dwóch punktów ciała absolutnie sztywnego są znane zarówno w wartości bezwzględnej, jak iw kierunku, znane są tylko kierunki wektorów przyspieszenia innych punktów tego ciała (nie są znane wymiary geometryczne ciała), nie są znanei - odpowiednio rzut wektorów prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego tego ciała na oś prostopadłą do płaszczyzny ruchu, prędkości punktów tego ciała nie są znane.

Istnieją jeszcze 3 metody określania przyspieszenia punktów płaskiej figury:

1) Metoda polega na dwukrotnym zróżnicowaniu w czasie praw ruchu płasko-równoległego ciała absolutnie sztywnego.

2) Metoda opiera się na wykorzystaniu chwilowego środka przyspieszenia ciała absolutnie sztywnego (poniżej zostanie omówiony chwilowy środek przyspieszenia ciała absolutnie sztywnego).

3) Metoda opiera się na zastosowaniu planu przyśpieszenia ciała absolutnie sztywnego.

Wykład 3. Płasko-równoległy ruch ciała sztywnego. Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń.

Ten wykład dotyczy następujących zagadnień:

1. Płasko-równoległy ruch ciała sztywnego.

2. Równania ruchu płasko-równoległego.

3. Rozkład ruchu na postępowy i rotacyjny.

4. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej.

5. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów ciała.

6. Wyznaczanie prędkości punktów figury płaskiej na podstawie chwilowego środka prędkości.

7. Rozwiązywanie problemów w celu określenia prędkości.

8. Plan prędkości.

9. Wyznaczanie przyspieszeń punktów figury płaskiej.

10. Rozwiązywanie problemów przyspieszenia.

11. Centrum natychmiastowego przyspieszenia.

Badanie tych zagadnień jest w przyszłości niezbędne dla dynamiki ruchu płaskiego ciała sztywnego, dynamiki ruchu względnego punktu materialnego, do rozwiązywania problemów w dyscyplinach „Teoria maszyn i mechanizmów” oraz „Części maszyn”.

Płaski równoległy ruch ciała sztywnego. Równania ruchu płasko-równoległego.

Rozkład ruchu na ruch postępowy i obrotowy

Płasko-równoległy (lub płaski) to ruch ciała sztywnego, w którym wszystkie jego punkty poruszają się równolegle do pewnej stałej płaszczyzny P. (rys.28). Wiele części mechanizmów i maszyn wykonuje ruch płaski, na przykład toczące się koło po torze prostym, korbowód w mechanizmie korbowo-suwakowym itp. Szczególnym przypadkiem ruchu płasko-równoległego jest ruch obrotowy sztywnego korpusu wokół stałej osi.

Ryc.28 Ryc.29

Rozważ sekcję S ciało jakiegoś samolotu Oxyrównolegle do płaszczyzny P. (rys.29). W ruchu płasko-równoległym wszystkie punkty ciała leżą na linii prostej MM„Prostopadle do przepływu Sczyli samolot P.poruszać się identycznie.

Stąd dochodzimy do wniosku, że aby zbadać ruch całego ciała, wystarczy zbadać, jak porusza się on w płaszczyźnie Oohsekcja Stego ciała lub jakiejś płaskiej sylwetki S... Dlatego w dalszej części zamiast ruchu płaskiego ciała rozważymy ruch figury płaskiej S w swojej płaszczyźnie, tj. w samolocie Ooh.

Pozycja figury S w samolocie Oohzależy od położenia jakiegoś odcinka narysowanego na tej figurze AB (rys.28). Z kolei położenie segmentu AB można określić znając współrzędne x A i y Punkty I i kąt segmentu AB formy z osią x... Punkt Iwybrany w celu zdefiniowania położenia figury S, zwany dalej słupem.

Kiedy figura się porusza, wartości x A i y A i zmieni się. Poznać prawo ruchu, czyli położenie figury na płaszczyźnie Ooh w dowolnym momencie musisz znać zależności

Równania określające prawo zachodzącego ruchu nazywane są równaniami ruchu płaskiej figury w jej płaszczyźnie. Są to również równania ruchu płasko-równoległego ciała sztywnego.

Pierwsze dwa równania ruchu określają ruch, jaki figura wykonałaby przy \u003d const; będzie to oczywiście ruch translacyjny, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun I... Trzecie równanie określa ruch, jaki wykonałaby figura przy i, tj. kiedy biegun Ibez ruchu; spowoduje to obrót figury wokół słupa I... Stąd możemy wywnioskować, że w ogólnym przypadku ruch płaskiej figury w jej płaszczyźnie można uznać za sumę ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się w taki sam sposób jak biegun Iiz ruchu obrotowego wokół tego bieguna.

Głównymi charakterystykami kinematycznymi rozpatrywanego ruchu są prędkość i przyspieszenie ruchu postępowego równe prędkości i przyspieszeniu bieguna, a także prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ruchu obrotowego wokół bieguna.

Wyznaczanie prędkości punktów płaskiej figury

Zauważono, że ruch figury płaskiej można uznać za składową ruchu postępowego, w którym wszystkie punkty figury poruszają się z prędkością bieguna Iiz ruchu obrotowego wokół tego bieguna. Pokażmy, że prędkość dowolnego punktu Mfigury są formowane geometrycznie na podstawie prędkości, które punkt otrzymuje w każdym z tych ruchów.

Rzeczywiście, położenie dowolnego punktu M kształty są definiowane w odniesieniu do osi Ooh wektor promienia (ryc. 30), gdzie jest wektorem promienia bieguna I, jest wektorem określającym położenie punktu M względem osi poruszających się wraz z biegunem Itranslacyjnie (ruch figury względem tych osi to obrót wokół bieguna I). Następnie

Pokażmy, że przyspieszenie dowolnego punktu M figury płaskiej (a także prędkości) jest sumą przyspieszeń, jakie otrzymuje punkt podczas ruchu postępowego i obrotowego tej figury. Pozycja punktowa M w stosunku do osi Oxy(patrz Rysunek 30) jest określony przez wektor promienia, gdzie. Następnie

Po prawej stronie tej równości, pierwszy człon to przyspieszenie bieguna Ia drugi człon określa przyspieszenie, które otrzymuje punkt m, gdy figura obraca się wokół bieguna ZA... W związku z tym,

Wartość, jako przyspieszenie punktu obracającego się sztywnego ciała, definiuje się jako

gdzie i są prędkością kątową i przyspieszeniem kątowym figury oraz jest kątem między wektorem a segmentem MAMA (rys.41).

Zatem przyspieszenie dowolnego punktu Mpłaska figura jest geometrycznie złożona z przyspieszenia innego punktu Iwzięty za biegun i przyspieszenie, o które chodzi Mpojawia się, gdy kształt obraca się wokół tego bieguna. Moduł i kierunek przyspieszenia wyznacza się wykreślając odpowiedni równoległobok (rys. 23).

Jednak obliczenia za pomocą równoległoboku pokazanego na rys. 23 komplikują obliczenia, ponieważ najpierw konieczne będzie znalezienie wartości kąta, a następnie kąta między wektorami, a zatem podczas rozwiązywania problemów wygodniej jest zastąpić wektor jego składowymi stycznymi i normalnymi i przedstawić go w formie

W tym przypadku wektor jest skierowany prostopadle do JESTEM w kierunku obrotu, jeśli jest przyspieszany i przeciwnie do obrotu, jeśli jest wolny; wektor jest zawsze skierowany z punktu M do bieguna I(rys.42). Liczebnie

Jeśli biegun Inie porusza się po linii prostej, to jego przyspieszenie można również przedstawić jako sumę składowej stycznej i normalnej, to

Ryc.41 Ryc.42

Wreszcie, kiedy punkt Mporusza się krzywoliniowo, a jego trajektoria jest znana, wtedy można ją zastąpić sumą.

Pytania autotestowe

Jaki ruch ciała sztywnego nazywa się płaskim? Podaj przykłady połączeń mechanizmów, które powodują ruch płaski.

Jakie są proste ruchy, które składają się na ruch płaski ciała sztywnego?

W jaki sposób wyznaczana jest prędkość dowolnego punktu ciała w ruchu płaskim?

Jaki ruch ciała sztywnego nazywa się płasko-równoległym?

Złożony ruch punktowy

Ten wykład dotyczy następujących zagadnień:

1. Złożony ruch punktu.

2. Ruch względny, przenośny i absolutny.

3. Twierdzenie o dodawaniu prędkości.

4. Twierdzenie o dodawaniu przyspieszeń. Przyspieszenie Coriolisa.

5. Złożony ruch ciała sztywnego.

6. Walcowe napędy zębate.

7. Dodawanie ruchów postępowych i obrotowych.

8. Ruch śrubowy.

Badanie tych zagadnień jest w przyszłości niezbędne dla dynamiki ruchu płaskiego ciała sztywnego, dynamiki ruchu względnego punktu materialnego, do rozwiązywania problemów w dyscyplinach „Teoria maszyn i mechanizmów” oraz „Części maszyn”.

Natychmiastowy środek prędkości.

Centrum natychmiastowej prędkości - w ruchu płasko-równoległym punkt o następujących właściwościach: a) jego prędkość w danym czasie jest równa zeru; b) ciało obraca się względem niego w określonym czasie.

Aby określić położenie chwilowego środka prędkości, konieczne jest poznanie kierunków prędkości dowolnych dwóch różnych punktów ciała, których prędkości nie są równoległe. Następnie, aby wyznaczyć położenie chwilowego środka prędkości, należy narysować prostopadłe do prostych równoległych do prędkości liniowych wybranych punktów ciała. W miejscu przecięcia się tych prostopadłych zostanie położony chwilowy środek prędkości.

W przypadku, gdy wektory prędkości liniowych dwóch różnych punktów ciała są równoległe do siebie, a odcinek łączący te punkty nie jest prostopadły do \u200b\u200bwektorów tych prędkości, to prostopadłe do tych wektorów są również równoległe. W tym przypadku mówią, że chwilowy środek prędkości jest w nieskończoności, a ciało natychmiast porusza się translacyjnie.

Jeżeli znane są prędkości dwóch punktów, a prędkości te są do siebie równoległe, a dodatkowo wskazane punkty leżą na linii prostej prostopadłej do prędkości, wówczas wyznacza się położenie chwilowego środka prędkości, jak pokazano na rys. 2.

Położenie chwilowego środka prędkości w przypadku ogólnym nie pokrywa się z położeniem chwilowego środka przyspieszenia. Jednak w niektórych przypadkach, na przykład przy ruchu czysto obrotowym, położenia tych dwóch punktów mogą się pokrywać.

21. Wyznaczanie przyspieszeń punktów ciała. Metoda bieguna. Pojęcie chwilowego środka przyspieszeń.

Pokażmy, że przyspieszenie dowolnego punktu M figury płaskiej (a także prędkości) jest sumą przyspieszeń, jakie otrzymuje punkt podczas ruchu postępowego i obrotowego tej figury. Pozycja punktowa M w stosunku do osi Oxy(patrz Rysunek 30) jest określony przez wektor promienia, gdzie. Następnie

Po prawej stronie tej równości, pierwszy człon to przyspieszenie bieguna Ia drugi człon określa przyspieszenie, które otrzymuje punkt m, gdy figura obraca się wokół bieguna ZA... W związku z tym,

Wartość, jako przyspieszenie punktu obracającego się sztywnego ciała, definiuje się jako

gdzie i są prędkością kątową i przyspieszeniem kątowym figury oraz jest kątem między wektorem a segmentem MAMA (rys.41).

Zatem przyspieszenie dowolnego punktu Mpłaska figura jest geometrycznie złożona z przyspieszenia innego punktu Iwzięty za biegun i przyspieszenie, o które chodzi Mpojawia się, gdy kształt obraca się wokół tego bieguna. Moduł i kierunek przyspieszenia wyznacza się wykreślając odpowiedni równoległobok (rys. 23).

Jednak obliczenia użycie równoległoboku pokazanego na ryc. 23 komplikuje obliczenia, ponieważ najpierw konieczne będzie znalezienie wartości kąta, a następnie kąta między wektorami, a zatem podczas rozwiązywania problemów wygodniej jest zastąpić wektor jego składową styczną i normalną i przedstawić go w postaci

W tym przypadku wektor jest skierowany prostopadle do JESTEM w kierunku obrotu, jeśli jest przyspieszany i przeciwnie do obrotu, jeśli jest wolny; wektor jest zawsze skierowany z punktu M do bieguna I(rys.42). Liczebnie

Jeśli biegun Inie porusza się po linii prostej, to jego przyspieszenie można również przedstawić jako sumę składowej stycznej i normalnej, to

Ryc.41 Ryc.42

Wreszcie, kiedy punkt Mporusza się krzywoliniowo, a jego trajektoria jest znana, wtedy można ją zastąpić sumą.