Sformułuj definicję pierwiastka z równania kwadratowego. Pierwiastki kwadratowe. Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Właśnie. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. Na pierwszym etapie

konieczne jest zredukowanie podanego równania do standardowy widok, tj. patrzeć:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz robić pierwszego etapu. Najważniejsza rzecz ma rację

określić wszystkie współczynniki, a, b oraz C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący ... Jak widać, aby znaleźć x, my

posługiwać się tylko a, b i c. Tych. współczynniki od równanie kwadratowe... Po prostu ostrożnie zastąp

oznaczający a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąp przez przez ich oznaki!

na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; C = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład jest praktycznie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami znaczenia. a, b oraz Z... Raczej z podstawieniem

wartości ujemne we wzorze do obliczania korzeni. Tutaj zapisuje szczegółowy zapis formuły

z określonymi numerami. Jeśli masz problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać ten przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; C = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, starannie, nie gubiąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Równania kwadratowe często wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Na razie zwróć uwagę na najlepsze praktyki, które drastycznie zmniejszą liczbę błędów.

Pierwsze przyjęcie... Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązanie równania kwadratowego doprowadź go do standardowej formy.

Co to znaczy?

Powiedzmy, że po kilku przekształceniach otrzymałeś następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę root! Prawie na pewno pomylisz szanse. a, b i c.

Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw X jest do kwadratu, potem bez kwadratu, a następnie wyraz wolny. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Całe równanie trzeba pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

Ale teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zrób to sam. Powinieneś mieć pierwiastki 2 i -1.

Odbiór drugi. Sprawdź korzenie! Za pomocą Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać podane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x 2 + bx + c = 0,

następniex 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym 1:

x 2 +bx +C=0,

podziel całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Odbiór trzeci... Jeśli masz w równaniu współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

wspólne równanie mianownika.

Wniosek. Praktyczne porady:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc sumę

równania według -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik przy nim jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą

Samouczek wideo 2: Rozwiązywanie równań kwadratowych

Wykład: Równania kwadratowe

Równanie

Równanie- to jest jakiś rodzaj równości, w wyrażeniach których jest zmienna.

Rozwiązać równanie- oznacza znalezienie takiej liczby zamiast zmiennej, która doprowadzi ją do prawidłowej równości.

Równanie może mieć jedno rozwiązanie, kilka rozwiązań lub w ogóle nie mieć rozwiązania.

Aby rozwiązać dowolne równanie, należy je maksymalnie uprościć do postaci:

Liniowy: a * x = b;

Kwadrat: a * x 2 + b * x + c = 0.

Oznacza to, że przed rozwiązaniem każde równanie musi zostać przekonwertowane do postaci standardowej.

Każde równanie można rozwiązać na dwa sposoby: analityczny i graficzny.

Na wykresie za rozwiązanie równania uważa się punkty, w których wykres przecina oś OX.

Równania kwadratowe

Równanie można nazwać kwadratem, jeśli w uproszczeniu przyjmuje postać:

a * x 2 + b * x + c = 0.

W którym a, b, c są współczynnikami równania, które różnią się od zera. A "X"- pierwiastek równania. Uważa się, że równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki lub w ogóle nie ma rozwiązania. Powstałe korzenie mogą być takie same.

"a"- współczynnik, który stoi przed pierwiastkiem kwadratowym.

"b"- stoi przed nieznanym w pierwszym stopniu.

"Z" jest członem swobodnym równania.

Jeśli na przykład mamy równanie postaci:

2x 2 -5x + 3 = 0

W nim „2” jest współczynnikiem w najwyższym członie równania, „-5” jest drugim współczynnikiem, a „3” jest członem swobodnym.

Rozwiązywanie równania kwadratowego

Istnieje wiele sposobów rozwiązania równania kwadratowego. Jednak na szkolnym kursie matematyki rozwiązanie jest badane zgodnie z twierdzeniem Viety, a także przy użyciu dyskryminatora.

Rozwiązanie dyskryminujące:

Przy rozwiązywaniu za pomocą tej metody konieczne jest obliczenie dyskryminatora ze wzoru:

Jeśli podczas obliczeń uzyskasz, że dyskryminator jest mniejszy od zera, oznacza to, że to równanie nie ma rozwiązań.

Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie ma dwa identyczne rozwiązania. W takim przypadku wielomian można zwinąć za pomocą skróconego wzoru mnożenia do kwadratu sumy lub różnicy. Następnie rozwiąż to jako równanie liniowe. Lub użyj formuły:

Jeśli dyskryminator jest większy od zera, musisz użyć następującej metody:

Twierdzenie Viety

Jeśli równanie jest zredukowane, to znaczy, że współczynnik w początkowym członie jest równy jeden, możesz użyć Twierdzenie Viety.

Załóżmy więc, że równanie to:

Pierwiastki równania znajdują się w następujący sposób:

Niepełne równanie kwadratowe

Istnieje kilka możliwości uzyskania niepełnego równania kwadratowego, którego postać zależy od dostępności współczynników.

1. Jeśli drugi i trzeci współczynnik wynoszą zero (b = 0, c = 0), to równanie kwadratowe będzie wyglądało następująco:

To równanie będzie miało unikalne rozwiązanie. Równość będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy w rozwiązaniu równania będzie zero.

Przypominamy, że pełne równanie kwadratowe jest równaniem postaci:

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych jest trochę trudniejsze (tylko trochę) niż te podane.

Pamiętać, dowolne równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora!

Nawet niekompletne.

Reszta metod pomoże ci zrobić to szybciej, ale jeśli masz problemy z równaniami kwadratowymi, najpierw naucz się rozwiązania za pomocą dyskryminatora.

1. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą dyskryminatora.

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest bardzo proste, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł.

Jeśli, to równanie ma 2 pierwiastki. Musisz zwrócić szczególną uwagę na krok 2.

Dyskryminator D mówi nam liczbę pierwiastków w równaniu.

• Jeśli, to formuła w kroku zostanie zredukowana do. W ten sposób równanie będzie miało cały pierwiastek.
• Jeśli, to nie będziemy w stanie wydobyć korzenia z dyskryminatora na kroku. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego.

Wykres funkcji to parabola:

Wróćmy do naszych równań i spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 9

Rozwiązać równanie

Krok 1 pomijać.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Więc równanie ma dwa pierwiastki.

Krok 3.

Odpowiedź:

Przykład 10

Rozwiązać równanie

Równanie jest przedstawione w postaci standardowej, dlatego Krok 1 pomijać.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Więc równanie ma jeden pierwiastek.

Odpowiedź:

Przykład 11

Rozwiązać równanie

Równanie jest przedstawione w postaci standardowej, dlatego Krok 1 pomijać.

Krok 2.

Znajdujemy wyróżnik:

Dlatego nie będziemy w stanie wydobyć korzenia z dyskryminatora. Nie ma pierwiastków równania.

Teraz wiemy, jak poprawnie zapisywać takie odpowiedzi.

Odpowiedź: Bez korzeni

2. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety

Jeśli pamiętasz, istnieje rodzaj równań, które nazywamy zredukowanymi (gdy współczynnik a jest równy):

Takie równania są bardzo łatwe do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety:

Suma korzeni dany równanie kwadratowe jest i iloczynem pierwiastków jest.

Wystarczy wybrać parę liczb, której iloczyn jest równy członowi wolnemu równania, a suma jest drugim współczynnikiem, przyjmowanym ze znakiem przeciwnym.

Przykład 12

Rozwiązać równanie

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ ...

Suma pierwiastków równania jest równa, tj. otrzymujemy pierwsze równanie:

A produkt jest równy:

Skomponujmy i rozwiążmy system:

• oraz. Kwota jest równa;
• oraz. Kwota jest równa;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Odpowiedź: ; .

Przykład 13

Rozwiązać równanie

Odpowiedź:

Przykład 14

Rozwiązać równanie

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Odpowiedź:

RÓWNANIA KWADRATOWE. ŚREDNI POZIOM

Co to jest równanie kwadratowe?

Innymi słowy, równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie jest niewiadoma, są jakieś liczby i.

Numer nazywa się najstarszym lub pierwsze szanse równanie kwadratowe, - drugi współczynnik, a - Wolny Członek.

Bo jeśli równanie natychmiast stanie się liniowe, ponieważ zniknąć.

Ponadto i może być równy zero. Na tym krześle równanie nazywa się niekompletny.

Jeśli wszystkie warunki są na miejscu, to znaczy równanie - kompletny.

Metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

Na początek przeanalizujmy metody rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych - są prostsze.

Można wyróżnić następujące typy równań:

I., w tym równaniu współczynnik i wyraz wolny są sobie równe.

II. , w tym równaniu współczynnik wynosi.

III. , w tym równaniu wyraz wolny jest.

Przyjrzyjmy się teraz rozwiązaniu każdego z tych podtypów.

Oczywiście to równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:

Liczba do kwadratu nie może być ujemna, ponieważ po pomnożeniu dwóch liczb ujemnych lub dwóch liczb dodatnich wynik zawsze będzie liczbą dodatnią. Więc:

jeśli, to równanie nie ma rozwiązań;

jeśli mamy dwa korzenie

Te formuły nie muszą być zapamiętywane. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że nie może być mniej.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Przykład 15

Odpowiedź:

Nigdy nie zapominaj o negatywnych korzeniach!

Przykład 16

Kwadrat liczby nie może być ujemny, co oznacza, że ​​równanie

bez korzeni.

Aby krótko odnotować, że problem nie ma rozwiązania, używamy pustej ikony zestawu.

Odpowiedź:

Przykład 17

Tak więc to równanie ma dwa pierwiastki: i.

Odpowiedź:

Wyciągnij wspólny czynnik z nawiasów:

Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zeru. Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie, gdy:

Tak więc to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki: i.

Przykład:

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Rozkład na czynniki lewą stronę równania i znajdź pierwiastki:

Odpowiedź:

Metody rozwiązywania pełnych równań kwadratowych

1. Dyskryminujący

Rozwiązywanie równań kwadratowych w ten sposób jest łatwe, najważniejsze jest zapamiętanie sekwencji działań i kilku formuł. Pamiętaj, że każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora! Nawet niekompletne.

Czy zauważyłeś korzeń wyróżnika we wzorze pierwiastka?

Ale wyróżnik może być negatywny.

Co robić?

Należy zwrócić szczególną uwagę na krok 2. Wyróżnik wskazuje nam liczbę pierwiastków równania.

• Jeśli, to równanie ma pierwiastek:
• Jeśli, to równanie ma ten sam pierwiastek, ale w rzeczywistości jeden pierwiastek:

  Takie korzenie nazywane są podwójnymi korzeniami.

• Jeśli, to rdzeń dyskryminatora nie jest wyodrębniany. Oznacza to, że równanie nie ma pierwiastków.

Dlaczego jest inna liczba korzeni?

Przejdźmy do geometrycznego znaczenia równania kwadratowego. Wykres funkcji to parabola:

W szczególnym przypadku, którym jest równanie kwadratowe.

A to oznacza, że ​​pierwiastkami równania kwadratowego są punkty przecięcia z osią (osią) odciętej.

Parabola może w ogóle nie przecinać osi lub może przecinać ją w jednym (gdy wierzchołek paraboli leży na osi) lub w dwóch punktach.

Ponadto współczynnik odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Jeśli to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli - to w dół.

4 przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Przykład 18

Odpowiedź:

Przykład 19

Odpowiedź: .

Przykład 20

Odpowiedź:

Przykład 21

Więc nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: .

2. Twierdzenie Viety

Korzystanie z twierdzenia Viety jest bardzo łatwe.

Po prostu potrzebujesz ulec poprawie taką parę liczb, której iloczyn jest równy członowi wolnemu równania, a sumą jest drugi współczynnik, przyjmowany ze znakiem przeciwnym.

Należy pamiętać, że twierdzenie Viety można zastosować tylko w zredukowane równania kwadratowe ().

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przykład 22

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

To równanie jest odpowiednie do rozwiązania za pomocą twierdzenia Viety, ponieważ ... Inne współczynniki:; ...

Suma pierwiastków równania to:

A produkt jest równy:

Wybierzmy takie pary liczb, których iloczyn jest równy i sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

• oraz. Kwota jest równa;
• oraz. Kwota jest równa;
• oraz. Kwota jest równa.

i są rozwiązaniem systemu:

Tak więc i są korzeniami naszego równania.

Odpowiedź: ; ...

Przykład 23

Rozwiązanie:

Wybierzmy takie pary liczb, które dają iloczyn, a następnie sprawdźmy, czy ich suma jest równa:

i: zsumuj.

i: zsumuj. Aby go zdobyć, wystarczy zmienić oznaki rzekomych korzeni: a w końcu produkt.

Odpowiedź:

Przykład 24

Rozwiązanie:

Wyraz wolny równania jest ujemny, co oznacza, że ​​iloczyn pierwiastków jest liczbą ujemną. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden z pierwiastków jest ujemny, a drugi dodatni. Dlatego suma pierwiastków wynosi różnica ich modułów.

Wybierzmy takie pary liczb, które dają w iloczynie, a których różnica jest równa:

oraz: ich różnica jest równa – nie pasuje;

oraz: - nie pasuje;

oraz: - nie pasuje;

oraz: - pasuje. Pozostaje tylko pamiętać, że jeden z korzeni jest ujemny. Ponieważ ich suma musi być równa, to pierwiastek najmniejszej wartości bezwzględnej musi być ujemny:. Sprawdzamy:

Odpowiedź:

Przykład 25

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Wyraz wolny jest ujemny, co oznacza, że ​​iloczyn pierwiastków jest ujemny. A jest to możliwe tylko wtedy, gdy jeden pierwiastek równania jest ujemny, a drugi dodatni.

Wybierzmy takie pary liczb, których iloczyn jest równy, a następnie określmy, które pierwiastki powinny mieć znak ujemny:

Oczywiście tylko korzenie i nadają się do pierwszego warunku:

Odpowiedź:

Przykład 26

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie:

Równanie jest zredukowane, co oznacza:

Suma pierwiastków jest ujemna, co oznacza, że ​​przynajmniej jeden z pierwiastków jest ujemny. Ale ponieważ ich produkt jest dodatni, oba korzenie mają znak minus.

Wybierzmy takie pary liczb, których iloczyn jest równy:

Oczywiście korzeniami są liczby i.

Odpowiedź:

Przyznaj, bardzo wygodnie jest wymyślać korzenie ustnie, zamiast liczyć ten paskudny wyróżnik.

Staraj się używać twierdzenia Viety tak często, jak to możliwe!

Ale twierdzenie Viety jest potrzebne, aby ułatwić i przyspieszyć znajdowanie pierwiastków.

Aby korzystanie z niego było opłacalne, musisz doprowadzić działania do automatyzmu. I w tym celu zdecyduj się na jeszcze pięć przykładów.

Ale nie oszukuj: nie możesz używać wyróżnika! Tylko twierdzenie Viety!

5 przykładów na twierdzenie Viety do samodzielnej pracy

Przykład 27

Zadanie 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Według twierdzenia Viety:

Jak zwykle selekcję zaczynamy od kawałka:

Nie nadaje się, ponieważ kwota;

: kwota jest taka, jakiej potrzebujesz.

Odpowiedź: ; ...

Przykład 28

Zadanie 2.

I znowu nasze ulubione twierdzenie Vieta: suma powinna zadziałać, ale iloczyn jest równy.

Ale skoro tak nie powinno być, ale zmieniamy znaki pierwiastków: i (w sumie).

Odpowiedź: ; ...

Przykład 29

Zadanie 3.

Hmm... Gdzie to jest?

Konieczne jest przeniesienie wszystkich terminów w jedną część:

Suma korzeni jest równa iloczynowi.

Więc przestań! Równanie nie jest podane.

Ale twierdzenie Viety ma zastosowanie tylko w powyższych równaniach.

Więc najpierw musisz przynieść równanie.

Jeśli nie możesz tego podnieść, porzuć to przedsięwzięcie i rozwiąż je w inny sposób (na przykład poprzez dyskryminator).

Przypomnę, że sprowadzenie równania kwadratowego oznacza uczynienie wiodącego współczynnika równym:

Wtedy suma pierwiastków jest równa, a iloczyn.

Łatwo tu wyłapać: w końcu liczba pierwsza (przepraszam za tautologię).

Odpowiedź: ; ...

Przykład 30

Zadanie 4.

Termin wolny jest ujemny.

Co jest w nim takiego specjalnego?

I fakt, że korzenie będą miały różne znaki.

A teraz podczas selekcji sprawdzamy nie sumę pierwiastków, ale różnicę ich modułów: ta różnica jest równa, ale iloczyn.

Czyli korzenie są równe i, ale jeden z nich ma minus.

Twierdzenie Viety mówi nam, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Oznacza to, że mniejszy korzeń będzie miał minus: i od.

Odpowiedź: ; ...

Przykład 31

Zadanie 5.

Jaka jest pierwsza rzecz do zrobienia?

Zgadza się, podaj równanie:

Ponownie: wybieramy czynniki liczby, a ich różnica powinna być równa:

Korzenie są równe i, ale jeden z nich ma minus. Który? Ich suma musi być równa, co oznacza, że ​​z minusem będzie większy pierwiastek.

Odpowiedź: ; ...

Podsumować

1. Twierdzenie Viety jest używane tylko w podanych równaniach kwadratowych.
2. Korzystając z twierdzenia Viety, możesz znaleźć pierwiastki przez selekcję, ustnie.
3. Jeśli równanie nie jest podane lub nie ma ani jednej odpowiedniej pary mnożników wyrazów swobodnych, to nie ma całych pierwiastków i trzeba rozwiązać w inny sposób (na przykład przez dyskryminator).

3. Sposób wyboru pełnego kwadratu

Jeżeli wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą są reprezentowane w postaci wyrazów ze skróconych wzorów mnożenia - kwadrat sumy lub różnicy - to po zmianie zmiennych równanie może być reprezentowane jako niepełne równanie kwadratowe typu.

Na przykład:

Przykład 32

Rozwiązać równanie:.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Przykład 33

Rozwiązać równanie:.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Ogólnie transformacja będzie wyglądać tak:

Oznacza to: .

Czy to nie wygląda na nic?

To jest wyróżnik! Zgadza się, mamy wzór na dyskryminację.

RÓWNANIA KWADRATOWE. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci, gdzie jest niewiadomą, są współczynnikami równania kwadratowego, jest wyrazem swobodnym.

Pełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynniki nie są równe zeru.

Zredukowane równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik, czyli:.

Niepełne równanie kwadratowe- równanie, w którym współczynnik i/lub wyraz wolny c są równe zeru:

• jeśli współczynnik, równanie ma postać:,
• jeśli wyraz wolny, równanie ma postać:,
• jeśli i równanie ma postać:.

1. Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych

1.1. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyraźmy nieznane :,

2) Sprawdź znak wyrażenia:

• jeśli, to równanie nie ma rozwiązań,
• jeśli, to równanie ma dwa pierwiastki.

1.2. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

1) Wyciągnij wspólny czynnik z nawiasów:,

2) Iloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Dlatego równanie ma dwa pierwiastki:

1.3. Niepełne równanie kwadratowe postaci, gdzie:

To równanie ma zawsze tylko jeden pierwiastek:.

2. Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych postaci gdzie

2.1. Decyzja z wykorzystaniem wyróżnika

1) Sprowadźmy równanie do postaci standardowej:,

2) Wyróżnik obliczamy według wzoru:, który wskazuje liczbę pierwiastków równania:

3) Znajdź pierwiastki równania:

• jeśli, to równanie ma pierwiastki, które można znaleźć ze wzoru:
• jeśli, to równanie ma pierwiastek, który znajduje się ze wzoru:
• jeśli, to równanie nie ma pierwiastków.

2.2. Rozwiązanie wykorzystujące twierdzenie Viety

Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego (równania postaci, gdzie) jest równa, a iloczyn pierwiastków jest równy, tj. , a.

2.3. Pełne rozwiązanie kwadratowe

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki prawdziwych, wielokrotnych i złożonych korzeni. Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki. Interpretacja geometryczna. Przykłady ustalania pierwiastków i faktoringu.

Zawartość

Zobacz też: Rozwiązywanie równań kwadratowych online

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki kwadratowe(1) określają wzory:
; .
Te formuły można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (faktoryzowany):
.

Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważać kwadratowy wyróżnik:
.
Jeżeli wyróżnik jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wtedy faktoryzacja trójmianu kwadratowego wynosi:
.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeżeli wyróżnik jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone sprzężone pierwiastki:
;
.
Oto wyimaginowana jednostka;
oraz - rzeczywiste i urojone części korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli zbudujesz wykres funkcji
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Kiedy wykres przecina oś odciętych (oś) w dwóch punktach ().
Kiedy wykres dotyka osi odciętej w jednym punkcie ().
Kiedy wykres nie przecina osi odciętej ().

Przydatne równania kwadratowe

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy formuły (f.1) i (f.3):




,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Stąd widać, że równanie

wykonywane w
oraz .
Oznacza to, że są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

.
Porównując z naszym równaniem (1.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.

Z tego otrzymujemy faktoryzację trójmianu kwadratowego:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś odciętych w dwóch punktach.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Przecina oś odciętych (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
W porównaniu z pierwotnym równaniem (2.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wtedy faktoryzacja trójmianu to:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi odciętej w jednym punkcie.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Dotyka osi odciętej (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek wchodzi do faktoryzacji dwa razy:
,
wtedy taki korzeń jest zwykle nazywany wielokrotnym. Oznacza to, że wierzą, że istnieją dwa równe korzenie:
.

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Zapiszmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
W porównaniu z (1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znajdujemy wyróżnik:
.
Wyróżnik jest negatywny. Dlatego nie ma ważnych korzeni.

Złożone korzenie można znaleźć:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi odciętej. Nie ma prawidłowych korzeni.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma ważnych korzeni.

Nie ma prawidłowych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Zobacz też:

”, Czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji przeanalizujemy co nazywa się równaniem kwadratowym i jak to rozwiązać.

Co nazywa się równaniem kwadratowym

Ważny!

Stopień równania zależy od największego stopnia, w jakim znajduje się niewiadoma.

Jeśli maksymalna moc, w której znajduje się niewiadoma, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Ważny! Ogólny widok równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„A”, „b” i „c” otrzymują liczby.

• „A” - pierwszy lub najbardziej znaczący współczynnik;
• „B” to drugi współczynnik;
• „C” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c”, musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c = 0”.

Przećwiczmy definiowanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x 2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a = 5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

w odróżnieniu równania liniowe rozwiązywać równania kwadratowe, specjalny formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

• sprowadzić równanie kwadratowe do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
• użyj wzoru na korzenie:

Weźmy przykład, jak użyć formuły, aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 =" wyrażenie radykalne jest często zastępowane
„B 2 - 4ac” z literą „D” i nazywana jest wyróżnikiem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły root.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy pod pierwiastkiem we wzorze zostanie znaleziona liczba ujemna.