To, co nazywa się współczynnikiem jednomianu. Definicja jednomianu: pojęcia pokrewne, przykłady. Redukcja jednomianu do postaci standardowej

1. Dodatnia liczba całkowita. Załóżmy, że mamy jednomian + 5a, ponieważ uważa się, że liczba dodatnia +5 pokrywa się z liczbą arytmetyczną 5, a następnie

5a \u003d a ∙ 5 \u003d a + a + a + a + a.

Również + 7xy² \u003d xy² ∙ 7 \u003d xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; + 3a³ \u003d a³ ∙ 3 \u003d a³ + a³ + a³; + 2abc \u003d abc ∙ 2 \u003d abc + abc i tak dalej.

Na podstawie tych przykładów możemy ustalić, że dodatnia liczba całkowita wskazuje, ile razy czynnik dosłowny (lub: iloczyn współczynników literowych) jednomianu jest powtarzany przez termin.

Należy się do tego przyzwyczaić do tego stopnia, że \u200b\u200bod razu pojawia się w wyobraźni, że np. W wielomianu

3a + 4a² + 5a³

sprawa sprowadza się do tego, że najpierw a² powtarza się 3 razy przez szczyt, potem a³ powtarza się 4 razy przez szczyt, a następnie a jest powtarzane 5 razy przez szczyt.

Ponadto: 2a + 3b + c \u003d a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ \u003d x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ itd.

2. Dodatni współczynnik ułamkowy. Niech mamy jednomian + a. Ponieważ liczba dodatnia + pokrywa się z liczbą arytmetyczną, to + a \u003d a ∙, co oznacza: musisz wziąć trzy czwarte liczby a, tj.

Dlatego: ułamkowy współczynnik dodatni pokazuje, ile razy i jaka część współczynnika literowego jednomianu jest powtarzana przez termin.

Wielomian łatwo sobie wyobrazić w postaci:

itp.

3. Współczynnik ujemny. Znając mnożenie liczb względnych, możemy łatwo ustalić, że na przykład (+5) ∙ (–3) \u003d (–5) ∙ (+3) lub (–5) ∙ (–3) \u003d (+5) ∙ (+ 3) lub ogólnie a ∙ (–3) \u003d (–a) ∙ (+3); również a ∙ (-) \u003d (–a) ∙ (+) itd.

Dlatego jeśli weźmiemy jednomian o ujemnym współczynniku, na przykład –3a, to

–3a \u003d a ∙ (–3) \u003d (–a) ∙ (+3) \u003d (–a) ∙ 3 \u003d - a - a - a (–a jest traktowane jako wyraz 3 razy).

Z tych przykładów widzimy, że współczynnik ujemny pokazuje, ile razy część literowa jednomianu lub jego określony ułamek, wzięty ze znakiem minus, jest powtarzany przez termin.

W tej lekcji podamy ścisłą definicję jednomianu, rozważ różne przykłady z podręcznika. Przypomnijmy zasady mnożenia stopni na tych samych podstawach. Podajmy definicję standardowej postaci jednomianu, współczynnika jednomianu i jego części literowej. Rozważmy dwa podstawowe typowe działania na jednomianach, a mianowicie redukcję do postaci standardowej i obliczenie określonej wartości liczbowej jednomianu dla zadanych wartości jego zmiennych alfabetycznych. Sformułujmy regułę redukcji jednomianu do postaci standardowej. Dowiemy się, jak rozwiązywać typowe problemy z dowolnymi jednomianami.

Temat:Monomials. Działania arytmetyczne na jednomianach

Lekcja:Pojęcie jednomianu. Standardowy typ jednomianu

Rozważ kilka przykładów:

3. ;

Znajdźmy wspólne cechy dla powyższych wyrażeń. We wszystkich trzech przypadkach wyrażenie jest iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do potęgi. Na tej podstawie dajemy definicja jednomianowa : Jednomian to wyrażenie algebraiczne składające się z iloczynu stopni i liczb.

Teraz podamy przykłady wyrażeń, które nie są jednomianami:

Znajdźmy różnicę między tymi wyrażeniami a poprzednimi. Polega ona na tym, że w przykładach 4-7 są operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia, podczas gdy w przykładach 1-3, które są jednomianami, operacji tych nie ma.

Oto kilka przykładów:

Wyrażenie 8 jest jednomianem, ponieważ jest iloczynem potęgi przez liczbę, podczas gdy Przykład 9 nie jest jednomianem.

Teraz dowiedzmy się działania na jednomianach .

1. Uproszczenie. Rozważ przykład nr 3 ; i przykład # 2 /

W drugim przykładzie widzimy tylko jeden współczynnik - każda zmienna występuje tylko raz, to znaczy zmienna „ i„Jest prezentowany w jednym egzemplarzu, jako„ ”, podobnie zmienne„ ”i„ ”występują tylko raz.

W przykładzie nr 3, przeciwnie, istnieją dwa różne współczynniki - i widzimy zmienną „” dwukrotnie - jako „” i jako „”, podobnie zmienna „” występuje dwukrotnie. Oznacza to, że należy uprościć to wyrażenie, więc dochodzimy do tego pierwszą czynnością wykonywaną na jednomianach jest sprowadzenie jednomianu do postaci standardowej ... Aby to zrobić, przeniesiemy wyrażenie z przykładu 3 do standardowej postaci, a następnie zdefiniujemy tę operację i nauczymy się, jak doprowadzić dowolny jednomian do standardowej postaci.

Rozważmy więc przykład:

Pierwszym krokiem konwersji do standardowej postaci jest zawsze pomnożenie wszystkich współczynników liczbowych:

;

Wynik tej akcji zostanie nazwany współczynnik jednomianu .

Następnie musisz pomnożyć stopnie. Mnożymy potęgi zmiennej " x„Zgodnie z zasadą mnożenia stopni o tych samych podstawach, która mówi, że mnożąc wykładniki, sumuje się:

teraz pomnożymy siły " w»:

;

Oto uproszczone wyrażenie:

;

Każdy jednomian można zredukować do standardowej postaci. Sformułujmy zasada normalizacji :

Pomnóż wszystkie czynniki liczbowe;

Otrzymany współczynnik umieść na pierwszym miejscu;

Pomnóż wszystkie stopnie, czyli uzyskaj część literową;

Oznacza to, że każdy jednomian charakteryzuje się współczynnikiem i częścią literową. Patrząc w przyszłość, zauważamy, że jednomiany, które mają tę samą część literową, nazywane są podobnymi.

Teraz musisz poćwiczyć technika redukcji jednomianów do postaci standardowej ... Rozważ przykłady z samouczka:

Zadanie: doprowadzić jednomian do standardowej postaci, nazwać współczynnik i część literową.

Do wykonania zadania posłużymy się regułą redukcji jednomianu do postaci standardowej oraz właściwościami stopni.

1. ;

3. ;

Komentarze do pierwszego przykładu: Najpierw ustalimy, czy to wyrażenie jest rzeczywiście jednomianem, w tym celu sprawdzimy, czy zawiera operacje mnożenia liczb i potęg i czy są w nim operacje dodawania, odejmowania lub dzielenia. Można powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem, ponieważ powyższy warunek jest spełniony. Ponadto, zgodnie z zasadą redukcji jednomianu do postaci standardowej, mnożymy współczynniki liczbowe:

- znaleźliśmy współczynnik danego jednomianu;

; ; ; to znaczy, otrzymano dosłowną część wyrażenia:;

zapisz odpowiedź :;

Komentarze do drugiego przykładu: Zgodnie z zasadą wykonujemy:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

2) pomnóż uprawnienia:

Zmienne są prezentowane w jednym egzemplarzu, to znaczy nie można ich pomnożyć przez nic, przepisuje się je bez zmian, mnoży się stopień:

zapiszmy odpowiedź:

;

W tym przykładzie współczynnik jednomianu jest równy jeden, a część alfabetyczna to.

Komentarze do trzeciego przykładu: aopodatkowując poprzednie przykłady wykonujemy czynności:

1) pomnóż współczynniki liczbowe:

;

2) pomnóż uprawnienia:

;

napisz odpowiedź :;

W tym przypadku współczynnik jednomianu wynosi „”, a część literowa .

A teraz zastanów się druga standardowa operacja na jednomianach ... Ponieważ jednomian jest wyrażeniem algebraicznym składającym się ze zmiennych dosłownych, które mogą przyjmować określone wartości liczbowe, mamy arytmetyczne wyrażenie liczbowe, które należy obliczyć. Oznacza to, że następna operacja na wielomianach to obliczenie ich określonej wartości liczbowej .

Spójrzmy na przykład. Podano jednomian:

ten jednomian został już zredukowany do standardowej postaci, jego współczynnik jest równy jeden, a część literowa

Wcześniej powiedzieliśmy, że wyrażenie algebraiczne nie zawsze można obliczyć, to znaczy zmienne, które są w nim zawarte, nie mogą przyjmować żadnej wartości. W przypadku jednomianu zmienne w nim zawarte mogą być dowolne, jest to cecha jednomianu.

Więc w podany przykład wymagane jest obliczenie wartości jednomianu dla ,,,.

Monomiały to jeden z głównych typów wyrażeń, których można się uczyć na szkolnym kursie algebry. W tym artykule powiemy Ci, czym są te wyrażenia, zdefiniujemy ich standardową formę i pokażemy przykłady, a także zajmiemy się powiązanymi pojęciami, takimi jak stopień jednomianu i jego współczynnik.

Co to jest jednomian

W podręcznikach szkolnych zwykle podaje się następującą definicję tego pojęcia:

Definicja 1

Monomials obejmują liczby, zmienne, a także ich moce naturalny wskaźnik i różne rodzaje składających się z nich utworów.

Na podstawie tej definicji możemy podać przykłady takich wyrażeń. Zatem wszystkie liczby 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 będą odnosić się do jednomianów. Wszystkie zmienne, na przykład x, a, b, p, q, t, y, z, z definicji będą również jednomianami. Obejmuje to również stopnie zmiennych i liczb, na przykład 6 3, (- 7, 41) 7, x 2 i t 15, a także wyrażenia postaci 65 x, 9 (- 7) x y 3 6, x x y 3 x y 2 z itd. Należy pamiętać, że jednomian może zawierać jedną liczbę lub zmienną lub kilka i można je wymienić kilka razy jako część jednego wielomianu.

Tego typu liczby jako całość, wymierne, naturalne również odnoszą się do jednomianów. Może również zawierać liczby rzeczywiste i zespolone. Zatem wyrażenia postaci 2 + 3 i x z 4, 2 x, 2 π x 3 również będą jednomianami.

Jaka jest standardowa postać jednomianu i jak przekonwertować na nią wyrażenie

Dla wygody pracy wszystkie jednomiany najpierw prowadzą do specjalnej formy zwanej standardem. Sformułujmy konkretnie, co to oznacza.

Definicja 2

Standardowy typ jednomianu nazwijmy to taką postacią, w której jest iloczynem czynnika liczbowego i naturalnych potęg różnych zmiennych. Współczynnik liczbowy, nazywany również współczynnikiem jednomianu, jest zwykle zapisywany jako pierwszy po lewej stronie.

Dla jasności wybieramy kilka jednomianów standardowej postaci: 6 (to jest jednomian bez zmiennych), 4 · a, - 9 · x 2 · y 3, 2 3 5 · x 7. Może to również obejmować wyrażenie x y (tutaj współczynnik będzie równy 1), - x 3 (tutaj współczynnik wynosi - 1).

Teraz podamy przykłady jednomianów, które należy zredukować do standardowej postaci: 4 a a 2 a 3 (tutaj musisz połączyć te same zmienne), 5 x (- 1) 3 y 2 (tutaj musisz połączyć czynniki liczbowe po lewej stronie).

Zwykle, gdy jednomian ma kilka zmiennych zapisanych literami, współczynniki literowe są zapisywane w kolejności alfabetycznej. Na przykład lepiej jest pisać 6 a b 4 c z 2niż b 4 6 a z 2 c... Jednak kolejność może być inna, jeśli wymaga tego cel obliczeń.

Każdy jednomian można zredukować do standardowej postaci. Aby to zrobić, musisz wykonać wszystkie niezbędne identyczne transformacje.

Pojęcie stopnia jednomianu

Towarzysząca koncepcja stopnia jednomianu jest bardzo ważna. Zapiszmy definicję tego pojęcia.

Definicja 3

Stopień ekonomiczny, zapisana w standardowej formie, jest sumą wykładników wszystkich zmiennych zawartych w jej rekordzie. Jeśli nie ma w nim zmiennej, a sam jednomian jest różny od 0, to jego stopień będzie wynosił zero.

Podajmy przykłady stopni jednomianu.

Przykład 1

Zatem jednomian a ma stopień 1, ponieważ a \u003d a 1. Jeśli mamy jednomian 7, to będzie miał stopień zero, ponieważ nie ma w nim zmiennych i jest różny od 0. A oto wpis 7 a 2 x y 3 a 2 będzie jednomianem ósmego stopnia, ponieważ suma wykładników wszystkich stopni zawartych w nim zmiennych będzie równa 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Jednomian zredukowany do standardowej postaci i oryginalny wielomian będą miały ten sam stopień.

Przykład 2

Pokażmy, jak obliczyć stopień jednomianu 3 x 2 y 3 x (- 2) x 5 lat... W standardowej formie można go zapisać jako - 6 x 8 lat 4 ... Obliczamy stopień: 8 + 4 = 12 ... W związku z tym stopień pierwotnego wielomianu również wynosi 12.

Pojęcie współczynnika jednomianu

Jeśli mamy jednomian zredukowany do standardowej postaci, która zawiera przynajmniej jedną zmienną, to mówimy o nim jako o iloczynu z jednym współczynnikiem liczbowym. Czynnik ten nazywany jest współczynnikiem liczbowym lub współczynnikiem jednomianu. Zapiszmy definicję.

Definicja 4

Współczynnik jednomianu nazywany jest współczynnikiem liczbowym jednomianu zredukowanym do postaci standardowej.

Weźmy na przykład współczynniki różnych jednomianów.

Przykład 3

A więc w wyrażeniu 8 a 3 współczynnik będzie liczbą 8 i w (- 2, 3) x y zoni będą − 2 , 3 .

Szczególną uwagę należy zwrócić na współczynniki równe jeden i minus jeden. Z reguły nie są one wyraźnie wskazane. Uważa się, że w jednomianu standardowej postaci, w której nie ma współczynnika liczbowego, współczynnik wynosi 1, na przykład w wyrażeniach a, x z 3, a t x, ponieważ można je uznać za 1 a, x z 3 - tak jak 1 x z 3 itp.

Podobnie w przypadku jednomianów, które nie mają współczynnika liczbowego i zaczynają się od znaku minus, możemy wziąć pod uwagę współczynnik - 1.

Przykład 4

Na przykład wyrażenia - x, - x 3 y z 3 będą miały taki współczynnik, ponieważ można je przedstawić jako - x \u003d (- 1) x, - x 3 y z 3 \u003d (- 1) x 3 y z 3 itd.

Jeśli jednomian w ogóle nie ma współczynnika jednoliterowego, to również w tym przypadku możemy mówić o współczynniku. Współczynnikami takich liczb jednomianowych są same liczby. Na przykład współczynnik jednomianu 9 wyniesie 9.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Lekcja na temat: „Standardowa postać jednomianu. Definicja. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji, życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Elektroniczny podręcznik do nauki „Wyczyść geometrię” dla klas 7-9
Multimedialny podręcznik do nauki „Geometria w 10 minut” dla klas 7-9

Monomial. Definicja

Monomial jest wyrażeniem matematycznym będącym iloczynem czynnika pierwszego i co najmniej jednej zmiennej.

Monomiale obejmują wszystkie liczby, zmienne, ich stopnie z naturalnym wykładnikiem:
42; 3; 0; 6 2; 2 3; b 3; topór 4; 4x 3; 5a 2; 12xyz 3.

Często trudno jest określić, czy dane wyrażenie matematyczne odnosi się do jednomianu, czy nie. Na przykład $ \\ frac (4a ^ 3) (5) $. Czy to jest jednomian, czy nie? Aby odpowiedzieć na to pytanie, konieczne jest uproszczenie wyrażenia, tj. reprezentują w postaci: $ \\ frac (4) (5) * a ^ 3 $.
Możemy z całą pewnością powiedzieć, że to wyrażenie jest jednomianem.

Standardowy typ jednomianu

Podczas obliczania pożądane jest doprowadzenie jednomianu do standardowej postaci. Jest to najbardziej zwięzły i zrozumiały zapis jednomianu.

Kolejność redukcji jednomianu do postaci standardowej jest następująca:
1. Pomnóż współczynniki jednomianu (lub współczynników liczbowych) i umieść wynik na pierwszym miejscu.
2. Wybierz wszystkie stopnie z tą samą literą bazową i pomnóż je.
3. Powtórz krok 2 dla wszystkich zmiennych.

Przykłady.
I. Zmniejsz podany jednomian $ 3x ^ 2zy ^ 3 * 5y ^ 2z ^ 4 $ do postaci standardowej.

Decyzja.
1. Pomnóż współczynniki jednomianu $ 15x ^ 2y ^ 3z * y ^ 2z ^ 4 $.
2. Teraz podajemy podobne wyrażenia $ 15x ^ 2y ^ 5z ^ 5 $.

II. Zmniejsz podany jednomian $ 5a ^ 2b ^ 3 * \\ frac (2) (7) a ^ 3b ^ 2c $ do postaci standardowej.

Decyzja.
1. Pomnóżmy współczynniki jednomianu $ \\ frac (10) (7) a ^ 2b ^ 3 * a ^ 3b ^ 2c $.
2. Teraz podajemy podobne wyrażenia $ \\ frac (10) (7) a ^ 5b ^ 5c $.