Zmierz piłkę. Wielowymiarowa muzyka sfer perelmana. Kilka przydatnych aplikacji z innych źródeł

Jakiś czas temu w serwisie preprintów arXiv.org pojawiły się od razu dwa artykuły poświęcone problemowi najbliższego upakowania kulek w przestrzeniach o wymiarach 8 i 24. Do tej pory podobne wyniki znane były tylko dla wymiarów 1, 2, i 3 (i nie wszystko jest tu takie proste, ale o tym poniżej). Przełom – a mówimy o prawdziwym przełomie rewolucyjnym – był możliwy dzięki pracy Mariny Wiazowskiej, urodzonej na Ukrainie matematyki, która obecnie pracuje w Niemczech. Historię tego osiągnięcia opowiemy w dziesięciu opowiadaniach.

1.

W XVI wieku słynna postać dworska i poeta Sir Walter Raleigh mieszkał w Anglii. Słynął przede wszystkim z tego, że kiedyś rzucił przed królową swój kosztowny płaszcz w kałużę, aby Jej Wysokość nie pobrudziła jej stóp. Ale nie dlatego się tym interesujemy.

Sir Walter Raleigh miał pasję - bardzo lubił rabować hiszpańskie statki i szukać El Dorado. Aż pewnego dnia Raleigh zobaczył na statku stos ułożonych kul armatnich. I pomyślałem (tak stało się z brytyjskimi dworzanami), mówią, że byłoby miło, gdybyś mógł dowiedzieć się, ile rdzeni jest w kupie, nie licząc ich. Korzyści płynące z takiej wiedzy, zwłaszcza jeśli lubisz plądrować hiszpańską flotę, są oczywiste.

Walter Raleigh

Sam Raleigh nie był zbyt dobry z matematyki, więc przekazał ten problem swojemu asystentowi Thomasowi Harriotowi. On z kolei był silny w matematyce (nawiasem mówiąc, Harriot jest wynalazcą znaków „>” i „<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

O uwagi zwrócił się do znanego matematyka swoich czasów, Johannesa Keplera – ówczesnego asystenta Tycho Brahe. Kepler nie udzielił odpowiedzi, ale przypomniał sobie problem. W 1611 r. opublikował małą broszurę, w której omówił cztery pytania: dlaczego pszczoły mają sześciokątne grzebienie, dlaczego płatki kwiatów są najczęściej pogrupowane w piątki ( Kepler miał chyba na myśli tylkoróżowaty - ok. N+1), dlaczego ziarna granatu mają kształt dwunastościanów (choć nieregularnych) i dlaczego płatki śniegu mają kształt sześciokątów.

Johannes Kepler

Broszura miała być prezentem, była więc bardziej lekturą filozoficzną i rozrywkową niż prawdziwą pracą naukową. Kepler powiązał odpowiedź na pierwsze pytanie z dwoma warunkami - nie powinno być przerw między komórkami, a suma obszarów komórek powinna być minimalna. Autor połączył drugie pytanie z liczbami Fibonacciego, a rozmowa o płatkach śniegu skłoniła Keplera do wnioskowania o symetriach atomowych.

Trzecie pytanie dało początek hipotezie, że: sześciokątne zamknięcie szczelne(jest na poniższym obrazku) jest najgęstszy (co oznacza, że jest też niższy w sensie matematycznym). Oczywiście Kepler nie uważał za konieczne odwoływania się do Harriota. Dlatego to stwierdzenie nazywa się hipotezą Keplera. Prawo Stiglera – czyli zasada Arnolda – w działaniu.

Tak, 7 lat po opublikowaniu tej broszury sir Walter Raleigh został ścięty. Nie miało to jednak nic wspólnego z problemem gęstego upakowania.

2.

Według współczesnych standardów zadanie, które rozwiązał Harriot, nie było trudne. Dlatego przeanalizujemy to bardziej szczegółowo. Jednocześnie lepiej zrozumiemy, jak działa sześciokątne, zamknięte opakowanie.

Tak więc głównym warunkiem jest to, że wiązka rdzeni nie toczy się podczas nachylania. Więc ułóż rdzenie w rzędzie na pokładzie. W kolejnym rzędzie wkładamy rdzenie tak, aby kulki znalazły się w szczelinach pomiędzy kulami pierwszego rzędu. Jeśli w pierwszym rzędzie jest n kulek, to w drugim jest n - 1 (ponieważ jest o jedną mniej przerw między kulkami niż same kulki). Następny rząd będzie o jeden mniej rdzeni. I tak dalej, aż otrzymamy taki trójkąt (jeśli spojrzysz na układ z góry):

Ci, którzy pamiętają, czym jest ciąg arytmetyczny, łatwo obliczą, że jeśli w pierwszym rzędzie było n kul, to w takim trójkącie jest n (n + 1)/2 kulek. Patrząc z góry, pomiędzy kulkami znajdują się wygodne wgłębienia. Tam dodamy drugą warstwę kulek. Spowoduje to powstanie trójkąta zorganizowanego jak pierwszy, tylko z jedną mniejszą liczbą kulek z boku. Więc wkładamy n(n - 1)/2 więcej kulek do stosu.

Kontynuujemy układanie warstw, aż otrzymamy warstwę jednej piłki. Mamy trójkątną piramidę jąder. Aby dowiedzieć się, ile ma rdzeni, musisz zsumować liczbę rdzeni w każdej warstwie. Jeśli pierwsza warstwa była po stronie n, to otrzymujemy n warstw, co w sumie da n(n + 1)(n + 2)/6. Dociekliwy czytelnik zauważy, że jest to dokładnie dwumianowy współczynnik C 3 n + 2 . Ten kombinatoryczny zbieg okoliczności nie jest bez powodu, ale nie będziemy się w to zagłębiać.

Nawiasem mówiąc, oprócz tego zadania, Harriot był w stanie określić w przybliżeniu, jaki udział jądra zajmują w wystarczająco dużym pojemniku, jeśli przyjmiemy kształt tego ostatniego dla sześcianu. Okazało się, że proporcja wynosi π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Co oznacza to słowo najgęstszy w opisie problemu? Raleigh, Harriot, a nawet sam Kepler nie udzielili na to dokładnej odpowiedzi. Sugerowano, że najgęstszy w jakimś rozsądnym sensie. Jednak to sformułowanie nie nadaje się do matematyki. Trzeba to wyjaśnić.

Zejdźmy najpierw do wymiaru poniżej i zobaczmy, jak wszystko działa w samolocie. Dla przypadku dwuwymiarowego problem zamienia się w następujący: niech nieskończony zbiór okręgów, które nie przecinają się w części wewnętrznej (ale ewentualnie stykają się - to znaczy mają wspólny punkt na granicy) okręgi są podane na samolot. Narysujmy kwadrat. Obliczamy sumę powierzchni kawałków koła, które wpadły do kwadratu. Przyjmijmy stosunek tej sumy do powierzchni kwadratu i zwiększymy bok kwadratu, patrząc na zmianę stosunku.

Otrzymujemy funkcję fa), gdzie a- bok kwadratu. Jeśli mamy szczęście, to ta funkcja ze wzrostem argument zbliży się asymptotycznie do pewnej liczby. Liczba ta nazywana jest gęstością danego opakowania. Ważne jest, aby sama funkcja w pewnym momencie mogła podać wartość większą niż gęstość. Rzeczywiście, jeśli kwadrat jest mały, to mieści się w całości w okręgu i pewien stosunek wynosi 1. Ale nas interesuje gęstość średnio, czyli mówiąc nieformalnie „dla kwadratu o wystarczająco dużym boku”.

Wśród wszystkich takich zagęszczeń można znaleźć maksimum. To ona, a także realizujące ją opakowanie, będą nazywane najgęstszymi.

„Najgęstsze upakowanie niekoniecznie jest wyjątkowe (w sensie asymptotycznym). W przestrzeni trójwymiarowej jest nieskończenie wiele najgęstszych upakowań i nawet Kepler o tym wiedział” – mówi Oleg Musin z University of Texas w Brownsville.

Po zdefiniowaniu pojęcia najgęstszego upakowania łatwo zrozumieć, że taką definicję można łatwo rozszerzyć na przestrzeń o dowolnym wymiarze n. Rzeczywiście, zastąpmy okręgi kulkami o odpowiednim wymiarze, czyli zestawami punktów, od których odległość do ustalonego (zwanego środkiem) nie przekracza pewnej wartości, zwanej promieniem kuli. Znowu ułóżmy je tak, aby dowolne dwa w najlepszym kontakcie, w najgorszym – nie miały w ogóle punktów wspólnych. Definiujemy tę samą funkcję, co w poprzednim przypadku, biorąc objętość n-wymiarowego sześcianu i sumę objętości odpowiadających n-wymiarowych kul.

4.

Zrozumieliśmy więc, że hipoteza Keplera to problem najbliższego upakowania trójwymiarowych kulek w trójwymiarowej przestrzeni. A co z samolotem (bo od niego zaczęliśmy)? A może nawet prosto? Z linią prostą wszystko jest proste: piłka na linii prostej to odcinek. Linia prosta może być całkowicie pokryta identycznymi segmentami przecinającymi się na końcach. Dzięki temu zasięgowi funkcja fa) jest stała i równa 1.

W samolocie wszystko okazało się nieco bardziej skomplikowane. Zacznijmy więc od zestawu punktów na płaszczyźnie. Mówimy, że ten zbiór punktów tworzy sieć, jeśli możemy znaleźć parę wektorów v i w taką, że wszystkie punkty otrzymujemy jako N*v + M*w, gdzie N i M są liczbami całkowitymi. Podobnie kratę można zdefiniować w przestrzeni o dowolnie dużych wymiarach - wystarczy więcej wektorów.

Kraty są ważne z wielu powodów (na przykład w przypadku materiałów stałych atomy wolą znajdować się w miejscach sieci), ale dla matematyków są one dobre, ponieważ są bardzo wygodne w pracy. Dlatego ze wszystkich opakowań wyróżnia się osobno klasę, w której środki kulek znajdują się w węzłach sieci. Jeśli ograniczymy się do tego przypadku, to w samolocie jest tylko pięć rodzajów krat. Najgęstsze ich upakowanie uzyskuje się w taki sposób, że punkty ułożone są na wierzchołkach foremnych sześciokątów – jak plastry miodu u pszczół czy atomy w grafenie. Fakt ten udowodnił Lagrange w 1773 roku. Dokładniej: Lagrange'a nie interesowały gęste upakowania, ale formy kwadratowe. Już w XX wieku stało się jasne, że wynik dotyczący gęstości upakowania dla sieci dwuwymiarowych wynika z jego wyników.

„W 1831 Ludwig Sieber napisał książkę o trójskładnikowych formach kwadratowych. W tej książce wysunięto przypuszczenie, które jest równoważne przypuszczeniu Keplera dla upakowań kratowych. Sam Sieber był w stanie udowodnić tylko słabą formę swojej hipotezy i przetestować ją na dużej liczbie przykładów. Ta książka została zrecenzowana przez wielkiego Carla Friedricha Gaussa. W tej recenzji Gauss zapewnia naprawdę niesamowity dowód, który mieści się w 40 liniach. To, jak teraz mówimy, jest „olimpiadzkim” dowodem zrozumiałym dla licealisty. Wielu matematyków próbowało znaleźć ukryte znaczenie w dowodzie Gaussa, ale jak dotąd nikomu się to nie udało” – mówi Oleg Musin.

Co się jednak stanie, jeśli stan siatki zostanie porzucony? Tutaj sprawy stają się nieco bardziej skomplikowane. Pierwszą pełną próbę zajęcia się tą sprawą podjął norweski matematyk Axel Thue. Jeśli spojrzysz na stronę poświęconą Wt na Wikipedii, to nie znajdziemy tam nic o ciasnym opakowaniu. To zrozumiałe – Thue opublikował dwa artykuły, bardziej przypominające eseje niż zwykłe prace matematyczne, w których, jak mu się wydawało, całkowicie rozwiązał problem gęstego upakowania. Jedynym problemem było to, że nikt poza samym Thue nie był przekonany jego rozumowaniem.

Laszlo Fejes Toth

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Problem został ostatecznie rozwiązany przez węgierskiego matematyka Laszlo Fejesa Totha w 1940 roku. Nawiasem mówiąc, okazało się, że układ kół na płaszczyźnie realizujący najgęstsze upakowanie jest wyjątkowy.

5.

Ściśle związany z problemem zamknięcia opakowania jest problem z numerem kontaktowym. Rozważmy ponownie okrąg na płaszczyźnie. Ile okręgów o tym samym promieniu można wokół niego ułożyć tak, aby wszystkie dotykały centralnego? Odpowiedź brzmi sześć. Rzeczywiście, spójrzmy na dwa sąsiednie kręgi, które stykają się z naszym centralnym. Przyjrzyjmy się odległości od środka centralnego okręgu do środków tych dwóch. to równa się 2R, gdzie R to promień okręgu. Odległość między środkami sąsiednich okręgów nie przekracza 2R. Obliczając kąt w środku okręgu centralnego zgodnie z twierdzeniem cosinus, otrzymujemy, że jest on nie mniejszy niż 60 stopni. Suma wszystkich kątów środkowych powinna dać 360 stopni, co oznacza, że takich kątów nie może być więcej niż 6. A my znamy położenie okręgów o sześciu kątach.

Otrzymany numer nazywa się numerem kontaktowym samolotu. Podobne pytanie można zadać dla przestrzeni o dowolnym wymiarze. Niech prostota rozwiązania na płaszczyźnie nie zmyli czytelnika - problem numerów kontaktowych, choć prostszy od problemu gęstego upakowania, to niewiele. Ale w tym kierunku uzyskano więcej wyników.

W przypadku przestrzeni trójwymiarowej numer kontaktowy stał się przedmiotem publicznego sporu między samym Izaakiem Newtonem a Jamesem Gregorym w 1694 roku. Pierwszy uważał, że numer kontaktowy powinien wynosić 12, a drugi - że 13. Rzecz w tym, że ułożenie 12 kulek wokół centralnej nie jest trudne - środki takich kul leżą na wierzchołkach dwudziestościanu foremnego ( ma ich tylko 12). Ale te kule się nie dotykają! Na pierwszy rzut oka wydaje się, że można je przesunąć, aby jeszcze jedna, 13. kula, przeczołgała się. To prawie prawda: jeśli kule są lekko odsunięte od siebie, co powoduje, że odległość między ich środkami a środkiem środka 2R, lecz tylko 2.06R, wtedy zmieści się już 13 kulek. Ale jeśli chodzi o dotykanie piłek, Gregory się mylił - fakt ten udowodnili van der Waarden i Schütte w 1953 roku.

W przypadku wymiaru 4 problem ten został rozwiązany przez Olega Musina w 2003 roku. Tam numer kontaktowy okazał się być 24.

6.

Oprócz tych wymiarów 1, 2, 3 i 4 znane są również numery kontaktowe w wymiarach 8 i 24. Dlaczego te wymiary? Faktem jest, że są dla nich bardzo interesujące kraty zwane E8 i krata Leech.

Więc już zorientowaliśmy się, czym jest krata. Ważną cechą sieci dla matematyki jest jej symetria. Przez symetrię rozumiemy oczywiście nie subiektywne odczucia (a kto na przykład przedstawi tę siatkę w wymiarach czterech?), ale liczbę różnego rodzaju ruchów przestrzeni, które tę siatkę przekładają na siebie. Wyjaśnijmy na przykładzie.

Weźmy tę samą siatkę heksagonalną, która realizuje najgęstsze upakowanie na płaszczyźnie. Łatwo zrozumieć, że sieć przekształca się w siebie, jeśli jest przesunięta o wektory v i w, które były w definicji. Ale dodatkowo kratę można obracać wokół środka sześciokąta. A takich obrotów jest 6: 0, 60, 120, 180, 240, 300 stopni. Ponadto sieć może być wyświetlana symetrycznie wokół dowolnej osi symetrii złożonego sześciokąta. Małe ćwiczenie pokazuje, że nie licząc zmian, otrzymujemy 12 przekształceń. W innych sieciach takich przekształceń jest mniej, więc mówimy, że są mniej symetryczne.

Teraz E8 i sieć Leach są niesamowicie symetrycznymi sieciami. E8 znajduje się w 8-wymiarowej przestrzeni. Ta krata została wynaleziona przez rosyjskich matematyków Korkina i Zolotariewa w 1877 roku. Składa się z wektorów, których wszystkie współrzędne są liczbami całkowitymi, a ich suma jest parzysta. Taka sieć bez przesunięć ma 696 729 600 przekształceń. Leach Grid istnieje w dwudziestu czterech wymiarach. Składa się z wektorów o współrzędnych całkowitych i warunku - suma współrzędnych minus dowolna współrzędna pomnożona przez 4 jest podzielna przez 8. Ma po prostu kolosalną liczbę symetrii - 8 315 553 613 086 720 000 sztuk.

Tak więc w przestrzeni 8-wymiarowej i 24-wymiarowej kulki znajdujące się na wierzchołkach tych samych sieci dotykają odpowiednio 240 i 19650 kulek. Co zaskakujące, takie właśnie są numery kontaktowe (patrz punkt 5) dla przestrzeni o odpowiednim wymiarze.

7.

Wróćmy teraz do przypadku trójwymiarowego i hipotezy Keplera (tej, o której mówiliśmy na samym początku). To zadanie okazało się wielokrotnie trudniejsze niż jego poprzednicy.

Zacznijmy od tego, że jest nieskończenie wiele upakowań o tej samej gęstości, co upakowanie heksagonalne. Zaczęliśmy go układać, zaczynając od kulek ułożonych w węzłach sześciokątnej sieci. Ale możesz to zrobić inaczej: na przykład na pierwszym poziomie złóż kulki w kwadrat, to znaczy tak, aby wierzchołki kulek znajdowały się w węzłach już kwadratowej siatki. W tym przypadku każda piłka dotyka czterech sąsiadów. Druga warstwa, podobnie jak w przypadku heksagonalnej, zostanie umieszczona od góry w szczelinach między kulkami pierwszej warstwy. Taki pakiet nazywa się sześcienne pakowanie zorientowane na twarz. Nawiasem mówiąc, jest to jedyne najgęstsze upakowanie kratowe w kosmosie.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że to upakowanie powinno być gorsze, ponieważ szczeliny między czterema kulkami w pierwszej warstwie są znacznie większe (zgodnie z wrażeniami) niż szczeliny w heksagonalnym gęstym upakowaniu. Ale kiedy ustawimy drugi rząd, kulki – właśnie dlatego, że szczeliny są większe – toną głębiej. W efekcie, jak się okazuje, gęstość jest taka sama jak poprzednio. W rzeczywistości sztuczka polega na tym, że takie upakowanie uzyskuje się, jeśli spojrzy się na sześciokąt pod innym kątem.

Okazuje się, że w przestrzeni trójwymiarowej nie ma tak pięknych unikalnych krat, jak np. heksagon na płaszczyźnie czy E8 w przestrzeni 8-wymiarowej. Na pierwszy rzut oka zupełnie niezrozumiałe jest poszukiwanie najgęstszego upakowania w przestrzeni trójwymiarowej.

8.

Rozwiązanie hipotezy Keplera narodziło się w kilku etapach.

Po pierwsze, Feiesz Toth, ten sam Węgier, który rozwiązał problem gęstego upakowania na płaszczyźnie, sformułował następującą hipotezę: aby zrozumieć, czy upakowanie jest gęste, czy nie, wystarczy rozważyć skończone skupiska kulek. Jak się dowiedzieliśmy, w przeciwieństwie do samolotu, jeśli środkowa kula dotyka 12 sąsiadów, to między nimi są przerwy. Dlatego Feyesh Toth zaproponował zbadanie klastrów składających się z kuli centralnej, jej sąsiadów i sąsiadów sąsiadów.

Rzecz w tym, że to założenie powstało w latach 60. ubiegłego wieku. A problem minimalizacji objętości takiego klastra jest tak naprawdę problemem optymalizacji nieliniowej dla funkcji około 150 zmiennych (każda kula ma środek, dane go są przez trzy współrzędne). Z grubsza rzecz biorąc, taka funkcja musi znaleźć minimum pod pewnymi dodatkowymi warunkami. Z jednej strony zadanie stało się skończone, ale z drugiej jest całkowicie nie do zniesienia z obliczeniowego punktu widzenia dla człowieka. Ale Feyesh Tot nie był zdenerwowany i powiedział, że już niedługo komputery będą miały niezbędną moc obliczeniową. Oni pomogą.

Matematykom bardzo spodobała się hipoteza Fejesa Totha i zaczęli aktywnie działać w tym kierunku. Na początku lat 90. szacunki dotyczące maksymalnej gęstości upakowania kulek w przestrzeni trójwymiarowej stopniowo się zmniejszały. Pomysł polegał na tym, że w pewnym momencie oszacowanie będzie równe gęstości sześciennego upakowania skoncentrowanego na ścianie, a zatem hipoteza Keplera zostanie udowodniona. W tym czasie matematyk Thomas Hales opublikował swoje pierwsze prace na temat pakowania. Do pracy wybrał obiekt o nazwie Gwiazdy Delaunaya (na cześć sowieckiego matematyka Borisa Delaunaya). Był to odważny krok - w tamtym momencie skuteczność takich obiektów w badaniu problemu pakowania była wątpliwa.

Po zaledwie 8 latach ciężkiej pracy, w 1998 roku Hales zakończył dowód hipotezy Keplera. Zredukował dowód do skończonego kombinatorycznego wyliczenia różnych struktur, takich jak gwiazdy Delaunaya. Dla każdej takiej struktury kombinatorycznej konieczne było maksymalizowanie gęstości. Ponieważ komputer normalnie pracuje tylko z liczbami całkowitymi (po prostu dlatego, że w matematyce liczby są najczęściej ułamkami nieskończonymi), dla każdego przypadku Delaunay automatycznie zbudował przybliżenie z góry, używając symbolicznych obliczeń wymiernych (w końcu liczby wymierne, jeśli nie przełożysz ich na dziesiętne ułamki, tylko kilka liczb całkowitych). Z tym przybliżeniem uzyskał górne oszacowanie dla maksimum gęstości. W rezultacie wszystkie szacunki okazały się mniejsze niż te podane przez sześcienne upakowanie zorientowane na twarz.

Wielu matematyków było jednak zdezorientowanych sytuacją, w której komputer został zbudowany w celu zbudowania przybliżenia. Aby udowodnić, że nie miał błędów w komputerowej części dowodu, Hales zajął się formalizacją i weryfikacją, choć także przy pomocy komputera. Praca ta, nad którą pracował dość duży międzynarodowy zespół, została zakończona w sierpniu 2014 roku. W dowodzie nie znaleziono błędów.

9.

Proofy o wymiarach 8 i 24 nie wymagają komputera i są nieco prostsze. Jakiś czas temu uzyskano bardzo dobre szacunki do oszacowania maksymalnej gęstości upakowania w tych wymiarach. Zrobili to matematycy Kohn i Elkies w 2003 roku. Nawiasem mówiąc, to oszacowanie (nazywane jest również granicą Kohna-Elkiesa) kilka lat przed samym Kohnem i Elkiesem zostało znalezione przez rosyjskiego matematyka Dmitrija Gorbaczowa z Tuły. Opublikował jednak tę pracę w języku rosyjskim i w czasopiśmie Tula. Cohn i Elkies nie wiedzieli o tej pracy, a kiedy im powiedziano, nawiasem mówiąc, nawiązali do niej.

„Granica Kohna-Elkiesa pojawiła się na podstawie prac Jeana Frederica Delsarte oraz naszych wspaniałych matematyków Grigorija Kabatyansky'ego i Vladimira Levenshteina. Asymptotyczne (pod względem wymiaru przestrzennego) oszacowanie gęstości upakowania kulek w przestrzeni n-wymiarowej, uzyskane przez Kabatyansky'ego i Levenshteina, jest „utrzymywane” od 1978 roku. Nawiasem mówiąc, jest to Levenshtein i niezależnie Amerykanie Odlyzhko i Sloan rozwiązali problem numerów kontaktowych w wymiarach 8 i 24 w 1979 roku. Użyli bezpośrednio metody Delsarte-Kabatyansky-Levenshtein” – mówi Oleg Musin.

Szacunki Kohna i Elkiesa są właściwie poprawne dla wszystkich opakowań, ale w wymiarach 8 i 24 dają bardzo dobre przybliżenie. Na przykład szacunek matematyka jest tylko o 0,0001 procent większy niż gęstość E8 w ośmiu wymiarach. Dlatego pojawiło się zadanie poprawy tego oszacowania - w końcu wydaje się, że rozwiązanie jest już w pobliżu. Co więcej, w 2012 roku ten sam Dmitrij Gorbaczow ubiegał się (i wygrał) o grant Fundacji Dynasty. We wniosku wyraźnie stwierdził, że planuje wykazać gęstość upakowania E8 w przestrzeni ośmiowymiarowej.

Mówią, że inny matematyk, Andrei Bondarenko, skłonił Gorbaczowa do tak śmiałego oświadczenia, w rzeczywistości mentor, jeden z opiekunów naukowych Mariny Vyazovskaya, która rozwiązała problem dla 8-wymiarowej przestrzeni (i współautor dla przestrzeń 24-wymiarowa). To Bondarenko dziękuje pod koniec swojej przełomowej pracy. Tak więc Bondarenko i Gorbaczow zawiedli, ale Wiazowska odniosła sukces. Czemu?

Marina Wyazowskaja

Uniwersytet Humboldta w Berlinie

Oszacowanie Kohna-Elkiesa wiąże gęstość upakowania z właściwością jakiejś funkcji z odpowiedniego zbioru. Z grubsza rzecz biorąc, dla każdej takiej funkcji konstruuje się oszacowanie. Oznacza to, że głównym zadaniem jest znalezienie odpowiedniej funkcji, aby wynikowe oszacowanie okazało się tym, czego potrzebujemy. Kluczowym składnikiem konstrukcji Vyazovskaya są więc formy modułowe. Wspomnieliśmy już o nich w związku z dowodem Wielkiego Twierdzenia Fermata, dla którego . Jest to dość symetryczny obiekt, który stale pojawia się w różnych gałęziach matematyki. To właśnie ten zestaw narzędzi umożliwił znalezienie pożądanej funkcji.

W przestrzeni 24-wymiarowej szacunek uzyskano w ten sam sposób. Ta praca ma więcej autorów, ale opiera się na tym samym (choć oczywiście nieco zaadaptowanym) osiągnięciu Vyazovskaya. Nawiasem mówiąc, w artykule udowodniono inny niezwykły fakt: sieć Leacha wprowadza unikalne okresowe najgęstsze upakowanie. Oznacza to, że wszystkie inne okresowe upakowania mają gęstość mniejszą niż ta. Według Olega Musina podobny wynik dla okresowych opakowań może być prawdziwy w wymiarach 4 i 8.

10.

Z punktu widzenia zastosowań problem gęstego upakowania w przestrzeniach wielowymiarowych to przede wszystkim problem optymalnego kodowania z korekcją błędów.

Wyobraź sobie, że Alicja i Bob próbują komunikować się za pomocą sygnałów radiowych. Alicja mówi, że wyśle Bobowi sygnał składający się z 24 różnych częstotliwości. Bob zmierzy amplitudę każdej częstotliwości. W rezultacie otrzyma zestaw 24 amplitud. Oczywiście wyznaczają punkt w przestrzeni 24-wymiarowej – w końcu jest ich 24. Bob i Alice biorą, powiedzmy, słownik Dahla i przypisują każdemu słowu własny zestaw 24 amplitud. Okazuje się, że zakodowaliśmy słowa ze słownika Dahla punktami przestrzeni 24-wymiarowej.

W idealnym świecie nic więcej nie jest potrzebne. Ale rzeczywiste kanały transmisji danych dodają szum, co oznacza, że podczas dekodowania Bob może uzyskać zestaw amplitud, który nie pasuje do żadnego ze słów. Ale wtedy może spojrzeć na słowo najbliższe rozszyfrowanej wersji. Jeśli istnieje, to prawdopodobnie tak jest. Aby zawsze móc to zrobić, konieczne jest, aby punkty przestrzeni znajdowały się jak najdalej od siebie. To znaczy, na przykład, jeśli poziom szumu jest taki, że wprowadzane jest zniekształcenie, które przesuwa wynik o wektor o długości co najwyżej jeden, to dwa punkty kodowe muszą być oddalone o dokładnie co najmniej dwa. Wtedy, nawet przy zniekształceniach, wynik Boba zawsze będzie bliski jednemu słowu - temu, które jest potrzebne.

Jednocześnie tak naprawdę nie chcę też nadymać wielu słów - mamy dość ograniczony zakres, w którym możemy przekazywać informacje. Powiedzmy, że byłoby dziwne (i niezbyt skuteczne), gdyby Alice i Bob zaczęli komunikować się za pomocą promieni rentgenowskich. Dlatego idealnie, odległość między sąsiednimi słowami kodowymi powinna wynosić dokładnie dwa. A to oznacza, że słowa znajdują się na wierzchołkach kul o promieniu 1, gęsto upakowanych w 24-wymiarowej przestrzeni.

Niedawno wykonałem prosty ray tracer do scen 3D. Został napisany w JavaScript i nie był zbyt szybki. Dla zabawy napisałem raytracer w C i nadałem mu tryb renderowania 4D - w tym trybie może wyświetlać scenę 4D na płaskim ekranie. Pod wycięciem znajdziesz kilka filmów, kilka zdjęć i kod ray tracera.

Po co pisać osobny program do rysowania sceny 4D? Można wziąć zwykły ray tracer, nałożyć na niego scenę 4D i uzyskać ciekawy obraz, ale ten obraz w ogóle nie będzie projekcją całej sceny na ekranie. Problem polega na tym, że scena ma 4 wymiary, a ekran ma tylko 2, a kiedy ray tracer wystrzeliwuje promienie przez ekran, obejmuje tylko 3-wymiarową podprzestrzeń i tylko 3-wymiarowy wycinek 4-wymiarowej sceny być widoczne na ekranie. Prosta analogia: spróbuj rzutować scenę 3D na segment 1D.

Okazuje się, że trójwymiarowy obserwator z dwuwymiarową wizją nie może zobaczyć całej czterowymiarowej sceny – w najlepszym razie zobaczy tylko niewielką część. Logiczne jest założenie, że wygodniej jest patrzeć na 4-wymiarową scenę za pomocą 3-wymiarowej wizji: pewien 4-wymiarowy obserwator patrzy na jakiś obiekt i trójwymiarowa projekcja jest tworzona na jego trójwymiarowym odpowiedniku Siatkówka oka. Mój program śledzi tę projekcję 3D. Innymi słowy, mój ray tracer przedstawia to, co widzi obserwator 4D swoją wizją 3D.

Funkcje wizji 3D

Wyobraź sobie, że patrzysz na krąg papieru, który znajduje się tuż przed twoimi oczami - w tym przypadku zobaczysz krąg. Jeśli położysz to koło na stole, zobaczysz elipsę. Jeśli spojrzysz na ten okrąg z daleka, będzie on wydawał się mniejszy. Podobnie dla widzenia trójwymiarowego: czterowymiarowa kula ukaże się obserwatorowi jako trójwymiarowa elipsoida. Poniżej kilka przykładów. Na pierwszym obracają się 4 identyczne, wzajemnie prostopadłe walce. Na drugim obraca się rama 4-wymiarowego sześcianu.

Przejdźmy do refleksji. Kiedy patrzysz na kulę z odblaskową powierzchnią (na przykład dekorację świąteczną), odbicie jest jakby narysowane na powierzchni kuli. Także dla wizji 3D: patrzysz na kulę 4D, a odbicia są rysowane jakby na jej powierzchni. Dopiero teraz powierzchnia 4-wymiarowej kuli jest trójwymiarowa, więc kiedy patrzymy na trójwymiarową projekcję kuli, odbicia będą wewnątrz, a nie na powierzchni. Jeśli sprawimy, że ray tracer wyemituje wiązkę i znajdziemy najbliższe przecięcie z rzutem 3D kuli, to zobaczymy czarne kółko - powierzchnia rzutu 3D będzie czarna (to wynika ze wzorów Fresnela). To wygląda tak:

Dla wizji 3D to nie jest problem, bo dla niej widoczna jest cała kula 3D i widoczne są punkty wewnętrzne tak samo jak te na powierzchni, ale muszę jakoś przekazać ten efekt na płaskim ekranie, więc zrobiłem dodatkowy tryb ray tracera, gdy uzna, że trójwymiarowe obiekty są jakby zadymione: wiązka przechodzi przez nie i stopniowo traci energię. Okazuje się tak:

To samo dotyczy cieni: padają one nie na powierzchnię, ale wewnątrz projekcji 3D. Okazuje się, że wewnątrz trójwymiarowej kuli - rzutu czterowymiarowej kuli - może znajdować się zaciemniony obszar w postaci rzutu czterowymiarowego sześcianu, jeśli sześcian ten rzuca cień na kulkę. Nie wymyśliłem, jak przekazać ten efekt na płaskim ekranie.

Optymalizacje

Raytracing sceny 4D jest trudniejszy niż 3D: w przypadku 4D musisz znaleźć kolory obszaru 3D, a nie płaskiego. Jeśli napiszesz ray tracer „na czole”, jego prędkość będzie wyjątkowo niska. Istnieje kilka prostych optymalizacji, które mogą skrócić czas renderowania obrazu o wymiarach 1000 x 1000 do kilku sekund.

Pierwszą rzeczą, która rzuca się w oczy patrząc na takie zdjęcia, jest garść czarnych pikseli. Jeśli zobrazujesz obszar, w którym promień śledzący promienie uderza w co najmniej jeden obiekt, będzie to wyglądać tak:

Widać, że około 70% to czarne piksele, a biały obszar jest połączony (jest połączony, ponieważ scena 4D jest połączona). Możesz obliczyć kolory niepoprawnych pikseli, ale zgadnij jeden biały piksel i wykonaj z niego wypełnienie. Spowoduje to śledzenie promieni tylko białych pikseli + kilka czarnych pikseli, które reprezentują 1 pikselową granicę białego obszaru.

Druga optymalizacja wynika z faktu, że figury - kule i walce - są wypukłe. Oznacza to, że dla dowolnych dwóch punktów na takiej figurze, łączący je odcinek również leży całkowicie wewnątrz figury. Jeśli promień przecina obiekt wypukły, podczas gdy punkt A leży wewnątrz obiektu, a punkt B jest na zewnątrz, to pozostała część promienia ze strony B nie przetnie obiektu.

Jeszcze kilka przykładów

Tutaj sześcian obraca się wokół środka. Piłka nie dotyka sześcianu, ale na projekcji 3D mogą się przecinać.

W tym filmie sześcian jest nieruchomy, a 4-wymiarowy obserwator przelatuje przez sześcian. Ten trójwymiarowy sześcian, który wydaje się większy, jest bliżej obserwatora, a ten, który jest mniejszy, jest dalej.

Poniżej klasyczny obrót w płaszczyznach osi 1-2 i 3-4. Taki obrót jest iloczynem dwóch macierzy Givensa.

Jak działa mój ray tracer

Kod jest napisany w ANSI C 99. Możesz go pobrać. Testowałem na ICC+Windows i GCC+Ubuntu.

Program przyjmuje jako dane wejściowe plik tekstowy z opisem sceny.

Scena = ( obiekty = -- lista obiektów w scenie ( grupa -- grupa obiektów może mieć przypisaną transformację afiniczną ( oścyl1, oścyl2, oścyl3, oścyl4 ) ), światła = -- lista świateł ( światło((0,2, 0.1, 0.4, 0.7), 1), light((7, 8, 9, 10), 1), ) ) axiscylr = 0.1 -- promień cylindra axiscyl1 = cylinder ( (-2, 0, 0, 0), ( 2, 0, 0, 0), axiscylr, material = (kolor = (1, 0, 0))) axiscyl2 = cylinder ( (0, -2, 0, 0), (0, 2, 0, 0), axiscylr, material = (kolor = (0, 1, 0)) ) axiscyl3 = cylinder ( (0, 0, -2, 0), (0, 0, 2, 0), axiscylr, material = (kolor = (0 , 0, 1)) ) axiscyl4 = cylinder ( (0, 0, 0, -2), (0, 0, 0, 2), axiscylr, material = (kolor = (1, 1, 0)) )

Następnie analizuje ten opis i tworzy scenę w swojej wewnętrznej reprezentacji. W zależności od wymiaru przestrzeni renderuje scenę i otrzymuje albo czterowymiarowy obraz, jak powyżej w przykładach, albo zwykły trójwymiarowy obraz. Aby zamienić ray tracer 4D w ray tracer 3D, musisz zmienić parametr vec_dim z 4 na 3 w pliku vector.h. Możesz również ustawić go w parametrach wiersza poleceń kompilatora. Kompilowanie do GCC:

cd /strona główna/ Nazwa Użytkownika/rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Testowe uruchomienie:

/Dom/ Nazwa Użytkownika/rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Jeśli skompilujesz raytracer z parametrem vec_dim = 3, wytworzy on zwykłą kostkę dla sceny cube3d.scene .

Jak powstał film

Aby to zrobić, napisałem skrypt Lua, który obliczył macierz rotacji dla każdej klatki i dołączył ją do sceny referencyjnej.

Osie = ( (0,933, 0,358, 0, 0), -- oś 1 (-0,358, 0,933, 0, 0), -- oś 2 (0, 0, 0,933, 0,358), -- oś 3 (0, 0 , -0,358, 0,933) -- oś 4 ) scena = ( obiekty = ( grupa ( osie = osie, oścyl1, oścyl2, oścyl3, oścyl4 ) ), )

Obiekt grupy oprócz listy obiektów posiada dwa parametry transformacji afinicznej: osie i początek. Zmieniając osie, możesz obracać wszystkie obiekty w grupie.

Skrypt następnie nazwał skompilowany raytracer. Po wyrenderowaniu wszystkich klatek skrypt nazwał mencoder i zebrał wideo z poszczególnych zdjęć. Film został wykonany w taki sposób, aby można go było umieścić w trybie auto-powtórzenia – czyli Koniec filmu jest taki sam jak początek. Skrypt działa tak:

Luajit animacja.lua

I wreszcie w tym archiwum znajdują się 4 pliki avi 1000 × 1000. Wszystkie są cykliczne - możesz włączyć automatyczne powtarzanie i otrzymujesz normalną animację.

Tagi:

ray tracer
przestrzeń czterowymiarowa

Dodaj tagi

Nawet kiedy byłem studentem pierwszego roku, miałem zaciekłą kłótnię z jednym z moich kolegów z klasy. Powiedział, że czterowymiarowego sześcianu nie można przedstawić w żadnej formie, a ja zapewniłem, że można go przedstawić całkiem wyraźnie. Potem zrobiłem nawet projekcję hipersześcianu na naszą trójwymiarową przestrzeń ze spinaczy do papieru... Ale porozmawiajmy o wszystkim w porządku.

Czym jest hipersześcian i przestrzeń czterowymiarowa

W naszej zwyczajowej przestrzeni istnieją trzy wymiary. Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że można w nim wskazać trzy wzajemnie prostopadłe linie. Oznacza to, że dla każdej linii możesz znaleźć drugą linię prostopadłą do pierwszej, a dla pary możesz znaleźć trzecią linię prostopadłą do dwóch pierwszych. Nie będzie już możliwości znalezienia czwartej prostej prostopadłej do trzech istniejących.

przestrzeń 4D różni się od naszego tylko tym, że ma jeszcze jeden dodatkowy kierunek. Jeśli masz już trzy prostopadłe do siebie proste, możesz znaleźć czwartą, tak aby była prostopadła do wszystkich trzech.

hipersześcian to tylko sześcian w czterech wymiarach.

Czy można sobie wyobrazić czterowymiarową przestrzeń i hipersześcian?

To pytanie jest podobne do pytania: „czy można sobie wyobrazić Ostatnią Wieczerzę, patrząc na obraz o tej samej nazwie (1495-1498) Leonarda da Vinci (1452-1519)?”

Z jednej strony oczywiście nie wyobrażasz sobie, co widział Jezus (siedzi twarzą do widza), zwłaszcza że nie poczujesz zapachu ogrodu za oknem i smaku jedzenia na stole, nie usłyszysz ptaków śpiewanie... Nie uzyskasz pełnego obrazu tego, co wydarzyło się tego wieczoru, ale nie można powiedzieć, że nie nauczysz się niczego nowego i że obraz nie jest interesujący.

Podobnie sytuacja wygląda w przypadku hipersześcianu. Nie da się tego w pełni wyobrazić, ale możesz zbliżyć się do zrozumienia, co to jest.

Budowa hipersześcianu

Kostka 0-wymiarowa

Zacznijmy od początku - z sześcianem 0-wymiarowym. Ten sześcian zawiera 0 wzajemnie prostopadłych ścian, czyli jest to tylko punkt.

kostka jednowymiarowa

W przestrzeni jednowymiarowej mamy tylko jeden kierunek. Przesuwamy punkt w tym kierunku i otrzymujemy odcinek.

To jest sześcian jednowymiarowy.

2 wymiarowa kostka

Mamy drugi wymiar, przesuwamy nasz jednowymiarowy sześcian (segment) w kierunku drugiego wymiaru i otrzymujemy kwadrat.

To kostka w dwóch wymiarach.

3 wymiarowa kostka

Wraz z nadejściem trzeciego wymiaru robimy to samo: przesuwamy kwadrat i otrzymujemy zwykły trójwymiarowy sześcian.

4-wymiarowa kostka (hipersześcian)

Teraz mamy czwarty wymiar. Oznacza to, że mamy do dyspozycji kierunek prostopadły do wszystkich trzech poprzednich. Użyjmy go w ten sam sposób. Kostka 4D będzie wyglądać tak.

Oczywiście trójwymiarowych i czterowymiarowych sześcianów nie można przedstawić na dwuwymiarowej płaszczyźnie ekranu. To, co narysowałem, to projekcje. O prognozach porozmawiamy nieco później, ale na razie kilka czystych faktów i liczb.

Liczba wierzchołków, krawędzi, ścian

Zauważ, że twarz hipersześcianu to nasz zwykły sześcian 3D. Jeśli przyjrzysz się uważnie rysunkowi hipersześcianu, możesz znaleźć osiem sześcianów.

Rzuty i wizja mieszkańca przestrzeni czterowymiarowej

Kilka słów o wizji

Żyjemy w trójwymiarowym świecie, ale postrzegamy go jako dwuwymiarowy. Wynika to z faktu, że siatkówka naszych oczu znajduje się w płaszczyźnie, która ma tylko dwa wymiary. Dzięki temu jesteśmy w stanie postrzegać obrazy dwuwymiarowe i odnajdywać je zbliżone do rzeczywistości.

(Oczywiście dzięki akomodacji oko potrafi oszacować odległość do obiektu, ale jest to już efekt uboczny związany z optyką wbudowaną w nasze oko.)

Oczy mieszkańca czterowymiarowej przestrzeni muszą mieć trójwymiarową siatkówkę. Taka istota może od razu w pełni zobaczyć trójwymiarową postać: wszystkie jej twarze i wnętrza. (W ten sam sposób możemy zobaczyć dwuwymiarową postać, wszystkie jej twarze i wnętrza.)

Tak więc za pomocą naszych narządów wzroku nie jesteśmy w stanie postrzegać czterowymiarowego sześcianu w taki sam sposób, w jaki postrzegałby go mieszkaniec czterowymiarowej przestrzeni. Niestety. Pozostaje tylko polegać na oku umysłu i fantazji, które na szczęście nie mają fizycznych ograniczeń.

Jednak kiedy przedstawiam hipersześcian na płaszczyźnie, po prostu muszę go rzutować na dwuwymiarową przestrzeń. Pamiętaj o tym podczas studiowania rysunków.

Przecięcia krawędzi

Oczywiście krawędzie hipersześcianu nie przecinają się. Skrzyżowania pojawiają się tylko na rysunkach. Nie powinno to jednak dziwić, bo na figurach również przecinają się krawędzie zwykłego sześcianu.

Długości żeber

Warto zauważyć, że wszystkie ściany i krawędzie czterowymiarowego sześcianu są równe. Na rysunku nie są one równe tylko dlatego, że znajdują się pod różnymi kątami do kierunku patrzenia. Istnieje jednak możliwość rozłożenia hipersześcianu tak, aby wszystkie występy miały tę samą długość.

Nawiasem mówiąc, na tej figurze wyraźnie widać osiem sześcianów, które są twarzami hipersześcianu.

Hypercube wewnątrz pusty

Aż trudno w to uwierzyć, ale pomiędzy sześcianami, które spinały hipersześcian, jest jakaś przestrzeń (fragment przestrzeni czterowymiarowej).

Aby lepiej to zrozumieć, rozważmy rzut 2D zwykłego sześcianu 3D (celowo uczyniłem to nieco szkicowym).

Czy można z tego wywnioskować, że wewnątrz sześcianu jest trochę miejsca? Tak, ale tylko wyobraźnią. Oko nie widzi tej przestrzeni.

Dzieje się tak dlatego, że krawędzie znajdujące się w trzecim wymiarze (których nie można przedstawić na płaskim rysunku) zamieniły się teraz w odcinki leżące w płaszczyźnie rysunku. Nie zapewniają już objętości.

Kwadraty ograniczające przestrzeń sześcianu nakładały się na siebie. Ale możesz sobie wyobrazić, że na oryginalnej figurze (trójwymiarowy sześcian) kwadraty te znajdowały się w różnych płaszczyznach, a nie jeden nad drugim w tej samej płaszczyźnie, jak się okazało na rysunku.

To samo dotyczy hipersześcianu. Ściany sześcianu hipersześcianu w rzeczywistości nie nakładają się na siebie, jak nam się wydaje na rzucie, ale znajdują się w czterowymiarowej przestrzeni.

Rozwiertaki

Tak więc mieszkaniec przestrzeni czterowymiarowej może widzieć trójwymiarowy obiekt jednocześnie ze wszystkich stron. Czy możemy zobaczyć trójwymiarowy sześcian ze wszystkich stron jednocześnie? Okiem nie. Ale ludzie wymyślili sposób na jednoczesne przedstawienie wszystkich twarzy trójwymiarowego sześcianu na płaskim rysunku. Taki obraz nazywa się zamiataniem.

Rozkładanie kostki 3D

Każdy prawdopodobnie wie, jak powstaje rozłożenie trójwymiarowego sześcianu. Ten proces jest pokazany na animacji.

Dla jasności krawędzie ścian sześcianu są przezroczyste.

Należy zaznaczyć, że tylko dzięki wyobraźni jesteśmy w stanie dostrzec ten dwuwymiarowy obraz. Jeśli rozważymy fazy rozwijania się z czysto dwuwymiarowego punktu widzenia, proces ten będzie wydawał się dziwny i wcale nie wizualny.

Wygląda to na stopniowe pojawianie się najpierw zarysów zniekształconych kwadratów, a następnie ich rozkładanie się z równoczesnym nadawaniem odpowiedniego kształtu.

Jeśli spojrzeć na rozwijający się sześcian w kierunku jednej z jego ścian (z tego punktu widzenia sześcian wygląda jak kwadrat), to proces powstawania rozwinięcia jest jeszcze mniej wyraźny. Wszystko wygląda jak wypełzanie z kwadratów z początkowego kwadratu (nie z rozwiniętego sześcianu).

Ale nie wizualny zamiatać tylko dla oko.

Jak rozumieć przestrzeń 4-wymiarową?

Tylko dzięki wyobraźni można z niej wydobyć wiele informacji.

Rozkładanie kostki 4D

Po prostu niemożliwe jest, aby animowany proces hipersześcianu rozwijał się przynajmniej w pewnym stopniu wizualnie. Ale ten proces można sobie wyobrazić. (Aby to zrobić, musisz spojrzeć na to oczami czterowymiarowej istoty.)

Spread wygląda tak.

Widoczne są tutaj wszystkie osiem sześcianów ograniczających hipersześcian.

Twarze są pomalowane na te same kolory, które należy wyrównać podczas składania. Twarze, dla których sparowane nie są widoczne, pozostają szare. Po złożeniu, najwyższa ściana górnego sześcianu powinna wyrównać się z dolną ścianą dolnego sześcianu. (Podobnie, rozwinięcie trójwymiarowego sześcianu jest zwinięte.)

Należy pamiętać, że po złożeniu wszystkie powierzchnie ośmiu sześcianów zetkną się, zamykając hipersześcian. I wreszcie, przedstawiając proces składania, nie zapominaj, że podczas składania kostki nie nakładają się na siebie, ale owijają się wokół pewnego (hipersześciennego) czterowymiarowego obszaru.

Salvador Dali (1904-1989) wielokrotnie przedstawiał ukrzyżowanie, a na wielu jego obrazach pojawiają się krzyże. Obraz Ukrzyżowanie (1954) wykorzystuje rozciągnięcie hipersześcianu.

Czasoprzestrzeń i czterowymiarowa przestrzeń euklidesowa

Mam nadzieję, że udało Ci się wyobrazić hipersześcian. Ale czy udało ci się zbliżyć do zrozumienia, jak działa czterowymiarowa czasoprzestrzeń, w której żyjemy? Niestety, niezupełnie.

Mówiliśmy tutaj o czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej, ale czasoprzestrzeń ma bardzo różne właściwości. W szczególności przy każdym obrocie segmenty zawsze pozostają nachylone do osi czasu, albo pod kątem mniejszym niż 45 stopni, albo pod kątem większym niż 45 stopni.

Własnościom czasoprzestrzeni poświęciłem serię notatek.

obraz 3D

Świat jest trójwymiarowy. Jego obraz jest dwuwymiarowy. Ważnym zadaniem malarstwa, a teraz fotografii jest oddanie trójwymiarowości przestrzeni. Rzymianie opanowali już niektóre techniki, potem zostali zapomniani i zaczęli wracać do malarstwa klasycznego wraz z renesansem.

Główną techniką tworzenia trójwymiarowej przestrzeni w malarstwie jest perspektywa. Tory kolejowe, oddalające się od widza, wizualnie wąskie. W malowaniu szyny mogą być fizycznie zwężone. W fotografii perspektywa powstaje automatycznie: aparat sfilmuje szyny tak wąskie, jak widzi je oko. Nie pozwól jednak, aby się prawie zamknęło: nie będzie już wyglądał jak perspektywa, ale dziwna postać; między torami, bokami ulicy, brzegami rzeki należy zachować wyraźną szczelinę.

Ważne jest, aby zrozumieć, że perspektywa liniowa to najbardziej prymitywny, realistyczny sposób przedstawiania świata.

Nawigacja po wpisach

Nieprzypadkowo jej wygląd kojarzy się z teatralną scenerią (Florensky, Reverse Perspective). Umowność, łatwość przeniesienia sceny teatralnej o małej głębi doskonale nadaje się do fotografii, pozbawionej różnorodnych technik dostępnych w malarstwie.

Istnieją perspektywy o wiele bardziej interesujące niż liniowe. W pracach chińskich mistrzów istnieje perspektywa pływająca, kiedy przedmioty są przedstawiane jednocześnie z dołu, z góry i z przodu. Nie był to błąd techniczny niekompetentnych artystów: legendarny twórca tej techniki, Guo Xi, pisał, że taki pokaz pozwala urzeczywistniać świat w jego całości. Podobna jest technika rosyjskiego malowania ikon, w którym widz widzi jednocześnie twarz i plecy postaci. Ciekawą metodą malowania ikon, spotykaną także wśród artystów zachodnioeuropejskich, była perspektywa odwrócona, w której przeciwnie, obiekty odległe są większe od bliskich, podkreślając ich znaczenie. Dopiero w naszych czasach ustalono, że taka perspektywa jest poprawna: w przeciwieństwie do odległych obiektów, pierwszy plan jest naprawdę postrzegany w odwrotnej perspektywie (Rauschenbach). Korzystając z programu Photoshop, możesz uzyskać odwróconą perspektywę, powiększając obiekty tła. Dla widza przyzwyczajonego do praw fotografii taki obraz będzie wyglądał dziwnie.

Wprowadzenie narożnika budynku w ościeżnicę, od której ściany rozchodzą się w obu kierunkach, stwarza pozory perspektywy izometrycznej. Mózg rozumie, że ściany są ustawione pod kątem prostym i odpowiednio układa resztę obrazu. Taka perspektywa jest bardziej dynamiczna niż frontalna i bardziej naturalna dla pierwszego planu. Wystarczy wpisać w ramę końcowe narożniki obiektów i gęsto rozmieszczone budynki.

Ze względu na rozszerzenie perspektywa izometryczna jest duża, co rzadko nadaje się do klasycznego portretu. Perspektywa liniowa, dzięki zwężeniu, lepiej oddaje drobne emocje.

Na etapie fotografowania fotograf ma do dyspozycji szereg narzędzi pozwalających podkreślić perspektywę. Obiekty o jednakowej szerokości (tor, ulica, kolumny, bruzdy), które oddalają się, zwężając, a nawet po prostu oddalając, wskazują widzowi trójwymiarowość przestrzeni. Efekt jest silniejszy podczas fotografowania pod małym kątem, aby zwiększyć zniekształcenie perspektywy. To wystarczy do fotografowania krajobrazu, ale przy małej głębi obrazu przy fotografowaniu wnętrz efekt jest prawie niezauważalny. Można go nieco poprawić w przetwarzaniu końcowym, zawężając górną część obrazu (Transform Perspective). Jednak nawet w krajobrazie perspektywa przerośnięta może wyglądać ciekawie.

Głębokość może być wyraźna w znaczeniu obrazu: budynki są oddzielone ulicą lub rzeką. Przekątna podkreśla trójwymiarowość; jak most nad rzeką.

Obiekty o znanej widzowi wielkości w tle wyznaczają skalę i odpowiednio tworzą perspektywę. W fotografii krajobrazowej takim obiektem może być samochód, ale w fotografii portretowej spróbuj zgiąć i wsunąć nogę pod krzesło (z dala od aparatu), aby, pozostając widocznym, wydawała się mniejsza. Możesz nawet nieznacznie zmniejszyć tę nogę w przetwarzaniu końcowym.

Ozdoba przekazuje perspektywę poprzez wizualną redukcję elementów. Przykładem mogą być duże płytki na podłodze, wyznaczające linie na drodze.

Istnieje technika przerostu pierwszego planu. Nieproporcjonalnie duży, tworzy głębię obrazu. Porównując skalę pierwszego planu i modela, oko wnioskuje, że model jest znacznie dalej, niż się wydaje. Przerost powinien pozostać subtelny, aby obraz nie był postrzegany jako błąd. Ta technika nadaje się nie tylko do przetwarzania końcowego, ale także do fotografowania: zniekształcaj proporcje podczas fotografowania obiektywem 35 lub 50 mm. Fotografowanie obiektywem szerokokątnym rozciąga przestrzeń, zwiększając jej trójwymiarowość z powodu naruszenia proporcji. Efekt jest silniejszy, jeśli fotografujesz modelkę z bliskiej odległości, ale uważaj na groteskowe proporcje: tylko autorzy obrazów religijnych mogą przedstawić osobę większą niż budynek.

Zwrotnica działa świetnie. Jeśli jabłko częściowo zakryje gruszkę, mózg się nie pomyli: jabłko znajduje się przed gruszką. Model, który częściowo zakrywa mebel, tworzy w ten sposób głębię wnętrza.

Naprzemienność jasnych i ciemnych plamek również nadaje głębi obrazowi. Mózg wie z doświadczenia, że pobliskie obiekty są w przybliżeniu jednakowo oświetlone, więc interpretuje inaczej oświetlone obiekty jako znajdujące się w różnych odległościach. Aby uzyskać ten efekt, plamki zmieniają się w kierunku osi perspektywy - w głąb obrazu, a nie w poprzek. Na przykład, fotografując modelkę leżącą daleko od aparatu w ciemnym kadrze, umieść jasne światła w pobliżu pośladków i nóg. Możesz rozjaśniać/przyciemniać obszary podczas przetwarzania końcowego.

Uważa się, że szereg coraz bardziej ciemnych obiektów maleje. Stopniowe cieniowanie obiektów wzdłuż aktywnej linii pozwala uzyskać subtelne wrażenie perspektywy. Podobnie głębia jest przekazywana przez tłumienie światła: przeprowadź smugę światła po meblach lub podłodze.

Trójwymiarowy obraz można uzyskać dzięki nie tylko światłu, ale także kontrastowi kolorów. Ta technika była znana malarzom flamandzkim, którzy umieszczali jaskrawe kolorowe plamy na swoich martwych naturach. Czerwony granat i żółta cytryna obok siebie będą wyglądać trójwymiarowo nawet w płaskim, frontalnym oświetleniu. Szczególnie dobrze wyróżnią się na tle fioletowych winogron: ciepły kolor na zimnym tle. Jasne kolorowe powierzchnie dobrze wybijają się z ciemności, nawet przy słabym świetle typowym dla martwej natury. Kontrast kolorów działa lepiej z podstawowymi kolorami czerwonym, żółtym, niebieskim niż z odcieniami.

Na czarnym tle żółty wysuwa się, niebieski chowa się z powrotem. Na białym tle - wręcz przeciwnie. Nasycenie kolorów potęguje ten efekt. Dlaczego to się dzieje? Żółty kolor nigdy nie jest ciemny, więc mózg nie chce uwierzyć, że żółty przedmiot może być zanurzony na ciemnym tle, a nie oświetlony. Z drugiej strony niebieski jest ciemny.

Poprawa perspektywy w przetwarzaniu końcowym sprowadza się do symulowania percepcji atmosferycznej: odległe obiekty wydają się nam jaśniejsze, rozmyte, ze zmniejszonym kontrastem jasności, nasycenia i tonu.

Oprócz długich dystansów efekty atmosferyczne naturalnie wyglądają w porannej mgle, mgle, zadymionym barze. Weź pod uwagę pogodę: w pochmurny dzień lub o zmierzchu nie może być znaczącej różnicy między pierwszym planem a tłem.

Najsilniejszym z czynników jest kontrast w jasności. W ustawieniach jest to zwykły kontrast. Zmniejsz kontrast odległych obiektów, zwiększ kontrast pierwszego planu - a obraz stanie się wybrzuszony. Nie chodzi tu o kontrast między pierwszym planem a tłem, ale o kontrast tła, który powinien być mniejszy niż kontrast pierwszego planu. Ta metoda nadaje się nie tylko do zdjęć krajobrazowych i rodzajowych, ale także do portretów studyjnych: zwiększ kontrast przedniej części twarzy, zmniejsz kontrast włosów i kości policzkowych, ubrania. Filtry portretowe robią coś podobnego, rozmywając skórę fotografowanej osoby i pozostawiając ostre oczy i usta.

Regulacja kontrastu to najprostszy sposób na obróbkę 3D obrazu. W przeciwieństwie do innych procesów, widz prawie nie zauważy zmian, co zachowa maksymalną naturalność.

Rozmycie jest podobne do zmniejszania kontrastu, ale są to różne procesy. Obraz może mieć niski kontrast, pozostając jednocześnie ostrym. Ze względu na ograniczoną głębię ostrości rozmycie odległych obiektów pozostaje najpopularniejszym sposobem na oddanie trójwymiarowości w fotografii, a łatwo jest ją poprawić, rozmywając tło w post-processingu. Dlatego mniej szczegółów należy umieścić w tle – mózg nie oczekuje od nas rozpoznawalnych obiektów. Tymczasem obniżenie kontrastu lepiej odpowiada naturalnej percepcji: odległe góry są widziane z niskim kontrastem, nie rozmyte, bo skanując krajobraz, oko ciągle przestawia ostrość, obcy jest problem głębi ostrości. Rozmywając tło, możesz jednocześnie wyostrzyć pierwszy plan. Dodatkowo na pierwszym planie można uwydatnić linie obrazu (filtr górnoprzepustowy lub klarowność). To właśnie wysoka ostrość pierwszego planu wyjaśnia charakterystyczne wybrzuszenie obrazu wysokiej jakości obiektywów. Uwaga: ze względu na nieznaczne zwiększenie trójwymiarowości obraz można zbyt mocno utwardzić.

Lżejsze obiekty wydają się bardziej odległe. Wynika to z faktu, że w naturze widzimy odległe obiekty przez grubość rozpraszającego światło powietrza; odległe góry wydają się jasne. W fotografii krajobrazowej należy więc uważać na położenie jasnych obiektów na pierwszym planie.

Rozjaśnij odległe przedmioty. Im dalej, tym bardziej zlewają się z jasnością i tonem nieba. Należy pamiętać, że obiekty poziome (ląd, morze) są lepiej oświetlone niż pionowe (ściany, drzewa), więc nie przesadzaj z doświetlaniem tych ostatnich. W każdym razie obiekty powinny pozostać zauważalnie mniej jasne niż niebo.

Cóż, jeśli zauważysz, że rozjaśnienie to kolejny sposób na zmniejszenie kontrastu jasności tła. Przyciemnij trochę pierwszy plan, aby wzmocnić efekt wybrzuszenia.

Wydawałoby się, że we wnętrzu jest odwrotnie. Jeśli na ulicy oko jest przyzwyczajone do tego, że odległość jest niewielka, to w pokoju światło często skupia się na osobie, a wnętrze pogrąża się w ciemności; mózg jest przyzwyczajony do oświetlenia na pierwszym planie, a nie w tle.

Na zdjęciach wnętrz z płytką głębią sceny, w przeciwieństwie do zdjęć krajobrazowych, oświetlony model wystaje z ciemnego tła. Ale jest też odwrotny czynnik: w 99% swojej ewolucji człowiek obserwował perspektywę na otwartej przestrzeni, a wraz z pojawieniem się pokoi mózg nie miał jeszcze czasu na reorganizację. Vermeer wolał jasne tło do portretów i są one naprawdę wypukłe. Polecane w fotografii podświetlenie pionowego tła nie tylko oddziela od niego modela, ale także poprzez rozjaśnienie tła nadaje obrazowi lekką trójwymiarowość. Tutaj mamy do czynienia z faktem, że mózg analizuje lokalizację obiektów według kilku czynników i mogą one być w konflikcie.

Ciekawie wygląda oświetlenie studyjne, w którym plamy świetlne leżą na obszarach modelu oddalonych od kamery. Na przykład podświetlona jest skrzynia znajdująca się dalej od aparatu.

Zmniejsz nasycenie kolorów na odległych obiektach: ze względu na gęstość powietrza, które nas dzieli, odległe góry są nasycone niemal do poziomu monochromatyczności i pokryte niebieską mgiełką. Nasycenie pierwszego planu można zwiększyć.

Ponieważ żółty jest jasny, a niebieski i czerwony są ciemne, kontrast kolorów jest również kontrastem jasności.

Desaturując odległe tło, nie pozwól mu zniknąć z pola widzenia. Często wręcz przeciwnie, aby je wydobyć, trzeba zwiększyć nasycenie tła. To jest ważniejsze niż trójwymiarowość.

Wiele wskazówek dotyczących fotografii 3D dotyczy kontrastu temperaturowego. W rzeczywistości efekt ten jest bardzo słaby, łatwo przerywany przez kontrast w jasności. Ponadto kontrast temperaturowy jest denerwujący, uderzający.

Bardzo odległe obiekty wydają się chłodniejsze, ponieważ ciepłe pomarańczowe światło jest pochłaniane przez powietrze. Fotografując model na plaży ze statkami na horyzoncie w tle, obniż temperaturę barwową odległego morza i statków w postprocessingu. Modelka w czerwonym kostiumie kąpielowym wyłania się z błękitnego morza, a modelka w żółtym świetle ulicznej latarni wyłania się z niebieskawego zmierzchu.

To jest oddzielne tonowanie: ocieplamy model, tło zimniej. Mózg rozumie, że na tej samej płaszczyźnie nie ma różnych temperatur barwowych i odbiera taki obraz jako trójwymiarowy, w którym model wystaje z tła. Oddzielne tonowanie dodaje głębi krajobrazom: ogrzej pierwszy plan, a tło zimniejsze.

Ważny wyjątek od podzielonego tonowania: o wschodzie i zachodzie słońca odległe tło wcale nie jest zimne, ale ciepłe, z żółtymi i czerwono-pomarańczowymi odcieniami. Oczywiste rozwiązanie - użycie białej modelki w fioletowym kostiumie kąpielowym - nie sprawdza się, ponieważ światło zachodzącego słońca nadaje ciepły odcień także ciału modelki.

Podsumowując, aby nadać zdjęciu trójwymiarowość opartą na efektach atmosferycznych, konieczne jest skontrastowanie pierwszego planu i tła. Główną opozycją jest zwykły kontrast: pierwszy plan jest kontrastowy, tło jest mało kontrastowe. Druga opozycja dotyczy ostrości: pierwszy plan jest ostry, tło rozmazane. Trzecia opozycja dotyczy jasności: pierwszy plan jest ciemny, tło jest jasne. Czwarta opozycja polega na nasyceniu: kolory pierwszego planu są nasycone, kolory tła są nienasycone. Piąta opozycja dotyczy temperatury: pierwszy plan jest ciepły, tło zimne.

Czynniki te są często wielokierunkowe. Żółty jest jaśniejszy niż niebieski, a jasne obiekty pojawiają się dalej niż ciemne. Naturalnym byłoby oczekiwać, że żółty cofnie się, a niebieski zbliży się do widza. W rzeczywistości jest odwrotnie: ciepły kolor wyłania się z zimnego tła. Oznacza to, że kolor okazuje się silniejszym czynnikiem niż jasność. Co po refleksji nie dziwi: żółty i czerwony wyraźnie rozróżnia się tylko z bliska, a widz nie spodziewa się spotkania z nimi z dużej odległości.

Konkluzja: utrzymuj tło o niskim kontraście, rozmyte, jasne, nienasycone, niebieskawe. I bądź przygotowany na to, że widz przyzwyczajony do przerośniętych filmów 3D odkryje, że utworzona przez Ciebie trójwymiarowość jest ledwo zauważalna lub nieobecna.

W portretach najlepiej polegać na sprawdzonym efekcie światłocienia, czyli grze światła i cienia na twarzy fotografowanej osoby, dzięki czemu obraz będzie się wydawał dość wyraźny. W fotografii gatunkowej perspektywa daje najbardziej zauważalny efekt trójwymiarowości. W martwej naturze głównym czynnikiem będzie przecinanie się (nakładanie) obiektów.

Nie daj się ponieść perspektywie; jest tylko tłem dla płaszczyzny czołowej, na której drży twój obraz. We współczesnym malarstwie, dalekim od realizmu, perspektywa nie jest wysoko ceniona.

Pobierz całą książkę: pdfepubazw3mobifb2litSpis treści

Usługi

Ważne tematy

W 1904 Henri Poincare zasugerował, że każdy trójwymiarowy obiekt, który ma pewne właściwości trójwymiarowej kuli, może zostać przekształcony w 3-sferę. Udowodnienie tej hipotezy zajęło 99 lat. (Uwaga! Trójwymiarowa sfera nie jest tym, co myślisz.) Rosyjski matematyk Grigory Perelman udowodnił hipotezę Poincaré postawioną sto lat temu i zakończył tworzenie katalogu kształtów trójwymiarowych przestrzeni.

Poincaré zasugerował, że 3-sfera jest wyjątkowa i żadna inna zwarta 3-rozmaitość (niezwarte rozmaitości są nieskończone lub mają krawędzie. W dalszej części rozważane są tylko zwarte rozmaitości) nie ma właściwości, które czynią ją tak prostą. Bardziej złożone 3-rozmaitości mają granice, które stoją jak ceglana ściana lub wiele połączeń między niektórymi obszarami, na przykład leśna ścieżka, która się rozwidla i łączy. Każdy trójwymiarowy obiekt o właściwościach 3-sfery może zostać przekształcony w samą 3-sferę, więc dla topologów jest to po prostu jego kopia. Dowód Perelmana pozwala nam również odpowiedzieć na trzecie pytanie i sklasyfikować wszystkie istniejące 3 rozmaitości.
Potrzebujesz sporej ilości wyobraźni, aby wyobrazić sobie 3-sferę. Na szczęście ma wiele wspólnego z 2-kulą, której typowym przykładem jest guma okrągłego balonu: jest ona dwuwymiarowa, ponieważ każdy jej punkt jest określony tylko przez dwie współrzędne - szerokość i długość geograficzną. Jeśli weźmiemy pod uwagę wystarczająco małą jego część pod mocnym szkłem powiększającym, będzie to wyglądało jak kawałek płaskiego arkusza. Małemu owadowi pełzającemu na balonie wyda się, że jest płaską powierzchnią. Ale jeśli booger porusza się wystarczająco długo w linii prostej, w końcu wróci do punktu wyjścia. W ten sam sposób postrzegalibyśmy 3-sferę wielkości naszego Wszechświata jako „zwykłą” trójwymiarową przestrzeń. Lecąc wystarczająco daleko w dowolnym kierunku, w końcu „okrążymy świat” i wrócimy do punktu wyjścia.
Jak można się domyślić, n-wymiarowa sfera nazywana jest n-sferą. Na przykład sfera 1 jest wszystkim znana: to tylko okrąg.

Matematycy dowodzący twierdzeń o przestrzeniach wielowymiarowych nie muszą wyobrażać sobie przedmiotu badań: mają do czynienia z własnościami abstrakcyjnymi, kierując się intuicjami opartymi na analogiach o mniejszej liczbie wymiarów (takie analogie należy traktować z ostrożnością i nie brać dosłownie). Rozważymy również 3-sferę na podstawie właściwości obiektów o mniejszej liczbie wymiarów.
1. Zacznijmy od rozważenia okręgu i jego okręgu ograniczającego. Dla matematyków okrąg to dwuwymiarowa kula, a okrąg to jednowymiarowa kula. Co więcej, kula dowolnego wymiaru to wypełniony obiekt, przypominający arbuza, a kula to jego powierzchnia, bardziej przypominająca balon. Okrąg jest jednowymiarowy, ponieważ położenie na nim punktu można określić za pomocą jednej liczby.

2. Z dwóch kręgów możemy zbudować dwuwymiarową sferę, zamieniając jedną w półkulę północną, a drugą w południową. Pozostaje je skleić, a 2-kula jest gotowa.

3. Wyobraź sobie mrówkę pełzającą z bieguna północnego po dużym okręgu utworzonym przez południk zerowy i 180 (po lewej). Jeśli zmapujemy jego drogę do dwóch pierwotnych okręgów (po prawej), widzimy, że owad porusza się w linii prostej (1) do krawędzi północnego okręgu (a), a następnie przekracza granicę, trafia w odpowiedni punkt na południowym okręgu i kontynuuje jazdę po linii prostej (2 i 3). Następnie mrówka ponownie dociera do krawędzi (b), przecina ją i ponownie znajduje się na północnym kręgu, pędząc do punktu startowego - Bieguna Północnego (4). Zwróć uwagę, że podczas podróży dookoła świata na 2-sferze kierunek ruchu jest odwracany przy przechodzeniu z jednego okręgu do drugiego.

4. Teraz rozważ naszą 2-kulę i objętość, którą zawiera (trójwymiarową kulę) i zrób z nimi to samo, co z kołem i kołem: weź dwie kopie kuli i sklej ich granice. Niemożliwe i nie jest konieczne, aby wyraźnie pokazać, jak kulki są zniekształcone w czterech wymiarach i zamieniają się w odpowiednik półkul. Wystarczy wiedzieć, że odpowiednie punkty na powierzchniach, tj. 2 sfery są ze sobą połączone w taki sam sposób, jak w przypadku okręgów. Efektem połączenia dwóch kulek jest 3-kula - powierzchnia kuli czterowymiarowej. (W czterech wymiarach, gdzie istnieje 3-kula i 4-kula, powierzchnia obiektu jest trójwymiarowa.) Nazwijmy jedną kulę półkulą północną, a drugą półkulą południową. Analogicznie do kół, bieguny znajdują się teraz w środkach kul.

5. Wyobraź sobie, że te kule to duże puste obszary przestrzeni. Załóżmy, że astronauta opuszcza biegun północny rakietą. Z czasem dociera do równika (1), który jest obecnie sferą otaczającą północny glob. Przekraczając ją, rakieta wchodzi na półkulę południową i porusza się w linii prostej przez jej środek - Biegun Południowy - na przeciwną stronę równika (2 i 3). Tam ponownie następuje przejście na półkulę północną, a podróżnik wraca na Biegun Północny, tj. do punktu wyjścia (4). To jest scenariusz podróżowania po świecie na powierzchni 4-wymiarowej kuli! Rozważana trójwymiarowa sfera to przestrzeń, do której odnosi się hipoteza Poincarego. Być może nasz Wszechświat to tylko 3 sfery.

Rozumowanie można rozszerzyć do pięciu wymiarów i zbudować 4-sferę, ale jest to niezwykle trudne do wyobrażenia. Jeśli przykleimy dwie n-kulki wzdłuż otaczających je (n-1)-kul, otrzymamy n-kulę ograniczającą (n+1)-kulkę.

Minęło pół wieku, zanim hipoteza Poincarego ujrzała światło dzienne. W latach 60. XX wiek matematycy dowiedli podobnych twierdzeń dla sfer o pięciu lub więcej wymiarach. W każdym przypadku n-sfera jest rzeczywiście jedynym i najprostszym n-rozmaitością. Co dziwne, okazało się, że łatwiej uzyskać wynik dla sfer wielowymiarowych niż dla 3 i 4 sfer. Dowód na istnienie czterech wymiarów pojawił się w 1982 roku. I tylko oryginalna hipoteza Poincarégo dotycząca 3-sfery pozostała niepotwierdzona.
Decydujący krok został zrobiony w listopadzie 2002 roku, kiedy Grigory Perelman, matematyk z Petersburskiego Oddziału Instytutu Matematycznego. Steklov wysłał artykuł na stronę www.arxiv.org, gdzie fizycy i matematycy z całego świata omawiają wyniki swojej działalności naukowej. Topologowie natychmiast dostrzegli związek między pracą rosyjskiego naukowca a hipotezą Poincarégo, choć autor nie wspomniał o tym wprost.

W rzeczywistości dowód Perelmana, którego poprawności nikt jeszcze nie był w stanie zakwestionować, rozwiązuje znacznie szerszy zakres pytań niż rzeczywista hipoteza Poincarego. Procedura geometryzacji zaproponowana przez Williama P. Thurstona z Cornell University pozwala na pełną klasyfikację 3-rozmaitości w oparciu o 3-sferę, która jest wyjątkowa w swojej wysublimowanej prostocie. Gdyby hipoteza Poincarego była fałszywa, tj. gdyby istniało wiele przestrzeni tak prostych jak kula, to klasyfikacja trzech rozmaitości stałaby się czymś nieskończenie bardziej złożonym. Dzięki Perelmanowi i Thurstonowi mamy kompletny katalog wszystkich form trójwymiarowej przestrzeni, na które pozwala matematyka, jakie może przyjąć nasz Wszechświat (jeśli weźmiemy pod uwagę tylko przestrzeń bez czasu).

Aby lepiej zrozumieć hipotezę Poincarégo i dowód Perelmana, należy przyjrzeć się topologii. W tej dziedzinie matematyki kształt przedmiotu nie ma znaczenia, jakby był zrobiony z ciasta, które można dowolnie rozciągać, ściskać i wyginać. Dlaczego mielibyśmy myśleć o rzeczach lub przestrzeniach z wyimaginowanego testu? Faktem jest, że dokładny kształt obiektu - odległość między wszystkimi jego punktami - odnosi się do poziomu strukturalnego, który nazywamy geometrią. Badając obiekt z testu, topologowie ujawniają jego podstawowe właściwości, które nie zależą od struktury geometrycznej. Badanie topologii jest jak szukanie najczęstszych cech, które ludzie mają, patrząc na „człowieka z plasteliny”, który można przekształcić w dowolną konkretną osobę.
W literaturze popularnej często pojawia się oklepane twierdzenie, że z punktu widzenia topologii filiżanka nie różni się niczym od pączka. Faktem jest, że filiżankę ciasta można zamienić w pączka, po prostu krusząc materiał, tj. nic nie przywiera ani nie robi dziur. Z drugiej strony, aby zrobić pączek z kulki, z pewnością trzeba zrobić w niej dziurę lub zwinąć w cylinder i zaślepić końce, aby kulka w ogóle nie była pączkiem.
Topologów najbardziej interesują powierzchnie kuli i pączka. Dlatego zamiast ciał stałych należy wyobrazić sobie balony. Ich topologia jest jeszcze inna, ponieważ balonu kulistego nie można przekształcić w balon pierścieniowy, który nazywa się torusem. Najpierw naukowcy postanowili dowiedzieć się, ile obiektów o różnych topologiach istnieje i jak można je scharakteryzować. W przypadku 2 rozgałęźników, do których przywykliśmy nazywać powierzchnie, odpowiedź jest elegancka i prosta: wszystko zależy od liczby „dziurków” lub równoważnie liczby uchwytów. Pod koniec XIX wieku. matematycy odkryli, jak klasyfikować powierzchnie i odkryli, że najprostszą z nich była kula. Naturalnie topologowie zaczęli myśleć o 3 rozmaitościach: czy 3-sfera jest wyjątkowa w swojej prostocie? Wielowiekowa historia poszukiwania odpowiedzi jest pełna błędów i błędnych dowodów.
Henri Poincaré poważnie podjął tę kwestię. Był jednym z dwóch najpotężniejszych matematyków początku XX wieku. (drugi był David Hilbert). Nazywano go ostatnim generalistą - z powodzeniem pracował we wszystkich działach matematyki czystej i stosowanej. Ponadto Poincaré wniósł ogromny wkład w rozwój mechaniki nieba, teorii elektromagnetyzmu, a także filozofii nauki, o której napisał kilka popularnych książek.
Poincaré stał się twórcą topologii algebraicznej i za pomocą jej metod sformułował w 1900 roku topologiczną charakterystykę obiektu, zwaną homotopią. Aby określić homotopię rozmaitości, trzeba w niej mentalnie zanurzyć zamkniętą pętlę. Następnie powinniśmy dowiedzieć się, czy zawsze można skrócić pętlę do punktu, przesuwając ją do wnętrza rozmaitości. W przypadku torusa odpowiedź będzie negatywna: jeśli umieścisz pętlę na obwodzie torusa, nie będzie można jej zawęzić do punktu, ponieważ „dziura” pączka będzie przeszkadzać. Homotopia to liczba różnych ścieżek, które mogą zapobiec kurczeniu się pętli.

Na n-sferze każdą, nawet misternie skręconą pętlę, zawsze można rozwikłać i przeciągnąć do punktu. (Pętla może przechodzić przez samą siebie.) Poincare założył, że 3-sfera jest jedyną 3-rozmaitością, na której każda pętla może być skrócona do punktu. Niestety, nigdy nie był w stanie udowodnić swojej hipotezy, która później stała się znana jako hipoteza Poincarégo.

Analiza 3 rozmaitości Perelmana jest ściśle związana z procedurą geometryzacji. Geometria zajmuje się rzeczywistym kształtem przedmiotów i kolektorów, już nie z ciasta, ale z ceramiki. Na przykład kubek i bajgiel są geometrycznie różne, ponieważ ich powierzchnie są inaczej zakrzywione. Kubek i pączek są podobno dwoma przykładami topologicznego torusa o różnych kształtach geometrycznych.
Aby zrozumieć, dlaczego Perelman zastosował geometryzację, rozważ klasyfikację dwurozmaitości. Każdej topologicznej powierzchni przypisywana jest unikalna geometria, której krzywizna jest równomiernie rozłożona w całej rozmaitości. Na przykład dla kuli jest to idealnie kulista powierzchnia. Inną możliwą geometrią sfery topologicznej jest jajko, ale jego krzywizna nie jest wszędzie równomiernie rozłożona: ostry koniec jest bardziej zakrzywiony niż tępy.
2-rozmaitości tworzą trzy typy geometryczne. Kula charakteryzuje się dodatnią krzywizną. Zgeometryzowany torus jest płaski i ma zerową krzywiznę. Wszystkie pozostałe rozgałęźniki z dwoma lub więcej „otworami” mają krzywiznę ujemną. Odpowiadają powierzchni podobnej do siodła, która zakrzywia się w górę z przodu iz tyłu oraz w dół w lewo i w prawo. Ta geometryczna klasyfikacja (geometryzacja) 2-rozmaitości została opracowana przez Poincare wraz z Paulem Koebe i Felixem Kleinem, od których pochodzi nazwa butelki Klein.

Istnieje naturalna chęć zastosowania podobnej metody do 3 rozgałęźników. Czy można znaleźć dla każdego z nich tak unikalną konfigurację, w której krzywizna rozkładałaby się równomiernie na całej rozmaitości?
Okazało się, że 3-rozmaitości są znacznie bardziej skomplikowane niż ich dwuwymiarowe odpowiedniki, a większości z nich nie da się powiązać z geometrią jednorodną. Powinny być podzielone na części, które odpowiadają jednej z ośmiu geometrii kanonicznych. Ta procedura przypomina rozkład liczby na czynniki pierwsze.

Jak zgeometryzować rozmaitość i nadać jej wszędzie jednorodną krzywiznę? Musisz wziąć dowolną geometrię z różnymi występami i wgłębieniami, a następnie wygładzić wszystkie nierówności. Na początku lat 90. XX wiek Hamilton zaczął analizować 3 rozmaitości za pomocą równania przepływu Ricciego, nazwanego na cześć matematyka Gregorio Ricci-Curbastro. Jest to nieco podobne do równania ciepła, które opisuje przepływ ciepła w nierównomiernie nagrzanym ciele, dopóki jego temperatura nie stanie się wszędzie taka sama. W ten sam sposób równanie przepływu Ricciego definiuje zmianę krzywizny kolektora, która prowadzi do wyrównania wszystkich występów i zagłębień. Na przykład, jeśli zaczniesz od jajka, stopniowo stanie się ono kuliste.

Perelman dodał nowy termin do równania przepływu Ricciego. Zmiana ta nie wyeliminowała problemu osobliwości, ale pozwoliła na znacznie głębszą analizę. Rosyjski naukowiec wykazał, że „chirurgiczną” operację można wykonać na kolektorze w kształcie hantli: odciąć cienką rurkę po obu stronach wyłaniającego się szczypty, a otwarte rurki wystające z kulek zamknąć sferycznymi nasadkami. Następnie należy kontynuować wymianę „obsługiwanego” kolektora zgodnie z równaniem przepływu Ricciego i zastosować powyższą procedurę do wszystkich powstających zacisków. Perelman wykazał również, że cechy w kształcie cygara nie mogą się pojawić. W ten sposób każdy trójdzielnik można zredukować do zestawu części o jednolitej geometrii.
Kiedy przepływ Ricciego i „chirurgia” są stosowane do wszystkich możliwych 3-rozmaitości, każdy z nich, jeśli jest tak prosty jak 3-sfera (innymi słowy, ma tę samą homotopię), z konieczności sprowadza się do tej samej jednorodnej geometrii , czyli 3-sfera. Stąd z topologicznego punktu widzenia rozważaną rozmaitością jest trójsfera. Tak więc 3-sfera jest wyjątkowa.

Wartość artykułów Perelmana tkwi nie tylko w dowodach hipotezy Poincarego, ale także w nowych metodach analizy. Naukowcy na całym świecie już teraz wykorzystują wyniki uzyskane przez rosyjskiego matematyka w swojej pracy i stosują opracowane przez niego metody w innych dziedzinach. Okazało się, że przepływ Ricciego związany jest z tzw. grupą renormalizacji, która określa, jak zmienia się siła oddziaływań w zależności od energii zderzeń cząstek. Na przykład przy niskich energiach siła oddziaływania elektromagnetycznego charakteryzuje się liczbą 0,0073 (około 1/137). Jednak gdy dwa elektrony zderzają się czołowo z prędkością bliską prędkości światła, siła ta zbliża się do 0,0078. Matematyka opisująca zmianę sił fizycznych jest bardzo podobna do matematyki opisującej geometryzację rozmaitości.
Zwiększenie energii zderzenia jest równoznaczne z siłą uczenia się na krótszych dystansach. Dlatego grupa renormalizacji jest jak mikroskop ze zmiennym współczynnikiem powiększenia, co pozwala badać proces na różnych poziomach szczegółowości. Podobnie przepływ Ricciego jest mikroskopem do oglądania rozmaitości. Występy i zagłębienia widoczne przy jednym powiększeniu znikają przy drugim. Jest prawdopodobne, że w skali długości Plancka (ok. 10 -35 m) przestrzeń, w której żyjemy, wygląda jak piana o złożonej budowie topologicznej. Ponadto równania ogólnej teorii względności, które opisują charakterystykę grawitacji i wielkoskalową strukturę wszechświata, są ściśle powiązane z równaniem przepływu Ricciego. Paradoksalnie termin dodany przez Perelmana do wyrażenia użytego przez Hamiltona pojawia się w teorii strun, która twierdzi, że jest kwantową teorią grawitacji. Niewykluczone, że w artykułach rosyjskiego matematyka naukowcy znajdą znacznie więcej przydatnych informacji nie tylko o abstrakcyjnych 3 rozmaitościach, ale także o przestrzeni, w której żyjemy.