Tożsamości trygonometryczne przekształcają wyrażenie. Lekcja „Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych”

Lekcja wideo „Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych” ma na celu rozwinięcie umiejętności rozwiązywania problemów trygonometrycznych przez uczniów przy użyciu podstawowych tożsamości trygonometrycznych. W trakcie lekcji wideo rozważane są rodzaje tożsamości trygonometrycznych, przykłady rozwiązywania problemów z ich wykorzystaniem. Korzystając z pomocy wizualnej, nauczycielowi łatwiej jest osiągnąć cele lekcji. Żywa prezentacja materiału pomaga zapamiętać ważne punkty. Wykorzystanie efektów animacji i dubbingu pozwala na całkowite zastąpienie prowadzącego na etapie wyjaśniania materiału. Dzięki temu, korzystając z pomocy wizualnej na lekcjach matematyki, nauczyciel może zwiększyć efektywność nauczania.

Na początku lekcji wideo ogłaszany jest jej temat. Następnie przywołuje się wspomniane wcześniej tożsamości trygonometryczne. Na ekranie wyświetlają się równości sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, gdzie t ≠ π / 2 + πk dla kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, ważne dla t ≠ πk, gdzie kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, dla t ≠ πk / 2, gdzie kϵZ, nazywane są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Należy zauważyć, że te tożsamości są często używane w rozwiązywaniu problemów, w których konieczne jest udowodnienie równości lub uproszczenie wyrażenia.

Dalej rozważane są przykłady zastosowania tych tożsamości w rozwiązywaniu problemów. Najpierw proponuje się rozważenie rozwiązania problemów w celu uproszczenia wyrażeń. W przykładzie 1 konieczne jest uproszczenie wyrażenia cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. Aby rozwiązać przykład, najpierw umieść wspólny współczynnik cos 2 t poza nawiasami. W wyniku takiej transformacji w nawiasach otrzymujemy wyrażenie 1- cos 2 t, którego wartość z podstawowej identyczności trygonometrii jest równa sin 2 t. Po przekształceniu wyrażenia jest oczywiste, że jeszcze jeden wspólny czynnik sin 2 t można umieścić w nawiasach, po czym wyrażenie przyjmuje postać sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Z tej samej podstawowej tożsamości wyprowadzamy wartość wyrażenia w nawiasach równą 1. W wyniku uproszczenia otrzymujemy cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

W przykładzie 2 należy również uprościć wyrażenie koszt / (1- sint) + cost / (1+ sint). Ponieważ koszt wyrażenia znajduje się w licznikach obu ułamków, można go ująć w nawias jako wspólny czynnik. Następnie ułamki w nawiasach są redukowane do wspólnego mianownika przez pomnożenie (1-sint) (1+ sint). Po wprowadzeniu takich wyrazów w liczniku pozostaje 2, aw mianowniku 1 - sin 2 t. Po prawej stronie ekranu przypomina się podstawową tożsamość trygonometryczną sin 2 t + cos 2 t \u003d 1. Używając go, znajdujemy mianownik ułamka cos 2 t. Po zmniejszeniu ułamka otrzymujemy uproszczoną postać wyrażenia koszt / (1- sint) + koszt / (1+ sint) \u003d 2 / koszt.

W dalszej części rozważane są przykłady dowodów tożsamości, w których wykorzystuje się zdobytą wiedzę o podstawowych tożsamościach trygonometrii. W przykładzie 3 konieczne jest udowodnienie tożsamości (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. Po prawej stronie ekranu wyświetlane są trzy tożsamości, które będą potrzebne do dowodu - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t i tg t \u003d sin t / cos t z ograniczeniami. Aby udowodnić tożsamość, najpierw rozszerza się nawiasy, po czym tworzony jest iloczyn, który odzwierciedla wyrażenie głównej tożsamości trygonometrycznej tg t · ctg t \u003d 1. Następnie, zgodnie z tożsamością z definicji cotangensa, ctg 2 t jest przekształcane. W wyniku przekształceń otrzymujemy wyrażenie 1-cos 2 t. Korzystając z podstawowej tożsamości, znajdujemy znaczenie wyrażenia. W ten sposób udowodniono, że (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t.

W przykładzie 4 musisz znaleźć wartość wyrażenia tg 2 t + ctg 2 t, jeśli tg t + ctg t \u003d 6. Aby obliczyć wyrażenie, najpierw należy podnieść do kwadratu prawą i lewą stronę równości (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2. Skrócona formuła mnożenia przypomina prawą stronę ekranu. Po otwarciu nawiasów po lewej stronie wyrażenia powstaje suma tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, do przekształcenia której można zastosować jedną z tożsamości trygonometrycznych tg t · ctg t \u003d 1, której postać jest przypomniana po prawej stronie ekranu. Po transformacji otrzymujemy równość tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Lewa strona równości pokrywa się ze stanem problemu, dlatego odpowiedź brzmi 34. Problem został rozwiązany.

Lekcja wideo „Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych” jest zalecana do wykorzystania na tradycyjnej szkolnej lekcji matematyki. Materiał będzie również przydatny dla nauczyciela uczącego się na odległość. W celu rozwinięcia umiejętności rozwiązywania problemów trygonometrycznych.

KOD TEKSTOWY:

„Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Równość

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sinus kwadrat te plus cosinus kwadrat te równa się jeden)

2) tgt \u003d, dla t ≠ + πk, kϵZ (styczna te jest równa stosunkowi sinusa te do cosinusa te, gdy te nie jest równe pi przez dwa plus pi ka, ka należy do zet)

3) ctgt \u003d, dla t ≠ πk, kϵZ (cotangens te jest równy stosunkowi cosinusa te do sinusa te, gdy te nie jest równe pikowi, ka należy do z).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 dla t ≠, kϵZ (iloczyn stycznej te i cotangens te jest równy jeden, jeśli te nie jest równe pikowi, podzielone przez dwa, ka należy do z)

nazywane są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi.

Często są używane do uproszczenia i udowodnienia wyrażeń trygonometrycznych.

Spójrzmy na przykłady użycia tych formuł do uproszczenia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 1: Uprość wyrażenie: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (wyrażenie to cosinus do kwadratu te minus cosinus te czwartego stopnia plus sinus te czwartego stopnia).

Decyzja. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d sin 2 t 1 \u003d sin 2 t

(wyciągamy wspólny czynnik cosinus do kwadratu te, w nawiasach otrzymujemy różnicę między jednością a kwadratem cosinusa te, który jest równy przez pierwszą tożsamość kwadratowi sinus te. Otrzymujemy sumę sinusa czwartego stopnia te iloczynu cosinus kwadrat te i sinus kwadrat te. wspólny czynnik sinus kwadrat te jest usuwany w nawiasach, w nawiasach otrzymujemy sumę kwadratów cosinusa i sinusa, które przez podstawową tożsamość trygonometryczną jest równe 1. W rezultacie otrzymujemy kwadrat sinusa te).

PRZYKŁAD 2: Uprość wyrażenie: +.

(wyrażenie ba jest sumą dwóch ułamków w liczniku pierwszego cosinusa te w mianowniku jeden minus sinus te, w liczniku drugiego cosinusa te w mianowniku druga jednostka plus sinus te).

(Wyjmijmy z nawiasów wspólny czynnik cosinus te i w nawiasach przeniesiemy go do wspólnego mianownika, którym jest iloczyn jeden minus sinus te i jeden plus sinus te.

W liczniku otrzymujemy: jeden plus sinus te plus jeden minus sinus te, podajemy podobne, licznik równa się dwa po podobnych.

W mianowniku można zastosować formułę mnożenia skróconego (różnicę kwadratów) i uzyskać różnicę między jednostką a kwadratem sinusoidy, która zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną

jest równa kwadratowi cosinusa te. Po anulowaniu przez cosinus te otrzymujemy ostateczną odpowiedź: dwa podzielone przez cosinus te).

Rozważmy przykłady użycia tych wzorów do udowodnienia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 3. Udowodnić tożsamość (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (iloczyn różnicy między kwadratami tangens te i sin te oraz kwadratu cotangens te jest równy kwadratowi sinusa te).

Dowód.

Zmieńmy lewą stronę równości:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d sin 2 t

(Otwórzmy nawiasy, z poprzednio uzyskanej zależności wiadomo, że iloczyn kwadratów stycznej te i cotangens te jest równy 1. Przypomnijmy, że cotangens te jest równy stosunkowi cosinus te do sinusa te, co oznacza, że \u200b\u200bkwadrat cotangensa jest stosunkiem kwadratu cosinusa te do kwadratu sinusa te.

Po anulowaniu kwadratu te przez sinus otrzymujemy różnicę między jednostką a cosinusem kwadratu te, który jest równy sinusowi kwadratu te). co było do okazania

PRZYKŁAD 4 Znajdź wartość wyrażenia tg 2 t + ctg 2 t, jeśli tgt + ctgt \u003d 6.

(suma kwadratów stycznej te i cotangens te, jeśli suma stycznej i cotangens wynosi sześć).

Decyzja. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Podważmy obie strony pierwotnej równości:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (kwadrat sumy stycznej te i cotangens te równa się sześciu kwadratom). Przypomnij sobie wzór na mnożenie skrócone: Kwadrat sumy dwóch wielkości jest równy kwadratowi pierwszej plus dwukrotność iloczynu pierwszej i drugiej plus kwadrat drugiej. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Otrzymujemy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (styczny kwadrat te plus podwójny iloczyn stycznej te i cotangent te plus cotangent squared te wynosi trzydzieści sześć) ...

Ponieważ iloczyn stycznej te i cotangens te jest równy jeden, to tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (suma kwadratów stycznej te i cotangens te oraz dwa wynosi trzydzieści sześć),

W identyczne transformacje wyrażenia trygonometryczne można zastosować następujące techniki algebraiczne: dodawanie i odejmowanie tych samych wyrazów; wyciągnięcie wspólnego czynnika z nawiasów; mnożenie i dzielenie przez tę samą kwotę; stosowanie skróconych wzorów mnożenia; wybór pełnego kwadratu; rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego; wprowadzenie nowych zmiennych w celu uproszczenia przekształceń.

Konwertując wyrażenia trygonometryczne, które zawierają ułamki, można użyć właściwości proporcji, redukcji ułamków lub konwersji ułamków na wspólny mianownik. Ponadto można użyć wyboru części całkowitej ułamka, mnożąc licznik i mianownik ułamka o tę samą kwotę i, jeśli to możliwe, wziąć pod uwagę jednorodność licznika lub mianownika. W razie potrzeby ułamek można przedstawić jako sumę lub różnicę kilku prostszych ułamków.

Ponadto, stosując wszystkie niezbędne metody konwersji wyrażeń trygonometrycznych, konieczne jest ciągłe uwzględnianie zakresu dopuszczalnych wartości konwertowanych wyrażeń.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1.

Oblicz А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Decyzja.

Wynika to z formuł redukcyjnych:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Stąd dzięki formułom dodawania argumentów i podstawowej tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Zamień wyrażenie М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ na iloczyn.

Decyzja.

Ze wzorów na dodawanie argumentów i wzorów na przekształcanie sumy funkcji trygonometrycznych w iloczyn po odpowiednim zgrupowaniu otrzymaliśmy

М \u003d (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Odpowiedź: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Przykład 3.

Pokaż, że wyrażenie A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) przyjmuje dla wszystkich x od R jeden i to samo znaczenie. Znajdź tę wartość.

Decyzja.

Oto dwa sposoby rozwiązania tego problemu. Stosując pierwszą metodę, wybierając pełny kwadrat i używając odpowiednich podstawowych wzorów trygonometrycznych, otrzymujemy

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Grzech 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Rozwiązując problem w drugi sposób, rozważ A jako funkcję x z R i oblicz jej pochodną. Po transformacjach otrzymujemy

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Grzech 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Stąd, na podstawie kryterium stałości funkcji różniczkowalnej na przedziale, wnioskujemy, że

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Odpowiedź: A \u003d 3/4 dla x € R.

Główne metody udowodnienia tożsamości trygonometrycznych to:

i) zredukowanie lewej strony tożsamości do prawej poprzez odpowiednie przekształcenia;
b) redukcja prawej strony tożsamości do lewej;
w) redukcja prawej i lewej strony tożsamości do tego samego rodzaju;
re) zredukowanie do zera różnicy między lewą a prawą stroną dowodzonej tożsamości.

Przykład 4.

Sprawdź, czy cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Decyzja.

Przekształcając prawą stronę tej tożsamości zgodnie z odpowiednimi wzorami trygonometrycznymi, mamy

4 cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Prawa strona tożsamości została zredukowana do lewej.

Przykład 5.

Udowodnić, że sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2, jeśli α, β, γ są kątami wewnętrznymi jakiegoś trójkąta.

Decyzja.

Biorąc pod uwagę, że α, β, γ to kąty wewnętrzne jakiegoś trójkąta, otrzymujemy to

α + β + γ \u003d π i stąd γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Udowodniono oryginalną równość.

Przykład 6.

Aby udowodnić, że aby jeden z kątów α, β, γ trójkąta wynosił 60 °, konieczne i wystarczające jest, aby sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Decyzja.

Stan tego problemu zakłada zarówno konieczność, jak i wystarczalność.

Najpierw udowadniamy konieczność.

Można to wykazać

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Zatem biorąc pod uwagę, że cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, otrzymujemy, że jeśli jeden z kątów α, β lub γ wynosi 60 °, to

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, a zatem sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Udowodnijmy teraz adekwatność określony stan.

Jeśli sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0, to cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0, a zatem

albo cos (3α / 2) \u003d 0, albo cos (3β / 2) \u003d 0, albo cos (3γ / 2) \u003d 0.

W związku z tym,

lub 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, czyli α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

lub 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, tj. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

lub 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

te. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, gdzie k ϵ Z.

Ponieważ α, β, γ są kątami trójkąta, mamy

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Dlatego dla α \u003d π / 3 + 2πk / 3 lub β \u003d π / 3 + 2πk / 3 lub

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 ze wszystkich kϵZ pasuje tylko k \u003d 0.

Stąd wynika, że \u200b\u200balbo α \u003d π / 3 \u003d 60 °, albo β \u003d π / 3 \u003d 60 °, albo γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Oświadczenie jest udowodnione.

Wciąż masz pytania? Nie wiesz, jak uprościć wyrażenia trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

strona, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału, wymagany jest link do źródła.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Szkoła średnia

Nr 18 "

engels, region Saratów.

Nauczyciel matematyki.

„Wyrażenia trygonometryczne i ich transformacje”

Wprowadzenie ……………………………………………………………………… .... 3

Rozdział 1 Klasyfikacja zadań do wykorzystania przekształceń wyrażeń trygonometrycznych …………………………. …………………… ... 5

1.1. Zadania obliczeniowe wartości wyrażeń trygonometrycznych ……… .5

1.2. Zadania upraszczające wyrażenia trygonometryczne ... 7

1.3. Zadania dotyczące konwersji numerycznych wyrażeń trygonometrycznych ... ..7

1.4 Zadania mieszane ………………………………………………… ..... 9

Rozdział 2. Metodologiczne aspekty organizacji ostatecznego powtórzenia tematu „Transformacja wyrażeń trygonometrycznych” …………………………… 11

2.1 Powtórzenie tematyczne w klasie 10 ……………………………………… ... 11

Test 1 …………………………………………………………………………… ..12

Test 2 …………………………………………………………………………… ..13

Test 3 …………………………………………………………………………… ..14

2.2 Powtórzenie końcowe w klasie 11 ………………………………………… ... 15

Test 1 …………………………………………………………………………… ..17

Test 2 …………………………………………………………………………… ..17

Test 3 …………………………………………………………………………… ..18

Wniosek. …………………………………………………………………… ....... 19

Lista wykorzystanej literatury ……………………………………… .. …… .20

Wprowadzenie.

W dzisiejszych warunkach najważniejsze pytanie brzmi: „Jak możemy pomóc zlikwidować luki w wiedzy uczniów i ostrzec ich przed ewentualnymi błędami na egzaminie?” Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest poszukiwanie u studentów nie tylko formalnego przyswojenia materiału programowego, ale jego dogłębnego i świadomego zrozumienia, rozwoju szybkości ustnych obliczeń i przekształceń, a także rozwijania umiejętności rozwiązywania prostych problemów „w umyśle”. Trzeba przekonać studentów, że tylko wtedy, gdy istnieje aktywna pozycja, na studiach matematycznych, pod warunkiem nabycia praktycznych umiejętności, umiejętności i ich wykorzystania, można liczyć na prawdziwy sukces. Konieczne jest wykorzystanie każdej okazji, aby przygotować się do Jednolitego Egzaminu Państwowego, w tym przedmiotów obieralnych w klasach 10-11, regularnie analizować z uczniami trudne zadania, wybierając najbardziej racjonalny sposób rozwiązania na lekcjach i lekcjach dodatkowych.Wynik pozytywny wobszary rozwiązywania typowych problemów można osiągnąć, jeśli nauczyciele matematyki zechcą, tworząc dobre szkolenie podstawowe studentów, szukanie nowych sposobów rozwiązywania problemów, które otworzyły się przed nami, aktywnie eksperymentujemy, stosujemy nowocześnie technologie pedagogiczne, metody, techniki stwarzające dogodne warunki do efektywnej samorealizacji i samostanowienia uczniów w nowych warunkach społecznych.

Trygonometria jest integralną częścią szkolnego kursu matematyki. Dobra wiedza i solidne umiejętności w trygonometrii świadczą o wystarczającym poziomie kultury matematycznej, niezbędnym warunku pomyślnego studiowania matematyki, fizyki, szeregu technicznychdyscypliny.

Znaczenie pracy. Znaczna część absolwentów szkół wykazuje z roku na rok bardzo słabe przygotowanie w tej ważnej sekcji matematyki, o czym świadczą wyniki z lat ubiegłych (odsetek ukończenia w 2011 r. - 48,41%, 2012 r. - 51,05%), gdyż analiza zdania jednolitego egzaminu państwowego wykazała że uczniowie popełniają wiele błędów przy wykonywaniu zadań z tej części lub w ogóle nie podejmują się takich zadań. W jednym Na egzaminie państwowym pytania z trygonometrii można znaleźć w prawie trzech typach zadań. Jest to rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych w zadaniu B5 i praca z wyrażeniami trygonometrycznymi w zadaniu B7 oraz badanie funkcji trygonometrycznych w zadaniu B14 i zadaniu B12, które mają wzory opisujące zjawiska fizyczne i zawierają funkcje trygonometryczne. A to tylko część zadań B. Ale wciąż są bliscy równania trygonometryczne z wyborem pierwiastków C1 i „niezbyt ulubionymi” zadaniami geometrycznymi C2 i C4.

Cel. Analizować materiał egzaminacyjny zadania B7, poświęcone przekształceniom wyrażeń trygonometrycznych i klasyfikowaniu zadań zgodnie z formą ich prezentacji w testach.

Praca składa się z dwóch rozdziałów, wprowadzenia i zakończenia. We wstępie podkreślono znaczenie pracy. Rozdział pierwszy zawiera klasyfikację zadań do wykorzystania przekształceń wyrażeń trygonometrycznych w teście zadania egzaminu (2012).

W drugim rozdziale omówiono organizację powtarzania tematu „Transformacja wyrażeń trygonometrycznych” na 10, 11 stopni i opracowano testy na ten temat.

Lista literatury obejmuje 17 źródeł.

Rozdział 1. Klasyfikacja zadań do wykorzystania przekształceń wyrażeń trygonometrycznych.

Zgodnie ze standardem kształcenia średniego (pełnego) oraz wymaganiami dotyczącymi poziomu wykształcenia uczniów, zadania z zakresu znajomości podstaw trygonometrii zawarte są w kodyfikatorze wymagań.

Nauka podstaw trygonometrii będzie najbardziej efektywna, gdy:

zapewniona zostanie pozytywna motywacja studentów do powtarzania wcześniej studiowanego materiału;

w procesie edukacyjnym wdrożone zostanie podejście zorientowane na osobowość;

zastosowany zostanie system zadań, który przyczyni się do poszerzenia, pogłębienia, usystematyzowania wiedzy uczniów;

zastosowane zostaną zaawansowane technologie nauczania.

Po przeanalizowaniu literatury i zasobów internetowych przygotowujących do egzaminu zaproponowaliśmy jedną z możliwych klasyfikacji zadań B7 (trygonometria KIM USE 2012): zadania do obliczania wartości wyrażeń trygonometrycznych; zadania dlaprzekształcanie numerycznych wyrażeń trygonometrycznych; zadania do konwersji alfabetycznych wyrażeń trygonometrycznych; zadania mieszane.

1.1. Zadania obliczeniowe wartości wyrażeń trygonometrycznych.

Jednym z najczęstszych typów prostych problemów trygonometrycznych jest obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych na podstawie wartości jednego z nich:

a) Korzystanie z podstawowej tożsamości trygonometrycznej i jej konsekwencji.

Przykład 1 ... Znajdź, jeśli
i
.

Decyzja.
,
,

Ponieważ następnie
.

Odpowiedź.

Przykład 2 ... Odnaleźć
, Jeśli
i.

Decyzja.
,
,
.

Ponieważ następnie
.

Odpowiedź. ...

b) Używanie wzorów z podwójnym kątem.

Przykład 3 ... Odnaleźć
, Jeśli
.

Decyzja. , .

Odpowiedź.
.

Przykład 4 ... Znajdź znaczenie wyrażenia
.

Decyzja. ...

Odpowiedź.
.

1. Odnaleźć , Jeśli
i
... Odpowiedź. -0,2

2. Odnaleźć , Jeśli
i
... Odpowiedź. 0,4

3. Odnaleźć
, Jeśli . Odpowiedź. -12,884. Odnaleźć
, Jeśli
... Odpowiedź. -0,845. Znajdź znaczenie wyrażenia:
... Odpowiedź. 66. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. -dziewiętnaście

1.2. Zadania upraszczające wyrażenia trygonometryczne. Formuły odlewania powinny być dobrze opanowane przez studentów, ponieważ znajdą dalsze zastosowanie na lekcjach geometrii, fizyki i innych pokrewnych dyscyplin.

Przykład 5 . Uprość wyrażenia
.

Decyzja. ...

Odpowiedź.
.

Zadania samopomocy:

1. Uprość wyrażenie
. Odpowiedź. 0.62. Odnaleźć
, Jeśli
i ... Odpowiedź. 10,563. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. 2

1.3. Zadania konwersji numerycznych wyrażeń trygonometrycznych.

Ćwicząc umiejętności i zdolności zadań do transformacji numerycznych wyrażeń trygonometrycznych, należy zwrócić uwagę na znajomość tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, własności parzystości i okresowości funkcji trygonometrycznych.

a) Używanie dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych kątów.

Przykład 6 ... Oblicz
.

Decyzja.
.

Odpowiedź.
.

b) Korzystanie z właściwości parzystości funkcje trygonometryczne.

Przykład 7 ... Oblicz
.

Decyzja. .

Odpowiedź.

w) Korzystanie z właściwości okresowościfunkcje trygonometryczne.

Przykład 8 . Znajdź znaczenie wyrażenia
.

Decyzja. ...

Odpowiedź.
.

Zadania samopomocy:

1. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. -40,52. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. 17

3. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. 6

. Odpowiedź. -24
Odpowiedź. -64

1.4 Zadania mieszane.

Testowa forma certyfikacji ma bardzo istotne cechy, dlatego warto zwrócić uwagę na zadania związane z jednoczesnym stosowaniem kilku wzorów trygonometrycznych.

Przykład 9. Odnaleźć
, Jeśli
.

Decyzja.
.

Odpowiedź.
.

Przykład 10 ... Odnaleźć
, Jeśli
i
.

Decyzja. .

Ponieważ następnie
.

Odpowiedź.
.

Przykład 11. Odnaleźć
, Jeśli .

Decyzja. , ,
,
,
,
,
.

Odpowiedź.

Przykład 12. Oblicz
.

Decyzja. .

Odpowiedź.
.

Przykład 13. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
.

Decyzja. .

Odpowiedź.
.

Zadania samopomocy:

1. Odnaleźć
, Jeśli
. Odpowiedź. -1,75
2. Odnaleźć
, Jeśli
. Odpowiedź. 33. Znajdź
, Jeśli . Odpowiedź. 0,254. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. 0.35. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. pięć

Rozdział 2. Metodologiczne aspekty organizacji ostatecznego powtórzenia tematu „Transformacja wyrażeń trygonometrycznych”.

Jedną z najważniejszych kwestii wpływających na dalszy wzrost wyników w nauce, zdobywanie głębokiej i trwałej wiedzy wśród studentów, jest kwestia powtarzania wcześniej przekazanego materiału. Praktyka pokazuje, że bardziej celowe jest zorganizowanie powtórki tematycznej w klasie 10; w klasie 11 - powtarzanie końcowe.

2.1. Powtórzenie tematyczne w klasie 10.

W procesie pracy nad materiałem matematycznym szczególnie ważne staje się powtarzanie każdego ukończonego tematu lub całej sekcji kursu.

Przy powtarzaniu tematycznym wiedza studentów na dany temat jest usystematyzowana na końcowym etapie jego zaliczania lub po przerwie.

W przypadku powtarzania tematycznego przydzielane są specjalne lekcje, na których koncentruje się i uogólnia materiał jednego tematu.

Powtarzanie na lekcji odbywa się poprzez rozmowę z dużym zaangażowaniem uczniów w tę rozmowę. Następnie uczniowie proszeni są o powtórzenie określonego tematu i są ostrzegani, że zostaną przeprowadzone testy.

Test na dany temat powinien zawierać wszystkie podstawowe pytania. Po zakończeniu pracy analizuje się charakterystyczne błędy i organizuje powtórzenia w celu ich wyeliminowania.

Na lekcje powtarzania tematycznego oferujemy opracowane papiery testowena temat „Konwersja wyrażeń trygonometrycznych”.

Test nr 1

Numer testu 2

Numer testu 3

Tabela odpowiedzi

Test

2.2. Powtórzenie końcowe w klasie 11.

Ostateczne powtórzenie odbywa się na ostatnim etapie nauki głównych zagadnień kursu matematyki i odbywa się w logicznym związku z studiowaniem materiału edukacyjnego dla tej części lub całego kursu.

Ostateczne powtórzenie materiału szkoleniowego ma następujące cele:

1. Uruchomienie materiału całego szkolenia w celu wyjaśnienia jego logicznej struktury i zbudowania systemu w ramach powiązań przedmiotowych i międzyprzedmiotowych.

2. Pogłębienie iw miarę możliwości poszerzenie wiedzy studentów na temat głównych zagadnień przedmiotu w procesie powtarzania.

W związku z obowiązkowym egzaminem z matematyki dla wszystkich absolwentów stopniowe wprowadzanie Ujednoliconego Egzaminu Państwowego wymusza na nauczycielach nowe podejście do przygotowywania i prowadzenia lekcji, z uwzględnieniem konieczności opanowania przez wszystkich uczniów materiału edukacyjnego na poziomie podstawowym, a także możliwości dla zmotywowanych uczniów zainteresowanych uzyskaniem wysokich wyników na przyjęcie na uczelnię, dynamiczny postęp w opanowaniu materiału na zaawansowanym i wysokim poziomie.

W lekcjach z ostatniego powtórzenia możesz rozważyć następujące zadania:

Przykład 1 . Oblicz wartość wyrażenia.Decyzja. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Odpowiedź. 0.5. Przykład 2. Określ największą wartość całkowitą, jaką może przyjąć wyrażenie
.

Decyzja. Tak jak
może mieć dowolną wartość, człon [-1; 1], więc
przyjmuje dowolną wartość segmentu [–0,4; 0.4]. Wartość całkowita wyrażenia to jeden - liczba 4.

Odpowiedź: 4 Przykład 3 . Uprość wyrażenie
.

Rozwiązanie: Skorzystajmy ze wzoru na faktorowanie sumy kostek: Mamy

Mamy:
.

Odpowiedź 1

Przykład 4. Oblicz
.

Decyzja. ...

Odpowiedź: 0,28

Na lekcjach końcowego powtórzenia proponujemy opracowane testy na temat "Transformacja wyrażeń trygonometrycznych".

Wprowadź największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą 1

Wniosek.

Po zapoznaniu się z odpowiednią literaturą metodologiczną na ten temat możemy stwierdzić, że umiejętność i umiejętności rozwiązywania zadań związanych z transformacjami trygonometrycznymi na szkolnym kursie matematyki są bardzo ważne.

W trakcie wykonanej pracy dokonano klasyfikacji zadań B7. Uważane wzory trygonometryczne najczęściej używane w 2012 CMM. Podano przykłady zadań z rozwiązaniami. W celu uporządkowania powtórzeń i usystematyzowania wiedzy w ramach przygotowań do egzaminu opracowano testy różniczkowalne.

Wskazane jest kontynuowanie rozpoczętej pracy od rozważenia rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych w zadaniu B5, badanie funkcji trygonometrycznych w zadaniu B14, zadaniu B12, które zawierają wzory opisujące zjawiska fizyczne oraz funkcje trygonometryczne.

Podsumowując, chciałbym zauważyć, że skuteczność zdania Jednolitego Egzaminu Państwowego w dużej mierze zależy od tego, jak efektywnie zorganizowany jest proces przygotowawczy na wszystkich poziomach edukacji, ze wszystkimi kategoriami uczniów. A jeśli uda nam się wykształcić w uczniach samodzielność, odpowiedzialność i gotowość do dalszej nauki przez całe życie, to nie tylko wypełnimy porządek państwa i społeczeństwa, ale też podniesiemy naszą samoocenę.

Powtarzanie materiałów edukacyjnych wymaga nauczyciela kreatywna praca... Musi zapewnić wyraźne powiązanie między rodzajami powtórzeń, wdrożyć głęboko przemyślany system powtórzeń. Opanowanie sztuki organizowania powtórzeń jest zadaniem nauczyciela. Siła wiedzy uczniów w dużej mierze zależy od jej rozwiązania.

Literatura.

Vygodsky Ya.Ya., Podręcznik matematyki elementarnej. -M .: Nauka, 1970.

Zagadnienia o podwyższonym stopniu trudności algebry i zasady analizy: Podręcznik dla klas 10-11 liceum / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. - M.: Edukacja, 1990.

Zastosowanie podstawowych wzorów trygonometrycznych do transformacji wyrażeń (klasa 10) // Festiwal pomysłów pedagogicznych. 2012-2013.

A.G. Koryanov , Prokofiev A.A. Do egzaminu przygotowujemy dobrych i znakomitych studentów. - M .: Uniwersytet Pedagogiczny "Pierwszy września 2012 r." - 103 pkt.

Kuznetsova E.N. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych różnymi metodami (przygotowanie do egzaminu). 11 Klasa. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 Problemy konkurencji w matematyce. 4 im., Rev. i dodaj. - M .: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Metodyczne problemy nauki trygonometrii w szkole średniej // Matematyka w szkole. 2002. Nr 6.

Pichurin L.F. O trygonometrii i nie tylko: -M. Edukacja, 1985

Reshetnikov N.N. Trygonometria w szkole: -M. : Uniwersytet Pedagogiczny "Pierwszy września 2006", lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematyka. Algebra. Początek analizy matematycznej Poziom profilu: podręcznik dla klasy 10 - M .: BINOM. Laboratorium wiedzy, 2007.

Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminu.

Przygotowanie do Unified State Exam z matematyki „Och, ta trygonometria! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Projekt „Matematyka? Łatwo !!!”http://www.resolventa.ru/

Sekcje: Matematyka

Klasa: 11

Lekcja 1

Temat: Ocena 11 (przygotowanie do egzaminu)

Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych.

Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych. (2 godziny)

Cele:

• Systematyzacja, uogólnienie, poszerzenie wiedzy i umiejętności studentów związanych ze stosowaniem wzorów trygonometrycznych i rozwiązywaniem najprostszych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

1. Moment organizacyjny
2. Testowanie na laptopach. Dyskusja wyników.
3. Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
4. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych
5. Niezależna praca.
6. Podsumowanie lekcji. Wyjaśnienie przeznaczenia domu.

1. Moment organizacyjny. (2 minuty.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji, przypomina o poprzednim zadaniu polegającym na powtarzaniu wzorów trygonometrycznych i przygotowuje uczniów do testów.

2. Testowanie. (15 min + 3 min dyskusji)

Celem jest sprawdzenie znajomości wzorów trygonometrycznych i umiejętności ich zastosowania. Każdy student ma na swoim biurku laptop z wersją testową.

Opcji może być tyle, ile chcesz, podam przykład jednej z nich:

Wariant I.

Uprość wyrażenia:

a) podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) wzory na dodawanie

3.sin5x - sin3x;

c) przeliczenie iloczynu na sumę

6.2sin8y przytulny;

d) wzory z podwójnym kątem

7,2sin5x cos5x;

e) wzory półkątowe

f) wzory z potrójnym kątem

g) podstawienie uniwersalne

h) obniżenie stopnia

16. cos 2 (3x / 7);

Uczniowie korzystający z laptopa widzą swoje odpowiedzi przy każdej formule.

Praca jest natychmiast sprawdzana przez komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie, aby wszyscy mogli je zobaczyć.

Również po zakończeniu pracy na laptopach uczniów pojawiają się prawidłowe odpowiedzi. Każdy uczeń widzi, gdzie popełniono błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 min.)

Celem jest przegląd, przećwiczenie i utrwalenie stosowania podstawowych wzorów trygonometrycznych. Rozwiązywanie zadań B7 z egzaminu.

Na tym etapie warto podzielić klasę na grupy silnych (samodzielna praca z późniejszą weryfikacją) i słabych, pracujących z lektorem.

Zadanie dla silnie uczących się (przygotowane wcześniej na podstawie drukowanej). Główny nacisk kładziony jest na formuły redukcji i podwójnego kąta, zgodnie z egzaminem 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych uczniów):

Równolegle nauczyciel pracuje ze słabymi uczniami, omawiając i rozwiązując zadania na ekranie pod dyktando uczniów.

Oblicz:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Uproszczać:

Przyszła kolej na dyskusję nad wynikami pracy silnej grupy.

Na ekranie pojawiają się odpowiedzi, a także za pomocą kamery wideo prezentowane są prace 5 różnych uczniów (po jednym zadaniu dla każdego).

Słaba grupa widzi stan i sposób rozwiązania. Trwają dyskusje i analizy. Przy użyciu środków technicznych dzieje się to szybko.

4. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych. (30 minut.)

Celem jest powtórzenie, usystematyzowanie i uogólnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych, zapisanie ich pierwiastków. Rozwiązanie problemu B3.

Każde równanie trygonometryczne, bez względu na to, jak je rozwiążemy, prowadzi do najprostszego.

Realizując zadanie, studenci powinni być zainteresowani zapisem pierwiastków równań przypadków szczególnych i ogólnej postaci oraz wyborem pierwiastków w ostatnim równaniu.

Rozwiąż równania:

Zapisz w odpowiedzi najmniejszy pozytywny pierwiastek.

5. Samodzielna praca (10 min.)

Celem jest sprawdzenie nabytych umiejętności, identyfikacja problemów, błędów i sposobów ich eliminacji.

Na życzenie studenta oferowane są prace na różnych poziomach.

Opcja dla „3”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rozwiąż równanie

Opcja dla „4”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Rozwiąż równanie Zapisz najmniejszy pozytywny pierwiastek w odpowiedzi.

Opcja dla „5”

1) Znajdź tgα, jeśli

2) Znajdź pierwiastek równania Zapisz najmniejszy pozytywny pierwiastek swojej odpowiedzi.

6. Podsumowanie lekcji (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje fakt, że na lekcji powtórzyli i skonsolidowali wzory trygonometryczne, rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.

Zadanie domowe (przygotowane wcześniej na podstawie wydruku) z wyrywkowymi kontrolami na następnej lekcji.

Rozwiąż równania:

9)

10) Wskaż najmniejszy pozytywny pierwiastek w swojej odpowiedzi.

Sesja 2

Temat: Ocena 11 (przygotowanie do egzaminu)

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybór korzeni. (2 godziny)

Cele:

• Uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy na temat rozwiązywania różnych typów równań trygonometrycznych.
• Promowanie rozwoju matematycznego myślenia uczniów, umiejętności obserwacji, porównywania, generalizowania, klasyfikowania.
• Zachęcaj uczniów do pokonywania trudności w procesie aktywności umysłowej, do samokontroli, introspekcji swoich działań.

Sprzęt do lekcji: KRMu, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

1. Moment organizacyjny
2. Dyskusja d / h i samot. prace z ostatniej lekcji
3. Powtórzenie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
5. Wybór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych.
6. Niezależna praca.
7. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.

1. Moment organizacyjny (2 min.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji i plan pracy.

2. a) Powtórzenie pracy domowej (5 min.)

Celem jest sprawdzenie wykonania. Jedna praca za pomocą kamery wideo jest wyświetlana na ekranie, reszta jest selektywnie zbierana do sprawdzenia przez nauczyciela.

b) Analiza pracy samodzielnej (3 min.)

Celem jest analiza błędów, wskazanie sposobów ich przezwyciężenia.

Na ekranie, odpowiedzi i rozwiązania, studenci mają przypisaną pracę. Analiza postępuje szybko.

3. Powtórzenie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie znają metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Podkreśl, że istnieją tak zwane podstawowe (często stosowane) metody:

• zmienna wymiana,
• faktoryzacja,
• równania jednorodne,

i są stosowane metody:

• według wzorów na przeliczenie sumy na iloczyn i iloczynu na sumę,
• przez formuły redukcji stopnia,
• uniwersalne podstawienie trygonometryczne
• wprowadzenie kąta pomocniczego,
• mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną.

Należy również pamiętać, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest uogólnienie i utrwalenie wiedzy i umiejętności na ten temat, przygotowanie do decyzji C1 z egzaminu.

Uważam za celowe rozwiązanie równań dla każdej metody razem z uczniami.

Uczeń dyktuje rozwiązanie, nauczyciel zapisuje na tablecie, cały proces jest wyświetlany na ekranie. Umożliwi to szybkie i sprawne przywołanie wcześniej pokrytego materiału.

Rozwiąż równania:

1) zmiana zmiennej 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) faktoring 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) równania jednorodne sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) przeliczenie sumy na iloczyn cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) przeliczając iloczyn na sumę 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) obniżenie mocy sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) uniwersalne podstawienie trygonometryczne sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Rozwiązując to równanie, należy zauważyć, że zastosowanie tej metody prowadzi do zawężenia domeny definicji, ponieważ sinus i cosinus zastępujemy tg (x / 2). Dlatego przed wypisaniem odpowiedzi należy sprawdzić, czy liczby ze zbioru π + 2πn, n Z są końmi tego równania.

8) wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Wybór pierwiastków równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w warunkach zaciekłej konkurencji przy wchodzeniu na uczelnię nie wystarczy rozwiązanie jednej pierwszej części egzaminu, więc większość studentów powinna zwrócić uwagę na zadania z części drugiej (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu lekcji jest przywołanie wcześniej studiowanego materiału, przygotowanie do rozwiązania zadania C1 z USE 2011.

Istnieją równania trygonometryczne, w których musisz wybrać pierwiastki podczas pisania odpowiedzi. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik ułamka nie jest zerem, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym jest nieujemne, wyrażenie pod znakiem logarytmu jest dodatnie itp.

Takie równania są uważane za równania o zwiększonej złożoności iw wersji egzaminu znajdują się w drugiej części, a mianowicie C1.

Rozwiązać równanie:

Ułamek wynosi zero, jeśli wtedy używając koła jednostkowego, wybieramy pierwiastki (patrz rysunek 1)

Obrazek 1.

otrzymujemy x \u003d π + 2πn, n Z

Odpowiedź: π + 2πn, n Z

Na ekranie wybór korzeni jest pokazany w kółku na kolorowym obrazku.

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, a łuk nie traci znaczenia. Następnie

Wybierz korzenie za pomocą koła jednostkowego (patrz rysunek 2)