Formuły odlewania Arctg. Trygonometria. Odwrotne funkcje trygonometryczne. Odwrotne wykresy funkcji trygonometrycznych

Definicja i notacja

Arcsine (y \u003d arcsin x) jest odwrotną funkcją sinusoidalną (x \u003d sin y -1 ≤ x ≤ 1 i zbiór wartości -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
sin (arcsin x) \u003d x ;
arcsin (sin x) \u003d x .

Arcsine jest czasami oznaczany następująco:
.

Wykres funkcji Arcsine

Wykres funkcji y \u003d arcsin x

Wykres łukowy uzyskuje się z wykresu sinusoidalnego poprzez zamianę osi odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości jest ograniczony interwałem, w którym funkcja jest monotoniczna. Ta definicja nazywana jest główną wartością arcus sinusa.

Arccosine, arccos

Definicja i notacja

Arccosine (y \u003d arccos x) jest funkcją odwrotną do cosinusa (x \u003d przytulny). Ma zakres -1 ≤ x ≤ 1 i wiele znaczeń 0 ≤ y ≤ π.
cos (arccos x) \u003d x ;
arccos (cos x) \u003d x .

Arccosine jest czasami oznaczany w następujący sposób:
.

Wykres funkcji Arccosine

Wykres funkcji y \u003d arccos x

Wykres arccosine jest uzyskiwany z wykresu cosinusowego przez zamianę osi odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości jest ograniczony interwałem, w którym funkcja jest monotoniczna. Ta definicja nazywana jest główną wartością arccosine.

Parytet

Funkcja arcus sinus jest dziwna:
arcsin (- x) \u003d arcsin (-sin arcsin x) \u003d arcsin (sin (-arcsin x)) \u003d - arcsin x

Odwrotna funkcja cosinus nie jest parzysta ani nieparzysta:
arccos (- x) \u003d arccos (-cos arccos x) \u003d arccos (cos (π-arccos x)) \u003d π - arccos x ≠ ± arccos x

Właściwości - ekstrema, wzrost, spadek

Odwrotne funkcje sinusowe i odwrotne funkcje cosinusowe są ciągłe w swojej domenie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości arcus sinusa i arcus sinusa przedstawiono w tabeli.

	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x
Zakres i ciągłość	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Zakres wartości
Zwiększyć zmniejszyć	rośnie monotonicznie	maleje monotonicznie
Wzloty
Minimum
Zera, y \u003d 0	x \u003d 0	x \u003d 1
Punkty przecięcia z osią y, x \u003d 0	y \u003d 0	y \u003d π / 2

Tablica arcus sinus i arccosine

Ta tabela pokazuje wartości łuków i łuków, w stopniach i radianach, dla niektórych wartości argumentu.

x	arcsin x		arccos x
	grad.	zadowolony.	grad.	zadowolony.
- 1	- 90 °	-	180 °	π
-	- 60 °	-	150 °
-	- 45 °	-	135 °
-	- 30 °	-	120 °
0	0°	0	90 °
	30 °		60 °
	45 °		45 °
	60 °		30 °
1	90 °		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formuły

Zobacz też: Wyprowadzenie wzorów na odwrotne funkcje trygonometryczne

Wzory na sumę i różnice

w lub

w i

w i

w lub

w i

w i

w

w

w

w

Wyrażenia logarytmiczne, liczby zespolone

Zobacz też: Wyprowadzanie wzorów

Wyrażenia w zakresie funkcji hiperbolicznych

Pochodne

;
.
Zobacz Pochodne arcusine i arccosine \u003e\u003e\u003e

Pochodne wyższego rzędu:
,
gdzie jest wielomian stopnia. Decydują o tym wzory:
;
;
.

Zobacz Wyprowadzanie pochodnych arcus sinusa i arcus sinusa wyższego rzędu \u003e\u003e\u003e

Całki

Podstawienie x \u003d sin t... Całkujemy przez części, biorąc pod uwagę, że -π / 2 ≤ t ≤ π / 2, cos t ≥ 0:
.

Wyraźmy odwrotny cosinus poprzez odwrotny sinus:
.

Rozszerzenie serii

Dla | x |< 1 zachodzi następujący rozkład:
;
.

Funkcje odwrotne

Odwrotność odwrotnego sinusa i odwrotnego cosinusa to odpowiednio sinus i cosinus.

W całej domenie obowiązują następujące formuły:
sin (arcsin x) \u003d x
cos (arccos x) \u003d x .

Poniższe formuły są ważne tylko w zbiorze wartości arcus sinus i arcus sinus:
arcsin (sin x) \u003d x w
arccos (cos x) \u003d x w.

Bibliografia:
W. Bronstein, K.A. Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów instytucji technicznych, „Lan”, 2009.

Zobacz też:

Odwrotne funkcje trygonometryczne to funkcje matematyczne, które są odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi.

Funkcja y \u003d arcsin (x)

Sinus łukowy liczby α jest liczbą α z przedziału [-π / 2; π / 2], którego sinus jest równy α.
Wykres funkcji
Funkcja y \u003d sin\u2061 (x) na odcinku [-π / 2; π / 2] jest ściśle rosnąca i ciągła; stąd ma funkcję odwrotną, ściśle rosnącą i ciągłą.
Funkcja odwrotna dla funkcji y \u003d sin\u2061 (x), gdzie х ∈ [-π / 2; π / 2], nazywa się arcus sinus i jest oznaczona przez y \u003d arcsin (x), gdzie х∈ [-1; 1].
Zatem, zgodnie z definicją funkcji odwrotnej, dziedziną definicji arcus sinusa jest segment [-1; 1], a zbiorem wartości jest segment [-π / 2; π / 2].
Zwróć uwagę, że wykres funkcji y \u003d arcsin (x), gdzie x ∈ [-1; 1]. Jest symetryczny z wykresem funkcji y \u003d sin (\u2061x), gdzie x ∈ [-π / 2; π / 2], względem dwusiecznej kątów współrzędnych kwartał pierwszy i trzeci.

Zakres funkcji y \u003d arcsin (x).

Przykład 1.

Znajdź arcsin (1/2)?

Ponieważ zakres wartości funkcji arcsin (x) należy do przedziału [-π / 2; π / 2], odpowiednia jest tylko wartość π / 6. W konsekwencji arcsin (1/2) \u003d π / 6.
Odpowiedź: π / 6

Przykład nr 2.
Znajdź arcsin (- (√3) / 2)?

Ponieważ zakres wartości arcsin (x) х ∈ [-π / 2; π / 2], odpowiednia jest tylko wartość -π / 3. Dlatego arcsin (- (√3) / 2) \u003d - π / 3.

Funkcja y \u003d arccos (x)

Odwrotny cosinus liczby α to liczba α z przedziału, którego cosinus jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja y \u003d cos (\u2061x) na segmencie jest ściśle malejąca i ciągła; stąd ma funkcję odwrotną, ściśle malejącą i ciągłą.
Wywoływana jest funkcja odwrotna dla funkcji y \u003d cos\u2061x, gdzie x ∈ odwrotny cosinus i jest oznaczony przez y \u003d arccos (x), gdzie х ∈ [-1; 1].
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji arccosine jest segment [-1; 1], a zbiorem wartości jest segment.
Zauważ, że wykres funkcji y \u003d arccos (x), gdzie x ∈ [-1; 1], jest symetryczny do wykresu funkcji y \u003d cos (\u2061x), gdzie x ∈, względem dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Dziedzina funkcji y \u003d arccos (x).

Przykład nr 3.

Znajdź arccos (1/2)?

Ponieważ zakres wartości to arccos (x) х∈, odpowiednia jest tylko wartość π / 3, dlatego arccos (1/2) \u003d π / 3.
Przykład nr 4.
Znajdź arccos (- (√2) / 2)?

Ponieważ zakres wartości funkcji arccos (x) należy do przedziału, odpowiednia jest tylko wartość 3π / 4, dlatego arccos (- (√2) / 2) \u003d 3π / 4.

Odpowiedź: 3π / 4

Funkcja y \u003d arctan (x)

Arcus tangens liczby α jest liczbą α z przedziału [-π / 2; π / 2], którego tangens jest równy α.

Wykres funkcji

Funkcja styczna jest ciągła i ściśle rosnąca na przedziale (-π / 2; π / 2); stąd ma funkcję odwrotną, która jest ciągła i ściśle rosnąca.
Funkcja odwrotna dla funkcji y \u003d tg\u2061 (x), gdzie х∈ (-π / 2; π / 2); nazywany jest arcus tangensem i oznaczany przez y \u003d arctan (x), gdzie х∈R.
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji arcus tangensa jest przedział (-∞; + ∞), a zbiorem wartości jest przedział
(-π / 2; π / 2).
Zauważ, że wykres funkcji y \u003d arctan (x), gdzie х∈R, jest symetryczny do wykresu funkcji y \u003d tg\u2061x, gdzie х ∈ (-π / 2; π / 2), względem dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y \u003d arctan (x).

Przykład nr 5?

Znajdź arctan ((√3) / 3).

Ponieważ zakres wartości arctan (x) х ∈ (-π / 2; π / 2), odpowiednia jest tylko wartość π / 6. W konsekwencji arctg ((√3) / 3) \u003d π / 6.
Przykład nr 6.
Znajdź arctg (-1)?

Ponieważ zakres wartości arctan (x) x ∈ (-π / 2; π / 2), to odpowiednia jest tylko wartość -π / 4. Dlatego arctg (-1) \u003d - π / 4.

Funkcja y \u003d arcctg (x)

Arccotangens liczby α to liczba α z przedziału (0; π), którego cotangens to α.

Wykres funkcji

Na przedziale (0; π) funkcja cotangens ściśle maleje; ponadto jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału; dlatego w przedziale (0; π) funkcja ta ma funkcję odwrotną, która jest ściśle malejąca i ciągła.
Funkcja odwrotna dla funkcji y \u003d ctg (x), gdzie х ∈ (0; π), nazywana jest cotangens łuku i jest oznaczona przez y \u003d arcctg (x), gdzie х∈R.
Zatem zgodnie z definicją funkcji odwrotnej dziedziną definicji cotangens łuku jest R, a zbiorem wartości jest przedział (0; π) .Wykres funkcji y \u003d arcctg (x), gdzie х∈R jest symetryczny do wykresu funkcji y \u003d ctg (x) х∈ (0 ; π), względem dwusiecznej kątów współrzędnych pierwszej i trzeciej ćwiartki.

Zakres funkcji y \u003d arcctg (x).

Przykład nr 7.
Znajdź arcctg ((√3) / 3)?

Ponieważ zakres wartości to arcctg (x) х ∈ (0; π), to tylko π / 3 jest odpowiednie; dlatego arccos ((√3) / 3) \u003d π / 3.

Przykład nr 8.
Znajdź arcctg (- (√3) / 3)?

Ponieważ zakres wartości to arcctg (x) х∈ (0; π), odpowiednia jest tylko wartość 2π / 3; dlatego arccos (- (√3) / 3) \u003d 2π / 3.

Redaktorzy: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

W tej lekcji przyjrzymy się funkcjom funkcje odwrotne i powtórz odwrotne funkcje trygonometryczne... Własności wszystkich głównych odwrotnych funkcji trygonometrycznych zostaną rozważone osobno: arcus sinus, arccosine, arcus tangens i arccotangens.

Ta lekcja pomoże ci przygotować się do jednego z rodzajów zadań W 7 i C1.

Przygotowanie do egzaminu z matematyki

Eksperyment

Lekcja 9. Odwrotne funkcje trygonometryczne.

Teoria

Podsumowanie lekcji

Pamiętajmy, kiedy natkniemy się na takie pojęcie, jak funkcja odwrotna. Na przykład rozważmy funkcję do kwadratu. Załóżmy, że mamy kwadratowy pokój o bokach 2 metrów i chcemy obliczyć jego powierzchnię. Aby to zrobić, korzystając ze wzoru na kwadrat kwadratu, podnosimy te dwie do kwadratu, w wyniku czego otrzymujemy 4 m 2. Teraz wyobraź sobie odwrotny problem: znamy powierzchnię kwadratowego pokoju i chcemy obliczyć długości jego boków. Jeśli wiemy, że powierzchnia jest nadal taka sama 4 m 2, to wykonujemy akcję odwrotną do kwadratu - wyodrębnienie arytmetyki pierwiastek kwadratowy, co da nam wartość 2 m.

Tak więc, w przypadku funkcji podniesienia liczby do kwadratu, funkcją odwrotną jest wyodrębnienie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego.

W szczególności w powyższym przykładzie nie mieliśmy problemów z obliczeniem strony pomieszczenia, ponieważ rozumiemy, że jest to liczba dodatnia. Jeśli jednak odejdziemy od tego przypadku i rozważymy problem w bardziej ogólny sposób: „Oblicz liczbę, której kwadrat wynosi cztery”, staniemy przed problemem - są dwie takie liczby. Są to 2 i -2, ponieważ równa się również cztery. Okazuje się, że odwrotny problem w przypadku ogólnym jest rozwiązany niejednoznacznie, a działanie polegające na wyznaczeniu liczby do kwadratu dało nam liczbę, którą znamy? ma dwa wyniki. Wygodne jest pokazanie tego na wykresie:

A to oznacza, że \u200b\u200btakiego prawa zgodności liczb nie możemy nazwać funkcją, ponieważ funkcji odpowiada jednej wartości argumentu ściśle jeden wartość funkcji.

Aby precyzyjnie wprowadzić funkcję odwrotną do kwadratu, zaproponowano pojęcie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, który daje tylko wartości nieujemne. Te. w przypadku funkcji brana jest pod uwagę funkcja odwrotna.

Podobnie, istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, nazywane są odwrotne funkcje trygonometryczne... Każda z rozważanych przez nas funkcji ma swoją własną odwrotność, nazywamy je: arcus sinus, arccosine, arcus tangens i arccotangens.

Funkcje te rozwiązują problem obliczania kątów ze znanej wartości funkcji trygonometrycznej. Na przykład, korzystając z tabeli wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych, można obliczyć sinus kąta. Znajdujemy tę wartość w linii sinusów i określamy, któremu kątowi odpowiada. Pierwszą rzeczą, na którą chcę odpowiedzieć, jest to, że jest to kąt lub, ale jeśli masz wcześniej tabelę wartości, od razu zauważysz innego pretendenta do odpowiedzi - jest to kąt lub. A jeśli pamiętamy okres sinusa, to rozumiemy, że kąty, pod którymi sinus jest równy, są nieskończone. I taki zestaw wartości kątów odpowiadający danej wartości funkcji trygonometrycznej będzie obserwowany dla cosinusów, tangensów i cotangents, ponieważ wszystkie mają okresowość.

Te. mamy do czynienia z tym samym problemem, który mieliśmy przy obliczaniu wartości argumentu z wartości funkcji dla akcji kwadratowej. I w tym przypadku, dla odwrotnych funkcji trygonometrycznych, wprowadzono ograniczenie zakresu wartości, które podają przy obliczaniu. Ta właściwość takich funkcji odwrotnych jest nazywana zawężenie zakresui konieczne jest, aby nazywać je funkcjami.

Dla każdej z odwrotnych funkcji trygonometrycznych zakres kątów, które zwraca, jest inny i rozważymy je oddzielnie. Na przykład arcus sinus zwraca wartości kątów z zakresu od do.

Umiejętność pracy z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi przyda nam się podczas rozwiązywania równania trygonometryczne.

Wskażemy teraz podstawowe właściwości każdej z odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Jeśli chcesz zapoznać się z nimi bardziej szczegółowo, zajrzyj do rozdziału „Rozwiązywanie równań trygonometrycznych” na 10 klasie.

Rozważ właściwości funkcji arcus sinus i zbuduj jej wykres.

Definicja.Arcus sinus liczbyx

Główne właściwości arcusine:

1) w,

2) w.

Podstawowe właściwości funkcji arcus sinus:

1 Zakres ;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest nieparzysta, dlatego warto osobno zapamiętać ten wzór jest przydatna do przekształceń. Zauważ również, że dziwność implikuje symetrię wykresu funkcji względem początku;

Wykreślmy funkcję:

Zauważ, że żadna z sekcji wykresu funkcji nie jest powtarzana, co oznacza, że \u200b\u200barcus sinus nie jest funkcją okresową, w przeciwieństwie do sinusa. To samo dotyczy wszystkich innych funkcji łuku.

Rozważ właściwości odwrotnej funkcji cosinus i zbuduj jej wykres.

Definicja.Liczba Arccosinex nazywana jest wartością kąta y, dla którego. Ponadto jako ograniczenie wartości sinusa, ale jako wybrany zakres kątów.

Główne właściwości arccosine:

1) w,

2) w.

Podstawowe właściwości odwrotnej funkcji cosinus:

1 Zakres ;

2) zakres wartości;

3) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, tj. ogólny widok ... Pożądane jest również zapamiętanie tej formuły, przyda się nam później;

4) Funkcja maleje monotonicznie.

Wykreślmy funkcję:

Rozważ właściwości funkcji arcus tangens i zbuduj jej wykres.

Definicja.Arcus tangens liczbyx nazywana jest wartością kąta y, dla którego. Co więcej, ponieważ nie ma ograniczeń co do wartości stycznych, ale jako wybrany zakres kątów.

Główne właściwości arcus tangens:

1) w,

2) w.

Główne właściwości funkcji arcus tangens:

1) zakres definicji;

2) Zakres wartości ;

3) Funkcja jest nieparzysta ... Ta formuła jest przydatna, podobnie jak podobne. Podobnie jak w przypadku sinusa łukowego, nieparzystość implikuje symetrię wykresu funkcji względem początku;

4) Funkcja rośnie monotonicznie.

Wykreślmy funkcję:

Lekcje 32-33. Odwrotne funkcje trygonometryczne

09.07.2015 8936 0

Cel, powód: rozważ odwrotne funkcje trygonometryczne, ich wykorzystanie do zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.

I. Komunikacja tematu i celu zajęć

II. Nauka nowego materiału

1. Odwrotne funkcje trygonometryczne

Rozpocznijmy dyskusję na ten temat od następującego przykładu.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie:a) sin x \u003d 1/2; b) sin x \u003d a.

a) Na rzędnej odkładamy wartość 1/2 i wykreślamy kątyx 1 i x2, dla którychsin x \u003d 1/2. Co więcej, x1 + x2 \u003d π, skąd x2 \u003d π -x 1 ... Zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych znajdujemy zatem wartość x1 \u003d π / 6Weźmy pod uwagę okresowość funkcji sinus i zapiszmy rozwiązania tego równania:gdzie k ∈ Z.

b) Jest oczywiste, że algorytm rozwiązywania równaniagrzech x \u003d a jest tym samym, co w poprzednim akapicie. Oczywiście teraz wartość a jest wykreślana wzdłuż rzędnej. Konieczne staje się wyznaczenie kąta x1. Zgodziliśmy się oznaczyć taki kąt symbolemarcsin i. Następnie rozwiązania tego równania można zapisać w postaciTe dwie formuły można połączyć w jedną:w którym

Pozostałe odwrotne funkcje trygonometryczne są przedstawione w podobny sposób.

Bardzo często konieczne jest określenie wartości kąta na podstawie znanej wartości jego funkcji trygonometrycznej. Ten problem jest wielowartościowy - istnieje niezliczona ilość kątów, których funkcje trygonometryczne mają tę samą wartość. Dlatego, wychodząc z monotoniczności funkcji trygonometrycznych, wprowadza się następujące odwrotne funkcje trygonometryczne, aby jednoznacznie określić kąty.

Arcus sinus liczby a (arcsin , którego sinus jest równy a, tj.

Liczba Arccosinea (arccos a) jest takim kątem a z przedziału, którego cosinus jest równy a, tj.

Styczna łuku liczbya (arctg a) - taki kąt a z przedziałuktórego styczna jest równa a, tj.tg a \u003d a.

Arccotangens liczbya (arcctg a) jest kątem a z przedziału (0; π), którego cotangens jest równy a, tj.ctg a \u003d a.

Przykład 2

Znajdźmy:

Biorąc pod uwagę definicje odwrotnych funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy:

Przykład 3

Obliczmy

Niech kąt a \u003d arcsin 3/5, to z definicjisin a \u003d 3/5 i ... Dlatego konieczne jest znalezieniesałata i. Korzystanie z pliku main tożsamość trygonometrycznaotrzymujemy:Wzięto pod uwagę, że cos a ≥ 0. Więc,

Właściwości funkcji	Funkcjonować
	y \u003d arcsin x	y \u003d arccos x	y \u003d arctan x	y \u003d arcctg x
Domena	x ∈ [-1; 1]	x ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; + ∞)	x ∈ (-∞ + ∞)
Zakres wartości	y ∈ [-π / 2; π / 2]	y ∈	y ∈ (-π / 2; π / 2)	y ∈ (0; π)
Parytet	Dziwny	Ani parzyste, ani nieparzyste	Dziwny	Ani parzyste, ani nieparzyste
Zera funkcji (y \u003d 0)	Dla x \u003d 0	Dla x \u003d 1	Dla x \u003d 0	y ≠ 0
Przedziały stałości	y\u003e 0 dla x ∈ (0; 1], w< 0 при х ∈ [-1; 0)	y\u003e 0 dla x ∈ [-1; 1)	y\u003e 0 dla х ∈ (0; + ∞), w< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y\u003e 0 dla x ∈ (-∞; + ∞)
Monotonia	Wzrastający	Spada	Wzrastający	Spada
Związek z funkcją trygonometryczną	sin y \u003d x	cos y \u003d x	tg y \u003d x	ctg y \u003d x
Harmonogram

Oto kilka bardziej typowych przykładów związanych z definicjami i podstawowymi właściwościami odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

Przykład 4

Znajdź dziedzinę funkcji

Aby funkcja y została zdefiniowana, nierównośćco jest równoważne z systemem nierównościRozwiązaniem pierwszej nierówności jest przedział x∈ (-∞; + ∞), drugi -Ta luka i jest rozwiązaniem systemu nierówności, a więc dziedziną definicji funkcji

Przykład 5

Znajdź obszar zmiany funkcji

Rozważ zachowanie funkcjiz \u003d 2x - x2 (patrz rysunek).

Widać, że z ∈ (-∞; 1]. Biorąc pod uwagę, że argumentz funkcja cotangens łuku zmienia się w określonych granicach, z danych w tabeli, które otrzymujemyA więc obszar zmian

Przykład 6

Udowodnijmy, że funkcja y \u003darctg x jest dziwne. ZostawiaćNastępnie tan a \u003d -x lub x \u003d - tan a \u003d tan (- a) i Dlatego - a \u003d arctan x lub a \u003d - arctan x. Tak więc to widzimyto znaczy, y (x) jest funkcją nieparzystą.

Przykład 7

Wyraźmy za pomocą wszystkich odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Zostawiać To oczywiste Potem Od

Przedstawmy kąt Tak jak następnie

Dlatego też podobnie i

Więc,

Przykład 8

Wykreślmy funkcję y \u003dcos (arcsin x).

W takim razie oznaczamy a \u003d arcsin x Bierzemy pod uwagę, że x \u003d sin a i y \u003d cos a, czyli x 2 + y2 \u003d 1 i ograniczenia dotyczące x (x∈ [-1; 1]) i y (y ≥ 0). Następnie wykres funkcji y \u003dcos (arcsin x) jest półkolem.

Przykład 9

Wykreślmy funkcję y \u003darccos (cos x).

Ponieważ funkcja cos x zmiany na odcinku [-1; 1], to funkcja y jest definiowana na całej osi numerycznej i zmienia się na segmencie. Pamiętajmy, że y \u003darccos (cos x) \u003d x na segmencie; funkcja y jest parzysta i okresowa z okresem 2π. Biorąc pod uwagę, że właściwości te posiada funkcjacos x, teraz łatwo jest wykreślić.

Zwróćmy uwagę na kilka przydatnych równości:

Przykład 10

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcjiOznaczamy następnie Otrzymujemy funkcję Ta funkcja ma minimum w punkciez \u003d π / 4 i jest równe Największą wartość funkcji uzyskuje się w punkciez \u003d -π / 2 i jest równe Tak więc i

Przykład 11

Rozwiążmy równanie

Weźmy to pod uwagę Wtedy równanie ma postać: lub skąd Z definicji arcus tangensa otrzymujemy:

2. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych

Podobnie jak w przykładzie 1, możesz uzyskać rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych.

Równanie	Decyzja
tgx \u003d a
ctg x \u003d a

Przykład 12

Rozwiążmy równanie

Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, zapisujemy równanie w postaciRozwiązania tego równania:gdzie znajdziemy

Przykład 13

Rozwiążmy równanie

Korzystając z powyższego wzoru, zapisujemy rozwiązania równania:i znajdź

Zauważ, że w szczególnych przypadkach (a \u003d 0; ± 1), podczas rozwiązywania równańsin x \u003d a i cos x \u003d i łatwiej i wygodniej jest używać nie ogólnych formuł, ale zapisywać rozwiązania na podstawie koła jednostkowego:

dla rozwiązań z równania sin х \u003d 1

dla równania sin х \u003d 0 rozwiązań х \u003d π k;

dla rozwiązań sin x \u003d -1 dla równania

dla równania cos x \u003d 1 rozwiązania x \u003d 2πk;

dla równania cos x \u003d 0 rozwiązań

dla rozwiązań równania cos x \u003d -1

Przykład 14

Rozwiążmy równanie

Ponieważ w tym przykładzie istnieje specjalny przypadek równania, to używając odpowiedniego wzoru piszemy rozwiązanie:gdzie znajdziemy

III. Pytania testowe (ankieta frontalna)

1. Podaj definicję i wypisz główne właściwości odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

2. Podaj wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.

3. Rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych.

IV. Zadanie w klasie

§ 15, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 7 a); 8 a); 12 lit. b); 13 a); 15 (c); 16 lit. a); 18 (a, b); 19 lit. c); 21;

§ 16, nr 4 (a, b); 7 a); 8 lit. b); 16 (a, b); 18 lit.a); 19 (c, d);

§ 17, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 lit. b); 10 (a, c).

V. Praca domowa

§ 15, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 lit. b); 12 lit. a); 13 lit. b); 15 (d); 16 lit. b); 18 (c, d); 19 lit. d); 22;

§ 16, nr 4 (c, d); 7 lit. b); 8 a); 16 (c, d); 18 lit. b); 19 (a, b);

§ 17, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

Vi. Zadania twórcze

1. Znajdź dziedzinę funkcji:

Odpowiedzi:

2. Znajdź zakres wartości funkcji:

Odpowiedzi:

3. Wykreśl funkcję:

VII. Podsumowując lekcje