Praca Manova "Nierówności logarytmiczne na egzaminie". Przygotowanie do egzaminu. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych i wykładniczych metodą racjonalizacji Nierówności przykłady rozwiązania zadania egzaminacyjnego 15
NIERÓWNOŚCI LOGARYTMICZNE W UŻYCIU
Sieczin Michaił Aleksandrowicz
Mała Akademia Nauk dla studentów Republiki Kazachstanu „Poszukiwacz”
MBOU "Sowieckaja liceum nr 1", klasa 11, miasto. Okręg radziecki
Gunko Ludmiła Dmitriewna, nauczyciel MBOU „Szkoła radziecka nr 1”
Okręg radziecki
Cel: badanie mechanizmu rozwiązania nierówności logarytmiczne C3 za pomocą niestandardowych metod, identyfikacja interesujące fakty logarytm.
Przedmiotem badań:
3) Naucz się rozwiązywać określone nierówności logarytmiczne C3 za pomocą niestandardowych metod.
Wyniki:
Zadowolony
Wprowadzenie ………………………………………………………………………… .4
Rozdział 1. Informacje ogólne ………………………………………………… ... 5
Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych ………………………… 7
2.1. Przejścia równoważne i uogólniona metoda interwałów …………… 7
2.2. Metoda racjonalizacji ………………………………………………… 15
2.3. Niestandardowe zastąpienie ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Misje pułapek ………………………………………………… 27
Wniosek …………………………………………………………………… 30
Literatura……………………………………………………………………. 31
Wprowadzenie
Jestem w 11 klasie i planuję wejść na uniwersytet, gdzie temat profilu to matematyka. Dlatego dużo pracuję nad problemami z części C. W zadaniu C3 trzeba rozwiązać niestandardową nierówność lub układ nierówności, zwykle kojarzony z logarytmami. Przygotowując się do egzaminu stanąłem przed problemem braku metod i technik rozwiązywania egzaminacyjnych nierówności logarytmicznych oferowanych w C3. Metody poznane w program nauczania na ten temat nie stanowią podstawy do rozwiązywania zadań C3. Nauczycielka matematyki zaprosiła mnie do samodzielnej pracy z zadaniami C3 pod jej kierunkiem. Poza tym zaciekawiło mnie pytanie: czy w naszym życiu są logarytmy?
Mając to na uwadze, wybrano temat:
„Nierówności logarytmiczne na egzaminie”
Cel: badanie mechanizmu rozwiązywania problemów C3 za pomocą niestandardowych metod, ujawniające interesujące fakty dotyczące logarytmu.
Przedmiotem badań:
1) Znajdź potrzebne informacje o niestandardowych metodach rozwiązywania nierówności logarytmicznych.
2) Znajdź więcej informacji o logarytmach.
3) Naucz się rozwiązywać określone problemy C3 przy użyciu niestandardowych metod.
Wyniki:
Praktyczne znaczenie polega na rozbudowie aparatu do rozwiązywania problemów C3. Materiał ten może być wykorzystany na niektórych lekcjach, na kółkach, zajęciach pozalekcyjnych z matematyki.
Produktem projektu będzie kolekcja „Logarytmiczne nierówności C3 z rozwiązaniami”.
Rozdział 1. Tło
W XVI wieku liczba przybliżonych obliczeń szybko rosła, głównie w astronomii. Ulepszenie instrumentów, badanie ruchów planet i inne prace wymagały kolosalnych, czasem wieloletnich, obliczeń. Astronomii groziło realne niebezpieczeństwo utonięcia w niespełnionych obliczeniach. Trudności pojawiły się w innych obszarach, na przykład w branży ubezpieczeniowej, dla różnych wartości odsetek potrzebne były tabele procentu składanego. Główną trudność stanowiło mnożenie, dzielenie liczb wielocyfrowych, zwłaszcza wielkości trygonometrycznych.
Odkrycie logarytmów zostało oparte na dobrze znanych właściwościach progresji pod koniec XVI wieku. Archimedes mówił o związku między członkami postępu geometrycznego q, q2, q3,… i arytmetycznym postępem ich wykładników 1, 2, 3,… w Psalmie. Kolejnym warunkiem było rozszerzenie pojęcia stopnia na wskaźniki ujemne i ułamkowe. Wielu autorów zwróciło uwagę, że mnożenie, dzielenie, potęgowanie i wyodrębnianie pierwiastka w sposób wykładniczy odpowiada arytmetyce - w tej samej kolejności - dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
To była idea logarytmu jako wykładnika.
W historii rozwoju nauki o logarytmach minęło kilka etapów.
Scena 1
Logarytmy zostały wynalezione nie później niż w 1594 roku, niezależnie od siebie, przez szkockiego barona Napiera (1550-1617) i dziesięć lat później przez szwajcarskiego mechanika Burghi (1552-1632). Obaj chcieli podać nowy, wygodny sposób obliczeń arytmetycznych, chociaż podeszli do tego zadania na różne sposoby. Neper wyraził kinematycznie funkcję logarytmiczną i tym samym wkroczył w nową dziedzinę teorii funkcji. Burghi pozostał na podstawie rozważenia dyskretnych postępów. Jednak definicja logarytmu dla obu nie przypomina współczesnej. Termin „logarytm” (logarytm) należy do Napiera. Powstał z połączenia greckich słów: logos - „relacja” i ariqmo - „liczba”, co oznaczało „liczbę relacji”. Początkowo Napier używał innego terminu: numeri artificiales - „sztuczne liczby”, w przeciwieństwie do numeri naturalts - „liczby naturalne”.
W 1615 r. W rozmowie z Henry Briggsem (1561-1631), profesorem matematyki w Gresch College w Londynie, Napier zaproponował przyjęcie zera za logarytm jedności i 100 za logarytm dziesięciu, lub, co sprowadza się do tego samego, po prostu 1. Tak pojawiły się logarytmy dziesiętne i wydrukowano pierwsze tablice logarytmiczne. Później tabele Briggsa uzupełnił holenderski księgarz i miłośnik matematyki Andrian Flakk (1600-1667). Napier i Briggs, chociaż doszli do logarytmów wcześniej niż ktokolwiek inny, opublikowali swoje tablice później niż inni - w 1620 roku. Logi i znaki Log zostały wprowadzone w 1624 roku przez I. Keplera. Termin „logarytm naturalny” został wprowadzony przez Mengoli w 1659 r., A następnie przez N. Mercatora w 1668 r., A londyński nauczyciel John Speidel opublikował tabele logarytmów naturalnych liczb od 1 do 1000 pod tytułem „Nowe logarytmy”.
Pierwsze tablice logarytmiczne w języku rosyjskim zostały opublikowane w 1703 roku. Ale we wszystkich tabelach logarytmicznych popełniono błędy w obliczeniach. Pierwsze wolne od błędów tabele zostały opublikowane w Berlinie w 1857 roku pod redakcją niemieckiego matematyka K. Bremikera (1804-1877).
Etap 2
Dalszy rozwój teorii logarytmów wiąże się z szerszym zastosowaniem geometrii analitycznej i rachunku nieskończenie małych. Ustalenie związku między kwadraturą hiperboli równobocznej a logarytmem naturalnym sięga tego czasu. Teoria logarytmów tego okresu jest związana z nazwiskami wielu matematyków.
W składzie niemiecki matematyk, astronom i inżynier Nikolaus Mercator
„Logarithmtechnics” (1668) podaje szereg, który rozkłada ln (x + 1) w
potęgi x:
To wyrażenie dokładnie odpowiada toku jego myśli, chociaż oczywiście nie użył on znaków d, ..., ale bardziej uciążliwych symboli. Wraz z odkryciem szeregu logarytmicznego zmieniła się technika obliczania logarytmów: zaczęto je określać za pomocą nieskończonych szeregów. W swoich wykładach „Matematyka elementarna z wyższego punktu widzenia”, czytanych w latach 1907-1908, F. Klein zaproponował użycie wzoru jako punktu wyjścia do konstruowania teorii logarytmów.
Etap 3
Definicja funkcja logarytmiczna w funkcji odwrotności
wykładniczy, logarytm jako wskaźnik stopnia danej podstawy
nie została natychmiast sformułowana. Kompozycja Leonarda Eulera (1707-1783)
Jako dalsze posłużyło wprowadzenie do analizy nieskończenie małego (1748)
rozwój teorii funkcji logarytmicznej. A zatem,
od wprowadzenia logarytmów minęły 134 lata
(licząc od 1614 r.), zanim matematycy doszli do definicji
pojęcie logarytmu, które jest obecnie podstawą kursu szkolnego.
Rozdział 2. Zbieranie nierówności logarytmicznych
2.1. Przejścia równoważne i metoda interwałów uogólnionych.
Równoważne przejścia
jeśli a\u003e 1
jeśli 0 <
а <
1
Metoda interwałów uogólnionych
Ta metoda jest najbardziej wszechstronna w rozwiązywaniu nierówności niemal każdego typu. Schemat rozwiązania wygląda następująco:
1. Zmniejsz nierówność do postaci, w której funkcja 
, a po prawej 0.
2. Znajdź dziedzinę funkcji .
3. Znajdź zera funkcji czyli do rozwiązania równania 
(a rozwiązanie równania jest zwykle łatwiejsze niż rozwiązywanie nierówności).
4. Narysuj dziedzinę i zera funkcji na osi liczbowej.
5. Określić znaki funkcji w uzyskanych odstępach czasu.
6. Wybierz przedziały, w których funkcja przyjmuje wymagane wartości i zapisz odpowiedź.
Przykład 1.
Decyzja:
Zastosujmy metodę odstępów
skąd
Dla tych wartości wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmów są dodatnie.
Odpowiedź:
Przykład 2.
Decyzja:
1 sposób . ODZ jest definiowany przez nierówność x \u003e 3. Biorąc logarytm dla takich x podstawa 10, otrzymujemy
Ostatnią nierówność można rozwiązać stosując reguły dekompozycji, tj. porównanie czynników do zera. Jednak w tym przypadku łatwo jest określić przedziały stałości funkcji
dlatego można zastosować metodę interwałów.
Funkcjonować fa(x) = 2x(x- 3,5) lgǀ x- 3ǀ jest ciągłe o godz x \u003e 3 i znika w punktach x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 \u003d 4. W ten sposób definiujemy przedziały stałości funkcji fa(x):
Odpowiedź:
2 sposób . Zastosujmy idee metody interwałów bezpośrednio do pierwotnej nierówności.
Aby to zrobić, przypomnij sobie, że wyrażenia za b - za c i ( za - 1)(b - 1) mają jeden znak. Wtedy nasza nierówność dla x \u003e 3 jest równoznaczne z nierównością
lub
Ostatnią nierówność rozwiązuje się metodą interwałów
Odpowiedź:
Przykład 3.
Decyzja:
Zastosujmy metodę odstępów
Odpowiedź:
Przykład 4.
Decyzja:
Od 2 x 2 - 3x + 3\u003e 0 dla wszystkich rzeczywistych xnastępnie
Aby rozwiązać drugą nierówność, używamy metody interwałów
W pierwszej nierówności dokonujemy zamiany
następnie dochodzimy do nierówności 2 lata 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те yspełniające nierówność -0,5< y < 1.
Skąd, od
otrzymujemy nierówność
która jest wykonywana z tymi xdla których 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Teraz, biorąc pod uwagę rozwiązanie drugiej nierówności układu, ostatecznie otrzymujemy
Odpowiedź:
Przykład 5.
Decyzja:
Nierówność jest równoznaczna z zestawem systemów
lub
Zastosujmy metodę interwałów lub
Odpowiedź:
Przykład 6.
Decyzja:
Nierówność jest odpowiednikiem systemu
Zostawiać
następnie y > 0,
i pierwsza nierówność
system przyjmuje formę
lub rozszerzając
kwadratowy trójmian według czynników,
Zastosowanie metody interwałów do ostatniej nierówności,
widzimy, że jej rozwiązania spełniają warunek y \u003e 0 będzie wszystkim y > 4.
Zatem pierwotna nierówność jest równoważna systemowi:
Tak więc rozwiązania nierówności są wszystkim
2.2. Metoda racjonalizacji.
Wcześniej metoda racjonalizacji nierówności nie została rozwiązana, nie była znana. To jest "nowa nowoczesna skuteczna metoda rozwiązywania nierówności wykładniczych i logarytmicznych" (cytat z książki S. I. Kolesnikovej)
A nawet jeśli nauczyciel go znał, był lęk - czy egzaminator go zna i dlaczego nie ma go w szkole? Zdarzały się sytuacje, gdy nauczyciel powiedział uczniowi: „Skąd to masz? Usiądź - 2”.
Obecnie metoda jest szeroko promowana. A dla ekspertów są wytyczne związane z tą metodą, aw „Najpełniejszych wydaniach wariantów modelu…” w rozwiązaniu C3 ta metoda jest stosowana.
WSPANIAŁA METODA!
„Magiczny stół”
W innych źródłach
jeśli a\u003e 1 i b\u003e 1, następnie loguj a b\u003e 0 i (a -1) (b -1)\u003e 0;
jeśli a\u003e 1 i 0 jeśli 0<za<1 и b
>1, a następnie zaloguj a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jeśli 0<za<1 и 00 i (a -1) (b -1)\u003e 0. Powyższe rozumowanie nie jest skomplikowane, ale znacznie upraszcza rozwiązywanie nierówności logarytmicznych. Przykład 4.
log x (x 2 -3)<0
Decyzja:
Przykład 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Decyzja: Przykład 6.
Aby rozwiązać tę nierówność, zamiast mianownika piszemy (x-1-1) (x-1), a zamiast licznika - iloczyn (x-1) (x-3-9 + x). Przykład 7.
Przykład 8.
2.3. Niestandardowe podstawienie. Przykład 1.
Przykład 2.
Przykład 3.
Przykład 4.
Przykład 5.
Przykład 6.
Przykład 7.
log 4 (3 x -1) log 0,25 Dokonajmy zamiany y \u003d 3 x -1; wtedy ta nierówność przybiera formę Log 4 log 0,25 Tak jak log 0,25 Dokonujemy zmiany t \u003d log 4 y i otrzymujemy nierówność t 2 -2t + ≥0, której rozwiązaniem są przedziały - Zatem, aby znaleźć wartości y, mamy zbiór dwóch najprostszych nierówności Dlatego pierwotna nierówność jest równoważna zbiorem dwóch wykładniczych nierówności, Rozwiązaniem pierwszej nierówności w tym zbiorze jest przedział 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Przykład 8.
Decyzja:
Nierówność jest odpowiednikiem systemu Rozwiązaniem drugiej nierówności definiującej DHS jest zbiór tych nierówności x,
dla kogo x > 0.
Aby rozwiązać pierwszą nierówność, dokonujemy zmiany Następnie otrzymujemy nierówność lub Zbiór rozwiązań ostatniej nierówności znajduje się metodą interwały: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, mamy lub Wiele z nich xktóre spełniają ostatnią nierówność należy do ODZ ( x \u003e 0) jest więc rozwiązaniem dla systemu i stąd pierwotna nierówność. Odpowiedź: 2.4. Zadania pułapki. Przykład 1.
Decyzja. Nierówności ODZ wszystkie x spełniają warunek 0 Przykład 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Odpowiedź... (0; 0,5) U.
Odpowiedź :
(3;6)
.
\u003d -log 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, a następnie przepisz ostatnią nierówność jako 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Rozwiązaniem tego zestawu są interwały 0<у≤2 и 8≤у<+.
to znaczy całość 
... Zatem pierwotna nierówność zachodzi dla wszystkich wartości x z przedziałów 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Dlatego wszystkie x z przedziału 0
Wniosek
Nie było łatwo znaleźć specjalne metody rozwiązywania problemów C3 z dużej liczby różnych źródeł edukacyjnych. W trakcie wykonanej pracy mogłem przestudiować niestandardowe metody rozwiązywania złożonych nierówności logarytmicznych. Są to: przejścia równoważne i uogólniona metoda interwałów, metoda racjonalizacji , niestandardowe podstawienie , zadania z pułapkami na ODZ. Metody te są nieobecne w programie nauczania.
Różnymi metodami rozwiązałem 27 nierówności zaproponowanych na egzaminie w części C, czyli C3. Te nierówności z rozwiązaniami metodami stanowiły podstawę zbioru "Logarytmiczne nierówności C3 z rozwiązaniami", który stał się projektowym produktem mojej pracy. Potwierdziła się hipoteza, którą postawiłem na początku projektu: znając te metody można skutecznie rozwiązywać zadania C3.
Ponadto znalazłem ciekawe fakty dotyczące logarytmów. To było dla mnie interesujące. Moje produkty projektowe będą przydatne zarówno dla uczniów, jak i nauczycieli.
Wnioski:
Tym samym założony cel projektu został osiągnięty, problem został rozwiązany. I zdobyłem najbardziej kompletne i wszechstronne doświadczenie w działaniach projektowych na wszystkich etapach pracy. W trakcie pracy nad projektem mój główny wpływ rozwojowy dotyczył kompetencji umysłowych, działań związanych z logicznymi operacjami umysłowymi, rozwoju kompetencji twórczych, własnej inicjatywy, odpowiedzialności, wytrwałości, aktywności.
Gwarancja sukcesu przy tworzeniu projektu badawczego dla Stałem się: znaczącym doświadczeniem szkolnym, umiejętnością wydobywania informacji z różnych źródeł, sprawdzania ich rzetelności, uszeregowania ich według ważności.
Oprócz bezpośredniej wiedzy przedmiotowej z matematyki poszerzył swoje praktyczne umiejętności z zakresu informatyki, zdobył nową wiedzę i doświadczenie z zakresu psychologii, nawiązał kontakty z kolegami z klasy, nauczył się współpracować z dorosłymi. W trakcie działań projektowych rozwijano umiejętności i zdolności organizacyjne, intelektualne i komunikacyjne.
Literatura
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Układy nierówności z jedną zmienną (typowe zadania C3).
2. Malkova AG Przygotowanie do egzaminu z matematyki.
3. Samarova SS Rozwiązanie nierówności logarytmicznych.
4. Matematyka. Zbiór prac szkoleniowych pod redakcją A.L. Siemionow i I.V. Yashchenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 str. -
Sekcje: Matematyka
Często przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych występują problemy ze zmienną podstawą logarytmu. A więc nierówność formy
to standardowa nierówność w szkole. Z reguły, aby go rozwiązać, stosuje się przejście do równoważnego zestawu systemów:
Wadą tej metody jest konieczność rozwiązania siedmiu nierówności, nie licząc dwóch układów i jednego zbioru. Już przy zadanych funkcjach kwadratowych rozwiązywanie zbioru może być czasochłonne.
Można zaproponować alternatywny, mniej pracochłonny sposób rozwiązania tej standardowej nierówności. W tym celu bierzemy pod uwagę następujące twierdzenie.
Twierdzenie 1. Niech ciągła funkcja rosnąca na zbiorze X. Wtedy na tym zbiorze znak przyrostu funkcji zbiegnie się ze znakiem przyrostu argumentu, czyli gdzie 
.
Uwaga: jeśli funkcja ciągłego zmniejszania na zbiorze X, to.
Wróćmy do nierówności. Przejdźmy do logarytmu dziesiętnego (możesz przejść do dowolnego o stałej podstawie większej niż jeden).
Teraz możesz użyć twierdzenia, odnotowując w liczniku przyrost funkcji 
iw mianowniku. Więc to prawda
W rezultacie liczba obliczeń prowadzących do odpowiedzi jest w przybliżeniu zmniejszona o połowę, co nie tylko oszczędza czas, ale także pozwala potencjalnie popełnić mniej błędów arytmetycznych i „nieuwagi”.
Przykład 1.
W porównaniu z (1) znajdujemy 
, 
, .
Przechodząc do (2) będziemy mieli:
Przykład 2.
W porównaniu z (1) znajdujemy ,,.
Przechodząc do (2) będziemy mieli:
Przykład 3.
Ponieważ lewa strona nierówności jest rosnącą funkcją dla i 
, wtedy odpowiedź jest ustawiona.
Zestaw przykładów, w których można zastosować Twierdzenie 1, można łatwo rozszerzyć, jeśli weźmie się pod uwagę Twierdzenie 2.
Niech na planie X funkcje ``, a na tym ustaw znaki i zbiegają się, tj. , to będzie sprawiedliwe.
Przykład 4.
Przykład 5.
Przy standardowym podejściu przykład rozwiązuje się zgodnie ze schematem: iloczyn jest mniejszy od zera, gdy czynniki mają różne znaki. Te. pod uwagę brany jest zbiór dwóch systemów nierówności, w których, jak wskazano na początku, każda nierówność dzieli się na siedem kolejnych.
Jeśli weźmiemy pod uwagę Twierdzenie 2, to każdy z czynników, biorąc pod uwagę (2), można zastąpić inną funkcją, która ma ten sam znak w tym przykładzie O.D.Z.
Metoda zamiany przyrostu funkcji na przyrost argumentu, uwzględniająca Twierdzenie 2, okazuje się bardzo wygodna przy rozwiązywaniu typowych problemów C3 egzaminu.
Przykład 6.
Przykład 7.
... Oznaczmy. Dostajemy
... Zauważ, że zamiana oznacza: Wracając do równania, otrzymujemy
.
Przykład 8.
W twierdzeniach, których używamy, nie ma ograniczeń co do klas funkcji. Na przykład w tym artykule twierdzenia zostały zastosowane do rozwiązania nierówności logarytmicznych. Kilka następnych przykładów zademonstruje obiecującą metodę rozwiązywania innych rodzajów nierówności.
Artykuł poświęcony jest analizie 15 zadań z profilu USE w matematyce na rok 2017. W tym zadaniu studentom proponuje się rozwiązanie nierówności, najczęściej logarytmicznych. Chociaż może być orientacyjny. W tym artykule przedstawiono analizę przykładów nierówności logarytmicznych, w tym nierówności zawierających zmienną u podstawy logarytmu. Wszystkie przykłady pochodzą z otwartego banku zadań USE z matematyki (profil), więc takie nierówności najprawdopodobniej napotkają Cię na egzaminie jako zadanie 15. Idealne dla tych, którzy chcą nauczyć się rozwiązywać zadanie 15 z drugiej części profilu UŻYJ w krótkim czasie z matematyki, aby uzyskać więcej punktów na egzaminie.
Analiza 15 zadań z egzaminu profilowego z matematyki
| Przykład 1. Rozwiąż nierówność: |
W zadaniach XV egzaminu z matematyki (profilu) często spotyka się nierówności logarytmiczne. Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych rozpoczyna się od określenia zakresu dopuszczalnych wartości. W tym przypadku nie ma zmiennej u podstawy obu logarytmów, jest tylko liczba 11, co znacznie upraszcza zadanie. Dlatego jedynym ograniczeniem, jakie tu mamy, jest to, że oba wyrażenia pod znakiem logarytmu są dodatnie:
Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Pierwsza nierówność w systemie to nierówność kwadratowa. Aby go rozwiązać, naprawdę nie zaszkodziłoby uwzględnienie lewej strony w czynnikach. Myślę, że wiesz, że każdy kwadratowy trójmian postaci 
jest rozkładany w następujący sposób:
gdzie i są korzenie równania. W tym przypadku współczynnik wynosi 1 (jest to współczynnik liczbowy przed). Współczynnik również wynosi 1, a współczynnik jest punktem przecięcia z osią, czyli -20. Korzenie trójmianu najłatwiej określa twierdzenie Viety. Podaliśmy równanie, więc suma pierwiastków będzie równa współczynnikowi o przeciwnym znaku, czyli -1, a iloczyn tych pierwiastków będzie równy współczynnikowi, czyli -20. Łatwo się domyślić, że korzenie będą równe -5 i 4.
Teraz można podzielić na czynniki lewą stronę nierówności: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} X w punktach -5 i 4. Stąd pożądanym rozwiązaniem nierówności jest interwał. Dla tych, którzy nie rozumieją, co jest tutaj napisane, możesz zobaczyć szczegóły na filmie, zaczynając od tego momentu. Znajdziesz tam również szczegółowe wyjaśnienie, w jaki sposób rozwiązana jest druga nierówność układu. To jest rozwiązywane. Co więcej, odpowiedź jest dokładnie taka sama jak w przypadku pierwszej nierówności systemu. Oznacza to, że powyższy zbiór jest obszarem dopuszczalnych wartości nierówności.
Tak więc, biorąc pod uwagę faktoryzację, pierwotna nierówność przyjmuje postać:
Korzystając ze wzoru, doprowadzamy 11 do potęgi wyrażenia pod znakiem pierwszego logarytmu, a drugi logarytm przesuwamy na lewą stronę nierówności, zmieniając jej znak na przeciwny:
Po redukcji otrzymujemy:
Ostatnia nierówność, ze względu na rosnącą funkcję, jest równoważna nierówności 
, którego rozwiązaniem jest przedział 
... Pozostaje go przeciąć z zakresem dopuszczalnych wartości nierówności, a to będzie odpowiedź na całe zadanie.
Tak więc pożądana odpowiedź na to zadanie brzmi:
Wymyśliliśmy to zadanie, teraz przejdźmy do następnego przykładu zadania 15 USE w matematyce (profil).
| Przykład 2. Rozwiąż nierówność:
|
Rozwiązanie zaczynamy od określenia zakresu dopuszczalnych wartości tej nierówności. U podstawy każdego logarytmu musi znajdować się liczba dodatnia, która nie jest równa 1. Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu muszą być dodatnie. W mianowniku ułamka nie powinno być zera. Ostatni warunek jest temu równoważny, ponieważ tylko w przeciwnym razie oba logarytmy w mianowniku znikną. Wszystkie te warunki wyznaczają zakres dopuszczalnych wartości tej nierówności, który określa następujący układ nierówności:
Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}
W zakresie poprawnych wartości możemy użyć formuł transformacji logarytmów, aby uprościć lewą stronę nierówności. Korzystanie ze wzoru 
pozbyć się mianownika:
Teraz mamy tylko logarytmy podstawowe. To już jest wygodniejsze. Następnie używamy wzoru, a także formuły, aby nadać wyrażeniu godnemu chwały następującą postać:
W obliczeniach posłużyliśmy się tym, co mieści się w zakresie dopuszczalnych wartości. Używając zamiennika, dochodzimy do wyrażenia:
Używamy jeszcze jednego zamiennika: W rezultacie dochodzimy do następującego wyniku:
Tak więc stopniowo powracamy do pierwotnych zmiennych. Najpierw do zmiennej:
