Starea de rezistență a materialelor tensionată plană. stare stresată și deformată. Torsiunea grinzii dreptunghiulare
Fundamentele teoriei elasticității
Cursul 4
Problemă plană a teoriei elasticității
slide 2
În teoria elasticității, există o clasă mare de probleme care sunt importante în sensul aplicațiilor practice și, în același timp, permit simplificări semnificative ale laturii matematice a soluției. Simplificarea constă în faptul că în aceste probleme una dintre axele de coordonate ale corpului, de exemplu, axa z, poate fi renunțată și toate fenomenele pot fi considerate ca având loc în același plan de coordonate x0y al corpului încărcat. În acest caz, tensiunile, deformațiile și deplasările vor fi funcții a două coordonate - x și y.
O problemă considerată în două coordonate se numește problema plană a teoriei elasticității.
sub termenul " problema plană a teoriei elasticității» combina două probleme fizic diferite, ducând la relații matematice foarte asemănătoare:
1) problema unei stări plane deformate (plane deformation);
2) problema unei stări de stres plan.
Aceste probleme se caracterizează cel mai adesea printr-o diferență semnificativă între o dimensiune geometrică și celelalte două dimensiuni ale corpurilor luate în considerare: o lungime mare în primul caz și o grosime mică în al doilea caz.
Deformarea plană
Deformația se numește plată dacă deplasările tuturor punctelor corpului pot avea loc numai în două direcții într-un singur plan și nu depind de coordonatele normale acestui plan, adică.
u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)
Deformarea plană are loc în corpuri prismatice sau cilindrice lungi cu o axă paralelă cu axa z, de-a lungul căreia o sarcină acționează pe suprafața laterală, perpendicular pe această axă și neschimbându-se în mărime de-a lungul acesteia.
Un exemplu de deformare plană este starea de efort-deformare care apare într-un baraj drept lung și un arc lung al unui tunel subteran (Fig. 4.1).
Figura - 4.1. Deformarea plană are loc în corpul barajului și bolta tunelului subteran
slide 3
Înlocuind componentele vectorului deplasare (4.1) în formulele Cauchy (2.14), (2.15), obținem:
(4.2)
Absența deformațiilor liniare pe direcția axei z duce la apariția unor tensiuni normale σ z . Din formula legii lui Hooke (3.2) pentru deformarea ε z rezultă că
de unde se obține expresia tensiunii σ z:
(4.3)
Înlocuind acest raport în primele două formule ale legii lui Hooke, găsim:
(4.4)
slide 4
Din analiza formulelor (4.2) − (4.4) și (3.2) mai rezultă că
Astfel, ecuațiile de bază ale teoriei tridimensionale a elasticității în cazul deformării plane sunt mult simplificate.
Din cele trei ecuații de echilibru diferențial Navier (2.2), rămân doar două ecuații:
(4.5)
iar al treilea se transformă într-o identitate.
Deoarece direcția cosinus este peste tot pe suprafața laterală n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, din cele trei condiții de pe suprafața (2.4) rămân doar două ecuații:
(4.6)
unde l, m sunt cosinusurile direcției normalei exterioare v la suprafața de contur;
X, Y, X v, Y v sunt componentele forțelor corpului și intensitatea sarcinilor de suprafață exterioare pe axele x și respectiv y.
slide 5
Cele șase ecuații Cauchy (2.14), (2.15) sunt reduse la trei:
(4.7)
Din cele șase ecuații de continuitate a deformării Saint-Venant (2.17), (2.18), rămâne o ecuație:
(4.8)
iar restul se transformă în identități.
Din cele șase formule ale legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.2), (4.4), rămân trei formule:
În aceste relații, pentru tipul de înregistrare tradițional în teoria elasticității, se introduc noi constante elastice:
slide 6
Stare de stres în plan
O stare de efort plană apare atunci când lungimea aceluiași corp prismatic este mică în comparație cu celelalte două dimensiuni. În acest caz, se numește grosime. Tensiunile din corp acţionează numai în două direcţii în planul de coordonate xOy şi nu depind de coordonata z. Un exemplu de astfel de corp este o placă subțire de grosime h, încărcată de-a lungul suprafeței laterale (nervatură) cu forțe paralele cu planul plăcii și distribuite uniform pe grosimea acesteia (Fig. 4.2).
Figura 4.2 - Placă subțire și sarcini aplicate acesteia
În acest caz, sunt posibile și simplificări similare cu cele din problema deformarii plane. Componentele tensoarelor tensoare σ z , τ xz , τ yz pe ambele planuri ale plăcii sunt egale cu zero. Deoarece placa este subțire, putem presupune că sunt egale cu zero și în interiorul plăcii. Atunci starea de stres va fi determinată doar de componentele σ x , σ y , τ xy care nu depind de coordonatele z, adică nu se modifică asupra grosimii plăcii, ci sunt funcții doar ale lui x și y.
Astfel, următoarea stare de stres are loc într-o placă subțire:
Slide 7
În ceea ce privește tensiunile, starea tensiunii plane diferă de deformarea plană prin condiție
În plus, din formula legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.10), pentru deformația liniară ε z obținem că aceasta nu este egală cu zero:
În consecință, bazele plăcii vor fi curbate, deoarece vor exista deplasări 
de-a lungul axei z.
Conform acestor ipoteze, ecuațiile de bază ale deformațiilor plane: ecuațiile de echilibru diferențial (4.5), condițiile de suprafață (4.6), ecuațiile Cauchy (4.7) și ecuațiile de continuitate a deformarii (4.8) păstrează aceeași formă în problema tensiunii plane.
Formulele legii lui Hooke vor lua următoarea formă:
Formulele (4.11) diferă de formulele (4.9) ale legii lui Hooke pentru deformarea plană numai prin valorile constantelor elastice: E și E 1 , vȘi v 1 .
Slide 8
În formă inversă, legea lui Hooke poate fi scrisă după cum urmează:
(4.12)
Astfel, atunci când rezolvăm aceste două probleme (deformarea plană și starea tensiunii plane), se pot folosi aceleași ecuații și se pot combina problemele într-o singură problemă plană a teoriei elasticității.
Există opt necunoscute în problema plană a teoriei elasticității:
sunt două componente ale vectorului deplasare u și v;
– trei componente ale tensorului tensiunii σ x , σ y , τ xy ;
sunt trei componente ale tensorului deformare ε x , ε y , γ xy .
Pentru rezolvarea problemei se folosesc opt ecuații:
– două ecuații de echilibru diferențial (4.5);
– trei ecuații Cauchy (4.7);
sunt trei formule ale legii lui Hooke (4.9) sau (4.11).
În plus, deformațiile obținute trebuie să respecte ecuația de continuitate a deformarii (4.8), și condițiile de echilibru (4.6) între tensiunile interne și intensitățile sarcinii de suprafață exterioară X v, Y v.
Stare stresată și deformată
Există trei tipuri de stări de stres:
1) stare liniară de efort - tensiune (compresie) într-o direcție;
2) stare plană de stres - tensiune (compresie) în două direcții;
3) starea de tensiune volumetrică - tensiune (compresie) în trei direcții reciproc perpendiculare.
Luați în considerare un paralelipiped (cub) infinitezimal. Pe fețele sale pot exista s normale și tensiuni tangenţiale t. Când poziția „cubului” este schimbată, tensiunile se schimbă. Puteți găsi o poziție în care nu există solicitări de forfecare, vezi fig.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image002_227.gif" align="left" width="337" height="217 src="> Să tăiem un paralelipiped elementar (Fig. a) cu un secţiune oblică.un singur plan.Se consideră o prismă triunghiulară elementară (Fig. b).Poziţia zonei înclinate este determinată de unghiul a.Dacă rotaţia de pe axa x este în sens invers acelor de ceasornic (vezi Fig.b), atunci a>0.
Tensiunile normale au un indice corespunzător axei direcției lor. tensiuni de forfecare, de obicei, au doi indici: primul corespunde direcției normalei pe amplasament, al doilea direcției tensiunii în sine (din păcate, există alte denumiri și o alegere diferită a axelor de coordonate, ceea ce duce la o schimbare a semnelor în unele formule).
Tensiunea normală este pozitivă dacă este de tracțiune, tensiunea de forfecare este pozitivă dacă tinde să rotească partea considerată a elementului în sensul acelor de ceasornic în jurul punctului intern. pp (pentru efortul de forfecare în unele manuale și universități, se acceptă contrariul).
Stresuri pe o platformă înclinată:
Legea împerecherii tensiunilor tăietoare: dacă asupra locului acţionează o stres tangenţială, atunci o stres tangenţială egală ca mărime şi semn opus va acţiona pe amplasamentul perpendicular pe acesta. (txz=-tzx)
Există două sarcini principale în teoria stării de stres.
Problemă directă . Pe baza tensiunilor principale cunoscute: s1= smax, s2= smin, este necesar să se determine pentru un loc înclinat la un unghi dat (a) față de locurile principale, tensiunile normale și de forfecare:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image007_125.gif" width="219" height="33"> 
sau 
.
Pentru o platformă perpendiculară:
.
De unde se poate observa că sa + sb = s1 + s2 este suma tensiunilor normale pe două zone reciproc perpendiculare ale invariantului (independent) față de panta acestor zone.
Ca și în starea de efort liniară, tensiunile de forfecare maxime apar la a=±45o, adică..gif" align="left" width="240" height="227">.gif" width="154" height= "55 src=">.gif" align="left" width="253" height="176 src=">Dacă una dintre tensiunile principale se dovedește a fi negativă, atunci acestea ar trebui notate s1, s3, dacă ambele sunt negative , apoi s2, s3.
Stare de stres de volum
Tensiuni în orice locație cu tensiuni principale cunoscute s1, s2, s3:
unde a1, a2, a3 sunt unghiurile dintre normala zonei luate în considerare și direcțiile tensiunilor principale.
Efort maxim de forfecare: 
.
Acționează pe o platformă paralelă cu solicitarea principală s2 și înclinată la un unghi de 45o față de solicitările principale s1 și s3.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image023_60.gif" width="171" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image025_53.gif" width="115" height="48 src="> (uneori numite tensiuni de forfecare principale).
O stare de efort plană este un caz special al uneia tridimensionale și poate fi reprezentată și prin trei cercuri Mohr, în timp ce una dintre tensiunile principale trebuie să fie egală cu 0. Pentru solicitările de forfecare, precum și într-o stare de efort plană, legea împerecherii: componentele tensiunilor de forfecare de-a lungul zonelor reciproc perpendiculare, perpendiculare pe linia de intersecție a acestor zone, sunt egale ca mărime și opuse ca direcție.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image027_53.gif" width="166" height="51 src=">;
Tensiunea normală octaedrică este egală cu media celor trei tensiuni principale.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image029_49.gif" width="199" height="50">, Tensiunea de forfecare octaedrică este proporțională cu suma geometrică a tensiunilor de forfecare principale. Intensitatea stresului:
DIV_ADBLOCK135">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image032_47.gif" width="177" height="49"> 
Modificarea volumului nu depinde de raportul dintre tensiunile principale, ci depinde de suma tensiunilor principale. Adică, un cub elementar va primi aceeași modificare a volumului dacă se aplică aceleași tensiuni medii pe fețele sale: 
, apoi 
, unde K= - modul în vrac. Când un corp este deformat, al cărui material are un raport Poisson m = 0,5 (de exemplu, cauciuc), volumul corpului nu se modifică.
Energia potențială de deformare
Cu o tensiune simplă (compresie), energia potențială este U=https://pandia.ru/text/78/374/images/image038_46.gif" width="95" height="47 src=">.gif" width ="234 "height="50 src="> sau
Energia totală de deformare acumulată pe unitatea de volum poate fi considerată ca fiind formată din două părți: 1) energia uo acumulată datorită unei modificări de volum (adică aceeași modificare a tuturor dimensiunilor cubului fără modificarea formei cubice) și 2) energia uf asociată cu schimbarea formei cubului (adică energia cheltuită la transformarea cubului într-un paralelipiped). u = uo + uf.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image043_42.gif" width="389" height="50 src=">
https://pandia.ru/text/78/374/images/image045_41.gif" width="160" height="84 src=">. Când rotiți sistemul de coordonate, coeficienții tensorului se modifică, tensorul în sine rămâne constant.
Trei invarianți ai stării de stres:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image047_39.gif" width="249" height="48"> 
ea - deformare relativă, ga - unghi de forfecare.
Aceeași analogie este valabilă pentru starea în vrac. Prin urmare, avem invarianții stării deformate:
J1 = ex + ey + ez;
J2= exey +eyez + ezex - https://pandia.ru/text/78/374/images/image051_31.gif height="140 src="> - tensor de deformare.
ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx sunt componentele stării deformate.
Pentru axele care coincid cu direcțiile deformațiilor principale e1, e2, e3, tensorul deformarii ia forma: 
.
Teorii de forță
În cazul general, starea de solicitare periculoasă a unui element structural depinde de raportul dintre cele trei tensiuni principale (s1,s2,s3). Adică, strict vorbind, pentru fiecare raport este necesar să se determine experimental mărimea tensiunii limitative, ceea ce este nerealist. Prin urmare, au fost adoptate astfel de metode de calcul a rezistenței care ar face posibilă evaluarea gradului de pericol al oricărei stări de solicitare din efortul de tracțiune-compresiune. Ele sunt numite teorii ale rezistenței (teoriile stărilor limită de stres).
Prima teorie a puterii(teoria celor mai mari tensiuni normale): cauza declanșării stării de stres limită este cele mai mari tensiuni normale. smax= s1£ [s]. Dezavantaj principal: alte două solicitări principale nu sunt luate în considerare. Este confirmat de experiență numai la întinderea materialelor foarte fragile (sticlă, gips). În prezent, practic nu este folosit.
Teoria a 2-a putere(teoria celor mai mari deformații relative): cauza apariției stării de efort limită este cea mai mare elongare. emax= e1£ [e]..gif" width="63 height=47" height="47">, starea de rezistență: sequiIII= s1 - s3£ [s]. Principalul dezavantaj este că nu ține cont influența lui s2.
În starea de stres plană: sequivIII= 
£[s]. Pentru sy=0 obținem 
Folosit pe scară largă pentru materiale plastice.
Teoria fortei a 4-a(teoria energiei): cauza declanșării stării de tensiune limită este valoarea energiei potențiale specifice a modificării formei. uf£..gif" width="367" height="55 src=">..gif" width="166" height="57">. Este utilizat în calculele materialelor casante, în care tensiunile admisibile de tracțiune și compresiune nu sunt aceleași (fontă).
Pentru materiale plastice = teoria lui Mohr se transformă în a 3-a teorie.
Cercul lui Mohr (cerc de stres). Coordonatele punctelor cercului corespund tensiunilor normale și de forfecare la diferite locuri. Amânăm fasciculul de pe axa s din centrul C la un unghi 2a (a> 0, apoi pagina în sens invers acelor de ceasornic), găsim punctul D,
ale căror coordonate sunt: sa, ta. Puteți rezolva grafic atât probleme directe, cât și inverse.
Pură schimbare
https://pandia.ru/text/78/374/images/image063_27.gif" width="48 height=47" height="47">, unde Q este forța care acționează de-a lungul feței, F este aria feței . , asupra cărora acționează doar tensiunile de forfecare, sunt numite zone de forfecare pură. Tensiunile de forfecare asupra lor sunt cele mai mari. Forfecarea pură poate fi reprezentată ca compresie și tensiune simultană care apar în două direcții reciproc perpendiculare. Adică, acesta este un caz special de o stare de efort plană, în care solicitările principale: s1= - s3 = t, s2= 0. Zonele principale formează un unghi de 45° cu zonele de forfecare pure.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image065_26.gif" width="16" height="48 src="> - deplasare relativă sau unghi de forfecare.
Legea lui Hooke în forfecare : g = t/G sau t = G×g.
G- modulul de forfecare sau modulul de elasticitate de al doilea fel [MPa] - o constantă materială care caracterizează capacitatea de a rezista la deformații prin forfecare. (E - modulul de elasticitate, m - raportul lui Poisson).
Energia potențială în forfecare: 
.
Energia potențială specifică a deformarii de forfecare: https://pandia.ru/text/78/374/images/image069_26.gif" width="63" height="53">.
Toată energia potențială în forfecare pură este cheltuită numai pentru schimbarea formei, modificarea volumului în timpul deformării prin forfecare este zero.
Cercul lui Mohr în pură schimbare.
Torsiune
https://pandia.ru/text/78/374/images/image072_23.gif" align="left" width="175" height="125 src=">Acest tip de deformare, în care doar un cuplu - Mk Este convenabil să se determine semnul cuplului Mk în direcția momentului exterior Dacă, văzut din lateralul secțiunii, momentul extern este îndreptat în sens invers acelor de ceasornic, atunci Mk> 0 (există și o regulă inversă). torsiune, o secțiune se rotește față de alta pe unghi de răsucire-j. Când o bară rotundă (arbore) este răsucită, apare o stare pură de efort de forfecare (nu există solicitări normale), apar doar tensiuni tangenţiale. Se presupune că secțiunile plane înainte de răsucire rămân plate și după răsucire - legea secțiunilor plane. Tensiunile de forfecare în punctele secțiunii se modifică proporțional cu distanța punctelor față de axă. ..gif" width="103" height="57 src="> - unghi relativ de răsucire..gif" width="127 height=57" height="57">, [t] =, pentru un material plastic, tlim este considerată rezistența la forfecare tm, pentru un material fragil, tv este rezistența maximă , [n] este condiția coeficientului de rigiditate la torsiune: qmax£[q] – unghiul admisibil de răsucire.
Torsiunea grinzii dreptunghiulare
https://pandia.ru/text/78/374/images/image081_17.gif" width="46" height="46">Diagramele tensiunilor de forfecare ale unei secțiuni dreptunghiulare.
; , Jk și Wk - numite condiționat moment de inerție și momentul de rezistență la torsiune. Wk=ahb2,
Jk= bhb3, Tensiunile maxime de forfecare tmax vor fi în mijlocul laturii lungi, tensiunile în mijlocul laturii scurte: t= g×tmax, coeficienții: a, b, g sunt dați în cărțile de referință în funcție de raportul h /b (de exemplu, când h/b= 2, a=0,246, b=0,229, g=0,795.
îndoi
https://pandia.ru/text/78/374/images/image085_18.gif" width="270" height="45">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image087_16.gif" width="71" height="53">, r - raza de curbură a stratului neutru, y - distanța de la o anumită fibră la strat neutru. Legea lui Hooke în îndoire: , de unde (formula Navier): , Jx - momentul de inerție al secțiunii față de axa centrală principală perpendiculară pe planul momentului încovoietor, EJx - rigiditatea la încovoiere, https://pandia.ru/text/78/374 /images/image091_15.gif" width="126" height="54">, Jx/ymax=Wx-modul secțiunii în îndoire, .
https://pandia.ru/text/78/374/images/image094_14.gif" width="103 height=54" height="54">, unde Sx(y) este momentul static relativ la axa neutră a acea parte a zonei, care este situată sub sau deasupra stratului distanțat la o distanță „y” de axa neutră; Jx - momentul de inerție Total secțiune transversală în raport cu axa neutră, b(y) este lățimea secțiunii din stratul pe care se determină eforturile de forfecare.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image096_14.gif" width="89" height="49 src=">, F=b×h, pentru secțiune circulară:, F=p×R2 , pentru o secțiune de orice formă ,
k- coeficient în funcție de forma secțiunii (dreptunghi: k= 1,5; cerc - k= 1,33).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image100_12.gif" align="left" width="244" height="85 src=">Acțiunea piesei aruncate este înlocuită cu factori de forță interni M și Q, care sunt determinate din ecuațiile de echilibru. În unele universități, se stabilește momentul M>0, adică diagrama momentelor este construită pe fibre întinse. Când Q= 0, avem un extremum al diagramei de momente. Dependențe diferențiale între M,QȘiq: https://pandia.ru/text/78/374/images/image102_10.gif" width="187" height="54">.
Calculul rezistenței la încovoiere
:
două condiţii de rezistenţă legate de puncte diferite ale grinzii: a) prin solicitări normale 
, (punctele cele mai îndepărtate de C); b) prin eforturi de forfecare https://pandia.ru/text/78/374/images/image105_10.gif "width="96" height="51">, care se verifică conform b). Pot exista puncte în secțiunile grinzilor, unde se regăsesc atât tensiuni normale, cât și cele tangenţiale mari.Pentru aceste puncte se găsesc tensiuni echivalente, care nu trebuie să le depășească pe cele admisibile.Condițiile de rezistență se verifică conform diverselor teorii de rezistență.
eu-eu: 
; II-I: (cu raportul lui Poisson m=0,3); - folosit rar.
III-I: 
, IV-I: 
,
Teoria lui Mohr: , (folosit pentru fontă, în care efortul de întindere admisibil ¹ - compresiune).
Determinarea deplasărilor în grinzi în timpul îndoirii
https://pandia.ru/text/78/374/images/image113_9.gif" width="104" height="52 src=">, unde r(x) este raza de curbură a axei îndoite a grinda în secțiunea x, M (x) - momentul încovoietor în aceeași secțiune, EJ - rigiditatea grinzii Se știe din matematica superioară: - tangenta unghiului dintre axa x si tangenta la axa curbata. Această valoare este foarte mică (deflexiunile fasciculului sunt mici) Þ pătratul său este neglijat și unghiul de rotație al secțiunii este egalat cu tangenta. aproximativ ecuație diferențială pentru axa fasciculului curbat: 
. Dacă axa y este îndreptată în sus, atunci semnul (+). În unele universități, axa y coboară Þ(-). Integrarea diff..gif" width="226" height="50 src="> - obținem nivelul de deviere. Constantele de integrare C și D se găsesc din condițiile la limită, care depind de metodele de fixare a fasciculului.
a" de la origine, se înmulțește cu factorul (x - a) 0, care este egal cu 1. Orice sarcină distribuită este extinsă până la capătul grinzii și se aplică o sarcină în direcția opusă pentru a o compensa. .
EJ= M(x) = RA×x – https://pandia.ru/text/78/374/images/image122_8.gif" width="79 height=49" height="49"> - P(x - a – b); integrăm:
EJ = EJq0 + RA× – – M(x – a) + – P;
EJy =EJy0 + EJq0x + RA× – – M + https://pandia.ru/text/78/374/images/image132_8.gif" width="93" height="51 src=">.
Parametrii inițiali sunt cei pe care îi avem la origine, adică pentru figură: M0=0, Q0=RA, abatere y0=0, unghi de rotație q0¹0. q0 găsim din substituirea în ecuația a doua condițiile pentru fixarea suportului drept: x=a+b+c; y(x)=0.
Dependențe diferențiale în îndoire :
; 
; https://pandia.ru/text/78/374/images/image136_6.gif" width="56" height="48 src=">.
Definirea deplasărilor prin metoda sarcinii fictive. Potrivirea ecuațiilor:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image138_5.gif" align="left" width="203" height="120 src="> și avem o analogie, Þ definiția deflexiunilor poate se reduce la definirea momentelor de la o sarcină fictivă (condițională) dintr-o grindă fictivă: Momentul de la o sarcină fictivă Mf după împărțirea la EJ este egal cu deformarea „y” într-o grindă dată de la o sarcină dată Având în vedere că și , obținem că unghiul de rotație într-un fascicul dat este numeric egal cu forța transversală fictivă dintr-un fascicul fictiv.. În acest caz, ar trebui să existe o analogie completă în condițiile la limită a două fascicule.Fiecare fascicul dat corespunde propriei grinzi. fascicul fictiv.
Fixarea grinzilor fictive se alege din condiția ca la capetele grinzii și pe suporturi să existe o corespondență completă între „y” și „q” într-o grindă dată și Mf și Qf într-o grindă fictivă. Dacă diagramele momentelor atât în grinzile reale, cât și în cele fictive sunt construite din partea fibrei întinse (adică, momentul pozitiv este stabilit), atunci liniile de deviere din fasciculul dat coincid cu diagrama momentelor din fasciculul fictiv.
Grinzi static nedeterminate.
Sistemele sunt numite static nedeterminate dacă reacțiile în care nu pot fi determinate din ecuațiile de echilibru ale unui corp solid. În astfel de sisteme, există mai multe legături decât este necesar pentru echilibru. Gradul de indeterminare statică a fasciculului(fără balamale intermediare - grinzi continue) este egal cu numărul în exces (în plus) de legături externe (mai mult de trei).
https://pandia.ru/text/78/374/images/image120_7.gif" width="21" height="25 src=">.gif" width="20" height="25 src=">. gif" width="39" height="51 src="> + C;
EJy = RВ×https://pandia.ru/text/78/374/images/image129_6.gif" width="40" height="49 src="> + С×х + D..gif" width=" 39" height="49 src=">+ MA=0; sunt RA și MA.
se numește „fixare” suplimentară sistem principal. Pentru „extra” necunoscut, puteți lua oricare dintre reacții. După aplicarea sarcinilor date sistemului principal, adăugăm o condiție care asigură coincidența fasciculului dat și a celui principal - ecuația de compatibilitate a deplasării. Pentru Fig.: yB=0, adică deformarea în punctul B = 0. Soluția acestei ecuații este posibilă în moduri diferite.
Mod de a compara deplasările
.
Deformarea punctului B (Fig.) este determinată în sistemul principal sub acțiunea unei sarcini date (q): yВq = „extra” necunoscut RB, iar deformarea față de acțiunea lui RB se găsește: 
. Înlocuiți în ecuația de compatibilitate a deplasării: yB= yВq += 0, adică += 0, de unde RB=https://pandia.ru/text/78/374/images/image153_4.gif" align="left" width =" 371" height="300 src="> Teorema celor trei momente
. Folosit în calcul grinzi continue- grinzi pe multe suporturi, dintre care unul fix, restul sunt mobile. Pentru a trece de la un fascicul static nedeterminat la un sistem de bază determinat static, balamalele sunt introduse deasupra suporturilor suplimentare. Necunoscute suplimentare: momentele Mn aplicate la capetele travelor peste suporturi suplimentare.
Se construiesc diagrame de momente pentru fiecare deschidere a grinzii de la o sarcină dată, considerând fiecare deschidere ca o grindă simplă pe două suporturi. Pentru fiecare suport intermediar este compilat „n”. ecuația a trei momente:
wn, wn+1 – suprafețele grafice, an – distanța de la centrul de greutate al diagramei din stânga la suportul din stânga, bn+1 – distanța de la centrul de greutate al diagramei din dreapta până la suportul din dreapta. Numărul de ecuații de moment este egal cu numărul de suporturi intermediare. Soluția lor comună face posibilă găsirea momentelor de sprijin necunoscute. Cunoscând momentele de sprijin, se iau în considerare deschiderile individuale și se găsesc reacții de sprijin necunoscute din ecuațiile statice. Dacă există doar două intervale, atunci momentele stânga și dreapta sunt cunoscute, deoarece acestea sunt fie momente date, fie sunt egale cu zero. Ca rezultat, obținem o ecuație cu o necunoscută М1.
Metode generale de determinare a deplasărilor
m" , care este cauzată de acţiunea forţei "n" generalizat. Deplasare totală cauzată de mai mulţi factori de forţă: DР = DРP + DРQ + DРM. Deplasări cauzate de o singură forţă sau de un singur moment: d - deplasare specifică. Dacă o singură forță P=1 a provocat o deplasare dP, atunci deplasarea totală cauzată de forța P va fi: DP=P×dP. Dacă factorii de forță care acționează asupra sistemului sunt desemnați X1, X2, X3 etc., atunci mișcarea în direcția fiecăruia dintre ei:
unde Х1d11=+D11; X2d12=+D12; Хidmi=+Dmi. Dimensiunea deplasărilor specifice: 
, J - jouli, dimensiunea de lucru este 1J = 1Nm.
Lucrul forțelor externe care acționează asupra unui sistem elastic: 
.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image160_3.gif" width="307" height="57">,
k - coeficient care ține cont de distribuția neuniformă a tensiunilor de forfecare pe aria secțiunii transversale, depinde de forma secțiunii.
Pe baza legii conservării energiei: energia potenţială U=A.
D 
11 - mișcare în direcție. forța P1 din acțiunea forței P1;
D12 - mișcare în direcție. forța P1 din acțiunea forței P2;
D21 - mișcare în direcție. forța P2 din acțiunea forței P1;
D22 - mișcare în direcție. forța P2 din acțiunea forței P2.
А12=Р1×D12 este munca forței Р1 a primei stări asupra mișcării în direcția acesteia, cauzată de forța Р2 a celei de-a doua stări. În mod similar: A21=P2×D21 este munca forței P2 a celei de-a doua stări asupra mișcării în direcția acesteia, cauzată de forța P1 a primei stări. A12=A21. Același rezultat se obține pentru orice număr de forțe și momente. Teorema reciprocității de lucru: Р1×D12=Р2×D21.
Munca forțelor din prima stare asupra deplasărilor în direcțiile lor, cauzate de forțele din a doua stare, este egală cu munca forțelor din a doua stare asupra deplasărilor în direcțiile lor, cauzate de forțele primei stări. .
Teorema privind reciprocitatea deplasărilor (teorema lui Maxwell) Dacă P1=1 și P2=1, atunci P1d12=P2d21, adică d12=d21, în general dmn=dnm.
Pentru două stări unitare ale unui sistem elastic, mișcarea în direcția primei forțe unitare cauzată de a doua forță unitară este egală cu mișcarea în direcția celei de-a doua forțe unitare cauzată de prima forță.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image163_4.gif" width="104" height="27 src="> din acțiunea unei forțe unitare; 4) expresiile găsite sunt substituite în Mohr integrală și integrată conform dat Dacă rezultatul Dmn>0, atunci deplasarea coincide cu direcția aleasă a forței unitare, dacă<0, то противоположно.
Pentru design plat:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image165_3.gif" width="155" height="58">.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image167_4.gif" width="81 height=43" height="43"> pentru cazul în care diagrama de la o anumită sarcină are o formă arbitrară și dintr-o singură sarcină - rectilinie este convenabil determinată prin metoda grafic-analitică propusă de Vereshchagin. 
, unde W este aria diagramei Мр de la o sarcină externă, yc este ordonata diagramei de la o sarcină unitară sub centrul de greutate al diagramei Мр. Rezultatul înmulțirii diagramelor este egal cu produsul dintre aria uneia dintre diagrame cu ordonata celeilalte diagrame, luată sub centrul de greutate al ariei primei diagrame. Ordonata trebuie luată dintr-un grafic în linie dreaptă. Dacă ambele diagrame sunt rectilinie, atunci ordonata poate fi luată de la oricare.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image170_3.gif" width="119" height="50 src=">. Această formulă este calculată pe secțiuni, fiecare dintre acestea ar trebui să aibă o linie dreaptă diagramă fără fracturi.Diagrama complexă Mp este împărțită în forme geometrice simple, pentru care este mai ușor să se determine coordonatele centrelor de greutate.La înmulțirea a două diagrame care arată ca trapeze, este convenabil să se utilizeze formula: 
. Aceeași formulă este potrivită și pentru diagramele triunghiulare, dacă înlocuim ordonata corespunzătoare = 0.
https://pandia.ru/text/78/374/images/image173_3.gif" width="71" height="48"> (pentru fig., i.e. 
, xC=L/2).
oarbă „înglobare cu o sarcină uniform distribuită, avem o parabolă pătratică concavă, pentru care =3L/4. Se poate obține și dacă diagrama este reprezentată de diferența dintre aria unui triunghi și aria unei parabole pătratice convexe: 
. Zona „lipsă” este considerată negativă.
teorema lui Castigliano.
– deplasarea punctului de aplicare a forței generalizate în direcția de acțiune a acesteia este egală cu derivata parțială a energiei potențiale față de această forță. Neglijând influența forțelor axiale și transversale asupra mișcării, avem energia potențială: 
, Unde 
.
Sisteme static nedeterminate- sisteme, factorii de forță în elementele cărora nu pot fi determinați numai din ecuațiile de echilibru ale unui corp rigid. În astfel de sisteme, numărul de legături este mai mare decât este necesar pentru echilibru. Gradul de indeterminare statică: S = 3n - m, n - numărul de bucle închise din structură, m - numărul de balamale simple (o balama care conectează două tije este socotită ca una, care conectează trei tije - ca două etc.). metoda forței factorii de forță sunt luați ca necunoscute. Secvența de calcul: 1) setați gradul de statică. indefinibilitate; 2) prin eliminarea conexiunilor inutile, sistemul original este înlocuit cu unul determinat static - sistemul principal (pot exista mai multe astfel de sisteme, dar la îndepărtarea conexiunilor inutile, invariabilitatea geometrică a structurii nu trebuie încălcată); 3) sistemul principal este încărcat cu forțe date și necunoscute inutile; 4) forțele necunoscute trebuie selectate astfel încât deformațiile sistemului original și principal să nu difere. Adică, reacțiile legăturilor respinse ar trebui să aibă astfel de valori la care deplasările în direcțiile lor = 0. Ecuațiile canonice ale metodei forțelor:
Aceste ecuații sunt tulpini suplimentare care vă permit să deschideți statice. indefinibilitate. Numărul de ur-s = numărul de conexiuni aruncate, adică gradul de nedeterminare a sistemului.
dik este mișcarea în direcția i, cauzată de o forță unitară care acționează în direcția k. dii - principale, dik - mișcări laterale. Conform teoremei de reciprocitate: dik=dki. Dip - mișcare în direcția i-a conexiune, cauzată de acțiunea unei sarcini date (elementele de sarcină). Deplasările incluse în ecuațiile canonice sunt determinate convenabil prin metoda Mohr.
Pentru a face acest lucru, sarcinile individuale X1=1, X2=1, Xn=1, sarcina externă sunt aplicate sistemului principal și sunt trasate curbele momentelor încovoietoare. Integrala Mohr este folosită pentru a găsi: 
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
;
; 
; ….; 
.
Linia peste M indică faptul că aceste forțe interne sunt cauzate de acțiunea unei forțe unitare.
Pentru sistemele formate din elemente rectilinii, este convenabil să multiplicați diagramele folosind metoda Vereshchagin. 
; 
etc. WP este aria diagramei Mp dintr-o sarcină externă, yСр este ordonata diagramei dintr-o singură sarcină sub centrul de greutate al diagramei Мр, W1 este aria diagramei M1 dintr-o o singură sarcină. Rezultatul înmulțirii diagramelor este egal cu produsul dintre aria uneia dintre diagrame cu ordonata celeilalte diagrame, luată sub centrul de greutate al ariei primei diagrame.
Calculul barelor curbe plate (tijele)
Grinzile curbate includ cârlige, zale, arcade etc. Limitări: secțiunea transversală are o axă de simetrie, axa grinzii este o curbă plană, sarcina acționează în același plan. Există bare cu curbură mică: h / R<1/5, большой кривизны: h/R³1/5. При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения рассчитывают по формуле Навье, как для балок с прямой осью: https://pandia.ru/text/78/374/images/image198_3.gif" width="115" height="55">,
rН este raza stratului neutru, e=R – rН, R este raza stratului în care se află centrele de greutate ale secțiunii. Axa neutră a fasciculului curbat nu trece prin centrul de greutate al secțiunii C. Este întotdeauna situată mai aproape de centrul de curbură decât de centrul de greutate al secțiunii. , r=rН – y. Cunoscând raza stratului neutru, puteți determina distanța „e” de la stratul neutru la centrul de greutate. Pentru o secțiune dreptunghiulară cu înălțimea h, cu raza exterioară R2 și interioară R1: ; pentru diferite secțiuni, formulele sunt date în literatura de referință. Pentru h/R<1/2 независимо от формы сечения можно определять "е" по приближенной формуле: , где Jx – момент инерции сечения относительно оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно плоскости кривизны бруса.
Tensiunile normale în secțiune sunt distribuite conform legii hiperbolice (mai puțin la marginea exterioară a secțiunii, mai mult la marginea interioară). Sub acțiunea unei forțe normale N: 
(aici rН este raza stratului neutru, care ar fi sub acțiunea doar a momentului M, adică la N=0, dar în realitate, în prezența unei forțe longitudinale, acest strat nu mai este neutru). Stare de rezistenta: 
, luând în considerare punctele extreme la care tensiunile totale de încovoiere și tensiune-comprimare vor fi cele mai mari, adică y= – h2 sau y= h1. Deplasările sunt determinate convenabil prin metoda lui Mohr.
Stabilitatea tijelor comprimate. Îndoire longitudinală
Distrugerea tijei poate avea loc nu numai pentru că rezistența va fi spartă, ci și pentru că tija nu își păstrează forma dorită. De exemplu, îndoirea sub compresia longitudinală a unei rigle subțiri. Se numește pierderea stabilității unei forme rectilinie de echilibru a unei tije comprimate central flambaj. Echilibrul elastic în mod constant, dacă corpul deformat, cu orice mică abatere de la starea de echilibru, tinde să revină la starea inițială și revine la el când influența externă este înlăturată. Sarcina, al cărei exces provoacă pierderea stabilității, se numește sarcina critica Rcr (forța critică). Sarcina permisă [P]=Pkr/nу, nу – factor de stabilitate normativ..gif" width="111" height="51 src=">.gif" width="115 height=54" height="54"> - formula dă valoarea forței critice pentru o tijă cu capete articulate. Cu diverse fixari: 
, m este factorul de reducere a lungimii.
Cu fixare articulată a ambelor capete ale tijei m=1; pentru o tijă cu capete închise m=0,5; pentru o tijă cu unul închis și celălalt capăt liber m=2; pentru o tijă cu un capăt fix și celălalt capăt articulat, m=0,7.
Efort critic de compresiune.: 
, – flexibilitatea tijei, 
este cea mai mică rază principală de inerție a ariei secțiunii transversale a tijei. Aceste formule sunt valabile numai atunci când tensiunile skr £ spts sunt limita de proporționalitate, adică în limitele de aplicabilitate ale legii lui Hooke. Formula Euler este aplicabilă atunci când tija este flexibilă: 
, de exemplu, pentru oțel St3 (C235) lkr "100. Pentru cazul l
Lansete suficient de scurte pentru care l
(Fnet = Fgross-Fweak – zona secțiunii slăbite, ținând cont de zona găurilor din secțiunea Fweak, de exemplu, de la nituri). \u003d scr / nу, nу - coeficient standard. marja de stabilitate. Tensiunea admisibilă este exprimată în termenii tensiunii admisibile principale [s] utilizate în calculele de rezistență: =j×[s], j - factor admisibil de reducere a stresului pentru tije comprimate (coeficient de flambaj). Valorile lui j sunt date în tabel. în manuale și depind de materialul tijei și de flexibilitatea acestuia (de exemplu, pentru oțel St3 la l=120 j=0,45).
În calculul de proiectare al ariei secțiunii transversale necesare, j1 = 0,5–0,6 este luat la prima etapă; găsi: 
. În plus, cunoscând Fgross, selectați secțiunea, determinați Jmin, imin și l, setați conform tabelului. j1I real, dacă diferă semnificativ de j1, calculul se repetă cu media j2= (j1+j1I)/2. Ca urmare a celei de-a doua încercări, se găsește j2I, în comparație cu valoarea anterioară, și așa mai departe, până când se obține o potrivire suficient de apropiată. De obicei durează 2-3 încercări..
Relație între momente de inerție la rotirea axelor:
https://pandia.ru/text/78/374/images/image249_2.gif" width="17" height="47 src=">(Jx - Jy)sin2a + Jxycos2a ;
Unghiul a>0, dacă trecerea de la vechiul sistem de coordonate la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. p. Jy1 + Jx1= Jy + Jx
Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele față de care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale \u003d 0, adică axele principale de inerție sunt axele față de care momentul de inerție centrifugal \u003d 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci sunt principale. Unghi care definește poziția axelor principale: 
, dacă a0>0 Þ axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic. p. Axa maximului face intotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor, fata de care momentul de inertie are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție asupra acestor axe: 
Jmax + Jmin = Jx + Jy. Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor centrale principale de inerție este 0. Dacă sunt cunoscute momentele principale de inerție, atunci formulele pentru trecerea la axele rotite sunt:
Jx1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jy1=Jmaxcos2a + Jminsin2a; Jx1y1=(Jmax - Jmin)sin2a;
Scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale secțiunii este de a determina principalele momente centrale de inerție și poziția principalelor axe centrale de inerție. 
Raza de inerție- https://pandia.ru/text/78/374/images/image254_3.gif" width="85" height="32 src=">. Pentru secțiuni cu mai mult de două axe de simetrie (de exemplu: cerc, pătrat, inel etc.) momentele axiale de inerție față de toate axele centrale sunt egale între ele, Jxy=0, elipsa de inerție se transformă într-un cerc de inerție.
s- tensiune normală[Pa], 1 Pa (pascal) = 1 N/m2,
106Pa = 1 MPa (megapascal) = 1 N/mm2
N - forța longitudinală (normală) [N] (newton); F - aria secțiunii transversale [m2]
e - deformare relativă [valoare adimensională];
DL - deformare longitudinală [m] (alungire absolută), L - lungime bară [m].
Legea lui Hooke - s = E×e
E - modulul de tracțiune (modulul de elasticitate de primul fel sau modulul de Young) [MPa]. Pentru oțel E = 2×105MPa = 2×106 kg/cm2 (în sistemul „vechi” de unități).
(cu cât este mai mult E, cu atât materialul este mai puțin extensibil)
; - legea lui Hooke
EF - rigiditatea tijei în tensiune (compresie).
Când tija este întinsă, se „subțiază”, lățimea sa - a scade prin deformare transversală - Da.
Deformare transversală relativă.
 |
Caracteristicile mecanice de bază ale materialelor
sp - limita de proporționalitate, st - punct de randament, sВ- limita de putere sau rezistență temporară, sk este tensiunea în momentul ruperii.
Materialele fragile, cum ar fi fonta, se sparg la alungiri mici și nu au un platou de curgere, rezistând la compresie mai bine decât la întindere.
Tensiune admisibilă https://pandia.ru/text/78/374/images/image276_3.gif" align="left" width="173" height="264"> tensiuni de-a lungul pantei:
Sarcina directă…………………………………………………………..3
Problemă inversă…………………………………………………… 3
Stare de stres de volum…………………………4
Tensiuni de-a lungul sitului octaedric………..5
Deformatii in stare de solicitare volumetrica.
Legea lui Hooke generalizată …………………………………………6
Energia potențială de deformare…………………………7
Teorii forței………………………………………………………………………………9
Teoria puterii lui Mohr ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………
Cercul Mohr ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
Deplasare netă……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………
Legea lui Hooke în forfecare ………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………
Torsiunea………………………………………………………..13
Torsiunea unei bare dreptunghiulare………….14
Îndoiți………………………………………………………………………15
Formula lui Zhuravsky…………………………………………………………………16
Calcul pentru rezistența la încovoiere…………………………………………………………………18
Determinarea deplasărilor în grinzi în timpul îndoirii……………19
Dependențe diferențiale în îndoire……………….20
Ecuația de compatibilitate a deplasării…………..22
Modalitate de comparare a deplasărilor……………………………..22
Teorema celor trei momente………………………………………..22
Metode generale de determinare a deplasărilor………………….24
Teorema de reciprocitate a muncii (teorema lui Betley)……….25
Teorema privind reciprocitatea deplasărilor (teorema lui Maxwell).. 26
Calculul integralei Mohr prin metoda Vereshchagin……….27
Teorema lui Castigliano……………………………………………………..28
Sisteme static nedeterminate……………..29
Calculul barelor (tijele) curbe plate………...31
Stabilitatea tijelor comprimate. Îndoire longitudinală………33
Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate…………36
Momentele de inerție ale secțiunii……………………………………………..37
Momentul de inerție centrifugal al secțiunii …………………..37
Momentele de inerție ale secțiunilor de formă simplă………..38
Momente de inerție față de axele paralele……..39
Relația dintre momentele de inerție la întoarcere
axele………………………………………………………………… 40
Momente de rezistență…………………………………………….42
Tensiune și compresie………………………………………………………43
Caracteristicile mecanice de bază ale materialelor…….45
Biaxial sau apartament numită o astfel de stare de stres a corpului, în care în toate punctele sale una dintre tensiunile principale este egală cu zero. Se poate arăta * că o stare de efort plană are loc într-un corp prismatic sau cilindric (Fig. 17.1) cu capete libere și neîncărcate, dacă pe suprafața laterală a corpului este aplicat un sistem de forțe exterioare normal cu axa. Oz si schimbandu-se in functie de z conform legii pătratice, este simetrică față de secțiunea medie. Se pare că în toate secțiunile transversale ale corpului
si tensiune un x, un y, x schimba in functie de z de asemenea, conform legii pătratice, este simetrică față de secțiunea medie. Introducerea acestor ipoteze face posibilă obținerea unei soluții a problemei care să îndeplinească condițiile (17.13) și toate ecuațiile teoriei elasticității.
Interesant este cazul special când tensiunile nu depind de variabilă z'-
O astfel de stare tensionată este posibilă numai sub acțiunea unei sarcini distribuite uniform pe lungime. Din formulele legii lui Hooke (16.3) rezultă că deformațiile e x, e y, e z, y nu depind nici de z, si deformatii y si y zx luând în considerare (17.13) sunt egale cu zero. În acest caz, a patra și a cincea dintre ecuațiile de continuitate a deformării (16.4), (16.5) sunt satisfăcute în mod identic, iar a doua, a treia și a șasea ecuație iau forma
Integrând aceste ecuații și ținând cont de cea de-a treia formulă a legii lui Hooke (16.3) cu az = 0, primim
Cm.: Timoshenko S.P., Goodyear J. Teoria elasticității. Moscova: Nauka, 1975.
Astfel, o stare de efort plană într-un corp prismatic sau cilindric cu capete libere încărcate cu o sarcină de suprafață constantă de-a lungul lungimii corpului este posibilă numai în cazul particular în care suma tensiunilor un x + un y variază în funcţie de variabilele x şi la liniară sau constantă.
Dacă distanța dintre planurile de capăt ale corpului (Fig. 7.1) este mică în comparație cu dimensiunile secțiunilor, atunci avem cazul unei plăci subțiri (Fig. 17.5) încărcată de-a lungul conturului exterior cu forțe distribuite simetric față de planul mijlociu al plăcii conform unei legi pătratice. Din moment ce grosimea plăcii h este mic, apoi cu o ușoară eroare se poate presupune că pentru orice încărcare simetrică față de planul median al plăcii de tensiune a x, a v, txv sunt distribuite uniform pe grosimea sa.
În acest caz, tensiunile trebuie înțelese ca valorile lor medii pe grosime, de exemplu
De asemenea, trebuie remarcat faptul că atunci când se introduce ipoteza (17.14), condiția (17.13) de tensiuni nule
Cazul considerat al stării de efort a unei plăci subțiri cu ipotezele (17.13) și (17.14) este adesea numit stare generalizată de stres plană.
Să luăm în considerare ecuațiile de bază ale teoriei elasticității pentru acest caz.
Ținând cont de (17.13), formulele legii lui Hooke (16.3) pot fi scrise sub forma
Relațiile inverse corespunzătoare au forma
Formulele (17.17) și (17.18) diferă de formulele (17.7) și (17.9) ale legii lui Hooke pentru deformarea plană numai prin aceea că în cea din urmă, în loc de modulul elastic E iar raportul lui Poisson v include cantitățile reduse E (și vr
Ecuațiile de echilibru, relațiile Cauchy, ecuația de continuitate a deformarii și condițiile la limită statică nu diferă de ecuațiile corespunzătoare (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) pentru deformarea plană.
Deformarea plană și starea generalizată a tensiunii plane sunt descrise în esență prin aceleași ecuații. Singura diferență este în valorile constantelor de elasticitate din formulele legii lui Hooke. Prin urmare, ambele sarcini sunt combinate printr-un nume comun: problema plană a teoriei elasticității.
Sistemul complet de ecuații al problemei plane constă din două ecuații de echilibru (17.10), trei relații geometrice Cauchy (17.3) și trei formule ale legii lui Hooke (17.7) sau (17.17). Ele conțin opt funcții necunoscute: trei tensiuni a x, a y, x xy, trei tulpini e x, e y, y xyși două mișcări ȘiȘi Și.
Dacă la rezolvarea problemei nu este necesară determinarea deplasărilor, atunci numărul de necunoscute se reduce la șase. Pentru a le determina, există șase ecuații: două ecuații de echilibru, trei formule ale legii lui Hooke și ecuația de continuitate a deformațiilor (17.11).
Principala diferență între cele două tipuri de probleme plane luate în considerare este următoarea. Pentru deformarea plană ? z = 0,oz* 0 și valoarea c z poate fi găsită prin formula (17.6) după ce au fost determinate tensiunile o x io. Pentru o stare generalizată a tensiunii plane a z = 0, ? z Ф 0 și warp ? z poate fi exprimat în termeni de tensiuni o x şi OU conform formulei (17.16). in miscare w poate fi găsit prin integrarea ecuației Cauchy
STĂRI DEFORMATE („PROBLEMĂ PLATĂ”)
Stările plane de stres și deformare plană sunt caracterizate de următoarele caracteristici.
1. Toate componentele tensiunii nu depind de una dintre coordonatele comune tuturor componentelor și rămân constante atunci când se modifică.
2. În planuri normale pe axa acestei coordonate:
a) componentele tensiunii de forfecare sunt egale cu zero;
b) tensiunea normală este fie egală cu zero (starea de efort plană), fie egală cu jumătate din suma altor două tensiuni normale (starea de deformare plană).
Să luăm pentru axa, care a fost menționată mai devreme, axa y. Este clar din cele de mai sus că această axă va fi principală, adică poate fi de asemenea notată cu indicele 2. Mai mult, , și nu depind de y; în același timp, și , și, prin urmare, și și sunt egale cu zero.
Pentru o stare plană solicitată = 0. Pentru o stare plană deformată (această caracteristică a unei stări plane deformate va fi demonstrată mai jos).
Ar trebui să se țină cont întotdeauna de diferența semnificativă dintre stările de stres plan și deformare plană.
În prima, în direcția celei de-a treia axe, nu există stres normal, dar există deformare, în a doua există stres normal, dar nu există deformare.
O stare de efort plană poate fi, de exemplu, într-o placă supusă acțiunii forțelor aplicate pe contur paralel cu planul plăcii și distribuite uniform pe grosimea acesteia (Fig. 3.16). Modificarea grosimii plăcii în acest caz nu contează, iar grosimea acesteia poate fi luată ca unitate. Cu suficientă precizie, starea de efort a flanșei poate fi considerată plată atunci când extrageți o țagle cilindrice din material de tablă.
O stare deformată plană poate fi acceptată pentru secțiuni ale unui corp cilindric sau prismatic de mare lungime, îndepărtate de capete, dacă corpul este încărcat cu forțe care nu se modifică pe lungimea sa și sunt direcționate perpendicular pe generatoare. Într-o stare deformată plată, de exemplu, o bară poate fi considerată a fi supusă la răsturnări în direcția grosimii sale, când deformarea pe lungime poate fi neglijată.
Toate ecuațiile stării tensiunii pentru o problemă plană sunt mult simplificate și numărul de variabile este redus.
Ecuațiile pentru problema plană pot fi obținute cu ușurință din cele derivate mai devreme pentru starea de tensiune în vrac, ținând cont de faptul că 
\u003d 0 și luând \u003d 0, deoarece zonele înclinate ar trebui să fie considerate doar paralele cu axa y, adică normale zonelor care sunt libere de solicitări într-o stare de efort plană sau lipsite de deformații într-o stare de deformare plană (Fig. 3.17). ).
În cazul în cauză
Notând unghiul (vezi Fig. 3.17) dintre normala zonei înclinate și axă (sau axa, dacă starea de stres este dată în axele principale 1 și 2) prin , se obține , de unde .
Avand in vedere cele de mai sus, prin substituiri directe in expresiile corespunzatoare (3.10) si (3.11) pentru starea de solicitare volumetrica se obtin tensiunile normale si taietoare in zona inclinata (vezi Fig. 3.17).
Fig.3.15. Stare de tensiune plană (a), efort pe o platformă înclinată (b)
tensiune normală
efort de forfecare
. (3.41)
Din expresia (3.41) este ușor de observat că are un maxim la sin 2 \u003d 1, adică la \u003d 45 °:
. (3.42)
Mărimea tensiunilor principale poate fi exprimată în termeni de componente în axe arbitrare, folosind ecuația (3.13), din care obținem
. (3.43)
În acest caz, pentru o stare de efort plană = 0; pentru starea de tensionare plată
Cunoscând starea de stres în axele principale, este ușor să treceți la orice axe de coordonate arbitrare (Fig. 3.18). Fie ca noua axă de coordonate x să facă un unghi cu axa, apoi, considerând-o ca o normală la zona înclinată, avem pentru aceasta din urmă conform ecuației (3.40)
dar pentru axă, tensiunea este tensiunea, deci
această expresie poate fi convertită după cum urmează:
(3.44)
Noua axă va fi înclinată către axa 1 cu un unghi (+90°); prin urmare, înlocuind în ecuația anterioară cu ( + 90°), obținem
Determinăm tensiunea din expresia (3.41):
. (3.46)
Indicând tensiunea medie prin, adică luând
, (3.47)
și ținând cont de ecuația (3.42), obținem așa-numitele formule de transformare, care exprimă componentele tensiunii în funcție de unghi:
(3.48)
Când construim diagrama Mohr, luăm în considerare faptul că, deoarece luăm în considerare zone paralele cu axa y (adică, axa 2), direcția cosinus este întotdeauna zero, adică unghi = 90 °. Prin urmare, toate valorile corespunzătoare și vor fi situate pe cercul definit de ecuația (3.36 b) atunci când se substituie = 0 în acesta, și anume:
, (3.49)
sau luând în considerare expresiile (3.47) și (3.42)
. (3.49a)
Acest cerc este prezentat în fig. 3.19 și este o diagramă Mohr. Coordonatele unui punct P situat pe cerc determină valorile corespunzătoare și Să conectăm punctul P cu punctul . Este ușor de observat că segmentele 0 2 P = ;
Рр= , Ор= , și, în consecință, păcat 
= 
.
Comparând expresiile obţinute cu ecuaţiile (3.48), putem stabili că
P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.
Astfel, cunoscând poziția zonei înclinate, determinată de unghi, se pot afla valorile tensiunilor și care acționează în această zonă.
Fig.3.17. Diagrama Mohr
,
atunci segmentul OP exprimă solicitarea totală S.
Dacă un element al unui corp solicitat, în a cărui față înclinată sunt considerate tensiuni, este desenat astfel încât solicitarea principală să fie îndreptată paralel cu axa, atunci normalul N trasat pe această față înclinată și, prin urmare, direcția tensiunii, va fi paralel cu segmentul СР.
Continuând linia P0 2 până la intersecția cu cercul, în punctul P „se obține a doua pereche de valori și pentru o altă zonă înclinată, în care „ = + 90 °, adică pentru aria perpendiculară pe prima , cu direcția normalei ". Direcțiile normalelor N și N" pot fi luate, respectiv, ca direcții ale noilor axe: și , și solicitările și " - respectiv pentru tensiunile de coordonate și. Astfel, este posibil să se determinați starea de solicitare în axe arbitrare fără a folosi formulele (3.44) - (3.46).sunt egale între ele conform legii împerecherii.
Nu este dificil de rezolvat problema inversă: pentru tensiuni date în două zone reciproc perpendiculare și , t "(unde t" = t) găsiți tensiunile principale.
Desenăm axele de coordonate n și (Fig. 3.19). Reprezentăm punctele P și P "cu coordonatele corespunzătoare tensiunilor date , și ,. Intersecția segmentului PP" cu axa va determina centrul cercului Mohr 0 2 cu un diametru PP "= 2 31. În plus, dacă construim axele N, N" (sau, ceva la fel, , ) si rotim figura astfel incat directiile acestor axe sa fie paralele cu directiile tensiunilor si in punctul considerat al corpului dat, apoi directiile axelor. iar diagrama va fi paralelă cu direcția axelor principale 1 și 2.
Obținem ecuația de echilibru diferențial pentru o problemă plană din ecuațiile (3.38), ținând cont de faptul că toate derivatele față de y sunt egale cu zero și sunt, de asemenea, egale cu zero și:
(3.50)
La rezolvarea unor probleme legate de plan, uneori este convenabil să folosiți coordonatele polare în locul coordonatelor dreptunghiulare, determinând poziția unui punct prin vectorul rază și unghiul polar, adică unghiul pe care vectorul rază îl face cu axa.
Condițiile de echilibru în coordonatele polare pot fi ușor obținute din aceleași condiții în coordonatele cilindrice prin echivalarea
Și dat fiind că derivatele sunt egale
(3.51)
Un caz special al unei probleme plane este acela în care tensiunile nu depind și de coordonată (distribuția tensiunilor este simetrică față de axă). În acest caz, derivatele în raport cu și solicită și vor dispărea, iar condițiile de echilibru sunt determinate de o ecuație diferențială
. (3.52)
Este clar că stresurile sunt principalele și aici.
O astfel de stare solicitată poate fi luată pentru flanșa unei țagle rotunde în timpul tragerii fără a apăsa paharul cilindric.
Tip de stare de stres
Starea de efort în orice punct al corpului deformabil este caracterizată de trei tensiuni și direcții normale principale ale axelor principale.
Există trei tipuri principale de stări de efort: volum (triaxiale), în care toate cele trei tensiuni principale nu sunt egale cu zero, plate (biaxiale), în care una dintre tensiunile principale este zero și liniară (uniaxiale), în care numai o tensiune principală este diferită de zero.
Dacă toate tensiunile normale au același semn, atunci starea tensiunii este numită cu același nume, iar dacă tensiunile de semne diferite sunt de semn opus.
Astfel, există nouă tipuri de stări de efort: patru volumetrice, trei plate și două liniare (Fig. 3.18).
Starea de solicitare se numește omogenă atunci când în orice punct al corpului deformabil direcțiile axelor principale și mărimea tensiunilor normale principale rămân neschimbate.
Tipul de stare de tensiune afectează capacitatea metalului de a se deforma plastic fără a se prăbuși și cantitatea de forță externă care trebuie aplicată pentru a obține o deformare de o valoare dată.
Deci, de exemplu, deformarea în condițiile aceleiași stări de solicitare volumetrică necesită mai mult efort decât în starea de efort opusă, toate celelalte lucruri fiind egale.
întrebări de testare
1. Ce este tensiunea? Ce caracterizează starea de stres a unui punct, a unui corp în ansamblu?
2. Ce exprimă indicii în notația componentelor tensorilor de tensiuni?
3. Dați regula semnului pentru componentele tensoarelor tensoare.
4. Notează formulele lui Cauchy pentru tensiuni pe platforme înclinate. Care este baza concluziei lor?
5. Ce este un tensor de stres? Care sunt componentele tensorului tensiunii?
6. Cum se numesc vectorii proprii și valorile proprii ale tensorului de stres?
7. Care sunt tensiunile principale? Cat de mult?
8. Dați regula de atribuire a indicilor principalelor tensiuni normale.
9. Oferiți o interpretare fizică a principalelor tensiuni normale și a axelor principale ale tensorului de tensiuni.
10. Afișați diagramele principalelor tensiuni normale pentru principalele procese ale OMD - laminare, tragere, presare.
11. Ce sunt invarianții tensorilor de stres? Cat de mult?
12. Care este sensul mecanic al primului invariant tensor al tensiunii?
13. Ce se numește intensitatea tensiunilor de forfecare?
14..Care sunt principalele tensiuni de forfecare? Găsiți platformele lor
15.. Câte zone ale tensiunilor de forfecare principale pot fi indicate într-un punct al corpului deformabil?
16. Care este efortul maxim de forfecare, efortul normal pe locul pe care actioneaza?
17. Ce este o stare de tensiune axisimetrică? Dă exemple.
18. Afișați diagramele principalelor tensiuni normale pentru principalele procese OMD - laminare, tragere, presare.
19. Ce este comun între un plan solicitat și o stare plană deformată și care este diferența dintre ele? La care dintre aceste stări se referă o simplă schimbare?
20. Dați formulele teoriei stresului cunoscute de dvs. în sistemul principal de coordonate
21. Ce este un elipsoid de stres? Notează-i ecuația și indică ordinea de construcție. Care este forma elipsoidului de stres pentru presiunea hidrostatică, stările de efort plană și liniară?
22. Scrieți o ecuație pentru găsirea principalelor tensiuni normale și trei sisteme de ecuații pentru găsirea axelor principale T a.
23..Ce este un tensor sferic și un deviator al tensiunii? Ce cantități sunt folosite pentru a calcula al doilea și al treilea invariant al deviatorului de stres?
24. Să se arate că principalele sisteme de coordonate ale tensorului tensiunii și ale deviatorului tensiunii coincid.
25. De ce sunt introduse în considerare intensitatea tensiunii și intensitatea tensiunii de forfecare? Explicați semnificația lor fizică și oferiți interpretări geometrice.
26. Ce este o diagramă Mohr? Care sunt razele cercurilor principale?
27. Cum se va schimba diagrama Mohr atunci când se schimbă tensiunea medie?
28. Ce sunt tensiunile octaedrice?
29. Câte zone caracteristice pot fi trasate printr-un punct al unui corp aflat în stare tensionată?
30. Condiții de echilibru pentru starea tensiunii volumetrice în coordonate dreptunghiulare, în coordonate cilindrice și sferice.
31. Ecuații de echilibru pentru o problemă plană.
BIBLIOGRAFIE
1. Ilyushin A. A. Plasticitate. Ch. I. M.-L., GTI, 1948. 346 p. (33)
2. I. M. Pavlov, „Despre natura fizică a reprezentărilor tensorilor în teoria plasticității”, Izvestiya vuzov. Metalurgia feroasă”, 1965, nr. 6, p. 100–104.
3. V. V. Sokolovsky, Teoria plasticității. M., Şcoala Superioară, 1969. 608 p. (91)
4. M. V. Storozhev și E. A. Popov, Teoria tratamentului cu presiunea metalelor. M., „Inginerie”, 1971. 323 p. (99)
5. S. P. Timoshenko, Teoria elasticității. Gostekhizdat, 1934. 451 p. (104)
6. Shofman L. A. Fundamentele calculului procesului de ștanțare și presare. Mashgiz, 1961. (68)
Să luăm în considerare cazul unei stări de efort plane, care este importantă pentru aplicații și se realizează, de exemplu, în plan Oyz. Tensorul tensiunii în acest caz are forma
Ilustrația geometrică este prezentată în Fig.1. În același timp, site-urile x= const sunt principale cu tensiuni principale zero corespunzătoare. Invarianții tensorilor de stres sunt , iar ecuația caracteristică ia forma
Rădăcinile acestei ecuații sunt
|
Numerotarea rădăcinilor se face pentru caz 
Fig.1. Starea inițială a tensiunii plane. 
Fig.2. Poziția tensiunilor principale
Un loc arbitrar este caracterizat de un unghi din Fig. 1, în timp ce vectorul P are componente: , , n x \u003d 0. Tensiunile normale și de forfecare pe un loc înclinat sunt exprimate în termeni de unghi după cum urmează:
Cea mai mică rădăcină pozitivă a ecuației (4) va fi notată cu . Din moment ce tg( X) este o funcție periodică cu perioadă , atunci avem două direcții reciproc ortogonale care formează unghiurile și 
cu ax OU. Aceste direcții corespund zonelor principale reciproc perpendiculare (Fig. 2).
Dacă diferențiem relația (2) față de și echivalăm derivata cu zero, atunci ajungem la ecuația (4), care demonstrează că tensiunile principale sunt extreme.
Pentru a găsi orientarea zonelor cu solicitări de forfecare extreme, echivalăm la zero derivata expresiei
de unde ajungem
|
Comparând relațiile (4) și (5), constatăm că
Această egalitate este posibilă dacă unghiurile și diferă prin unghiul . În consecință, direcțiile zonelor cu solicitări de forfecare extreme diferă de direcțiile zonelor principale printr-un unghi (Fig. 3).
Fig.3. Efort de forfecare extrem
Valorile tensiunilor de forfecare extreme se obțin după înlocuirea (5) în relația (3) folosind formulele
.
După câteva transformări, obținem
Comparând această expresie cu valorile obținute anterior ale tensiunilor principale (2.21), exprimăm tensiunile de forfecare extreme în termeni de tensiuni principale.
O substituire similară în (2) conduce la o expresie a tensiunilor normale pe zonele cu
Relațiile obținute ne permit să realizăm o analiză de rezistență orientată direcțional a structurilor în cazul unei stări de efort plane.
TENSOR DE TOLINĂ
Să luăm mai întâi în considerare cazul deformării plane (Fig. 4). Lăsați elementul plat MNPQ se deplasează în plan și se deformează (își schimbă forma și dimensiunea). Coordonatele punctelor elementului înainte și după deformare sunt marcate în figură.
Fig.4. Deformare plată.
Prin definiție, deformare liniară relativă într-un punct Mîn direcția axei Oh este egal cu
Din fig. 4 urmează
Dat fiind MN=dx, primim
În cazul deformărilor mici, când , , putem neglija termenii patratici. Ținând cont de raportul aproximativ
echitabil la X<<1, окончательно для малой деформации получим
Deformarea unghiulară este definită ca suma unghiurilor și (4). În cazul deformărilor mici
Pentru deformarea unghiulară avem
Efectuând calcule similare în cazul general al deformării tridimensionale, avem nouă relații
Acest tensor determină complet starea deformată a solidului. Are aceleași proprietăți ca tensorul tensiunii. Proprietatea simetriei rezultă direct din definirea deformațiilor unghiulare. Valorile principale și direcțiile principale, precum și valorile extreme ale deformațiilor unghiulare și direcțiile lor corespunzătoare, se găsesc prin aceleași metode ca și pentru tensorul tensiunii.
Invarianții tensorilor de deformare sunt definiți prin formule analoge, iar primul invariant al tensorului de deformare mic are o semnificație fizică clară. Înainte de deformare, volumul său este egal cu dV 0 =dxdydz. Dacă neglijăm deformațiile prin forfecare, care modifică forma, nu volumul, atunci după deformare nervurile vor avea dimensiuni.
(Fig. 4), iar volumul acestuia va fi egal cu
Modificarea volumului relativ
în cadrul unor mici deformaţii vor fi
care coincide cu definiţia primului invariant. Evident, modificarea volumului este o mărime fizică care nu depinde de alegerea sistemului de coordonate.
La fel ca tensorul de stres, tensorul de deformare poate fi descompus într-un tensor sferic și un deviator. În acest caz, primul invariant al deviatorului este egal cu zero, adică. deviatorul caracterizează deformarea corpului fără a-i modifica volumul.
