Rădăcina pătrată a lui 2100. Cum să găsiți manual rădăcina pătrată a unui număr. Exemple de calcul rădăcină

Ei bine, având în vedere că această rădăcină pătrată este produsul aceluiași număr (adică b \u003d a), atunci rădăcina pătrată a unei sute va fi 10 (100 \u003d 10).

Trebuie remarcat faptul că numărul 100 poate fi reprezentat ca produsul dintre 25 și 4. Și apoi calculați rădăcina pătrată atât a lui 25, cât și a lui 4. 5 și 2. Înmulțim și obținem și 10.

Când la școală tocmai am început să studiem acest subiect, rădăcină pătrată de 100, a fost probabil una dintre cele mai ușor de înțeles și calculele. De obicei, m-am uitat la un număr par (!) de zerouri și am calculat imediat ce număr, înmulțit cu el însuși, dă cifra sub rădăcina pătrată. De exemplu, dacă ar fi 10000, atunci rădăcina pătrată a numărului respectiv ar fi o sută (100x100 = 10000). Dacă în numărul sub mp. rădăcina este șase zerouri, apoi răspunsul va conține trei zerouri. etc.

În acest caz, în figură există doar două zerouri, ceea ce înseamnă că au fost două zeci. Asa de, rădăcina pătrată a lui 100 este 10. Verificăm: 10x10 = 100

A calcula rădăcină pătrată poate fi folosit în mai multe moduri.

1) Luați un calculator sau un smartphone/tabletă/computer cu un program de calcul instalat, introduceți numărul 100 și faceți clic pe pictograma rădăcină pătrată, care arată cam așa:

2) Cunoașteți tabelul pătratelor numerelor până la 100=25*4.

3) Prin metoda diviziunii.

4) Prin metoda de descompunere în factori primi 100=10*10.

Teoretic, dacă faci totul corect, vei obține un rezultat de 10.

Pictograma pentru rădăcina pătrată se numește radical și arată astfel.

Și rădăcina pătrată a lui 100 este ușor de extras dacă cunoști pătratele numerelor. 10 x 10 = 100. Deci rădăcina pătrată a lui 100, după definiția unei rădăcini pătrate, este 10.

Probabil fiecare elev știe că numărul 100 este produsul lui 10 cu 10.

Deoarece rădăcina pătrată este un număr care, atunci când este înmulțit cu el însuși, datele este o expresie radicală, atunci rădăcina pătrată a o sută va fi egală cu numărul 10.

Dacă ai uitat că 100=10*10, atunci poți folosi proprietățile rădăcinilor:

rădăcină pătrată a lui 100 = rădăcină pătrată a lui (25*4) = rădăcină pătrată a lui 25 * rădăcină pătrată a lui 4.

Toată lumea știe că 5 * 5 = 25 și 2 * 2 = 4. Prin urmare, rădăcina pătrată a lui 100 = 5 * 2 = 10.

Ei bine, dacă nici tu nu știi asta, atunci poți folosi un calculator sau tabele Excel, au o formulă specială numită RĂDĂCINĂ. Iată cum arată totul vizual:



Acum, cu ajutorul unui calculator, este foarte ușor să calculezi rădăcina pătrată a oricărui număr.

Puteți extrage rădăcina pătrată a numărului 100 oral. La urma urmei, se știe că aducerea numărului x la pătrat este numărul x înmulțit cu numărul x.

Dacă 10 10 = 100, atunci rădăcina pătrată a lui 100 este 10.

Răspunde la întrebare: 10 .

Rădăcina pătrată în matematică este indicată printr-un simbol convențional.

Rădăcina pătrată a lui a este un număr nenegativ al cărui pătrat este a. Deoarece 10^2=100, rădăcina pătrată a lui 100 este 10.

Există numere a căror rădăcină este foarte ușor de reținut. Pentru mine, de exemplu, 25 - rădăcina va fi 5, deoarece 5 * 5 = 25, 625 - rădăcina lui 25, deoarece 25 * 25 = 625.

De asemenea, trimit numărul 100 la astfel de numere - rădăcina va fi 10, verificăm 10 * 10 = 100. Deci corect.

Rădăcina pătrată a unei sute? se pare ca va fi 10

Cu greu îmi pot imagina că o persoană va intra online pentru acest răspuns, dar dacă ne imaginăm că este complet necolectat și neatent, atunci dau un răspuns. Rădăcina pătrată a lui 100 este 10, precum și -10. În multe surse este scris așa.



Rădăcina pătrată a lui 100 are două valori 10 și -10. Cei care nu cred pot fi verificați prin înmulțire.

Pentru a extrage rădăcina pătrată fără calculator, trebuie să recurgeți la descompunerea numărului de sub rădăcină în cei mai mici factori și să începeți de aici. Deci pentru numărul o sută:

Și, în consecință, de aici devine imediat clar că rădăcina pătrată a unei sute va fi exact 10 pentru noi.

A trebuit să-mi amintesc regula pe care mi-o aminteam de la școală:

Deși extragerea rădăcinii lui 100 este cel mai simplu lucru care nu necesită utilizarea calculatoarelor, deoarece a fost înrădăcinată în memorie pentru viață. Numărul 100 se obține prin înmulțirea a 10 cu 10 și, prin urmare, a numărului 10 și va fi rădăcina a o sută.

Atunci când rezolvă diverse probleme din cursul de matematică și fizică, elevii și studenții se confruntă adesea cu nevoia de a extrage rădăcini de gradul doi, trei sau al n-lea. Desigur, în sec tehnologia Informatiei Nu va fi dificil să rezolvi o astfel de problemă folosind un calculator. Cu toate acestea, există situații în care este imposibil să folosești un asistent electronic.

De exemplu, este interzis să aduceți electronice la multe examene. În plus, este posibil ca calculatorul să nu fie la îndemână. În astfel de cazuri, este util să cunoașteți cel puțin câteva metode pentru calcularea manuală a radicalilor.

Extragerea rădăcinii pătrate folosind tabelul de pătrate

Una dintre cele mai simple moduri de a calcula rădăcinile este să folosind o masă specială. Ce este și cum să-l folosești corect?

Folosind tabelul, puteți găsi pătratul oricărui număr de la 10 la 99. În același timp, rândurile tabelului conțin zeci de valori, iar coloanele conțin valori unitare. Celula de la intersecția unui rând și a unei coloane conține pătratul unui număr de două cifre. Pentru a calcula pătratul lui 63, trebuie să găsiți un rând cu valoarea 6 și o coloană cu valoarea 3. La intersecție, găsim o celulă cu numărul 3969.

Deoarece extragerea rădăcinii este operația inversă de pătrat, pentru a efectua această acțiune, trebuie să faceți invers: mai întâi găsiți celula cu numărul al cărui radical doriți să îl calculați, apoi determinați răspunsul din valorile coloanei și rândului. Ca exemplu, luați în considerare calculul rădăcinii pătrate a lui 169.

Găsim o celulă cu acest număr în tabel, pe orizontală determinăm zecile - 1, pe verticală pe cele - 3. Răspuns: √169 = 13.

În mod similar, puteți calcula rădăcinile gradului cubic și al n-lea, folosind tabelele corespunzătoare.

Avantajul metodei este simplitatea ei și absența calculelor suplimentare. Dezavantajele sunt evidente: metoda poate fi folosită doar pentru o gamă limitată de numere (numărul pentru care se găsește rădăcina trebuie să fie între 100 și 9801). În plus, nu va funcționa dacă numărul dat nu este în tabel.

factorizare primara

Dacă tabelul de pătrate nu este la îndemână sau cu ajutorul lui a fost imposibil să găsiți rădăcina, puteți încerca descompuneți numărul de sub rădăcină în factori primi. Factorii primi sunt cei care pot fi împărțiți complet (fără rest) doar de la sine sau de unul singur. Exemplele ar fi 2, 3, 5, 7, 11, 13 etc.

Luați în considerare calculul rădăcinii folosind exemplul √576. Să-l descompunem în factori simpli. Obținem următorul rezultat: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Folosind proprietatea principală a rădăcinilor √a² = a, scăpăm de rădăcini și pătrate, după care calculăm răspunsul: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Ce să faci dacă vreunul dintre factori nu are propria sa pereche? De exemplu, luați în considerare calculul lui √54. După factorizare, obținem rezultatul sub următoarea formă: Partea nedemontabilă poate fi lăsată sub rădăcină. Pentru majoritatea problemelor de geometrie și algebră, un astfel de răspuns va fi considerat ca fiind cel final. Dar dacă este nevoie să calculați valori aproximative, puteți utiliza metodele care vor fi discutate mai târziu.

metoda lui Heron

Ce să faci când trebuie să știi cel puțin aproximativ care este rădăcina extrasă (dacă este imposibil să obții o valoare întreagă)? Un rezultat rapid și destul de precis se obține prin aplicarea metodei Heron.. Esența sa constă în utilizarea unei formule aproximative:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

unde R este numărul a cărui rădăcină urmează să fie calculată, a este cel mai apropiat număr a cărui rădăcină este cunoscută.

Să vedem cum funcționează metoda în practică și să evaluăm cât de precisă este. Să calculăm cu ce este egal √111. Cel mai apropiat număr de 111, a cărui rădăcină este cunoscută, este 121. Astfel, R = 111, a = 121. Înlocuiți valorile în formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Acum să verificăm acuratețea metodei:

10,55² = 111,3025.

Eroarea metodei a fost de aproximativ 0,3. Dacă trebuie îmbunătățită acuratețea metodei, puteți repeta pașii descriși mai devreme:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Să verificăm exactitatea calculului:

10,536² = 111,0073.

După aplicarea repetată a formulei, eroarea a devenit destul de nesemnificativă.

Calculul rădăcinii prin împărțirea într-o coloană

Această metodă de a găsi valoarea rădăcinii pătrate este puțin mai complicată decât cele anterioare. Cu toate acestea, este cea mai precisă dintre alte metode de calcul fără calculator..

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina pătrată cu o precizie de 4 zecimale. Să analizăm algoritmul de calcul folosind exemplul unui număr arbitrar 1308.1912.

1. Împărțiți foaia de hârtie în 2 părți cu o linie verticală, apoi trageți o altă linie din ea spre dreapta, puțin sub marginea de sus. Scriem numărul în partea stângă, împărțindu-l în grupuri de 2 cifre, deplasându-ne la dreapta și la stânga punctului zecimal. Prima cifră din stânga poate fi fără o pereche. Dacă semnul lipsește în partea dreaptă a numărului, atunci trebuie adăugat 0. În cazul nostru, obținem 13 08.19 12.
2. Să alegem cel mai mult număr mare, al cărui pătrat va fi mai mic sau egal cu primul grup de cifre. În cazul nostru, acesta este 3. Să-l scriem în dreapta sus; 3 este prima cifră a rezultatului. În dreapta jos, indicăm 3 × 3 = 9; acest lucru va fi necesar pentru calculele ulterioare. Scădeți 9 din 13 într-o coloană, obținem restul 4.
3. Să adăugăm următoarea pereche de numere la restul 4; obținem 408.
4. Înmulțiți numărul din dreapta sus cu 2 și scrieți-l în dreapta jos, adăugând _ x _ = la el. Obținem 6_ x _ =.
5. În loc de liniuțe, trebuie să înlocuiți același număr, mai mic sau egal cu 408. Obținem 66 × 6 \u003d 396. Să scriem 6 în dreapta sus, deoarece aceasta este a doua cifră a rezultatului. Scădeți 396 din 408, obținem 12.
6. Să repetăm ​​pașii 3-6. Deoarece numerele deduse în jos sunt în partea fracționară a numărului, este necesar să puneți o virgulă zecimală în dreapta sus după 6. Să scriem rezultatul dublat cu liniuțe: 72_ x _ =. Un număr potrivit ar fi 1: 721 × 1 = 721. Să-l notăm ca răspuns. Să scădem 1219 - 721 = 498.
7. Să executăm secvența de acțiuni prezentată în paragraful anterior de încă trei ori pentru a obține numărul necesar de zecimale. Dacă nu există suficiente semne pentru calcule ulterioare, două zerouri trebuie adăugate la numărul curent din stânga.

Ca rezultat, obținem răspunsul: √1308,1912 ≈ 36,1689. Dacă verificați acțiunea cu un calculator, vă puteți asigura că toate caracterele au fost determinate corect.

Calculul pe biți al valorii rădăcinii pătrate

Metoda este foarte precisă. În plus, este destul de înțeles și nu necesită memorare formule sau algoritm complex acțiuni, deoarece esența metodei este selectarea rezultatului corect.

Să extragem rădăcina din numărul 781. Să luăm în considerare în detaliu succesiunea acțiunilor.

1. Aflați care cifră a valorii rădăcinii pătrate va fi cea mai mare. Pentru a face acest lucru, să pătratăm 0, 10, 100, 1000 etc. și să aflăm între care dintre ele se află numărul rădăcinii. Primim acel 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Să luăm valoarea zecilor. Pentru a face acest lucru, vom ridica pe rând la puterea lui 10, 20, ..., 90, până când obținem un număr mai mare de 781. În cazul nostru, obținem 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Valoarea rezultatului n va fi în 20< n <30.
3. Similar cu pasul anterior, este selectată valoarea cifrei unităților. Pătratăm alternativ 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 7827.< n < 28.
4. Fiecare cifră ulterioară (zecimi, sutimi etc.) este calculată în același mod ca cel prezentat mai sus. Calculele sunt efectuate până când se obține precizia necesară.

Video

Din videoclip veți învăța cum să extrageți rădăcini pătrate fără a utiliza un calculator.

Printre multele cunoștințe care sunt un semn al alfabetizării, alfabetul este pe primul loc. Următoarele, același element „semn”, sunt abilitățile de adunare-înmulțire și, alăturate acestora, dar inverse în sens, operații aritmetice de scădere-împărțire. Abilitățile învățate în copilăria școlară îndepărtată servesc cu fidelitate zi și noapte: TV, ziar, SMS, Și peste tot citim, scriem, numărăm, adunăm, scădem, înmulțim. Și, spune-mi, ai fost deseori nevoit să prinzi rădăcini în viață, decât la țară? De exemplu, o astfel de problemă distractivă, cum ar fi rădăcina pătrată a numărului 12345 ... Mai există praf de pușcă în baloanele cu pulbere? Putem sa o facem? Da, nu este nimic mai ușor! Unde este calculatorul meu... Și fără el, corp la mână, slab?

Mai întâi, să clarificăm ce este - rădăcina pătrată a unui număr. În general, „a extrage o rădăcină dintr-un număr” înseamnă a efectua operația aritmetică opusă ridicării la o putere - aici ai unitatea contrariilor în aplicarea vieții. să presupunem că un pătrat este o înmulțire a unui număr prin el însuși, adică, așa cum au predat la școală, X * X = A sau într-o altă notație X2 = A, iar în cuvinte - „X pătrat este egal cu A”. Atunci problema inversă sună astfel: rădăcina pătrată a numărului A este numărul X, care, la pătrat, este egal cu A.

Extragerea rădăcinii pătrate

Din cursul școlar de aritmetică sunt cunoscute metode de calcul „în coloană”, care ajută la efectuarea oricăror calcule folosind primele patru operații aritmetice. Vai... Pentru pătrate, și nu numai pătrate, rădăcinile unor astfel de algoritmi nu există. Și în acest caz, cum să extrageți rădăcina pătrată fără un calculator? Pe baza definiției rădăcinii pătrate, există o singură concluzie - este necesar să se selecteze valoarea rezultatului prin enumerarea secvențială a numerelor, al căror pătrat se apropie de valoarea expresiei rădăcinii. Numai și totul! O oră sau două nu vor avea timp să treacă, deoarece puteți calcula folosind metoda binecunoscută de înmulțire într-o „coloană”, orice rădăcină pătrată. Dacă aveți abilitățile, câteva minute sunt suficiente pentru asta. Chiar și un calculator nu prea avansat sau un utilizator de PC o face dintr-o singură lovitură - progres.

Dar, serios, calculul rădăcinii pătrate este adesea efectuat folosind tehnica „furcă de artilerie”: în primul rând, ei iau un număr al cărui pătrat corespunde aproximativ cu expresia rădăcinii. Este mai bine dacă „pătratul nostru” este puțin mai mic decât această expresie. Apoi corectează numărul în funcție de propria înțelegere a abilităților, de exemplu, înmulțesc cu doi și ... pătratează din nou. Dacă rezultatul este mai mare decât numărul de sub rădăcină, ajustând succesiv numărul inițial, apropiindu-se treptat de „colegul” său de sub rădăcină. După cum puteți vedea - fără calculator, doar capacitatea de a număra „într-o coloană”. Desigur, există mulți algoritmi motivați științific și optimizați pentru calcularea rădăcinii pătrate, dar pentru „utilizare acasă” tehnica de mai sus oferă 100% încredere în rezultat.

Da, aproape că am uitat, pentru a confirma alfabetizarea noastră crescută, calculăm rădăcina pătrată a numărului indicat anterior 12345. O facem pas cu pas:

1. Luați, pur intuitiv, X=100. Să calculăm: X * X = 10000. Intuiția este pe vârf - rezultatul este mai mic decât 12345.

2. Să încercăm, de asemenea, pur intuitiv, X = 120. Apoi: X * X = 14400. Și din nou, cu intuiție, ordinea - rezultatul este mai mult de 12345.

3. Mai sus, se obține o „furcătură” de 100 și 120. Să alegem numere noi - 110 și 115. Obținem, respectiv, 12100 și, respectiv, 13225 - furculița se îngustează.

4. Încercăm „poate” X = 111. Obținem X * X = 12321. Acest număr este deja destul de aproape de 12345. În conformitate cu precizia necesară, „potrivirea” poate fi continuată sau oprită la rezultatul obținut. Asta e tot. După cum am promis - totul este foarte simplu și fără calculator.

Un pic de istorie...

Chiar și pitagoreenii, elevi ai școlii și adepți ai lui Pitagora, s-au gândit să folosească rădăcini pătrate, 800 î.Hr. și chiar acolo, „dacă cu” noi descoperiri în domeniul numerelor. Și de unde a venit?

1. Rezolvarea problemei cu extragerea rădăcinii, dă rezultatul sub formă de numere ale unei noi clase. Au fost numite iraționale, cu alte cuvinte, „nerezonabile”, pentru că. nu sunt scrise ca un număr complet. Cel mai clasic exemplu de acest fel este rădăcina pătrată a lui 2. Acest caz corespunde calculului diagonalei unui pătrat cu latura egală cu 1 - aici este, influența școlii pitagoreice. S-a dovedit că într-un triunghi cu o unitate de mărime foarte specifică a laturilor, ipotenuza are o dimensiune care este exprimată printr-un număr care „nu are sfârșit”. Deci în matematică a apărut

2. Se știe că S-a dovedit că această operație matematică mai conține o captură - extragerea rădăcinii, nu știm ce pătrat al cărui număr, pozitiv sau negativ, este expresia rădăcinii. Această incertitudine, rezultatul dublu dintr-o singură operație, se notează.

Studiul problemelor asociate cu acest fenomen a devenit o direcție în matematică numită teoria unei variabile complexe, care are o mare importanță practică în fizica matematică.

Este curios că denumirea rădăcinii – radical – a fost folosită în „Aritmetica universală” a sa de către același omniprezent I. Newton, iar exact forma modernă de scriere a rădăcinii este cunoscută încă din 1690 din cartea francezului Roll „Algebra Manual”. ".

M-am uitat din nou la farfurie... Și, să mergem!

Să începem cu unul simplu:

Așteptaţi un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:

Am înţeles? Iată următorul pentru tine:

Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt extrase exact? Nu vă faceți griji, iată câteva exemple:

Dar dacă nu există doi multiplicatori, ci mai mulți? Aceeași! Formula de înmulțire a rădăcinii funcționează cu orice număr de factori:

Acum complet independent:

Raspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoști tabla înmulțirii!

Diviziunea rădăcinilor

Ne-am dat seama de înmulțirea rădăcinilor, acum să trecem la proprietatea împărțirii.

Permiteți-mi să vă reamintesc că formula în general arată astfel:

Și asta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu câtul rădăcinilor.

Ei bine, să ne uităm la exemple:

Asta e toată știința. Și iată un exemplu:

Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.

Ce se întâmplă dacă expresia arată astfel:

Trebuie doar să aplicați formula invers:

Și iată un exemplu:

Puteți vedea și această expresie:

Totul este la fel, doar că aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, uitați-vă la subiect și reveniți!). Amintit? Acum decidem!

Sunt sigur că ai făcut față cu totul, cu totul, acum hai să încercăm să construim rădăcini într-o anumită măsură.

Exponentiatie

Ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.

Deci, dacă pătratăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală, atunci ce obținem?

Ei bine, desigur,!

Să ne uităm la exemple:

Totul este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!

Rămâneți la aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu puteri.

Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni extrem de clar.

De exemplu, iată o expresie:

În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este impar? Din nou, aplicați proprietățile puterii și factorizați totul:

Cu aceasta, totul pare să fie clar, dar cum să extrageți rădăcina dintr-un număr într-un grad? Iată, de exemplu, aceasta:

Destul de simplu, nu? Ce se întâmplă dacă gradul este mai mare de doi? Urmăm aceeași logică folosind proprietățile gradelor:

Ei bine, totul este clar? Apoi rezolvă propriile exemple:

Și iată răspunsurile:

Introducere sub semnul rădăcinii

Ceea ce pur și simplu nu am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să exersăm introducerea numărului sub semnul rădăcinii!

Este destul de ușor!

Să presupunem că avem un număr

Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascunde triplul sub rădăcină, amintindu-ți totodată că triplul este rădăcina pătrată a!

De ce avem nevoie de ea? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:

Cum vă place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Numai trebuie să ne amintim că nu putem introduce decât numere pozitive sub semnul rădăcinii pătrate.

Încercați acest exemplu pentru dvs.:
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:

Bine făcut! Ai reușit să introduci un număr sub semnul rădăcină! Să trecem la ceva la fel de important - luați în considerare cum să comparați numerele care conțin o rădăcină pătrată!

Comparație rădăcină

De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin o rădăcină pătrată?

Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (vă mai amintiți ce este? Am vorbit deja despre asta astăzi!)

Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe linia de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare problema: nu există un calculator la examen și, fără el, cum să ne imaginăm ce număr este mai mare și care este mai mic? Asta este!

De exemplu, determinați care este mai mare: sau?

Nu vei spune imediat. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a adăuga un număr sub semnul rădăcină?

Apoi înainte:

Ei bine, evident, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina în sine este mai mare!

Acestea. dacă înseamnă .

De aici concluzionăm ferm că Și nimeni nu ne va convinge de contrariul!

Extragerea rădăcinilor din număr mare

Înainte de asta, am introdus un factor sub semnul rădăcinii, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să-l factorizezi și să extragi ceea ce este extras!

Era posibil să mergem pe altă cale și să ne descompunem în alți factori:

Nu-i rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți cum vă simțiți confortabil.

Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați astfel de sarcini non-standard precum aceasta:

Nu ne speriam, actionam! Descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:

Și acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):

Acesta este sfârșitul? Nu ne oprim la jumătate!

Asta e tot, nu e chiar atât de înfricoșător, nu?

S-a întâmplat? Bravo, ai dreptate!

Acum încearcă acest exemplu:

Și un exemplu este o nucă greu de spart, așa că nu vă puteți da seama imediat cum să o abordați. Dar, desigur, suntem în dinți.

Ei bine, să începem factorizarea, nu? Imediat, observăm că puteți împărți un număr la (amintiți-vă semnele de divizibilitate):

Și acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):

Ei bine, a funcționat? Bravo, ai dreptate!

Rezumând

1. Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr nenegativ este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal.
   .
2. Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat nenegativ.
3. Proprietățile rădăcinii aritmetice:
4. Când comparăm rădăcinile pătrate, trebuie amintit că, cu cât numărul de sub semnul rădăcinii este mai mare, cu atât rădăcina însăși este mai mare.

Cum îți place rădăcina pătrată? Tot clar?

Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examen despre rădăcina pătrată.

E randul tau. Scrie-ne dacă acest subiect este dificil pentru tine sau nu.

Ai învățat ceva nou sau totul era deja atât de clar.

Scrie in comentarii si mult succes la examene!

Destul de des, atunci când rezolvăm probleme, ne confruntăm cu numere mari din care trebuie să extragem Rădăcină pătrată. Mulți studenți decid că aceasta este o greșeală și încep să rezolve întregul exemplu. Sub nicio formă nu trebuie făcut acest lucru! Există două motive pentru aceasta:

1. Rădăcinile unui număr mare apar în probleme. Mai ales în text;
2. Există un algoritm prin care aceste rădăcini sunt considerate aproape verbal.

Vom lua în considerare acest algoritm astăzi. Poate că unele lucruri ți se vor părea de neînțeles. Dar dacă acordați atenție acestei lecții, veți obține cea mai puternică armă împotriva rădăcini pătrate.

Deci algoritmul:

1. Limitați rădăcina dorită deasupra și dedesubt la multipli de 10. Astfel, vom reduce intervalul de căutare la 10 numere;
2. Din aceste 10 numere, îndepărtați-le pe cele care cu siguranță nu pot fi rădăcini. Ca urmare, vor rămâne 1-2 numere;
3. Patratează aceste 1-2 numere. Acela dintre ei, al cărui pătrat este egal cu numărul inițial, va fi rădăcina.

Înainte de a aplica acest algoritm funcționează în practică, să ne uităm la fiecare pas individual.

Constrângerea rădăcinilor

În primul rând, trebuie să aflăm între ce numere se află rădăcina noastră. Este foarte de dorit ca numerele să fie multiplu de zece:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Obținem o serie de numere:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ce ne oferă aceste numere? Este simplu: primim limite. Luați, de exemplu, numărul 1296. Se află între 900 și 1600. Prin urmare, rădăcina sa nu poate fi mai mică de 30 și mai mare de 40:

[Figura]

Același lucru este cu orice alt număr din care puteți găsi rădăcina pătrată. De exemplu, 3364:

[Figura]

Astfel, în loc de un număr de neînțeles, obținem un interval foarte specific în care se află rădăcina originală. Pentru a restrânge și mai mult domeniul de aplicare al căutării, treceți la pasul al doilea.

Eliminarea numerelor evident superflue

Deci, avem 10 numere - candidați pentru rădăcină. Le-am primit foarte repede, fără gândire complexă și multiplicare în coloană. E timpul să mergem mai departe.

Credeți sau nu, acum vom reduce numărul de numere de candidați la două - și din nou fără calcule complicate! Este suficient să cunoașteți regula specială. Iată-l:

Ultima cifră a pătratului depinde doar de ultima cifră numărul original.

Cu alte cuvinte, este suficient să ne uităm la ultima cifră a pătratului - și vom înțelege imediat unde se termină numărul inițial.

Există doar 10 cifre care pot fi pe ultimul loc. Să încercăm să aflăm în ce se transformă atunci când sunt pătrate. Aruncă o privire la tabel:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Acest tabel este un alt pas către calcularea rădăcinii. După cum puteți vedea, numerele din a doua linie s-au dovedit a fi simetrice față de cele cinci. De exemplu:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

După cum puteți vedea, ultima cifră este aceeași în ambele cazuri. Și asta înseamnă că, de exemplu, rădăcina lui 3364 se termină neapărat în 2 sau 8. Pe de altă parte, ne amintim restricția din paragraful anterior. Primim:

[Figura]

Pătratele roșii arată că nu cunoaștem încă această cifră. Dar la urma urmei, rădăcina se află între 50 și 60, pe care există doar două numere care se termină în 2 și 8:

[Figura]

Asta e tot! Dintre toate rădăcinile posibile, am lăsat doar două opțiuni! Și acesta este în cel mai dificil caz, deoarece ultima cifră poate fi 5 sau 0. Și atunci singurul candidat pentru rădăcini va rămâne!

Calcule finale

Deci, mai avem 2 numere de candidat. De unde știi care este rădăcina? Răspunsul este evident: pătratează ambele numere. Cel care la pătrat va da numărul inițial și va fi rădăcina.

De exemplu, pentru numărul 3364, am găsit două numere candidate: 52 și 58. Să le pătram:

52 2 \u003d (50 +2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 \u003d 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 \u003d 3364.

Asta e tot! S-a dovedit că rădăcina este 58! Totodată, pentru a simplifica calculele, am folosit formula pătratelor sumei și diferenței. Datorită acestui lucru, nici nu a fost nevoie să înmulți numerele dintr-o coloană! Acesta este un alt nivel de optimizare a calculelor, dar, desigur, este complet opțional :)

Exemple de calcul rădăcină

Teoria este bună, desigur. Dar haideți să-l testăm în practică.

[Figura]

Mai întâi, să aflăm între ce numere se află numărul 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Acum să ne uităm la ultimul număr. Este egal cu 6. Când se întâmplă acest lucru? Doar dacă rădăcina se termină cu 4 sau 6. Obținem două numere:

Rămâne să pătrați fiecare număr și să comparați cu originalul:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Grozav! Primul pătrat s-a dovedit a fi egal cu numărul inițial. Deci aceasta este rădăcina.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

1369 → 9;
33; 37.

Să-l pătram:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 \u003d 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 \u003d 1369.

Iată răspunsul: 37.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

2704 → 4;
52; 58.

Să-l pătram:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Am primit răspunsul: 52. Al doilea număr nu va mai trebui să fie pătrat.

Sarcină. Calculați rădăcina pătrată:

[Figura]

Limităm numărul:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Să ne uităm la ultimul număr:

4225 → 5;
65.

După cum puteți vedea, după al doilea pas, rămâne o singură opțiune: 65. Aceasta este rădăcina dorită. Dar să facem totuși la pătrare și să verificăm:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Totul este corect. Scriem răspunsul.

Concluzie

Vai, nu mai bine. Să aruncăm o privire asupra motivelor. Sunt două dintre ele:

• Este interzisă utilizarea calculatoarelor la orice examen normal de matematică, fie că este vorba de GIA sau de examenul de stat unificat. Și pentru a transporta un calculator în sala de clasă, pot fi scoși cu ușurință din examen.
• Nu fi ca americanii proști. Care nu sunt ca rădăcinile - nu pot adăuga două numere prime. Și la vederea fracțiilor, acestea devin în general isterice.