Când ecuația pătratică are. Rădăcină pătrată: formule de calcul. Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Ecuații pătratice. Discriminant. Soluție, exemple

Doar. Prin formule și reguli clare și simple. În prima etapă

este necesar să se aducă ecuația dată într-o formă standard, adică A se uita:

Dacă ecuația vi se oferă deja în acest formular, nu este necesar să faceți primul pas. Cel mai important lucru este corect

determinați toți coeficienții, și, b și c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

O expresie sub semnul rădăcină se numește discriminant ... După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi

utilizare numai a, b și c. Acestea. coeficienți din ecuație pătratică... Doar înlocuiți cu atenție

sens a, b și c în această formulă și numără. Înlocuiți cu de către ei semne!

de exemplu, în ecuație:

și =1; b = 3; c = -4.

Înlocuiți valorile și scrieți:

Exemplul este aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de semnificație. a, bși din... Mai degrabă, cu înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici o notare detaliată a formulei salvează

cu numere specifice. Dacă aveți probleme de calcul, faceți-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvați acest exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c = -1

Vopsim totul în detaliu, cu atenție, fără a pierde nimic cu toate semnele și parantezele:

Ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferite. De exemplu, astfel:

Acum, ia act de cele mai bune practici care vor reduce dramatic erorile.

Prima recepție... Nu fi leneș înainte soluția ecuației pătratice aduceți-l la formularul standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după orice transformare, ați obținut următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur veți amesteca șansele. a, b și c.

Construiți exemplul corect. În primul rând, X este pătrat, apoi fără pătrat, apoi termenul liber. Asa:

Scapă de minus. Cum? Trebuie să multiplicați întreaga ecuație cu -1. Primim:

Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, calculați discriminantul și completați exemplul.

Fă-o singur. Ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.

Recepția în al doilea rând. Verificați rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, adică dacă coeficientul

x 2 + bx + c \u003d 0,

apoi x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

împărțiți întreaga ecuație la și:

→ →

unde x 1 și x 2 - rădăcinile ecuației.

Primirea a treia... Dacă ecuația dvs. conține coeficienți fracționari, scăpați de fracțiuni! Multiplica

ecuația numitorului comun.

Ieșire. Sfaturi practice:

1. Înainte de rezolvare, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața x-ului în pătrat, îl eliminăm înmulțind totalul

ecuații cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționari, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu cea corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată de

Sper că, după studierea acestui articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului, se rezolvă doar ecuațiile pătratice complete; se utilizează alte metode pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? aceasta ecuații de forma ax 2 + b x + c \u003d 0unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați D-ul discriminant.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D\u003e 0),

atunci x 1 \u003d (-b - √D) / 2a și x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

De exemplu. Rezolvați ecuația x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Răspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; 1.

Deci, vom prezenta soluția ecuațiilor pătratice complete prin circuitul din Figura 1.

Orice ecuație pătratică completă poate fi rezolvată folosind aceste formule. Trebuie doar să fii atent pentru a te asigura de asta ecuația a fost scrisă ca un polinom standard

și x 2 + bx + c, în caz contrar, puteți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 \u003d 0, puteți decide în mod eronat asta

a \u003d 1, b \u003d 3 și c \u003d 2. Apoi

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (A se vedea soluția la exemplul 2 de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca polinom al formei standard, mai întâi ecuația pătratică completă trebuie scrisă ca polinom al formei standard (în primul rând ar trebui să fie monomiul cu cel mai mare exponent, adică și x 2 , apoi cu mai puțin – bxși apoi un membru liber din.

Când se rezolvă o ecuație pătratică redusă și o ecuație pătratică cu un coeficient egal la al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să cunoaștem și aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este egal (b \u003d 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din Figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unul și ecuația ia forma x 2 + px + q \u003d 0... O astfel de ecuație poate fi dată pentru soluție sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficientul șistând la x 2 .

Figura 3 prezintă o schemă pentru rezolvarea pătratului redus
ecuații. Să vedem un exemplu de aplicare a formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. Rezolvați ecuația

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în diagrama din Figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Se poate observa că coeficientul la x în această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi vom încerca să rezolvăm ecuația prin formulele prezentate în diagrama din figura D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3... Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt împărțiți la 3 și efectuând împărțirea, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Rezolvați această ecuație folosind formulele pentru pătraticul redus
figura de ecuație 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind diferite formule, am primit același răspuns. Prin urmare, după ce ați stăpânit bine formulele prezentate în diagrama din Figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Continuând subiectul „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce ecuațiile pătratice.

Să luăm în considerare totul în detaliu: esența și scrierea ecuației pătratice, vom stabili termeni înrudiți, vom analiza schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, vom face cunoștință cu formula rădăcinilor și a discriminantului, vom stabili conexiuni între rădăcini și coeficienți și, bineînțeles, vom oferi o soluție vizuală de exemple practice.

Ecuația pătratică, tipurile ei

Definiția 1

Ecuația pătratică Este o ecuație scrisă ca a x 2 + b x + c \u003d 0Unde X - variabilă, a, b și c - unele numere, în timp ce anu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt, de asemenea, numite ecuații de gradul al doilea, deoarece, în esență, o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul al doilea.

Iată un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 etc. Sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c Sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c \u003d 0, în timp ce coeficientul A se numește primul sau senior sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient sau coeficient la X, și c numit membru liber.

De exemplu, într-o ecuație pătratică 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 cel mai mare coeficient este 6, al doilea coeficient este − 2 iar termenul liber este − 11 ... Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși / sau c sunt negative, apoi se folosește o notare scurtă a formei 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, dar nu 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Să clarificăm și acest aspect: dacă coeficienții A și / sau b sunt egale 1 sau − 1 , atunci este posibil să nu ia o participare explicită la înregistrarea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile înregistrării coeficienților numerici indicați. De exemplu, într-o ecuație pătratică y 2 - y + 7 \u003d 0 cel mai mare coeficient este 1, iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații pătratice reduse și nereduse

Conform valorii primului coeficient, ecuațiile pătratice sunt împărțite în cele reduse și nereduse.

Definiție 3

Ecuație pătratică redusă Este o ecuație pătratică, în care coeficientul principal este 1. Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică nu este redusă.

Iată câteva exemple: ecuațiile pătratice x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sunt reduse, în care coeficientul principal este 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi transformată într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm în mod clar implementarea tranziției de la o ecuație pătratică nededusă la una redusă.

Exemplul 1

Ecuația este 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală la forma redusă.

Decizie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 6. Apoi obținem: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3și aceasta este la fel ca: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Prin urmare: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Astfel, se obține o ecuație care este echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să trecem la definiția unei ecuații pătratice. În el, am specificat că a ≠ 0... O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c \u003d 0 a fost tocmai pătrat, pentru că a \u003d 0 în esență este convertit în ecuație liniară b x + c \u003d 0.

În cazul în care coeficienții b și cegal cu zero (ceea ce este posibil, atât separat, cât și împreună), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuația pătratică incompletă Este o astfel de ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0,unde cel puțin unul dintre coeficienți bși c(sau ambele) este zero.

Ecuație pătratică completă - o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se oferă exact astfel de nume.

Pentru b \u003d 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c \u003d 0care este la fel ca a x 2 + c \u003d 0... Cand c \u003d 0 ecuația pătratică este scrisă ca a x 2 + b x + 0 \u003d 0care echivalează cu a x 2 + b x \u003d 0... Cand b \u003d 0 și c \u003d 0 ecuația devine a x 2 \u003d 0... Ecuațiile obținute diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabilă x, nici un termen liber sau ambele. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 și - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 sunt ecuații pătratice complete; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția de mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 \u003d 0, o astfel de ecuație corespunde coeficienților b \u003d 0 și c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 la b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 la c \u003d 0.

Luați în considerare secvențial soluția fiecărui tip de ecuație pătratică incompletă.

Soluția ecuației a x 2 \u003d 0

După cum sa menționat mai sus, această ecuație corespunde coeficienților b și cegal cu zero. Ecuația a x 2 \u003d 0 este posibil să se transforme într-o ecuație echivalentă x 2 \u003d 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr Anu egal cu zero. Este un fapt evident că rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero pentru că 0 2 = 0 ... Această ecuație nu are alte rădăcini, care pot fi explicate prin proprietățile gradului: pentru orice număr p,nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p 2\u003e 0, din care rezultă că pentru p ≠ 0 egalitate p 2 \u003d 0nu se va realiza niciodată.

Definiția 5

Astfel, pentru o ecuație pătratică incompletă a x 2 \u003d 0, există o rădăcină unică x \u003d 0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă - 3 x 2 \u003d 0... Este echivalent cu ecuația x 2 \u003d 0, singura sa rădăcină este x \u003d 0, atunci ecuația originală are și o singură rădăcină - zero.

Pe scurt, decizia se ia după cum urmează:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Soluție la ecuația a x 2 + c \u003d 0

Următorul pas este soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b \u003d 0, c ≠ 0, adică ecuațiile formei a x 2 + c \u003d 0... Transformăm această ecuație transferând termenul dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în opus și împărțind ambele părți ale ecuației cu un număr care nu este egal cu zero:

• reportare c în dreapta, care dă ecuația a x 2 \u003d - c;
• împărțim ambele părți ale ecuației la A, obținem ca rezultat x \u003d - c a.

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este, de asemenea, echivalentă cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea unei concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile A și cvaloarea expresiei - c a depinde: poate avea un semn minus (de exemplu, dacă a \u003d 1 și c \u003d 2, apoi - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a \u003d - 2 și c \u003d 6, apoi - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); nu este egal cu zero deoarece c ≠ 0... Să ne oprim mai detaliat asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul când - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 \u003d - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit atunci când - c a\u003e 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 \u003d - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 \u003d - c a. Este ușor de înțeles că numărul - - c a este, de asemenea, rădăcina ecuației x 2 \u003d - c a: într-adevăr, - - c a 2 \u003d - c a.

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind o metodă contradictorie. Pentru început, definim notația pentru rădăcinile găsite mai sus ca fiind x 1 și - x 1... Să presupunem că ecuația x 2 \u003d - c a are și o rădăcină x 2care este diferit de rădăcini x 1 și - x 1... Știm că substituind în ecuație în loc de X rădăcinile sale, transformă ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1 și - x 1 scriem: x 1 2 \u003d - c a, iar pentru x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem o egalitate adevărată din celălalt termen cu termen, ceea ce ne va da: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Folosim proprietățile acțiunilor pe numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele spuse rezultă că x 1 - x 2 \u003d 0 și / sau x 1 + x 2 \u003d 0care este la fel x 2 \u003d x 1 și / sau x 2 \u003d - x 1... A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1 și - x 1... Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini, cu excepția x \u003d - c a și x \u003d - - c a.

Rezumăm toate raționamentele de mai sus.

Definiție 6

Ecuația pătratică incompletă a x 2 + c \u003d 0 este echivalent cu ecuația x 2 \u003d - c a, care:

• nu va avea rădăcini pentru - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x \u003d - c a și x \u003d - - c a pentru - c a\u003e 0.

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c \u003d 0.

Exemplul 3

Ecuația cuadratică dată 9 x 2 + 7 \u003d 0.Este necesar să-i găsim soluția.

Decizie

Transferăm termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația ia forma 9 x 2 \u003d - 7.
Împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 \u003d - 7 9. În partea dreaptă, vedem un număr cu semn minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată nu are rădăcini. Apoi ecuația pătratică incompletă originală 9 x 2 + 7 \u003d 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 \u003d 0nu are rădăcini.

Exemplul 4

Este necesar să se rezolve ecuația - x 2 + 36 \u003d 0.

Decizie

Mutați 36 în partea dreaptă: - x 2 \u003d - 36.
Să împărțim ambele părți în − 1 , primim x 2 \u003d 36... În partea dreaptă este un număr pozitiv, din care putem concluziona că x \u003d 36 sau x \u003d - 36.
Extrageți rădăcina și notați rezultatul final: ecuație pătratică incompletă - x 2 + 36 \u003d 0 are două rădăcini x \u003d 6 sau x \u003d - 6.

Răspuns: x \u003d 6 sau x \u003d - 6.

Soluția ecuației a x 2 + b x \u003d 0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c \u003d 0... Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x \u003d 0, folosim metoda de factorizare. Factorizăm polinomul din partea stângă a ecuației, eliminând factorul comun în afara parantezelor X... Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete originale în echivalentul ei x (a x + b) \u003d 0... Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu un set de ecuații x \u003d 0 și a x + b \u003d 0... Ecuația a x + b \u003d 0 liniar, iar rădăcina sa este: x \u003d - b a.

Definiția 7

Deci ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x \u003d 0 va avea două rădăcini x \u003d 0 și x \u003d - b a.

Să reparăm materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să se găsească o soluție la ecuația 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Decizie

Scoate X paranteze și obțineți ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x \u003d 0 și 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Acum trebuie să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Scriem pe scurt soluția la ecuație după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 sau 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 sau x \u003d 3 3 7

Răspuns: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Discriminant, formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Pentru a găsi o soluție la ecuațiile pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiție 8

x \u003d - b ± D 2 a, unde D \u003d b 2 - 4 a c - așa-numitul discriminant al ecuației pătratice.

Notația x \u003d - b ± D 2 · a înseamnă în esență că x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Nu va fi de prisos să înțelegem cum a fost derivată formula indicată și cum să o aplicăm.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0... Să realizăm o serie de transformări echivalente:

• împarte ambele părți ale ecuației la număr a, altul decât zero, obținem ecuația pătratică redusă: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• în cele din urmă, transformăm expresia scrisă pe partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Astfel, am ajuns la ecuația x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, care este echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c \u003d 0.

Am analizat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (soluția ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența deja acumulată face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• la b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 ecuația are forma x + b 2 a 2 \u003d 0, apoi x + b 2 a \u003d 0.

Prin urmare, singura rădăcină x \u003d - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 va fi adevărat: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, care este același cu x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, adică ecuația are două rădăcini.

Este posibil să se concluzioneze că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (și de aici ecuația originală) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 a c 4 · Un 2 scris pe partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este stabilit de semnul numărătorului, (numitor 4 a 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 - 4 a c... Această expresie b 2 - 4 a c numele este dat - discriminantul ecuației pătratului și litera D este definită ca desemnarea sa. Aici puteți scrie esența discriminantului - prin valoarea și semnul său, se concluzionează dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, care este numărul rădăcinilor - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. O rescriem folosind notația pentru discriminant: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Să formulăm din nou concluziile:

Definiție 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D \u003d 0 ecuația are o singură rădăcină x \u003d - b 2 · a;
• la D\u003e 0 ecuația are două rădăcini: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 sau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Aceste rădăcini, bazate pe proprietățile radicalilor, pot fi scrise ca: x \u003d - b 2 a + D 2 a sau - b 2 a - D 2 a. Și când deschidem modulele și reducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, discriminantul D calculat prin formula D \u003d b 2 - 4 a c.

Aceste formule fac posibilă, atunci când discriminantul este mai mare decât zero, să se determine ambele rădăcini reale. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție la ecuația pătratică. În cazul în care discriminantul este negativ, încercând să folosească formula rădăcinii pătrate, ne vom confrunta cu necesitatea de a extrage rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formule rădăcină

Este posibil să se rezolve ecuația pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar practic aceasta se face atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În majoritatea cazurilor, este de obicei menit să caute nu complexe, ci rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Apoi, este optim, înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, să determinăm mai întâi discriminantul și să ne asigurăm că nu este negativ (altfel vom concluziona că ecuația nu are rădăcini reale), și apoi să procedăm la calcularea valorilor rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, este necesar:

• conform formulei D \u003d b 2 - 4 a c găsiți valoarea discriminantului;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D \u003d 0, găsiți singura rădăcină a ecuației prin formula x \u003d - b 2 · a;
• pentru D\u003e 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice prin formula x \u003d - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x \u003d - b ± D 2 · a, va da același rezultat ca formula x \u003d - b 2 · a.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să oferim o soluție de exemple pentru diferite valori ale discriminantului.

Exemplul 6

Este necesar să se găsească rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decizie

Să notăm coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c \u003d - 6... Apoi, acționăm conform algoritmului, adică să începem să calculăm discriminantul, pentru care substituim coeficienții a, b și c în formula discriminantă: D \u003d b 2 - 4 a c \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Deci, avem D\u003e 0, ceea ce înseamnă că ecuația originală va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x \u003d - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Să simplificăm expresia rezultată luând factorul în afara semnului rădăcină și apoi reducând fracția:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 sau x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 sau x \u003d - 1 - 7

Răspuns: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Exemplul 7

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Decizie

Să definim discriminantul: D \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Cu această valoare a discriminantului, ecuația originală va avea o singură rădăcină, determinată de formula x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Răspuns: x \u003d 3, 5.

Exemplul 8

Este necesar să se rezolve ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Decizie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a \u003d 5, b \u003d 6 și c \u003d 2. Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Discriminantul calculat este negativ, deci ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinilor, efectuând acțiuni cu numere complexe:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 sau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i sau x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Răspuns: fără rădăcini valabile; rădăcinile complexe sunt următoarele: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

În programa școlară, nu există o cerință standard pentru a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă în timpul soluției discriminantul este determinat ca negativ, se înregistrează imediat răspunsul că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru coeficienți secundari chiar

Formula rădăcină x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compactă, care să permită găsirea soluțiilor de ecuații pătratice cu un coeficient egal la x (sau cu un coeficient de forma 2 n, de exemplu, 2 · 3 sau 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Acționăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), și apoi folosim formula rădăcină:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ca.

Fie expresia n 2 - a · c notată ca D 1 (uneori este notată cu D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n va lua forma:

x \u003d - n ± D 1 a, unde D 1 \u003d n 2 - a · c.

Este ușor de văzut că D \u003d 4 · D 1 sau D 1 \u003d D 4. Cu alte cuvinte, D1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiție 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la ecuația pătratică cu al doilea coeficient 2 n, este necesar:

• găsi D 1 \u003d n 2 - a · c;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• când D 1 \u003d 0, determinați singura rădăcină a ecuației prin formula x \u003d - n a;
• pentru D 1\u003e 0 definiți două rădăcini reale prin formula x \u003d - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0.

Decizie

Al doilea coeficient al ecuației date poate fi reprezentat ca 2 · (- 3). Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, unde a \u003d 5, n \u003d - 3 și c \u003d - 32.

Calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Le definim prin formula rădăcină corespunzătoare:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 sau x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x \u003d 3 1 5 sau x \u003d - 2.

Simplificarea vizualizării ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, care va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 este clar mai convenabilă pentru rezolvare decât 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia la un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o notație simplificată a ecuației 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, obținută prin împărțirea ambelor părți ale acesteia la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt numere coprimă. Apoi împart de obicei ambele părți ale ecuației cu cel mai mare divizor comun valori absolute coeficienții săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Determinați GCD al valorilor absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale cu 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0.

Înmulțind ambele părți ale ecuației pătratice, scăpați de obicei de coeficienții fracționari. În acest caz, înmulțiți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci se va scrie într-o formă mai simplă x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

În cele din urmă, observăm că scăpăm aproape întotdeauna de minus la primul coeficient al ecuației pătratice prin schimbarea semnelor fiecărui termen al ecuației, care se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puteți merge la o versiune simplificată a acesteia 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice x \u003d - b ± D 2 · a exprimă rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți numerici. Pe baza acestei formule, putem specifica alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a și x 2 \u003d c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3, iar produsul rădăcinilor este 22 3.

Puteți găsi, de asemenea, o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Acest subiect poate părea descurajator la început din cauza numeroaselor formule dificile. Nu doar ecuațiile pătratice au înregistrări lungi, ci și rădăcinile se găsesc prin discriminant. Există trei noi formule în total. Nu este ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Apoi, toate formulele vor fi amintite de ele însele.

Vedere generală a ecuației pătratice

Aici, se propune înregistrarea lor explicită, când se înregistrează cel mai înalt grad mai întâi și apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii sunt în neregulă. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem notația. Acestea sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste denumiri, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea înregistrare.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Să se noteze această formulă cu numărul unu.

Când se dă ecuația, nu este clar câte rădăcini va avea răspunsul. Deoarece una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul este un număr;
• ecuația nu va avea deloc rădăcini.

Și până când decizia nu va fi adusă la capăt, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Sarcinile pot conține înregistrările lor diferite. Nu vor arăta întotdeauna ca o ecuație generală pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este o ecuație completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din acesta, veți obține ceva diferit. Aceste înregistrări se mai numesc ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult decât atât, numai termenii în care coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în niciun caz. Deoarece în acest caz, formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru o formă incompletă de ecuații vor fi după cum urmează:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi și a doua numărul trei.

Discriminarea și dependența numărului de rădăcini de valoarea sa

Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculat, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să utilizați egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, examinarea acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce s-a constatat că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul lor este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați această formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresia rădăcinii pătrate este discriminantă. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.

Formula numărul cinci. Aceeași înregistrare arată că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă soluția ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să scrieți valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu acest moment nu va provoca dificultăți. Dar la început, există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Chiar nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja înregistrate pentru discriminant și necunoscut.

În primul rând, considerați ecuația incompletă numărul doi. În această egalitate, se presupune că scoate cantitatea necunoscută din paranteză și rezolvă ecuația liniară, care rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este în mod necesar egal cu zero, deoarece există un factor constând din variabila însăși. Al doilea se obține la rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă numărul trei este rezolvată prin transferarea numărului din partea stângă a ecuației în dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți la coeficientul care se confruntă cu necunoscutul. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o notați de două ori cu semne opuse.

Următorii sunt câțiva pași care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri sunt motivul pentru note slabe atunci când studiați un subiect larg " Ecuații pătratice (clasa a 8-a)". Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.

• În primul rând, trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică mai întâi termenul cu cel mai înalt grad al variabilei și apoi - fără gradul și ultimul - doar un număr.

• Dacă un minus apare în fața coeficientului „a”, atunci poate complica munca pentru un începător de a studia ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii își vor schimba semnul în opus.

• Este recomandat să scapi de fracțiuni în același mod. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul adecvat pentru a anula numitorii.

Exemple de

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Prima ecuație: x 2 - 7x \u003d 0. Este incompletă, prin urmare este rezolvată așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După ce ați lăsat parantezele, se dovedește: x (x - 7) \u003d 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 \u003d 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 \u003d 0. Este ușor de văzut că x 2 \u003d 7.

A doua ecuație: 5x 2 + 30 \u003d 0. Din nou incompletă. Doar se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce ați transferat 30 în partea dreaptă a egalității: 5x 2 \u003d 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Se dovedește: x 2 \u003d 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. În continuare, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin rescrierea lor în vedere standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Acum este timpul să îl folosiți pe al doilea sfat util și înmulțiți totul cu minus unul. Se pare că x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, rezultă că ecuația are două rădăcini. Acestea trebuie calculate după a cincea formulă. Se pare că x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 \u003d 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. După aplicarea formulei pentru discriminant, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o rădăcină, și anume: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduceți termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei, va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această înregistrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără acești termeni, ecuația va lua forma: x 2 - x \u003d 0. A devenit incompletă ... Similar cu acesta a fost deja considerat un pic mai înalt. Rădăcinile acestui lucru vor fi numerele 0 și 1.

Continuăm să studiem tema „ rezolvarea ecuațiilor". Ne-am întâlnit deja cu ecuații liniare și mergem mai departe pentru a ne familiariza cu ecuații pătratice.

În primul rând, vom analiza ce este o ecuație pătratică, cum este scrisă în formă generală și vom da definiții conexe. După aceea, folosind exemple, vom analiza în detaliu modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete. Apoi trecem la rezolvarea ecuațiilor complete, obținem formula rădăcinilor, ne familiarizăm cu discriminantul ecuației pătratice și luăm în considerare soluțiile exemplelor tipice. În cele din urmă, să urmărim relația dintre rădăcini și coeficienți.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație pătratică? Tipurile lor

Mai întâi trebuie să înțelegeți clar ce este o ecuație pătratică. Prin urmare, este logic să începem să vorbim despre ecuații pătratice cu definiția unei ecuații pătratice, precum și definițiile asociate cu aceasta. După aceea, puteți lua în considerare principalele tipuri de ecuații pătratice: reduse și nereduse, precum și ecuații complete și incomplete.

Definiție și exemple de ecuații pătratice

Definiție.

Ecuația pătratică Este o ecuație a formei a x 2 + b x + c \u003d 0 , unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere, iar a este diferită de zero.

Să spunem imediat că ecuațiile pătratice sunt adesea numite ecuații de gradul al doilea. Acest lucru se datorează faptului că ecuația pătratică este ecuație algebrică gradul II.

Definiția sunetată ne permite să oferim exemple de ecuații pătratice. Deci 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0 etc. Sunt ecuații pătratice.

Definiție.

Numere a, b și c se numesc coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c \u003d 0, iar coeficientul a se numește primul, sau cel mai mare, sau coeficientul la x 2, b este al doilea coeficient sau coeficientul la x și c este termenul liber.

De exemplu, să luăm o ecuație pătratică de forma 5x2 −2x3 \u003d 0, aici coeficientul principal este 5, al doilea coeficient este −2 și interceptarea este −3. Rețineți că, atunci când coeficienții b și / sau c sunt negativi, ca în exemplul dat, atunci forma scurtă a ecuației pătratice este 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0, nu 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

Trebuie remarcat faptul că, atunci când coeficienții a și / sau b sunt egali cu 1 sau -1, atunci de obicei nu sunt prezenți în mod explicit în ecuația pătratică, care se datorează particularităților de scriere a acestora. De exemplu, într-o ecuație pătratică y 2 −y + 3 \u003d 0, coeficientul principal este unul, iar coeficientul la y este −1.

Ecuații pătratice reduse și nereduse

Ecuațiile pătratice reduse și non-reduse se disting în funcție de valoarea coeficientului principal. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

O ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 se numește ecuație pătratică redusă... În caz contrar, ecuația pătratică este neredus.

Conform această definiție, ecuații pătratice x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 etc. - dat, în fiecare dintre ele primul coeficient este egal cu unul. Și 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 etc. - ecuații pătratice nereduse, coeficienții lor de conducere sunt diferiți de 1.

Din orice ecuație pătratică neredusă prin împărțirea ambelor părți la coeficientul principal, puteți merge la cel redus. Această acțiune este o transformare echivalentă, adică ecuația pătratică redusă obținută în acest mod are aceleași rădăcini ca și ecuația pătratică neredusă inițială sau, ca și ea, nu are rădăcini.

Să analizăm prin exemplu cum se realizează tranziția de la o ecuație pătratică nededusă la una redusă.

Exemplu.

Din ecuația 3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0, mergeți la ecuația pătratică redusă corespunzătoare.

Decizie.

Este suficient pentru noi să efectuăm împărțirea ambelor părți ale ecuației inițiale la coeficientul principal 3, este diferit de zero, deci putem efectua această acțiune. Avem (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, care este același, (3 x 2): 3+ (12 x): 3-7: 3 \u003d 0 și mai mult (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, de unde. Deci am obținut ecuația pătratică redusă, care este echivalentă cu cea originală.

Răspuns:

Ecuații pătratice complete și incomplete

Definiția unei ecuații pătratice conține condiția a ≠ 0. Această condiție este necesară pentru ca ecuația a x 2 + b x + c \u003d 0 să fie exact pătratică, deoarece la a \u003d 0 devine de fapt o ecuație liniară de forma b x + c \u003d 0.

În ceea ce privește coeficienții b și c, aceștia pot fi egali cu zero, atât separat, cât și împreună. În aceste cazuri, ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiție.

Ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0 se numește incompletdacă cel puțin unul dintre coeficienții b, c este egal cu zero.

La randul lui

Definiție.

Ecuație pătratică completă Este o ecuație în care toți coeficienții sunt diferiți de zero.

Aceste nume nu sunt date întâmplător. Acest lucru va deveni clar din următoarele considerații.

Dacă coeficientul b este egal cu zero, atunci ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c \u003d 0 și este echivalentă cu ecuația a x 2 + c \u003d 0. Dacă c \u003d 0, adică ecuația pătratică are forma a x 2 + b x + 0 \u003d 0, atunci poate fi rescrisă ca x 2 + b x \u003d 0. Și cu b \u003d 0 și c \u003d 0, obținem ecuația pătratică a x 2 \u003d 0. Ecuațiile rezultate diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că laturile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabilă x, nici un termen liber, sau ambele. De aici și numele lor - ecuații pătratice incomplete.

Deci ecuațiile x 2 + x + 1 \u003d 0 și −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 sunt exemple de ecuații pătratice complete și x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 sunt ecuații pătratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Din informațiile din paragraful anterior rezultă că există trei tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 \u003d 0, coeficienții b \u003d 0 și c \u003d 0 îi corespund;
• a x 2 + c \u003d 0 când b \u003d 0;
• și a x 2 + b x \u003d 0 când c \u003d 0.

Să analizăm în modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete ale fiecăruia dintre aceste tipuri.

a x 2 \u003d 0

Să începem prin rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete în care coeficienții b și c sunt egali cu zero, adică cu ecuații de forma a · x 2 \u003d 0. Ecuația a · x 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0, care se obține din original prin împărțirea ambelor părți la un număr nenul a. Evident, rădăcina ecuației x 2 \u003d 0 este zero, deoarece 0 2 \u003d 0. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică, într-adevăr, pentru orice număr nenul p, se menține inegalitatea p 2\u003e 0, de unde rezultă că pentru p ≠ 0 nu se realizează niciodată egalitatea p 2 \u003d 0.

Deci, ecuația pătratică incompletă a · x 2 \u003d 0 are o singură rădăcină x \u003d 0.

De exemplu, să dăm soluția ecuației pătratice incomplete −4 · x 2 \u003d 0. Ecuația x 2 \u003d 0 este echivalentă cu aceasta, singura sa rădăcină este x \u003d 0, prin urmare, ecuația originală are un zero rădăcină unic.

O soluție scurtă în acest caz poate fi formulată după cum urmează:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Acum vom analiza modul în care sunt rezolvate ecuațiile pătratice incomplete, în care coeficientul b este zero și c that 0, adică ecuațiile formei a · x 2 + c \u003d 0. Știm că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus, precum și împărțirea ambelor părți ale ecuației cu un număr diferit de zero, dau o ecuație echivalentă. Prin urmare, putem efectua următoarele transformări echivalente ale ecuației pătratice incomplete a x 2 + c \u003d 0:

• mutați c spre dreapta, ceea ce dă ecuația a x 2 \u003d −c,
• și împărțim ambele părți la a, obținem.

Ecuația rezultată ne permite să tragem concluzii despre rădăcinile sale. În funcție de valorile lui a și c, valoarea expresiei poate fi negativă (de exemplu, dacă a \u003d 1 și c \u003d 2, atunci) sau pozitivă (de exemplu, dacă a \u003d −2 și c \u003d 6, atunci), nu este egală cu zero , deoarece prin condiția c ≠ 0. Să examinăm separat cazurile și.

Dacă, atunci ecuația nu are rădăcini. Această afirmație rezultă din faptul că pătratul oricărui număr este un număr non-negativ. Rezultă din aceasta că atunci când, atunci pentru orice număr p, egalitatea nu poate fi adevărată.

Dacă, atunci situația cu rădăcinile ecuației este diferită. În acest caz, dacă vă amintiți despre, atunci rădăcina ecuației devine imediat evidentă, este un număr, deoarece. Este ușor de ghicit că numărul este, de asemenea, rădăcina ecuației. Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce poate fi demonstrat, de exemplu, prin contradicție. S-o facem.

Să notăm rădăcinile ecuației tocmai sunate ca x 1 și −x 1. Să presupunem că ecuația are încă o rădăcină x 2 diferită de rădăcinile indicate x 1 și −x 1. Se știe că înlocuirea rădăcinilor sale într-o ecuație în loc de x transformă ecuația într-o adevărată egalitate numerică. Pentru x 1 și −x 1 avem, iar pentru x 2 avem. Proprietățile egalităților numerice ne permit să realizăm scăderea la termen a egalităților numerice adevărate, deci scăderea părților corespunzătoare ale egalităților dă x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. Proprietățile acțiunilor cu numere vă permit să rescrieți egalitatea rezultată ca (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Știm că produsul a două numere este egal cu zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre ele este egal cu zero. Prin urmare, din egalitatea obținută rezultă că x 1 - x 2 \u003d 0 și / sau x 1 + x 2 \u003d 0, care este același, x 2 \u003d x 1 și / sau x 2 \u003d −x 1. Așa am ajuns la o contradicție, deoarece la început am spus că rădăcina ecuației x 2 este diferită de x 1 și −x 1. Acest lucru demonstrează că ecuația nu are alte rădăcini decât și.

Să rezumăm informațiile acestui articol. Ecuația pătratică incompletă a x 2 + c \u003d 0 este echivalentă cu ecuația care

• nu are rădăcini dacă,
• are două rădăcini și, dacă.

Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete ale formei a · x 2 + c \u003d 0.

Să începem cu ecuația pătratică 9 x 2 + 7 \u003d 0. După transferul termenului liber în partea dreaptă a ecuației, acesta va lua forma 9 · x 2 \u003d −7. Împărțind ambele părți ale ecuației rezultate cu 9, ajungem la. Deoarece există un număr negativ pe partea dreaptă, această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, ecuația pătratică incompletă originală 9 · x 2 + 7 \u003d 0 nu are rădăcini.

Rezolvați o altă ecuație pătratică incompletă −x 2 + 9 \u003d 0. Mutați cele nouă spre dreapta: −x 2 \u003d −9. Acum împărțim ambele părți la -1, obținem x 2 \u003d 9. În partea dreaptă există un număr pozitiv, din care concluzionăm că sau. Apoi notăm răspunsul final: ecuația pătratică incompletă −x 2 + 9 \u003d 0 are două rădăcini x \u003d 3 sau x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Rămâne să ne ocupăm de soluția ultimului tip de ecuații pătratice incomplete pentru c \u003d 0. Ecuațiile pătratice incomplete ale formei a x 2 + b x \u003d 0 vă permit să rezolvați metoda de factorizare... Evident, putem, situate în partea stângă a ecuației, pentru care este suficient să calculăm factorul comun x. Acest lucru ne permite să trecem de la ecuația pătratică incompletă originală la o ecuație echivalentă de forma x · (a · x + b) \u003d 0. Și această ecuație este echivalentă cu combinația a două ecuații x \u003d 0 și a x + b \u003d 0, ultima dintre care este liniară și are rădăcina x \u003d −b / a.

Deci, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x \u003d 0 are două rădăcini x \u003d 0 și x \u003d −b / a.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui exemplu specific.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Decizie.

Mutarea x din paranteze oferă o ecuație. Este echivalent cu două ecuații x \u003d 0 și. Rezolvăm ecuația liniară rezultată: și, după împărțirea numărului mixt la o fracție obișnuită, găsim. Prin urmare, rădăcinile ecuației inițiale sunt x \u003d 0 și.

După obținerea practicii necesare, soluțiile la astfel de ecuații pot fi scrise pe scurt:

Răspuns:

x \u003d 0 ,.

Discriminant, formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Există o formulă rădăcină pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Hai să scriem formula pătratică:, Unde D \u003d b 2 −4 a c - așa-zisul discriminant pătratic... Notarea înseamnă în esență că.

Este util să știm cum a fost obținută formula rădăcinii și cum se aplică atunci când găsim rădăcinile ecuațiilor pătratice. Să ne dăm seama.

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0. Să efectuăm câteva transformări echivalente:

• Putem împărți ambele părți ale acestei ecuații cu un număr nenul a, ca rezultat obținem ecuația pătratică redusă.
• Acum selectați un pătrat complet pe partea stângă :. După aceea, ecuația va lua forma.
• În această etapă, este posibil să se efectueze transferul ultimilor doi termeni în partea dreaptă cu semnul opus, avem.
• Și, de asemenea, transformăm expresia din partea dreaptă :.

Ca rezultat, ajungem la o ecuație care este echivalentă cu ecuația pătratică originală a x 2 + b x + c \u003d 0.

Am rezolvat deja ecuații similare în formă în paragrafele anterioare, când le-am analizat. Acest lucru ne permite să tragem următoarele concluzii cu privire la rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții reale;
• dacă, atunci ecuația are forma, prin urmare, de unde este vizibilă singura sa rădăcină;
• dacă, atunci sau, care este același sau, adică ecuația are două rădăcini.

Astfel, prezența sau absența rădăcinilor ecuației și, prin urmare, ecuația pătratică originală, depinde de semnul expresiei din partea dreaptă. La rândul său, semnul acestei expresii este determinat de semnul numărătorului, deoarece numitorul 4 · a 2 este întotdeauna pozitiv, adică semnul expresiei b 2 −4 · a · c. Această expresie b 2 −4 a c a fost numită discriminantul ecuației pătratice și marcat cu litera D... Prin urmare, esența discriminantului este clară - prin valoarea și semnul său, se concluzionează dacă ecuația pătratică are rădăcini reale și, dacă da, care este numărul lor - una sau două.

Revenind la ecuație, o rescriem folosind notația discriminantă :. Și tragem concluzii:

• dacă D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• dacă D \u003d 0, atunci această ecuație are o singură rădăcină;
• în cele din urmă, dacă D\u003e 0, atunci ecuația are două rădăcini sau, care, în virtutea ei, pot fi rescrise ca sau, și după extinderea și reducerea fracțiilor la un numitor comun, obținem.

Deci, am derivat formulele pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, acestea având forma în care discriminantul D este calculat prin formula D \u003d b 2 −4 · a · c.

Cu ajutorul lor, cu un discriminant pozitiv, puteți calcula ambele rădăcini reale ale ecuației pătratice. Când discriminantul este egal cu zero, ambele formule dau aceeași valoare rădăcină corespunzătoare unei soluții unice ecuației pătratice. Și cu un discriminant negativ, atunci când încercăm să folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, ne confruntăm cu extragerea rădăcinii pătrate a unui număr negativ, care ne scoate din cutie și curiculumul scolar... Cu discriminant negativ, ecuația pătratică nu are rădăcini reale, ci are o pereche conjugare complexa rădăcini, care pot fi găsite folosind aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind formule rădăcină

În practică, atunci când rezolvați ecuații pătratice, puteți utiliza imediat formula rădăcină, cu care le puteți calcula valorile. Dar asta este mai mult despre găsirea rădăcinilor complexe.

Cu toate acestea, în cursul de algebră școlară, de obicei nu este vorba despre complexe, ci despre rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. În acest caz, este recomandabil să găsiți mai întâi discriminantul înainte de a utiliza formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, asigurați-vă că nu este negativă (în caz contrar, putem concluziona că ecuația nu are rădăcini reale) și numai după aceea calculați valorile rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus ne permite să scriem rezolvator de ecuații pătratice... Pentru a rezolva ecuația pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, aveți nevoie de:

• după formula discriminantă D \u003d b 2 −4 · a · c calculați valoarea acestuia;
• concluzionează că ecuația pătratică nu are rădăcini reale dacă discriminantul este negativ;
• calculați singura rădăcină a ecuației după formula dacă D \u003d 0;
• găsiți două rădăcini reale ale unei ecuații pătratice folosind formula rădăcinii dacă discriminantul este pozitiv.

Aici observăm doar că dacă discriminantul este egal cu zero, se poate folosi și formula, va da aceeași valoare ca.

Puteți trece la exemple de utilizare a algoritmului pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Luați în considerare soluțiile la trei ecuații pătratice cu discriminanți pozitivi, negativi și zero. Având în vedere soluția lor, prin analogie va fi posibil să se rezolve orice altă ecuație pătratică. Să începem.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Decizie.

În acest caz, avem următorii coeficienți ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c \u003d −6. Conform algoritmului, mai întâi trebuie să calculați discriminantul, pentru aceasta înlocuim a, b și c indicate în formula discriminantă, avem D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... Deoarece 28\u003e 0, adică discriminantul este mai mare decât zero, ecuația pătratică are două rădăcini reale. Le găsim după formula rădăcină, obținem, aici puteți simplifica expresiile obținute luând în considerare semnul rădăcinii cu reducerea ulterioară a fracției:

Răspuns:

Să trecem la următorul exemplu tipic.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

Decizie.

Începem prin a găsi discriminantul: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Prin urmare, această ecuație pătratică are o singură rădăcină, pe care o găsim ca, adică

Răspuns:

x \u003d 3,5.

Rămâne să luăm în considerare soluția ecuațiilor pătratice cu discriminant negativ.

Exemplu.

Rezolvați ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

Decizie.

Iată coeficienții ecuației pătratice: a \u003d 5, b \u003d 6 și c \u003d 2. Înlocuind aceste valori în formula discriminantă, avem D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Discriminantul este negativ, prin urmare, această ecuație pătratică nu are rădăcini reale.

Dacă trebuie să indicați rădăcini complexe, atunci aplicăm formula bine cunoscută pentru rădăcinile ecuației pătratice și performăm operații de număr complex:

Răspuns:

nu există rădăcini reale, rădăcinile complexe sunt după cum urmează :.

Încă o dată, observăm că, dacă discriminantul ecuației pătratice este negativ, atunci la școală, de obicei, notează imediat un răspuns în care indică faptul că nu există rădăcini reale și că nu se găsesc rădăcini complexe.

Formula rădăcină pentru coeficienți secundari chiar

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, unde D \u003d b 2 −4 a c, face posibilă obținerea unei formule de formă mai compactă care permite rezolvarea ecuațiilor pătratice cu un coeficient egal la x (sau pur și simplu cu un coeficient de forma 2 n, de exemplu, sau 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Să o scoatem.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm o ecuație pătratică de forma a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Să-i găsim rădăcinile folosind formula pe care o cunoaștem. Pentru a face acest lucru, calculați discriminantul D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c), și apoi utilizați formula rădăcină:

Să notăm expresia n 2 - a · c ca D 1 (uneori este notată cu D "). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n ia forma , unde D 1 \u003d n 2 - a · c.

Este ușor de văzut că D \u003d 4 · D 1 sau D 1 \u003d D / 4. Cu alte cuvinte, D 1 este a patra parte a discriminantului. Este clar că semnul lui D 1 este același cu semnul lui D. Adică, semnul lui D 1 este, de asemenea, un indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică cu al doilea coeficient 2 n, aveți nevoie

• Calculați D 1 \u003d n 2 −a · c;
• Dacă D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Dacă D 1 \u003d 0, atunci calculați singura rădăcină a ecuației cu formula;
• Dacă D 1\u003e 0, atunci găsiți două rădăcini reale după formula.

Să luăm în considerare soluția unui exemplu folosind formula rădăcină obținută în acest paragraf.

Exemplu.

Rezolvați ecuația pătratică 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

Decizie.

Al doilea coeficient al acestei ecuații poate fi reprezentat ca 2 · (−3). Adică, puteți rescrie ecuația pătratică originală sub forma 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, aici a \u003d 5, n \u003d −3 și c \u003d −32 și puteți calcula a patra parte a discriminantului: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Deoarece valoarea sa este pozitivă, ecuația are două rădăcini reale. Să le găsim folosind formula rădăcină corespunzătoare:

Rețineți că a fost posibil să se utilizeze formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz ar trebui să se facă mai multă muncă de calcul.

Răspuns:

Simplificarea vizualizării ecuațiilor pătratice

Uneori, înainte de a începe calculul rădăcinilor unei ecuații pătratice prin formule, nu strică să punem întrebarea: „Este posibil să simplificăm forma acestei ecuații”? De acord că, în ceea ce privește calculele, va fi mai ușor să se rezolve ecuația pătratică 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 decât 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0.

De obicei, o simplificare a formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale acesteia cu un anumit număr. De exemplu, în paragraful anterior, am reușit să simplificăm ecuația 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 împărțind ambele părți la 100.

O transformare similară se realizează cu ecuații pătratice, ai căror coeficienți nu sunt. În acest caz, ambele părți ale ecuației sunt de obicei împărțite la valorile absolute ale coeficienților săi. De exemplu, să luăm ecuația pătratică 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. valorile absolute ale coeficienților săi: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Împărțind ambele fețe ale ecuației pătratice originale cu 6, ajungem la ecuația pătratică echivalentă 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

Și multiplicarea ambelor părți ale unei ecuații pătratice se face de obicei pentru a scăpa de coeficienții fracționari. În acest caz, înmulțirea este efectuată de numitorii coeficienților săi. De exemplu, dacă ambele părți ale ecuației pătratice sunt înmulțite cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci va lua forma mai simplă x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

În concluzia acestui paragraf, observăm că aproape întotdeauna scăpăm de minusul la coeficientul principal al ecuației pătratice prin schimbarea semnelor tuturor termenilor, ceea ce corespunde multiplicării (sau împărțirii) ambelor părți cu -1. De exemplu, de obicei din ecuația pătratică −2x2 −3x + 7 \u003d 0 se trece la soluția 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienții unei ecuații pătratice

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice exprimă rădăcinile unei ecuații în ceea ce privește coeficienții acesteia. Pe baza formulei rădăcină, puteți obține alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile formule sunt din teorema formei Vieta și. În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, putem spune imediat că suma rădăcinilor sale este 7/3, iar produsul rădăcinilor este 22/3.

Folosind formulele deja scrise, puteți obține o serie de alte relații între rădăcini și coeficienții ecuației pătratice. De exemplu, puteți exprima suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice prin coeficienții săi :.

Lista de referinte.

• Algebră: studiu. pentru 8 cl. educatie generala. instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - ediția a XVI-a. - M .: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebră. clasa a 8-a. La ora 14:00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - ediția a XI-a, șters. - M.: Mnemosina, 2009 .-- 215 p.: Bolnav. ISBN 978-5-346-01155-2.