1. Planul general al ecuației

Definiție. Planul se numește suprafața, toate punctele care îndeplinesc ecuația totală: AX + BY + CZ + D \u003d 0, unde A, B, C - coordonatele vectorului

N \u003d AI + BJ + CK este standardul normal față de plan. Sunt posibile următoarele cazuri speciale:

A \u003d 0 - plan paralel cu axa Oh

B \u003d 0 - plan paralel cu axul c \u003d 0 - plan paralel cu axa oz

D \u003d 0 - Planul trece prin originea coordonatelor

A \u003d b \u003d 0 - Planul este paralel cu planul XOW A \u003d C \u003d 0 - planul este paralel cu planul XZ B \u003d C \u003d 0 - planul paralel cu planul yoz A \u003d D \u003d 0 - planul trece prin axa Oh

B \u003d d \u003d 0 - planul trece prin axa ou c \u003d d \u003d 0 - planul trece prin axa OZ

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - Planul coincide cu planul Xou A \u003d C \u003d D \u003d 0 - planul coincide cu planul Xoz B \u003d C \u003d D \u003d 0 - planul coincide cu avionul YOZ

2. Ecuația de suprafață în spațiu

Definiție. Orice ecuație care leagă coordonatele X, Y, Z Orice punct al suprafeței este ecuația acestei suprafețe.

3. Ecuația planului care trece prin trei puncte

Pentru ca prin intermediul a trei puncte din Kakelibo, a fost posibil să se efectueze un singur plan, este necesar ca aceste puncte să nu se culce pe o linie dreaptă.

Luați în considerare punctele m1 (x1, y1, z1), m2 (x2, y2, z2), m3 (x3, y3, z3) în sistemul total decartular

coordonate.
Pentru ca un punct arbitrar m (x, y, z)	situată în același avion cu puncte
M 1, M2, M3 este necesar ca vectorii M 1 M 2, M 1 M 3, M 1 M au fost compartimente, adică.
M1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)
(M 1 m 2, m 1 m 3, m 1 m) \u003d 0. Astfel, m 1 m 2	\u003d (x 2 - x 1; y 2		- Y 1; Z 2 - Z 1)
M1 m 3.	\u003d (x 3 - x 1; y 3 - y 1; z 3 - Z 1)
		x - X1.	y - Y1.	z - Z1.
Ecuația avionului care trece prin trei puncte:		x 2 - x 1	y 2 - Y 1	z 2 - Z 1
		x 3 - x 1	y 3 - Y 1	z 3 - Z 1

4. Ecuația planului pe două puncte și vectorul, planul colinear

Permiteți punctele M1 (X1, Y1, Z1), M2 (x2, Y2, Z2) și vectorul \u003d (A 1, A2, A3)).

Vom face ecuația avionului care trece prin datele punctelor M1 și M2 și arbitrare

punctul M (X, Y, Z) în vectorul paralel A.
Vectori m1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)	și vector a \u003d (a, a					trebuie sa fie
M 1m 2 \u003d (x 2 - x 1; y 2 \u200b\u200b- y 1; z 2 - Z 1)
			x - X1.				y - Y1.	z - Z1.
compliannas, adică (M 1 m, m 1 m 2, a) \u003d 0,0 europenanța planului:		x 2 - x 1					y 2 - Y 1	z 2 - Z 1

5. Ecuația avionului la un moment dat și doi vectori, planul colinear

Permiteți două versiuni de a \u003d (A 1, A 2, A3) și B \u003d (B 1, B 2, B 3), sunt specificate planuri colineare. Apoi, pentru un punct arbitrar m (x, y, z) aparținând planului, vectorii A, B, mm 1 trebuie să fie compartiment.

6. Ecuația planului pe punctul și vectorul normal

Teorema. Dacă un punct M 0 (x 0, Y 0, Z 0) este specificat în spațiu, ecuația planului care trece prin punctul M 0 perpendicular pe vectorul N (A, B, C) este: a ( X - X 0) + B (Y-Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

7. Ecuația planului în segmente

Dacă în axul general + cu + CZ + D \u003d 0 ecuație pentru a împărtăși ambele părți pe (-d)

x -

y -

z - 1 \u003d 0, înlocuind -

C, obținem ecuația avionului

În segmente:

unu . Numbers A, B, C sunt puncte de intersecție a avionului, respectiv

cu axe x, y, z.

8. Ecuarea planului în formă vectorială

r n \u003d p, în cazul în care r \u003d xi + yj + zk este raza de rază a punctului curent m (x, y, z),

n \u003d i cosα + j cos β + k COSY - vector unic având direcție, perpendicular,

coborât în \u200b\u200bavion de la începutul coordonatelor. α, β și γ - unghiuri formate de acest vector cu axe x, y, z. P este lungimea acestui perpendicular. În coordonate, această ecuație arată ca:

x cosα + y cos β + z cosγ - p \u003d 0

9. Distanța de la punct la plan

Distanța de la un punct arbitrar m 0 (x 0, y 0, z 0) la avionul ax + cu + cz + d \u003d 0 este:

d \u003d AX0 + BY0 + CZ0 + D

A2 + B2 + C 2

Exemplu. Găsiți ecuația planului care trece prin punctele A (2, -1,4) și în (3.2, -1) perpendicular pe planul X + Y + 2Z - 3 \u003d 0.

Ecuația plană dorită este: ax + by + cz + d \u003d 0, vector normal la acest plan N 1 (A, B, C). Vectorul AB (1.3, -5) aparține avionului. Avionul dat SUA,

perpendicularul dorit are un vector de N2 (1,1,2) normal. pentru că Punctele A și B aparțin ambelor avioane, iar avionul este reciproc perpendicular, atunci

n \u003d ab × n

− 5

- J.

− 5

11 i - 7 J - 2 k.

− 5

Astfel, vectorul normal N 1 (11, -7, -2). pentru că Punctul A aparține planului dorit, coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația acestui plan, adică.

11.2 + 7.1- 2.4 + D \u003d 0; D \u003d - 21. Total, obținem ecuația planului: 11x - 7 Y - 2Z - 21 \u003d 0

10. Ecuația liniei în spațiu

Atât în \u200b\u200bplan, cât și în spațiu, orice linie poate fi definită ca un set de puncte ale căror coordonate în unele sistem de coordonate selectate în spațiu satisface ecuația:

F (x, y, z) \u003d 0. Această ecuație se numește ecuația liniei în spațiu.

În plus, linia în spațiu poate fi determinată și altfel. Acesta poate fi considerat ca o linie de intersecție a două suprafețe, fiecare dintre acestea fiind stabilită de aceeași ecuație.

Fie f (x, y, z) \u003d 0 și φ (x, y, z) \u003d 0 ecuațiile de suprafețe intersectează de-a lungul L.

F (x, y, z) \u003d 0

Apoi o pereche de ecuații f (x, y, z) \u003d 0 numită ecuația liniei în spațiu.

11. Ecuația este directă în spațiu într-un punct și un vector de ghidare 0 \u003d m 0 m.

pentru că Vectorii sunt m 0 m și s colinear, apoi raportul m 0 m \u003d st, unde T este un parametru. Total, puteți scrie: R \u003d R 0 + St.

pentru că Această ecuație satisface coordonatele oricărui punct direct, ecuația obținută este o ecuație parametrică directă.

x \u003d x0 + mt

Această ecuație vectorială poate fi reprezentată în formă de coordonate: y \u003d y 0 + nt

z \u003d z0 + pt

Convertirea acestui sistem și echivalarea valorii parametrului T, primim canonic

ecuații direct în spațiu:	x - X0.		y - Y0.		z - Z0.

Definiție. Cosinele directe sunt numite direct ghidurile cosinoase ale vectorului S, care pot fi calculate prin formule:

	cosα \u003d.			; Cos β \u003d.		; COSG \u003d.
					N 2 + p 2		m 2 + n 2 + p 2

De aici primim: M: N: P \u003d Cosα: COS β: COSY.

Numerele M, N, P sunt numite coeficienții de colț direct. pentru că S este un vector nonzero, apoi M, N și P nu poate fi zero în același timp, dar unul sau două dintre aceste numere pot fi zero. În acest caz, în ecuație, numerele corespunzătoare ar trebui egalizate.

12. Ecuația este directă în spațiul care trece prin două puncte

Dacă există două puncte arbitrare M 1 (x 1, y 1, z 1) în spațiu direct în spațiu) și

M 2 (x 2, y 2, z 2), coordonatele acestor puncte trebuie să îndeplinească ecuația obținută mai sus:

x 2 - x 1		y 2 - Y 1		z 2 - Z 1

Puteți seta în moduri diferite (cu un punct și vector, două puncte și un vector, trei puncte etc.). Consideră că această ecuație a unui avion poate avea diferite tipuri. De asemenea, sub rezerva anumitor condiții, planul poate fi paralel, perpendicular de intersect etc. Luați asta și discutați despre acest articol. Vom învăța să facem o ecuație generală a planului și nu numai.

Ecuația normală a formei

Să presupunem că există un spațiu R3, care are un sistem dreptunghiular de coordonate XYZ. Setați vectorul α, care va fi eliberat din punctul de plecare O. După capătul vectorului α, vom efectua planul P, care va fi perpendicular pe el.

Denotă de Potul arbitrar p q \u003d (x, y, z). Radius-Vector punct Q Abonați-vă la litera r. În acest caz, lungimea vectorului α este egală cu p \u003d iαi și ʋ \u003d (cosα, cosβ, COSγ).

Acesta este un singur vector care este regizat deoparte, precum și vectorul α. α, β și γ sunt unghiurile care sunt formate între vectorul ʋ și direcțiile pozitive ale axelor X, Y, Z, respectiv. Proiecția oricărui punct qup pe vector ʋ este o valoare constantă care este egală cu P: (P, ʋ) \u003d P (P≥0).

Ecuația specificată are sens când p \u003d 0. Singurul, avionul P în acest caz va trece punctul O (α \u003d 0), care este începutul coordonatelor, iar vectorul unității ʋ, eliberat de la punctul O, va fi perpendicular la P, în ciuda direcției sale, Ceea ce înseamnă că vectorul ʋ este determinat de precizie înainte de semn. Ecuația anterioară este ecuația planului nostru N, exprimată în formă vectorială. Dar în coordonate, aspectul său va fi astfel:

R Aici este mai mare sau egal cu 0. Am găsit ecuația plană în spațiul în formă normală.

Ecuația generală

În cazul în care ecuația în coordonatele de a multiplica pe orice număr care nu este zero, obținem ecuația echivalentă cu acest lucru, ceea ce determină chiar planul. Va avea acest fel:

Aici a, b, c este numerele care sunt simultan diferite de zero. Această ecuație este menționată ca ecuația planului general al formei.

Ecuațiile avioanelor. Cazuri private

Ecuația în formă generală poate fi modificată în prezența unor condiții suplimentare. Luați în considerare unele dintre ele.

Să presupunem că coeficientul A este 0. Aceasta înseamnă că acest plan este paralel cu axa specificată Oh. În acest caz, vederea ecuației se va schimba: WU + CZ + D \u003d 0.

Similar tipului de ecuație va fi modificat în următoarele condiții:

• În primul rând, dacă b \u003d 0, ecuația se va schimba la AH + CZ + D \u003d 0, care va indica o paralelă cu axa OU.
• În al doilea rând, dacă C \u003d 0, ecuația este convertită la AH + W + D \u003d 0, care va vorbi în paralel cu axa OZ specificată.
• În al treilea rând, dacă D \u003d 0, ecuația va arăta ca AH + V / CZ \u003d 0, care va însemna că planul traversează O (originea coordonatelor).
• În al patrulea rând, dacă A \u003d B \u003d 0, ecuația se va schimba la CZ + D \u003d 0, care se va dovedi paralelă cu oxi.
• În al cincilea rând, dacă b \u003d c \u003d 0, ecuația va deveni ah + d \u003d 0, și aceasta înseamnă că avionul spre Oyz este paralel.
• A șasea, dacă A \u003d C \u003d 0, atunci ecuația va dobândi punctul de vedere al Wu + D \u003d 0, adică va raporta paralel cu Oxz.

Vizualizați ecuația în segmente

În cazul în care numerele A, B, C, D sunt diferite de zero, forma de ecuație (0) poate fi după cum urmează:

x / a + y / b + z / s \u003d 1,

în care A \u003d -D / A, B \u003d -D / B, C \u003d -D / s.

Obținem în cele din urmă că merită remarcat faptul că acest plan va traversa axa Oh la un punct cu coordonate (A, 0,0), OU - (0, B, 0) și OZ - (0,0, C).

Luând în considerare ecuația X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, nu este dificil să prezentați vizual plasarea planului față de sistemul de coordonate specificat.

Coordonatele vectorului normal

Vectorul normal N la Planul P are coordonate care sunt coeficienți ai ecuației generale a acestui plan, adică N (A, B, C).

Pentru a determina coordonatele Normale N, este suficient să cunoaștem ecuația generală a planului specificat.

Când utilizați ecuația în segmente, care are formularul X / A + Y / B + Z / S \u003d 1, ca în cazul utilizării ecuației generale, sunt posibile coordonatele oricărui vector normal al planului specificat: (1 / A + 1 / B + 1 / DE).

Este demn de remarcat faptul că vectorul normal ajută la rezolvarea unei varietăți de sarcini. Cele mai frecvente sarcini includ dovada perpendicularității sau paralelismului avioanelor, sarcini pentru găsirea unghiurilor între avioane sau unghiuri între avioane și drepte.

Vizualizarea ecuației planului conform coordonatelor punctului și vectorului normal

Vectorul Nonzero N, perpendicular pe planul specificat, se numește normal (normal) pentru un anumit plan.

Să presupunem că în spațiul de coordonate (sistem de coordonate dreptunghiulare) oxyz este dat:

• punctul Mₒ cu coordonate (Xₒ, Uₒ, Zₒ);
• zero vector n \u003d a * i + în * j + s * k.

Este necesar să se facă ecuația avionului, care va trece prin punctul Mₒ perpendicular la normal N.

În spațiu, alegeți orice punct arbitrar și îl denotați M (X Y, Z). Lăsați vectorul de rază a oricărui punct m (x, y, z) să fie r \u003d x * i + y * j + z * k și punctul de radius-vector mₒ (xₒ, uₒ, zₒ) - rₒ \u003d xₒ * i + u * j + zₒ * k. Punctul M va aparține unui plan dat dacă vectorul MₒM este perpendicular pe vectorul N. Noi scriem starea ortogonalității cu ajutorul unui produs scalar:

[Mₒm, n] \u003d 0.

Deoarece mₒm \u003d r-rₒ, ecuația vectorială a avionului arată astfel:

Această ecuație poate avea o altă formă. În acest scop, sunt utilizate proprietățile produsului scalar, iar partea stângă a ecuației este convertită. \u003d -. Dacă desemnați ca C, atunci se va obține următoarea ecuație: - C \u003d 0 sau \u003d C, care exprimă constanța proiecțiilor pe vectorul normal al vectorilor de rază a punctelor specificate care aparțin planului.

Acum puteți obține viziunea de coordonate a înregistrării ecuației vectoriale a avionului nostru \u003d 0. Deoarece R-Rₒ \u003d (X-Xₒ) * I + (Y-Uₒ) * J + (Z-Zₒ) * K și n \u003d a * i + in * j + c * k, avem:

Se pare că avem o ecuație plană care trece prin punctul perpendicular la Normal N:

A * (X-Xₒ) + B * (U-) C * (Z - Zₒ) \u003d 0.

Vizualizarea ecuației planului în conformitate cu coordonatele a două puncte și vector, planul colinear

Vom seta două puncte arbitrare m '(x', u ', z') și m "(x", y, z "), precum și vectorul A (A ', A", A ‴).

Acum vom fi capabili să elaborăm ecuația unui avion dat, care va trece prin punctele disponibile M 'și M ", precum și orice punct M cu coordonatele (x, y, z) paralele cu vectorul specificat.

În același timp, vectorii m'm \u003d (xx '; y,'; zz ') și m' m \u003d (x "-H '; y" -u'; z "-Z ') trebuie să fie compartimentul cu Un vector a \u003d (a ', a ", a ‴), ceea ce înseamnă că (m'm, m" m, a) \u003d 0.

Deci, ecuația noastră a avionului în spațiu va arăta astfel:

Vizualizarea ecuației avionului care traversează trei puncte

Să presupunem că avem trei puncte: (x ', y', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴), care nu aparțin unei linii drepte. Este necesar să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte specificate. Teoria geometriei susține că acest tip de avion există cu adevărat, doar este singurul și unic. Deoarece acest avion traversează punctul (X ', în', Z '), punctul de vedere al ecuației sale va fi după cum urmează:

Aici a, B, cu non-zero în același timp. De asemenea, planul specificat traversează încă două puncte: (x ", y, z") și (x ‴, ‴, z ‴). În acest sens, trebuie să se efectueze acest tip de condiție:

Acum putem elabora un sistem omogen cu Necunoscut U, V, W:

În a noastră case x, u sau Z efectuează un punct arbitrar care satisface ecuația (1). Având în vedere ecuația (1) și sistemul din ecuațiile (2) și (3), sistemul de ecuații indicate în figura de mai sus satisface vectorul N (A, B, C), care nu este trivial. De aceea, determinantul acestui sistem este zero.

Ecuația (1), pe care am reușit, aceasta este ecuația avionului. După 3 puncte, ea trece exact și este ușor de verificat. Pentru a face acest lucru, descompune identificatorul nostru în elementele din prima linie. Din proprietățile existente ale determinantului, rezultă că avionul nostru traversează simultan trei puncte specificate inițial (x ', u', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴). Adică, am decis sarcina stabilită în fața noastră.

Unghiul cu două montați între avioane

Unghiul cu două montați este un spațial forma geometricăformate de două jumătăți de avioane care vin de la o linie dreaptă. Cu alte cuvinte, aceasta este o parte a spațiului care este limitat de aceste jumătăți de avioane.

Să presupunem că avem două avioane cu următoarele ecuații:

Știm că vectorii n \u003d (A, B, C) și N¹ \u003d (A¹, V¹, C¹) sunt perpendiculari conform planurilor specificate. În această privință, unghiul φ între vectorii n și n¹ este egal cu colțul (doi bărbat), care este situat între aceste avioane. Produs scalar Are forma:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

asta pentru că

cOSφ \u003d NN¹ / | N || N¹ | \u003d (AA¹ + Exploziv + SS¹) / ((√ A ² + c² + c²)) * (√ (A¹) ² + (V) ² + (С¹) ²)) .

Este suficient să considerăm că 0≤φ≤π.

De fapt, două avioane care se intersectează, formează două unghiuri (doi bărbați): φ 1 și φ 2. Suma este egală cu π (φ 1 + φ 2 \u003d π). În ceea ce privește cosurile lor, valorile lor absolute sunt egale, dar ele diferă în semne, adică Cos φ 1 \u003d -COS φ 2. Dacă în ecuația (0) se înlocuiește cu A, în și C per număr -, respectiv, și respectiv, ecuația pe care o primim va determina același plan, singurul, unghiul φ în cos φ \u003d Nn 1 / ecuație n || n 1 | va fi înlocuit cu π-φ.

Ecuați planul perpendicular

Perpendicular se numește planul dintre care unghiul este de 90 de grade. Folosind materialul prezentat mai sus, putem găsi ecuația planului perpendicular pe celălalt. Să presupunem că avem două planuri: AH + V / CZ + D \u003d 0 și A¹x + V \u003d 0 și OZ + D \u003d 0. Putem argumenta că vor fi perpendiculari dacă cosφ \u003d 0. Aceasta înseamnă că nn¹ \u003d aa¹ + explozie + ss¹ \u003d 0.

Ecuația unui plan paralel

Paralele sunt numite două avioane care nu conțin puncte comune.

Condiția (ecuațiile lor sunt aceleași ca în paragraful anterior) constă în faptul că vectorii n și n¹, care sunt perpendiculari cu ei, colinear. Aceasta înseamnă că sunt îndeplinite următoarele condiții:

A / \u003d v / v¹ \u003d c / c¹.

Dacă condițiile de proporționalitate sunt extinse - A / A¹ \u003d In / C \u003d C / C¹ \u003d DD¹,

acest lucru sugerează că aceste avioane coincid. Și aceasta înseamnă că ecuațiile ah + v / cz + d \u003d 0 și a¹x + in + С¹z + d¹ \u003d 0 descrie un avion.

Distanța până la plan de la punct

Să presupunem că avem un plan P, care este stabilit prin ecuația (0). Este necesar să găsiți distanța de la punctul cu coordonatele (Xₒ, Uₒ, Zₒ) \u003d Qₒ. Pentru a face acest lucru, trebuie să aduceți ecuația planului P în forma normală:

(ρ, v) \u003d P (P≥0).

În acest caz, ρ (x, y, z) este raza-vector al punctului nostru Q Situat pe P, P este lungimea perpendiculară n, care a fost eliberată din punctul zero, V este un vector unic, care este Situat în direcția A.

Diferența de rază ρ-ρº-vector de un anumit punct q \u003d (x, y, z) aparținând N, precum și vectorului razei unui punct dat Q 0 \u003d (Xₒ, Uₒ, Zₒ) este același vector, valoare absolută Proiecțiile din care pe V sunt egale cu distanța D pentru a găsi de la Q 0 \u003d (xₒ, y, zₒ) la p:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) Dar

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d p- (ρ 0, v).

Așa că se dovedește

d \u003d | (ρ 0, v) -r |.

Astfel, vom găsi valoarea absolută a expresiei rezultate, adică d.

Folosind limba parametrilor, suntem evidenți:

d \u003d | Ahₒ + Vuₒ + CZₒ | / √ (A² + c² + c²).

În cazul în care un punct Q 0 este pe cealaltă parte a planului P, ca și începutul coordonatelor, apoi între vectorul ρ-ρ 0 și V este, prin urmare,:

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -r\u003e 0.

În cazul în care punctul Q 0, împreună cu începutul coordonatelor, se află pe aceeași parte de la N, atunci unghiul creat este ascuțit, adică:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)\u003e 0.

Ca rezultat, se pare că în primul caz (ρ 0, v)\u003e P, în al doilea (ρ 0, v)<р.

Tangentul și ecuația sa

Atingerea planului la suprafață la punctul de atingere a Mº este un plan care conține toate tangentele posibile la curba efectuată prin acest punct de pe suprafață.

Cu această formă a ecuației suprafeței F (x, y, z) \u003d 0, ecuația planului tangent la punctul tangent Mº (Xº, Uº, Zº) va arăta astfel:

F x (Xº, Yº, Zº) (xº) + F x (Xº, Yº, Zº) (UHº) + F X (Xº, Yº, Zº) (Z-Zº) \u003d 0.

Dacă specificați suprafața în formă explicită z \u003d f (x, y), atunci planul tangent va fi descris de ecuație:

z-zº \u003d f (xº, uº) (xº) + f (xº, yº) (Uº).

Traversând două avioane

Se află sistemul de coordonate (dreptunghiular) oxyz, se administrează două planuri P 'și P ", care se intersectează și nu coincid. Deoarece orice avion din sistemul de coordonate dreptunghiulare este determinat de ecuația globală, presupunem că P 'și P "sunt stabilite de ecuațiile A'H + B'U + C'Z + D' \u003d 0 și A" X + în "Y + cu" Z + D "\u003d 0. În acest caz, avem N '(A', B ', C') Planul P 'și Normal N "(A", în ", C") Planul P ". Deoarece avioanele noastre nu sunt paralele și nu coincid, acești vectori nu sunt colinear. Folosind limba matematicii, putem scrie această afecțiune după cum urmează: N '≠ N "↔ (A', în ', C') ≠ (λ * A", λ * în ", λ * s"), λεr. Lăsați linia dreaptă, care se află la intersecția lui P 'și P ", va fi denotată de litera A, în acest caz, a \u003d p' ∩ p".

a este o direcție constând dintr-o varietate de planuri (generale) ale planurilor P 'și P ". Aceasta înseamnă că coordonatele oricărui punct aparținând directorului ar trebui să satisfacă simultan ecuațiile A'H + B'U + C'Z + D '\u003d 0 și A "X + până la" Y + cu "Z + D" \u003d 0 . Deci, coordonatele punctului vor fi o soluție privată a următorului sistem de ecuații:

Ca rezultat, se dovedește că soluția (generală) a acestui sistem de ecuații va determina coordonatele fiecăruia dintre punctele liniei, care va acționa ca un punct de intersecție a P 'și P "și va determina direct direct A în sistemul de coordonate Oxyz (dreptunghiular) în spațiu.

Luați în considerare un plan în spațiu. Poziția lui este complet determinată de setul de vector n perpendicular pe acest plan, iar un punct fix situat în planul Q. Vector N, planul perpendicular Q, se numește un vector normal al acestui plan. Dacă desemnați prin A, B și de la proiecția vectorului normal N, atunci

Derivăm ecuația planului Q care trece prin acest punct și având un anumit vector normal. Pentru aceasta, luați în considerare punctul de legătură vectorial cu un punct arbitrar al planului Q (fig.81).

În orice poziție a punctului M pe planul Q, MXEM este perpendicular pe vectorul normal n plan Q. Prin urmare, produsul scalar va scrie un produs scalar prin proiecții. Ca și vector, atunci

prin urmare,

Am arătat că coordonatele oricărui punct al planului Q îndeplinesc ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află în planul Q, această ecuație nu este satisfăcătoare (în ultimul caz). În consecință, am obținut ecuația dorită a planului Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece prin acest punct. Este primul grad privind coordonatele actuale.

Deci, am arătat că fiecare avion corespunde ecuației primei grade față de coordonatele actuale.

Exemplul 1. Scrieți ecuația planului care trece prin punctul perpendicular pe vector.

Decizie. Aici . Pe baza formulei (4) ajungem

sau după simplificare

Dând coeficienții A, B și de la ecuația (4) diferite valori, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punct. O combinație de avioane care trece prin acest punct este numită ligament al avioanelor. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valori, se numesc ecuația ligamentului avioanelor.

Exemplul 2. Faceți ecuația planului care trece prin trei puncte (fig.82).

Decizie. Scrieți ecuația ligamentului de avioane care trec prin punct

Poziția planului în spațiu va fi destul de definită dacă este setată la distanța sa de la începutul O, adică lungimea perpendiculară de la, coborâtă din punctul O în plan, și vector de unitate n °, perpendicular la avion și îndreptat de la început până la avion (fig.111).

Când punctul M se mișcă de-a lungul planului, vectorul său de rază variază astfel încât tot timpul să fie asociat cu o anumită condiție. Să vedem ce este această condiție. Evident, pentru orice punct situat în avion, avem:

Această condiție are loc numai pentru punctele de avion; Este spart dacă M M se află din avion. Astfel, egalitatea (1) exprimă proprietatea, punctele totale ale planului și numai ele. Conform § 7 ch. 11 Avem:

Și, prin urmare, ecuația (1) poate fi rescrisă în forma:

Ecuația (D) exprimă o condiție în care punctul) se află pe acest plan și se numește ecuația normală pentru acest avion. Vectorul de rază a unui punct arbitrar al avionului se numește vector de rază actuală.

Ecuația (1) a planului este scrisă în formă vectorială. Transformarea la coordonate și plasarea originii la începutul vectorilor - Punct O, menționăm că proiecțiile vectorului unității pe axa coordonatelor sunt cosine ale unghiurilor compilate de axele cu acest vector și proiecțiile de Punctul Radius-Vector M

serviți coordonatele punctului, adică avem:

Ecuația (D) intră în coordonată:

La traducerea ecuației vectoriale (d) a planului la ecuația de coordonate (2), am folosit formula (15) § 9 CH. 11 Exprimarea unui produs scalar prin proiecțiile vectorilor. Ecuația (2) exprimă o afecțiune în care punctul M (X, Y, Z) se află pe acest plan și se numește ecuația normală pentru acest plan în forma de coordonate. Ecuația rezultată (2) este o rudă de gradul întâi, adică orice avion poate fi reprezentat de ecuația gradului întâi în raport cu coordonatele actuale.

Rețineți că ecuațiile derivate (1 ") și (2) rămân în vigoare și apoi când, adică acest avion trece prin origine. În acest caz, este posibil să luați oricare dintre cei doi vectori singuri perpendiculari pe plan și diferit de la o altă direcție.

Cometariu. Ecuația normală a planului (2) poate fi ieșire fără a utiliza metoda vectorului.

Luați un avion arbitrar și petreceți prin originea coordonatelor perpendiculare de direct I. Instalăm pe această direcție pozitivă directă de la începutul coordonatelor în plan (dacă planul selectat a trecut prin originea coordonatelor, apoi direcția pe drept pot fi luate).

Poziția acestui plan în spațiu este complet determinată de distanța de origine, adică lungimea segmentului axei L de la origine la punctul de intersecție cu planul (în figura 111 - segment) și unghiurile dintre axa și axele de coordonate. Atunci când punctul de coordonare se deplasează de-a lungul avionului, coordonatele sale se schimbă astfel încât tot timpul să fie asociate cu o anumită condiție. Să vedem ce este această condiție.

Construiți în fig. 111 Coordonați linia întreruptă a liniei arbitrare punct m punct m. Luați proiecția acestui lucru rupt pe axa l. Observând că proiecția întreruperii este egală cu proiecția segmentului său de scurtcircuit (CH. I, § 3), vom avea.

24. Dependența liniară a coloanelor matricei. Proprietăți Dependența liniară și independența corzilor (coloanele) matricei

Proprietățile coloanelor independente dependente și liniar ale matricelor

25. Baza minoră. Teorema minorului de bază. Teorema intervalului.

26. Sisteme de ecuații liniare. Teorema Kronkener - Capelli privind compatibilitatea sistemelor.

27. Sisteme uniforme de ecuații liniare. Proprietățile soluțiilor lor. Decizia generală a măgarului.

28. Soluții de sistem fundamentale

29. Sisteme neomogene de ecuații liniare. Proprietățile soluțiilor lor. Construirea unei soluții generale de NSLU.

30. Spații liniare. Definiție. Exemple, efecte ale axiomului.

31. Dependența liniară a vectorilor spațiali liniari. Proprietăți

32. Baza spațiului liniar. Dimensiune

33. Unicitatea descompunerii vectorilor pe bază. Coordonate. Acțiuni pe vectori în formă de coordonate.

34. Schimbați coordonatele vectorului atunci când treceți la o bază nouă. Matricea de tranziție.

35. Spațiul Euclidean. Definiție, exemple. Modul vectorial. Unghiul dintre vectori. Inegalitatea lui Cauchy Bunyakovski.

36. Operatorul liniar. Matricea operatorului liniar. Schimbarea matricei operatorului liniar atunci când treceți la o nouă bază.

37. Imaginea și miezul operatorului liniar. Rangul operator liniar.

38. Într-un fișier separat.

39. Vectori proprii și valori proprii ale unui operator liniar. Proprietățile lor

40. Secvență. Limită de secvență. Secvențe limitate, nelimitate, infinit mici și infinit mari. Definiție

[Edit] exemple

[Edit] operațiuni de secvență

[Edit] subsecvența

[Edit] exemple

[Edit]

[Edit] secvența punctului limită

[Edit] limită de secvență

[Edit] Unele tipuri de secvențe

[Edit] Secvențe limitate și nelimitate

[Edit] Criteriul limitat secvența numerică

[Edit] Proprietățile secvențelor limitate

[Edit] Secvențe infinit mari și infinit de mici

[Edit] Proprietăți ale secvențelor infinit mici

[Edit] convergente și secvențe divergente

[Edit] Proprietățile secvențelor convergente

41. Conceptul de funcții. Modalități de a seta funcția.

42. Funcția de limită la punct, în infinit. Interpretarea geometrică. Definiții și exemple.

43. Teoremele sunt limitate:

44. Funcții și proprietăți continue:

Proprietăți Local

Global

Semnează teorema conservării pentru funcția continuă

Dovezi

45. Prima limită minunată. Consecințe. The Limit Theorem sumele, lucrările și private.

46. \u200b\u200bFuncții limitate și proprietățile acestora. Condiția necesară pentru existența limitei funcției la punct.

47. Funcții infinit de mici, proprietățile acestora. Lemma.

Lemmas despre infinit de mic

48. Criteriul existenței limitei funcției la acest punct.

49. Funcții infinit mari, comunicarea cu funcții infinit de mici.

50. Dezvăluirea incertitudinilor. A doua limită minunată.

51. Funcții echivalente infinit mici. Tabel de funcții echivalente infinit mici.

52. Teorema utilizării echivalente infinit de mici pentru a calcula limitele.

3.2. Formulele principale de echivalență sunt infinit mici.

53. Limitele funcției unice la punct. Continuitatea unilaterală a funcției la punct.

54. Punctele de spargere a punctelor și clasificarea acestora.

55. Proprietățile funcțiilor continue pe segment.

56. Sarcinile care duc la conceptul derivatului. Conceptul derivatului. Geometric și fizic derivat derivat.

1.1 sarcini care duc la conceptul de derivat

, În cazul în care un.

57. Diferențialitatea funcției. Diferența de diferențiere a criteriilor la punct.

57. Diferențialitatea funcției. Diferența de diferențiere a criteriilor la punct.

58. Funcția complexă derivată.

59. Funcția diferențială. Invarianța primei forme de înregistrare diferențială.

60. Funcția inversă și derivatul său.

60. Funcția inversă și derivatul său.

61. Reguli de diferențiere.

63. Diferențierea logaritmică. Derivatul funcției indicative trepte.

5.4. Derivatul funcției indicative treptate

64. Consultați un fișier separat.

65. Teoreme în medie - Fermă, Roll.

66. Teoremele de la Lagrange, Cauchy.

67. Diferențele ordinelor superioare. Formular de înregistrare non-invariantă.

68. Regula lopitală. Dezvăluirea incertitudinilor utilizând regula lopitală.

69. formula taylor. Descompunerea funcției conform formulei Taylor.

70. Monotonia funcției. Condiții de monotonicitate.

71. Funcție extremă. Condiția necesară pentru existența extremumului.

72. Condiții suficiente extreme.

73. Funcția convertibilă și concavă a funcției. Puncte de inflexiune.

74. Asimptote de grafică.

[Edit] Tipuri de asimptote de grafice [edit] vertical

[Edit] orizontal

[Edit] înclinat

[Edit] Găsirea asimptot

76. Metoda de înlocuire a variabilelor într-un integral nedefinit.

77. Integrarea în părți într-un integral nedefinit. Clase de funcții integrante în părți.

78. Rational FRACI. Descompunerea fracțiilor raționale pe suma celor mai simple.

79. Integrarea celor mai simple fracții raționale.

80. Integrarea funcțiilor trigonometrice.

81. Integrarea irațională a ochilor ...

82. Integrarea iraționalităților oculare ...

83. Conceptul unui anumit integrat, semnificația și proprietățile sale geometrice. Teorema de mijloc.

84. Integral cu limită superioară variabilă. Formula Newton Labitsa.

85. Sistemul de coordonate polar. Ecuațiile curbelor în sistemul de coordonate polar.

Ecuarea curbelor în coordonatele polare

Cerc

Polar Rosa.

Spirala arhimede

Secțiuni conice

86. Calcularea unui anumit integral. Utilizarea acestuia pentru a calcula zonele cu figuri plane, lungimea curbei arcului.

87. Calculul corpurilor, corpurilor de rotație.

88. Anexa este o parte integrantă a sarcinilor fizicii.

89. Integrate neprelucrate de amice.

89. Integrate neprelucrate de amice.

Integraluri neprevete de amice

Semnificația geometrică a integririi incompatibile pe care o am

Exemple

90. Integrate invalioase ale genului.

Semnificația geometrică a integrelor necorespunzătoare ale genului

Ecuația plană normală.

Ecuația generală a planului speciilor este numită ecuarea normală a planuluiDacă lungimea vectorului egal cu unul, adică, , și.

Este adesea posibil să se observe că ecuația normală a planului este scrisă în formă. Aici - ghidajul cosinei vectorului normal al acestui plan de o singură lungime, adică și p. - numărul non-negativ egal cu distanța de la începutul coordonatelor la avion.

Ecuația plană normală într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz. Determină planul care este îndepărtat de la începutul coordonatelor p. În direcția pozitivă a vectorului normal al acestui plan . În cazul în care un p \u003d 0.Planul trece prin originea coordonatelor.

Dăm un exemplu de ecuație normală a planului.

Lăsați avionul setat în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz. Ecuarea comună a planului formularului . Această ecuație generală a avionului este o ecuație normală a avionului. Într-adevăr, vectorul normal al acestui plan are o lungime egală cu una, deoarece .

Ecuația planului în formă normală vă permite să găsiți distanța de la punctul în plan.

Distanța de la punctul în avion.

Distanța de la punctul în plan este cea mai mică dintre distanțele dintre acest punct și punctele planului. Se știe că distanţă Din punct de vedere spre plan este egal cu lungimea perpendiculară, coborâtă din acest punct spre plan.

Dacă originea coordonatelor se află pe diferite părți ale planului, în cazul opus. Distanța de la punctul în avion este

Locația reciprocă a avioanelor. Condiții de paralelism și perpendicularitate a planurilor.

Distanța dintre avioanele paralele

Concepte conectate

Planul sunt paralele , în cazul în care un

sau (Vector de artă)

Planuri perpendiculare, în cazul în care un

Sau . (Produs scalar)

Direct în spațiu. Diferitele tipuri de ecuații sunt drepte.

Ecuații direct în spațiu - informații inițiale.

Ecuația directă în avion Oxy. este o ecuație liniară cu două variabile x. și y.care satisface coordonatele oricărui punct direct și nu îndeplinesc coordonatele altor puncte. Cu o linie în spațiu tridimensional, este puțin diferit - nu există ecuație liniară cu trei variabile. x., y. și z.care ar satisface numai coordonatele DOT-urilor specificate în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz.. Într-adevăr, ecuația speciei în care x., y. și z. - variabile și A., B., C. și D. - unele numere valide și DAR, ÎN și DIN În același timp nu sunt zero, reprezintă ecuația generală a avionului. Apoi apare întrebarea: "Cum poate fi descrisă o linie directă într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz.»?

Răspunsul la acesta este cuprins în următoarele paragrafe ale articolului.

Ecuațiile directe în spațiu sunt ecuațiile a două avioane intersectate.

Amintiți-vă oxiom: dacă două avioane în spațiu au un punct comun, atunci au un mod comun direct pe care sunt localizate toate punctele comune ale acestor avioane. Astfel, linia directă în spațiu poate fi specificată, indicând două avioane care se intersectează prin acest director.

Transferăm cea mai recentă afirmație la limba algebră.

Lăsați sistemul de coordonate dreptunghiulare să fie fixat în spațiu tridimensional Oxyz. și se știe că drept a. Este linia de intersecție a două avioane și care corespunde ecuațiilor comune ale planului este videoclipul. De la drepte a. Este un set de toate punctele comune ale avioanelor și, apoi coordonatele oricărui punct direct A vor satisface atât ecuațiile ecuațiilor, coordonatele oricăror alte puncte nu vor fi satisfăcute simultan ambele ecuații ale avioanelor. În consecință, coordonatele oricărui punct direct a. Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz. reprezinta soluția privată a sistemului de ecuații liniare Vedere , și soluția generală a sistemului de ecuații definește coordonatele fiecărui punct direct a., adică determină direcția a..

Deci, direct în spațiu într-un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz. pot fi stabilite de sistem din ecuațiile a două avioane intersectate .

Iată un exemplu al sarcinii unei linii drepte în spațiu folosind un sistem de două ecuații - .

Descrierea liniei drepte cu ecuațiile a două avioane intersectate este excelentă pentru găsirea coordonatelor intersecției directe și a planuluiprecum și găsirea coordonatelor intersecției a două direct în spațiu.

Vă recomandăm să continuați studiul acestui subiect contactând articolul. ecuații direct în spațiu - ecuațiile a două avioane intersectate. Acesta prezintă informații mai detaliate, soluțiile de exemple și sarcini caracteristice sunt dezasamblate în detaliu, iar metoda de tranziție la ecuațiile direct în spațiul unei alte specii este prezentată.

Trebuie remarcat faptul că există diferite metodele de sarcină directe în spațiu, Și în practică, direcția este mai des definită de două avioane intersectate, dar o linie directă de direct și punct situată pe această linie dreaptă. În aceste cazuri, este mai ușor să se obțină ecuații canonice și parametrice direct în spațiu. Vom vorbi despre ele în următoarele paragrafe.

Ecuațiile parametrice directe în spațiu.

Ecuațiile parametrice directe în spațiu au un fel ,

unde x. 1 ,y. 1 și z. 1 - coordonatele unui punct direct, a. x. , a. y. și a. z. (a. x. , a. y. și a. z. În același timp nu sunt zero) - relevante vectorii direcți Coordonate directe, A - un parametru care poate lua orice înțeles valid.

Cu orice valoare a parametrului prin ecuații parametrice, direct în spațiu putem calcula primele trei numere,

acesta va corespunde unui anumit punct drept (prin urmare, numele acestui tip de linie de ecuații). De exemplu, când

din ecuațiile parametrice, direct în spațiu obținem coordonate x. 1 , y. 1 și z. 1 : .

De exemplu, luați în considerare direct, pe care ecuațiile parametrice se stabilesc în mod specific . Acest director trece prin acest punct, iar vectorul de ghid al acestui director are coordonate.

Vă recomandăm să continuați studiul subiectului prin contactarea articolului ecuațiile parametrice directe în spațiu. Acesta arată retragerea ecuațiilor parametrice la spațiul direct, cazurile speciale de ecuații parametrice sunt dezasamblate în spațiu, sunt date ilustrații grafice, sunt date soluțiile detaliate ale sarcinilor caracteristice și conectarea ecuațiilor parametrice directe cu alte tipuri de ecuații directe .

Ecuații canonice directe în spațiu.

Rezolvând fiecare dintre ecuațiile parametrice ale tipului direct În raport cu parametrul, ușor de mers la ecuații canonice directe în spațiu Vedere .

Ecuațiile canonice directe în spațiu sunt definite direct prin intermediul punctului și vectorul direct direct este vectorul . De exemplu, ecuațiile direct în formă canonică corespund unei treceri directe prin intermediul spațiului cu coordonate, vectorul călăuzitor al acestui director are coordonate.

Trebuie remarcat faptul că unul sau două dintre numerele din ecuațiile canonice ale dreptei pot fi zero (toate cele trei nu pot fi zero individuale egale, deoarece linia directă nu poate fi zero). Apoi înregistrați vizualizarea este considerată oficială (ca și în numitorii de una sau două fracții vor fi zerouri) și ar trebui să fie înțeleasă ca Unde.

Dacă unul dintre numerele din ecuațiile canonice este drept egal cu zero, atunci direct se află într-una din planurile de coordonate sau în planul în paralel. Dacă două dintre romane sunt zero, apoi direcționează sau coincide cu unul dintre axele de coordonate sau paralele cu acesta. De exemplu, direct corespunzător ecuațiilor canonice directe în spațiul speciei se află în avion z \u003d -2.care este paralel cu planul de coordonate Oxy.și axa de coordonate Oy. Determinată de ecuațiile canonice.

Ilustrații grafice ale acestor cazuri, retragerea ecuațiilor canonice în spațiu, soluții detaliate de exemple și sarcini caracteristice, precum și tranziția de la ecuațiile canonice directe către alte ecuații direct în spațiu, a se vedea articolul ecuații canonice directe în spațiu.

Ecuația generală este dreaptă. Tranziția de la ecuația totală la canonică.

"