Ecuații după teorema lui Pitagora. Metode de demonstrare a teoremei lui Pitagora. Forme geometrice similare pe trei laturi

Asigurați-vă că triunghiul care vi se dă este dreptunghiular, deoarece teorema lui Pitagora se aplică doar triunghiurilor unghiulare dreptunghiulare. În triunghiurile dreptunghiulare, unul dintre cele trei unghiuri are întotdeauna 90 de grade.

• Un unghi drept într-un triunghi dreptunghiular este indicat de o pictogramă pătrată, nu de o curbă, care este un unghi oblic.

Adăugați linii directoare pentru laturile triunghiului. Etichetați picioarele ca „a” și „b” (picioare - laturi care se intersectează în unghi drept), iar hipotenuza ca „c” (hipotenuză - partea cea mai mare triunghi dreptunghicîntins opus unghi drept).

Determinați ce parte a triunghiului doriți să găsiți. Teorema lui Pitagora vă permite să găsiți orice latură a unui triunghi dreptunghiular (dacă celelalte două laturi sunt cunoscute). Determinați ce parte (a, b, c) trebuie să găsiți.

• De exemplu, având o hipotenuză egală cu 5 și o gamă egală cu 3. În acest caz, găsiți al doilea picior. Vom reveni la acest exemplu mai târziu.
• Dacă celelalte două laturi sunt necunoscute, este necesar să se găsească lungimea uneia dintre laturile necunoscute pentru a putea aplica teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, utilizați elementul de bază funcții trigonometrice (dacă vi se oferă valoarea unuia dintre unghiurile oblice).

Înlocuiți în formula a 2 + b 2 \u003d c 2 valorile pe care le dați (sau valorile pe care le-ați găsit). Amintiți-vă că a și b sunt picioare și c este hipotenuză.

• În exemplul nostru, scrieți: 3² + b² \u003d 5².

Păstrați fiecare latură pe care o cunoașteți. Sau lăsați gradele - puteți păstra numerele mai târziu.

• În exemplul nostru, scrieți: 9 + b² \u003d 25.

Izolați partea necunoscută pe o parte a ecuației. Pentru a face acest lucru, transferați valorile cunoscute pe cealaltă parte a ecuației. Dacă găsiți hipotenuza, atunci în teorema lui Pitagora este deja izolată pe o parte a ecuației (deci nu trebuie făcut nimic).

• În exemplul nostru, mutați 9 în partea dreaptă a ecuației pentru a izola b² necunoscut. Veți obține b² \u003d 16.

Extrage rădăcină pătrată din ambele părți ale ecuației. În acest stadiu, pe o parte a ecuației există un necunoscut (pătrat), iar pe cealaltă parte există un termen liber (număr).

• În exemplul nostru, b² \u003d 16. Luați rădăcina pătrată a ambelor părți ale ecuației și obțineți b \u003d 4. Deci, a doua parte este 4 .

Utilizați teorema lui Pitagora în viața de zi cu zi, deoarece poate fi aplicată într-o mare varietate de situații practice. Pentru a face acest lucru, învățați să recunoașteți triunghiurile unghiulare în viața de zi cu zi - în orice situație în care două obiecte (sau linii) se intersectează în unghi drept, iar un al treilea obiect (sau linie) conectează (în diagonală) vârfurile primelor două obiecte (sau linii), puteți folosiți teorema lui Pitagora pentru a găsi latura necunoscută (dacă sunt cunoscute celelalte două părți).

• Exemplu: dat o scară sprijinită de o clădire. Partea de jos a scărilor este la 5 metri de baza peretelui. Partea de sus a scărilor este la 20 de metri de sol (în susul peretelui). Cât de lungi sunt scările?
  • „5 metri de la baza peretelui” înseamnă că a \u003d 5; „Este la 20 de metri de sol” înseamnă că b \u003d 20 (adică ți se dau două picioare ale unui triunghi dreptunghiular, deoarece peretele clădirii și suprafața Pământului se intersectează în unghi drept). Lungimea scării este lungimea hipotenuzei, care nu este cunoscută.
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) ² + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c²
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d √425
    • c \u003d 20,6. Deci lungimea aproximativă a scării este 20,6 metri.

Teorema lui Pitagora afirmă:

Într-un triunghi unghiular, suma pătratelor picioarelor este egală cu pătratul hipotenuzei:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

• a și b - picioarele formând un unghi drept.
• din - hipotenuza triunghiului.

Formule ale teoremei lui Pitagora

• a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
• b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
• c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Dovada teoremei lui Pitagora

Aria unui triunghi unghiular este calculată prin formula:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Pentru a calcula aria unui triunghi arbitrar, formula ariei este:

• p - semiperimetru. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
• r Este raza cercului inscris. Pentru dreptunghiul r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Apoi echivalăm laturile drepte ale ambelor formule pentru aria unui triunghi:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ right)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Teorema Pitagoreei inversă:

Dacă pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghiular. Adică pentru orice triplu al numerelor pozitive a, b și castfel încât

a 2 + b 2 \u003d c 2,

există un triunghi unghiular cu picioare a și b și hipotenuză c.

teorema lui Pitagora - una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația dintre laturile unui triunghi unghiular. A fost dovedit de omul de știință matematician și filosof Pitagora.

Sensul teoremei prin aceea că poate fi folosit pentru a dovedi alte teoreme și a rezolva probleme.

Material suplimentar:

teorema lui Pitagora: Suma suprafețelor pătratelor care stau pe picioare ( a și b), este egală cu aria pătratului construit pe ipotenuză ( c).

Formulare geometrică:

Inițial, teorema a fost formulată după cum urmează:

Formulare algebrică:

Adică, indicând lungimea ipotenuzei unui triunghi cu c , și lungimile picioarelor prin a și b :

a 2 + b 2 = c 2

Ambele enunțuri ale teoremei sunt echivalente, dar a doua afirmație este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi unghiular.

Teorema Pitagoreei inversă:

Dovezi

În acest moment, 367 dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Teorema lui Pitagora este probabil singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. Această varietate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.

Desigur, din punct de vedere conceptual, toate acestea pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri similare

Următoarea dovadă a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lasa ABC există un triunghi unghiular C... Să tragem înălțimea de la C și denotați baza sa prin H... Triunghi ACH ca un triunghi ABC în două colțuri. În mod similar, triunghi CBH este similar ABC... Introducerea notării

primim

Ce este echivalent

Adăugând, obținem

Zonă dovadă

Dovezile date mai jos, în ciuda simplității lor aparente, nu sunt deloc atât de simple. Toți folosesc proprietățile zonei, a căror dovadă este mai dificilă decât dovada teoremei pitagoreice în sine.

Dovadă de complementaritate egală

1. Aranjați patru triunghiuri unghiulare egale, așa cum se arată în Figura 1.
2. Cadrilater cu laturi c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri acute este de 90 °, iar unghiul desfăcut este de 180 °.
3. Aria întregii figuri este, pe de o parte, aria unui pătrat cu laturi (a + b) și, pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și a două pătrate interioare.

Q.E.D.

Dovezi prin scalare

Dovadă elegantă prin permutare

Un exemplu de astfel de dovezi este prezentat în desenul din dreapta, unde pătratul construit pe ipotenuză este transformat prin permutare în două pătrate construite pe picioare.

Dovada lui Euclid

Desen pentru dovada lui Euclid

Ilustrație pentru dovada lui Euclid

Ideea din spatele dovezii lui Euclid este următoarea: să încercăm să dovedim că jumătate din suprafața pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma jumătăților suprafețelor pătratelor construite pe picioare, iar apoi suprafețele pătratului mare și ale celor două pătrate mici sunt egale.

Luați în considerare desenul din stânga. Pe el, am construit pătrate pe laturile unui triunghi unghiular și am trasat din vârful unghiului drept C o rază perpendiculară pe hipotenuza AB, tăia pătratul ABIK, construit pe hipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și respectiv HAKJ. Se pare că suprafețele acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu suprafețele pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare.

Să încercăm să dovedim că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK Pentru a face acest lucru, să folosim o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca acest dreptunghi este egală cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțime. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (care nu este prezentat în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK.

Să dovedim acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstreze că triunghiurile ACK și BDA sunt egale (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din suprafața pătratului conform proprietății de mai sus). Egalitatea este evidentă, triunghiurile sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB \u003d AK, AD \u003d AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri luate în considerare vor coincide (deoarece unghiul de la vârful pătratului este 90 °).

Raționamentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog.

Astfel, am demonstrat că aria pătratului construit pe hipotenuză este suma suprafețelor pătratelor construite pe picioare. Ideea din spatele acestei dovezi este ilustrată în continuare cu animația de mai sus.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Dovada lui Leonardo da Vinci

Principalele elemente ale dovezii sunt simetria și mișcarea.

Luați în considerare desenul, așa cum se vede din simetrie, segmentul CEu taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiurile ABC și JHEu sunt egale prin construcție). Rotind 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem că formele umbrite sunt egale CAJEu și GDAB ... Acum este clar că aria figurii umbrite este egală cu suma jumătăților suprafețelor pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egală cu jumătate din suprafața pătratului construit pe ipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas al dovezii este lăsat la latitudinea cititorului.

Dovadă prin metoda infinitesimalului

Următoarea dovadă folosind ecuații diferențiale este adesea atribuită celebrului matematician englez Hardy, care a trăit în prima jumătate a secolului XX.

Privind desenul prezentat în figură și observând schimbarea laturii a, putem scrie următorul raport pentru creșteri infinit de mici ale laturilor din și a (folosind similaritatea cu triunghiurile):

Dovadă prin metoda infinitesimalului

Folosind metoda de separare a variabilelor, găsim

O expresie mai generală pentru schimbarea hipotenuzei în cazul creșterilor ambelor picioare

Prin integrarea acestei ecuații și utilizarea condiții inițiale, primim

c 2 = a 2 + b 2 + constantă.

Astfel, ajungem la răspunsul dorit

c 2 = a 2 + b 2 .

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică din formula finală apare datorită proporționalității liniare dintre laturile triunghiului și creșterile, în timp ce suma este legată de contribuțiile independente din creșterile diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că una dintre picioare nu experimentează o creștere (în acest caz, piciorul b ). Apoi pentru constanta integrării obținem

Variații și generalizări

• Dacă în loc de pătrate construim alte figuri similare pe picioare, atunci este adevărată următoarea generalizare a teoremei lui Pitagora: Într-un triunghi unghiular, suma ariilor figurilor similare construite pe picioare este egală cu aria figurii construite pe ipotenuză. În special:
  • Suma ariilor triunghiurilor regulate construite pe picioare este egală cu aria unui triunghi regulat construit pe ipotenuză.
  • Suma suprafețelor semicercurilor construite pe picioare (ca și în diametru) este egală cu aria semicercului construită pe hipotenuză. Acest exemplu este folosit pentru a dovedi proprietățile figurilor mărginite de arce de două cercuri și care poartă numele de lune hipocratice.

Istorie

Chu-pei 500-200 î.Hr. Inscripție din stânga: suma pătratelor lungimilor înălțimii și bazei este pătratul lungimii hipotenuzei.

Vechea carte chineză Chu-Pei vorbește despre un triunghi pitagoric cu laturile 3, 4 și 5: În aceeași carte, se propune un desen care coincide cu unul dintre desenele geometriei hinduse a lui Bashara.

Cantor (cel mai mare istoric german al matematicii) consideră că egalitatea 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² era deja cunoscută de egipteni în jurul anului 2300 î.Hr. e., în vremea regelui Amenemhat I (conform papirusului 6619 al Muzeului Berlin). Potrivit lui Cantor, harpedonaptele, sau „trageri de frânghie”, au construit unghiuri drepte folosind triunghiuri unghiulare cu laturile 3, 4 și 5.

Este foarte ușor să le reproduceți modul de construire. Luați o frânghie lungă de 12 m și legați-o de ea de-a lungul unei benzi colorate la o distanță de 3 m. de la un capăt și la 4 metri de celălalt. Unghiul drept va fi închis între laturile de 3 și 4 metri lungime. Harpedonaptii ar putea susține că modul lor de construire ar deveni inutil, dacă utilizați, de exemplu, pătratul de lemn folosit de toți tâmplarii. Într-adevăr, sunt cunoscute desene egiptene în care se găsește un astfel de instrument, de exemplu, desene care descriu un atelier de tâmplărie.

Se știe ceva mai mult despre teorema pitagoreică babiloniană. Într-un text datând din timpul lui Hammurabi, adică până în 2000 î.Hr. BC, se face un calcul aproximativ al hipotenuzei unui triunghi unghiular. Din aceasta putem concluziona că în Mesopotamia au știut să efectueze calcule cu triunghiuri unghiulare, cel puțin în unele cazuri. Pe baza, pe de o parte, a nivelului actual de cunoștințe despre matematica egipteană și babiloniană și, pe de altă parte, pe un studiu critic al surselor grecești, Van der Waerden (matematician olandez) a făcut următoarea concluzie:

Literatură

In rusa

• Skopets Z.A. Miniaturi geometrice. M., 1990
• Yelensky Sch. Pe urmele lui Pitagora. M., 1961
• Van der Waerden B.L. Trezirea științei. Matematica Egiptului Antic, Babilon și Grecia. M., 1959
• Glazer G.I. Istoria matematicii la școală. M., 1982
• V. Litzman, „Teorema lui Pitagora” M., 1960.
  • Un site despre teorema lui Pitagora cu un număr mare de dovezi, materialul este preluat din cartea lui V. Litzman, un număr mare de desene sunt prezentate sub formă de fișiere grafice separate.
• Teorema Pitagoreei și tripletele pitagoreice un capitol din cartea lui DV Anosov „O privire asupra matematicii și ceva din ea”
• Despre teorema lui Pitagora și metodele de probă a acesteia G. Glazer, academician al Academiei de Educație din Rusia, Moscova

In engleza

• Teorema lui Pitagora la WolframMathWorld (eng.)
• Cut-The-Knot, o secțiune despre teorema lui Pitagora, aproximativ 70 de dovezi și o multitudine de informații suplimentare

Fundația Wikimedia. 2010.

teorema lui Pitagora Este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relația

între laturile unui triunghi unghiular.

Se crede că a fost dovedit de matematicianul grec Pitagora, după care a fost numit.

Formularea geometrică a teoremei lui Pitagora.

Inițial, teorema a fost formulată după cum urmează:

Într-un triunghi unghiular, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor,

construit pe picioare.

Formularea algebrică a teoremei lui Pitagora.

Într-un triunghi unghiular, pătratul lungimii hipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor picioarelor.

Adică, indicând lungimea ipotenuzei unui triunghi cu c, și lungimile picioarelor prin a și b:

Ambele formulări teoreme pitagoricesunt echivalente, dar a doua formulare este mai elementară, nu este

necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și

prin măsurarea numai a lungimilor laturilor unui triunghi unghiular.

Teorema inversă a lui Pitagora.

Dacă pătratul unei laturi a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci

triunghi dreptunghiular.

Sau, cu alte cuvinte:

Pentru orice triplu al numerelor pozitive a, b și castfel încât

există un triunghi unghiular cu picioare a și bși hipotenuză c.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi isoscel.

Teorema lui Pitagora pentru un triunghi echilateral.

Dovezi ale teoremei lui Pitagora.

În acest moment, 367 dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Probabil teorema

Pitagora este singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. O astfel de diversitate

poate fi explicat doar prin sensul fundamental al teoremei pentru geometrie.

Desigur, din punct de vedere conceptual, toate acestea pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cel mai faimos dintre ei:

dovezi metoda zonei, axiomatic și dovezi exotice (de exemplu,

prin ecuatii diferentiale).

1. Dovada teoremei lui Pitagora prin triunghiuri similare.

Următoarea dovadă a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile în construcție

direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.

Lasa ABC există un triunghi unghiular C... Să tragem înălțimea de la C și denotați

întemeierea ei prin H.

Triunghi ACH ca un triunghi ABC în două colțuri. În mod similar, triunghi CBH este similar ABC.

Vă prezentăm notația:

primim:

,

care corespunde la -

Prin adăugarea a 2 și b 2, obținem:

sau, după cum este necesar pentru a dovedi.

2. Dovada teoremei lui Pitagora prin metoda zonei.

Dovezile date mai jos, în ciuda simplității lor aparente, nu sunt deloc atât de simple. Toti

folosiți proprietățile zonei, a cărei dovadă este mai dificilă decât dovada teoremei pitagoreice în sine.

• Dovadă prin complementaritate egală.

Aranjați patru dreptunghiulare egale

triunghi așa cum se arată în figură

pe dreapta.

Cadrilater cu laturi c - pătrat,

deoarece suma a două unghiuri acute este de 90 ° și

unghi extins - 180 °.

Aria întregii figuri este, pe de o parte,

suprafața unui pătrat cu lateral ( a + b), iar pe de altă parte, suma ariilor celor patru triunghiuri și

Q.E.D.

3. Dovada teoremei lui Pitagora prin metoda infinitesimalului.

​

Având în vedere desenul prezentat în figură și

urmărind schimbarea părții lateralea, noi putem

scrieți următoarea relație pentru infinit

mic măriri lateraledin și a (folosind similaritatea

triunghiuri):

Folosind metoda separării variabilei, găsim:

O expresie mai generală pentru schimbarea hipotenuzei în cazul creșterilor ambelor picioare:

Integrând această ecuație și folosind condițiile inițiale, obținem:

Astfel, ajungem la răspunsul dorit:

După cum este ușor de văzut, dependența pătratică din formula finală apare datorită liniarității

proporționalitatea între laturile triunghiului și creșterile, în timp ce suma este legată de independent

contribuții din creșterea diferitelor picioare.

O dovadă mai simplă poate fi obținută dacă presupunem că una dintre picioare nu experimentează o creștere

(în acest caz, piciorul b). Apoi, pentru constanta integrării, obținem:

Soarta altor teoreme și probleme este deosebită ... Cum se poate explica, de exemplu, o astfel de atenție excepțională de la matematicieni și amatori de matematică la teorema lui Pitagora? De ce mulți dintre ei nu s-au mulțumit cu dovezile deja cunoscute, ci și-au găsit propriile, aducând numărul probelor la câteva sute în douăzeci și cinci de secole comparabil previzibile?
Când vine vorba de teorema lui Pitagora, neobișnuitul începe cu numele său. Se crede că Pitagora nu a fost primul care a formulat-o. De asemenea, se consideră îndoielnic că el i-a dat dovezi. Dacă Pitagora este o persoană reală (unii chiar se îndoiesc de acest lucru!), Atunci a trăit, cel mai probabil, în secolele VI-V. Î.Hr. e. El însuși nu a scris nimic, s-a numit filozof, ceea ce însemna, în înțelegerea sa, „lupta pentru înțelepciune”, a fondat Uniunea Pitagoreană, ai cărei membri erau angajați în muzică, gimnastică, matematică, fizică și astronomie. Aparent, el a fost și un excelent orator, după cum dovedește următoarea legendă legată de șederea sa în orașul Crotone: „Prima apariție a lui Pitagora în fața oamenilor din Crotone a început cu un discurs adresat tinerilor, în care era atât de strict, dar în același timp atât de fascinant a subliniat responsabilitățile tinerilor, că bătrânii din oraș au cerut să nu-i lase fără instrucțiuni. În acest al doilea discurs, el a indicat legalitatea și puritatea moralei ca temeiuri ale familiei; în următorii doi a apelat la copii și femei. Consecința ultimul discurs, în care a condamnat în mod deosebit luxul, a fost că mii de rochii prețioase au fost livrate la templul Herei, pentru că nici o femeie nu a mai îndrăznit să se arate în ele pe stradă ... ”Cu toate acestea, chiar și în secolul al II-lea d.Hr., adică După 700 de ani, au trăit și au lucrat oameni destul de reali, oameni de știință remarcabili, care erau în mod clar sub influența uniunii pitagoreice și care aveau un mare respect pentru ceea ce, potrivit legendei, a creat Pitagora.
Fără îndoială, interesul pentru teoremă este cauzat și de faptul că ocupă unul dintre locurile centrale din matematică și de satisfacția autorilor dovezilor care au depășit dificultățile, despre care poetul roman Quintus Horace Flaccus, care a trăit înainte de era noastră, a vorbit bine: „Este dificil de exprimat fapte bine cunoscute”. ...
Inițial, teorema a stabilit relația dintre ariile pătratelor construite pe ipotenuză și picioarele unui triunghi dreptunghiular:
.
Formulare algebrică:
Într-un triunghi unghiular, pătratul lungimii hipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor picioarelor.
Adică, indicând lungimea hipotenuzei triunghiului prin c și lungimile picioarelor prin a și b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Ambele enunțuri ale teoremei sunt echivalente, dar a doua afirmație este mai elementară, nu necesită conceptul de zonă. Adică, a doua afirmație poate fi verificată fără a ști nimic despre zonă și măsurând numai lungimile laturilor unui triunghi unghiular.
Teorema inversă a lui Pitagora. Pentru orice triplu al numerelor pozitive a, b și c astfel încât
a 2 + b 2 \u003d c 2, există un triunghi unghiular cu picioarele a și b și hipotenuză c.

Dovezi

În acest moment, 367 dovezi ale acestei teoreme au fost înregistrate în literatura științifică. Teorema lui Pitagora este probabil singura teoremă cu un număr atât de impresionant de dovezi. Această varietate poate fi explicată doar prin semnificația fundamentală a teoremei pentru geometrie.
Desigur, din punct de vedere conceptual, toate acestea pot fi împărțite într-un număr mic de clase. Cele mai faimoase dintre ele: dovezi prin metoda zonei, dovezi axiomatice și exotice (de exemplu, folosind ecuații diferențiale).

Prin triunghiuri similare

Următoarea dovadă a formulării algebrice este cea mai simplă dintre dovezile construite direct din axiome. În special, nu folosește conceptul de zonă a unei figuri.
Fie ABC un triunghi unghiular cu unghi drept C. Desenați înălțimea de la C și indicați-i baza cu H. Triunghiul ACH este similar cu triunghiul ABC în două unghiuri.
La fel, triunghiul CBH este similar cu ABC. Introducerea notării

primim

Ce este echivalent

Adăugând, obținem

sau

Zonă dovadă

Dovezile date mai jos, în ciuda simplității lor aparente, nu sunt deloc atât de simple. Toate folosesc proprietățile zonei, a căror dovadă este mai dificilă decât dovada teoremei pitagoreice în sine.

Dovadă de complementaritate egală

1. Așezați patru triunghiuri unghiulare egale, așa cum se arată în figură.
2. Un patrulater cu laturile c este un pătrat, deoarece suma a două unghiuri acute este de 90 °, iar unghiul extins este de 180 °.
3. Aria întregii figuri este, pe de o parte, aria unui pătrat cu laturi (a + b) și, pe de altă parte, suma ariilor a patru triunghiuri și a unui pătrat interior.



Q.E.D.

Dovezi prin scalare

Un exemplu de astfel de dovezi este prezentat în desenul din dreapta, unde pătratul construit pe ipotenuză este transformat prin permutare în două pătrate construite pe picioare.

Dovada lui Euclid

Ideea din spatele dovezii lui Euclid este următoarea: să încercăm să dovedim că jumătate din suprafața pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma a jumătate din suprafețele pătratelor construite pe picioare, iar apoi suprafețele pătratului mare și ale celor două pătrate mici sunt egale. Luați în considerare desenul din stânga. Pe el, am construit pătrate pe laturile unui triunghi unghiular și am trasat o rază s din vârful unghiului drept C perpendicular pe hipotenuza AB, taie pătratul ABIK, construit pe hipotenuză, în două dreptunghiuri - BHJI și respectiv HAKJ. Se pare că suprafețele acestor dreptunghiuri sunt exact egale cu suprafețele pătratelor construite pe picioarele corespunzătoare. Să încercăm să demonstrăm că aria pătratului DECA este egală cu aria dreptunghiului AHJK Pentru aceasta folosim o observație auxiliară: aria unui triunghi cu aceeași înălțime și bază ca acest dreptunghi este egală cu jumătate din aria dreptunghiului dat. Aceasta este o consecință a definirii ariei unui triunghi ca jumătate din produsul bazei și înălțime. Din această observație rezultă că aria triunghiului ACK este egală cu aria triunghiului AHK (care nu este prezentat în figură), care, la rândul său, este egală cu jumătate din aria dreptunghiului AHJK. Să dovedim acum că aria triunghiului ACK este, de asemenea, egală cu jumătate din aria pătratului DECA. Singurul lucru care trebuie făcut pentru aceasta este să demonstreze că triunghiurile ACK și BDA sunt egale (deoarece aria triunghiului BDA este egală cu jumătate din suprafața pătratului conform proprietății de mai sus). Egalitatea este evidentă, triunghiurile sunt egale pe două laturi și unghiul dintre ele. Și anume - AB \u003d AK, AD \u003d AC - egalitatea unghiurilor CAK și BAD este ușor de demonstrat prin metoda mișcării: rotim triunghiul CAK cu 90 ° în sens invers acelor de ceasornic, atunci este evident că laturile corespunzătoare ale celor două triunghiuri luate în considerare vor coincide (deoarece unghiul de la vârful pătratului este 90 °). Raționamentul despre egalitatea ariilor pătratului BCFG și dreptunghiului BHJI este complet analog. Astfel, am demonstrat că aria pătratului construit pe ipotenuză este suma ariilor pătratelor construite pe picioare.

Dovada lui Leonardo da Vinci

Principalele elemente ale dovezii sunt simetria și mișcarea.

Luați în considerare desenul, după cum puteți vedea din simetrie, segmentul CI taie pătratul ABHJ în două părți identice (deoarece triunghiurile ABC și JHI sunt egale în construcție). Folosind o rotație de 90 de grade în sens invers acelor de ceasornic, vedem egalitatea figurilor umbrite CAJI și GDAB. Acum este clar că aria figurii umbrite este egală cu suma jumătăților ariilor pătratelor construite pe picioare și aria triunghiului original. Pe de altă parte, este egal cu jumătate din suprafața pătratului construit pe hipotenuză, plus aria triunghiului original. Ultimul pas al dovezii este lăsat la latitudinea cititorului.