Cum se calculează produsul punct al modulelor vectorilor. Produs dot al vectorilor. Lungimea vectorului. Dotează produsul în coordonate

Lectura: Coordonate vectoriale; produs dot al vectorilor; unghiul dintre vectori

Coordonatele vectoriale

Deci, așa cum am menționat anterior, vectorii sunt un segment direcțional, care are propriul său început și sfârșit. Dacă începutul și sfârșitul sunt reprezentate de unele puncte, atunci ele au propriile lor coordonate pe un plan sau în spațiu.

Dacă fiecare punct are propriile sale coordonate, atunci putem obține coordonatele întregului vector.

Să presupunem că avem un vector al cărui început și sfârșit al vectorului au următoarele denumiri și coordonate: A (A x; Ay) și B (B x; By)

Pentru a obține coordonatele acestui vector, trebuie să scădem coordonatele corespunzătoare ale începutului din coordonatele sfârșitului vectorului:

Pentru a determina coordonatele unui vector în spațiu, utilizați următoarea formulă:

Produs dot al vectorilor

Există două moduri de a defini produsul dot:

• Mod geometric. Potrivit lui, produsul punct este egal cu produsul valorilor acestor module prin cosinusul unghiului dintre ele.

• Înțeles algebric. Din punct de vedere al algebrei, produsul punct al a doi vectori este o anumită cantitate care se obține ca rezultat al sumei produselor vectorilor corespunzători.

Dacă vectorii sunt dați în spațiu, atunci ar trebui utilizată o formulă similară:

Proprietăți:

• Dacă înmulțiți doi vectori identici la nivel scalar, atunci produsul lor punct nu va fi negativ:

• Dacă produsul scalar din doi vectori identici s-a dovedit a fi egal cu zero, atunci acești vectori sunt considerați zero:

• Dacă un vector este înmulțit singur, atunci produsul scalar va fi egal cu pătratul modulului său:

• Produsul scalar are o proprietate comunicativă, adică produsul scalar nu se va schimba de la permutarea vectorilor:

• Produsul scalar al vectorilor diferiți de zero poate fi zero numai dacă vectorii sunt perpendiculari între ei:

• Pentru produsul scalar al vectorilor, legea deplasării este valabilă în cazul înmulțirii unuia dintre vectori cu un număr:

• Cu un produs dot, puteți utiliza, de asemenea, proprietatea distributivă a multiplicării:

Unghiul dintre vectori

În cazul problemei plane, produsul scalar al vectorilor a \u003d (a x; a y) și b \u003d (b x; b y) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b \u003d a x b x + a y b y

Formula cu puncte vectoriale pentru probleme spațiale

În cazul problemei spațiale, produsul scalar al vectorilor a \u003d (a x; a y; a z) și b \u003d (b x; b y; b z) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

Formula de produs dot a vectorilor n-dimensionali

În cazul spațiului n-dimensional, produsul scalar al vectorilor a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) și b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Proprietățile de produs ale vectorilor

1. Produsul scalar al unui vector în sine este întotdeauna mai mare sau egal cu zero:

2. Produsul scalar al unui vector în sine este egal cu zero dacă și numai dacă vectorul este egal cu vectorul zero:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Produsul scalar al unui vector în sine este egal cu pătratul modulului său:

4. Funcționarea multiplicării scalare este comunicativă:

5. Dacă produsul scalar al a doi vectori diferiți de zero este egal cu zero, atunci acești vectori sunt ortogonali:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Operația multiplicării scalare este distributivă:

(a + b) c \u003d a c + b c

Exemple de probleme pentru calcularea produsului punct al vectorilor

Exemple de calcul al produsului punct al vectorilor pentru probleme plane

Găsiți produsul punct al vectorilor a \u003d (1; 2) și b \u003d (4; 8).

Decizie: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

Găsiți produsul scalar al vectorilor a și b dacă lungimile lor | a | \u003d 3, | b | \u003d 6, iar unghiul dintre vectori este 60˚.

Decizie: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

Găsiți produsul scalar al vectorilor p \u003d a + 3b și q \u003d 5a - 3 b dacă lungimile lor | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, iar unghiul dintre vectorii a și b este 60˚.

Decizie:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | a | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Un exemplu de calcul al produsului punct al vectorilor pentru probleme spațiale

Găsiți produsul punct al vectorilor a \u003d (1; 2; -5) și b \u003d (4; 8; 1).

Decizie: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

Un exemplu de calcul al produsului punct pentru n-vectori dimensionali

Găsiți produsul punct al vectorilor a \u003d (1; 2; -5; 2) și b \u003d (4; 8; 1; -2).

Decizie: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Produsul vectorial al vectorilor și vectorul se numește al treilea vector definit astfel:

2) perpendicular, perpendicular. (1 "")

3) vectorii sunt orientați în același mod ca și baza întregului spațiu (pozitiv sau negativ).

Desemna:.

Semnificația fizică a unui produs vector

- momentul forței în raport cu punctul O; - raza este vectorul punctului de aplicare a forței, atunci

în plus, dacă este transferat la punctul O, atunci tripletul trebuie să fie orientat ca vector de bază.

Definiția 1

Produsul scalar al vectorilor este un număr egal cu produsul din din acești vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Notarea produsului vectorilor a → și b → are forma a →, b →. Să convertim la formula:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → și b → denotă lungimile vectorilor, a →, b → ^ denotă unghiul dintre vectorii dați. Dacă cel puțin un vector este zero, adică are o valoare 0, atunci rezultatul va fi zero, a →, b → \u003d 0

Când înmulțim vectorul în sine, obținem pătratul lungimii sale:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Definiția 2

Înmulțirea scalară a unui vector în sine se numește pătrat scalar.

Calculat prin formula:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Notația a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → arată că npb → a → este proiecția numerică a a → pe b →, npa → a → este proiecția lui b → pe a →, respectiv.

Să formulăm definiția unui produs pentru doi vectori:

Produsul scalar a doi vectori a → de b → se numește produsul lungimii vectorului a → de proiecția b → de direcția a → sau de produsul lungimii b → de proiecția a → respectiv.

Dotează produsul în coordonate

Produsul punct poate fi calculat prin coordonatele vectorilor într-un plan dat sau în spațiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan, în spațiul tridimensional, se numește suma coordonatelor vectorilor da a → și b →.

Când calculați produsul scalar al vectorilor da a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) în sistemul cartezian, utilizați:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

pentru spațiul tridimensional, se aplică următoarea expresie:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

De fapt, aceasta este a treia definiție a produsului dot.

Să dovedim.

Dovada 1

Pentru demonstrație, utilizați a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by pentru vectorii a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) pe Sistem cartezian.

Vectorii ar trebui amânate

O A → \u003d a → \u003d a x, a y și O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Atunci lungimea vectorului A B → va fi egală cu A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Se consideră un triunghi O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) este adevărat pe baza teoremei cosinusului.

Prin condiție, se poate observa că O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, prin urmare, scriem formula pentru găsirea diferită a unghiului dintre vectori

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Apoi rezultă din prima definiție că b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), deci (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Aplicând formula pentru calcularea lungimii vectorilor, obținem:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + cu 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (cu - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Să dovedim egalitățile:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- respectiv pentru vectorii spațiului tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor cu coordonate spune că pătratul scalar al unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale în spațiu și, respectiv, pe un plan. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) și (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Produsul dot și proprietățile sale

Există proprietăți de produs dot care se aplică pentru a →, b → și c →:

1. comutativitate (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. distributivitate (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. proprietatea de combinare (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ este orice număr;
4. pătratul scalar este întotdeauna mai mare decât zero (a →, a →) ≥ 0, unde (a →, a →) \u003d 0 în cazul în care a → este zero.

Exemplul 1

Proprietățile sunt explicabile datorită definiției produsului punct pe plan și a proprietăților de adunare și multiplicare a numerelor reale.

Dovediți proprietatea comutativității (a →, b →) \u003d (b →, a →). Din definiție, avem că (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y și (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Prin proprietatea comutativității, egalitățile a x b x \u003d b x a x și a y b y \u003d b y a y sunt adevărate, deci a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Rezultă că (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Distributivitatea este valabilă pentru orice numere:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

și (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

de aceea avem

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Dotează produsul cu exemple și soluții

Orice problemă a unui astfel de plan este rezolvată folosind proprietăți și formule legate de produsul dot:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y sau (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Să vedem câteva exemple de soluții.

Exemplul 2

Lungimea a → este 3, lungimea b → este 7. Găsiți produsul punct dacă unghiul este de 60 de grade.

Decizie

În funcție de condiție, avem toate datele, deci calculăm după formula:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Răspuns: (a →, b →) \u003d 21 2.

Exemplul 3

Dat fiind vectorii a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Care este produsul dot.

Decizie

În acest exemplu, este luată în considerare formula de calculare a coordonatelor, deoarece acestea sunt specificate în declarația de problemă:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay cu + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Răspuns: (a →, b →) \u003d - 9

Exemplul 4

Găsiți produsul punct A B → și A C →. Punctele A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) sunt date pe planul de coordonate.

Decizie

Pentru început, se calculează coordonatele vectorilor, deoarece coordonatele punctelor sunt date de condiția:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Înlocuind în formulă folosind coordonate, obținem:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Răspuns: (A B →, A C →) \u003d 28.

Exemplul 5

Dat fiind vectorii a → \u003d 7 m → + 3 n → și b → \u003d 5 m → + 8 n →, găsiți produsul lor. m → este egal cu 3 și n → este egal cu 2 unități, ele sunt perpendiculare.

Decizie

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Aplicând proprietatea distributivă, obținem:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Scoatem coeficientul pentru semnul produsului și obținem:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Prin proprietatea de comutativitate, transformăm:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Ca urmare, obținem:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Acum să aplicăm formula pentru produsul cu punct cu unghiul specificat de condiție:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Răspuns: (a →, b →) \u003d 411

Dacă există o proiecție numerică.

Exemplul 6

Găsiți produsul punct a → și b →. Vectorul a → are coordonatele a → \u003d (9, 3, - 3), proiecția b → cu coordonatele (- 3, - 1, 1).

Decizie

Prin ipoteză, vectorii a → și proiecția b → sunt direcționate opus, deoarece a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, deci proiecția b → corespunde lungimii n p a → b → →, și cu semnul "-":

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Înlocuind în formulă, obținem expresia:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Răspuns: (a →, b →) \u003d - 33.

Probleme cu un produs punct cunoscut, unde este necesar să se găsească lungimea unui vector sau a unei proiecții numerice.

Exemplul 7

Ce valoare ar trebui să ia λ pentru un produs scalar dat a → \u003d (1, 0, λ + 1) și b → \u003d (λ, 1, λ) va fi egal cu -1.

Decizie

Formula arată că este necesar să se găsească suma produselor de coordonate:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Având în vedere că avem (a →, b →) \u003d - 1.

Pentru a găsi λ, calculăm ecuația:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, deci λ \u003d - 1.

Răspuns: λ \u003d - 1.

Semnificația fizică a produsului dot

Mecanica are în vedere aplicarea produsului dot.

Când lucrați A cu o forță constantă F → corpul s-a deplasat din punctul M în N, puteți găsi produsul lungimilor vectorilor F → și M N → cu cosinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă că lucrarea este egală cu produsul vectorilor de forță și deplasare:

A \u003d (F →, M N →).

Exemplul 8

Mișcarea unui punct material cu 3 metri sub influența unei forțe egale cu 5 ntoni este direcționată la un unghi de 45 de grade față de axă. Gaseste un.

Decizie

Deoarece munca este produsul vectorului de forță și al deplasării, înseamnă, pe baza condiției F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, obținem A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Răspuns: A \u003d 15 2 2.

Exemplul 9

Punctul material, deplasându-se de la M (2, - 1, - 3) la N (5, 3 λ - 2, 4) sub forța F → \u003d (3, 1, 2), a efectuat o muncă egală cu 13 J. Calculați lungimea mișcării.

Decizie

Pentru coordonatele date ale vectorului M N → avem M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Prin formula de găsire a muncii cu vectorii F → \u003d (3, 1, 2) și MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7), obținem A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Prin ipoteză, se dă că A \u003d 13 J, ceea ce înseamnă 22 + 3 λ \u003d 13. Prin urmare, λ \u003d - 3, deci M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Pentru a găsi lungimea deplasării M N →, aplicați formula și înlocuiți valorile:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Răspuns: 158.

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $. Să punem deoparte vectorii $ \\ overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ și $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ dintr-un punct ales arbitrar $ O $, atunci unghiul $ AOB $ se numește unghiul dintre vectorii $ \\ overrightarrow ( a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ (fig. 1).

Imaginea 1.

Rețineți aici că dacă vectorii $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ sunt codirecționali sau unul dintre ei este un vector zero, atunci unghiul dintre vectori este $ 0 ^ 0 $.

Denumire: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Produsul dot al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul dot poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori este un vector zero (De atunci lungimea sa este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Rețineți, de asemenea, că produsul punct este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

Conceptul de pătrat scalar este asociat cu conceptul de produs scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al vectorului $ \\ overrightarrow (a) $ este singur produsul scalar al acestui vector.

Obținem că pătratul scalar este

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

Calculul produsului punct din coordonatele vectorilor

În plus față de modul standard de a găsi valoarea produsului punct, care rezultă din definiție, există un alt mod.

Să o luăm în considerare.

Lăsați vectorii $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ să aibă coordonatele $ \\ left (a_1, b_1 \\ right) $ și respectiv $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Matematic, acest lucru poate fi scris după cum urmează

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Dovezi.

Teorema este dovedită.

Această teoremă are mai multe consecințe:

Corolarul 1: Vectorii $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

Corolarul 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Proprietățile de produs ale vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $ k $ este adevărat:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

Legea călătoriei: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Această proprietate rezultă din definiția produsului punct (Definiția 1).

Legea distribuției:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. \\ end (enumerare)

Prin teorema 1, avem:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

Legea combinării: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (enumerare)

Prin teorema 1, avem:

\\ [\\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului punct al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul punct al vectorilor $ \\ overrightarrow (a) $ și $ \\ overrightarrow (b) $ dacă $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ și $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $, iar unghiul dintre ele este $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Decizie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

Pentru $ (45) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

Pentru $ (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

Pentru $ (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Articole similare