Ecuația unei linii drepte prin 2 puncte pe plan. Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte date: exemple, soluții. Ecuația normală a unei linii

Proprietățile unei linii drepte în geometria euclidiană.

Puteți trage infinit de multe linii drepte prin orice punct.

O singură linie dreaptă poate fi trasată prin oricare două puncte care nu coincid.

Două linii drepte nepotrivite pe plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt

paralel (urmează din precedentul).

În spațiul 3D, există trei opțiuni aranjament reciproc două linii drepte:

• liniile drepte se intersectează;

• liniile drepte sunt paralele;

• liniile drepte se intersectează.

Drept linia - curba algebrică de primul ordin: într-un sistem de coordonate cartesiene, o linie dreaptă

este dat pe plan de o ecuație de primul grad (ecuație liniară).

Ecuația generală a liniei.

Definiție... Orice linie dreaptă pe un plan poate fi dată printr-o ecuație de prim ordin

Ax + Wu + C \u003d 0,

cu constantă A, B nu egal cu zero în același timp. Această ecuație de prim ordin se numește uzual

ecuația unei linii drepte. În funcție de valorile constantelor A, B și DIN sunt posibile următoarele cazuri speciale:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia dreaptă trece prin origine

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Cu + C \u003d 0)- linie dreaptă paralelă cu axa Oh

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - linie dreaptă paralelă cu axa OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oh

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme, în funcție de orice dată

condiții inițiale.

Ecuația unei linii drepte de-a lungul unui punct și a unui vector normal.

Definiție... Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare cartezian, un vector cu componente (A, B)

perpendicular pe linia dreaptă dată de ecuație

Ax + Wu + C \u003d 0.

Exemplu... Găsiți ecuația unei drepte care trece printr-un punct A (1, 2) perpendicular pe vector (3, -1).

Decizie... La A \u003d 3 și B \u003d -1, compunem ecuația liniei drepte: 3x - y + C \u003d 0. Pentru a găsi coeficientul C

înlocuiți coordonatele punctului A dat cu expresia rezultată. Obținem: 3 - 2 + C \u003d 0, prin urmare

C \u003d -1. Total: ecuația necesară: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte.

Să se acorde două puncte în spațiu M 1 (x 1, y 1, z 1)și M2 (x 2, y 2, z 2), apoi ecuația liniei drepte,

trecând prin aceste puncte:

Dacă oricare dintre numitori este zero, numeratorul corespunzător ar trebui să fie egal cu zero. Pe

plan, ecuația liniei drepte scrise mai sus este simplificată:

în cazul în care un x 1 ≠ x 2 și x \u003d x 1 , în cazul în care un x 1 \u003d x 2 .

Fracțiune \u003d k numit pantă drept.

Exemplu... Găsiți ecuația liniei drepte care trece prin punctele A (1, 2) și B (3, 4).

Decizie... Aplicând formula de mai sus, obținem:

Ecuația unei drepte după punct și pantă.

Dacă ecuația generală a liniei drepte Ax + Wu + C \u003d 0 aduce la formular:

și desemnează , atunci se numește ecuația rezultată

ecuația unei drepte cu panta k.

Ecuația unei linii drepte de-a lungul unui punct și a unui vector de direcție.

Prin analogie cu paragraful considerând ecuația unei linii drepte prin vectorul normal, puteți introduce sarcina

o linie dreaptă printr-un punct și un vector de direcție al unei linii drepte.

Definiție... Fiecare vector diferit de zero (α 1, α 2)ale cărei componente satisfac condiția

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 numit vectorul director al unei linii drepte.

Ax + Wu + C \u003d 0.

Exemplu... Găsiți ecuația unei drepte cu un vector de direcție (1, -1) și care trece prin punctul A (1, 2).

Decizie... Ecuația liniei drepte dorite va fi căutată sub forma: Ax + By + C \u003d 0. Conform definiției,

coeficienții trebuie să îndeplinească condițiile:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, adică A \u003d B.

Atunci ecuația liniei drepte are forma: Ax + Ay + C \u003d 0, sau x + y + C / A \u003d 0.

la x \u003d 1, y \u003d 2primim C / A \u003d -3, adică ecuația necesară:

x + y - 3 \u003d 0

Ecuația unei linii drepte în segmente.

Dacă în ecuația generală a dreptei Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, atunci, împărțind la -C, obținem:

sau unde

Înțelesul geometric al coeficienților este că coeficientul a este coordonata punctului de intersecție

drept cu ax Oh, și b - coordonata punctului de intersecție a liniei drepte cu axa OU.

Exemplu... Se dă ecuația generală a liniei drepte x - y + 1 \u003d 0.Găsiți ecuația acestei linii drepte în segmente.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

Ecuația normală a unei linii drepte.

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wu + C \u003d 0 împarte la număr Care e numit

factor de normalizare, atunci primim

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -ecuația liniei normale.

Semnul ± al factorului normalizator trebuie ales astfel încât μ * C< 0.

r - lungimea perpendicularului căzut de la origine la linia dreaptă,

și φ - unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Oh.

Exemplu... Se dă ecuația generală a liniei 12x - 5y - 65 \u003d 0... Necesar pentru a scrie diferite tipuri de ecuații

această linie dreaptă.

Ecuația acestei linii în segmente:

Ecuația acestei linii cu panta: (împarte la 5)

Ecuația liniei drepte:

cos φ \u003d 12/13; păcat φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Trebuie remarcat faptul că nu orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, linii drepte,

paralel cu axele sau trecând prin origine.

Unghiul dintre drepte pe plan.

Definiție... Dacă sunt date două rânduri y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , apoi un unghi acut între aceste linii

va fi definit ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 \u003d k 2... Două drepte sunt perpendiculare,

în cazul în care un k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direct Ax + Wu + C \u003d 0și A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sunt paralele atunci când coeficienții sunt proporționali

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Dacă și С 1 \u003d λС, atunci liniile drepte coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două linii

se găsesc ca o soluție la sistemul de ecuații al acestor drepte.

Ecuația unei linii drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe o linie dreaptă dată.

Definiție... Linie prin punct M 1 (x 1, y 1) și perpendicular pe linie y \u003d kx + b

reprezentat de ecuația:

Distanța de la punct la linie.

Teorema... Dacă se dă un punct M (x 0, y 0), distanța până la linia dreaptă Ax + Wu + C \u003d 0definit ca:

Dovezi... Lasă punctul M 1 (x 1, y 1) - baza perpendicularului a scăzut din punct Mpentru un dat

linie dreapta. Apoi distanța dintre puncte Mși M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și la 1 poate fi găsit ca o soluție la sistemul de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei linii drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe

o linie dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în formă:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C \u003d 0,

apoi, rezolvând, obținem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema este dovedită.

Lăsați linia să treacă prin punctele M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2). Ecuația liniei drepte care trece prin punctul M 1 are forma y-y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

unde k - coeficient încă necunoscut.

Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 2 (x 2 y 2), coordonatele acestui punct trebuie să satisfacă ecuația (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

De aici găsim Înlocuirea valorii găsite k în ecuația (10.6), obținem ecuația liniei drepte care trece prin punctele M 1 și M 2:

Se presupune că în această ecuație x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Dacă x 1 \u003d x 2, atunci linia dreaptă care trece prin punctele M 1 (x 1, y I) și M 2 (x 2, y 2) este paralelă cu axa ordonată. Ecuația sa are forma x \u003d x 1 .

Dacă y 2 \u003d y I, atunci ecuația dreptei poate fi scrisă ca y \u003d y 1, dreapta M 1 M 2 este paralelă cu axa abscisei.

Ecuația unei linii drepte în segmente

Să se intersecteze linia dreaptă axa Ox în punctul M 1 (a; 0), iar axa Oy - în punctul M 2 (0; b). Ecuația devine:
acestea.
... Această ecuație se numește ecuația unei linii drepte în segmente, deoarece numerele a și b indică ce segmente sunt tăiate de o linie dreaptă pe axele de coordonate.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Să găsim ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat Mo (x O; y o) perpendicular pe un vector nenul dat n \u003d (A; B).

Luați un punct arbitrar M (x; y) pe o linie dreaptă și luați în considerare vectorul M 0 M (x - x 0; y - y o) (vezi Fig. 1). Deoarece vectorii n și M o M sunt perpendiculari, produsul lor scalar este zero: adică

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

Ecuația (10.8) se numește ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat .

Vectorul n \u003d (A; B), perpendicular pe linia dreaptă, se numește normal vectorul normal al acestei linii .

Ecuația (10.8) poate fi rescrisă ca Ax + Wu + C \u003d 0 , (10.9)

unde A și B sunt coordonatele vectorului normal, C \u003d -Aх о - Ву о - termen liber. Ecuația (10.9) este ecuația generală a liniei drepte (vezi fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2

Ecuații canonice ale liniei

,

Unde
- coordonatele punctului prin care trece linia dreaptă și
- vectorul de direcție.

Cercul de curbe de ordinul doi

Un cerc este ansamblul tuturor punctelor planului, echidistant de un punct dat, care se numește centru.

Ecuația canonică a unui cerc de rază R centrat în punct
:

În special, dacă centrul mizei coincide cu originea, atunci ecuația va arăta astfel:

Elipsă

O elipsă este un set de puncte pe un plan, suma distanțelor de la fiecare la două puncte date și , care se numesc focare, sunt constante
mai mare decât distanța dintre focare
.

Ecuația canonică a unei elipse, ale cărei focare se află pe axa Ox și originea coordonatelor la jumătatea distanței dintre focare are forma
r dea lungimea axei semi-majore;b - lungimea axei semi-minore (Fig. 2).

Relația dintre parametrii elipsei
și exprimat prin raportul:

(4)

Elipsa de excentricitatenumit raportul distanței interfocale2c spre axa majoră2a:

Directorii elipsele sunt numite linii drepte paralele cu axa Oy, care se află la o distanță de această axă. Ecuații Directrix:
.

Dacă în ecuația elipsei
, atunci focarele elipsei sunt pe axa Oy.

Asa de,

Să se dea două puncte M 1 (x 1, y 1) și M 2 (x 2, y 2)... Scriem ecuația liniei drepte în forma (5), unde k coeficient încă necunoscut:

Din moment ce M 2aparține unei linii drepte date, atunci coordonatele sale satisfac ecuația (5) :. Exprimând din aceasta și substituind-o în ecuația (5), obținem ecuația necesară:

În cazul în care un această ecuație poate fi rescrisă într-o formă mai convenabilă pentru memorare:

(6)

Exemplu.Scrieți ecuația liniei drepte care trece prin punctele M 1 (1.2) și M 2 (-2.3)

Decizie. ... Folosind proprietatea proporției și efectuând transformările necesare, obținem ecuația generală a liniei drepte:

Unghi între două linii drepte

Luați în considerare două linii l 1 și l 2:

l 1:,, și

l 2: , ,

φ este unghiul dintre ele (). Figura 4 prezintă:.

De aici , sau

Folosind formula (7), se poate determina unul dintre unghiurile dintre drepte. Al doilea unghi este.

Exemplu... Două drepte sunt date de ecuațiile y \u003d 2x + 3 și y \u003d -3x + 2. găsiți unghiul dintre aceste linii.

Decizie... Din ecuații se poate observa că k 1 \u003d 2 și k 2 \u003d -3. substituind aceste valori în formula (7), găsim

... Astfel, unghiul dintre aceste linii este egal.

Condiții pentru paralelism și perpendicularitate a două linii

Dacă este drept l 1 și l 2 sunt paralele, atunci φ=0 și tgφ \u003d 0... rezultă din formula (7) că, de unde k 2 \u003d k 1... Astfel, condiția pentru paralelismul a două linii drepte este egalitatea pantelor lor.

Dacă este drept l 1 și l 2 sunt perpendiculare, atunci φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. ... Astfel, condiția perpendicularității a două linii drepte este aceea că pantele lor sunt reciproce în mărime și opuse în semn.

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M (x 0, y 0), atunci distanța până la linia dreaptă Ax + Vy + C \u003d 0 este determinată ca

Dovezi. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) baza perpendicularei căzute din punctul M pe o linie dată. Apoi distanța dintre punctele M și M 1:

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite ca o soluție la sistemul de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat M 0 perpendicular pe o dreaptă dată.

Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în formă:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Cu 0 + C \u003d 0,

apoi, rezolvând, obținem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema este dovedită.

Exemplu. Determinați unghiul dintre drepte: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Exemplu. Arătați că liniile drepte 3x - 5y + 7 \u003d 0 și 10x + 6y - 3 \u003d 0 sunt perpendiculare.

Găsim: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, prin urmare, drepte sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația pentru înălțimea trasată de la vârful C.

Găsim ecuația laturii AB :; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Ecuația de înălțime necesară este: Ax + By + C \u003d 0 sau y \u003d kx + b.

k \u003d. Atunci y \u003d. pentru că înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac ecuația dată: de unde b \u003d 17. Total :.

Răspuns: 3x + 2y - 34 \u003d 0.

Distanța de la un punct la o linie dreaptă este determinată de lungimea perpendicularului căzut de la un punct la o linie dreaptă.

Dacă linia este paralelă cu planul de proiecție (h | | P 1), apoi pentru a determina distanța față de punct ȘI la drept h este necesar să coborâți perpendicularul din punct ȘI pe orizontală h.

Să luăm în considerare un exemplu mai complex, când linia dreaptă ocupă o poziție generală. Să fie necesar să se determine distanța față de punct M la drept și poziția generală.

Sarcina de a determina distanța dintre liniile paralele rezolvat similar cu precedentul. Pe o linie, se ia un punct, din care o perpendiculară este coborâtă pe o altă linie. Lungimea perpendicularei este egală cu distanța dintre liniile paralele.

Curba de ordinul doi numită linie determinată de o ecuație de gradul al doilea în raport cu coordonatele carteziene actuale. În general, Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

unde A, B, C, D, E, F sunt numere reale și cel puțin unul dintre numerele A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Cerc

Centrul cercului Locul punctelor din plan este echidistant de punctul planului C (a, b).

Cercul este dat de următoarea ecuație:

Unde x, y sunt coordonatele unui punct arbitrar al cercului, R este raza cercului.

Ecuația de circumferință

1. Nu există termen cu x, y

2. Coeficienți egali la x 2 și y 2

Elipsă

Elipsă se numește locusul punctelor dintr-un plan, suma distanțelor fiecăruia dintre care din două puncte date ale acestui plan se numește focare (valoare constantă).

Ecuația canonică a elipsei:

X și y aparțin unei elipse.

a - axa semi-majoră a elipsei

b - axa semi-minoră a elipsei

Elipsa are 2 axe de simetrie OX și OY. Axele de simetrie ale elipsei sunt axele sale, punctul de intersecție a acestora este centrul elipsei. Axa pe care se află focalizările se numește axa focală... Punctul de intersecție al elipsei cu axele este vârful elipsei.

Raport de compresie (întindere): ε \u003d s / a - excentricitate (caracterizează forma elipsei), cu cât este mai mică, cu atât elipsa este mai puțin alungită de-a lungul axei focale.

Dacă centrele elipsei nu se află în centrul C (α, β)

Hiperbolă

Hiperbolă se numește locusul punctelor din plan, valoare absolută diferența de distanță, fiecare din două puncte date ale acestui plan, numite focare, este o valoare constantă, alta decât zero.

Ecuația canonicală a hiperbolei

Hiperbola are 2 axe de simetrie:

a - semiaxa reală a simetriei

b - semiaxă imaginară de simetrie

Asimptotele hiperbolei:

Parabolă

Parabolă se numește locusul punctelor dintr-un plan echidistant de la un punct dat F, numit focar și o dreaptă dată, numită directrice.

Ecuația parabolică canonică:

Y 2 \u003d 2px, unde p este distanța de la focalizare la directrice (parametrul parabolei)

Dacă vârful parabolei C (α, β), atunci ecuația parabolei (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Dacă axa focală este luată ca axă de ordonate, atunci ecuația parabolei va lua forma: x 2 \u003d 2qу

Să se dea două puncte M(X1 ,Avea1) și N(X2, y2). Să găsim ecuația liniei drepte care trece prin aceste puncte.

Deoarece această linie trece prin punct M, apoi conform formulei (1.13) ecuația sa are forma

Avea – Da1 = K(X - x1),

Unde K - panta necunoscută.

Valoarea acestui coeficient este determinată de condiția ca linia căutată să treacă prin punct Nși, prin urmare, coordonatele sale satisfac ecuația (1.13)

Da2 – Da1 = K(X2 – X1),

De aici puteți găsi panta acestei linii:

,

Sau după conversie

(1.14)

Formula (1.14) determină Ecuația unei linii drepte care trece prin două puncte M(X1, Da1) și N(X2, Da2).

În cazul special când punctele M(A, 0), N(0, B), ȘI ¹ 0, B ¹ 0, așezați-vă pe axele de coordonate, ecuația (1.14) ia o formă mai simplă

Ecuația (1.15) numit Ecuația unei linii drepte în segmente, aici ȘI și B indicați segmentele tăiate de o linie dreaptă pe axe (Figura 1.6).

Figura 1.6

Exemplul 1.10. Egalează o linie dreaptă prin puncte M(1, 2) și B(3, –1).

. Conform (1.14), ecuația liniei căutate are forma

2(Da – 2) = -3(X – 1).

Transferând toți termenii în partea stângă, obținem în cele din urmă ecuația dorită

3X + 2Da – 7 = 0.

Exemplul 1.11. Egalează o linie dreaptă printr-un punct M(2, 1) și punctul de intersecție a liniilor X+ Y -1 = 0, X y+ 2 = 0.

. Găsim coordonatele punctului de intersecție a liniilor drepte rezolvând împreună ecuațiile date

Dacă adăugăm aceste ecuații termen cu termen, obținem 2 X + 1 \u003d 0, de unde. Înlocuind valoarea găsită în orice ecuație, găsim valoarea ordonatei Avea:

Acum scriem ecuația liniei drepte care trece prin punctele (2, 1) și:

sau.

Prin urmare, sau –5 ( Da – 1) = X – 2.

În cele din urmă, obținem ecuația liniei căutate în formă X + 5Da – 7 = 0.

Exemplul 1.12. Găsiți ecuația liniei drepte care trece prin puncte M(2,1) și N(2,3).

Folosind formula (1.14), obținem ecuația

Nu are sens, deoarece al doilea numitor este zero. Din afirmația problemei se poate observa că abscisele ambelor puncte au aceeași valoare. Prin urmare, linia căutată este paralelă cu axa OY iar ecuația sa este: X = 2.

cometariu . Dacă, la scrierea ecuației unei drepte conform formulei (1.14), unul dintre numitori se dovedește a fi zero, atunci ecuația dorită poate fi obținută prin echivalarea numărătorului corespunzător la zero.

Luați în considerare alte modalități de a defini o linie dreaptă pe un plan.

1. Fie ca un vector diferit de zero să fie perpendicular pe linia dată Lși punct M0(X0, Da0) se află pe această linie dreaptă (Figura 1.7).

Figura 1.7

Denotăm M(X, Da) un punct arbitrar pe linie L... Vectori și Ortogonal. Folosind condițiile de ortogonalitate pentru acești vectori, obținem fie ȘI(X – X0) + B(Da – Da0) = 0.

Am obținut ecuația unei linii drepte care trece printr-un punct M0 perpendicular pe vector. Acest vector se numește Vectorul normal la drept L... Ecuația rezultată poate fi rescrisă ca

Oh + Woo + DIN \u003d 0, unde DIN = –(ȘIX0 + De0), (1.16),

Unde ȘI și ÎN- coordonatele vectorului normal.

Obținem ecuația generală a liniei drepte în formă parametrică.

2. O dreaptă pe un plan poate fi specificată după cum urmează: să fie un vector diferit de zero să fie paralel cu o dreaptă dată L și punct M0(X0, Da0) se află pe această linie dreaptă. Ia din nou un punct arbitrar M(X, y) pe o linie dreaptă (Figura 1.8).

Figura 1.8

Vectori și coliniar.

Scriem condiția de coliniaritate pentru acești vectori :, unde T - un număr arbitrar numit parametru. Să scriem această egalitate în coordonate:

Aceste ecuații se numesc Ecuații parametrice Drept... Excludem din aceste ecuații parametrul T:

Aceste ecuații pot fi scrise altfel sub formă

. (1.18)

Ecuația rezultată se numește Ecuația canonică a liniei... Vectorul se numește Vectorul de direcție al liniei drepte .

cometariu . Este ușor de văzut că dacă este vectorul normal al liniei L, atunci vectorul său de direcție poate fi un vector, deoarece, adică

Exemplul 1.13. Scrieți ecuația liniei drepte care trece prin punct M0 (1, 1) paralel cu linia dreaptă 3 X + 2Avea– 8 = 0.

Decizie . Vectorul este vectorul normal al liniilor drepte date și dorite. Vom folosi ecuația liniei drepte care trece prin punct M0 cu un vector normal dat 3 ( X –1) + 2(Avea - 1) \u003d 0 sau 3 X + 2y - 5 \u003d 0. A primit ecuația liniei drepte dorite.