1. Conceptul de asimptote

Unul dintre pașii importanți în construirea graficelor de funcții este căutarea asimptotelor. Ne-am întâlnit cu asimptote de mai multe ori: la trasarea funcțiilor, y=tgx, y=ctgx. Le-am definit drept linii pe care graficul unei funcții „tinde” dar nu le încrucișează niciodată. Este timpul să oferim o definiție precisă a asimptotelor.

Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale și oblice. În desen, asimptotele sunt de obicei notate prin linii punctate.

Luați în considerare următorul grafic al funcției trasat artificial (Fig. 16.1), pe exemplul căruia sunt vizibile în mod clar toate tipurile de asimptote:

Oferim o definiție pentru fiecare tip de asimptotă:

1. Direct x=a numit asimptotă verticală funcții dacă .

2. Direct y=s numit asimptotă orizontală funcții dacă .

3. Direct y=kx+b numit asimptotă oblică funcții dacă .

Geometric, definiția unei asimptote oblice înseamnă că pe măsură ce →∞ graficul unei funcții se apropie de o dreaptă în mod arbitrar apropiat y=kx+b, adică sunt practic la fel. Diferența expresiilor aproape identice tinde spre zero.

Rețineți că asimptotele orizontale și oblice sunt considerate numai cu condiția →∞. Uneori ele se disting în asimptote orizontale și oblice ca →+∞ și →-∞.

1. Algoritmul de căutare asimptotă

Următorul algoritm poate fi utilizat pentru a găsi asimptote:

Poate exista o singură asimptotă verticală, mai multe sau deloc.

• Dacă c este un număr, atunci y=s este asimptota orizontală;
• Dacă c este infinit, atunci nu există asimptote orizontale.

Dacă o funcție este un raport de două polinoame, atunci dacă funcția are asimptote orizontale, nu vom căuta asimptote oblice - acestea nu există.

Luați în considerare exemple de găsire a asimptotelor unei funcții:

Exemplul 16.1. Găsiți asimptotele curbei.

Soluţie X-1≠0; X≠1.

Să verificăm dacă linia este x= 1 asimptotă verticală. Pentru a face acest lucru, calculăm limita funcției în punct x= 1: .

x= 1 - asimptotă verticală.

Cu= .

Cu= = . Deoarece Cu=2 (număr), atunci y=2 este asimptota orizontală.

Deoarece funcția este un raport de polinoame, în prezența asimptotelor orizontale afirmăm că nu există asimptote oblice.

x= 1 și asimptota orizontală y=2. Pentru claritate, graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 16.2.

Exemplul 16.2. Găsiți asimptotele curbei.

Soluţie. 1. Găsiți domeniul funcției: X-2≠0; X≠2.

Să verificăm dacă linia este x= 2 asimptotă verticală. Pentru a face acest lucru, calculăm limita funcției în punct x= 2: .

Am prins asta, prin urmare, x= 2 - asimptotă verticală.

2. Pentru a căuta asimptote orizontale, găsim: Cu= .

Deoarece există o incertitudine în limită, folosim regula L'Hopital: Cu= = . Deoarece Cu este infinit, atunci nu există asimptote orizontale.

3. Pentru a căuta asimptote oblice, găsim:

Avem o incertitudine a formei , folosim regula L'Hopital: = =1. b dupa formula: .

b= = =

Am inteles b= 2. Apoi y=kx+b – asimptotă oblică. În cazul nostru, arată astfel: y=x+2.

Orez. 16.3

Astfel, această funcție are o asimptotă verticală x= 2 și asimptotă oblică y=x+2. Pentru claritate, graficul funcției este prezentat în Fig. 16.3.

Întrebări de control:

Cursul 17

În această prelegere, vom rezuma tot materialul studiat anterior. Scopul final al călătoriei noastre lungi este să putem investiga orice funcție dată analitic și să construim graficul acesteia. Părți importante ale studiului nostru vor fi studiul funcției pentru extrema, determinarea intervalelor de monotonitate, convexitate și concavitate a graficului, căutarea punctelor de inflexiune, asimptote ale graficului funcției.

Ținând cont de toate aspectele de mai sus, vă prezentăm schema de studiere a functiei si trasare .

1. Găsiți domeniul funcției.

2. Investigați funcția pentru par-impar:

dacă , atunci funcția este pară (graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa OU);

dacă , atunci funcția este impară (graficul unei funcții impare este simetric față de origine);

În caz contrar, funcția nu este nici pară, nici impară.

3. Investigați funcția pentru periodicitate (dintre funcțiile pe care le studiem, numai funcțiile trigonometrice pot fi periodice).

4. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate:

· Oh: la=0 (rezolvăm ecuația doar dacă putem folosi metodele cunoscute nouă);

· OU: X=0.

5. Aflați derivata întâi a funcției și punctele critice de primul fel.

6. Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției.

7. Aflați derivata a doua a funcției și punctele critice de al doilea fel.

8. Aflați intervalele de convexitate-concavitate ale graficului funcției și punctele de inflexiune.

9. Aflați asimptotele graficului funcției.

10. Reprezentați grafic funcția. Când construiți, luați în considerare cazuri de posibilă localizare a graficului în apropierea asimptotelor :

11. Dacă este necesar, selectați punctele de control pentru o construcție mai precisă.

Luați în considerare o schemă pentru studierea unei funcții și trasarea graficului acesteia folosind exemple specifice:

Exemplul 17.1. Trasează funcția.

Soluţie. 1. Această funcție este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția X=3, pentru că în acest moment numitorul ajunge la zero.

2. Pentru a determina uniformitatea și ciudățenia funcției, găsim:

Vedem că și, prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară.

3. Funcția este neperiodică.

4. Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate. Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oh Accept la=0. Obținem ecuația: . Deci, punctul (0; 0) este punctul de intersecție cu axele de coordonate.

5. Aflați derivata funcției după regula de diferențiere a unei fracții: = = = = .

Pentru a găsi punctele critice, găsim punctele în care derivata funcției este egală cu 0 sau nu există.

Dacă =0, deci, . Produsul este atunci 0 când cel puțin unul dintre factori este 0: sau .

X-3) 2 este egal cu 0, i.e. nu există la X=3.

Deci, funcția are trei puncte critice de primul fel: ; ; .

6. Pe axa reală, se marchează punctele critice de primul fel și se marchează punctul cu un punct perforat, deoarece nu definește o funcție.

Aranjați semnele derivatei = pe fiecare interval:

t.min

t.max

La intervalele în care , funcția inițială crește (la (-∞;0] ), unde - descrește (la ).

Punct X=0 este punctul maxim al funcției. Pentru a găsi maximul funcției, să găsim valoarea funcției în punctul 0: .

Punct X=6 este punctul minim al funcției. Pentru a găsi minimul funcției, să găsim valoarea funcției la punctul 6: .

Rezultatele cercetării pot fi introduse în tabel. Numărul de rânduri din tabel este fix și egal cu patru, iar numărul de coloane depinde de funcția studiată. În celulele primului rând, intervalele în care punctele critice împart domeniul definiției funcției sunt introduse secvenţial, inclusiv punctele critice în sine. Pentru a evita erorile la construirea punctelor care nu aparțin zonei de definire, este posibil să nu le includeți în tabel.

Al doilea rând al tabelului conține semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele considerate și valoarea derivatei în punctele critice. În conformitate cu semnele derivatei funcției, intervalele de creștere, scădere și extreme ale funcției sunt marcate pe a treia linie.

Ultima linie este folosită pentru a desemna maximul și minimul funcției.

X	(-∞;0)		(0;3)		(3;6)		(6;+ ∞)
	+		-		-		+
f(x)
concluzii		max				min

7. Aflați derivata a doua a funcției ca derivată a derivatei întâi: = =

Scoateți la numărător X-3 în afara parantezei și faceți reducerea:

Prezentăm la numărător termeni ca: .

Să găsim puncte critice de al doilea fel: puncte la care derivata a doua a funcției este egală cu zero sau nu există.

0 dacă =0. Această fracție nu poate fi egală cu zero, prin urmare, nu există puncte în care derivata a doua a funcției să fie egală cu zero.

Nu există dacă numitorul ( X-3) 3 este 0, adică nu există la X=3. : Oh , OU, origine, unități de măsură pentru fiecare axă.

Înainte de a trasa o funcție, trebuie să:

desenați asimptote cu linii punctate;

marcați punctele de intersecție cu axele de coordonate;

Orez. 17.1

marcați maximul și minimul funcției și se recomandă să desemnați maximul și minimul funcției direct pe desen cu arce: k sau ;

· Folosind datele obținute privind intervalele de creștere, scădere, convexitate și concavitate, construiți un grafic al funcției. Ramurile graficului ar trebui să „tindă” spre asimptote, dar să nu le traverseze.

Verificați dacă graficul funcției corespunde studiului: dacă funcția este pară sau impară, atunci dacă se respectă simetria; dacă intervalele teoretic găsite de creștere și scădere, convexitate și concavitate, puncte de inflexiune.

11. Pentru o construcție mai precisă, puteți selecta mai multe puncte de control. De exemplu, să găsim valorile funcției la punctele -2 și 7:

Ajustăm graficul ținând cont de punctele de control.

Întrebări de control:

1. Care este algoritmul pentru trasarea graficului unei funcții?
2. Poate o funcție să aibă un extremum în puncte care nu aparțin domeniului definiției?

CAPITOLUL 3. 3. CALCULUL INTEGRAL AL ​​FUNCȚIEI

- (din greacă o parte negativă, iar symptotos coincid împreună). O linie dreaptă care se apropie constant de o curbă și o întâlnește doar la infinit. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. ASIMPTOE din ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

ASIMPTOTĂ- (din grecescul asymptotos non-coincident), o linie dreaptă la care ramura infinită a curbei se apropie la infinit, de exemplu, asimptota unei hiperbole ... Enciclopedia modernă

ASIMPTOTĂ- (din greacă asymptotos nepotriviți) o curbă cu o ramură infinită este o linie dreaptă de care această ramură se apropie la infinit, de exemplu, o asimptotă a unei hiperbole ... Dicţionar enciclopedic mare

asimptotă- O linie dreaptă care este abordată treptat printr-o curbă. asimptotă O linie dreaptă abordată (nu ajunge la ea niciodată) de o curbă care are o ramură infinită a unei anumite funcții atunci când argumentul său crește nedefinit sau... Manualul Traducătorului Tehnic

Asimptotă- (din greacă asymptotos nepotrivită), o linie dreaptă de care o ramură infinită a unei curbe se apropie la nesfârșit, cum ar fi asimptota unei hiperbole. … Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

ASIMPTOTĂ- femeie, geom. o linie dreaptă, care se apropie mereu de o curbă (hiperbolă), dar nu converge niciodată cu aceasta. Un exemplu pentru a explica acest lucru: dacă orice număr este împărțit în jumătate, atunci va scădea la infinit, dar nu va deveni niciodată zero. ...... Dicţionarul explicativ al lui Dahl

asimptotă- substantiv, număr de sinonime: 1 rând (182) Dicționar de sinonime ASIS. V.N. Trishin. 2013... Dicţionar de sinonime

Asimptotă- (din cuvintele grecești: a, sun, piptw) nepotriviți. Prin asimptotă se înțelege o astfel de linie care, fiind continuată la infinit, se apropie de o anumită linie curbă sau de o parte a acesteia, astfel încât distanța dintre liniile comune devine mai mică ... ...

Asimptotă O suprafață este o linie dreaptă care intersectează suprafața cel puțin în două puncte la infinit... Enciclopedia lui Brockhaus și Efron

ASIMPTOTĂ- (asimptotă) Valoarea la care tinde această funcție atunci când argumentul (argumentul) se schimbă, dar nu o atinge cu nicio valoare finală a argumentului. De exemplu, dacă costul total al producției x este dat de funcția TC=a+bx, unde a și b sunt constante... Dicționar economic

Asimptotă- o linie dreaptă, care tinde (nu ajungând la ea), având o ramură infinită a unei curbe a unei anumite funcții, când argumentul său crește sau scade la nesfârșit. De exemplu, în funcția: y = c + 1/x, valoarea lui y se apropie cu ... ... Dicţionar economic şi matematic

Câte asimptote poate avea un grafic al unei funcții?

Nici unul, unu, doi, trei... sau un număr infinit. Nu vom merge departe pentru exemple, vom reaminti funcții elementare. Parabola, parabola cubică, sinusoida nu au deloc asimptote. Graficul unei funcții logaritmice exponențiale are o singură asimptotă. Arctangente, arccotangent are două dintre ele, iar tangenta, cotangentă are un număr infinit. Nu este neobișnuit ca un grafic să aibă atât asimptote orizontale, cât și verticale. Hyperbole, te va iubi mereu.

Ce înseamnă să găsești asimptotele unui grafic al unei funcții?

Aceasta înseamnă să aflați ecuațiile lor și să trasați linii drepte dacă starea problemei o cere. Procesul presupune găsirea limitelor funcției.

Asimptotele verticale ale unui grafic al unei funcții

Asimptota verticală a graficului, de regulă, se află în punctul de discontinuitate infinită a funcției. Este simplu: dacă într-un punct funcția suferă o întrerupere infinită, atunci linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului.

Notă: Vă rugăm să rețineți că notația este folosită pentru a se referi la două concepte complet diferite. Punctul este subînțeles sau ecuația unei linii drepte - depinde de context.

Astfel, pentru a stabili prezența unei asimptote verticale într-un punct, este suficient să arătăm că cel puțin una dintre limitele unilaterale este infinită. Cel mai adesea, acesta este punctul în care numitorul funcției este egal cu zero. De fapt, am găsit deja asimptote verticale în ultimele exemple ale lecției despre continuitatea unei funcții. Dar, într-un număr de cazuri, există o singură limită unilaterală, iar dacă este infinită, atunci din nou - iubiți și favorizați asimptota verticală. Cea mai simplă ilustrație: și axa y.

Din cele de mai sus rezultă și faptul evident: dacă funcția este continuă, atunci nu există asimptote verticale. Din anumite motive, mi-a venit în minte o parabolă. Într-adevăr, unde poți „lipi” o linie dreaptă aici? ... da... înțeleg... adepții unchiului Freud înghesuiți în isterici =)

Afirmația inversă nu este în general adevărată: de exemplu, funcția nu este definită pe întreaga linie reală, dar este complet lipsită de asimptote.

Asimptote oblice ale unui grafic al unei funcții

Asimptotele înclinate (ca caz special - orizontal) pot fi desenate dacă argumentul funcției tinde spre „plus infinit” sau „minus infinit”. Prin urmare, graficul unei funcții nu poate avea mai mult de 2 asimptote oblice. De exemplu, graficul unei funcții exponențiale are o singură asimptotă orizontală la, iar graficul arctangentei la are două astfel de asimptote și altele diferite.

Când graficul ici și colo se apropie de singura asimptotă oblică, atunci este obișnuit să combinați „infinite” sub o singură intrare. De exemplu, ... ai ghicit bine: .

Asimptotele graficului unei funcții

Fantoma asimptotei rătăcește de mult timp pe site pentru a se concretiza în sfârșit într-un singur articol și a aduce o încântare deosebită cititorilor nedumeriți. studiu complet al funcției. Găsirea asimptotelor graficului este una dintre puținele părți ale sarcinii specificate, care este acoperită în cursul școlar numai într-o ordine de ansamblu, deoarece evenimentele gravitează în jurul calculului. limitele funcției, dar încă aparțin matematicii superioare. Vizitatorii care sunt slab versați în analiza matematică, cred că aluziența este de înțeles ;-) ... stop-stop, unde mergi? limite- este ușor!

Exemple de asimptote întâlnite imediat în prima lecție despre grafice ale funcţiilor elementare, iar acum subiectul primește o analiză detaliată.

Deci, ce este o asimptotă?

Imagina punct variabil, care „călătorește” de-a lungul graficului funcției. Asimptota este Drept, la care aproape nelimitat graficul funcției se apropie pe măsură ce punctul său variabil merge la infinit.

Notă : definiția este semnificativă, dacă aveți nevoie de o formulare în notația analizei matematice, vă rugăm să consultați manualul.

Pe un plan, asimptotele sunt clasificate în funcție de aranjamentul lor natural:

1) Asimptote verticale, care sunt date de o ecuație de forma , unde „alfa” este un număr real. Reprezentantul popular definește însăși axa y,
cu un atac de greață ușoară, ne amintim hiperbolă.

2) Asimptote oblice scris în mod tradițional ecuație în linie dreaptă cu un factor de pantă. Uneori, un caz special este evidențiat ca un grup separat - asimptote orizontale. De exemplu, aceeași hiperbolă cu asimptotă .

Începem repede, haideți să atingem subiectul cu o scurtă explozie automată:

Câte asimptote poate avea un grafic al unei funcții?

Nici unul, unu, doi, trei... sau un număr infinit. Nu vom merge departe pentru exemple, ne vom aminti functii elementare. Parabola, parabola cubică, sinusoida nu au deloc asimptote. Graficul unei funcții logaritmice exponențiale are o singură asimptotă. Arctangente, arccotangent are două dintre ele, iar tangenta, cotangentă are un număr infinit. Nu este neobișnuit ca un grafic să aibă atât asimptote orizontale, cât și verticale. Hyperbole, te va iubi mereu.

Ce înseamnă ?

Asimptotele verticale ale unui grafic al unei funcții

Asimptota verticală a unui grafic este de obicei în punctul de infinit funcții. Este simplu: dacă într-un punct funcția suferă o întrerupere infinită, atunci linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului.

Notă : rețineți că notația este folosită pentru a se referi la două concepte complet diferite. Punctul este subînțeles sau ecuația unei linii drepte - depinde de context.

Astfel, pentru a stabili prezența unei asimptote verticale într-un punct, este suficient să arătăm că cel puțin unul din limite unilaterale fără sfârşit. Cel mai adesea, acesta este punctul în care numitorul funcției este egal cu zero. De fapt, am găsit deja asimptote verticale în ultimele exemple ale lecției. asupra continuităţii funcţiei. Dar, în unele cazuri, există o singură limită unilaterală, iar dacă este infinită, atunci din nou - iubiți și favorizați asimptota verticală. Cea mai simplă ilustrație: și axa y (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare).

Din cele de mai sus, rezultă și faptul evident: dacă funcția este pornită continuă, atunci nu există asimptote verticale. Din anumite motive, mi-a venit în minte o parabolă. Într-adevăr, unde poți „lipi” o linie dreaptă aici? ... da... înțeleg... adepții unchiului Freud înghesuiți în isterici =)

Afirmația inversă nu este în general adevărată: de exemplu, funcția nu este definită pe întreaga linie reală, dar este complet lipsită de asimptote.

Asimptote oblice ale unui grafic al unei funcții

Asimptotele oblice (ca caz special - orizontale) pot fi trase dacă argumentul funcției tinde spre „plus infinit” sau „minus infinit”. De aceea graficul unei funcții nu poate avea mai mult de două asimptote oblice. De exemplu, graficul unei funcții exponențiale are o singură asimptotă orizontală la , iar graficul arc-tangentei la are două astfel de asimptote și altele diferite.

Când graficul ici și colo se apropie de singura asimptotă oblică, atunci se obișnuiește să se unească „infinite” sub o singură intrare. De exemplu, ... ai ghicit bine: .

Regula generală de bază:

Dacă sunt două final limită , atunci linia dreaptă este asimptota oblică a graficului funcției la . Dacă cel puțin unul dintre limitele de mai sus este infinită, atunci nu există nicio asimptotă oblică.

Notă : formulele rămân valabile dacă „x” tinde doar spre „plus infinit” sau doar către „minus infinit”.

Să arătăm că parabola nu are asimptote oblice:

Limita este infinită, deci nu există nicio asimptotă oblică. Rețineți că în găsirea limitei nu mai este nevoie deoarece răspunsul a fost deja primit.

Notă : dacă aveți (sau veți avea) dificultăți în înțelegerea semnelor plus-minus, minus-plus, vă rugăm să vedeți ajutorul de la începutul lecției
despre funcțiile infinitezimale, unde am spus cum să interpretez corect aceste semne.

Este evident că orice funcție pătratică, cubică, polinom de gradul 4 și superior nu are nici asimptote oblice.

Și acum să ne asigurăm că la grafic, de asemenea, nu are o asimptotă oblică. Pentru a descoperi incertitudinea, folosim Regula lui L'Hopital:
, care urma să fie verificat.

Când funcția crește la infinit, totuși, nu există o astfel de linie dreaptă la care graficul ei s-ar apropia infinit de aproape.

Să trecem la partea practică a lecției:

Cum să găsiți asimptotele unui grafic al unei funcții?

Așa se formulează o sarcină tipică, care implică găsirea TOATE asimptotele graficului (vertical, oblic / orizontal). Deși, pentru a fi mai precis în formularea întrebării, vorbim despre un studiu pentru prezența asimptotelor (la urma urmei, poate să nu existe deloc). Să începem cu ceva simplu:

Exemplul 1

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie Este convenabil să o împărțim în două puncte:

1) Mai întâi verificăm dacă există asimptote verticale. Numitorul dispare la , și este imediat clar că în acest moment funcția are de suferit gol nesfârșit, iar linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului funcției . Dar înainte de a trage o astfel de concluzie, este necesar să găsiți limite unilaterale:

Vă reamintesc de tehnica de calcul, asupra căreia m-am ocupat și eu în articol Continuitatea funcției. puncte de pauză. În expresia de sub semnul limită, în loc de „x” înlocuim . Nu există nimic interesant în numărător:
.

Dar la numitor se dovedește număr negativ infinitezimal:
, determină soarta limitei.

Limita din stânga este infinită și, în principiu, este deja posibil să se pronunțe asupra prezenței unei asimptote verticale. Dar limitele unilaterale sunt necesare nu numai pentru aceasta - ele AJUTĂ LA ÎNȚELEGE, CUM se localizează graficul funcției și se trasează-l CORECT. Prin urmare, trebuie să calculăm și limita din dreapta:

Concluzie: limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că linia este o asimptotă verticală a graficului funcției la .

Prima limită finit, ceea ce înseamnă că este necesar să „continuați conversația” și să găsiți a doua limită:

Și a doua limită finit.

Deci asimptota noastră este:

Concluzie: dreapta dată de ecuație este asimptota orizontală a graficului funcției la .

Pentru a găsi asimptota orizontală
Puteți folosi formula simplificată:

Daca exista finit limită , atunci linia este asimptota orizontală a graficului funcției la .

Este ușor de observat că numărătorul și numitorul funcției un ordin de creștere, ceea ce înseamnă că limita dorită va fi finită:

Răspuns:

Conform condiției, nu este necesară finalizarea desenului, dar dacă este în plină desfășurare cercetarea funcţiei, apoi pe schiță facem imediat o schiță:

Pe baza celor trei limite găsite, încercați să vă dați seama în mod independent cum poate fi localizat graficul funcției. Destul de dificil? Găsiți 5-6-7-8 puncte și marcați-le pe desen. Cu toate acestea, graficul acestei funcții este construit folosind transformări ale graficului funcţiei elementare, iar cititorii care au examinat cu atenție Exemplul 21 al acestui articol vor ghici cu ușurință ce fel de curbă este aceasta.

Exemplul 2

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Procesul, vă reamintesc, este împărțit convenabil în două puncte - asimptote verticale și asimptote oblice. În soluția eșantion, asimptota orizontală este găsită folosind o schemă simplificată.

În practică, funcțiile fracționale-raționale sunt cel mai des întâlnite, iar după antrenamentul pe hiperbole, vom complica sarcina:

Exemplul 3

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: Unu, doi și gata:

1) Se găsesc asimptotele verticale în punctele de discontinuitate infinită, deci trebuie să verificați dacă numitorul ajunge la zero. Vom decide ecuație pătratică:

Discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini reale, iar munca se adaugă semnificativ =)

Pentru a găsi în continuare limite unilaterale, este convenabil să factorizezi trinomul pătrat:
(pentru notația compactă, „minus” a fost introdus în prima paranteză). Pentru plasa de siguranta vom efectua o verificare, mentala sau la curent, deschizand parantezele.

Să rescriem funcția în formă

Găsiți limite unilaterale în punctul:

Și la punctul:

Astfel, liniile drepte sunt asimptotele verticale ale graficului funcției luate în considerare.

2) Dacă te uiți la funcție , atunci este destul de evident că limita va fi finită și avem o asimptotă orizontală. Să o arătăm pe scurt:

Astfel, linia dreaptă (abscisa) este asimptota orizontală a graficului acestei funcții.

Răspuns:

Limitele și asimptotele găsite oferă o mulțime de informații despre graficul funcției. Încercați să vă imaginați mental desenul, ținând cont de următoarele fapte:

Schițați versiunea dvs. a graficului pe o schiță.

Desigur, limitele găsite nu determină fără echivoc tipul de grafic și puteți face o greșeală, dar exercițiul în sine vă va fi de un ajutor neprețuit în timpul studiu complet al funcției. Poza corectă este la sfârșitul lecției.

Exemplul 4

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Exemplul 5

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acestea sunt sarcini pentru decizii independente. Ambele grafice au din nou asimptote orizontale, care sunt detectate imediat de următoarele caracteristici: în Exemplul 4 ordinea de creștere numitor Mai mult decât ordinea de creștere a numărătorului, iar în Exemplul 5 numărătorul și numitorul un ordin de creștere. În soluția de probă, prima funcție este investigată pentru prezența asimptotelor oblice într-un mod complet, iar a doua - prin limită.

Asimptotele orizontale, în impresia mea subiectivă, sunt vizibil mai frecvente decât cele care sunt „cu adevărat înclinate”. Caz general mult așteptat:

Exemplul 6

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: clasice ale genului:

1) Deoarece numitorul este pozitiv, funcția continuu pe întreaga linie numerică și nu există asimptote verticale. …Este bine? Nu este cuvântul potrivit - grozav! Elementul #1 este închis.

2) Verificați prezența asimptotelor oblice:

Prima limită finit, deci să mergem mai departe. În timpul calculului a doua limită de eliminat incertitudine „infinit minus infinit” aducem expresia la un numitor comun:

Și a doua limită finit, prin urmare, graficul funcției luate în considerare are o asimptotă oblică:

Concluzie:

Astfel, pentru graficul funcției infinit de aproape se apropie de o linie dreaptă:

Rețineți că își intersectează asimptota oblică la origine și astfel de puncte de intersecție sunt destul de acceptabile - este important ca „totul este normal” la infinit (de fapt, vorbim despre asimptote exact acolo).

Exemplul 7

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: nu este nimic de comentat, așa că voi întocmi o mostră aproximativă a unei soluții finale:

1) Asimptote verticale. Să explorăm ideea.

Linia dreaptă este asimptota verticală pentru graficul de la .

2) Asimptote oblice:

Linia dreaptă este asimptota oblică pentru graficul de la .

Răspuns:

Limitele și asimptotele unilaterale găsite ne permit să presupunem cu mare siguranță cum arată graficul acestei funcții. Desenul corect la sfârșitul lecției.

Exemplul 8

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, pentru comoditatea calculării unor limite, puteți împărți numărătorul la numitor termen cu termen. Și din nou, analizând rezultatele, încercați să desenați un grafic al acestei funcții.

Evident, proprietarii asimptotelor oblice „reale” sunt graficele acelor funcții fracționale-raționale pentru care cel mai înalt grad al numărătorului încă una cel mai înalt grad al numitorului. Dacă mai mult, nu va exista nicio asimptotă oblică (de exemplu, ).

Dar alte miracole se întâmplă în viață:

Exemplul 9

Exemplul 11

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Soluţie: este evident că , prin urmare, considerăm doar semiplanul drept, unde există un grafic al funcției.

Astfel, linia dreaptă (axa y) este asimptota verticală pentru graficul funcției la .

2) Studiul asimptotei oblice poate fi efectuat conform schemei complete, dar în articol Regulile L'Hospital am descoperit că o funcție liniară de ordin mai mare de creștere decât una logaritmică, prin urmare: (vezi exemplul 1 din aceeași lecție).

Concluzie: axa absciselor este asimptota orizontală a graficului funcției la .

Răspuns:
, Dacă ;
, Dacă .

Desen pentru claritate:

Interesant este că o funcție aparent similară nu are deloc asimptote (cei care doresc pot verifica acest lucru).

Două exemple finale de auto-studiu:

Exemplul 12

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Așa se formulează o sarcină tipică, care implică găsirea TOATE asimptotele graficului (vertical, oblic / orizontal). Deși, pentru a fi mai precis în formularea întrebării, vorbim despre un studiu pentru prezența asimptotelor (la urma urmei, poate să nu existe deloc).

Să începem cu ceva simplu:

Exemplul 1

Soluţie Este convenabil să o împărțim în două puncte:

1) Mai întâi verificăm dacă există asimptote verticale. Numitorul dispare la , și este imediat clar că în acest moment funcția are de suferit gol nesfârșit, iar linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului funcției . Dar înainte de a trage o astfel de concluzie, este necesar să găsiți limite unilaterale:

Vă reamintesc de tehnica de calcul, asupra căreia m-am ocupat și eu în articol continuitatea functiei. puncte de pauză. În expresia de sub semnul limită, în loc de „x” înlocuim . Nu există nimic interesant în numărător:
.

Dar la numitor se dovedește număr negativ infinitezimal:
, determină soarta limitei.

Limita din stânga este infinită și, în principiu, este deja posibil să se pronunțe asupra prezenței unei asimptote verticale. Dar limitele unilaterale sunt necesare nu numai pentru aceasta, ci AJUTĂ LA ÎNȚELEGE CUM se localizează graficul funcției și se trasează-l CORECT. Prin urmare, trebuie să calculăm și limita din dreapta:

Concluzie: limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că linia este o asimptotă verticală a graficului funcției la .

Prima limită finit, ceea ce înseamnă că este necesar să „continuați conversația” și să găsiți a doua limită:

Și a doua limită finit.

Deci asimptota noastră este:

Concluzie: dreapta dată de ecuație este asimptota orizontală a graficului funcției la .

Pentru a găsi asimptota orizontală Puteți folosi formula simplificată:

Dacă există o limită finită, atunci linia este o asimptotă orizontală a graficului funcției la .

Este ușor de observat că numărătorul și numitorul funcției un ordin de creștere, ceea ce înseamnă că limita dorită va fi finită:

Răspuns:

Conform condiției, nu este necesară finalizarea desenului, dar dacă este în plină desfășurare cercetarea funcţiei, apoi pe schiță facem imediat o schiță:

Pe baza celor trei limite găsite, încercați să vă dați seama în mod independent cum poate fi localizat graficul funcției. Destul de dificil? Găsiți 5-6-7-8 puncte și marcați-le pe desen. Cu toate acestea, graficul acestei funcții este construit folosind transformări ale graficului funcţiei elementare, iar cititorii care au examinat cu atenție Exemplul 21 al acestui articol vor ghici cu ușurință ce fel de curbă este aceasta.

Exemplul 2

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Procesul, vă reamintesc, este împărțit convenabil în două puncte - asimptote verticale și asimptote oblice. În soluția eșantion, asimptota orizontală este găsită folosind o schemă simplificată.

În practică, funcțiile fracționale-raționale sunt cel mai des întâlnite, iar după antrenamentul pe hiperbole, vom complica sarcina:

Exemplul 3

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: Unu, doi și gata:

1) Se găsesc asimptotele verticale în punctele de discontinuitate infinită, deci trebuie să verificați dacă numitorul ajunge la zero. Vom decide ecuație pătratică :

Discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini reale, iar munca se adaugă semnificativ =)

Pentru a găsi în continuare limite unilaterale, este convenabil să factorizezi trinomul pătrat:
(pentru notația compactă, „minus” a fost introdus în prima paranteză). Pentru plasa de siguranta vom efectua o verificare, mentala sau la curent, deschizand parantezele.

Să rescriem funcția în formă

Găsiți limite unilaterale în punctul:

Și la punctul:

Astfel, liniile drepte sunt asimptotele verticale ale graficului funcției luate în considerare.

2) Dacă te uiți la funcție , atunci este destul de evident că limita va fi finită și avem o asimptotă orizontală. Să o arătăm pe scurt:

Astfel, linia dreaptă (abscisa) este asimptota orizontală a graficului acestei funcții.

Răspuns:

Limitele și asimptotele găsite oferă o mulțime de informații despre graficul funcției. Încercați să vă imaginați mental desenul, ținând cont de următoarele fapte:

Schițați versiunea dvs. a graficului pe o schiță.

Desigur, limitele găsite nu determină fără echivoc tipul de grafic și puteți face o greșeală, dar exercițiul în sine vă va fi de un ajutor neprețuit în timpul studiu complet al funcției. Poza corectă este la sfârșitul lecției.

Exemplul 4

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Exemplul 5

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acestea sunt sarcini pentru decizii independente. Ambele grafice au din nou asimptote orizontale, care sunt detectate imediat de următoarele caracteristici: în Exemplul 4 ordinea de creștere numitorul este mai mare decât ordinul de creștere al numărătorului, iar în exemplul 5 numărătorul și numitorul un ordin de creștere. În soluția de probă, prima funcție este investigată pentru prezența asimptotelor oblice într-un mod complet, iar a doua - prin limită.

Asimptotele orizontale, în impresia mea subiectivă, sunt vizibil mai frecvente decât cele care sunt „cu adevărat înclinate”. Caz general mult așteptat:

Exemplul 6

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: clasice ale genului:

1) Deoarece numitorul este pozitiv, funcția continuu pe întreaga linie numerică și nu există asimptote verticale. …Este bine? Nu este cuvântul potrivit - grozav! Elementul #1 este închis.

2) Verificați prezența asimptotelor oblice:

Prima limită finit, deci să mergem mai departe. În timpul calculului a doua limită de eliminat incertitudine „infinit minus infinit” aducem expresia la un numitor comun:

Și a doua limită finit, prin urmare, graficul funcției luate în considerare are o asimptotă oblică:

Concluzie:

Astfel, pentru graficul funcției infinit de aproape se apropie de o linie dreaptă:

Rețineți că își intersectează asimptota oblică la origine și astfel de puncte de intersecție sunt destul de acceptabile - este important ca „totul este normal” la infinit (de fapt, aici apare discuția despre asimptote).

Exemplul 7

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Soluţie: nu este nimic de comentat, așa că voi întocmi o mostră aproximativă a unei soluții finale:

1) Asimptote verticale. Să explorăm ideea.

Linia dreaptă este asimptota verticală pentru graficul de la .

2) Asimptote oblice:

Linia dreaptă este asimptota oblică pentru graficul de la .

Răspuns:

Limitele și asimptotele unilaterale găsite ne permit să presupunem cu mare siguranță cum arată graficul acestei funcții. Desenul corect la sfârșitul lecției.

Exemplul 8

Găsiți asimptotele graficului unei funcții

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, pentru comoditatea calculării unor limite, puteți împărți numărătorul la numitor termen cu termen. Și din nou, analizând rezultatele, încercați să desenați un grafic al acestei funcții.

Evident, proprietarii asimptotelor oblice „reale” sunt graficele acelor funcții fracționale-raționale pentru care cel mai înalt grad al numărătorului încă una cel mai înalt grad al numitorului. Dacă mai mult, nu va exista nicio asimptotă oblică (de exemplu, ).

Dar alte miracole se întâmplă în viață:

Exemplul 9

Soluţie: funcţia continuu pe întreaga linie numerică, ceea ce înseamnă că nu există asimptote verticale. Dar pot exista pante. Verificăm:

Îmi amintesc cum am dat peste o funcție similară la universitate și pur și simplu nu-mi venea să cred că are o asimptotă oblică. Până am calculat a doua limită:

Strict vorbind, aici există două incertitudini: și, dar într-un fel sau altul, trebuie să utilizați metoda soluției, care este discutată în exemplele 5-6 ale articolului despre limitele complexității crescute. Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată pentru a utiliza formula:

Răspuns:

Poate cea mai populară asimptotă oblică.

Până acum infinitul a reușit să fie „tăiat cu aceeași perie”, dar se întâmplă ca graficul funcției două diferite asimptote oblice pentru și pentru:

Exemplul 10

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Soluţie: expresia rădăcină este pozitivă, ceea ce înseamnă domeniu- orice număr real și nu pot exista bețe verticale.

Să verificăm dacă există asimptote oblice.

Dacă „x” tinde spre „minus infinit”, atunci:
(când introduceți „x” sub rădăcina pătrată, trebuie să adăugați semnul „minus” pentru a nu pierde numitorul negativ)

Pare neobișnuit, dar aici incertitudinea este „infinitul minus infinitul”. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia adjunctă:

Astfel, linia dreaptă este asimptota oblică a graficului la .

Cu „plus infinit” totul este mai banal:

Iar linia dreaptă - la .

Răspuns:

Dacă ;
, Dacă .

Nu pot rezista imaginii grafice:


Aceasta este una dintre ramuri hiperbolă .

Nu este neobișnuit când prezența potențială a asimptotelor este inițial limitată domeniul de aplicare al funcției:

Exemplul 11

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Soluţie: este evident că , prin urmare, considerăm doar semiplanul drept, unde există un grafic al funcției.

1) Funcție continuu pe intervalul , ceea ce înseamnă că dacă asimptota verticală există, atunci poate fi doar axa y. Studiem comportamentul funcției în apropierea punctului pe dreapta:

Notă, nu există ambiguitate aici(pe astfel de cazuri, atenția a fost concentrată la începutul articolului Metode de soluție limită).

Astfel, linia dreaptă (axa y) este asimptota verticală pentru graficul funcției la .

2) Studiul asimptotei oblice poate fi efectuat conform schemei complete, dar în articol Regulile Lopital am descoperit că o funcție liniară de ordin mai mare de creștere decât una logaritmică, prin urmare: (vezi exemplul 1 din aceeași lecție).

Concluzie: axa absciselor este asimptota orizontală a graficului funcției la .

Răspuns:

Dacă ;
, Dacă .

Desen pentru claritate:

Interesant este că o funcție aparent similară nu are deloc asimptote (cei care doresc pot verifica acest lucru).

Două exemple finale de auto-studiu:

Exemplul 12

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Pentru a testa asimptotele verticale, mai întâi trebuie să găsim domeniul de aplicare al funcției, apoi calculați o pereche de limite unilaterale în puncte „suspecte”. Nici asimptotele oblice nu sunt excluse, deoarece funcția este definită la infinit „plus” și „minus”.

Exemplul 13

Examinați graficul unei funcții pentru asimptote

Și aici pot exista doar asimptote oblice, iar direcțiile ar trebui luate în considerare separat.

Sper că ai găsit asimptotul potrivit =)

Vă doresc succes!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie :
. Să găsim limite unilaterale:

Drept este asimptota verticală a graficului funcției la .
2) Asimptote oblice.

Drept .
Răspuns:

Desen la Exemplul 3:

Exemplul 4:Soluţie :
1) Asimptote verticale. Funcția suferă o întrerupere infinită într-un punct . Să calculăm limitele unilaterale:

Notă: un număr infinitezimal negativ la o putere pare este egal cu un număr infinitezimal pozitiv: .

Drept este asimptota verticală a graficului funcției.
2) Asimptote oblice.


Drept (abscisa) este asimptota orizontală a graficului funcției la .
Răspuns: