Toate formulele pe tema produs scalar al vectorilor. Cum se află produsul scalar al vectorilor. Definirea produsului scalar al vectorilor în termeni de coordonate

Produs scalar vectori (denumite în continuare SP). Dragi prieteni! Examenul de matematică include un grup de probleme pentru rezolvarea vectorilor. Am luat deja în considerare câteva probleme. Le puteți vedea în categoria „Vectori”. În general, teoria vectorilor este simplă, principalul lucru este să o studiezi în mod consecvent. Calculele și acțiunile cu vectori la cursul de matematică din școală sunt simple, formulele nu sunt complicate. Privește în . În acest articol, vom analiza sarcinile legate de joint venture de vectori (incluse în examen). Acum „imersiune” în teorie:

H Pentru a găsi coordonatele unui vector, trebuie să scădeți din coordonatele capătului săucoordonatele corespunzătoare începutului său

Și mai departe:

*Lungimea vectorului (modulul) este definită după cum urmează:

Aceste formule trebuie memorate!!!

Să arătăm unghiul dintre vectori:

Este clar că poate varia de la 0 la 180 0(sau în radiani de la 0 la Pi).

Putem trage câteva concluzii despre semnul produsului scalar. Lungimile vectorilor sunt pozitive, evident. Deci semnul produsului scalar depinde de valoarea cosinusului unghiului dintre vectori.

Cazuri posibile:

1. Dacă unghiul dintre vectori este ascuțit (de la 0 0 la 90 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare pozitivă.

2. Dacă unghiul dintre vectori este obtuz (de la 90 0 la 180 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare negativă.

*La zero grade, adică atunci când vectorii au aceeași direcție, cosinusul este egal cu unu și, în consecință, rezultatul va fi pozitiv.

La 180 o, adică atunci când vectorii au direcții opuse, cosinusul este egal cu minus unu,iar rezultatul va fi negativ.

Acum PUNCT IMPORTANT!

La 90 o, adică atunci când vectorii sunt perpendiculari unul pe altul, cosinusul este zero și, prin urmare, societatea în participație este zero. Acest fapt (consecință, concluzie) este folosit în rezolvarea multor probleme despre care vorbim poziție relativă vectori, inclusiv în sarcinile incluse în banca deschisă de sarcini la matematică.

Formulăm afirmația: produsul scalar este egal cu zero dacă și numai dacă vectorii dați se află pe drepte perpendiculare.

Deci, formulele pentru vectorii SP sunt:

Dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor sau coordonatele punctelor începutului și sfârșitului lor, atunci putem găsi întotdeauna unghiul dintre vectori:

Luați în considerare sarcinile:

27724 Aflați produsul interior al vectorilor a și b .

Putem găsi produsul scalar al vectorilor folosind una dintre cele două formule:

Unghiul dintre vectori este necunoscut, dar putem găsi cu ușurință coordonatele vectorilor și apoi folosim prima formulă. Deoarece începuturile ambilor vectori coincid cu originea, coordonatele acestor vectori sunt egale cu coordonatele capetelor lor, adică

Cum să găsiți coordonatele unui vector este descris în.

Noi calculăm:

Raspuns: 40

Găsiți coordonatele vectorilor și utilizați formula:

Pentru a găsi coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului, ceea ce înseamnă

Calculăm produsul scalar:

Raspuns: 40

Aflați unghiul dintre vectorii a și b. Dați răspunsul în grade.

Fie coordonatele vectorilor să aibă forma:

Pentru a găsi unghiul dintre vectori, folosim formula pentru produsul scalar al vectorilor:

Cosinusul unghiului dintre vectori:

Prin urmare:

Coordonatele acestor vectori sunt:

Să le conectăm la formula:

Unghiul dintre vectori este de 45 de grade.

Raspuns: 45

În cazul unei probleme plane, produsul scalar al vectorilor a = (a x ; a y ) și b = (b x ; b y ) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b = a x b x + a y b y

Formula pentru produsul scalar al vectorilor pentru probleme spațiale

În cazul unei probleme spațiale, produsul scalar al vectorilor a = (a x ; a y ; a z ) și b = (b x ; b y ; b z ) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula produsului punctual a vectorilor n-dimensionali

În cazul unui spațiu n-dimensional, produsul scalar al vectorilor a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) și b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) poate fi găsit folosind urmatoarea formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

1. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este întotdeauna mai mare sau egal cu zero:

2. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu zero dacă și numai dacă vectorul este egal cu vectorul zero:

a a = 0<=>a = 0

3. Produsul scalar al unui vector în sine este egal cu pătratul modulului său:

4. Operația de înmulțire scalară este comunicativă:

5. Dacă produsul scalar a doi vectori nenuli este egal cu zero, atunci acești vectori sunt ortogonali:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operația de înmulțire scalară este distributivă:

(a + b) c = a c + b c

Exemple de sarcini pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemple de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru probleme plane

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2) și b = (4; 8).

Soluţie: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Aflați produsul scalar al vectorilor a și b dacă lungimile lor |a| = 3, |b| = 6, iar unghiul dintre vectori este de 60˚.

Soluţie: a · b = |a| |b| cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

Aflați produsul interior al vectorilor p = a + 3b și q = 5a - 3 b dacă lungimile lor |a| = 3, |b| = 2, iar unghiul dintre vectorii a și b este de 60˚.

Soluţie:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Un exemplu de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru probleme spațiale

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2; -5) și b = (4; 8; 1).

Soluţie: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Un exemplu de calcul al produsului scalar pentru vectori n-dimensionali

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2; -5; 2) și b = (4; 8; 1; -2).

Soluţie: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Produsul încrucișat al vectorilor și al unui vector se numește al treilea vector , definit după cum urmează:

2) perpendicular, perpendicular. (1"")

3) vectorii sunt orientați în același mod ca baza întregului spațiu (pozitiv sau negativ).

Desemna: .

sens fizic produs vectorial

este momentul forței relativ la punctul O; este raza este vectorul punctului de aplicare a forței, atunci

în plus, dacă este transferat în punctul O, atunci triplul trebuie să fie orientat ca vector al bazei.

1. Definiție și proprietăți simple. Să luăm vectori nenuli a și b și să-i lăsăm deoparte de un punct arbitrar O: OA = a și OB = b. Valoarea unghiului AOB se numește unghiul dintre vectorii a și b și se notează (a,b). Dacă cel puțin unul dintre cei doi vectori este zero, atunci unghiul dintre ei, prin definiție, este considerat drept. Rețineți că, prin definiție, unghiul dintre vectori este cel puțin 0 și cel mult . Mai mult, unghiul dintre doi vectori nenuli este egal cu 0 dacă și numai dacă acești vectori sunt codirecționali și egali cu dacă și numai dacă sunt în direcții opuse.

Să verificăm că unghiul dintre vectori nu depinde de alegerea punctului O. Acest lucru este evident dacă vectorii sunt coliniari. În caz contrar, lăsăm deoparte un punct arbitrar O 1 vectorii O 1 A 1 = a și o 1 ÎN 1 = b și rețineți că triunghiurile AOB și A 1 DESPRE 1 ÎN 1 sunt egale pe trei laturi, deoarece |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 ÎN 1 | = |b|, |AB| = |A 1 ÎN 1 | = |b–а|. Prin urmare, unghiurile AOB și A 1 DESPRE 1 ÎN 1 sunt egale.

Acum putem da principalul lucru în acest paragraf

(5.1) Definiție. Produsul scalar a doi vectori a și b (notat cu ab) este numărul 6 , egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre vectori. Pe scurt vorbind:

ab = |a||b|cos (a,b).

Operația de găsire a produsului scalar se numește înmulțire scalară a vectorilor. Produsul scalar aa al unui vector cu el însuși se numește pătratul scalar al acestui vector și se notează cu a 2 .

(5.2) Pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii acestuia.

 Dacă |a|  0, atunci (a,a) = 0, de unde a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Dacă a = 0, atunci a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Inegalitatea lui Cauchy. Modulul produsului scalar a doi vectori nu depășește produsul modulelor factorilor: |ab| |a||b|. În acest caz, egalitatea se realizează dacă și numai dacă vectorii a și b sunt coliniari.

 Prin definiție |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Acest lucru demonstrează însăși inegalitatea Cauchy. Acum să observăm. că pentru vectorii nenuli a și b egalitatea în ea se realizează dacă și numai dacă |cos (a,b)| = 1, adică la (a,b) = 0 sau (a,b) =  . Acesta din urmă este echivalent cu faptul că vectorii a și b sunt co-direcționați sau direcționați opus, adică. coliniare. Dacă cel puțin unul dintre vectorii a și b este zero, atunci ei sunt coliniari și |ab| = |a||b| = 0. 

2. Proprietăţile de bază ale înmulţirii scalare. Acestea includ următoarele:

(CS1) ab = ba (comutativitate);

(CS2) (xa)b = x(ab) (asociativitate);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (distributivitate).

Comutativitatea aici este evidentă, deoarece ab =  ba. Asociativitatea pentru x = 0 este, de asemenea, evidentă. Dacă x > 0 atunci

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

pentru (xa, b) = (a,b) (din codirecția vectorilor xa și a - Fig. 21). Dacă x< 0, atunci

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

pentru (xa, b) = –  (a,b) (din sensul invers al vectorilor xa și a - Fig.22). Astfel, asociativitatea este și ea dovedită.

Demonstrarea distributivității este mai dificilă. Pentru asta avem nevoie de așa ceva

(5.4) Lema. Fie a un vector diferit de zero paralel cu dreapta l iar b un vector arbitrar. Apoi proiecția ortogonalăb" a vectorului b la dreapta l este egal cu
.



Dacă b = 0, atuncib" = 0 și ab = 0, astfel încât în acest caz lema este adevărată. În cele ce urmează, vom presupune că vectorul b" este diferit de zero. În acest caz, dintr-un punct arbitrar O al dreptei l, lăsăm deoparte vectorii OA = a și OB = b și, de asemenea, aruncăm perpendiculara BB "de la punctul B la dreapta l. Prin definițieOB" = b" Și (a,b) =  AOW. Denota AOB prin și demonstrați lema separat pentru fiecare dintre următoarele trei cazuri:

1)  <  /2. Atunci vectorii a și co-regizat (Fig. 23) și

b" = =
=
.

2)  >  /2 . Atunci vectorii a șib„direcționată opus (Fig. 24) și

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Apoib" = 0 și ab = 0, de undeb" =
= 0. 

Demonstrăm acum distributivitatea lui (CS3). Este evident dacă vectorul a este zero. Lasă a  0. Apoi trageți o linie l || a, și notează prinb" Șic" proiecții ortogonale ale vectorilor b și c pe ea și prind" să fie proiecția ortogonală a vectorului d = b + c pe acesta. Prin teorema 3.5d" = b"+ c„. Aplicând Lema 5.4 la ultima egalitate, obținem egalitatea
=
. Înmulțind scalar cu a, aflăm că 2 =
, de unde ad = ab+ac, ceea ce urma să fie demonstrat.

Proprietățile înmulțirii scalare a vectorilor demonstrate de noi sunt similare proprietăților corespunzătoare de înmulțire a numerelor. Dar nu toate proprietățile înmulțirii numerelor sunt transferate la înmulțirea scalară a vectorilor. Iată exemple tipice:

) Dacă ab = 0, atunci aceasta nu înseamnă că a = 0 sau b = 0. Exemplu: doi vectori nenuli care formează un unghi drept.

2) Dacă ab = ac, atunci aceasta nu înseamnă că b = c, chiar dacă vectorul a este diferit de zero. Exemplu: b și c sunt doi vectori diferiți de aceeași lungime, formând unghiuri egale cu vectorul a (Fig. 25).

3) Nu este adevărat că întotdeauna a(bc) = (ab)c: fie doar pentru că validitatea unei asemenea egalități pentru bc, ab 0 implică faptul că vectorii a și c sunt coliniari.

3. Ortogonalitatea vectorilor. Doi vectori sunt numiți ortogonali dacă unghiul dintre ei este drept. Ortogonalitatea vectorilor este indicată de pictogramă .

Când am definit unghiul dintre vectori, am convenit să considerăm unghiul dintre vectorul zero și orice alt vector ca o linie dreaptă. Prin urmare, vectorul zero este ortogonal cu oricare. Acest acord ne permite să dovedim acest lucru

(5.5) Semnul ortogonalității a doi vectori. Doi vectori sunt ortogonali dacă și numai dacă produsul lor punctual este 0.

 Fie a și b vectori arbitrari. Dacă cel puțin unul dintre ele este zero, atunci ele sunt ortogonale, iar produsul lor scalar este egal cu 0. Astfel, în acest caz teorema este adevărată. Să presupunem acum că ambii vectori dați sunt nenuli. Prin definiție, ab = |a||b|cos (a,b). Deoarece prin presupunerea noastră numerele |a| și |b| nu sunt egale cu 0, atunci ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, care urma să fie dovedit.

Egalitatea ab = 0 este adesea luată ca definiție a ortogonalității vectorilor.

(5.6) Corolar. Dacă vectorul a este ortogonal cu fiecare dintre vectorii a 1 , …, A P , atunci este, de asemenea, ortogonal cu oricare dintre combinațiile lor liniare.

 Este suficient de observat că din egalitatea aa 1 = … = aa P = 0 implică egalitatea a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (Ah 1 ) + … + x P (Ah P ) = 0. 

Din Corolarul 5.6 este ușor de derivat criteriul școlar pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. Într-adevăr, să fie o dreaptă MN perpendiculară pe două drepte care se intersectează AB și AC. Atunci vectorul MN este ortogonal cu vectorii AB și AC. Să luăm orice linie dreaptă DE în planul ABC. Vectorul DE este coplanar cu vectorii necoliniari AB și AC și, prin urmare, se extinde în ei. Dar atunci este și ortogonală cu vectorul MN, adică dreptele MN și DE sunt perpendiculare. Rezultă că dreapta MN este perpendiculară pe orice dreaptă din planul ABC, ceea ce urma să fie demonstrat.

4. Baze ortonormale. (5.7) Definiție. O bază a unui spațiu vectorial se spune că este ortonormală dacă, în primul rând, toți vectorii săi au lungimea unitară și, în al doilea rând, oricare doi dintre vectorii săi sunt ortogonali.

Vectorii unei baze ortonormale în spațiul tridimensional sunt de obicei notați cu literele i, j și k, iar pe planul vectorial cu literele i și j. Luând în considerare semnul de ortogonalitate a doi vectori și egalitatea pătratului scalar al unui vector cu pătratul lungimii acestuia, condițiile de ortonormalitate pentru baza (i,j,k) spațiului V 3 se poate scrie asa:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

și baza (i,j) a planului vectorial după cum urmează:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Fie vectorii a și b să aibă în baza ortonormală (i,j,k) spațiile V 3 coordonate (a 1 , A 2 , A 3 ) și (b 1 b 2 ,b 3 ) respectiv. Apoiab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Acesta este modul în care formula pentru produsul scalar al vectorilor a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) și b(b 1 ,b 2 ,b 3 ) date de coordonatele lor în baza ortonormală a spațiului V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

Pentru vectorii a(a 1 ,A 2 ) și b(b 1 ,b 2 ) dat de coordonatele lor în bază ortonormală pe planul vectorial, are forma

(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .

Să substituim b = a în formula (5.10). Rezultă că în baza ortonormală a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Pentru că a 2 = |a| 2 , obținem o astfel de formulă pentru a afla lungimea vectorului a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) definit de coordonatele sale în baza ortonormală a spațiului V 3 :

(5.12) |a| =
.

Pe planul vectorial, în virtutea (5.11), ia forma

(5.13) |a| =
.

Înlocuind b = i, b = j, b = k în formula (5.10), obținem încă trei egalități utile:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Simplitatea formulelor de coordonate pentru găsirea produsului scalar al vectorilor și lungimea vectorului este principalul avantaj al bazelor ortonormale. Pentru baze non-ortonormale, aceste formule sunt, în general, incorecte, iar aplicarea lor în acest caz este o greșeală gravă.

5. Cosinusuri de direcție. Luați pe o bază ortonormală (i,j,k) spațiile V 3 vectorul a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Apoiai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Pe de altă parte, ai = a 1 conform formulei 5.14. Se pare că

(5.15) a 1 = |a|cos (a, i).

si, la fel,

A 2 = |a|cos (a,j) și 3 = |a|cos (a, k).

Dacă vectorul a este unitate, aceste trei egalități iau o formă deosebit de simplă:

(5.16) A 1 = cos (a, i),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Cosinusurile unghiurilor formate de un vector cu vectorii unei baze ortonormale se numesc cosinusuri de direcție ale acestui vector în baza dată. După cum arată formulele 5.16, coordonatele unui vector unitar pe o bază ortonormală sunt egale cu cosinusurile direcției sale.

Din 5.15 rezultă că a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Pe de altă parte, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Se pare că

(5.17) suma cosinusurilor direcției pătrate ale unui vector diferit de zero este egală cu 1.

Acest fapt este util pentru rezolvarea unor probleme.

(5.18) Problemă. Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular se formează cu două dintre marginile sale ies din aceleași unghiuri de vârf de 60 . Ce unghi formează cu a treia muchie care iese din acest vârf?

 Luați în considerare o bază ortonormală a spațiului V 3 , ai cărui vectori sunt reprezentați de muchiile paralelipipedului care ies din vârful dat. Deoarece vectorul diagonal formează unghiuri de 60 cu doi vectori ai acestei baze , pătratele a două dintre cosinusurile sale de trei direcții sunt egale cu cos 2 60  = 1/4. Prin urmare, pătratul celui de-al treilea cosinus este 1/2, iar acest cosinus în sine este 1/
. Deci unghiul dorit este de 45 . 

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori dați $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$. Să lăsăm deoparte vectorii $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ și $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dintr-un punct ales arbitrar $O$, apoi se numește unghiul $AOB$ unghiul dintre vectorii $\overrightarrow( a)$ și $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Poza 1.

Rețineți că dacă vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt codirecționali sau unul dintre ei este un vector zero, atunci unghiul dintre vectori este egal cu $0^0$.

Notație: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Conceptul de produs scalar al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul scalar poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori va fi un vector zero (De atunci lungimea lui este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $cos(90)^0=0$).

De asemenea, rețineți că produsul interior este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Conceptul de pătrat scalar este legat de conceptul de produs scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al vectorului $\overrightarrow(a)$ este produsul scalar al acestui vector cu el însuși.

Obținem că pătratul scalar este

Calculul produsului scalar prin coordonatele vectorilor

Pe lângă modalitatea standard de găsire a valorii produsului punctual, care rezultă din definiție, există o altă modalitate.

Să luăm în considerare.

Fie vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ să aibă coordonatele $\left(a_1,b_1\right)$ și, respectiv, $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă are mai multe implicații:

Corolarul 1: Vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $a_1a_2+b_1b_2=0$

Corolarul 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $k$, următorul lucru este adevărat:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

legea deplasării:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Această proprietate rezultă din definiția produsului interior (Definiția 1).

Legea distributivă:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Legea combinației:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul interior al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ dacă $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ și $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, iar unghiul dintre ele este $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Soluţie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pentru $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pentru $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pentru $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dreapta)=-3\sqrt(2)\]

Dacă în problemă atât lungimile vectorilor, cât și unghiul dintre ei sunt prezentate „pe un platou de argint”, atunci starea problemei și soluția ei arată astfel:

Exemplul 1 Se dau vectori. Aflați produsul scalar al vectorilor dacă lungimile lor și unghiul dintre ei sunt reprezentate de următoarele valori:

Este valabilă și o altă definiție, care este complet echivalentă cu definiția 1.

Definiția 2. Produsul scalar al vectorilor este un număr (scalar) egal cu produsul dintre lungimea unuia dintre acești vectori și proiecția unui alt vector pe axa determinată de primul dintre acești vectori. Formula conform definiției 2:

Vom rezolva problema folosind această formulă după următorul punct teoretic important.

Definirea produsului scalar al vectorilor în termeni de coordonate

Același număr poate fi obținut dacă vectorii înmulțiți sunt dați de coordonatele lor.

Definiția 3. Produsul scalar al vectorilor este numărul egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective.

La suprafață

Dacă doi vectori și în plan sunt definiți de cei doi ai lor coordonate carteziene

atunci produsul scalar al acestor vectori este egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor lor respective:

Exemplul 2 Aflați valoarea numerică a proiecției vectorului pe axa paralelă cu vectorul.

Soluţie. Găsim produsul scalar al vectorilor adunând produsele pe perechi ale coordonatelor lor:

Acum trebuie să echivalăm produsul scalar rezultat cu produsul dintre lungimea vectorului și proiecția vectorului pe o axă paralelă cu vectorul (în conformitate cu formula).

Găsim lungimea vectorului ca Rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale:

Scrieți o ecuație și rezolvați-o:

Răspuns. Valoarea numerică dorită este minus 8.

In spatiu

Dacă doi vectori și în spațiu sunt definiți prin cele trei coordonate dreptunghiulare carteziene ale acestora

atunci produsul scalar al acestor vectori este, de asemenea, egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective, doar că există deja trei coordonate:

Sarcina de a găsi produsul scalar în modul considerat este după analiza proprietăților produsului scalar. Deoarece în sarcină va fi necesar să se determine ce unghi formează vectorii înmulțiți.

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

Proprietăți algebrice

1. (comutativitate: valoarea produsului lor scalar nu se modifică de la schimbarea locurilor vectorilor înmulțiți).

2. (proprietate asociativă în raport cu un factor numeric: produsul scalar al unui vector înmulțit cu un factor și un alt vector este egal cu produsul scalar al acestor vectori înmulțit cu același factor).

3. (proprietate distributivă în raport cu suma vectorilor: produsul scalar al sumei a doi vectori cu al treilea vector este egal cu suma produselor scalare ale primului vector cu al treilea vector și al doilea cu al treilea vector).

4. (pătratul scalar al unui vector mai mare decât zero) dacă este un vector diferit de zero și , dacă este un vector zero.

Proprietăți geometrice

În definițiile operației studiate, am atins deja conceptul de unghi între doi vectori. Este timpul să clarificăm acest concept.

În figura de mai sus, sunt vizibili doi vectori, care sunt aduși la un început comun. Și primul lucru la care trebuie să acordați atenție: există două unghiuri între acești vectori - φ 1 Și φ 2 . Care dintre aceste unghiuri apare în definițiile și proprietățile produsului scalar al vectorilor? Suma unghiurilor considerate este 2 π și prin urmare cosinusurile acestor unghiuri sunt egale. Definiția produsului punctual include doar cosinusul unghiului, nu și valoarea expresiei acestuia. Dar numai un colț este luat în considerare în proprietăți. Și acesta este cel din cele două unghiuri care nu depășește π adică 180 de grade. Acest unghi este prezentat în figură ca φ 1 .

1. Se numesc doi vectori ortogonală Și unghiul dintre acești vectori este drept (90 de grade sau π /2 ) dacă produsul scalar al acestor vectori este zero :

Ortogonalitatea în algebra vectorială este perpendicularitatea a doi vectori.

2. Doi vectori nenuli alcătuiesc colt ascutit (de la 0 la 90 de grade sau, ceea ce este același, mai puțin π produsul punctual este pozitiv .

3. Doi vectori nenuli alcătuiesc unghi obtuz (de la 90 la 180 de grade sau, ceea ce este același - mai mult π /2 ) dacă și numai dacă produsul punctual este negativ .

Exemplul 3 Vectorii sunt dați în coordonate:

Calculați produsele punctuale ale tuturor perechilor de vectori dați. Ce unghi (acut, drept, obtuz) formează aceste perechi de vectori?

Soluţie. Vom calcula prin adăugarea produselor coordonatelor corespunzătoare.

Avem un număr negativ, deci vectorii formează un unghi obtuz.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Avem zero, deci vectorii formează un unghi drept.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Exemplul 4 Având în vedere lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei:

Determinați la ce valoare a numărului vectorii și sunt ortogonali (perpendiculari).

Soluţie. Înmulțim vectorii după regula înmulțirii polinoamelor:

Acum să calculăm fiecare termen:

Să compunem o ecuație (egalitatea produsului la zero), să dăm termeni similari și să rezolvăm ecuația:

Răspuns: am primit valoarea λ = 1,8 , la care vectorii sunt ortogonali.

Exemplul 5 Demonstrați că vectorul ortogonal (perpendicular) pe vector

Soluţie. Pentru a verifica ortogonalitatea, înmulțim vectorii și ca polinoame, înlocuind expresia dată în condiția problemei în loc de ea:

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare termen (termen) al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea și să adăugați produsele rezultate:

Ca urmare, fracția datorată este redusă. Se obtine urmatorul rezultat:

Concluzie: ca urmare a înmulțirii, am obținut zero, prin urmare, se dovedește ortogonalitatea (perpendicularitatea) vectorilor.

Rezolvați singur problema și apoi vedeți soluția

Exemplul 6 Având în vedere lungimile vectorilor și , și unghiul dintre acești vectori este π /4 . Stabiliți la ce valoare μ vectori și sunt reciproc perpendiculare.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Reprezentarea matricială a produsului scalar al vectorilor și produsul vectorilor n-dimensionali

Uneori, pentru claritate, este avantajos să se reprezinte doi vectori multiplicați sub formă de matrice. Apoi, primul vector este reprezentat ca o matrice de rând, iar al doilea - ca o matrice de coloană:

Atunci produsul scalar al vectorilor va fi produsul acestor matrici :

Rezultatul este același cu cel obținut prin metoda pe care am considerat-o deja. Avem un singur număr, iar produsul rândului-matrice de coloana-matrice este, de asemenea, un singur număr.

În formă de matrice, este convenabil să se reprezinte produsul vectorilor abstracti n-dimensionali. Astfel, produsul a doi vectori quadridimensionali va fi produsul unei matrice rând cu patru elemente cu o matrice coloană tot cu patru elemente, produsul a doi vectori cincidimensionali va fi produsul unei matrice rând cu cinci elemente prin o matrice de coloană, de asemenea, cu cinci elemente și așa mai departe.

Exemplul 7 Găsiți produse punctuale ale perechilor de vectori

folosind reprezentarea matricială.

Soluţie. Prima pereche de vectori. Reprezentăm primul vector ca o matrice de rând, iar al doilea ca o matrice de coloană. Găsim produsul scalar al acestor vectori ca produs al matricei de rând cu matricea coloanei:

În mod similar, reprezentăm a doua pereche și găsim:

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași ca pentru aceleași perechi din exemplul 2.

Unghiul dintre doi vectori

Derivarea formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori este foarte frumoasă și concisă.

Pentru a exprima produsul scalar al vectorilor

(1)

V forma de coordonate, mai întâi găsim produsul scalar al orts. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este prin definiție:

Ceea ce este scris în formula de mai sus înseamnă: produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu pătratul lungimii acestuia. Cosinusul lui zero este egal cu unu, deci pătratul fiecărei orte va fi egal cu unu: