Distanța de la punctul c la dreapta AB. Determină distanța de la un punct la o dreaptă. Poziția relativă a două linii drepte

Acest articol vorbește despre subiect « distanța de la punct la linie », se ia în considerare determinarea distanței de la un punct la o linie dreaptă cu exemple ilustrate prin metoda coordonatelor. Fiecare bloc al teoriei de la sfârșit a arătat exemple de rezolvare a unor probleme similare.

Distanța de la un punct la o dreaptă se găsește prin definiția distanței de la un punct la un punct. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să existe o dreaptă a și un punct M 1 care nu aparține unei drepte date. Trageți linia b prin ea, care este perpendiculară pe dreapta a. Punctul de intersecție al liniilor este luat ca H 1. Obținem că M 1 H 1 este perpendiculară, care a fost coborâtă din punctul M 1 până la linia a.

Definiția 1

Distanța de la punctul М 1 la linia a numită distanța dintre punctele M 1 și H 1.

Există înregistrări de definiție cu figura lungimii perpendicularei.

Definiția 2

Distanța de la punct la linie este lungimea perpendicularei trasate de la un punct dat la o dreaptă dată.

Definițiile sunt echivalente. Luați în considerare figura de mai jos.

Se știe că distanța de la un punct la o linie dreaptă este cea mai mică dintre toate posibilele. Să vedem un exemplu.

Dacă luăm un punct Q așezat pe dreapta a, care nu coincide cu punctul M 1, atunci obținem că segmentul M 1 Q se numește înclinat, căzut de la M 1 la linia a. Este necesar să se indice că perpendiculara din punctul M 1 este mai mică decât orice altă linie înclinată trasată de la punct la linie.

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare un triunghi M 1 Q 1 H 1, unde M 1 Q 1 este hipotenuza. Se știe că lungimea sa este întotdeauna mai mare decât lungimea oricărui picior. Avem acel M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Datele inițiale pentru găsirea de la un punct la o linie dreaptă vă permit să utilizați mai multe metode de soluție: prin teorema lui Pitagora, determinarea sinusului, cosinusului, tangentei unui unghi și altele. Majoritatea sarcinilor de acest tip sunt rezolvate la școală în lecții de geometrie.

Când, când găsiți distanța de la un punct la o linie dreaptă, puteți introduce un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci se utilizează metoda de coordonate. În acest paragraf, vom lua în considerare principalele două metode pentru a găsi distanța dorită de la un punct dat.

Prima metodă implică găsirea distanței ca perpendiculară trasată de la M 1 la dreapta a. În a doua metodă, ecuația normală a liniei drepte a este utilizată pentru a găsi distanța dorită.

Dacă există un punct pe plan cu coordonatele M 1 (x 1, y 1) situat într-un sistem de coordonate dreptunghiular, dreapta a și trebuie să găsiți distanța M 1 H 1, puteți calcula în două moduri. Să le luăm în considerare.

Prima cale

Dacă există coordonate ale punctului H 1 egale cu x 2, y 2, atunci distanța de la punct la linia dreaptă este calculată de coordonatele din formula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Acum să trecem la găsirea coordonatelor punctului H 1.

Se știe că o dreaptă în O x y corespunde ecuației unei drepte pe un plan. Să luăm o modalitate de a specifica o dreaptă a prin scrierea ecuației generale a unei linii drepte sau a unei ecuații cu o pantă. Compunem ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe dreapta dată a. Linia dreaptă va fi notată cu fag b. H 1 este punctul de intersecție al liniilor a și b, ceea ce înseamnă că pentru a determina coordonatele, trebuie să utilizați articolul, care se ocupă cu coordonatele punctelor de intersecție a două linii.

Se poate observa că algoritmul pentru găsirea distanței de la un punct dat M 1 (x 1, y 1) la o dreaptă a se realizează în funcție de punctele:

Definiție 3

• găsirea ecuației generale a dreptei a, având forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, sau o ecuație cu o pantă, având forma y \u003d k 1 x + b 1;
• obținerea ecuației generale a dreptei b, având forma A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 sau o ecuație cu panta y \u003d k 2 x + b 2, dacă dreapta b intersectează punctul M 1 și este perpendiculară pe dreapta dată a;
• determinarea coordonatelor x 2, y 2 ale punctului H 1, care este punctul de intersecție a și b, pentru aceasta sistemul este rezolvat ecuatii lineare A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 sau y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• calculând distanța necesară de la un punct la o dreaptă utilizând formula M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

A doua cale

Teorema poate ajuta la răspunsul la întrebarea de a găsi distanța de la un punct dat la o dreaptă dată pe un plan.

Teorema

Sistemul de coordonate dreptunghiulare are O x y are un punct M 1 (x 1, y 1), din care se trage o dreaptă a în plan, dată de ecuația normală a planului, care are forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, egal cu la modulul valorii obținute pe partea stângă a ecuației normale a liniei drepte, calculată la x \u003d x 1, y \u003d y 1, înseamnă că M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

Dovezi

Linia a corespunde ecuației normale a planului, care are forma cos α x + cos β y - p \u003d 0, atunci n → \u003d (cos α, cos β) este considerat vectorul normal al liniei a la o distanță de la origine la linia a cu p unități ... Este necesar să se afișeze toate datele din figură, să se adauge un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1), unde vectorul de rază al punctului M 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). Este necesar să trasăm o linie dreaptă de la un punct la o dreaptă, pe care o notăm cu M 1 H 1. Este necesar să se arate proiecțiile М 2 și Н 2 ale punctelor М 1 și Н 2 pe o linie dreaptă care trece prin punctul O cu un vector de direcție de forma n → \u003d (cos α, cos β), iar proiecția numerică a vectorului este notată ca OM 1 → \u003d (x 1, y 1) în direcția n → \u003d (cos α, cos β) ca npn → OM 1 →.

Variațiile depind de locația punctului M 1 în sine. Luați în considerare în figura de mai jos.

Rezolvăm rezultatele folosind formula M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. Apoi reducem egalitatea la această formă M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p pentru a obține n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1.

Produsul scalar al vectorilor, ca rezultat, dă o formulă transformată de forma n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 →, care este un produs în formă coordonată a formei n →, OM 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. Prin urmare, obținem că n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. Rezultă că M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p. Teorema este dovedită.

Pentru a găsi distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1) la linia dreaptă a din plan, trebuie să efectuați mai multe acțiuni:

Definiția 4

• obținerea ecuației normale a dreptei a cos α x + cos β y - p \u003d 0, cu condiția să nu fie în sarcină;
• calculul expresiei cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, unde valoarea obținută ia M 1 H 1.

Să aplicăm aceste metode pentru rezolvarea problemelor cu găsirea distanței de la un punct la un plan.

Exemplul 1

Găsiți distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 1, 2) până la linia 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

Decizie

Să aplicăm prima metodă de rezolvat.

Pentru a face acest lucru, este necesar să se găsească ecuația generală a dreptei b, care trece printr-un punct dat M 1 (- 1, 2), perpendicular pe dreapta 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Se poate vedea din condiția că linia b este perpendiculară pe linia a, atunci vectorul său de direcție are coordonate egale cu (4, - 3). Astfel, avem ocazia să scriem ecuația canonică a dreptei b pe plan, deoarece există coordonatele punctului M 1, aparține liniei drepte b. Determinați coordonatele vectorului de direcție ale dreptei b. Obținem x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. Ecuația canonică rezultată trebuie transformată în cea generală. Atunci obținem asta

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Să găsim coordonatele punctelor de intersecție ale liniilor drepte, pe care le vom lua ca denumire H 1. Transformările arată astfel:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Din cele de mai sus, avem că coordonatele punctului H 1 sunt (- 5; 5).

Este necesar să se calculeze distanța de la punctul M 1 la linia a. Avem că coordonatele punctelor M 1 (- 1, 2) și H 1 (- 5, 5), apoi înlocuim în formula pentru găsirea distanței și obținem că

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

A doua soluție.

Pentru a rezolva într-un alt mod, este necesar să se obțină ecuația normală a liniei. Evaluează factorul de normalizare și înmulțește ambele părți ale ecuației 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Din aceasta obținem că factorul de normalizare este - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, iar ecuația normală va avea forma - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Conform algoritmului de calcul, este necesar să se obțină ecuația normală a liniei drepte și să se calculeze cu valorile x \u003d - 1, y \u003d 2. Atunci obținem asta

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

Prin urmare, obținem că distanța de la punctul M 1 (- 1, 2) la linia dreaptă dată 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 are valoarea - 5 \u003d 5.

Răspuns: 5 .

Se poate vedea că în această metodă este important să se utilizeze ecuația normală a unei linii drepte, deoarece această metodă este cea mai scurtă. Dar prima metodă este convenabilă prin aceea că este consecventă și logică, deși are mai multe puncte de calcul.

Exemplul 2

Pe plan există un sistem de coordonate dreptunghiulare O x y cu un punct M 1 (8, 0) și o dreaptă y \u003d 1 2 x + 1. Găsiți distanța de la un punct dat la o linie dreaptă.

Decizie

Soluția implică în primul rând aducerea ecuației date cu panta la ecuația generală. Pentru simplitate, o puteți face diferit.

Dacă produsul pantei liniilor perpendiculare are o valoare de - 1, atunci panta liniei perpendiculare pe y \u003d 1 2 x + 1 este 2. Acum obținem ecuația liniei drepte care trece prin punctul cu coordonatele M 1 (8, 0). Avem că y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Trecem la găsirea coordonatelor punctului H 1, adică a punctelor de intersecție y \u003d - 2 x + 16 și y \u003d 1 2 x + 1. Compunem un sistem de ecuații și obținem:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Rezultă că distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (8, 0) la linia dreaptă y \u003d 1 2 x + 1 este egală cu distanța de la punctul de pornire și punctul final cu coordonatele M 1 (8, 0) și H 1 (6, 4) ... Calculăm și obținem că M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Soluția în al doilea mod este de a trece de la o ecuație cu un coeficient la forma sa normală. Adică, obținem y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, atunci valoarea factorului de normalizare va fi - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. Rezultă că ecuația normală a liniei ia forma - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Să facem un calcul de la punctul M 1 8, 0 la o linie dreaptă a formei - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Primim:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Răspuns: 2 5 .

Exemplul 3

Este necesar să se calculeze distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (- 2, 4) la liniile drepte 2 x - 3 \u003d 0 și y + 1 \u003d 0.

Decizie

Obținem ecuația formei normale a dreptei 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Apoi procedăm la calcularea distanței de la punctul M 1 - 2, 4 la linia dreaptă x - 3 2 \u003d 0. Primim:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Ecuația dreptei y + 1 \u003d 0 are un factor de normalizare de -1. Aceasta înseamnă că ecuația va lua forma - y - 1 \u003d 0. Trecem la calcularea distanței de la punctul M 1 (- 2, 4) la linia dreaptă - y - 1 \u003d 0. Obținem că este egal cu - 4 - 1 \u003d 5.

Răspuns: 3 1 2 și 5.

Luați în considerare în detaliu constatarea distanței de la un punct dat al planului la axele de coordonate O x și O y.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, axa O y are o ecuație de linie dreaptă care este incompletă și are forma x \u003d 0 și O x - y \u003d 0. Ecuațiile sunt normale pentru axele de coordonate, atunci trebuie să găsiți distanța de la punctul cu coordonatele M 1 x 1, y 1 la linii drepte. Aceasta se face pe baza formulelor M 1 H 1 \u003d x 1 și M 1 H 1 \u003d y 1. Luați în considerare în figura de mai jos.

Exemplul 4

Găsiți distanța de la punctul M 1 (6, - 7) la liniile de coordonate situate în planul O x y.

Decizie

Deoarece ecuația y \u003d 0 se referă la linia dreaptă O x, puteți găsi distanța de la M 1 cu coordonatele date la această linie dreaptă folosind formula. Obținem acel 6 \u003d 6.

Deoarece ecuația x \u003d 0 se referă la dreapta O y, atunci puteți găsi distanța de la M 1 la această dreaptă folosind formula. Apoi obținem că - 7 \u003d 7.

Răspuns:distanța de la M 1 la O x este 6, iar de la M 1 la O y este 7.

Când în spațiul tridimensional avem un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1), este necesar să se găsească distanța de la punctul A la dreapta a.

Luați în considerare două metode care vă permit să calculați distanța de la un punct la o dreaptă a situată în spațiu. Primul caz are în vedere distanța de la punctul M 1 la linia dreaptă, unde punctul de pe linia dreaptă se numește H 1 și este baza perpendicularei trasate de la punctul M 1 la linia dreaptă a. Al doilea caz sugerează că punctele acestui plan trebuie căutate ca înălțimea paralelogramului.

Prima cale

Din definiție avem că distanța de la punctul M 1, situat pe linia dreaptă a, este lungimea perpendicularei M 1 H 1, atunci obținem că cu coordonatele găsite ale punctului H 1, atunci găsim distanța dintre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) și H 1 (x 1, y 1, z 1), pe baza formulei M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Obținem că întreaga soluție merge pentru a găsi coordonatele bazei perpendicularei trase de la М 1 la linia a. Acest lucru se face după cum urmează: H 1 este punctul în care dreapta a se intersectează cu planul care trece prin punctul dat.

Prin urmare, algoritmul pentru determinarea distanței de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la linia a din spațiu implică mai multe puncte:

Definiția 5

• trasarea ecuației planului as ca ecuația planului care trece printr-un punct dat care este perpendicular pe linia dreaptă;
• determinarea coordonatelor (x 2, y 2, z 2) aparținând punctului H 1, care este punctul de intersecție a dreptei a și a planului χ;
• calculând distanța de la un punct la o dreaptă folosind formula M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

A doua cale

Din condiția în care avem o dreaptă a, atunci putem determina vectorul de direcție a → \u003d a x, a y, a z cu coordonatele x 3, y 3, z 3 și un anumit punct M 3 aparținând dreptei a. Dacă există coordonatele punctelor M 1 (x 1, y 1) și M 3 x 3, y 3, z 3, puteți calcula M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Este necesar să amânați vectorii a → \u003d a x, a y, a z și M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 din punctul M 3, conectați și obțineți o cifră paralelogramă. M 1 H 1 este înălțimea paralelogramului.

Luați în considerare în figura de mai jos.

Avem că înălțimea M 1 H 1 este distanța dorită, atunci este necesar să o găsim după formulă. Adică căutăm M 1 H 1.

Notăm aria paralelogramului pentru litera S, se găsește prin formula folosind vectorul a → \u003d (a x, a y, a z) și M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula ariei este S \u003d a → × M 3 M 1 →. De asemenea, aria figurii este egală cu produsul lungimilor laturilor sale de înălțime, obținem că S \u003d a → M 1 H 1 cu a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, care este lungimea vectorului a → \u003d (ax, ay, az), care este egal cu latura paralelogramului. Prin urmare, M 1 H 1 este distanța de la un punct la o linie. Se găsește prin formula M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Pentru a găsi distanța de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la o linie dreaptă a în spațiu, trebuie să efectuați mai mulți pași ai algoritmului:

Definiția 6

• determinarea vectorului director al dreptei a - a → \u003d (a x, a y, a z);
• calcularea lungimii vectorului de direcție a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• obținerea coordonatelor x 3, y 3, z 3 aparținând punctului M 3, situat pe linia dreaptă a;
• calculul coordonatelor vectorului M 3 M 1 →;
• găsirea produsului vectorial al vectorilor a → (ax, ay, az) și M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ca a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pentru a obține lungimea prin formula a → × M 3 M 1 →;
• calculând distanța de la un punct la o dreaptă M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Rezolvarea problemelor la găsirea distanței de la un punct dat la o linie dreaptă dată în spațiu

Exemplul 5

Găsiți distanța de la punctul cu coordonatele M 1 2, - 4, - 1 la linia x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

Decizie

Prima metodă începe cu scrierea ecuației planului χ care trece prin M 1 și perpendicular pe set point... Obținem o expresie a formei:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Este necesar să se găsească coordonatele punctului H 1, care este punctul de intersecție cu planul χ cu linia specificată de condiție. Ar trebui să treci de la canonic la cel care se intersectează. Apoi obținem un sistem de ecuații de formă:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Este necesar să se calculeze sistemul x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 conform metodei lui Cramer, atunci obținem că:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Prin urmare, avem acel H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

A doua modalitate este de a începe prin a căuta coordonate în ecuație canonică... Pentru a face acest lucru, trebuie să acordați atenție numitorilor fracției. Atunci a → \u003d 2, - 1, 5 este vectorul de direcție al liniei x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. Este necesar să se calculeze lungimea prin formula a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

Este clar că linia x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 intersectează punctul M 3 (- 1, 0, - 5), deci avem vectorul cu originea M 3 (- 1, 0, - 5) iar capătul său la punctul M 1 2, - 4, - 1 este M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. Găsiți produsul vector a → \u003d (2, - 1, 5) și M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4).

Obținem o expresie a formei a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k →

obținem că lungimea produsului vector este a → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

Avem toate datele pentru utilizarea formulei pentru calcularea distanței de la un punct pentru o linie dreaptă, așa că o aplicăm și obținem:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Răspuns: 11 .

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter

Formula pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă pe un plan

Dacă este dată ecuația liniei drepte Ax + By + C \u003d 0, atunci distanța de la punctul M (M x, M y) la linia dreaptă poate fi găsită folosind următoarea formulă

Exemple de sarcini pentru calcularea distanței de la un punct la o linie dreaptă pe un plan

Exemplul 1.

Găsiți distanța dintre linia 3x + 4y - 6 \u003d 0 și punctul M (-1, 3).

Decizie. Înlocuiți în formulă coeficienții liniei drepte și coordonatele punctului

Răspuns: distanța de la un punct la o linie dreaptă este de 0,6.

ecuația unui plan care trece prin puncte perpendiculare pe un vector Ecuația generală a unui plan

Se numește un vector diferit de zero perpendicular pe un plan dat vector normal (sau, pe scurt, normal ) pentru acest avion.

Să se acorde spațiul de coordonate (într-un sistem de coordonate dreptunghiular):

un punct ;

b) un vector diferit de zero (Figura 4.8, a).

Este necesară întocmirea unei ecuații a unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector Sfârșitul dovezii.

Să luăm acum în considerare diferite tipuri de ecuații ale unei drepte pe un plan.

1) Ecuația generală a planuluiP .

Rezultă din derivarea ecuației care simultan A, B și C nu este egal cu 0 (explicați de ce).

Punctul aparține avionului P numai dacă coordonatele sale satisfac ecuația plană. În funcție de cote A, B, C și Davion P ocupă o poziție sau alta:

- planul trece prin originea sistemului de coordonate; - planul nu trece prin originea sistemului de coordonate;

- planul este paralel cu axa X,

X,

- planul este paralel cu axa Da,

- planul nu este paralel cu axa Da,

- planul este paralel cu axa Z,

- planul nu este paralel cu axa Z.

Dovediți singur aceste afirmații.

Ecuația (6) este ușor derivată din ecuația (5). Într-adevăr, lăsați punctul să se afle în avion P... Atunci coordonatele sale satisfac ecuația Scăderea ecuației (7) din ecuația (5) și gruparea termenilor, obținem ecuația (6). Luați în considerare acum doi vectori cu coordonate, respectiv. Din formula (6) rezultă că produsul lor scalar este egal cu zero. Prin urmare, vectorul este perpendicular pe vector. Începutul și sfârșitul ultimului vector sunt respectiv în punctele care aparțin planului P... Prin urmare, vectorul este perpendicular pe plan P... Distanța de la punct la plan P, a cărui ecuație generală este determinată de formulă Dovada acestei formule este complet analogă cu dovada formulei pentru distanța dintre un punct și o linie (vezi Fig. 2).
Figura: 2. La derivarea formulei pentru distanța dintre un plan și o dreaptă.

Într-adevăr, distanța d între o linie dreaptă și un plan este

unde este un punct întins pe un avion. Prin urmare, la fel ca în prelegerea nr. 11, se obține formula de mai sus. Două planuri sunt paralele dacă vectorii lor normali sunt paraleli. Din aceasta obținem condiția pentru paralelismul a două planuri Sunt coeficienții ecuațiilor generale ale planurilor. Două plane sunt perpendiculare dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari, deci obținem condiția perpendicularității a două planuri dacă ecuațiile lor generale sunt cunoscute

Unghi f între două planuri este egal cu unghiul dintre vectorii lor normali (vezi Fig. 3) și, prin urmare, poate fi calculat prin formulă
Determinarea unghiului dintre planuri.

(11)

Distanța de la punct la plan și modalități de a-l găsi

Distanța de la punct la avion - lungimea perpendicularei scăzută dintr-un punct pe acest plan. Există cel puțin două moduri de a găsi distanța de la un punct la un avion: geometric și algebric.

Cu metoda geometrică mai întâi trebuie să înțelegeți cum se află perpendiculara de la punct la plan: poate se află într-un plan convenabil, este înălțimea unui triunghi convenabil (sau nu foarte) sau poate această perpendiculară este în general înălțimea unei piramide.

După această primă și cea mai dificilă etapă, sarcina se împarte în mai multe sarcini planimetrice specifice (poate în diferite planuri).

În mod algebric pentru a găsi distanța de la un punct la un plan, trebuie să introduceți un sistem de coordonate, să găsiți coordonatele punctului și ecuația planului, apoi să aplicați formula pentru distanța de la un punct la un plan.

OooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooPrin urmare, vom trece la prima secțiune, sper că până la sfârșitul articolului voi menține un cadru vesel de spirit.

Poziția relativă a două linii drepte

Cazul când publicul cântă împreună cu corul. Două linii drepte pot:

1) meci;

2) fii paralel :;

3) sau se intersectează într-un singur punct :.

Ajutor pentru manechini : vă rog să vă amintiți semnul matematic al intersecției, va fi foarte comun. Notarea indică faptul că o linie dreaptă intersectează o linie dreaptă într-un punct.

Cum se determină poziția relativă a două linii drepte?

Să începem cu primul caz:

Două linii drepte coincid dacă și numai dacă coeficienții lor corespunzători sunt proporționali, adică există un astfel de număr „lambda” încât egalitățile

Luați în considerare liniile drepte și compuneți trei ecuații din coeficienții corespunzători :. Din fiecare ecuație rezultă că, prin urmare, aceste linii coincid.

Într-adevăr, dacă toți coeficienții ecuației înmulțiți cu –1 (semnele de schimbare) și reduceți toți coeficienții ecuației cu 2, obțineți aceeași ecuație:.

Al doilea caz, când liniile sunt paralele:

Două linii drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile sunt proporționale: dar.

De exemplu, luați în considerare două linii. Verificăm proporționalitatea coeficienților corespunzători pentru variabile:

Cu toate acestea, este destul de clar că.

Și al treilea caz, când liniile se intersectează:

Două linii drepte se intersectează dacă și numai dacă coeficienții lor pentru variabile NU sunt proporționale, adică NU există o astfel de valoare "lambda" pentru a face egalitățile

Deci, pentru linii drepte vom compune sistemul:

Din prima ecuație rezultă că, și din a doua ecuație :, prin urmare, sistemul este inconsistent (fără soluții). Astfel, coeficienții variabilelor nu sunt proporționale.

Concluzie: liniile se intersectează

În problemele practice, puteți utiliza schema de soluții tocmai luată în considerare. Apropo, este foarte similar cu algoritmul de verificare a vectorilor pentru colinearitate, pe care l-am luat în considerare în lecție Conceptul de dependență liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială... Dar există un ambalaj mai civilizat:

Exemplul 1

Aflați poziția relativă a liniilor drepte:

Decizie pe baza studiului vectorilor de direcție a liniilor drepte:

a) Din ecuații găsim vectorii de direcție ai liniilor drepte: .

, deci vectorii nu sunt coliniari și liniile se intersectează.

Pentru orice eventualitate, voi pune o piatră cu indicii la răscruce:

Restul sare peste piatră și continuă, direct la Kashchei Nemuritorul \u003d)

b) Găsiți vectorii de direcție ai liniilor drepte:

Liniile au același vector de direcție, ceea ce înseamnă că sunt fie paralele, fie coincidente. Nu este necesar să se numere determinantul aici.

Este evident că coeficienții pentru necunoscute sunt proporționale, în timp ce.

Să aflăm dacă egalitatea este adevărată:

Prin urmare,

c) Găsiți vectorii de direcție ai liniilor drepte:

Să calculăm determinantul compus din coordonatele acestor vectori:
deci vectorii de direcție sunt coliniari. Liniile sunt fie paralele, fie coincidente.

Coeficientul de proporționalitate „lambda” este ușor de văzut direct din raportul vectorilor de direcție coliniară. Cu toate acestea, poate fi găsit și prin coeficienții ecuațiilor în sine: .

Acum, să aflăm dacă egalitatea este adevărată. Ambii termeni gratuiți sunt zero, deci:

Valoarea rezultată satisface această ecuație (orice număr o satisface în general).

Astfel, liniile coincid.

Răspuns:

Foarte curând veți învăța (sau chiar ați învățat deja) cum să rezolvați problema luată oral în mod literal în câteva secunde. În acest sens, nu văd niciun motiv pentru a propune ceva pentru o soluție independentă, este mai bine să așezați o altă cărămidă importantă în fundația geometrică:

Cum se construiește o linie dreaptă paralelă cu una dată?

Pentru necunoașterea acestei sarcini simple, Nightingale the Robber pedepsește aspru.

Exemplul 2

Linia dreaptă este dată de ecuație. Egalează o linie paralelă care trece printr-un punct.

Decizie: Să denotăm scrisoarea directă necunoscută. Ce spune starea despre ea? Linia dreaptă trece prin punct. Și dacă liniile drepte sunt paralele, atunci este evident că vectorul director al liniei drepte "tse" este potrivit și pentru construirea liniei drepte "de".

Scoatem vectorul de direcție din ecuație:

Răspuns:

Geometria exemplului arată simplă:

Verificarea analitică constă din următorii pași:

1) Verificați dacă liniile drepte au același vector de direcție (dacă ecuația dreptei nu este simplificată corect, atunci vectorii vor fi coliniari).

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația obținută.

Revizuirea analitică este, în majoritatea cazurilor, ușor de realizat oral. Uită-te la cele două ecuații și mulți dintre voi vor determina rapid paralelismul liniilor drepte fără nici un desen.

Exemple pentru auto-soluție astăzi vor fi creative. Pentru că tot trebuie să concurezi cu Baba Yaga, iar ea, știi, este o iubitoare de tot felul de ghicitori.

Exemplul 3

Faceți o ecuație a unei drepte care trece printr-un punct paralel cu o dreaptă dacă

Există o soluție rațională și nu foarte rațională. Cea mai scurtă cale este la sfârșitul lecției.

Am lucrat puțin cu linii paralele și vom reveni la ele mai târziu. Cazul liniilor drepte coincidente este de puțin interes, așadar luați în considerare o problemă care vă este bine cunoscută din curiculumul scolar:

Cum se găsește punctul de intersecție a două linii?

Dacă este drept intersectează într-un punct, atunci coordonatele sale sunt soluția sisteme de ecuații liniare

Cum se găsește punctul de intersecție a liniilor? Rezolvați sistemul.

Atât de mult pentru tine semnificație geometrică a unui sistem de două ecuații liniare în două necunoscute Sunt două linii drepte care se intersectează (cel mai adesea) pe un plan.

Exemplul 4

Găsiți punctul de intersecție a liniilor

Decizie: Există două moduri de rezolvare - grafică și analitică.

Modul grafic este să trasați pur și simplu liniile de date și să aflați punctul de intersecție direct din desen:

Iată ideea noastră :. Pentru a o verifica, ar trebui să îi înlocuiți coordonatele în fiecare ecuație a unei linii drepte, acestea ar trebui să se potrivească atât acolo, cât și acolo. Cu alte cuvinte, coordonatele unui punct sunt soluția sistemului. Practic, am analizat o modalitate grafică de a rezolva sisteme de ecuații liniare cu două ecuații, două necunoscute.

Metoda grafică, desigur, nu este rea, dar există dezavantaje vizibile. Nu, ideea nu este aceea că elevii din clasa a șaptea decid astfel, punctul este că va fi nevoie de timp pentru a obține un desen corect și EXACT. În plus, unele linii drepte nu sunt atât de ușor de construit, iar punctul de intersecție în sine poate fi situat undeva în regatul treizeci în afara foii caietului.

Prin urmare, este mai oportun să căutați punctul de intersecție folosind metoda analitică. Să rezolvăm sistemul:

Pentru a rezolva sistemul, s-a folosit metoda adăugării ecuațiilor de la un termen la altul. Vizitați lecția pentru a vă dezvolta abilități relevante. Cum se rezolvă un sistem de ecuații?

Răspuns:

Verificarea este banală - coordonatele punctului de intersecție trebuie să satisfacă fiecare ecuație din sistem.

Exemplul 5

Găsiți punctul de intersecție al liniilor dacă acestea se intersectează.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Este convenabil să împărțiți sarcina în mai multe etape. Analiza stării sugerează ce este necesar:
1) Faceți ecuația liniei drepte.
2) Faceți ecuația liniei drepte.
3) Aflați poziția relativă a liniilor drepte.
4) Dacă liniile se intersectează, atunci găsiți punctul de intersecție.

Dezvoltarea unui algoritm de acțiuni este tipic pentru multe probleme geometrice și mă voi concentra în mod repetat asupra acestui lucru.

Soluție completă și răspunsul la sfârșitul tutorialului:

O pereche de pantofi nu este încă uzată, deoarece am ajuns la a doua secțiune a lecției:

Liniile drepte perpendiculare. Distanța de la punct la linie.
Unghi între linii drepte

Să începem cu o sarcină tipică și foarte importantă. În prima parte, am învățat cum să construim o linie dreaptă paralelă cu aceasta, iar acum coliba de pe picioarele de pui se va întoarce la 90 de grade:

Cum se construiește o linie perpendiculară pe una dată?

Exemplul 6

Linia dreaptă este dată de ecuație. Egalează o linie perpendiculară printr-un punct.

Decizie: Prin condiție se știe că. Ar fi frumos să găsim vectorul de direcție al liniei drepte. Deoarece liniile sunt perpendiculare, trucul este simplu:

Din ecuația „eliminați” vectorul normal:, care va fi vectorul de direcție al liniei drepte.

Să compunem ecuația unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

Să extindem schița geometrică:

Hmmm ... Cer portocaliu, mare portocaliu, cămilă portocalie.

Verificarea analitică a soluției:

1) Scoateți vectorii de direcție din ecuații și cu ajutorul produs punct de vectori ajungem la concluzia că liniile drepte sunt într-adevăr perpendiculare :.

Apropo, puteți folosi vectori normali, este și mai ușor.

2) Verificați dacă punctul satisface ecuația obținută .

Verificarea, din nou, este ușor de făcut pe cale orală.

Exemplul 7

Găsiți punctul de intersecție al liniilor perpendiculare dacă ecuația este cunoscută și punct.

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Există mai multe acțiuni în sarcină, deci este convenabil să stabiliți soluția punct cu punct.

Călătoria noastră interesantă continuă:

Distanța de la punct la linie

În fața noastră este o fâșie dreaptă a râului și sarcina noastră este să o atingem pe calea cea mai scurtă. Nu există obstacole, iar traseul cel mai optim va fi deplasarea de-a lungul perpendicularei. Adică distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea unei linii perpendiculare.

Distanța în geometrie este în mod tradițional notată prin litera greacă „ro”, de exemplu: - distanța de la punctul „em” la linia dreaptă „de”.

Distanța de la punct la linie exprimat prin formula

Exemplul 8

Găsiți distanța de la punct la linie

Decizie: tot ce aveți nevoie este să înlocuiți cu atenție numerele în formulă și să efectuați calculele:

Răspuns:

Să executăm desenul:

Distanța de la punctul la linia găsită este exact lungimea liniei roșii. Dacă întocmiți un desen pe hârtie în carouri pe o scară de 1 unitate. \u003d 1 cm (2 celule), atunci distanța poate fi măsurată cu o riglă obișnuită.

Luați în considerare o altă sarcină pentru același plan:

Sarcina este de a găsi coordonatele unui punct care este simetric cu un punct în raport cu o linie dreaptă ... Propun să efectuați acțiunile dvs., dar voi contura algoritmul soluției cu rezultate intermediare:

1) Găsiți o linie care este perpendiculară pe linie.

2) Găsiți punctul de intersecție al liniilor: .

Ambele acțiuni sunt detaliate în această lecție.

3) Punctul este punctul de mijloc al segmentului de linie. Știm coordonatele mijlocului și unul dintre capete. De formule pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului găsim.

Nu va fi de prisos să verificați dacă distanța este, de asemenea, de 2,2 unități.

Dificultățile aici pot apărea în calcule, dar în turn un micro calculator ajută foarte bine, permițându-vă să numărați fracțiile obișnuite. Recomandat în mod repetat, vă va recomanda și din nou.

Cum se găsește distanța dintre două linii paralele?

Exemplul 9

Găsiți distanța dintre două linii paralele

Acesta este un alt exemplu pentru o soluție independentă. Voi da un mic indiciu: există infinit de multe modalități de a o rezolva. Rezumat la sfârșitul lecției, dar mai bine încearcă să ghicești singur, cred că ingeniozitatea ta a fost destul de bine dispersată.

Unghi între două linii drepte

Fiecare unghi este un jamb:


În geometrie, unghiul dintre două linii drepte este luat ca cel mai mic unghi, din care rezultă automat că nu poate fi obtuz. În figură, unghiul indicat de arcul roșu nu este considerat unghiul dintre liniile drepte care se intersectează. Și vecinul său „verde” este considerat ca atare sau orientat opus Colțul „Crimson”.

Dacă liniile drepte sunt perpendiculare, atunci oricare dintre cele 4 unghiuri poate fi luat ca unghi între ele.

Cum diferă unghiurile? Orientare. În primul rând, direcția colțului „derulare” este de o importanță fundamentală. În al doilea rând, un unghi orientat negativ este scris cu un semn minus, de exemplu, dacă.

De ce am spus asta? Se pare că te poți descurca cu conceptul obișnuit de unghi. Faptul este că în formulele prin care vom găsi unghiurile, puteți obține cu ușurință un rezultat negativ, iar acest lucru nu ar trebui să vă surprindă. Un unghi cu semn minus nu este mai rău și are o semnificație geometrică foarte specifică. În desen, pentru un unghi negativ, asigurați-vă că indicați orientarea acestuia cu o săgeată (în sensul acelor de ceasornic).

Cum se găsește unghiul dintre două linii drepte? Există două formule de lucru:

Exemplul 10

Găsiți unghiul dintre linii drepte

Decizie și Prima metodă

Luați în considerare două linii drepte date de ecuații în formă generală:

Dacă este drept nu perpendiculareapoi orientat unghiul dintre ele poate fi calculat folosind formula:

Să acordăm o atenție deosebită numitorului - acesta este exact produs scalar vectori de direcție ai liniilor drepte:

Dacă, atunci numitorul formulei dispare, iar vectorii vor fi ortogonali și liniile drepte sunt perpendiculare. De aceea s-a făcut o rezervare cu privire la non-perpendicularitatea liniilor drepte din formulare.

Pe baza celor de mai sus, este convenabil să aranjați o soluție în doi pași:

1) Calculați produsul scalar al vectorilor de direcție ai liniilor drepte:
, prin urmare, liniile drepte nu sunt perpendiculare.

2) Unghiul dintre linii drepte se găsește prin formula:

Prin funcție inversă colțul în sine este ușor de găsit. În acest caz, folosim ciudățenia arctangentei (vezi. Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare):

Răspuns:

În răspuns, indicăm valoarea exactă, precum și valoarea aproximativă (de preferință atât în \u200b\u200bgrade, cât și în radiani), calculate cu ajutorul calculatorului.

Ei bine, minus, deci minus, este în regulă. Iată o ilustrare geometrică:

Nu este surprinzător faptul că unghiul s-a dovedit a avea o orientare negativă, deoarece în enunțul problemei, primul număr este o linie dreaptă și „răsucirea” unghiului a început cu aceasta.

Dacă doriți cu adevărat să obțineți un unghi pozitiv, trebuie să schimbați liniile drepte, adică să luați coeficienții din a doua ecuație , iar coeficienții sunt luați din prima ecuație. Pe scurt, trebuie să începeți cu o linie dreaptă .

Distanța de la un punct la o linie este lungimea perpendicularului căzut de la un punct la o linie. În geometria descriptivă, este determinată grafic folosind algoritmul de mai jos.

Algoritm

1. Linia dreaptă este transferată într-o poziție în care va fi paralelă cu orice plan de proiecție. Pentru aceasta se folosesc metode de transformare a proiecțiilor ortogonale.
2. Dintr-un punct, se trasează o perpendiculară pe o linie dreaptă. Această construcție se bazează pe teorema proiecției unghi drept.
3. Lungimea unei perpendiculare este determinată prin transformarea proiecțiilor sale sau folosind metoda triunghiului dreptunghiular.

Următoarea figură arată un desen complex al punctului M și al liniei b definite de segmentul CD. Este necesar să se găsească distanța dintre ele.

Conform algoritmului nostru, primul lucru de făcut este să deplasăm linia într-o poziție paralelă cu planul de proiecție. Este important să înțelegem că, după transformări, distanța reală dintre punct și linie nu ar trebui să se schimbe. De aceea este convenabil să folosiți aici metoda de înlocuire a planurilor, care nu implică figuri în mișcare în spațiu.

Rezultatele primei etape de construcție sunt prezentate mai jos. Figura arată cum un plan frontal suplimentar P 4 este introdus paralel cu b. În noul sistem (P 1, P 4) punctele C "" 1, D "" 1, M "" 1 sunt la aceeași distanță de axa X 1 ca C "", D "", M "" de la axă X.

Efectuând a doua parte a algoritmului, de la M "" 1 coborâm perpendicularul M "" 1 N "" 1 la linia dreaptă b "" 1, deoarece unghiul drept MND între b și MN este proiectat pe planul P 4 în dimensiune completă. Pe linia de comunicație, determinăm poziția punctului N "și realizăm proiecția M" N "a segmentului MN.

În etapa finală, trebuie să determinați valoarea segmentului MN prin proiecțiile sale M "N" și M "" 1 N "" 1. Pentru aceasta construim triunghi dreptunghic M "" 1 N "" 1 N 0, în care piciorul N "" 1 N 0 este egal cu diferența (Y M 1 - Y N 1) îndepărtarea punctelor M "și N" de pe axa X 1. Lungimea hipotenuzei M "" 1 N 0 a triunghiului M "" 1 N "" 1 N 0 corespunde distanței dorite de la M la b.

A doua soluție

• În paralel cu CD, introducem un nou plan frontal P 4. Se intersectează П 1 de-a lungul axei X 1 și X 1 ∥C "D". În conformitate cu metoda de înlocuire a planurilor, determinăm proiecțiile punctelor C "" 1, D "" 1 și M "" 1, așa cum se arată în figură.
• Perpendicular la C "" 1 D "" 1 construim un plan orizontal suplimentar P 5, pe care linia dreaptă b este proiectată până la punctul C "2 \u003d b" 2.
• Distanța dintre punctul M și linia b este determinată de lungimea segmentului M "2 C" 2, marcat cu roșu.

Sarcini similare:

155 *. Determinați dimensiunea reală a segmentului de linie AB în poziția generală (Fig. 153, a).

Decizie. După cum știți, proiecția unui segment de linie dreaptă pe orice plan este egală cu segmentul în sine (ținând cont de scara desenului) dacă este paralelă cu acest plan

(Fig. 153, b). Din aceasta rezultă că prin transformarea desenului este necesar să se realizeze paralelismul acestui segment al pătratului. V sau pl. H sau completează sistemul V, H cu un alt plan perpendicular pe pl. V sau la pl. H și în același timp paralel cu acest segment.

În fig. 153, în prezintă introducerea unui plan suplimentar S, perpendicular pe pl. H și paralel cu un segment dat AB.

Proiecția a s b s este egală cu valoarea naturală a segmentului AB.

În fig. 153, d prezintă o altă tehnică: segmentul AB este rotit în jurul unei linii drepte care trece prin punctul B și perpendicular pe pl. H, într-o poziție paralelă

pl. V. În acest caz, punctul B rămâne la locul său, iar punctul A ia o nouă poziție A 1. Orizontul se află în noua poziție. proiecție а 1 b || axa x. Proiecția a "1 b" este egală cu valoarea naturală a segmentului AB.

156. Se dă o piramidă SABCD (fig. 154). Determinați dimensiunea reală a marginilor piramidei AS și CS, folosind metoda de schimbare a planurilor de proiecție, și marginile BS și DS, folosind metoda de rotație și luați axa de rotație perpendiculară pe pătrat. H.

157 *. Determinați distanța de la punctul A la dreapta BC (Fig. 155, a).

Decizie. Distanța de la un punct la o linie dreaptă este măsurată de un segment perpendicular trasat dintr-un punct la o linie dreaptă.

Dacă linia dreaptă este perpendiculară pe orice plan (Fig. 155.6), atunci distanța de la punct la dreapta se măsoară prin distanța dintre proiecția punctului și proiecție punctuală linie dreaptă pe acest plan. Dacă o linie dreaptă ocupă o poziție generală în sistemul V, H, atunci pentru a determina distanța de la un punct la o linie dreaptă prin schimbarea planurilor de proiecție, trebuie introduse două planuri suplimentare în sistemul V, H.

Mai întâi (Fig. 155, c) intrăm în pl. S paralel cu segmentul BC (noua axă S / H este paralelă cu proiecția bc) și construiește proiecțiile b s c s și a s. Apoi (Fig. 155, d) introducem un alt pl. T perpendicular pe dreapta BC (axa T / S nouă perpendicular pe b s c s). Construim proiecții ale unei linii și a unui punct - cu t (b t) și a t. Distanța dintre punctele a t și c t (b t) este egală cu distanța l de la punctul A la dreapta BC.

În fig. 155e, aceeași sarcină este realizată folosind metoda de rotație în forma sa, care se numește metoda mișcării paralele. În primul rând, linia dreaptă BC și punctul A, păstrându-și neschimbată poziția reciprocă, întoarce unele (neindicate în desen) linie dreaptă perpendiculară pe pl. H, astfel încât linia BC să fie paralelă cu pătratul. V. Aceasta echivalează cu punctele în mișcare A, B, C în planuri paralele cu pătratul. H. În acest caz, orizontul. proiecția unui sistem dat (BC + A) nu se schimbă nici în mărime, nici în configurație, doar poziția sa față de axa x se schimbă. Poziționăm orizontul. proiecția dreptei BC paralelă cu axa x (poziția b 1 c 1) și definiți proiecția a 1, amânând c 1 1 1 \u003d c-1 și a 1 1 1 \u003d a-1 și a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Tragând linii drepte b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 paralel cu axa x, găsim fața pe ele. proiecția b "1, a" 1, c "1. Apoi, mutăm punctele B 1, C 1 și A 1 în planuri paralele cu pătratul V (de asemenea, fără a le schimba poziția relativă), astfel încât să obținem B 2 C 2 ⊥ pătrat H. În acest caz, proiecția liniei drepte va fi localizată perpendicular pe axele x, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, iar pentru a construi proiecția a" 2, luați b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, desenați 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 și amânați a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Acum, după ce ați cheltuit de la 1 la 2 și de la 1 la 2 || x 1 obținem proiecții b 2 cu 2 și a 2 și distanța necesară l de la punctul A la dreapta BC. Este posibil să se determine distanța de la A la BC prin rotirea planului definit de punctul A și linia BC în jurul orizontalei acestui plan în poziția T || pl. H (Fig. 155, f).

În planul stabilit de punctul A și de dreapta BC, trageți o linie orizontală A-1 (Fig. 155, g) și întoarceți punctul B în jurul său. Punctul B se deplasează în pătrat. R (dat în desen de traseul R h), perpendicular pe A-1; în punctul O este centrul de rotație al punctului B. Determinăm acum valoarea reală a razei de rotație a VO, (Fig. 155, c). În poziția necesară, adică atunci când pl. T, definit de punctul A și linia BC, va deveni || pl. H, punctul B va apărea pe R h la o distanță Ob 1 de punctul O (poate exista o altă poziție pe aceeași cale R h, dar pe cealaltă parte a lui O). Punctul b 1 este orizontul. proiecția punctului B după mutarea acestuia în poziția B 1 în spațiu, când planul definit de punctul A și linia BC a luat poziția T.

După ce am trasat (Fig. 155, i) linia dreaptă b 1 1, obținem orizontul. proiecția liniei drepte BC, deja situată || pl. H în același plan cu A. În această poziție, distanța de la a la b 1 1 este egală cu distanța dorită l. Planul P, în care se află elementele date, poate fi combinat cu pl. H (Fig. 155, k), rotire pl. Orizontul din jurul ei. urmă. Trecând de la specificarea planului prin punctul A și dreapta BC la specificarea liniilor drepte BC și A-1 (Fig. 155, l), găsim urme ale acestor drepte și trasăm urme P ϑ și P h prin ele. Construim (Fig. 155, m) combinat cu pl. Poziția H față. urmă - P ϑ0.

Desenați orizontul prin punctul a. proiecție frontală; frontalul aliniat trece prin punctul 2 pe pista Рh paralelă cu Р ϑ0. Punctul A 0 - combinat cu pl. H este poziția punctului A. În mod similar, găsim punctul B 0. Soare direct combinat cu pl. Poziția H trece prin punctul B 0 și punctul m (linia orizontală).

Distanța de la punctul A 0 la linia B 0 C 0 este egală cu distanța necesară l.

Puteți efectua construcția indicată, găsind o singură urmă P h (Fig. 155, n și o). Întreaga construcție este similară cu o întoarcere în jurul unei orizontale (vezi Fig. 155, g, c, i): urmele Рh sunt una dintre liniile de contur ale pătratului. R.

Dintre metodele de transformare a unui desen date pentru rezolvarea acestei probleme, este preferată metoda de rotație în jurul unui orizontal sau frontal.

158. Având în vedere piramida SABC (fig. 156). Determinați distanțele:

a) de la partea superioară B a bazei până la partea laterală AC prin mișcare paralelă;

b) de la vârful piramidei S până la laturile BC și AB ale bazei prin rotire în jurul orizontalei;

c) de la partea de sus S la partea AC a bazei prin schimbarea planurilor de proiecție.

159. Se dă o prismă (fig. 157). Determinați distanțele:

a) între muchiile AD și CF prin schimbarea planurilor de proiecție;

b) între coastele BE și CF prin rotație în jurul frontalului;

c) între muchiile AD și BE prin mișcare paralelă.

160. Determinați dimensiunea reală a patrulaterului ABCD (Fig. 158) alinindu-l cu pl. H. Folosiți doar urmele plane orizontale.

161 *. Determinați distanța dintre liniile de intersecție AB și CD (Fig. 159, a) și construiți proiecții ale perpendiculare comune la ele.

Decizie. Distanța dintre liniile de intersecție este măsurată de segmentul (MN) al perpendicularei față de ambele linii (Fig. 159, b). Evident, dacă una dintre drepte este plasată perpendicular pe orice pătrat. Atunci atunci

segmentul MN al perpendicularei pe ambele linii va fi paralel cu pătratul. Proiecția T pe acest plan va afișa distanța dorită. Proiecția menadului unghi drept MN n AB pe pătrat. T este, de asemenea, un unghi drept între m t n t și a t b t, deoarece una dintre laturile unghiului drept AMN, și anume MN. paralel cu pl. T.

În fig. 159, c și d distanța dorită l este determinată de metoda de schimbare a planurilor de proiecție. Mai întâi, introducem un pătrat suplimentar. proiecții S, perpendiculare pe pl. H și paralel cu linia dreaptă CD (Fig. 159, c). Apoi introducem un alt pătrat suplimentar. T, perpendicular pe pl. S și \u200b\u200bperpendicular pe aceeași linie dreaptă CD (Fig. 159, d). Acum puteți construi o proiecție a perpendicularului comun trasând m t n t din punctul c t (d t) perpendicular pe proiecția a t b t. Punctele m t și n t sunt proiecții ale punctelor de intersecție ale acestei perpendiculare cu drepte AB și CD. În punctul m t (Fig. 159, e) găsim m s pe a s b s: proiecția m s n s ar trebui să fie paralelă cu axa T / S. Mai departe, prin m s și n s găsim m și n pe ab și cd, iar pe ele m "și n" pe a "b" și c "d".

În fig. 159, c arată soluția la această problemă prin metoda mișcărilor paralele. Mai întâi, punem un CD drept paralel cu pătratul. V: proiecție c 1 d 1 || X. Apoi, mutăm liniile drepte CD și AB din pozițiile C 1 D 1 și A 1 B 1 în pozițiile C 2 B 2 și A 2 B 2 astfel încât C 2 D 2 să fie perpendicular pe H: proiecție cu „2 d” 2 ⊥ x. Segmentul perpendicularului căutat este situat || pl. H și, prin urmare, m 2 n 2 exprimă distanța dorită l între AB și CD. Găsiți poziția proiecțiilor m "2 și n" 2 pe un "2 b" 2 și c "2 d" 2, apoi proiecțiile și m 1 și m "1, n 1 și n" 1 și, în cele din urmă, proiecțiile m "și n ", m și n.

162. Piramida dată SABC (fig. 160). Determinați distanța dintre marginea SB și latura AC a bazei piramidei și construiți proiecții ale perpendicularei comune cu SB și AC, aplicând metoda schimbării planurilor de proiecție.

163. Având în vedere o piramidă SABC (fig. 161). Determinați distanța dintre marginea SH și partea BC a bazei piramidei și construiți proiecția perpendicularului comun cu SX și BC, aplicând metoda mișcării paralele.

164 *. Determinați distanța de la punctul A la plan în cazurile în care planul este dat: a) de triunghiul BCD (Fig. 162, a); b) urme (Fig. 162, b).

Decizie. După cum știți, distanța de la un punct la un plan se măsoară prin valoarea unei perpendiculare trasate de la un punct la un plan. Această distanță este proiectată pe orice pătrat. proiecții în mărime naturală, dacă acest plan este perpendicular pe pătrat. proiecții (Fig. 162, c). Această situație poate fi realizată prin transformarea desenului, de exemplu, prin schimbarea pătratului. proiecții. Introducem pl. S (Fig. 16c, d), perpendicular pe pl. triunghi BCD. Pentru a face acest lucru, cheltuim în pl. triunghi orizontal B-1 și așezați axa de proiecție S perpendiculară pe proiecția b-1 a orizontalei. Construim proiecții ale unui punct și un plan - a s și un segment c s d s. Distanța de la a s la c s d s este egală cu distanța necesară l a punctului către plan.

Pe Rio. 162, se aplică metoda mișcării paralele. Mutăm întregul sistem până când orizontala planului B-1 este perpendiculară pe planul V: proiecția b 1 1 1 trebuie să fie perpendiculară pe axa x. În această poziție, planul triunghiului va deveni proiecție frontală, iar distanța l de la punctul A la acesta se va dovedi pătrată. V fără distorsiuni.

În fig. 162, b planul este definit de urme. Introducem (Fig. 162, e) un pătrat suplimentar. S, perpendicular pe pl. P: Axa S / H perpendiculară pe P h. Restul este clar din desen. În fig. 162, problema a fost rezolvată cu o singură mișcare: pl. P merge în poziția P 1, adică devine proiecție frontală. Urmări. Р 1h este perpendicular pe axa x. Construim un front în această poziție a avionului. urmă orizontală - punctul n "1, n 1. Urma P 1ϑ va trece prin P 1x și n 1. Distanța de la un" 1 la P 1ϑ este egală cu distanța dorită l.

165. Având în vedere o piramidă SABC (vezi fig. 160). Determinați distanța de la punctul A la fața SBC a piramidei folosind metoda mișcării paralele.

166. Având în vedere o piramidă SABC (vezi fig. 161). Determinați înălțimea piramidei folosind metoda mișcării paralele.

167 *. Determinați distanța dintre liniile de intersecție AB și CD (a se vedea Fig. 159, a) ca distanță între planurile paralele trasate prin aceste linii.

Decizie. În fig. 163, și prezintă planurile paralele P și Q, dintre care pl. Q se realizează prin CD paralel cu AB și pl. R - prin AB paralel cu pl. Q. Distanța dintre astfel de planuri este distanța dintre liniile de trecere AB și CD. Cu toate acestea, vă puteți limita la construirea unui singur plan, de exemplu, Q, paralel cu AB, și apoi să determinați distanța de la cel puțin punctul A la acest plan.

În fig. 163c prezintă planul Q trasat prin CD paralel cu AB; în proiecții desenate cu „e” || a "b" și ce || ab. Aplicarea metodei de schimbare a pătratului. proiecții (Fig. 163, c), introducem un pătrat suplimentar. S, perpendicular pe pl. V și în același timp

perpendicular pe pl. Î. Pentru a desena axa S / V, luați frontala D-1 în acest plan. Acum trasăm S / V perpendicular pe d "1" (Fig. 163, c). Pl. Q va fi afișat pe pl. S ca o linie dreaptă cu s d s. Restul este clar din desen.

168. Având în vedere piramida SABC (vezi fig. 160). Determinați distanța dintre marginile SC și AB. Aplicați: 1) metoda de schimbare a pătratului. proiecții, 2) o metodă de mișcare paralelă.

169 *. Determinați distanța dintre planurile paralele, dintre care una este dată de drepte AB și AC, iar cealaltă de drepte DE și DF (Fig. 164, a). De asemenea, efectuați construcția pentru cazul în care planurile sunt date de urme (Fig. 164, b).

Decizie. Distanța (Fig. 164, c) între planurile paralele poate fi determinată trasând o perpendiculară din orice punct al unui plan pe altul. În fig. 164, g a introdus o pl. Suplimentară. S perpendicular pe pl. H și ambelor planuri date. Axa S.H este perpendiculară pe orizont. proiecție orizontală trasată într-unul dintre planuri. Construim o proiecție a acestui plan și un punct într-un alt plan de pe pătrat. 5. Distanța punctului d s față de linia dreaptă l s a s este egală cu distanța necesară între planurile paralele.

În fig. 164, d este dată o altă construcție (conform metodei mișcării paralele). Pentru ca planul, exprimat prin drepte intersectate AB și AC, să fie perpendicular pe pl. V, orizont. punem proiecția orizontală a acestui plan perpendicular pe axa x: 1 1 2 1 ⊥ x. Distanța dintre față. proiecția d "1 punct D și dreapta a" 1 2 "1 (față. proiecția planului) este egală cu distanța necesară între planuri.

În fig. 164, e arată introducerea unui pl suplimentar. S, perpendicular pe aria H și pe planurile date P și Q (axa S / H este perpendiculară pe urmele P h și Q h). Construim urme P s și Q s. Distanța dintre ele (vezi Fig. 164, c) este egală cu distanța dorită l între planurile P și Q.

În fig. 164, g arată mișcarea planurilor P 1 n Q 1, în poziția P 1 și Q 1, când orizontul. pistele se dovedesc a fi perpendiculare pe axa x. Distanța dintre fața nouă. prin urmele P 1ϑ și Q 1ϑ este egală cu distanța necesară l.

170. Dat fiind un paralelipiped ABCDEFGH (fig. 165). Determinați distanțele: a) între bazele paralelipipedului - l 1; b) între fețele ABFE și DCGH - l 2; c) între muchiile ADHE și BCGF-l 3.