Cum să găsiți rădăcinile ecuației aparținând segmentului. Aflarea rădăcinilor ecuației aparținând segmentului. Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

27. Selectați rădăcinile de pe un segment dat

28. 10. Rezolvați ecuația 2sin2x =4cos x –sinx+1 Aflați rădăcinile ei în intervalul [/2; 3/2]

29. Selectați rădăcinile folosind un cerc

Sarcina 1

Logica este simplă: vom proceda așa cum am făcut înainte, în ciuda faptului că funcțiile trigonometrice au acum un argument mai complex!

Dacă ar fi să rezolvăm o ecuație de forma:

Apoi vom scrie următorul răspuns:

Sau (pentru că)

Dar acum jucăm următoarea expresie:

Apoi poți scrie:

Scopul nostru alaturi de tine este sa facem astfel incat sa stai in stanga simplu, fara nicio „impuritati”!

Să scăpăm de ei!

Mai întâi, eliminați numitorul de la: pentru a face acest lucru, înmulțiți egalitatea noastră cu:

Acum scăpăm de împărțirea ambelor părți la el:

Acum să scăpăm de cele opt:

Expresia rezultată poate fi scrisă ca 2 serii de soluții (prin analogie cu o ecuație pătratică, în care fie adunăm, fie scădem discriminantul)

Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă! Este clar că este necesar să se rezolve.

Să ne uităm mai întâi la prima serie:

Este clar că dacă luăm, atunci ca rezultat vom obține numere pozitive, dar nu ne interesează ele.

Deci trebuie luat negativ. Lasa.

Când rădăcina va fi deja:

Și trebuie să găsim cel mai mare negativ!! Deci mersul în direcția negativă aici nu mai are sens. Și cea mai mare rădăcină negativă pentru această serie va fi egală.

Acum luați în considerare a doua serie:

Și din nou înlocuim: , apoi:

Nu sunt interesat!

Atunci nu mai are sens să-l mărești! Să reducem! Lasă atunci:

Se potrivește!

Lasa. Apoi

Apoi - cea mai mare rădăcină negativă!

Răspuns:

Sarcina #2

Din nou, rezolvăm, indiferent de argumentul cosinus complex:

Acum exprimăm din nou în stânga:

Înmulțiți ambele părți cu

Împărțiți ambele părți

Mai rămâne doar să îl mutați la dreapta, schimbându-i semnul din minus în plus.

Obținem din nou 2 serii de rădăcini, una cu și alta cu.

Trebuie să găsim cea mai mare rădăcină negativă. Luați în considerare prima serie:

Este clar că vom obține prima rădăcină negativă la, va fi egală și va fi cea mai mare rădăcină negativă din seria 1.

Pentru a doua serie

Prima rădăcină negativă se va obține și la și va fi egală cu. Deoarece, atunci este cea mai mare rădăcină negativă a ecuației.

Răspuns: .

Sarcina #3

Noi decidem, indiferent de argumentul complex al tangentei.

Pare să nu fie nimic complicat, nu?

Ca și înainte, exprimăm în partea stângă:

Ei bine, este grozav, în general există o singură serie de rădăcini! Din nou, găsiți cel mai mare negativ.

Este clar că se dovedește dacă punem . Și această rădăcină este egală.

Răspuns:

Acum încercați să rezolvați singur următoarele probleme.

Teme sau 3 sarcini pentru rezolvare independentă.

1. Ecuația re-shi-te.
   
2. Ecuația re-shi-te.
   În from-ve-te on-pi-shi-te cea mai mică rădăcină in-lo-zhi-tel-ny.
3. Ecuația re-shi-te.
   În from-ve-te on-pi-shi-te cea mai mică rădăcină in-lo-zhi-tel-ny.

Gata? Verificăm. Nu voi descrie în detaliu întreg algoritmul de soluție, mi se pare că i s-a acordat deja suficientă atenție mai sus.

Ei bine, este totul în regulă? Oh, sinusurile alea urâte, mereu sunt unele necazuri cu ele!

Ei bine, acum poți rezolva cele mai simple ecuații trigonometrice!

Consultați soluțiile și răspunsurile:

Sarcina 1

Expres

Cea mai mică rădăcină pozitivă se obține dacă punem, din moment ce, atunci

Răspuns:

Sarcina #2

Cea mai mică rădăcină pozitivă se va obține la.

El va fi egal.

Răspuns: .

Sarcina #3

Când primim, când avem.

Răspuns: .

Aceste cunoștințe te vor ajuta să rezolvi multe dintre problemele cu care te vei confrunta la examen.

Dacă aplicați pentru o evaluare de „5”, atunci trebuie doar să continuați la citirea articolului pentru nivel mijlociu, care va fi dedicat rezolvării ecuaţiilor trigonometrice mai complexe (sarcina C1).

NIVEL MEDIU

În acest articol voi descrie rezolvarea unor ecuații trigonometrice de tip mai complexși cum să le aleagă rădăcinile. Aici mă voi concentra pe următoarele subiecte:

1. Ecuații trigonometrice pentru nivel de intrare (vezi mai sus).

Ecuațiile trigonometrice mai complexe stau la baza problemelor de complexitate crescută. Ele necesită atât rezolvarea ecuației în sine în formă generală, cât și găsirea rădăcinilor acestei ecuații care aparțin unui interval dat.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se reduce la două subsarcini:

1. Soluția ecuației
2. Selectarea rădăcinilor

Trebuie remarcat că al doilea nu este întotdeauna necesar, dar totuși în majoritatea exemplelor este necesar să se facă o selecție. Și dacă nu este necesar, atunci puteți mai degrabă să simpatizați - aceasta înseamnă că ecuația este destul de complicată în sine.

Experiența mea cu analiza sarcinilor C1 arată că acestea sunt de obicei împărțite în următoarele categorii.

Patru categorii de sarcini de complexitate crescută (fostul C1)

1. Ecuații care se reduc la factorizare.
2. Ecuații care se reduc la forma.
3. Ecuații rezolvate prin modificarea variabilei.
4. Ecuații care necesită o selecție suplimentară de rădăcini din cauza iraționalității sau numitorului.

Pentru a spune simplu: dacă primești unul dintre primele trei tipuri de ecuații atunci consideră-te norocos. Pentru ei, de regulă, este suplimentar necesar să selectați rădăcinile care aparțin unui anumit interval.

Dacă întâlniți o ecuație de tip 4, atunci ești mai puțin norocos: trebuie să o faci mai mult și mai atent, dar destul de des nu necesită o selecție suplimentară de rădăcini. Cu toate acestea, voi analiza acest tip de ecuații în articolul următor și îl voi dedica pe acesta rezolvării ecuațiilor din primele trei tipuri.

Ecuații care se reduc la factorizare

Cel mai important lucru pe care trebuie să-l rețineți pentru a rezolva ecuații de acest tip este

După cum arată practica, de regulă, aceste cunoștințe sunt suficiente. Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 1. O ecuație care se reduce la factorizare folosind formulele de reducere și sinusul unui unghi dublu

• Ecuația re-shi-te
• Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații

Iată, așa cum am promis, formulele de casting funcționează:

Atunci ecuația mea va arăta astfel:

Atunci ecuația mea va lua următoarea formă:

Un student miop ar putea spune: și acum voi reduce ambele părți cu, obțin cea mai simplă ecuație și mă bucur de viață! Și se va înșela amarnic!

Deci ce să fac? Da, totul este simplu, transferați totul într-o singură direcție și eliminați factorul comun:

Ei bine, am luat-o în calcul, ură! Acum decidem:

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Aceasta completează prima parte a problemei. Acum trebuie să selectăm rădăcinile:

Decalajul este astfel:

Sau poate fi scris și așa:

Ei bine, să luăm rădăcinile:

În primul rând, să lucrăm cu prima serie (și este mai ușor, cel puțin!)

Deoarece intervalul nostru este în întregime negativ, nu este nevoie să luăm cele nenegative, ele vor da în continuare rădăcini nenegative.

Să o luăm, atunci - puțin prea mult, nu se potrivește.

Să, atunci - din nou nu a lovit.

Încă o încercare - apoi - acolo, lovește! Prima rădăcină găsită!

Trag din nou: apoi - lovește din nou!

Ei bine, încă o dată: - acesta este deja un zbor.

Deci din prima serie, 2 rădăcini aparțin intervalului: .

Lucrăm cu a doua serie (construim unei puteri conform regulii):

Undershoot!

Din nou lipsit!

Din nou deficit!

Am înţeles!

Zbor!

Astfel, următoarele rădăcini aparțin intervalului meu:

Vom folosi acest algoritm pentru a rezolva toate celelalte exemple. Să mai exersăm împreună un exemplu.

Exemplul 2. O ecuație care se reduce la factorizare folosind formule de reducere

• Rezolvați ecuația

Soluţie:

Din nou notoriile formule de distribuție:

Din nou, nu încercați să tăiați!

Prima ecuație are rădăcini:

Si al doilea:

Acum din nou căutarea rădăcinilor.

O sa incep cu a doua serie, stiu deja totul despre ea din exemplul anterior! Priviți și asigurați-vă că rădăcinile aparținând golului sunt după cum urmează:

Acum prima serie și este mai simplu:

Dacă - potrivit

Dacă - de asemenea bine

Dacă - deja zbor.

Atunci rădăcinile vor fi:

Muncă independentă. 3 ecuații.

Ei bine, înțelegi tehnica? Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice nu mai pare atât de dificilă? Apoi rezolvați rapid următoarele probleme și apoi voi și cu mine vom rezolva alte exemple:

1. Rezolvați ecuația
   Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care sunt atașate decalajului.
2. Ecuația re-shi-te
   Indicați rădăcinile ecuației, care sunt atașate tăieturii
3. Ecuația re-shi-te
   Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații, la-de-asupra-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Ecuația 1

Și din nou formula de turnare:

Prima serie de rădăcini:

A doua serie de rădăcini:

Începem selecția pentru interval

Răspuns: , .

Ecuația 2 Verificarea muncii independente.

Grupare destul de complicată în factori (voi folosi formula pentru sinusul unui unghi dublu):

apoi sau

Aceasta este o soluție generală. Acum trebuie să luăm rădăcinile. Problema este că nu putem spune valoarea exactă a unui unghi al cărui cosinus este egal cu un sfert. Prin urmare, nu pot să scap pur și simplu de arccosină - o astfel de pacoste!

Ce pot face este să-mi dau seama că de atunci.

Să facem un tabel: interval:

Ei bine, prin căutări dureroase, am ajuns la concluzia dezamăgitoare că ecuația noastră are o singură rădăcină în intervalul indicat: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Ecuația 3. Verificarea muncii independente.

O ecuație înspăimântătoare. Cu toate acestea, se rezolvă destul de simplu prin aplicarea formulei pentru sinusul unui unghi dublu:

Să o reducem cu 2:

Grupăm primul termen cu al doilea și al treilea cu al patrulea și scoatem factorii comuni:

Este clar că prima ecuație nu are rădăcini, iar acum luați în considerare a doua:

În general, aveam să mă opresc asupra rezolvării unor astfel de ecuații puțin mai târziu, dar din moment ce a apărut, nu era nimic de făcut, a trebuit să decidem...

Ecuații de forma:

Această ecuație se rezolvă prin împărțirea ambelor părți la:

Astfel, ecuația noastră are o singură serie de rădăcini:

Trebuie să le găsiți pe acelea dintre ele care aparțin intervalului: .

Să construim din nou masa, așa cum am făcut înainte:

Răspuns: .

Ecuații care se reduc la forma:

Ei bine, acum este timpul să trecem la a doua porțiune a ecuațiilor, mai ales că deja am scos în evidență în ce constă soluția noului tip de ecuații trigonometrice. Dar nu va fi de prisos să repetăm ​​că ecuația formei

Se rezolvă împărțind ambele părți la cosinus:

1. Ecuația re-shi-te
   Indicați rădăcinile ecuației care sunt atașate marginii.
2. Ecuația re-shi-te
   Indicați rădăcinile ecuației, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Exemplul 1

Primul este destul de simplu. Deplasați-vă la dreapta și aplicați formula cosinusului cu unghi dublu:

Aha! Tip ecuație: . Împărțim ambele părți în

Facem eliminarea rădăcinilor:

Decalaj:

Răspuns:

Exemplul 2

Totul este, de asemenea, destul de banal: să deschidem parantezele din dreapta:

Identitatea trigonometrică de bază:

Sinusul unui unghi dublu:

În sfârșit obținem:

Screeningul rădăcinilor: gol.

Răspuns: .

Ei bine, cum vă place tehnica, nu este prea complicată? Sper ca nu. Putem face imediat o rezervă: în forma sa pură, ecuațiile care se reduc imediat la o ecuație pentru tangentă sunt destul de rare. De obicei, această tranziție (împărțirea la cosinus) este doar o parte a unei probleme mai mari. Iată un exemplu pe care să îl exersați:

• Ecuația re-shi-te
• Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații, la-de-asupra-le-zha-schie din-cut.

Sa verificam:

Ecuația se rezolvă imediat, este suficient să împărțiți ambele părți la:

Cernerea rădăcinilor:

Răspuns: .

Într-un fel sau altul, încă nu am întâlnit ecuații de tipul pe care tocmai am discutat. Cu toate acestea, este încă prea devreme pentru a finaliza: mai există un „strat” de ecuații pe care nu l-am analizat. Asa de:

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin schimbarea variabilei

Totul este transparent aici: ne uităm atent la ecuație, o simplificăm cât mai mult, facem o înlocuire, rezolvăm, facem o înlocuire inversă! În cuvinte, totul este foarte ușor. Să-l vedem în acțiune:

Exemplu.

• Rezolvați ecuația: .
• Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații, la-de-asupra-le-zha-schie din-cut.

Ei bine, aici înlocuitorul în sine se sugerează în mâinile noastre!

Atunci ecuația noastră devine următoarea:

Prima ecuație are rădăcini:

Iar al doilea este cam asa:

Acum să găsim rădăcinile care aparțin intervalului

Răspuns: .

Să ne uităm împreună la un exemplu puțin mai complex:

• Ecuația re-shi-te
• Indicați rădăcinile ecuației date, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Aici înlocuirea nu este imediat vizibilă, în plus, nu este foarte evidentă. Să ne gândim mai întâi: ce putem face?

Ne putem, de exemplu, să ne imaginăm

Și în același timp

Atunci ecuația mea devine:

Și acum atenție, concentrează-te:

Să împărțim ambele părți ale ecuației în:

Dintr-o dată, tu și cu mine am primit o ecuație pătratică pentru! Să facem o înlocuire, apoi obținem:

Ecuația are următoarele rădăcini:

O a doua serie neplăcută de rădăcini, dar nu e nimic de făcut! Facem o selecție de rădăcini pe interval.

Trebuie să luăm în considerare și asta

De-atunci

Răspuns:

Pentru a consolida, înainte de a rezolva singur problemele, iată un alt exercițiu pentru tine:

• Ecuația re-shi-te
• Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații, la-de-asupra-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Aici trebuie să ții ochii deschiși: avem numitori care pot fi zero! Prin urmare, trebuie să fii deosebit de atent la rădăcini!

În primul rând, trebuie să transform ecuația, astfel încât să pot face o substituție adecvată. Nu mă pot gândi la ceva mai bun acum decât să rescriu tangenta în termeni de sinus și cosinus:

Acum voi trece de la cosinus la sinus conform identității trigonometrice de bază:

Și, în sfârșit, voi aduce totul la un numitor comun:

Acum pot trece la ecuația:

Dar la (adică la).

Acum totul este gata pentru înlocuire:

Atunci fie

Cu toate acestea, rețineți că dacă, atunci în același timp!

Cine suferă de asta? Problema este cu tangenta, nu este definită când cosinusul este zero (se produce împărțirea la zero).

Deci rădăcinile ecuației sunt:

Acum eliminăm rădăcinile din interval:

Astfel, ecuația noastră are o singură rădăcină pe interval și este egală.

Vedeți: apariția numitorului (precum și tangentei, duce la anumite dificultăți cu rădăcinile! Trebuie să fiți mai atenți aici!).

Ei bine, tu și cu mine aproape am terminat analiza ecuațiilor trigonometrice, a mai rămas foarte puțin - să rezolvăm singuri două probleme. Aici sunt ei.

1. Rezolvați ecuația
   Găsiți-di-cele toate rădăcinile acestei ecuații, la-de-asupra-le-zha-schie din-cut.
2. Ecuația re-shi-te
   Indicați rădăcinile acestei ecuații, care sunt atașate tăieturii.

Hotărât? Nu foarte greu? Sa verificam:

1. Lucrăm după formulele de reducere:

   Inlocuim in ecuatie:

   Să rescriem totul în termeni de cosinus, astfel încât să fie mai convenabil să facem înlocuirea:

   Acum este ușor să faci înlocuirea:

   Este clar că este o rădăcină străină, deoarece ecuația nu are soluții. Apoi:

   Căutăm rădăcinile de care avem nevoie pe interval

   Răspuns: .

2. 
   Aici înlocuitorul este imediat vizibil:

   Atunci fie

   	- se potrivește!	- se potrivește!
   	- se potrivește!	- se potrivește!
   	- mult!	- de asemenea, multe!

   Răspuns:

Ei bine, acum totul! Dar soluția ecuațiilor trigonometrice nu se termină aici, am lăsat în urmă cazurile cele mai dificile: când există iraționalitate sau diferite tipuri de „numitori complecși” în ecuații. Cum să rezolvăm astfel de sarcini, vom lua în considerare într-un articol pentru un nivel avansat.

NIVEL AVANSAT

Pe lângă ecuațiile trigonometrice luate în considerare în cele două articole precedente, luăm în considerare o altă clasă de ecuații care necesită o analiză și mai atentă. Aceste exemple trigonometrice conțin fie o iraționalitate, fie un numitor, ceea ce face analiza lor mai dificilă.. Cu toate acestea, este posibil să întâlniți aceste ecuații în partea C a lucrării de examen. Cu toate acestea, există o căptușeală de argint: pentru astfel de ecuații, de regulă, întrebarea care dintre rădăcinile sale aparțin unui interval dat nu se mai pune. Să nu dăm peste tufiș, ci doar exemple trigonometrice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația și găsiți acele rădăcini care aparțin segmentului.

Soluţie:

Avem un numitor care nu trebuie să fie egal cu zero! Atunci rezolvarea acestei ecuații este la fel cu rezolvarea sistemului

Să rezolvăm fiecare dintre ecuații:

Și acum al doilea:

Acum să ne uităm la serie:

Este clar că opțiunea nu ne convine, deoarece în acest caz numitorul este setat la zero (vezi formula pentru rădăcinile celei de-a doua ecuații)

Dacă - atunci totul este în ordine, iar numitorul nu este egal cu zero! Atunci rădăcinile ecuației sunt: ​​, .

Acum selectăm rădăcinile aparținând intervalului.

Atunci rădăcinile sunt:

Vedeți, chiar și apariția unei mici interferențe sub forma unui numitor a afectat semnificativ soluția ecuației: am aruncat o serie de rădăcini care anulează numitorul. Lucrurile se pot complica și mai mult dacă dai peste exemple trigonometrice care au iraționalitate.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația:

Soluţie:

Ei bine, cel puțin nu trebuie să selectați rădăcinile și asta e bine! Să rezolvăm mai întâi ecuația, indiferent de iraționalitate:

Și ce, asta e tot? Nu, vai, ar fi prea ușor! Trebuie amintit că numai numerele nenegative pot sta sub rădăcină. Apoi:

Rezolvarea acestei inegalități:

Acum rămâne să aflăm dacă o parte din rădăcinile primei ecuații nu a căzut din greșeală într-un loc în care inegalitatea nu este valabilă.

Pentru a face acest lucru, puteți utiliza din nou tabelul:

Astfel, una dintre rădăcini mi-a „căzut”! Se dovedește că dacă pui . Apoi răspunsul poate fi scris după cum urmează:

Răspuns:

Vedeți, rădăcina necesită o atenție și mai mare! Să complicăm: acum am o funcție trigonometrică sub rădăcină.

Exemplul 3

Ca și înainte: mai întâi vom rezolva fiecare separat, apoi ne vom gândi la ce am făcut.

Acum a doua ecuație:

Acum, cel mai dificil lucru este să aflăm dacă valori negative sunt obținute sub rădăcina aritmetică dacă înlocuim rădăcinile din prima ecuație acolo:

Numărul trebuie înțeles ca radiani. Deoarece un radian este de aproximativ grade, radianii sunt de aproximativ grade. Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Care este semnul cosinusului celui de-al doilea sfert? Minus. Ce zici de sine? La care se adauga. Deci ce zici de expresia:

Este mai puțin de zero!

Deci - nu este rădăcina ecuației.

Acum întoarce-te.

Să comparăm acest număr cu zero.

Cotangenta este o functie care scade in 1 sfert (cu cat argumentul este mai mic, cu atat cotangenta este mai mare). radianii sunt aproximativ grade. În același timp

de când, atunci și deci
,

Răspuns: .

Ar putea fi și mai dificil? Vă rog! Va fi mai dificil dacă rădăcina este încă o funcție trigonometrică, iar a doua parte a ecuației este din nou o funcție trigonometrică.

Cu cât mai multe exemple trigonometrice, cu atât mai bine, căutați mai departe:

Exemplul 4

Rădăcina nu este potrivită, din cauza cosinusului limitat

Acum al doilea:

În același timp, prin definiția rădăcinii:

Trebuie să ne amintim de cercul unitar: și anume acele sferturi în care sinusul este mai mic decât zero. Ce sunt aceste sferturi? Al treilea și al patrulea. Atunci ne vor interesa acele soluții ale primei ecuații care se află în al treilea sau al patrulea cadran.

Prima serie oferă rădăcini situate la intersecția celui de-al treilea și al patrulea sferturi. A doua serie este diametral opusă acesteia și dă naștere la rădăcini situate la granița primului și al doilea sferturi. Prin urmare, această serie nu ni se potrivește.

Răspuns: ,

Și din nou exemple trigonometrice cu „iraționalitate dificilă”. Nu numai că avem din nou o funcție trigonometrică sub rădăcină, dar acum este și la numitor!

Exemplul 5

Ei bine, nu este nimic de făcut - procedăm ca înainte.

Acum lucrăm cu numitorul:

Nu vreau să rezolv inegalitatea trigonometrică și, prin urmare, o voi face dificil: voi lua și voi înlocui seria mea de rădăcini în inegalitate:

Dacă este par, atunci avem:

deoarece, atunci toate unghiurile de vedere se află în al patrulea trimestru. Și din nou întrebarea sacră: care este semnul sinusului în al patrulea trimestru? Negativ. Apoi inegalitatea

Dacă este impar, atunci:

În ce sfert este unghiul? Acesta este colțul celui de-al doilea trimestru. Apoi, toate colțurile sunt din nou colțurile celui de-al doilea sfert. Sinusul este pozitiv. Exact ce ai nevoie! Deci seria este:

Se potrivește!

Ne ocupăm de a doua serie de rădăcini în același mod:

Înlocuiți în inegalitatea noastră:

Dacă este par, atunci

Colțuri din primul sfert. Sinusul este pozitiv acolo, deci seria este potrivită. Acum, dacă este ciudat, atunci:

se potriveste si!

Ei bine, acum scriem răspunsul!

Răspuns:

Ei bine, acesta a fost poate cel mai laborios caz. Acum vă ofer sarcini pentru soluție independentă.

Instruire

1. Rezolvați și găsiți toate rădăcinile ecuației care aparțin segmentului.

Solutii:

1. 
   Prima ecuație:
   sau
   ODZ rădăcină:

   A doua ecuație:

   Selectarea rădăcinilor care aparțin intervalului

   Răspuns:

Sau
sau
Dar

Considera: . Dacă este par, atunci
- nu se potriveste!
Dacă - ciudat, : - se potrivește!
Deci ecuația noastră are următoarea serie de rădăcini:
sau
Selectarea rădăcinilor pe interval:

	- nu sunt adecvate	- se potrivește
	- se potrivește	- mult
	- se potrivește	mult

Răspuns: , .

Sau
De când, atunci când tangenta nu este definită. Aruncați imediat această serie de rădăcini!

A doua parte:

În același timp, ODZ cere asta

Verificăm rădăcinile găsite în prima ecuație:

Dacă semnează:

Unghiuri ale primului sfert, unde tangenta este pozitivă. Nu sunt adecvate!
Dacă semnează:

Colțul al patrulea sfert. Acolo tangenta este negativă. Se potrivește. Scrieți răspunsul:

Răspuns: , .

Am defalcat împreună exemple trigonometrice complexe în acest articol, dar ar trebui să puteți rezolva singur ecuațiile.

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

O ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află strict sub semnul funcției trigonometrice.

Există două moduri de a rezolva ecuații trigonometrice:

Prima modalitate este utilizarea formulelor.

A doua cale este printr-un cerc trigonometric.

Vă permite să măsurați unghiurile, să găsiți sinusurile, cosinusurile și multe altele.

A) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Soluţie

A) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tg x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0, care, prin grupare, se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Cu ajutorul unui cerc numeric, selectăm rădăcinile aparținând intervalului \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Răspuns

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Condiție

A) Rezolvați ecuația (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Soluţie

A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Ecuația originală de pe ODZ este echivalentă cu setul de ecuații

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.

Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom înlocui \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Atunci \sin^24x=1-t^2. Primim:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Să rezolvăm a doua ecuație.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.

Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0.

Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Să găsim rădăcinile aparținând intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Răspuns

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Specificați toate rădăcinile care aparțin intervalului \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Soluţie

A) Deoarece \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, Acea \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, prin urmare, ecuația dată este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul său, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Dar \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)Și

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Rezolvând prima ecuație ca o ecuație pătratică pentru \cos x, obținem:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare, fie \cos x=1 fie \cosx=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă \cosx=-\frac12, Acea x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie \cosx=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Dacă \cosx=\frac12, Acea x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Să combinăm soluțiile obținute:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Selectăm rădăcinile care se încadrează în intervalul dat folosind un cerc numeric.

Primim: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Răspuns

A) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Soluţie

A) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul ecuației va fi valorile x astfel încât \cos x \neq 0 și tg x \neq -1. Transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obtinem ecuatia: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

observa asta \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula pentru suma cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

De aici \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

sau x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

De aceea x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

sau x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției.

b) Să aflăm mai întâi unde cad rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi, respectiv, numerele a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5Și b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Să demonstrăm o inegalitate auxiliară:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Mijloace \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Din inegalităţi (1) prin proprietatea arccosinusului obținem:

arccos 1

0

De aici \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

De asemenea, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Cu k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).în care -2\pi

2\pi Deci aceste rădăcini aparțin intervalului dat \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat.

Într-adevăr, dacă k\geqslant 1 și t\geqslant 1, atunci rădăcinile sunt mai mari decât 2\pi. Dacă k\leqslant -2 și t\leqslant -2, atunci rădăcinile sunt mai mici -\frac(7\pi )2.

Răspuns

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ;

Soluţie

A) Să transformăm ecuația:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2\sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar.

Intervalul specificat conține un singur număr \frac\pi 2.

Răspuns

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Mijloace, \sin x \neq 1.

Împărțiți ambele părți ale ecuației la factor (\sinx-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în partea dreaptă, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Aceasta este ecuația care utilizează substituția \cosx=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduce la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1Și t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cosx=-1, Unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Rezolvați inegalitățile

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Nu există numere întregi care aparțin intervalului \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi.

Răspuns

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

În acest articol voi încerca să explic 2 moduri luând rădăcini într-o ecuație trigonometrică: folosind inegalitățile și folosind un cerc trigonometric. Să trecem la un exemplu clar și ne vom da seama pe măsură ce mergem.

A) Rezolvați ecuația sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului [-7Pi/2; -2Pi]

Să rezolvăm a.

Folosim formula de reducere pentru sinusul sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cos - 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

Cox = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Să rezolvăm punctul b.

1) Selectarea rădăcinilor folosind inegalități

Aici totul se face simplu, înlocuim rădăcinile obținute în intervalul dat [-7Pi / 2; -2Pi], găsiți valori întregi pentru n.

7Pi/2 este mai mic sau egal cu Pi/2 + Pinul este mai mic sau egal cu -2Pi

Împărțiți imediat totul cu Pi

7/2 mai mic sau egal cu 1/2 + n mai mic sau egal cu -2

7/2 - 1/2 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -2 - 1/2

4 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -5/2

Numerele întregi n din acest interval sunt -4 și -3. Deci rădăcinile aparținând acestui interval vor fi Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

În mod similar, mai facem două inegalități

7Pi/2 este mai mic sau egal cu Pi/4 + 2Pin este mai mic sau egal cu -2Pi
-15/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -9/8

Nu există numere întregi n în acest interval

7Pi/2 mai mic sau egal cu -Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-13/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -7/8

Un număr întreg n din acest interval este -1. Deci rădăcina selectată pe acest interval este -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Deci răspunsul din paragraful b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Selectarea rădăcinilor folosind un cerc trigonometric

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să înțelegeți cum funcționează acest cerc. Voi încerca să explic în termeni simpli cum îl înțeleg. Cred că în școlile la lecțiile de algebră această temă a fost explicată de multe ori prin cuvintele inteligente ale profesorului, în manuale există formulări complexe. Personal, înțeleg asta ca un cerc care poate fi parcurs de un număr infinit de ori, acest lucru se explică prin faptul că funcțiile sinus și cosinus sunt periodice.

Să mergem în sens invers acelor de ceasornic

Mergeți de 2 ori în sens invers acelor de ceasornic

Mergeți o dată în sensul acelor de ceasornic (valorile vor fi negative)

Să revenim la întrebarea noastră, trebuie să selectăm rădăcinile pe intervalul [-7Pi/2; -2Pi]

Pentru a ajunge la numerele -7Pi / 2 și -2Pi, trebuie să ocoliți cercul în sens invers acelor de ceasornic de două ori. Pentru a găsi rădăcinile ecuației pe acest interval, este necesar să se estimeze și să se substituie.

Luați în considerare x = Pi/2 + Pin. Care este valoarea aproximativă a lui n pentru ca x să fie undeva în acel interval? Înlocuim, să spunem -2, obținem Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, evident că nu este inclus în gama noastră, așa că luăm mai puțin de -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, aceasta este potrivit, să încercăm un alt -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, potrivit și el.

Argumentând în mod similar pentru Pi/4 + 2Pin și -Pi/4 + 2Pin, găsim o altă rădăcină -9Pi/4.

Comparația a două metode.

Prima metodă (folosind inegalități) este mult mai fiabilă și mult mai ușor de înțeles, dar dacă înțelegeți cu adevărat cercul trigonometric și a doua metodă de selecție, atunci selectarea rădăcinii va fi mult mai rapidă, puteți economisi aproximativ 15 minute la examen.