Formulați definiția rădăcinii unei ecuații pătratice. Rădăcinile unei ecuații pătratice. Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Doar. După formule și reguli clare simple. La prima etapă

trebuie să aducem ecuația dată la vedere standard, adică la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este corect

determina toti coeficientii A, bși c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant . După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi

utilizare doar a, b și c. Acestea. cote de la ecuație pătratică. Doar introduceți cu grijă

valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Înlocuiește cu al lor semne!

De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c = -4.

Înlocuiți valorile și scrieți:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de valori a, bși Cu. Mai degrabă, cu înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici se salvează formula detaliată

cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Pictăm totul în detaliu, cu atenție, fără să lipsească nimic cu toate semnele și parantezele:

Adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima recepție. Nu fi leneș înainte rezolvarea unei ecuații pătratice aduceți-o la forma standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c.

Construiți corect exemplul. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul.

Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficientul

x2+bx+c=0,

apoix 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a≠1:

x 2 +bx+c=0,

împărțiți întreaga ecuație la A:

→ →

Unde x 1și X 2 - rădăcinile ecuației.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuație pentru un numitor comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații pentru -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință prin

Lecția video 2: Rezolvarea ecuațiilor pătratice

Lectura: Ecuații cuadratice

Ecuația

Ecuația- acesta este un fel de egalitate, în expresiile căreia există o variabilă.

rezolva ecuatia- înseamnă a găsi un astfel de număr în locul unei variabile care să-l conducă la egalitatea corectă.

O ecuație poate avea o soluție, mai multe sau deloc.

Pentru a rezolva orice ecuație, ar trebui simplificată pe cât posibil la forma:

Liniar: a*x = b;

Pătrat: a*x 2 + b*x + c = 0.

Adică, orice ecuație înainte de rezolvare trebuie convertită într-o formă standard.

Orice ecuație poate fi rezolvată în două moduri: analitic și grafic.

Pe grafic, soluția ecuației este considerată a fi punctele în care graficul intersectează axa x.

Ecuații cuadratice

O ecuație poate fi numită pătratică dacă, atunci când este simplificată, ia forma:

a*x 2 + b*x + c = 0.

în care a, b, c sunt coeficienți ai ecuației care diferă de zero. DAR "X"- rădăcina ecuației. Se crede că o ecuație pătratică are două rădăcini sau poate să nu aibă deloc o soluție. Rădăcinile rezultate pot fi aceleași.

"A"- coeficientul care stă în fața rădăcinii în pătrat.

"b"- stă înaintea necunoscutului în gradul I.

"Cu"- termenul liber al ecuaţiei.

Dacă, de exemplu, avem o ecuație de forma:

2x 2 -5x+3=0

În ea, „2” este coeficientul la cel mai înalt termen al ecuației, „-5” este al doilea coeficient și „3” este termenul liber.

Rezolvarea unei ecuații pătratice

Există multe moduri de a rezolva o ecuație pătratică. Totuși, la cursul școlar de matematică, soluția este studiată folosind teorema Vieta, precum și folosind discriminantul.

Soluție discriminantă:

Când rezolvați folosind această metodă, este necesar să calculați discriminantul folosind formula:

Dacă în timpul calculelor ați constatat că discriminantul este mai mic decât zero, aceasta înseamnă că această ecuație nu are soluții.

Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are două soluții identice. În acest caz, polinomul poate fi restrâns conform formulei de înmulțire prescurtată în pătratul sumei sau al diferenței. Apoi rezolvați-o ca pe o ecuație liniară. Sau folosiți formula:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci trebuie utilizată următoarea metodă:

teorema lui Vieta

Dacă ecuația este redusă, adică coeficientul la cel mai mare termen este egal cu unu, atunci puteți utiliza teorema lui Vieta.

Deci, să presupunem că ecuația este:

Rădăcinile ecuației se găsesc după cum urmează:

Ecuație pătratică incompletă

Există mai multe opțiuni pentru obținerea unei ecuații pătratice incomplete, a cărei formă depinde de prezența coeficienților.

1. Dacă al doilea și al treilea coeficienți sunt egali cu zero (b=0, c=0), atunci ecuația pătratică va arăta astfel:

Această ecuație va avea o soluție unică. Egalitatea va fi adevărată numai dacă soluția ecuației este zero.

Vă reamintim că ecuația pătratică completă este o ecuație de forma:

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete este puțin mai complicată (doar puțin) decât cele date.

Tine minte, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul!

Chiar incomplet.

Restul metodelor te vor ajuta să o faci mai repede, dar dacă ai probleme cu ecuațiile pătratice, mai întâi stăpânește soluția folosind discriminantul.

1. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind discriminantul.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este foarte simplă, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule.

Dacă, atunci ecuația are 2 rădăcini. Acordați o atenție deosebită pasului 2.

Discriminantul D ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci formula de la pas se va reduce la. Astfel, ecuația va avea doar o rădăcină.
• Dacă, atunci nu vom putea extrage rădăcina discriminantului la pas. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice.

Graficul funcției este o parabolă:

Să ne întoarcem la ecuațiile noastre și să vedem câteva exemple.

Exemplul 9

Rezolvați ecuația

Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are două rădăcini.

Pasul 3

Răspuns:

Exemplul 10

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Deci ecuația are o singură rădăcină.

Răspuns:

Exemplul 11

Rezolvați ecuația

Ecuația este în formă standard, deci Pasul 1 ocolire.

Pasul 2

Găsirea discriminantului:

Aceasta înseamnă că nu vom putea extrage rădăcina din discriminant. Nu există rădăcini ale ecuației.

Acum știm cum să scriem corect astfel de răspunsuri.

Răspuns: fara radacini

2. Rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema Vieta

Dacă vă amintiți, atunci există un astfel de tip de ecuații care se numesc reduse (când coeficientul a este egal cu):

Astfel de ecuații sunt foarte ușor de rezolvat folosind teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor dat ecuația pătratică este egală, iar produsul rădăcinilor este egal.

Trebuie doar să alegeți o pereche de numere al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Exemplul 12

Rezolvați ecuația

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece .

Suma rădăcinilor ecuației este, i.e. obținem prima ecuație:

Iar produsul este:

Să creăm și să rezolvăm sistemul:

• și. Suma este;
• și. Suma este;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Răspuns: ; .

Exemplul 13

Rezolvați ecuația

Răspuns:

Exemplul 14

Rezolvați ecuația

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Răspuns:

ECUAȚII CADRATICE. NIVEL MEDIU

Ce este o ecuație pătratică?

Cu alte cuvinte, o ecuație pătratică este o ecuație de forma, unde - necunoscut, - unele numere, de altfel.

Numărul se numește cel mai mare sau primul coeficient ecuație pătratică, - al doilea coeficient, A - membru liber.

Pentru că dacă, ecuația va deveni imediat liniară, deoarece va disparea.

În acest caz, și poate fi egal cu zero. În acest scaun se numește ecuația incomplet.

Dacă toți termenii sunt la locul lor, adică ecuația - complet.

Metode de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete

Pentru început, vom analiza metodele de rezolvare a ecuațiilor pătratice incomplete - sunt mai simple.

Se pot distinge următoarele tipuri de ecuații:

I. , în această ecuație coeficientul și termenul liber sunt egali.

II. , în această ecuație coeficientul este egal.

III. , în această ecuație termenul liber este egal cu.

Acum luați în considerare soluția fiecăruia dintre aceste subtipuri.

Evident, această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină:

Un număr la pătrat nu poate fi negativ, deoarece la înmulțirea a două numere negative sau a două numere pozitive, rezultatul va fi întotdeauna un număr pozitiv. De aceea:

dacă, atunci ecuația nu are soluții;

dacă avem două rădăcini

Aceste formule nu trebuie memorate. Principalul lucru de reținut este că nu poate fi mai puțin.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Exemplul 15

Răspuns:

Nu uita niciodată de rădăcinile cu semn negativ!

Exemplul 16

Pătratul unui număr nu poate fi negativ, ceea ce înseamnă că ecuația

fara radacini.

Pentru a scrie pe scurt că problema nu are soluții, folosim pictograma set goală.

Răspuns:

Exemplul 17

Deci, această ecuație are două rădăcini: și.

Răspuns:

Să scoatem factorul comun din paranteze:

Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Aceasta înseamnă că ecuația are o soluție atunci când:

Deci, această ecuație pătratică are două rădăcini: și.

Exemplu:

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Factorizăm partea stângă a ecuației și găsim rădăcinile:

Răspuns:

Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice complete

1. Discriminant

Rezolvarea ecuațiilor pătratice în acest fel este ușoară, principalul lucru este să vă amintiți succesiunea de acțiuni și câteva formule. Amintiți-vă, orice ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind discriminantul! Chiar incomplet.

Ați observat rădăcina discriminantului în formula rădăcinii?

Dar discriminantul poate fi negativ.

Ce să fac?

Trebuie să acordăm o atenție deosebită pasului 2. Discriminantul ne spune numărul de rădăcini ale ecuației.

• Dacă, atunci ecuația are rădăcină:
• Dacă, atunci ecuația are aceeași rădăcină, dar de fapt, o rădăcină:

  Astfel de rădăcini se numesc rădăcini duble.

• Dacă, atunci rădăcina discriminantului nu este extrasă. Aceasta indică faptul că ecuația nu are rădăcini.

De ce există un număr diferit de rădăcini?

Să ne întoarcem la semnificația geometrică a ecuației pătratice. Graficul funcției este o parabolă:

Într-un caz particular, care este o ecuație pătratică, .

Și aceasta înseamnă că rădăcinile ecuației pătratice sunt punctele de intersecție cu axa x (axa).

Este posibil ca parabola să nu traverseze deloc axa sau o poate intersecta într-unul (când partea superioară a parabolei se află pe axă) sau două puncte.

În plus, coeficientul este responsabil pentru direcția ramurilor parabolei. Dacă, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă - atunci în jos.

4 exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Exemplul 18

Răspuns:

Exemplul 19

Răspuns: .

Exemplul 20

Răspuns:

Exemplul 21

Asta înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: .

2. Teorema lui Vieta

Folosirea teoremei lui Vieta este foarte ușoară.

Tot ce ai nevoie este ridica o astfel de pereche de numere, al căror produs este egal cu termenul liber al ecuației, iar suma este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus.

Este important să ne amintim că teorema lui Vieta poate fi aplicată numai la date ecuații pătratice ().

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul 22

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Această ecuație este potrivită pentru rezolvare folosind teorema lui Vieta, deoarece . Alți coeficienți: ; .

Suma rădăcinilor ecuației este:

Iar produsul este:

Să selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal și să verificăm dacă suma lor este egală:

• și. Suma este;
• și. Suma este;
• și. Suma este egală.

și sunt soluția sistemului:

Astfel, și sunt rădăcinile ecuației noastre.

Răspuns: ; .

Exemplul 23

Soluţie:

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și apoi verificăm dacă suma lor este egală:

si: da in total.

si: da in total. Pentru a-l obține, trebuie doar să schimbați semnele presupuselor rădăcini: și, la urma urmei, produsul.

Răspuns:

Exemplul 24

Soluţie:

Termenul liber al ecuației este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este un număr negativ. Acest lucru este posibil numai dacă una dintre rădăcini este negativă, iar cealaltă este pozitivă. Deci suma rădăcinilor este diferențele modulelor lor.

Selectăm astfel de perechi de numere care dau în produs și a căror diferență este egală cu:

și: diferența lor este - nepotrivit;

și: - neadecvat;

și: - neadecvat;

si: - potrivit. Rămâne doar să ne amintim că una dintre rădăcini este negativă. Deoarece suma lor trebuie să fie egală, atunci rădăcina, care este mai mică în valoare absolută, trebuie să fie negativă: . Verificăm:

Răspuns:

Exemplul 25

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Termenul liber este negativ și, prin urmare, produsul rădăcinilor este negativ. Și acest lucru este posibil numai atunci când o rădăcină a ecuației este negativă, iar cealaltă este pozitivă.

Selectăm astfel de perechi de numere al căror produs este egal și apoi determinăm care rădăcini ar trebui să aibă semn negativ:

Evident, numai rădăcini și sunt potrivite pentru prima condiție:

Răspuns:

Exemplul 26

Rezolvați ecuația.

Soluţie:

Ecuația este redusă, ceea ce înseamnă:

Suma rădăcinilor este negativă, ceea ce înseamnă că cel puțin una dintre rădăcini este negativă. Dar, deoarece produsul lor este pozitiv, înseamnă că ambele rădăcini sunt minus.

Selectăm astfel de perechi de numere, al căror produs este egal cu:

Evident, rădăcinile sunt numerele și.

Răspuns:

De acord, este foarte convenabil - să inventați rădăcinile oral, în loc să numărați acest discriminant urât.

Încercați să folosiți teorema lui Vieta cât mai des posibil!

Dar teorema Vieta este necesară pentru a facilita și accelera găsirea rădăcinilor.

Pentru a vă face profitabil folosirea acestuia, trebuie să aduceți acțiunile la automatism. Și pentru asta, rezolvă încă cinci exemple.

Dar nu înșela: nu poți folosi discriminantul! Doar teorema lui Vieta!

5 exemple de teorema lui Vieta pentru autostudiu

Exemplul 27

Sarcina 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Conform teoremei lui Vieta:

Ca de obicei, începem selecția cu produsul:

Nu este potrivit pentru că suma;

: suma este ceea ce ai nevoie.

Răspuns: ; .

Exemplul 28

Sarcina 2.

Și din nou, teorema noastră preferată Vieta: suma ar trebui să funcționeze, dar produsul este egal.

Dar din moment ce nu ar trebui să fie, dar, schimbăm semnele rădăcinilor: și (în total).

Răspuns: ; .

Exemplul 29

Sarcina 3.

Hmm... Unde este?

Este necesar să transferați toți termenii într-o singură parte:

Suma rădăcinilor este egală cu produsul.

Da, oprește-te! Ecuația nu este dată.

Dar teorema lui Vieta este aplicabilă numai în ecuațiile date.

Deci mai întâi trebuie să aduceți ecuația.

Dacă nu o puteți aduce în discuție, renunțați la această idee și rezolvați-o într-un alt mod (de exemplu, prin discriminant).

Permiteți-mi să vă reamintesc că a aduce o ecuație pătratică înseamnă a face coeficientul de conducere egal cu:

Atunci suma rădăcinilor este egală, iar produsul.

Este mai ușor să ridici aici: la urma urmei - un număr prim (scuze pentru tautologie).

Răspuns: ; .

Exemplul 30

Sarcina 4.

Termenul liber este negativ.

Ce este atât de special la asta?

Și faptul că rădăcinile vor fi de semne diferite.

Și acum, în timpul selecției, verificăm nu suma rădăcinilor, ci diferența dintre modulele lor: această diferență este egală, ci produsul.

Deci, rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este cu minus.

Teorema lui Vieta ne spune că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient cu semnul opus, adică.

Aceasta înseamnă că rădăcina mai mică va avea un minus: și, din moment ce.

Răspuns: ; .

Exemplul 31

Sarcina 5.

Ce trebuie făcut mai întâi?

Așa este, dați ecuația:

Din nou: selectăm factorii numărului, iar diferența lor ar trebui să fie egală cu:

Rădăcinile sunt egale și, dar una dintre ele este minus. Care? Suma lor trebuie să fie egală, ceea ce înseamnă că cu un minus va exista o rădăcină mai mare.

Răspuns: ; .

Rezuma

1. Teorema lui Vieta este folosită numai în ecuațiile pătratice date.
2. Folosind teorema Vieta, puteți găsi rădăcinile prin selecție, oral.
3. Dacă ecuația nu este dată sau nu a fost găsită nicio pereche adecvată de factori ai termenului liber, atunci nu există rădăcini întregi și trebuie să o rezolvați în alt mod (de exemplu, prin discriminant).

3. Metoda de selecție a pătratului complet

Dacă toți termenii care conțin necunoscutul sunt reprezentați ca termeni din formulele de înmulțire prescurtată - pătratul sumei sau al diferenței - atunci după schimbarea variabilelor, ecuația poate fi reprezentată ca o ecuație pătratică incompletă de tip.

De exemplu:

Exemplul 32

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

Exemplul 33

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

Răspuns:

În general, transformarea va arăta astfel:

Asta implică: .

Nu-ți aduce aminte de nimic?

Este discriminatorul! Exact așa s-a obținut formula discriminantă.

ECUAȚII CADRATICE. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Ecuație cuadratică este o ecuație de forma, unde este necunoscuta, sunt coeficienții ecuației pătratice, este termenul liber.

Ecuație pătratică completă- o ecuație în care coeficienții nu sunt egali cu zero.

Ecuație pătratică redusă- o ecuaţie în care coeficientul, adică: .

Ecuație pătratică incompletă- o ecuație în care coeficientul și/sau termenul liber c sunt egale cu zero:

• dacă coeficientul, ecuația are forma: ,
• dacă este un termen liber, ecuația are forma: ,
• dacă și, ecuația are forma: .

1. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

1.1. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Exprimați necunoscutul: ,

2) Verificați semnul expresiei:

• dacă, atunci ecuația nu are soluții,
• dacă, atunci ecuația are două rădăcini.

1.2. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

1) Să luăm factorul comun din paranteze: ,

2) Produsul este egal cu zero dacă cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. Prin urmare, ecuația are două rădăcini:

1.3. O ecuație pătratică incompletă de forma, unde:

Această ecuație are întotdeauna o singură rădăcină: .

2. Algoritm pentru rezolvarea ecuaţiilor pătratice complete de forma unde

2.1. Soluție folosind discriminantul

1) Să aducem ecuația la forma standard: ,

2) Calculați discriminantul folosind formula: , care indică numărul de rădăcini ale ecuației:

3) Aflați rădăcinile ecuației:

• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația are o rădăcină, care se găsește prin formula:
• dacă, atunci ecuația nu are rădăcini.

2.2. Rezolvare folosind teorema lui Vieta

Suma rădăcinilor ecuației pătratice reduse (o ecuație de formă, unde) este egală, iar produsul rădăcinilor este egal, i.e. , A.

2.3. Soluție pătrat complet

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Conţinut

Vezi si: Rezolvarea ecuațiilor pătratice online

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă se construiește graficul funcției
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul traversează axa (axa) absciselor în două puncte ().
Când , graficul atinge axa x într-un punct ().
Când , graficul nu traversează axa x ().

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Vezi si:

”, adică ecuații de gradul I. În această lecție, vom explora ce este o ecuație pătratică si cum sa o rezolvi.

Ce este o ecuație pătratică

Important!

Gradul unei ecuații este determinat de gradul cel mai înalt în care se află necunoscutul.

Dacă gradul maxim în care se află necunoscutul este „2”, atunci aveți o ecuație pătratică.

Exemple de ecuații pătratice

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Important! Forma generală a ecuației pătratice arată astfel:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” și „c” - numere date.

• "a" - primul sau coeficientul superior;
• "b" - al doilea coeficient;
• „c” este un membru gratuit.

Pentru a găsi „a”, „b” și „c” Trebuie să comparați ecuația cu forma generală a ecuației pătratice „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Să exersăm determinarea coeficienților „a”, „b” și „c” în ecuații patratice.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ecuația	Cote
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Cum se rezolvă ecuații pătratice

Spre deosebire de ecuatii lineare pentru a rezolva ecuații pătratice, o specială formula pentru găsirea rădăcinilor.

Tine minte!

Pentru a rezolva o ecuație pătratică aveți nevoie de:

• aduce ecuația pătratică la vedere generala„ax 2 + bx + c = 0”. Adică doar „0” ar trebui să rămână în partea dreaptă;
• utilizați formula pentru rădăcini:

Să folosim un exemplu pentru a ne da seama cum să aplicăm formula pentru a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice. Să rezolvăm ecuația pătratică.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ecuația „x 2 - 3x - 4 = 0” a fost deja redusă la forma generală „ax 2 + bx + c = 0” și nu necesită simplificări suplimentare. Pentru a o rezolva, trebuie doar să aplicăm formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Să definim coeficienții „a”, „b” și „c” pentru această ecuație.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Cu ajutorul lui, orice ecuație pătratică este rezolvată.

În formula „x 1; 2 \u003d” expresia rădăcină este adesea înlocuită
„b 2 − 4ac” la litera „D” și numit discriminant. Conceptul de discriminant este discutat mai detaliat în lecția „Ce este un discriminant”.

Luați în considerare un alt exemplu de ecuație pătratică.

x 2 + 9 + x = 7x

În această formă, este destul de dificil să se determine coeficienții „a”, „b” și „c”. Să aducem mai întâi ecuația la forma generală „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Acum puteți folosi formula pentru rădăcini.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Răspuns: x = 3

Există momente când nu există rădăcini în ecuațiile pătratice. Această situație apare atunci când un număr negativ apare în formulă sub rădăcină.