Calculați inversul matricei. Algoritm pentru calcularea matricei inverse folosind complemente algebrice: metoda matricei adjointe (adjointe). Metoda matricială în analiza economică

Algebră matricială - Matrice inversă

matrice inversă

Matrice inversă se numește o matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea identității.
Să denotăm matricea inversă matricei ȘI prin, apoi conform definiției obținem:

unde E Este matricea identității.
Matricea pătrată numit nespecial (nedegenerat) dacă determinantul său nu este zero. În caz contrar, se numește special (degenerat) sau singular.

Următoarea teoremă este valabilă: fiecare matrice nesingulară are un invers.

Se numește operația de găsire a matricei inverse recurs matrici. Luați în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să se dea o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ \u003d det A ≠ 0.

Complement algebric al unui elementmatrici n ordinul al treilea ȘI se numește determinantul matricei ( n –1) ordinea obținută prin ștergere eu-alea linie și jcoloana a matricei ȘI:

Să compunem așa-numitul atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei ȘI.
Rețineți că complementele algebrice ale elementelor rândurilor matricei ȘI sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei à , adică matricea este transpusă în același timp.
Împărțirea tuturor elementelor matricei à prin Δ - valoarea determinantului matricei ȘI, obținem matricea inversă ca rezultat:

Observăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată ȘI matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci reversul drept și invers stânga matricile coincid cu aceasta;
3) o matrice pătrată specială (degenerată) nu are matrice inversă.

Principalele proprietăți ale matricei inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt valori reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricilor inverse ale factorilor, luate în ordine inversă:

3) inversul transpus al matricei este egal cu inversul matricei transpuse date:

PRI me r. Calculați inversul matricei date.

Pentru orice matrice nedegenerată A, există și, în plus, o matrice unică A -1 astfel încât

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

unde E este matricea identității de aceleași ordine ca A. Matricea A -1 se numește inversul matricei A.

În cazul în care cineva a uitat, în matricea de identitate, cu excepția diagonalei umplute cu unele, toate celelalte poziții sunt umplute cu zerouri, un exemplu de matrice de identitate:

Găsirea matricei inverse prin metoda matricei adjointe

Matricea inversă este definită de formula:

unde A ij sunt elemente a ij.

Acestea. pentru a calcula matricea inversă, trebuie să calculați determinantul acestei matrice. Apoi găsiți complementele algebrice pentru toate elementele sale și compuneți o nouă matrice din ele. Apoi, trebuie să transportați această matrice. Și împărțiți fiecare element al noii matrice la determinantul matricei originale.

Să ne uităm la câteva exemple.

Găsiți A -1 pentru Matrix

Soluție. Să găsim A -1 prin metoda matricei adjointe. Avem det A \u003d 2. Să găsim complementele algebrice ale elementelor matricei A. În acest caz, complementele algebrice ale elementelor matricei vor fi elementele corespunzătoare ale matricei în sine, luate cu un semn în conformitate cu formula

Avem A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Formăm matricea adiacentă

Transportăm matricea A *:

Găsim matricea inversă după formula:

Primim:

Găsiți A -1 folosind metoda matricei adiacente dacă

Soluție. În primul rând, calculăm definiția unei matrice date pentru a ne asigura că există matricea inversă. Noi avem

Aici am adăugat elementelor celui de-al doilea rând elementele celui de-al treilea rând, înmulțit anterior cu (-1), apoi am extins determinantul pe al doilea rând. Întrucât matricea dată este determinată a fi diferită de zero, există matricea inversă. Pentru a construi matricea adiacentă, găsim complementele algebrice ale elementelor acestei matrice. Noi avem

Conform formulei

transporta matricea A *:

Apoi prin formula

Găsirea matricei inverse prin metoda transformărilor elementare

În plus față de metoda pentru găsirea matricei inverse care rezultă din formulă (metoda matricei adiacente), există o metodă pentru găsirea matricei inverse, numită metoda transformărilor elementare.

Transformări ale matricei elementare

Următoarele transformări se numesc transformări ale matricei elementare:

1) permutarea rândurilor (coloanelor);

2) înmulțirea unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la elementele unui rând (coloană) a elementelor corespunzătoare ale unui alt rând (coloană), înmulțite anterior cu un anumit număr.

Pentru a găsi matricea A -1, construim o matrice dreptunghiulară B \u003d (A | E) de ordine (n; 2n), atribuind matricei A din dreapta matricea de identitate E prin linia de divizare:

Să vedem un exemplu.

Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți A -1 dacă

Soluție. Să formăm matricea B:

Să notăm rândurile matricei B cu α 1, α 2, α 3. Să efectuăm următoarele transformări pe rândurile matricei B.

Definiția 1: o matrice se numește degenerată dacă determinantul ei este zero.

Definiția 2: o matrice se numește nedegenerată dacă determinantul său nu este zero.

Matricea „A” se numește matrice inversădacă condiția A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (matrice de identitate) este îndeplinită.

O matrice pătrată este inversabilă numai dacă nu este degenerată.

Schema de calcul a matricei inverse:

1) Calculați determinantul matricei „A” dacă ∆ A \u003d 0, atunci matricea inversă nu există.

2) Găsiți toate complementele algebrice ale matricei "A".

3) Creați o matrice de complemente algebrice (Aij)

4) Transpuneți matricea complementelor algebrice (Aij) T

5) Înmulțiți matricea transpusă cu inversul determinantului acestei matrice.

6) Verificați:

La prima vedere, poate părea că este dificil, dar, de fapt, totul este foarte simplu. Toate soluțiile se bazează pe operații aritmetice simple, principalul lucru atunci când decideți este să nu vă confundați cu semnele „-” și „+” și să nu le pierdeți.

Acum, să rezolvăm o sarcină practică împreună cu dvs., calculând matricea inversă.

Sarcină: găsiți matricea inversă "A" prezentată în imaginea de mai jos:

Rezolvăm totul exact așa cum este indicat în planul de calcul al matricei inverse.

1. Primul lucru de făcut este să găsim determinantul matricei „A”:

Explicaţie:

Ne-am simplificat calificativul profitând de funcționalitatea sa de bază. În primul rând, am adăugat la liniile 2 și 3 elementele primei linii, înmulțite cu un număr.

În al doilea rând, am schimbat coloanele 2 și 3 ale determinantului și, în funcție de proprietățile sale, am schimbat semnul din fața sa.

În al treilea rând, am mutat factorul comun (-1) al celei de-a doua linii, schimbând astfel semnul din nou și a devenit pozitiv. De asemenea, am simplificat linia 3 la fel ca la începutul exemplului.

Am obținut un determinant triunghiular, în care elementele de sub diagonală sunt egale cu zero și, prin proprietatea 7, este egal cu produsul elementelor diagonalei. Drept urmare, am obținut ∆ A \u003d 26, deci inversul există.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Următorul pas este de a compila o matrice din adaosurile rezultate:

5. Înmulțiți această matrice cu inversul determinantului, adică cu 1/26:

6. Ei bine, acum trebuie doar să verificăm:

În timpul verificării, am primit matricea de identitate, prin urmare, soluția a fost realizată absolut corect.

2 moduri de a calcula matricea inversă.

1. Transformarea matricei elementare

2. Matrice inversă printr-un transformator elementar.

Transformarea matricei elementare include:

1. Înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero.

2. Adăugând la orice linie un alt șir înmulțit cu un număr.

3. Schimbarea rândurilor matricei.

4. Aplicând un lanț de transformări elementare, obținem o altă matrice.

ȘI -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2.A -1 * A \u003d E

Să vedem un exemplu practic cu numere reale.

Sarcina: Găsiți inversul matricei.

Decizie:

Sa verificam:

O mică clarificare asupra soluției:

În primul rând, am rearanjat rândurile 1 și 2 ale matricei, apoi am înmulțit primul rând cu (-1).

După aceea, primul rând a fost înmulțit cu (-2) și adăugat la al doilea rând al matricei. Apoi, linia 2 a fost înmulțită cu 1/4.

Etapa finală a transformării a fost multiplicarea celei de-a doua linii cu 2 și adăugarea din prima. Ca rezultat, avem matricea identității în stânga, prin urmare, inversul este matricea din dreapta.

După verificare, ne-am asigurat că soluția a fost corectă.

După cum puteți vedea, calcularea matricei inverse este foarte ușoară.

În încheierea acestei prelegeri, aș dori, de asemenea, să aloc ceva timp proprietăților unei astfel de matrice.

SUPLIMENTE ALGEBRAICE ȘI MINORI

Să avem un determinant de ordinul trei: .

Minorcorespunzător acestui element a ij determinantul celui de-al treilea ordin, se numește determinantul celui de-al doilea ordin, obținut din dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția căreia stă elementul dat, adică eu-alea linie și jcoloana a. Minori corespunzători unui element dat a ij va denota M ij.

de exemplu, minor M 12corespunzător elementului a 12, va exista un determinant , care se obține prin ștergerea primului rând și a 2-a coloană din determinantul dat.

Astfel, formula care definește determinantul de ordinul al treilea arată că acest determinant este egal cu suma produselor elementelor din primul rând de către minorii corespunzători; minorul corespunzător elementului a 12, luată cu un semn „-”, adică putem scrie asta

.

(1)

În mod similar, putem introduce definiții ale minorilor pentru determinanții de ordinul doi și ordinele superioare.

Să introducem încă un concept.

Complement algebricelement a ij determinantul este numit minorul său M ijînmulțit cu (–1) i + j.

Complement algebric al unui element a ij notat A ij.

Din definiție, constatăm că legătura dintre complementul algebric al unui element și minorul său se exprimă prin egalitate A ij \u003d (–1) i + j M ij.

De exemplu,

Exemplu. Se dă un determinant. A găsi A 13, A 21, A 32.

Este ușor de văzut că folosind complementele algebrice ale elementelor, formula (1) poate fi scrisă sub forma:

În mod similar cu această formulă, puteți obține descompunerea determinantului în elementele oricărui rând sau coloană.

De exemplu, factorizarea factorului determinant de către elementele celei de-a doua linii poate fi obținută după cum urmează. Conform proprietății 2 a determinantului, avem:

Să extindem determinantul obținut prin elementele din primul rând.

.

(2)

De aici de cand determinanții de ordinul doi din formula (2) sunt minorii elementelor un 21, un 22, un 23... Astfel, adică am obținut descompunerea determinantului în ceea ce privește elementele celui de-al doilea rând.

În mod similar, puteți obține factorizarea factorului determinant de către elementele celui de-al treilea rând. Folosind proprietatea 1 a factorilor determinanți (despre transpunere), se poate arăta că expansiuni similare sunt valabile și pentru expansiune în ceea ce privește elementele coloanei.

Astfel, următoarea teoremă este adevărată.

Teorema (despre extinderea unui determinant într-un rând sau coloană dată). Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricăruia dintre rândurile (sau coloanele) sale prin complementele lor algebrice.

Toate cele de mai sus sunt valabile și pentru determinanții de orice ordin superior.

Exemple.

MATRICE INVERSE

Conceptul de matrice inversă este introdus numai pentru matrici pătrate.

În cazul în care un A Este o matrice pătrată, atunci verso pentru aceasta, o matrice este o matrice notată A -1 și satisfacerea condiției. (Această definiție este introdusă prin analogie cu multiplicarea numerelor)

În acest articol vom vorbi despre metoda matricei pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare, vom găsi definiția acestuia și vom da exemple de soluție.

Definiția 1

Metoda cu matrice inversă este o metodă utilizată pentru a rezolva SLAE în cazul în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații.

Exemplul 1

Găsiți o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Înregistrare matricială : A × X \u003d B

unde А \u003d а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n - matrice a sistemului.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - coloana necunoscutelor,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - coloană a coeficienților liberi.

Din ecuația pe care am obținut-o, trebuie să exprimați X. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți ambele fețe ale ecuației matricei din stânga cu A - 1:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

Deoarece A - 1 × A \u003d E, atunci E × X \u003d A - 1 × B sau X \u003d A - 1 × B.

cometariu

Matricea inversă la matricea A are dreptul să existe doar dacă condiția d e t A nu este egală cu zero. Prin urmare, atunci când rezolvați SLAE prin metoda matricei inverse, în primul rând, d e t A.

În cazul în care d e t A nu este egal cu zero, sistemul are o singură soluție: utilizarea metodei matricei inverse. Dacă d e t А \u003d 0, atunci sistemul nu poate fi rezolvat prin această metodă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei inverse

Exemplul 2

Rezolvăm SLAE prin metoda matricei inverse:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Cum să rezolve?

• Scriem sistemul sub forma unei ecuații matriciale A X \u003d B, unde

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Exprimăm X din această ecuație:

• Găsiți determinantul matricei A:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А nu este egal cu 0, prin urmare, metoda soluției cu matrice inversă este potrivită pentru acest sistem.

• Găsiți matricea inversă A - 1 folosind matricea uniunii. Calculăm complementele algebrice A i j la elementele corespunzătoare ale matricei A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Scriem matricea uniunii A *, care este compusă din adaosurile algebrice ale matricei A:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Scriem matricea inversă după formula:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Înmulțim matricea inversă A - 1 cu coloana de termeni liberi B și obținem soluția la sistem:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Răspuns : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter