CODUL TEXTUL LECȚIEI:

Cunoașteți deja două cazuri de aranjare reciprocă a liniilor drepte în spațiu:

1. drepte care se intersectează;

2. Liniile paralele.

Să ne amintim definițiile lor.

Definiție. Liniile din spațiu se numesc intersecții dacă se află în același plan și au un punct comun

Definiție. Liniile din spațiu sunt numite paralele dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Comun la aceste definiții este că liniile se află în același plan.

Nu este întotdeauna cazul în spațiu. Ne putem ocupa de mai multe planuri și nu fiecare două linii drepte vor sta în același plan.

De exemplu, marginile cubului ABCDA1B1C1D1

AB și A1D1 se află în diferite planuri.

Definiție. Două linii se numesc intersecție dacă nu există un plan care să treacă prin aceste linii. Din definiție este clar că aceste linii nu se intersectează și nu sunt paralele.

Să dovedim o teoremă care exprimă criteriul pentru liniile care se intersectează.

Teorema (un semn al liniilor care se intersectează).

Dacă una dintre linii se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie intersectează acest plan într-un punct care nu aparține acestei linii, atunci aceste linii se intersectează.

Linia AB se află în planul α. Linia CD intersectează planul α în punctul C, care nu aparține liniei AB.

Demonstrați că liniile AB și DC sunt încrucișate.

Dovezi

Dovada va fi efectuată prin contradicție.

Să presupunem că AB și CD se află în același plan, îl notăm β.

Atunci planul β trece prin linia AB și punctul C.

Prin corolarul axiomelor, un plan poate fi trasat prin linia AB și un punct C care nu se află pe ea și, în plus, doar unul.

Dar avem deja un astfel de plan - planul α.

În consecință, planurile β și α coincid.

Dar acest lucru este imposibil, deoarece linia CD intersectează α, dar nu se află în ea.

Am ajuns la o contradicție, prin urmare, presupunerea noastră este greșită. AB și CD se află

planuri diferite și sunt traversate.

Teorema este dovedită.

Deci, există trei modalități posibile de aranjare reciprocă a liniilor drepte în spațiu:

A) Liniile se intersectează, adică au un singur punct comun.

B) Liniile sunt paralele, adică se află în același plan și nu au puncte comune.

C) Liniile drepte sunt încrucișate, adică nu stați în același plan.

Luați în considerare o altă teoremă de linie care se intersectează

Teorema. Prin fiecare dintre cele două linii de trecere există un plan paralel cu cealaltă linie și, în plus, doar una.

AB și CD - traversarea liniilor drepte

Demonstrați că există un plan α astfel încât linia AB se află în planul α, iar linia CD este paralelă cu planul α.

Dovezi

Să dovedim existența unui astfel de plan.

1) Prin punctul A, trasați o linie AE paralelă cu CD.

2) Deoarece liniile drepte AE și AB se intersectează, un plan poate fi trasat prin ele. Să o notăm cu α.

3) Deoarece linia CD este paralelă cu AE, iar AE se află în planul α, atunci linia CD ∥ a planului α (conform teoremei perpendicularității liniei și a planului).

Planul α este planul dorit.

Să dovedim că planul α este singurul care îndeplinește condiția.

Orice alt plan care trece prin linia AB va intersecta AE și, prin urmare, linia CD paralelă cu aceasta. Adică, orice alt plan care trece prin AB se intersectează cu linia CD, prin urmare nu este paralel cu acesta.

În consecință, planul α este unic. Teorema este dovedită.

În acest articol, vom da mai întâi definiția unghiului dintre liniile de trecere și vom oferi o ilustrație grafică. Apoi, vom răspunde la întrebarea: „Cum să găsim unghiul dintre traversarea liniilor drepte, dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor de direcție ale acestor drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiulare?” În concluzie, vom exersa găsirea unghiului dintre liniile de intersecție atunci când rezolvăm exemple și probleme.

Navigare în pagină.

Unghiul dintre liniile încrucișate - definiție.

Vom aborda treptat definiția unghiului dintre liniile încrucișate.

Mai întâi, reamintim definiția liniilor care se intersectează: se numesc două linii în spațiul tridimensional încrucișareadacă nu se află în același plan. Din această definiție rezultă că liniile de intersecție nu se intersectează, nu sunt paralele și, mai mult, nu coincid, altfel s-ar afla ambele într-un anumit plan.

Iată câteva argumente suplimentare.

Să se dea două linii drepte care se intersectează în spațiul tridimensional. Să construim liniile a 1 și b 1 astfel încât să fie paralele cu liniile intersectate a și respectiv b și să treacă printr-un punct al spațiului M 1. Astfel, obținem două linii intersectate a 1 și b 1. Fie unghiul dintre liniile drepte care se intersectează a 1 și b 1 să fie egal cu unghiul. Acum vom construi drepte a 2 și b 2, paralele cu liniile intersectate a și respectiv b, trecând prin punctul М 2, diferit de punctul М 1. Unghiul dintre liniile drepte care se intersectează a 2 și b 2 va fi, de asemenea, egal cu unghiul. Această afirmație este adevărată, deoarece liniile drepte a 1 și b 1 coincid cu liniile drepte a 2 și respectiv b 2, dacă efectuați o traducere paralelă, în care punctul M 1 merge la punctul M 2. Astfel, măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează la punctul M, respectiv paralel cu dreptele drepte care se intersectează, nu depinde de alegerea punctului M.

Acum suntem gata să definim unghiul dintre liniile de trecere.

Definiție.

Unghiul dintre liniile de trecere Unghiul dintre două linii drepte care se intersectează, care sunt respectiv paralele cu liniile drepte care se intersectează.

Din definiție rezultă că unghiul dintre liniile de trecere nu va depinde, de asemenea, de alegerea punctului M. Prin urmare, ca punct M, puteți lua orice punct aparținând uneia dintre liniile care se intersectează.

Să oferim o ilustrare a definiției unghiului dintre liniile de intersecție.

Găsirea unghiului dintre liniile încrucișate.

Deoarece unghiul dintre liniile drepte care se intersectează este determinat prin unghiul dintre liniile drepte care se intersectează, găsirea unghiului dintre liniile drepte care se intersectează se reduce la găsirea unghiului dintre liniile drepte corespunzătoare care se intersectează în spațiul tridimensional.

Fără îndoială, metodele predate la lecțiile de geometrie în liceu sunt potrivite pentru găsirea unghiului dintre liniile încrucișate. Adică, după finalizarea construcțiilor necesare, puteți asocia unghiul dorit cu orice unghi cunoscut din condiție, pe baza egalității sau similitudinii figurilor, în unele cazuri va ajuta teorema cosinusului, iar uneori rezultatul este definiția sinusului, cosinusului și tangentei unui unghi triunghi dreptunghic.

Cu toate acestea, este foarte convenabil să se rezolve problema găsirii unghiului dintre traversarea liniilor drepte prin metoda coordonatelor. Aceasta este ceea ce vom lua în considerare.

Să se introducă Oxyz în spațiul tridimensional (totuși, în multe probleme trebuie introdus independent).

Să ne stabilim sarcina: să găsim unghiul dintre dreaptele de intersecție a și b, care corespund unor ecuații ale unei drepte în spațiu în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz.

Să o rezolvăm.

Luați un punct arbitrar al spațiului tridimensional M și presupuneți că liniile drepte a 1 și b 1 trec prin el, paralel cu liniile intersectate a și respectiv b. Apoi unghiul necesar între drepte care se intersectează a și b este egal cu unghiul dintre drepte care se intersectează a 1 și b 1 prin definiție.

Astfel, rămâne să găsim unghiul dintre drepte care se intersectează a 1 și b 1. Pentru a aplica formula pentru găsirea unghiului dintre două linii drepte care se intersectează în spațiu, trebuie să cunoaștem coordonatele vectorilor de direcție ale liniilor drepte a 1 și b 1.

Cum le putem obține? E foarte simplu. Definiția vectorului de direcție al unei drepte ne permite să afirmăm că mulțimile vectorilor de direcție ale liniilor drepte paralele coincid. Prin urmare, ca vectori de direcție ai liniilor a 1 și b 1, putem lua vectorii de direcție și liniile a și respectiv b.

Asa de, unghiul dintre două drepte încrucișate a și b se calculează prin formulă
Unde și - vectori de direcție ai liniilor drepte a și respectiv b.

Formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre liniile drepte încrucișate a și b are forma .

Vă permite să găsiți sinusul unghiului dintre liniile încrucișate, dacă cosinusul este cunoscut: .

Rămâne să analizăm soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Găsiți unghiul dintre intersectarea liniilor drepte a și b, care sunt definite în sistemul de coordonate dreptunghiulare Oxyz prin ecuații și .

Decizie.

Ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu vă permit să determinați imediat coordonatele vectorului director al acestei drepte - acestea sunt date de numerele din numitorii fracțiilor, adică ... Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu fac, de asemenea, posibilă notarea imediată a coordonatelor vectorului de direcție - acestea sunt egale cu coeficienții din fața parametrului, adică - vectorul director al unei linii drepte ... Astfel, avem toate datele necesare pentru a aplica formula prin care se calculează unghiul dintre liniile de intersecție:

Răspuns:

Unghiul dintre liniile de trecere date este.

Exemplu.

Găsiți sinusul și cosinusul unghiului dintre liniile drepte încrucișate pe care se află marginile AD și BC ale piramidei ABCD, dacă se cunosc coordonatele vârfurilor sale :.

Decizie.

Vectorii directori ai liniilor de intersecție AD și BC sunt vectori și. Să calculăm coordonatele lor ca diferență a coordonatelor corespunzătoare ale punctelor de la sfârșit și începutul vectorului:

Conform formulei putem calcula cosinusul unghiului dintre liniile de intersecție specificate:

Acum să calculăm sinusul unghiului dintre liniile de intersecție:

Răspuns:

În concluzie, să luăm în considerare soluția la problema în care este necesar să se găsească unghiul dintre traversarea liniilor drepte, iar sistemul de coordonate dreptunghiulare trebuie introdus independent.

Exemplu.

Dat fiind un paralelipiped dreptunghiular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, în care AB \u003d 3, AD \u003d 2 și AA 1 \u003d 7 unități. Punctul E se află pe muchia AA 1 și îl împarte într-un raport de 5 la 2 numărând de la punctul A. Găsiți unghiul dintre liniile încrucișate BE și A 1 C.

Decizie.

Deoarece marginile unui paralelipiped dreptunghiular la un vârf sunt reciproc perpendiculare, este convenabil să introduceți un sistem de coordonate dreptunghiulare și să determinați unghiul dintre liniile de intersecție indicate folosind metoda coordonatelor prin unghiul dintre vectorii de direcție ai acestor linii.

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiulare Oxyz după cum urmează: să coincidă originea coordonatelor cu vârful A, axa Ox coincide cu linia AD, axa Oy cu linia AB și axa Oz cu linia AA 1.

Apoi punctul B are coordonate, punctul E - (dacă este necesar, vezi articolul), punctul A1 - și punctul C -. Din coordonatele acestor puncte, putem calcula coordonatele vectorilor și. Noi avem , .

Rămâne să aplicați formula pentru a găsi unghiul dintre liniile de intersecție de-a lungul coordonatelor vectorilor de direcție:

Răspuns:

Lista de referinte.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 din gimnaziu.
• Pogorelov A.V., Geometrie. Manual pentru clasele 7-11 ale instituțiilor de învățământ.
• Bugrov Y.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul 1: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Liniile drepte încrucișate sunt ușor de recunoscut prin aceste caracteristici. Semnul 1. Dacă există patru puncte pe două linii care nu se află în același plan, atunci aceste linii se intersectează (Fig. 1.21).

Într-adevăr, dacă aceste linii drepte s-ar intersecta sau ar fi paralele, atunci s-ar afla într-un singur plan, iar apoi aceste puncte s-ar afla într-un singur plan, ceea ce contrazice condiția.

Semnul 2. Dacă linia O se află în plan, iar linia b intersectează planul a la un moment dat

M, care nu se află pe linia dreaptă a, apoi liniile drepte a și b se intersectează (Fig. 1.22).

Într-adevăr, luând oricare două puncte pe linia a și două puncte pe linia b, ajungem la criteriul 1, adică a și b sunt încrucișate.

Exemple reale de drepte care se intersectează sunt date prin schimburi de transport (Fig. 1.23).

În spațiu, există mai multe perechi de drepte care se intersectează decât există perechi de drepte paralele sau care se intersectează. Acest lucru poate fi explicat după cum urmează.

Să luăm în spațiu un punct A și o linie dreaptă a care nu trece prin punctul A. Pentru a trasa o linie dreaptă prin punctul A paralel cu linia a, este necesar să trasăm planul prin punctul A și linia dreaptă a (Propoziția 2 din clauza 1.1), și apoi în plan și trageți o dreaptă b paralelă cu o dreaptă a (Fig. 1.24).

Există doar o astfel de linie dreaptă b. Toate liniile care trec prin punctul A și intersecția liniei O se află, de asemenea, în planul a și îl umple pe toate cu excepția liniei b. Toate celelalte linii drepte care trec prin A și care umplu tot spațiul, cu excepția planului a, se vor intersecta cu linia dreaptă a. Putem spune că liniile care se intersectează în spațiu sunt un caz general, iar liniile care se intersectează și cele paralele sunt cazuri speciale. „Perturbări mici” ale liniilor de trecere le lasă să treacă. Dar proprietățile de a fi paralel sau de a se intersecta cu „mici perturbații” în spațiu nu sunt păstrate.

Aranjament reciproc două linii drepte în spațiu.

Poziția relativă a două linii și spațiu se caracterizează prin următoarele trei posibilități.

Liniile se află în același plan și nu au puncte comune - linii paralele.

Liniile se află pe același plan și au un punct comun - liniile se intersectează.

În spațiu, pot fi localizate și două linii drepte astfel încât să nu se întindă în niciun plan. Astfel de linii drepte se numesc traversare (nu se intersectează și nu sunt paralele).

EXEMPLU:

PROBLEMA 434 În plan se află un triunghi ABC, a

Triunghiul ABC se află în plan, iar punctul D nu se află în acest plan. Punctele M, N și respectiv K sunt punctele medii ale segmentelor DA, DB și DC

Teorema. Dacă una dintre cele două linii drepte se află într-un anumit plan, iar cealaltă intersectează acest plan și într-un punct care nu se află pe prima linie dreaptă, atunci aceste linii drepte se intersectează.

În fig. 26 dreapta a se află în plan, iar dreapta c se intersectează în punctul N. Liniile a și c se intersectează.

Teorema.Doar un plan trece prin fiecare dintre cele două linii care se intersectează, paralel cu cealaltă linie.

În fig. Se încrucișează 26 de linii drepte a și b. Linie dreaptă neagră și plan trasat a (alfa) || b (linia a1 || b este indicată în planul B (beta)).

Teorema 3.2.

Două drepte paralele cu a treia sunt paralele.

Această proprietate se numește tranzitivitateparalelismul liniilor drepte.

Dovezi

Fie dreptele a și b să fie paralele simultan cu dreapta c. Să presupunem că a nu este paralel cu b, atunci dreapta a se intersectează cu dreapta b la un punct A care nu se află pe linia c prin ipoteză. Prin urmare, avem două linii a și b care trec prin punctul A, care nu se află pe linia dată c și sunt paralele simultan cu aceasta. Acest lucru contrazice Axioma 3.1. Teorema este dovedită.

Teorema 3.3.

Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, poate fi trasată o singură dreaptă paralelă cu cea dată.

Dovezi

Fie (AB) o linie dată, C un punct care nu se află pe ea. Linia AC împarte planul în două semiplane. Punctul B se află într-unul dintre ele. În conformitate cu axioma 3.2, este posibil să se amâne unghiul (ACD) egal cu unghiul (CAB) de la raza C A la un alt semiplan. ACD și CAB sunt linii egale interioare încrucișate sub liniile AB și CD și secanta (AC) Apoi prin teorema 3.1 (AB) || (CD). Luând în considerare axioma 3.1. Teorema este dovedită.

Proprietatea liniilor paralele este dată de următoarea teoremă, care este inversă teoremei 3.1.

Teorema 3.4.

Dacă două linii paralele sunt intersectate de o a treia linie, atunci unghiurile interioare situate transversal sunt egale.

Dovezi

Să (AB) || (CD). Să presupunem ACD ≠ BAC. Desenați o linie AE prin punctul A astfel încât EAC \u003d ACD. Dar apoi, prin Teorema 3.1 (AE) || (CD), și prin ipoteză - (AB) || (CD). Conform teoremei 3.2 (AE) || (AB). Acest lucru contrazice teorema 3.3, conform căreia o singură linie dreaptă paralelă cu aceasta poate fi trasată printr-un punct A care nu se află pe CD. Teorema este dovedită.

Figura 3.3.1.

Pe baza acestei teoreme, următoarele proprietăți sunt ușor justificate.

Dacă două linii paralele sunt traversate de o a treia linie, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Dacă două linii paralele sunt intersectate de o a treia linie, atunci suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180 °.

Corolar 3.2.

Dacă o linie este perpendiculară pe una dintre liniile paralele, atunci este perpendiculară pe cealaltă.

Conceptul de paralelism ne permite să introducem următorul concept nou, care va fi necesar mai târziu în capitolul 11.

Cele două grinzi sunt numite la fel de dirijatdacă există o linie dreaptă astfel încât, în primul rând, să fie perpendiculare pe această linie dreaptă și, în al doilea rând, razele să se afle în același semiplan în raport cu această linie dreaptă.

Cele două grinzi sunt numite îndreptat opusdacă fiecare dintre ele este îndreptat în mod egal cu o rază complementară celeilalte.

Razele AB și CD direcționate în mod egal vor fi notate: și razele AB și CD direcționate în mod opus -

Figura 3.3.2.

Un semn al traversării liniilor.

Dacă una dintre cele două linii drepte se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie dreaptă intersectează acest plan într-un punct care nu se află pe prima linie dreaptă, atunci aceste linii se intersectează.

Cazuri de dispunere reciprocă a liniilor drepte în spațiu.

1. Există patru cazuri diferite de două linii drepte în spațiu:

   
   

   - traversare dreaptă, adică nu stați în același plan;

   - liniile drepte se intersectează, adică se află în același plan și au un punct comun;

   - linii drepte paralele, adică zaceți în același plan și nu vă intersectați;

   - liniile drepte coincid.

   
   

   Să obținem semne ale acestor cazuri de aranjare reciprocă a liniilor drepte date de ecuațiile canonice

   
   
   unde - puncte aparținând liniilor drepte și respectiv, a - vectori de direcție (Figura 4.34). Să denotăm prin un vector care leagă punctele date.
   
   

   Cazurile de mai sus ale aranjării reciproce a liniilor drepte și corespund următoarelor semne:

   
   

   - vectorii direcți și încrucișați nu sunt coplanari;

   
   

   - liniile drepte și vectorii care se intersectează sunt coplanari, dar vectorii nu sunt coliniari;

   
   

   - vectorii direcți și paraleli sunt coliniari, dar vectorii nu sunt coliniari;

   
   

   - vectorii drepți și coincidenți sunt coliniari.

   
   

   Aceste condiții pot fi scrise folosind proprietățile produselor mixte și vectoriale. Reamintim că produsul mixt al vectorilor într-un sistem de coordonate dreptunghiulare dreptaci se găsește prin formula:

   
   
   iar determinantul se intersectează este zero, iar a doua și a treia linie nu sunt proporționale, adică
   

   - a doua și a treia linie dreaptă și paralelă a determinantului sunt proporționale, adică iar primele două linii nu sunt proporționale, adică

   
   

   - toate liniile determinantului sunt drepte și coincid proporționale, adică

Dovada semnului liniilor încrucișate.

Dacă una dintre cele două linii se află într-un plan, iar cealaltă intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei linii, atunci aceste două linii se intersectează.

Dovezi

Fie a aparține lui α, b intersectează α \u003d A, A nu aparține lui a (desen 2.1.2). Să presupunem că liniile a și b nu se intersectează, adică se intersectează. Apoi, există un plan β căruia îi aparțin liniile a și b. Linia a și punctul A se află în acest plan β. Deoarece linia a și punctul A din afara acestuia definesc un plan unic, atunci β \u003d α. Dar b conduce β și b nu aparține lui α, prin urmare egalitatea β \u003d α este imposibilă.

În mai puțin de un minut, am creat un nou fișier Vord și am continuat pe un subiect atât de interesant. Trebuie să surprindeți momentele stării de spirit, așa că nu va exista nicio introducere lirică. Va exista o biciuire prozaică \u003d)

Două spații drepte pot:

1) încrucișat;

2) intersectează într-un punct;

3) să fie paralel;

4) meci.

Cazul nr. 1 este fundamental diferit de celelalte cazuri. Două linii drepte se intersectează dacă nu se află în același plan... Ridicați o mână și extindeți cealaltă mână înainte - iată un exemplu de trecere a liniilor drepte. La punctele 2-4, liniile drepte trebuie să se afle într-un singur avion.

Cum se află poziția relativă a liniilor drepte în spațiu?

Luați în considerare două spații drepte:

- drept, punct dat și vectorul de direcție;
- o linie dreaptă dată de un punct și un vector de direcție.

Pentru o mai bună înțelegere, să realizăm un desen schematic:

Desenul prezintă drept exemplu liniile drepte încrucișate.

Cum să faci față acestor linii drepte?

Deoarece punctele sunt cunoscute, este ușor să găsiți vectorul.

Dacă este drept încrucișat, apoi vectori nu coplanare (vezi lecția (Non) dependență liniară de vectori. Baza vectorială) și, prin urmare, determinantul compus din coordonatele lor este diferit de zero. Sau, care este de fapt același, va fi diferit de zero: .

În cazurile nr. 2-4, construcția noastră „cade” într-un singur plan, în timp ce vectorii coplanar, iar produsul mixt al vectorilor dependenți liniar este egal cu zero: .

Rotim algoritmul mai departe. Să ne prefacem asta prin urmare, liniile fie se intersectează, fie sunt paralele, fie coincid.

Dacă vectorii de direcție coliniar, atunci liniile sunt fie paralele, fie coincidente. Ca unghie finală, sugerez următoarea tehnică: luăm orice punct al unei linii drepte și înlocuim coordonatele acesteia în ecuația celei de-a doua linii drepte; dacă coordonatele „se potrivesc”, atunci liniile drepte coincid; dacă „nu se potrivesc”, atunci liniile drepte sunt paralele.

Fluxul algoritmului este simplu, dar exemplele practice încă nu afectează:

Exemplul 11

Aflați poziția relativă a două linii

Decizie: ca în multe probleme de geometrie, este convenabil să se elaboreze soluția în funcție de punctele:

1) Scoatem punctele și vectorii de direcție din ecuații:

2) Găsiți vectorul:

Astfel, vectorii sunt coplanari, ceea ce înseamnă că liniile se află în același plan și se pot intersecta, să fie paralele sau să coincidă.

4) Verificați vectorii de direcție pentru colinearitate.

Să alcătuim un sistem al coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori:

De fiecare ecuația implică faptul că, prin urmare, sistemul este consistent, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor sunt proporționale, iar vectorii sunt coliniari.

Concluzie: liniile drepte sunt paralele sau coincid.

5) Să aflăm dacă liniile au puncte comune. Luați un punct aparținând primei linii și înlocuiți coordonatele sale în ecuațiile liniei:

Astfel, liniile nu au puncte comune și nu au de ales decât să fie paralele.

Răspuns:

Un exemplu interesant pentru o soluție independentă:

Exemplul 12

Aflați poziția relativă a liniilor drepte

Acesta este un exemplu pentru o soluție de bricolaj. Rețineți că a doua linie are o literă ca parametru. Este logic. În general, acestea sunt două linii drepte diferite, deci fiecare linie dreaptă are propriul parametru.

Și din nou vă îndemn să nu omiteți exemple, voi biciui problemele pe care le-am propus sunt departe de a fi întâmplătoare ;-)

Probleme cu o linie dreaptă în spațiu

În partea finală a lecției, voi încerca să iau în considerare numărul maxim de probleme diferite cu liniile spațiale. În acest caz, se va respecta ordinea de pornire a narațiunii: mai întâi vom lua în considerare problemele cu liniile drepte care se intersectează, apoi cu liniile drepte care se intersectează, iar la final vom vorbi despre liniile paralele în spațiu. Cu toate acestea, trebuie să spun că unele sarcini ale acestei lecții pot fi formulate simultan pentru mai multe cazuri de aranjare a liniilor drepte și, în acest sens, împărțirea secțiunii în paragrafe este oarecum arbitrară. Mai sunt exemple simple, există exemple mai complexe și, sperăm, fiecare va găsi ceea ce are nevoie.

Liniile drepte încrucișate

Vă reamintesc că liniile drepte se intersectează dacă nu există niciun plan în care să se afle amândouă. Când mă gândeam la practică, mi-a venit în minte o problemă de monstru și acum mă bucur să vă prezint în atenție un balaur cu patru capete:

Exemplul 13

Date sunt linii drepte. Necesar:

a) demonstrați că liniile drepte se intersectează;

b) găsiți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct perpendicular pe aceste drepte;

c) compuneți ecuațiile dreptei care conține perpendicular comun traversarea liniilor drepte;

d) găsiți distanța dintre linii.

Decizie: Drumul va fi stăpânit de mers pe jos:

a) Să dovedim că liniile se intersectează. Găsiți punctele și vectorii de direcție ai acestor linii:

Găsiți vectorul:

Calculăm produs mixt de vectori:

Astfel vectorii nu coplanare, ceea ce înseamnă că liniile se intersectează, ceea ce trebuia dovedit.

Probabil, toată lumea a observat cu mult timp în urmă că pentru trecerea liniilor, algoritmul de verificare se dovedește a fi cel mai scurt.

b) Găsiți ecuațiile unei drepte care trece printr-un punct și este perpendiculară pe drepte. Să executăm un desen schematic:

Pentru o schimbare, am plasat o linie dreaptă IN SPATE drept, vezi cum este ușor șters la punctele de trecere. Încrucișări? Da, în cazul general, linia dreaptă "de" se va intersecta cu liniile drepte originale. Deși nu ne interesează acest moment, trebuie doar să construim o linie perpendiculară și atât.

Ce se știe despre „de” direct? Se cunoaște punctul care îi aparține. Un vector de direcție lipsește.

Prin condiție, linia dreaptă trebuie să fie perpendiculară pe liniile drepte, ceea ce înseamnă că vectorul său de direcție va fi ortogonal cu vectorii de direcție. Deja familiar din motivul exemplului nr. 9, găsiți produsul încrucișat:

Să alcătuim ecuațiile dreptei "de" după punctul și vectorul de direcție:

Terminat. În principiu, puteți schimba semnele din numitori și puteți scrie răspunsul în formă , dar nu este nevoie de acest lucru.

Pentru a verifica, este necesar să înlocuiți coordonatele punctului în ecuațiile obținute ale liniei drepte, apoi folosind produs punct de vectoriasigurați-vă că vectorul este într-adevăr ortogonal cu vectorii de direcție „pe one” și „pe two”.

Cum se găsesc ecuațiile unei drepte care conține o perpendiculară comună?

c) Această sarcină va fi mai dificilă. Recomand manechinilor să sări peste acest punct, nu vreau să vă răcoresc simpatia sinceră pentru geometria analitică \u003d) Apropo, pentru cititorii mai pregătiți, poate fi mai bine să așteptați și faptul că, din punct de vedere al complexității, exemplul ar trebui pus ultimul în articol, dar conform logicii prezentării ar trebui să fie localizat aici.

Deci, este necesar să se găsească ecuațiile liniei drepte, care conține perpendiculara comună a liniilor drepte care se intersectează.

Este un segment de linie care leagă liniile date și perpendicular pe liniile date:

Iată bărbatul nostru frumos: - perpendiculară comună a liniilor de trecere. El este singurul. Nu există altul. De asemenea, trebuie să compunem ecuațiile liniei drepte care conține segmentul dat.

Ce se știe despre „uh” drept? Vectorul său de direcție, găsit în paragraful anterior, este cunoscut. Dar, din păcate, nu cunoaștem niciun punct care să aparțină liniei drepte „em” și nu cunoaștem capetele perpendiculare - puncte. Unde intersectează această linie perpendiculară cele două linii originale? În Africa, în Antarctica? Din analiza și analiza inițială a stării, nu este deloc clar cum să rezolvi problema ... Dar există o mișcare dificilă asociată cu utilizarea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte.

Vom emite decizia conform punctelor:

1) Să rescriem ecuațiile primei linii drepte în formă parametrică:

Luați în considerare un punct. Nu cunoaștem coordonatele. DAR... Dacă un punct aparține unei linii drepte date, atunci acesta corespunde coordonatelor sale, îl notăm cu. Atunci coordonatele punctului vor fi scrise sub forma:

Viața devine mai bună, una necunoscută - la urma urmei, nu trei necunoscute.

2) Același indignare trebuie să se facă asupra celui de-al doilea punct. Să rescriem ecuațiile celei de-a doua linii drepte în formă parametrică:

Dacă un punct aparține unei linii drepte date, atunci cu o valoare foarte specificăcoordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile parametrice:

Sau:

3) Vectorul, ca și vectorul găsit anterior, va fi vectorul de direcție al liniei drepte. Modul de a compune un vector prin două puncte a fost luat în considerare în lecție în vremurile antice Vectori pentru manechine... Acum diferența este că coordonatele vectorilor sunt scrise cu valori de parametri necunoscute. Și ce dacă? Nimeni nu interzice scăderea din coordonatele sfârșitului vectorului a coordonatelor corespunzătoare de la începutul vectorului.

Există două puncte: .

Găsiți vectorul:

4) Deoarece vectorii de direcție sunt coliniari, atunci un vector este exprimat liniar prin celălalt cu un anumit coeficient de proporționalitate "lambda":

Sau în coordonate:

S-a dovedit cel mai mult, că niciuna dintre ele nu este de obicei sistem de ecuații liniare cu trei necunoscute, care este rezolvabil în standard, de exemplu, metoda lui Cramer... Dar aici există ocazia de a scăpa de puțin sânge, din a treia ecuație exprimăm „lambda” și o înlocuim în prima și a doua ecuații:

Prin urmare: , și nu avem nevoie de lambda. Faptul că valorile parametrilor s-au dovedit a fi aceleași este pură coincidență.

5) Cerul este complet senin, înlocuiți valorile găsite la punctele noastre:

Vectorul de direcție nu este deosebit de necesar, deoarece colegul său a fost deja găsit.

După o călătorie lungă, este întotdeauna distractiv să verifici.

:

Se obțin egalitățile corecte.

Înlocuiți coordonatele punctului în ecuații :

Se obțin egalitățile corecte.

6) Coardă finală: compuneți ecuațiile unei linii drepte de-a lungul unui punct (îl puteți lua) și a unui vector de direcție:

În principiu, puteți prelua un punct „bun” cu coordonate întregi, dar acesta este deja un produs cosmetic.

Cum se găsește distanța dintre liniile încrucișate?

d) Am tăiat al patrulea cap de dragon.

Prima metodă... Nici măcar o cale, ci un mic caz special. Distanța dintre liniile de trecere este egală cu lungimea perpendicularei lor comune: .

Punctele extreme ale perpendicularei comune găsit în paragraful anterior, iar sarcina este elementară:

Metoda a doua... În practică, cel mai adesea capetele perpendicularei comune sunt necunoscute, deci se folosește o abordare diferită. Planurile paralele pot fi trasate prin două linii de intersecție, iar distanța dintre aceste planuri este egală cu distanța dintre aceste linii. În special, între aceste planuri iese o perpendiculară comună.

În cursul geometriei analitice, din considerațiile de mai sus, a fost derivată o formulă pentru găsirea distanței dintre traversarea liniilor drepte:
(în loc de punctele noastre „uh unu, two” puteți lua puncte arbitrare ale liniilor drepte).

Produs mixt de vectori deja găsit în paragraful „a”: .

Produs vectorial de vectori găsit în articolul „bae”: , să-i calculăm lungimea:

Prin urmare:

Să prezentăm cu mândrie trofeele pe un singur rând:

Răspuns:
și) , ceea ce înseamnă că liniile se intersectează, ceea ce era necesar să se demonstreze;
b) ;
în) ;
d)

Ce ne mai puteți spune despre traversarea liniilor drepte? Un unghi este definit între ele. Dar ia în considerare formula unghiului universal din paragraful următor:

Liniile drepte de intersecție se află în mod necesar în același plan:

Primul gând este să te arunci cu toată puterea pe punctul de intersecție. Și m-am gândit imediat, de ce să-ți refuzi dorințele potrivite?! Să ne aruncăm asupra ei acum!

Cum se găsește punctul de intersecție a liniilor spațiale?

Exemplul 14

Găsiți punctul de intersecție a liniilor

Decizie: Să rescriem ecuațiile liniilor drepte în formă parametrică:

Această sarcină a fost discutată în detaliu în Exemplul nr. 7 al acestei lecții (vezi. Ecuațiile unei linii drepte în spațiu). Și liniile drepte în sine, de altfel, le-am luat din Exemplul nr. 12. Nu voi minți, sunt prea leneș ca să inventez altele noi.

Soluția este standard și a fost deja întâlnită atunci când șlefuim ecuațiile perpendicularei comune a liniilor care se intersectează.

Punctul de intersecție al liniilor drepte aparține liniei drepte, prin urmare coordonatele sale satisfac ecuațiile parametrice ale dreptei date și corespund valoarea parametrului destul de specifică:

Dar același punct aparține celei de-a doua linii drepte, prin urmare:

Echivalăm ecuațiile corespunzătoare și facem simplificări:

Se obține un sistem de trei ecuații liniare cu două necunoscute. Dacă liniile se intersectează (așa cum s-a demonstrat în Exemplul 12), atunci sistemul este neapărat compatibil și are o soluție unică. Poate fi rezolvat metoda gaussiană, dar nu vom păcătui cu un astfel de fetișism de grădiniță, o vom face mai ușor: de la prima ecuație vom exprima „te zero” și îl vom înlocui în ecuațiile a doua și a treia:

Ultimele două ecuații s-au dovedit a fi, de fapt, aceleași și din ele rezultă că. Apoi:

Înlocuiți valoarea găsită a parametrului în ecuații:

Răspuns:

Pentru a verifica, înlocuim valoarea găsită a parametrului în ecuațiile:
Au fost obținute aceleași coordonate necesare pentru a fi verificate. Cititorii meticuloși pot înlocui coordonatele unui punct din ecuațiile canonice originale ale liniilor drepte.

Apropo, a fost posibil să facem opusul: să găsim punctul prin „es zero” și să verificăm - prin „te zero”.

Un cunoscut semn matematic spune: unde discută despre intersecția liniilor drepte, mereu miroase a perpendiculare.

Cum se construiește o linie de spațiu perpendiculară pe una dată?

(liniile se intersectează)

Exemplul 15

a) Alcătuiește ecuațiile unei linii drepte care trece printr-un punct perpendicular pe o linie dreaptă (liniile se intersectează).

b) Aflați distanța de la un punct la o dreaptă.

Notă : clauza "liniile se intersectează" - esenţial... Prin punct
puteți desena infinit multe drepte perpendiculare care se vor intersecta cu „ale” dreaptă. Singura soluție are loc atunci când o linie dreaptă este trasată prin acest punct, perpendicular pe două dat de o linie dreaptă (vezi Exemplul nr. 13, punctul "b").

și) Decizie: Linia necunoscută este notată cu. Să executăm un desen schematic:

Ce se știe despre linia dreaptă? Prin condiție, se dă un punct. Pentru a compune ecuațiile unei linii drepte, este necesar să se găsească vectorul de direcție. Un vector este destul de potrivit ca un astfel de vector și ne vom ocupa de el. Mai exact, să luăm capătul necunoscut al vectorului de către scruff.

1) Să scoatem vectorul său de direcție din ecuațiile liniei drepte "el" și să rescriem ecuațiile în sine în formă parametrică:

Mulți au ghicit că acum pentru a treia oară într-o lecție magul va scoate o lebădă albă din pălărie. Luați în considerare un punct cu coordonate necunoscute. Deoarece punctul, atunci coordonatele sale satisfac ecuațiile parametrice ale liniei drepte "el" și corespund unei valori specifice a parametrului:

Sau într-o singură linie:

2) Prin condiție, liniile drepte trebuie să fie perpendiculare, prin urmare, vectorii lor de direcție sunt ortogonali. Și dacă vectorii sunt ortogonali, atunci lor produs scalar este egal cu zero:

Ce s-a întâmplat? Cea mai simplă ecuație liniară cu o necunoscută:

3) Valoarea parametrului este cunoscută, găsim punctul:

Și vectorul de direcție:
.

4) Să compunem ecuațiile unei drepte printr-un punct și un vector de direcție:

Numitorii proporției s-au dovedit a fi fracționari, iar acest lucru este exact cazul în care este adecvat să scăpați de fracțiuni. Le voi înmulți cu -2:

Răspuns:

Notă : un final mai strict al soluției se formează după cum urmează: compunem ecuațiile unei linii drepte de-a lungul unui punct și a unui vector de direcție. Într-adevăr, dacă un vector este un vector director al unei linii drepte, atunci un vector coliniar către acesta va fi în mod natural și un vector director al unei linii drepte date.

Verificarea constă în două etape:

1) verificați ortogonalitatea vectorilor de direcție a liniilor drepte;

2) substituim coordonatele punctului în ecuațiile fiecărei linii drepte, acestea trebuie să „se potrivească” atât acolo, cât și acolo.

S-au spus multe despre acțiunile tipice, așa că am verificat o schiță.

Apropo, am uitat și punctul - de a construi un punct „siu” simetric cu punctul „en” în raport cu linia dreaptă „el”. Cu toate acestea, există un „analog plat” bun, care poate fi găsit în articol Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan... Aici, toată diferența va fi în coordonata „zeta” suplimentară.

Cum se găsește distanța de la un punct la o linie în spațiu?

b) Decizie: Găsiți distanța de la un punct la o linie dreaptă.

Prima metodă... Această distanță este exact egală cu lungimea perpendicularei :. Soluția este evidentă: dacă punctele sunt cunoscute , apoi:

Metoda a doua... În sarcinile practice, baza perpendicularului este adesea un mister în spatele a șapte sigilii, deci este mai rațional să folosiți o formulă gata făcută.

Distanța de la un punct la o dreaptă este exprimată prin formula:
, unde este vectorul director al liniei drepte "el" și - arbitrarpunct aparținând liniei date.

1) Din ecuațiile liniei drepte obținem vectorul de direcție și cel mai accesibil punct.

2) Punctul este cunoscut din condiție, ascuțiți vectorul:

3) Găsiți produs încrucișat și calculați lungimea acestuia:

4) Calculați lungimea vectorului de direcție:

5) Astfel, distanța de la un punct la o linie dreaptă: