Identitățile trigonometrice transformă expresia. Lecția „simplificarea expresiilor trigonometrice”

Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este concepută pentru a dezvolta abilitățile elevilor în rezolvarea problemelor trigonometrice utilizând identități trigonometrice de bază. În cursul lecției video, sunt luate în considerare tipurile de identități trigonometrice, exemple de rezolvare a problemelor folosindu-le. Folosind ajutorul vizual, profesorului îi este mai ușor să atingă obiectivele lecției. O prezentare vie a materialului ajută la amintirea punctelor importante. Utilizarea efectelor de animație și dublarea fac posibilă înlocuirea completă a profesorului în etapa explicării materialului. Astfel, folosind acest ajutor vizual în lecțiile de matematică, profesorul poate îmbunătăți eficacitatea predării.

La începutul lecției video, se anunță subiectul acesteia. Apoi se reamintesc identitățile trigonometrice studiate mai devreme. Ecranul afișează egalitățile sin 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, unde t ≠ π / 2 + πk pentru kϵZ, ctg t \u003d cos t / sin t, valabil pentru t ≠ πk, unde kϵZ, tg t · ctg t \u003d 1, pentru t ≠ πk / 2, unde kϵZ, numită identități trigonometrice de bază. Se observă că aceste identități sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor în care este necesar să se dovedească egalitatea sau să se simplifice o expresie.

Mai mult, sunt luate în considerare exemple de aplicare a acestor identități în rezolvarea problemelor. În primul rând, se propune luarea în considerare a soluției problemelor pentru simplificarea expresiilor. În exemplul 1, este necesar să simplificăm expresia cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t. Pentru a rezolva exemplul, calculați mai întâi parantezele factorului comun cos 2 t. Ca urmare a acestei transformări între paranteze, se obține expresia 1- cos 2 t, a cărei valoare din identitatea de bază a trigonometriei este egală cu sin 2 t. După transformarea expresiei, este evident că poate fi parantezat un factor mai comun sin 2 t, după care expresia ia forma sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Din aceeași identitate de bază deducem valoarea expresiei dintre paranteze, egală cu 1. Ca rezultat al simplificării, obținem cos 2 t- cos 4 t + sin 4 t \u003d sin 2 t.

În exemplul 2, expresia cost / (1- sint) + cost / (1+ sint) ar trebui, de asemenea, simplificată. Deoarece costul expresiei se află în numeratorii ambelor fracții, poate fi parantezat ca factor comun. Apoi fracțiile dintre paranteze sunt reduse la un numitor comun prin înmulțirea (1-sint) (1+ sint). După aducerea unor astfel de termeni în numărător rămâne 2, iar în numitorul 1 - sin 2 t. În partea dreaptă a ecranului, este amintită identitatea trigonometrică de bază sin 2 t + cos 2 t \u003d 1. Folosindu-l, găsim numitorul fracției cos 2 t. După reducerea fracției, obținem o formă simplificată a expresiei cost / (1- sint) + cost / (1+ sint) \u003d 2 / cost.

Mai mult, sunt luate în considerare exemple de dovezi de identitate, în care se aplică cunoștințele dobândite despre identitățile de bază ale trigonometriei. În exemplul 3, este necesar să se demonstreze identitatea (tg 2 t-sin 2 t) · ctg 2 t \u003d sin 2 t. În partea dreaptă a ecranului sunt afișate trei identități care vor fi necesare pentru dovadă - tg t · ctg t \u003d 1, ctg t \u003d cos t / sin t și tg t \u003d sin t / cos t cu restricții. Pentru a demonstra identitatea, mai întâi se extind parantezele, după care se formează un produs care reflectă expresia identității trigonometrice principale tg t · ctg t \u003d 1. Apoi, conform identității din definiția cotangentei, ctg 2 t se transformă. Ca rezultat al transformărilor, se obține expresia 1-cos 2 t. Folosind identitatea de bază, găsim semnificația expresiei. Astfel, se demonstrează că (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t \u003d sin 2 t.

În exemplul 4, trebuie să găsiți valoarea expresiei tg 2 t + ctg 2 t dacă tg t + ctg t \u003d 6. Pentru a calcula expresia, laturile dreapta și stânga egalității (tg t + ctg t) 2 \u003d 6 2 sunt întâi pătrate. Formula de multiplicare prescurtată seamănă cu partea dreaptă a ecranului. După extinderea parantezelor din partea stângă a expresiei, se formează suma tg 2 t + 2 · tg t · ctg t + ctg 2 t, pentru transformarea căreia se poate aplica una dintre identitățile trigonometrice tg t · ctg t \u003d 1, a cărei formă este amintită în partea dreaptă a ecranului. După transformare se obține egalitatea tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34. Partea stângă a egalității coincide cu starea problemei, prin urmare răspunsul este 34. Problema este rezolvată.

Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este recomandată pentru utilizare la o lecție tradițională de matematică. De asemenea, materialul va fi util pentru un profesor care desfășoară învățământ la distanță. Pentru a dezvolta abilități în rezolvarea problemelor trigonometrice.

CODUL TEXTULUI:

„Simplificarea expresiilor trigonometrice”.

Egalitate

1) sin 2 t + cos 2 t \u003d 1 (sin pătrat te plus cosinus pătrat te egal cu unul)

2) tgt \u003d, pentru t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te este egală cu raportul dintre sin te și cosinus te când te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka, ka aparține zet)

3) ctgt \u003d, pentru t ≠ πk, kϵZ (cotangenta te este egală cu raportul dintre cosinus te și sin te când te nu este egal cu vârful, ka aparține zet).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 pentru t ≠, kϵZ (produsul tangentei te și cotangentei te este egal cu unu dacă te nu este egal cu vârful, împărțit la doi, ka aparține lui z)

sunt numite identități trigonometrice de bază.

Ele sunt adesea folosite pentru a simplifica și demonstra expresiile trigonometrice.

Să vedem exemple de utilizare a acestor formule pentru a simplifica expresiile trigonometrice.

EXEMPLUL 1: Simplificați expresia: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expresia este un cosinus pătrat te minus gradul patru cosinus te plus gradul al patrulea sin te).

Decizie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d sin 2 t 1 \u003d sin 2 t

(scoatem factorul comun cosinusul pătrat te, între paranteze obținem diferența dintre unitate și pătratul cosinusului te, care este egală cu prima identitate cu pătratul sinusului te. Obținem suma sinusului de gradul patru al produsului cosinus pătrat te și sinus pătrat te. între paranteze, între paranteze obținem suma pătratelor cosinusului și sinusului, care prin identitatea trigonometrică de bază este egală cu 1. Ca rezultat, obținem pătratul sinusului te).

EXEMPLUL 2: Simplificați expresia: +.

(expresia ba este suma a două fracții în numeratorul primului cosinus te în numitorul unul minus sinus te, în numeratorul celui de-al doilea cosinus te în numitor a doua unitate plus sinus te).

(Să scoatem factorul comun cosinusul din paranteze, iar între paranteze îl aducem la numitorul comun, care este produsul unui minus sinus te și unul plus sinus te.

În numerator obținem: unu plus sine te plus unu minus sine te, dăm altele similare, numărătorul este egal cu două după altele similare.

În numitor, puteți aplica formula înmulțirii prescurtate (diferența de pătrate) și puteți obține diferența dintre unitate și pătratul sinusului, care, în conformitate cu identitatea trigonometrică de bază

este egal cu pătratul cosinusului te. După anularea după cosinus te, vom primi răspunsul final: două împărțite la cosinus te).

Să luăm în considerare exemple de utilizare a acestor formule în demonstrarea expresiilor trigonometrice.

EXEMPLUL 3. Dovediți identitatea (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (produsul diferenței dintre pătratele tangentei te și sinus te și pătratul cotangentei te este egal cu pătratul sinusului te).

Dovezi.

Să transformăm partea stângă a egalității:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t \u003d 1 - sin 2 t ∙ \u003d 1 - cos 2 t \u003d sin 2 t

(Să deschidem parantezele, din relația obținută anterior se știe că produsul pătratelor tangentei și cotangentei te este egal cu 1. Reamintim că cotangenta te este egală cu raportul dintre cosinusul te și sinusul te, ceea ce înseamnă că pătratul cotangentei este raportul dintre pătratul cosinusului te și pătratul sinusului te.

După anularea pătratului te prin sinus, obținem diferența dintre unitate și cosinusul pătratului te, care este egal cu sinusul pătratului te). Q.E.D.

EXEMPLUL 4 Găsiți valoarea expresiei tg 2 t + ctg 2 t dacă tgt + ctgt \u003d 6.

(suma pătratelor tangentei te și cotangentei te, dacă suma tangentei și cotangentei este de șase).

Decizie. (tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 36-2

tg 2 t + ctg 2 t \u003d 34

Să pătrăm ambele părți ale egalității inițiale:

(tgt + ctgt) 2 \u003d 6 2 (pătratul sumei tangentei te și cotangentei te este egal cu șase pătrate). Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată: pătratul sumei a două cantități este egal cu pătratul primei plus de două ori produsul primei cu al doilea plus pătratul celei de-a doua. (a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2 Obținem tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t \u003d 36 (tangent pătrat te plus produsul dublat al tangentei te și cotangentului plus cotangentul pătrat te este treizeci și șase ...

Deoarece produsul tangentei te și cotangentei te este egal cu unu, atunci tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (suma pătratelor tangentei te și cotangentei te și două este de treizeci și șase),

ÎN transformări identice expresii trigonometrice pot fi utilizate următoarele tehnici algebrice: adunarea și scăderea acelorași termeni; scoaterea factorului comun din paranteze; înmulțirea și împărțirea cu aceeași cantitate; aplicarea formulelor de multiplicare prescurtate; selectarea unui pătrat complet; factorizarea unui trinom pătrat; introducerea de noi variabile pentru a simplifica transformările.

Când convertiți expresii trigonometrice care conțin fracții, puteți utiliza proprietățile proporției, reducerea fracțiilor sau conversia fracțiilor la un numitor comun. În plus, puteți utiliza selecția părții întregi a unei fracții, înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu aceeași cantitate și, dacă este posibil, luați în considerare omogenitatea numărătorului sau numitorului. Dacă este necesar, puteți reprezenta o fracție ca suma sau diferența mai multor fracții mai simple.

În plus, aplicând toate metodele necesare pentru conversia expresiilor trigonometrice, este necesar să se ia în considerare în mod constant gama de valori admise a expresiilor convertite.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1.

Calculați А \u003d (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π / 2) cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) cos ( 2x - 7π / 2) +
+ sin (3π / 2 - x) sin (2x -5π / 2)) 2

Decizie.

Rezultă din formulele de reducere:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π / 2) \u003d -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π / 2) \u003d -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

De unde, în virtutea formulelor pentru adăugarea argumentelor și a identității trigonometrice de bază, obținem

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
\u003d sin 2 3x + cos 2 3x \u003d 1

Raspunsul 1.

Exemplul 2.

Convertiți expresia М \u003d cos α + cos (α + β) cos γ + cos β - sin (α + β) sin γ + cos γ într-un produs.

Decizie.

Din formulele pentru adăugarea de argumente și formule pentru conversia sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs după gruparea corespunzătoare, avem

М \u003d (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + (cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) 2cos ((β - γ) / 2 + α + (β + γ) / 2) / 2) cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4cos ((β + γ) / 2) cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2).

Răspuns: М \u003d 4cos ((α + β) / 2) cos ((α + γ) / 2) cos ((β + γ) / 2).

Exemplul 3.

Arătați că expresia A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ia pentru toate x din R unu și același sens. Găsiți această valoare.

Decizie.

Iată două moduri de a rezolva această problemă. Aplicând prima metodă, selectând un pătrat complet și folosind formulele trigonometrice de bază corespunzătoare, obținem

А \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π / 6 + 1/2 (cos 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

Rezolvând problema în al doilea mod, considerați A ca o funcție a lui x din R și calculați derivata sa. După transformări obținem

А´ \u003d -2cos (x + π / 6) sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) sin (x - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (sin (2x + π / 3) + sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x cos π / 3 \u003d sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Prin urmare, în virtutea criteriului pentru constanța unei funcții diferențiabile pe un interval, concluzionăm că

A (x) ≡ (0) \u003d cos 2 π / 6 - cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, x € R.

Răspuns: A \u003d 3/4 pentru x R R.

Principalele metode de demonstrare a identităților trigonometrice sunt:

și) reducerea laturii stângi a identității la dreapta prin transformări adecvate;
b) reducerea laturii drepte a identității la stânga;
în) reducerea laturilor drepte și stângi ale identității la același tip;
d) reducând la zero diferența dintre părțile stângi și drepte ale identității dovedite.

Exemplul 4.

Verificați dacă cos 3x \u003d -4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3).

Decizie.

Transformând partea dreaptă a acestei identități în conformitate cu formulele trigonometrice corespunzătoare, avem

4cos x cos (x + π / 3) cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x (cos ((x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x cos 2x - cos x \u003d (cos 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

Partea dreaptă a identității a fost redusă la stânga.

Exemplul 5.

Demonstrați că sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d 2 dacă α, β, γ sunt unghiuri interioare ale unor triunghiuri.

Decizie.

Având în vedere că α, β, γ sunt unghiurile interioare ale unui triunghi, obținem acest lucru

α + β + γ \u003d π și deci γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ - 2cos α cos β cos γ \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) \u003d 2.

Egalitatea inițială este dovedită.

Exemplul 6.

Pentru a demonstra că pentru unul dintre unghiurile α, β, γ ale triunghiului să fie egal cu 60 °, este necesar și suficient ca sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Decizie.

Starea acestei probleme presupune dovada atât a necesității, cât și a suficienței.

Mai întâi, să dovedim nevoie.

Se poate arăta că

sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d -4cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2).

Prin urmare, luând în considerare faptul că cos (3/2 60 °) \u003d cos 90 ° \u003d 0, obținem că dacă unul dintre unghiurile α, β sau γ este 60 °, atunci

cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 și, prin urmare, sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0.

Să dovedim acum adecvare starea specificată.

Dacă sin 3α + sin 3β + sin 3γ \u003d 0, atunci cos (3α / 2) cos (3β / 2) cos (3γ / 2) \u003d 0 și, prin urmare,

fie cos (3α / 2) \u003d 0, fie cos (3β / 2) \u003d 0, sau cos (3γ / 2) \u003d 0.

Prin urmare,

sau 3α / 2 \u003d π / 2 + πk, adică α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

sau 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, adică β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

sau 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

acestea. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, unde k ϵ Z.

Deoarece α, β, γ sunt unghiurile triunghiului, avem

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Prin urmare, pentru α \u003d π / 3 + 2πk / 3 sau β \u003d π / 3 + 2πk / 3 sau

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 din toate kϵZ numai k \u003d 0 se potrivește.

De unde rezultă că fie α \u003d π / 3 \u003d 60 °, fie β \u003d π / 3 \u003d 60 °, fie γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

Afirmația este dovedită.

Mai aveți întrebări? Nu sunteți sigur cum să simplificați expresiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutor de la un tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea completă sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Școala secundară

Nr. 18 "

engels, regiunea Saratov.

Profesor de matematică.

« Expresii trigonometrice și transformarea lor "

Introducere …………………………………………………………………… .... 3

Capitolul 1 Clasificarea sarcinilor pentru utilizarea transformărilor expresiilor trigonometrice …………………………. …………………… ... 5

1.1. Sarcini de calcul valorile expresiilor trigonometrice ……… .5

1.2. Sarcini pentru simplificarea expresiilor trigonometrice ... 7

1.3. Sarcini pentru conversia expresiilor trigonometrice numerice ... ..7

1.4 Sarcini mixte ………………………………………………… ..... 9

Capitolul 2. Aspecte metodologice ale organizării repetării finale a subiectului „Transformarea expresiilor trigonometrice” …………………………… 11

2.1 Repetarea tematică în clasa a 10-a ……………………………………… ... 11

Testul 1 ………………………………………………………………………… ..12

Testul 2 …………………………………………………………………………… ..13

Testul 3 …………………………………………………………………………… ..14

2.2 Repetarea finală în clasa a 11-a ………………………………………… ... 15

Testul 1 …………………………………………………………………………… ..17

Testul 2 …………………………………………………………………………… ..17

Testul 3 …………………………………………………………………………… ..18

Concluzie. …………………………………………………………………… ....... 19

Lista literaturii folosite ……………………………………… .. …… .20

Introducere.

În condițiile de astăzi, cea mai importantă întrebare este: „Cum putem ajuta la eliminarea unor lacune în cunoștințele studenților și a-i avertiza împotriva posibilelor greșeli la examen?” Pentru a rezolva această problemă, este necesar să căutăm de la elevi nu asimilarea formală a materialului programului, ci înțelegerea profundă și conștientă a acestuia, dezvoltarea vitezei calculelor și transformărilor orale, precum și dezvoltarea abilităților pentru rezolvarea unor probleme simple „în minte”. Este necesar să îi convingem pe elevi că numai dacă există o poziție activă, în studiul matematicii, cu condiția ca aceștia să dobândească abilități practice, abilități și utilizarea lor, se poate aștepta un succes real. Este necesar să se profite de fiecare ocazie pentru a se pregăti pentru examenul de stat unificat, inclusiv subiecte elective din clasele 10-11, să analizeze regulat sarcini complexe cu elevii, alegând modul cel mai rațional de rezolvare în lecții și clase suplimentare.Rezultat pozitiv îndomeniile pentru rezolvarea problemelor tipice pot fi realizate dacă profesorii de matematică, creând o bună pregătire de bază a elevilor, căutați noi modalități de rezolvare a problemelor care ni s-au deschis, experimentați activ, aplicați modern tehnologii pedagogice, metode, tehnici care creează condiții favorabile pentru auto-realizare efectivă și autodeterminare a elevilor în condiții sociale noi.

Trigonometria este o parte integrantă a cursului școlar de matematică. Cunoașterea bună și abilitățile puternice în trigonometrie sunt dovada unui nivel suficient de cultură matematică, o condiție indispensabilă pentru studiul cu succes al matematicii, fizicii, o serie de tehnicidiscipline.

Relevanța muncii. O parte semnificativă a absolvenților școlari arată de la an la an o pregătire foarte slabă în această importantă secțiune de matematică, dovadă fiind rezultatele din anii trecuți (procentul de finalizare în 2011 - 48,41%, 2012 - 51,05%), deoarece analiza promovării examenului de stat unificat a arătat că elevii comit multe greșeli atunci când îndeplinesc sarcinile acestei secțiuni sau nu își asumă deloc astfel de sarcini. Într-una examen de stat Întrebările despre trigonometrie se găsesc în aproape trei tipuri de sarcini. Aceasta este soluția celor mai simple ecuații trigonometrice din sarcina B5 și funcționează cu expresii trigonometrice în sarcina B7 și studiul funcțiilor trigonometrice în sarcina B14, precum și sarcina B12, care conțin formule care descriu fenomene fizice și conțin funcții trigonometrice. Și aceasta este doar o parte din sarcinile lui B! Dar există, de asemenea, ecuații trigonometrice preferate cu selecția rădăcinilor C1 și sarcinile geometrice „nu foarte preferate” C2 și C4.

Obiectiv. A analiza material pentru examen sarcinile B7, dedicate transformărilor expresiilor trigonometrice și clasifică sarcinile în funcție de forma prezentării lor în teste.

Lucrarea constă din două capitole, o introducere și o concluzie. Introducerea subliniază relevanța lucrării. Primul capitol oferă o clasificare a sarcinilor pentru utilizarea transformărilor expresiilor trigonometrice în test sarcinile examenului (2012).

În cel de-al doilea capitol, se are în vedere organizarea repetării subiectului „Transformarea expresiilor trigonometrice” în clasele 10, 11 și se dezvoltă teste pe această temă.

Lista literaturii cuprinde 17 surse.

Capitolul 1. Clasificarea sarcinilor pentru utilizarea transformărilor expresiilor trigonometrice.

În conformitate cu standardul de învățământ secundar (complet) și cerințele pentru nivelul de pregătire a elevilor, sarcinile de cunoaștere a bazelor trigonometriei sunt incluse în codificatorul de cerințe.

Învățarea bazelor trigonometriei va fi cea mai eficientă atunci când:

va fi asigurată motivația pozitivă a elevilor pentru repetarea materialului studiat anterior;

în proces educațional va fi implementată o abordare orientată spre personalitate;

se va aplica un sistem de sarcini, care contribuie la extinderea, aprofundarea, sistematizarea cunoștințelor elevilor;

vor fi folosite tehnologii avansate de predare.

După ce am analizat literatura și resursele de internet pentru pregătirea examenului, am propus una dintre posibilele clasificări ale sarcinilor B7 (KIM USE 2012-trigonometrie): sarcini de calcul valorile expresiilor trigonometrice; sarcini pentruconversia expresiilor trigonometrice numerice; sarcini pentru conversia expresiilor trigonometrice alfabetice; sarcini mixte.

1.1. Sarcini de calcul valorile expresiilor trigonometrice.

Unul dintre cele mai frecvente tipuri de probleme simple de trigonometrie este calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice după valoarea uneia dintre ele:

a) Folosirea identității trigonometrice de bază și a consecințelor acesteia.

Exemplul 1 ... Găsiți dacă
și
.

Decizie.
,
,

pentru că apoi
.

Răspuns.

Exemplul 2 ... Găsi
, în cazul în care un
și.

Decizie.
,
,
.

pentru că apoi
.

Răspuns. ...

b) Folosirea formulelor cu unghi dublu.

Exemplul 3 ... Găsi
, în cazul în care un
.

Decizie. , .

Răspuns.
.

Exemplul 4 ... Găsiți sensul expresiei
.

Decizie. ...

Răspuns.
.

1. Găsi , în cazul în care un
și
... Răspuns. -0,2

2. Găsi , în cazul în care un
și
... Răspuns. 0,4

3. Găsi
, în cazul în care un . Răspuns. -12,884. Găsi
, în cazul în care un
... Răspuns. -0,845. Găsiți semnificația expresiei:
... Răspuns. 66. Găsiți sensul expresiei
. Răspuns. -nouăsprezece

1.2. Sarcini de simplificare a expresiilor trigonometrice. Formulele de turnare ar trebui să fie bine înțelese de către studenți, deoarece aceștia vor găsi aplicații suplimentare în lecțiile de geometrie, fizică și alte discipline conexe.

Exemplul 5 . Simplificați expresiile
.

Decizie. ...

Răspuns.
.

Sarcini de auto-ajutor:

1. Simplificați expresia
. Răspuns. 0,62. Găsi
, în cazul în care un
și ... Răspuns. 10.563. Găsiți sensul expresiei
, în cazul în care un
. Răspuns. 2

1.3. Sarcini pentru conversia expresiilor trigonometrice numerice.

Atunci când exersați abilitățile și abilitățile sarcinilor pentru transformarea expresiilor trigonometrice numerice, ar trebui să acordați atenție cunoașterii tabelului valorilor funcțiilor trigonometrice, proprietăților parității și periodicității funcțiilor trigonometrice.

a) Utilizarea valorilor exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unele unghiuri.

Exemplul 6 ... calculati
.

Decizie.
.

Răspuns.
.

b) Utilizarea proprietăților de paritate funcții trigonometrice.

Exemplul 7 ... calculati
.

Decizie. .

Răspuns.

în) Folosind proprietăți de periodicitatefuncții trigonometrice.

Exemplul 8 . Găsiți sensul expresiei
.

Decizie. ...

Răspuns.
.

Sarcini de auto-ajutor:

1. Găsiți sensul expresiei
. Răspuns. -40,52. Găsiți sensul expresiei
. Răspuns. 17

3. Găsiți sensul expresiei
. Răspuns. 6

. Răspuns. -24
Răspuns. -64

1.4 Sarcini mixte.

Forma de testare a certificării are caracteristici foarte semnificative, deci este important să acordați atenție sarcinilor asociate cu utilizarea mai multor formule trigonometrice în același timp.

Exemplul 9. Găsi
, în cazul în care un
.

Decizie.
.

Răspuns.
.

Exemplul 10 ... Găsi
, în cazul în care un
și
.

Decizie. .

pentru că apoi
.

Răspuns.
.

Exemplul 11. Găsi
, în cazul în care un .

Decizie. , ,
,
,
,
,
.

Răspuns.

Exemplul 12. calculati
.

Decizie. .

Răspuns.
.

Exemplul 13. Găsiți sensul expresiei
, în cazul în care un
.

Decizie. .

Răspuns.
.

Sarcini de auto-ajutor:

1. Găsi
, în cazul în care un
. Răspuns. -1.75
2. Găsi
, în cazul în care un
. Răspuns. 33. Găsiți
, în cazul în care un . Răspuns. 0,254. Găsiți semnificația expresiei
, în cazul în care un
. Răspuns. 0,35. Găsiți semnificația expresiei
, în cazul în care un
. Răspuns. cinci

Capitolul 2. Organizarea aspectelor metodologice ale repetării finale a subiectului „Transformarea expresiilor trigonometrice”.

Una dintre cele mai importante probleme care contribuie la creșterea în continuare a performanței academice, realizarea de cunoștințe profunde și durabile în rândul studenților este problema repetării materialului trecut anterior. Practica arată că în clasa a 10-a este mai oportun să se organizeze o repetare tematică; în clasa a 11-a - repetare finală.

2.1. Repetarea tematică în clasa a 10-a.

În procesul de lucru asupra materialului matematic, este deosebit de important să repetați fiecare subiect finalizat sau o întreagă secțiune a cursului.

Cu repetarea tematică, cunoștințele elevilor asupra subiectului sunt sistematizate în etapa finală a trecerii sale sau după o pauză.

Pentru repetarea tematică, sunt alocate lecții speciale, pe care materialul unui subiect este concentrat și generalizat.

Repetarea lecției se realizează printr-o conversație cu implicarea largă a elevilor în această conversație. După aceea, elevii sunt rugați să repete un anumit subiect și sunt avertizați că vor fi efectuate lucrări de testare.

Un test pe un subiect ar trebui să includă toate întrebările sale de bază. După finalizarea lucrării, sunt analizate erorile caracteristice și se organizează repetarea pentru a le elimina.

Pentru lecții de repetare tematică, oferim dezvoltate hârtii de testarepe tema „Conversia expresiilor trigonometrice”.

Testul nr. 1

Testul numărul 2

Testul numărul 3

Tabel de răspuns

Test

2.2. Repetarea finală în clasa a 11-a.

Repetarea finală se efectuează în etapa finală a studierii principalelor probleme ale cursului de matematică și se efectuează într-o legătură logică cu studiul material didactic pentru această secțiune sau curs în ansamblu.

Repetarea finală a materialului de instruire are următoarele obiective:

1. Activarea materialului întregului curs de instruire pentru a clarifica structura sa logică și construirea unui sistem în cadrul conexiunilor subiect și inter-subiect.

2. Aprofundarea și, dacă este posibil, extinderea cunoștințelor studenților cu privire la principalele probleme ale cursului în procesul de repetare.

Având în vedere examenul obligatoriu de matematică pentru toți absolvenții, introducerea treptată a examenului de stat unificat îi obligă pe profesori să adopte o nouă abordare a pregătirii și predării lecțiilor, luând în considerare necesitatea de a se asigura că toți elevii stăpânesc materialul educațional la un nivel de bază, precum și oportunitatea pentru studenții motivați interesați să obțină scoruri mari pentru admiterea la o universitate, progres dinamic în stăpânirea materialului la un nivel avansat și înalt.

În lecțiile repetării finale, puteți lua în considerare următoarele sarcini:

Exemplul 1 . Calculați valoarea expresiei.Decizie. \u003d
= =
=
=
=
=0,5. Răspuns. 0,5. Exemplul 2. Specificați cea mai mare valoare întreagă pe care o poate lua expresia
.

Decizie. pentru că
poate lua orice valoare, segment [-1; 1], atunci
ia orice valoare a segmentului [–0.4; 0.4], prin urmare. Valoarea întreagă a expresiei este una - numărul 4.

Răspuns: 4 Exemplul 3 . Simplificați expresia
.

Soluție: Să folosim formula pentru luarea în calcul a sumei cuburilor :. Noi avem

Noi avem:
.

Raspunsul 1

Exemplul 4. calculati
.

Decizie. ...

Răspuns: 0,28

Pentru lecțiile repetării finale, oferim teste dezvoltate pe tema „Transformarea expresiilor trigonometrice”.

Introduceți cel mai mare număr întreg care nu depășește 1

Concluzie.

După ce ați elaborat corespunzător literatura metodologică pe această temă, putem concluziona că abilitatea și abilitățile de a rezolva sarcini legate de transformările trigonometrice în cursul de matematică școlară este foarte importantă.

În cursul muncii efectuate, s-a efectuat clasificarea sarcinilor B7. Considerat formule trigonometrice cel mai frecvent utilizat în CMM 2012. Sunt date exemple de sarcini cu soluții. Au fost dezvoltate teste diferențiate pentru organizarea repetării și sistematizării cunoștințelor în pregătirea examenului.

Este recomandabil să continuați lucrările începute luând în considerare soluția celor mai simple ecuații trigonometrice din sarcina B5, studiul funcțiilor trigonometrice în sarcina B14, sarcina B12, care conțin formule care descriu fenomene fizice și conțin funcții trigonometrice.

În concluzie, aș dori să observ că eficacitatea promovarea examenului este în mare măsură determinată de cât de eficient este organizat procesul de instruire la toate nivelurile educației, cu toate categoriile de studenți. Și dacă reușim să formăm independența, responsabilitatea și disponibilitatea elevilor de a continua să învețe de-a lungul vieții lor ulterioare, atunci nu numai că vom îndeplini ordinea statului și a societății, ci și vom crește propria noastră stimă de sine.

Repetarea materialului educațional necesită profesor munca creativa... El trebuie să ofere o legătură clară între tipurile de repetare, să implementeze un sistem de repetare profund gândit. Stăpânirea artei organizării repetării este sarcina profesorului. Puterea cunoștințelor studenților depinde în mare măsură de soluția sa.

Literatură.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matematică elementară. -M.: Nauka, 1970.

Probleme de dificultate crescută în algebră și principiile analizei: Manual pentru clasele 10-11 din liceu / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. - M.: Educație, 1990.

Aplicarea formulelor trigonometrice de bază la transformarea expresiilor (clasa a X-a) // Festivalul ideilor pedagogice. 2012-2013.

A.G. Koryanov , Prokofiev A.A. Pregătim elevi buni și studenți excelenți pentru examen. - M.: Universitatea Pedagogică „Primul septembrie”, 2012. - 103 p.

Kuznetsova E.N. Simplificarea expresiilor trigonometrice. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin diferite metode (pregătire pentru examen). clasa a 11-a. 2012-2013.

Kulanin E. D. 3000 Probleme de concurență în matematică. Al patrulea., Rev. si adauga. - M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Probleme metodologice de studiu a trigonometriei în școală cuprinzătoare // Matematica la școală. 2002. Nr. 6.

Pichurin L.F. Despre trigonometrie și nu numai despre aceasta: -M. Educație, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometria la școală: -M. : Universitatea pedagogică „Primul septembrie”, 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematică. Algebră. Începutul analizei matematice.Nivelul profilului: manual pentru clasa 10 - M.: BINOM. Laborator de cunoștințe, 2007.

Portal educațional pentru pregătirea examenului.

Pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică „Oh, această trigonometrie! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Proiectul "Matematica? Ușor !!!"http://www.resolventa.ru/

Secțiuni: Matematică

Clasă: 11

Lectia 1

Temă: Nota 11 (pregătirea pentru examen)

Simplificarea expresiilor trigonometrice.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (2 ore)

Obiective:

• Pentru a sistematiza, generaliza, extinde cunoștințele și abilitățile elevilor legate de utilizarea formulelor de trigonometrie și soluția celor mai simple ecuații trigonometrice.

Echipament pentru lecție:

Structura lecției:

1. Moment organizatoric
2. Testarea pe laptopuri. Discuția rezultatelor.
3. Simplificarea expresiilor trigonometrice
4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice
5. Muncă independentă.
6. Rezumatul lecției. Explicația misiunii la domiciliu.

1. Moment organizatoric. (2 minute.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției, le reamintește sarcina dată anterior de a repeta formulele de trigonometrie și înființează elevii pentru testare.

2. Testarea. (15min + 3min discuție)

Scopul este de a testa cunoștințele formulelor trigonometrice și capacitatea de a le aplica. Fiecare student are un laptop pe birou cu o versiune de testare.

Pot exista orice număr de opțiuni, voi da un exemplu de una dintre ele:

Opțiunea I.

Simplificați expresiile:

a) identități trigonometrice de bază

1. păcatul 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule de adăugare

3.sin5x - sin3x;

c) convertirea produsului într-o sumă

6.2sin8y confortabil3y;

d) formule cu unghi dublu

7.2sin5x cos5x;

e) formule pe jumătate de unghi

f) formule cu unghi triplu

g) substituirea universală

h) scăderea gradului

16.cos 2 (3x / 7);

Elevii de pe un laptop își văd răspunsurile în fața fiecărei formule.

Lucrarea este verificată instantaneu de computer. Rezultatele sunt afișate pe un ecran mare pentru ca toată lumea să le poată vedea.

De asemenea, după terminarea lucrării, răspunsurile corecte sunt afișate pe laptopurile elevilor. Fiecare elev vede unde a fost făcută greșeala și ce formule trebuie să repete.

3. Simplificarea expresiilor trigonometrice. (25 min.)

Scopul este de a revizui, exersa și consolida aplicarea formulelor de bază de trigonometrie. Rezolvarea problemelor B7 de la examen.

În această etapă, este recomandabil să împărțiți clasa în grupuri de elevi puternici (care lucrează independent cu verificarea ulterioară) și slabi care lucrează cu profesorul.

Alocare pentru cursanți puternici (pregătită în avans pe o bază tipărită). Accentul principal se pune pe formulele de reducere și unghi dublu, conform examenului din 2011.

Simplificați expresiile (pentru cursanții puternici):

În paralel, profesorul lucrează cu elevi slabi, discutând și rezolvând sarcini pe ecran sub dictarea elevilor.

Calculati:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Simplifica:

A venit rândul discuției despre rezultatele muncii grupului puternic.

Răspunsurile apar pe ecran și, de asemenea, cu ajutorul unei camere video, sunt afișate lucrările a 5 elevi diferiți (câte o sarcină pentru fiecare).

Grupul slab vede condiția și metoda soluției. Discuția și analiza sunt în desfășurare. Cu utilizarea mijloacelor tehnice, acest lucru se întâmplă rapid.

4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (30 minute.)

Scopul este repetarea, sistematizarea și generalizarea soluției celor mai simple ecuații trigonometrice, înregistrând rădăcinile acestora. Soluția la problema B3.

Orice ecuație trigonometrică, indiferent de modul în care o rezolvăm, duce la cea mai simplă.

La finalizarea sarcinii, elevii ar trebui să fie atrași de înregistrarea rădăcinilor ecuațiilor cazurilor speciale și a formei generale și de selectarea rădăcinilor din ultima ecuație.

Rezolvați ecuațiile:

Scrieți cea mai mică rădăcină pozitivă ca răspuns.

5. Muncă independentă (10 min.)

Scopul este de a testa abilitățile dobândite, de a identifica probleme, erori și modalități de a le elimina.

Munca la nivel diferit este oferită la alegerea elevului.

Opțiune pentru „3”

1) Găsiți valoarea unei expresii

2) Simplificați expresia 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rezolvați ecuația

Opțiune pentru „4”

1) Găsiți valoarea unei expresii

2) Rezolvați ecuația Notați cea mai mică rădăcină pozitivă în răspuns.

Opțiune pentru „5”

1) Găsiți tgα dacă

2) Găsiți rădăcina ecuației Scrieți cea mai mică rădăcină pozitivă în răspunsul dvs.

6. Rezumatul lecției (5 min.)

Profesorul rezumă ceea ce lecția a repetat și a consolidat formulele trigonometrice, soluția celor mai simple ecuații trigonometrice.

Sarcina temelor (pregătită în prealabil) cu verificări la fața locului în lecția următoare.

Rezolvați ecuațiile:

9)

10) Indicați cea mai mică rădăcină pozitivă în răspunsul dvs.

Sesiunea 2

Temă: Nota 11 (pregătirea pentru examen)

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Selecția rădăcinilor. (2 ore)

Obiective:

• Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de diferite tipuri.
• Pentru a promova dezvoltarea gândirii matematice a elevilor, capacitatea de a observa, compara, generaliza, clasifica.
• Încurajați elevii să depășească dificultățile din procesul activității mentale, să se autocontroleze, să introspecteze activitățile lor.

Echipament pentru lecție: KRMu, laptopuri pentru fiecare student.

Structura lecției:

1. Moment organizatoric
2. Discuție d / h și samot. lucrările ultimei lecții
3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice
5. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice.
6. Muncă independentă.
7. Rezumatul lecției. Teme pentru acasă.

1. Moment organizatoric (2 min.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției și planul de lucru.

2.a) Analiza teme pentru acasă (5 minute.)

Scopul este de a verifica execuția. O lucrare cu ajutorul unei camere video este afișată pe ecran, restul sunt colectate selectiv pentru verificarea profesorului

b) Analiza muncă independentă (3 min.)

Scopul este de a analiza greșelile, de a indica modalitățile de a le depăși.

Pe ecran, răspunsuri și soluții, studenții au munca predeterminată. Analiza progresează rapid.

3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (5 min.)

Scopul este de a aminti metodele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Întrebați elevii ce metode cunosc pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Subliniați că există așa-numitele metode de bază (utilizate frecvent):

• înlocuire variabilă,
• factorizare,
• ecuații omogene,

și există metode aplicate:

• prin formulele de conversie a unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă,
• prin formulele de reducere a gradului,
• substituție trigonometrică universală
• introducerea unui unghi auxiliar,
• multiplicarea cu o anumită funcție trigonometrică

De asemenea, trebuie amintit că o ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite.

4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice (30 min.)

Scopul este generalizarea și consolidarea cunoștințelor și abilităților pe această temă, pregătirea pentru decizia C1 de la examen.

Consider că este oportun să rezolv ecuațiile pentru fiecare metodă împreună cu elevii.

Elevul dictează decizia, profesorul o notează pe tabletă, întregul proces este afișat pe ecran. Acest lucru vă va permite să reamintiți rapid și eficient materialul acoperit anterior.

Rezolvați ecuațiile:

1) schimbarea variabilei 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) factoring 3cos (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) ecuații omogene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) conversia sumei la produsul cos5x + cos7x \u003d cos (π + 6x)

5) convertirea produsului în suma 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) scăderea puterii sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substituție trigonometrică universală sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

Rezolvând această ecuație, trebuie remarcat faptul că utilizarea acestei metode duce la o restrângere a domeniului definiției, deoarece sinusul și cosinusul sunt înlocuite cu tg (x / 2). Prin urmare, înainte de a scrie răspunsul, trebuie să verificați dacă numerele din mulțimea π + 2πn, n Z sunt cai ai acestei ecuații.

8) introducerea unui unghi auxiliar √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) înmulțirea cu o funcție trigonometrică cosx cos2x cos4x \u003d 1/8.

5. Selectarea rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice (20 min.)

Deoarece în condiții de concurență acerbă la intrarea în universități, rezolvarea unei prime părți a examenului nu este suficientă, atunci majoritatea studenților ar trebui să fie atenți la sarcinile celei de-a doua părți (C1, C2, C3).

Prin urmare, scopul acestei etape a lecției este de a aminti materialul studiat anterior, de a se pregăti pentru rezolvarea problemei C1 din USE 2011.

Există ecuații trigonometrice în care trebuie să selectați rădăcinile atunci când scrieți un răspuns. Acest lucru se datorează unor restricții, de exemplu: numitorul fracției nu este zero, expresia de sub rădăcina pare nu este negativă, expresia de sub semnul logaritmului este pozitivă etc.

Astfel de ecuații sunt considerate a fi ecuații de complexitate crescută și în versiunea examenului sunt în a doua parte, și anume C1.

Rezolvați ecuația:

Fracția este zero dacă atunci folosind cercul unitar, selectăm rădăcinile (vezi Figura 1)

Imaginea 1.

obținem x \u003d π + 2πn, n Z

Răspuns: π + 2πn, n Z

Pe ecran, selecția rădăcinilor este afișată pe un cerc într-o imagine color.

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar arcul nu își pierde semnificația. Apoi

Selectați rădăcinile folosind cercul unitar (a se vedea figura 2)